Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Prawdopodobieństwo na egzaminie ósmoklasisty

Prawdopodobieństwo na egzaminie ósmoklasisty

Dwanaście z 19 zadań w tym dziale opiera się na jednym schemacie: policz sprzyjające, policz wszystkie, podziel. Cała reszta strony to dwa warianty, w których ten schemat trzeba zastosować dwa razy — przy dokładaniu elementów do pudełka i przy porównywaniu dwóch prawdopodobieństw. Trudność nigdy nie leży w dzieleniu, tylko w liczeniu.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 19 — 13 z egzaminu ósmoklasisty i 6 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (19) ↓

Prawdopodobieństwo klasyczne — licznik i mianownik

Definicja mieści się w jednym ułamku: liczba zdarzeń sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich możliwych.

P=liczba zdarzenˊ sprzyjającychliczba wszystkich zdarzenˊP = \frac{\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich zdarzeń}}

Warunek jej stosowania bywa pomijany, a jest istotny: wszystkie zdarzenia muszą być jednakowo prawdopodobne. W zadaniach egzaminacyjnych to zawsze prawda — losowanie jest opisane jako całkowicie przypadkowe.

Z definicji wynikają dwie granice. Prawdopodobieństwo nigdy nie jest ujemne i nigdy nie przekracza 1, bo sprzyjających nie może być więcej niż wszystkich. Wynik spoza przedziału od zera do jedynki to na pewno błąd.

Odpowiedź warto podawać w postaci, w jakiej występuje w wariantach odpowiedzi — czasem to ułamek, czasem procent. Sam wynik jest ten sam.

Jak policzyć zdarzenia sprzyjające bez pomyłki

Tu przewraca się najwięcej zadań. Mianownik zwykle jest podany wprost („w pudełku jest 20 kul”), a licznik trzeba wypracować.

Najbezpieczniejsza metoda to wypisanie. Przy losowaniu liczby od 1 do 20 podzielnej przez 3 wypisuje się je: 3,6,9,12,15,183, 6, 9, 12, 15, 18 — jest ich sześć. Liczenie w pamięci daje tu pomyłki o jeden.

Uwaga na słowa graniczne w treści. „Co najmniej dwa” obejmuje także trzy i cztery. „Więcej niż dwa” już nie obejmuje dwóch. Jedno słowo zmienia licznik.

Przy zdarzeniach opisanych przez zaprzeczenie („kula nie jest biała”) szybciej policzyć zdarzenia przeciwne i odjąć je od całości niż wyliczać każdy pozostały kolor osobno.

Losowanie bez zwracania

Gdy losujemy dwa razy i pierwszego elementu nie wkładamy z powrotem, przy drugim losowaniu oba składniki ułamka się zmieniają.

Mianownik maleje o jeden, bo w pudełku został o jeden element mniej. Licznik maleje o jeden tylko wtedy, gdy wylosowany element był tym sprzyjającym — i to trzeba za każdym razem rozstrzygnąć.

Typowa treść: „z pudełka z 5 czerwonymi i 3 niebieskimi wylosowano czerwoną kulę i jej nie zwrócono”. Przy drugim losowaniu czerwonych jest już 4, a wszystkich 7.

Zapisanie stanu pudełka po pierwszym losowaniu, zanim policzy się drugie prawdopodobieństwo, eliminuje ten błąd całkowicie.

Co się dzieje, gdy dokładamy elementy do pudełka

Cztery zadania na tej stronie mają ten motyw i są zauważalnie trudniejsze od pozostałych. Dokładanie zmienia mianownik zawsze, a licznik — tylko czasem.

Dołożenie kul w kolorze sprzyjającym zwiększa oba składniki ułamka, więc prawdopodobieństwo rośnie. Dołożenie kul w kolorze niesprzyjającym zwiększa tylko mianownik, więc prawdopodobieństwo maleje.

Wariant trudniejszy odwraca pytanie: „ile kul dołożyć, żeby prawdopodobieństwo wyniosło 12\tfrac{1}{2}”. Wtedy zapisuje się równanie z niewiadomą w liczniku i mianowniku — technicznie to już zadanie tekstowe z równaniem.

Kontrola kierunku przed rachunkiem oszczędza sporo czasu. Jeśli dokładamy elementy sprzyjające, a wynik wyszedł mniejszy niż początkowy, gdzieś jest błąd.

