Prawdopodobieństwo na egzaminie ósmoklasisty

Odpowiedź: B, C

1. Pierwsze zdanie. Kart z kwadratem jest $\textcolor{#16A06A}{4}$, a wszystkich kart $\textcolor{#E0453A}{18}$.
2. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{18}} = \dfrac{2}{9}$ — odpowiedź B.
3. Drugie zdanie. Najpierw liczymy obwód każdej figury (wszystkie są foremne, więc obwód to bok razy liczba boków):
4. trójkąt: $3 \cdot 6 = 18$ cm  ·  kwadrat: $4 \cdot 7 = 28$ cm  ·  pięciokąt: $5 \cdot 2 = 10$ cm.
5. Warunek „mniejszy od 18 cm” spełnia tylko pięciokąt (10 cm). Trójkąt ma dokładnie 18 cm, więc nie wchodzi.
6. Kart z pięciokątem jest $\textcolor{#16A06A}{9}$, zatem $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{9}}{\textcolor{#E0453A}{18}} = \dfrac{1}{2}$ — odpowiedź C.
7. Razem: B, C.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że pytanie o obwód wymaga policzenia trzech obwodów — to zadanie z geometrii ukryte w zadaniu z prawdopodobieństwa.

⚠ Najczęstszy błąd: zaliczenie trójkąta, którego obwód wynosi dokładnie 18 cm. Nierówność jest ostra, więc $18 < 18$ nie zachodzi. Doliczenie go dałoby $\tfrac{14}{18} = \tfrac79$ — stąd kusząca odpowiedź D.

Odpowiedź: D

1. Liczymy losy wygrywające w dwóch grupach.
2. Numery od 1 do 9 — to po prostu 9 losów.
3. Numery od 46 do 72 — tu nie wolno odejmować „na skróty”. Liczba liczb od $a$ do $b$ włącznie to $b - a + 1$, czyli $72 - 46 + 1 = 27$ losów.
4. Wygrywających jest razem $9 + 27 = 36$.
5. Pustych jest więc $\textcolor{#16A06A}{72 - 36} = \textcolor{#16A06A}{36}$, a wszystkich losów $\textcolor{#E0453A}{72}$.
6. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{36}}{\textcolor{#E0453A}{72}}$ — odpowiedź D. (Można też skrócić do $\tfrac12$, ale w odpowiedziach podano postać nieskróconą.)

💡 Wskazówka: Wzór na liczbę kolejnych liczb: $b - a + 1$. Sprawdź go na czymś oczywistym: od 1 do 9 mamy $9 - 1 + 1 = 9$ ✓.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $72 - 46 = 26$ zamiast 27 (zapomniana jedynka). Wtedy pustych wyszłoby 37, a przy dalszej pomyłce — kusząca odpowiedź A lub B.

Odpowiedź: D

1. Rozpisujemy liczby kul po kolei, dokładnie tak, jak podaje treść.
2. Białe: $\textcolor{#16A06A}{5}$.
3. Czerwone: trzy razy więcej niż białych, czyli $3 \cdot 5 = 15$.
4. Niebieskie: o pięć mniej niż czerwonych (nie niż białych!), czyli $15 - 5 = 10$.
5. Wszystkich kul: $\textcolor{#E0453A}{5 + 15 + 10} = \textcolor{#E0453A}{30}$.
6. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{5}}{\textcolor{#E0453A}{30}} = \dfrac{1}{6}$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Rozpisz liczby kul w słupku, zanim policzysz prawdopodobieństwo. Mianownik to suma wszystkich, więc łatwo o pomyłkę, gdy jednej grupy się nie doliczy.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie niebieskich jako „o pięć mniej niż białych” (czyli 0) albo podzielenie 5 przez 15 zamiast przez 30. Zawsze sprawdź, do czego odnosi się porównanie.

Odpowiedź: C

1. Na początku balonów było $10 + 8 + 6 + 8 = 32$, w tym 10 czerwonych.
2. Ale Karolina wyjęła już dwa czerwone i ich nie zwróciła — zmieniły się więc obie liczby.
3. Czerwonych zostało: $\textcolor{#16A06A}{10 - 2} = \textcolor{#16A06A}{8}$.
4. Wszystkich balonów zostało: $\textcolor{#E0453A}{32 - 2} = \textcolor{#E0453A}{30}$.
5. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{8}}{\textcolor{#E0453A}{30}} = \dfrac{4}{15}$ — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Przy losowaniu bez zwracania za każdym razem zmniejsz o 1 mianownik, a licznik tylko wtedy, gdy wyjęty przedmiot należał do interesującej nas grupy.

⚠ Najczęstszy błąd: zmniejszenie tylko licznika ($\tfrac{8}{32} = \tfrac14$ — kusząca odpowiedź D) albo tylko mianownika ($\tfrac{10}{30} = \tfrac13$ — odpowiedź A). Trzeba zmienić oba.

Odpowiedź: A

1. Mianownik — ile jest liczb dwucyfrowych? Od 10 do 99, czyli $\textcolor{#E0453A}{99 - 10 + 1} = \textcolor{#E0453A}{90}$ liczb.
2. Licznik — dwucyfrowe wielokrotności 20: $20$, $40$, $60$, $80$. To $\textcolor{#16A06A}{4}$ liczby (setka jest już trzycyfrowa).
3. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{90}} = \dfrac{2}{45}$ — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj: liczb dwucyfrowych jest 90, trzycyfrowych 900, czterocyfrowych 9000. Ta liczba wraca w wielu zadaniach.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie 99 liczb dwucyfrowych (czyli liczenie od 1) — stąd kusząca odpowiedź D. Liczby jednocyfrowe od 1 do 9 nie są dwucyfrowe, więc odpadają.

Odpowiedź: P, F

1. Wszystkich kul: $\textcolor{#E0453A}{18 + 12} = \textcolor{#E0453A}{30}$.
2. Zdanie 1: $P(\text{biała}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{18}}{\textcolor{#E0453A}{30}} = \dfrac{3}{5}$ ✓ — prawda.
3. Zdanie 2: $P(\text{czarna}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{12}}{\textcolor{#E0453A}{30}} = \dfrac{2}{5}$.
4. Porównujemy $\dfrac{2}{5}$ z $\dfrac{1}{3}$ — wspólny mianownik 15: $\dfrac{6}{15}$ kontra $\dfrac{5}{15}$.
5. Zatem $\dfrac{2}{5} > \dfrac{1}{3}$, a nie mniejsze — fałsz.
6. Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Kontrola: prawdopodobieństwa obu kolorów muszą sumować się do 1. Tu $\tfrac35 + \tfrac25 = 1$ ✓ — to znaczy, że oba są policzone poprawnie.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: porównanie „na oko” ($0{,}4$ kontra $0{,}33$) bez sprowadzenia do wspólnego mianownika i pomyłka w kierunku nierówności.

Odpowiedź: C

1. Kluczowa obserwacja: dokładamy tylko zielone, więc liczba niebieskich się nie zmienia — nadal jest ich $\textcolor{#16A06A}{8}$.
2. Zmienia się natomiast liczba wszystkich kulek. Oznaczmy przez $x$ liczbę dołożonych zielonych: wszystkich jest $\textcolor{#E0453A}{6 + 8 + x} = \textcolor{#E0453A}{14 + x}$.
3. Zapisujemy równanie: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{8}}{\textcolor{#E0453A}{14 + x}} = \dfrac{1}{4}$.
4. Mnożymy na krzyż: $4 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#E0453A}{14 + x}$, czyli $32 = 14 + x$.
5. Stąd $x = 18$ — odpowiedź C.
6. Sprawdzenie: po dołożeniu jest $6 + 18 = 24$ zielone i 8 niebieskich, razem 32. $P(\text{niebieska}) = \tfrac{8}{32} = \tfrac14$ ✓

💡 Wskazówka: Skoro $P = \tfrac14$, to niebieskie stanowią jedną czwartą wszystkich kulek. Skoro jest ich 8, to wszystkich musi być $4 \cdot 8 = 32$ — i stąd od razu $32 - 14 = 18$ dołożonych.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie końcowej liczby zielonych (24 — kusząca odpowiedź D) zamiast liczby dołożonych. Sześć zielonych było już w pudełku.