Porównywanie dwóch prawdopodobieństw

Cztery zadania nie pytają o wartość, tylko o to, które prawdopodobieństwo jest większe. Liczenie obu do końca bywa niepotrzebne.

Gdy mianowniki są równe, wystarczy porównać liczniki. Gdy równe są liczniki, wygrywa ułamek o mniejszym mianowniku — mniej możliwości przy tej samej liczbie sprzyjających to większa szansa.

W pozostałych przypadkach sprowadza się ułamki do wspólnego mianownika albo zamienia na postać dziesiętną. To zwykłe porównywanie ułamków, tylko w kontekście losowania.

Zadania w formacie prawda/fałsz często dają się rozstrzygnąć samym rozumowaniem, bez liczenia: „więcej kul czerwonych niż niebieskich” przesądza, że czerwona jest bardziej prawdopodobna.

Prawdopodobieństwo a podzielność liczb

Odrębny typ: losujemy liczbę z pewnego zakresu i pytamy o prawdopodobieństwo, że jest podzielna przez trzy, parzysta albo pierwsza. Cała trudność leży w policzeniu licznika.

Liczb podzielnych przez 3 w zakresie od 1 do nn jest tyle, ile wynosi część całkowita ilorazu n:3n : 3. Dla n=20n = 20 daje to sześć — i wypisanie ich potwierdza rachunek.

Przy liczbach pierwszych wypisanie jest jedyną pewną drogą, bo wzoru nie ma. W zakresie do 20 jest ich osiem: 2,3,5,7,11,13,17,192, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Jedynka nie jest liczbą pierwszą.

Ten typ zadań łączy dwa działy — warto mieć opanowane cechy podzielności, bo bez nich licznik liczy się wolno i niepewnie.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku: schemat podstawowy, dokładanie kul, losowanie bez zwracania i porównanie dwóch prawdopodobieństw.

Przykład 1 Schemat podstawowy

W pudełku jest 5 kul czerwonych, 3 niebieskie i 2 zielone. Losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej?

  1. Liczę wszystkie możliwości: 5+3+2=105 + 3 + 2 = 10 kul.
  2. Liczę sprzyjające: kul czerwonych jest 5.
  3. Podstawiam: P=510=12P = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}.
  4. Kontrola zakresu: wynik mieści się między 0 a 1 ✓
  5. Kontrola sensowności: czerwonych jest tyle samo, co wszystkich pozostałych razem, więc szansa musi wynosić dokładnie połowę ✓

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi 12\dfrac{1}{2}, czyli 50 %50\,\%.

Przykład 2 Dokładanie kul do pudełka

W pudełku jest 4 kule białe i 6 czarnych. Ile kul białych trzeba dołożyć, aby prawdopodobieństwo wylosowania białej wyniosło 12\tfrac{1}{2}?

  1. Oznaczam przez xx liczbę dokładanych kul białych.
  2. Po dołożeniu białych jest 4+x4 + x, a wszystkich kul 10+x10 + x — mianownik też rośnie.
  3. Zapisuję równanie: 4+x10+x=12\dfrac{4+x}{10+x} = \dfrac{1}{2}.
  4. Mnożę na krzyż: 2(4+x)=10+x2(4+x) = 10+x, czyli 8+2x=10+x8 + 2x = 10 + x, stąd x=2x = 2.
  5. Sprawdzenie: białych będzie 6, wszystkich 12, a 612=12\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2} ✓
  6. Kontrola kierunku: dokładaliśmy kule sprzyjające, więc prawdopodobieństwo wzrosło z 410\tfrac{4}{10} do 12\tfrac{1}{2} ✓

Odpowiedź: Trzeba dołożyć 2 kule białe.

Przykład 3 Losowanie bez zwracania

W pudełku jest 5 kul czerwonych i 3 niebieskie. Wylosowano czerwoną kulę i jej nie zwrócono. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga losowana kula też będzie czerwona?

  1. Zapisuję stan pudełka po pierwszym losowaniu.
  2. Czerwonych zostało 5−1=45 - 1 = 4, bo wylosowana była czerwona.
  3. Wszystkich kul zostało 8−1=78 - 1 = 7.
  4. Prawdopodobieństwo: P=47P = \dfrac{4}{7}.
  5. Kontrola: przed pierwszym losowaniem było 58\tfrac{5}{8}, teraz jest 47\tfrac{4}{7} — mniej, bo ubyło kul sprzyjających ✓

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi 47\dfrac{4}{7}.