Odpowiedź: C

1. Najpierw ile było czarnych: $\dfrac{1}{4}$ z 72, czyli $72 : 4 = 18$ piłeczek.
2. Teraz kluczowe zdanie: wyciągnięto 12 piłeczek i żadna nie była czarna.
3. Czarnych zostało więc tyle samo: $\textcolor{#16A06A}{18}$ — licznik się nie zmienia.
4. Ale wszystkich piłeczek ubyło: $\textcolor{#E0453A}{72 - 12} = \textcolor{#E0453A}{60}$ — mianownik maleje.
5. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{18}}{\textcolor{#E0453A}{60}} = \dfrac{3}{10}$ — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Zauważ ciekawą rzecz: wyciąganie samych białych zwiększa szansę na czarną (z $\tfrac14 = 0{,}25$ do $\tfrac{3}{10} = 0{,}3$). Im mniej białych w pudełku, tym „gęściej” od czarnych.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A — przekonanie, że skoro losujemy tę samą pulę, to prawdopodobieństwo zostaje $\tfrac14$. Skład pudełka jednak się zmienił, więc i szansa jest inna.

Odpowiedź: B, C

1. Pierwsze zdanie. „Co szósty los wygrywający” znaczy, że wygrywające stanowią $\tfrac16$ wszystkich.
2. $150 : 6 = 25$ losów wygrywających — odpowiedź B. (Liczba 120 to losy puste: $150 - 25$.)
3. Drugie zdanie. Wyciągnięto 30 losów i żaden nie był wygrywający.
4. Wygrywających zostało tyle samo: $\textcolor{#16A06A}{25}$.
5. Wszystkich losów zostało: $\textcolor{#E0453A}{150 - 30} = \textcolor{#E0453A}{120}$.
6. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{25}}{\textcolor{#E0453A}{120}}$ — odpowiedź C. Razem: B, C.

💡 Wskazówka: „Co szósty” to zawsze $\tfrac16$ całości — podobnie „co trzeci” to $\tfrac13$, a „co dziesiąty” to $\tfrac{1}{10}$.

⚠ Dwie pułapki naraz: (1) w pierwszym zdaniu podanie liczby losów pustych (120) zamiast wygrywających; (2) w drugim — mianownik 125, jakby wyciągnięto tylko 25 losów. Wyciągnięto 30, więc zostało 120.

Odpowiedź: A, 3

1. Liczymy prawdopodobieństwo przed dołożeniem: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{80}}{\textcolor{#E0453A}{120}} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67$.
2. Po dołożeniu: wygrywających jest $80 + 20 = \textcolor{#16A06A}{100}$, a wszystkich $120 + 40 = \textcolor{#E0453A}{160}$.
3. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{100}}{\textcolor{#E0453A}{160}} = \dfrac{5}{8} = 0{,}625$.
4. Skoro $\tfrac23 \ne \tfrac58$, prawdopodobieństwo się zmieniło — odpowiedź A.
5. Powód: o prawdopodobieństwie decyduje stosunek wygrywających do wszystkich, a ten stosunek się zmienił — uzasadnienie 3.
6. Dlaczego nie 1. ani 2.? Oba te zdania są prawdziwe (różnica 40 zostaje, dołożono po równo), ale opisują różnicę i sumę, a nie stosunek. A to stosunek decyduje o prawdopodobieństwie.

💡 Wskazówka: Dopisanie takiej samej liczby do licznika i mianownika zmienia ułamek — i zawsze przybliża go do 1. Sprawdź na prostym przykładzie: $\tfrac12$, a po dodaniu 1 do obu $\tfrac23$.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź B z uzasadnieniem 2 („dołożono po równo, więc bez zmian”). To rozumowanie działa dla różnicy, ale nie dla ułamka.

Odpowiedź: F, F

1. Zdanie 1. Na bączku I liczby większe niż 3 to $\textcolor{#16A06A}{4}$ i $\textcolor{#16A06A}{5}$ — czyli $\textcolor{#16A06A}{2}$ możliwości z $\textcolor{#E0453A}{5}$.
2. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{5}} = 0{,}4$, a $\dfrac12 = 0{,}5$. Zatem $0{,}4 < 0{,}5$ — fałsz.
3. Zdanie 2. Nieparzyste na bączku I: $1, 3, 5$, czyli $P_I = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{5}}$.
4. Nieparzyste na bączku II: też $1, 3, 5$, ale wszystkich liczb jest sześć: $P_{II} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \dfrac{1}{2}$.
5. $\dfrac{3}{5} = 0{,}6$, a $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ — prawdopodobieństwa nie są równe — fałsz.
6. Odpowiedzi: F, F.

💡 Wskazówka: Zauważ, dlaczego wyniki się różnią: liczba nieparzystych jest w obu przypadkach ta sama (3), ale mianowniki są inne (5 i 6). To mianownik decyduje o różnicy.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: „w obu jest po trzy liczby nieparzyste, więc szansa taka sama”. Prawdopodobieństwo to ułamek — liczy się także, ile jest wszystkich możliwości.

Odpowiedź: P, P

1. Wypiszmy wszystkie sześć ścianek: $1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3$.
2. Zdanie 1. Nieparzyste oczka to jedynki i trójka: $3 + 1 = \textcolor{#16A06A}{4}$ ścianki, więc $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \dfrac{2}{3}$.
3. Parzyste to same dwójki: $\textcolor{#16A06A}{2}$ ścianki, więc $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \dfrac{1}{3}$.
4. Sprawdzamy: $\dfrac{2}{3} = 2 \cdot \dfrac{1}{3}$ ✓ — prawda.
5. Zdanie 2. Liczby oczek mniejsze od 3 to jedynki i dwójki: $3 + 2 = \textcolor{#16A06A}{5}$ ścianek.
6. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{5}}{\textcolor{#E0453A}{6}}$ ✓ — prawda. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Przy nietypowej kostce wypisz wszystkie ścianki jako listę liczb ($1, 1, 1, 2, 2, 3$). Wtedy zadanie robi się tak samo proste jak z kulami w pudełku.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie rodzajów wyników (są trzy: 1, 2, 3) zamiast ścianek (jest ich sześć). Mianownik to zawsze liczba ścianek, nawet gdy niektóre się powtarzają.

Odpowiedź: D

1. Wypisujemy wszystkie możliwe wyniki dwóch rzutów. Za każdym razem mamy 1 albo 2, więc liczb jest cztery:
2. $11$,  $12$,  $21$,  $22$ — czyli $\textcolor{#E0453A}{4}$ możliwości.
3. Sprawdzamy podzielność przez 3 (suma cyfr): $11 \to 2$ ✗, $12 \to 3$ ✓, $21 \to 3$ ✓, $22 \to 4$ ✗.
4. Podzielne przez 3 są $\textcolor{#16A06A}{2}$ liczby: 12 i 21.
5. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{4}} = \dfrac{1}{2}$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Przy dwóch rzutach zawsze warto wypisać wszystkie wyniki — jest ich niewiele, a ryzyko pomyłki spada do zera. Uwaga: 12 i 21 to dwa różne wyniki, bo kolejność rzutów ma znaczenie.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie 12 i 21 jako tego samego wyniku (wychodzą wtedy 3 możliwości i odpowiedź $\tfrac13$). Pierwszy rzut zapisujemy jako pierwszą cyfrę — kolejność jest istotna.