Przykład 4 Które prawdopodobieństwo większe

W pudełku A jest 3 kule zielone wśród 10 kul, w pudełku B — 4 zielone wśród 15. Z którego pudełka łatwiej wylosować kulę zieloną?

  1. Zapisuję oba prawdopodobieństwa: PA=310P_A = \dfrac{3}{10}, PB=415P_B = \dfrac{4}{15}.
  2. Ani liczniki, ani mianowniki nie są równe, więc sprowadzam do wspólnego mianownika 30.
  3. PA=930P_A = \dfrac{9}{30}, PB=830P_B = \dfrac{8}{30}.
  4. Większy jest PAP_A, bo 9>89 > 8.
  5. Kontrola postacią dziesiętną: 0,3 wobec około 0,27 ✓

Odpowiedź: Łatwiej wylosować zieloną kulę z pudełka A.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy tego działu. Trzy pierwsze dotyczą liczenia, a nie rachunku — i to jest reguła w prawdopodobieństwie.

Zły mianownik przy dokładaniu elementów

Skąd się bierze: Uczeń zwiększa liczbę kul sprzyjających, ale zapomina, że łączna liczba kul też wzrosła. Powstaje ułamek, w którym licznik odpowiada nowemu stanowi, a mianownik staremu, więc wynik bywa zawyżony.

Jak zrobić dobrze: Zapisz stan pudełka po zmianie jako osobny krok — ile jest kul sprzyjających i ile wszystkich. Dopiero z tych dwóch liczb buduj ułamek.

Pominięcie zmiany przy losowaniu bez zwracania

Skąd się bierze: Drugie losowanie liczy się tak samo jak pierwsze, choć w pudełku jest o jeden element mniej. Błąd jest tym trudniejszy do zauważenia, że wynik nadal wygląda sensownie.

Jak zrobić dobrze: Zanim policzysz drugie prawdopodobieństwo, wypisz nowy skład pudełka. Mianownik maleje zawsze, a licznik tylko wtedy, gdy usunięty element był sprzyjający.

Błędne liczenie zdarzeń sprzyjających

Skąd się bierze: Liczenie w pamięci, ile liczb w danym zakresie spełnia warunek, kończy się pomyłką o jeden. Sam ułamek jest wtedy zbudowany poprawnie, a odpowiedź zła.

Jak zrobić dobrze: Wypisz te liczby zamiast je zliczać z głowy. Zwróć też uwagę na sformułowanie: „co najmniej dwa” obejmuje dwójkę, a „więcej niż dwa” już nie.

Wynik większy od jedynki

Skąd się bierze: Zwykle bierze się z odwrócenia ułamka albo z podzielenia liczby wszystkich zdarzeń przez sprzyjające. Taki wynik jest niemożliwy, bo sprzyjających nigdy nie ma więcej niż wszystkich.

Jak zrobić dobrze: Sprawdzaj zakres odruchowo — prawdopodobieństwo mieści się zawsze między zerem a jedynką. Wartość spoza tego przedziału oznacza, że ułamek jest odwrócony.

Zadania z arkuszy CKE — prawdopodobieństwo

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 6 zadań z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor rozbija wzór P=sprzyjającewszystkieP = \frac{\text{sprzyjające}}{\text{wszystkie}} na dwie części: zielona to licznik (ile jest zdarzeń, o które nam chodzi), a czerwona to mianownik (ile jest wszystkich możliwości). Warto śledzić zwłaszcza czerwoną — gdy coś już wylosowano i nie wraca do pudełka, mianownik też się zmienia, a to najczęstsze źródło błędów w tym dziale.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Dostaniesz wszystkie 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. To komplet zadań zamkniętych z tego działu, więc kolejne podejście będzie powtórką tych samych zadań.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

W pudełku jest 18 kart jednakowej wielkości, na każdej narysowano jedną figurę:
• pięć kart z trójkątem równobocznym o boku 6 cm,
• cztery karty z kwadratem o boku 7 cm,
• dziewięć kart z pięciokątem foremnym o boku 2 cm.
Z pudełka wylosowano jedną kartę. Uzupełnij zdania.
Trzy rodzaje kart: z trójkątem o boku 6 cm, z kwadratem o boku 7 cm i z pięciokątem o boku 2 cm6 cm7 cm2 cm5 kart4 karty9 kart
Prawdopodobieństwo, że wylosowano kartę z narysowanym kwadratem, jest równe AB.
  • A. 118\dfrac{1}{18}
  • B. 29\dfrac{2}{9}
Prawdopodobieństwo, że wylosowano kartę z figurą o obwodzie mniejszym od 18 cm, jest równe CD.
  • C. 12\dfrac{1}{2}
  • D. 79\dfrac{7}{9}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