Odpowiedź: F, F

1. Kostka ma ścianki $1, 2, 3, 4, 5, 6$ — wszystkich możliwości jest $\textcolor{#E0453A}{6}$.
2. Podzielne przez 2: $2, 4, 6$ — czyli $\textcolor{#16A06A}{3}$ ścianki, więc $p_2 = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \dfrac{1}{2}$.
3. Podzielne przez 3: $3, 6$ — czyli $\textcolor{#16A06A}{2}$ ścianki, więc $p_3 = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \dfrac{1}{3}$.
4. Zdanie 1: czy $\dfrac12 < \dfrac13$? Nie — fałsz.
5. Zdanie 2: obie liczby ($\tfrac12$ i $\tfrac13$) są większe od $\tfrac16$ — fałsz.
6. Odpowiedzi: F, F.

💡 Wskazówka: Im więcej liczb spełnia warunek, tym większe prawdopodobieństwo. Podzielnych przez 2 jest więcej niż przez 3, więc od razu wiadomo, że $p_2 > p_3$.

⚠ Częsty błąd w drugim zdaniu: przekonanie, że skoro kostka ma 6 ścianek, to każde prawdopodobieństwo jest rzędu $\tfrac16$. Wartość $\tfrac16$ dotyczy jednej konkretnej ścianki, a tu warunek spełnia kilka.

Odpowiedź: F, F

1. Zdanie 1 — stan początkowy. Kul jest $\textcolor{#E0453A}{20 + 10} = \textcolor{#E0453A}{30}$.
2. $P(\text{biała}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{20}}{\textcolor{#E0453A}{30}} = \dfrac{2}{3}$,   $P(\text{czarna}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{10}}{\textcolor{#E0453A}{30}} = \dfrac{1}{3}$.
3. Białych jest dwa razy więcej niż czarnych, a nie trzy razy — fałsz.
4. Zdanie 2 — po dołożeniu. Białych: $20 + 10 = \textcolor{#16A06A}{30}$. Czarnych: $10 + 15 = \textcolor{#16A06A}{25}$. Razem $\textcolor{#E0453A}{55}$.
5. $P(\text{biała}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{30}}{\textcolor{#E0453A}{55}}$,   $P(\text{czarna}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{25}}{\textcolor{#E0453A}{55}}$.
6. Mianowniki są równe, więc wystarczy porównać liczniki: $\textcolor{#16A06A}{30} > \textcolor{#16A06A}{25}$ — białych nadal jest więcej, czarna jest mniej prawdopodobna — fałsz.
7. Odpowiedzi: F, F.

💡 Wskazówka: Gdy porównujesz dwa prawdopodobieństwa w tym samym doświadczeniu, mianowniki są identyczne — wystarczy porównać same liczniki, czyli liczby kul.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: uznanie, że skoro dołożono więcej czarnych (15 kontra 10), to czarne przeważyły. Doszły, owszem, ale białych i tak zostało więcej.

Odpowiedź: P, P

1. Zdanie 1. Wygrywających jest $\textcolor{#16A06A}{2}$, przegrywających $6 - 2 = \textcolor{#16A06A}{4}$, wszystkich $\textcolor{#E0453A}{6}$.
2. $P(\text{wygrana}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \dfrac{1}{3}$,   $P(\text{przegrana}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \dfrac{2}{3}$.
3. $\dfrac13$ jest dwukrotnie mniejsze od $\dfrac23$ ✓ — prawda.
4. Zdanie 2. Po dołożeniu jednego wygrywającego: wygrywających $\textcolor{#16A06A}{3}$, wszystkich $\textcolor{#E0453A}{7}$.
5. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{7}} \approx 0{,}43$, a wcześniej było $\dfrac13 \approx 0{,}33$ — prawdopodobieństwo wzrosło ✓ — prawda.
6. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Porównując $\tfrac37$ z $\tfrac13$, sprowadź do wspólnego mianownika 21: $\tfrac{9}{21}$ kontra $\tfrac{7}{21}$ — od razu widać, że pierwsze jest większe.

⚠ Częsty błąd w drugim zdaniu: liczenie $\tfrac{3}{6}$ zamiast $\tfrac{3}{7}$ — czyli zwiększenie licznika bez zwiększenia mianownika. Dołożony los powiększa obie liczby.

Odpowiedź: P, F

1. Na początku pytań było $10 + 8 = 18$. Pierwszy uczestnik wylosował pytanie z algebry i je usunięto.
2. Zostało: algebra $\textcolor{#16A06A}{10 - 1} = \textcolor{#16A06A}{9}$, geometria nadal $\textcolor{#16A06A}{8}$, wszystkich $\textcolor{#E0453A}{18 - 1} = \textcolor{#E0453A}{17}$.
3. Zdanie 1: $P(\text{algebra}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{9}}{\textcolor{#E0453A}{17}}$ ✓ — prawda.
4. Zdanie 2: przed losowaniem $P(\text{geometria}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{8}}{18} = \dfrac{4}{9} \approx 0{,}444$.
5. Teraz $P(\text{geometria}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{8}}{\textcolor{#E0453A}{17}} \approx 0{,}471$ — liczba pytań z geometrii się nie zmieniła, ale mianownik zmalał, więc prawdopodobieństwo wzrosło — fałsz.
6. Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Usunięcie pytania z innej kategorii zawsze zwiększa szansę na naszą kategorię — licznik zostaje ten sam, a mianownik maleje.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: „liczba pytań z geometrii się nie zmieniła, więc prawdopodobieństwo też nie”. Prawdopodobieństwo to ułamek — zmiana samego mianownika wystarczy, żeby je zmienić.

Odpowiedź: P, P

1. Zamieniamy pary na sztuki: 10 par to $\textcolor{#E0453A}{20}$ skarpetek, w tym 3 pary czarnych, czyli $\textcolor{#16A06A}{6}$ czarnych skarpetek. Nieczarnych jest $20 - 6 = 14$.
2. Zdanie 1. Słowo „pewność” oznacza, że musimy założyć najgorszy możliwy przypadek.
3. Najgorzej będzie, gdy Tomek najpierw wyciągnie wszystkie 14 skarpetek nieczarnych.
4. Potem każda kolejna musi już być czarna: piętnasta to pierwsza czarna, szesnasta — druga.
5. Zatem $14 + 2 = 16$ skarpetek ✓ — prawda.
6. Zdanie 2. Na początku $P(\text{czarna}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{6}}{\textcolor{#E0453A}{20}} = 0{,}3$.
7. Po wyjęciu jednej nieczarnej: czarnych nadal $\textcolor{#16A06A}{6}$, wszystkich $\textcolor{#E0453A}{19}$, więc $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{6}}{\textcolor{#E0453A}{19}} \approx 0{,}316$ — wzrosło ✓ — prawda.
8. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Zadania o „pewności” nie mają nic wspólnego z prawdopodobieństwem — to zadania o najgorszym przypadku. Zakładaj, że pech trwa jak najdłużej.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) liczenie 10 skarpetek zamiast 20 (para to dwie sztuki); (2) w zdaniu 1 odpowiedź „15”, czyli zapomnienie, że potrzebne są dwie czarne, a nie jedna.

Odpowiedź: 4/11

1. Mianownik — ilu było wszystkich zawodników? Sumujemy słupki: $1 + 2 + 4 + 3 + 1 = \textcolor{#E0453A}{11}$.
2. Licznik — którzy zdobyli więcej niż 20 punktów? To zawodnicy z wynikiem 30 i 40 punktów.
3. Uwaga: słupek dla 20 punktów nie wchodzi, bo warunek brzmi „więcej niż 20”, a nie „co najmniej 20”.
4. $3 + 1 = \textcolor{#16A06A}{4}$ zawodników.
5. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{11}}$.
6. Odpowiedź: prawdopodobieństwo wynosi $\dfrac{4}{11}$.

💡 Wskazówka: Przy diagramach słupkowych mianownik to suma wysokości wszystkich słupków, a nie liczba słupków. Tu słupków jest 5, ale zawodników 11.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) doliczenie zawodników z dokładnie 20 punktami (wyszłoby $\tfrac{8}{11}$); (2) podzielenie przez 5 (liczbę słupków) zamiast przez 11 (liczbę zawodników).