  1. Pierwsze zdanie. Kart z kwadratem jest 4\textcolor{#16A06A}{4}, a wszystkich kart 18\textcolor{#E0453A}{18}.
  2. P=418=29P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{18}} = \dfrac{2}{9} — odpowiedź B.
  3. Drugie zdanie. Najpierw liczymy obwód każdej figury (wszystkie są foremne, więc obwód to bok razy liczba boków):
  4. trójkąt: 3⋅6=183 \cdot 6 = 18 cm  ·  kwadrat: 4⋅7=284 \cdot 7 = 28 cm  ·  pięciokąt: 5⋅2=105 \cdot 2 = 10 cm.
  5. Warunek „mniejszy od 18 cm” spełnia tylko pięciokąt (10 cm). Trójkąt ma dokładnie 18 cm, więc nie wchodzi.
  6. Kart z pięciokątem jest 9\textcolor{#16A06A}{9}, zatem P=918=12P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{9}}{\textcolor{#E0453A}{18}} = \dfrac{1}{2} — odpowiedź C.
  7. Razem: B, C.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że pytanie o obwód wymaga policzenia trzech obwodów — to zadanie z geometrii ukryte w zadaniu z prawdopodobieństwa.

⚠ Najczęstszy błąd: zaliczenie trójkąta, którego obwód wynosi dokładnie 18 cm. Nierówność jest ostra, więc 18<1818 < 18 nie zachodzi. Doliczenie go dałoby 1418=79\tfrac{14}{18} = \tfrac79 — stąd kusząca odpowiedź D.

Zadanie 2 (maj 2025)1 pktśrednie

Na loterię przygotowano 72 losy i ponumerowano je kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 72. Wygrywają losy o numerach od 1 do 9 oraz od 46 do 72. Pozostałe losy są puste. Ada jako pierwsza wyciąga jeden los. Dokończ zdanie.
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia przez Adę losu pustego jest równe
  • A. 2672\dfrac{26}{72}
  • B. 2772\dfrac{27}{72}
  • C. 3572\dfrac{35}{72}
  • D. 3672\dfrac{36}{72}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Liczymy losy wygrywające w dwóch grupach.
  2. Numery od 1 do 9 — to po prostu 9 losów.
  3. Numery od 46 do 72 — tu nie wolno odejmować „na skróty”. Liczba liczb od aa do bb włącznie to b−a+1b - a + 1, czyli 72−46+1=2772 - 46 + 1 = 27 losów.
  4. Wygrywających jest razem 9+27=369 + 27 = 36.
  5. Pustych jest więc 72−36=36\textcolor{#16A06A}{72 - 36} = \textcolor{#16A06A}{36}, a wszystkich losów 72\textcolor{#E0453A}{72}.
  6. P=3672P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{36}}{\textcolor{#E0453A}{72}} — odpowiedź D. (Można też skrócić do 12\tfrac12, ale w odpowiedziach podano postać nieskróconą.)

💡 Wskazówka: Wzór na liczbę kolejnych liczb: b−a+1b - a + 1. Sprawdź go na czymś oczywistym: od 1 do 9 mamy 9−1+1=99 - 1 + 1 = 9 ✓.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie 72−46=2672 - 46 = 26 zamiast 27 (zapomniana jedynka). Wtedy pustych wyszłoby 37, a przy dalszej pomyłce — kusząca odpowiedź A lub B.

Zadanie 3 (grudzień 2024)1 pktłatwe

W pudełku znajdują się kule różniące się tylko kolorem: białe, czerwone i niebieskie. Kul białych jest pięć, kul czerwonych jest trzy razy więcej niż białych, a kul niebieskich jest o pięć mniej niż czerwonych. Z pudełka losujemy jedną kulę. Dokończ zdanie.
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe
  • A. 12\dfrac{1}{2}
  • B. 13\dfrac{1}{3}
  • C. 15\dfrac{1}{5}
  • D. 16\dfrac{1}{6}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Rozpisujemy liczby kul po kolei, dokładnie tak, jak podaje treść.
  2. Białe: 5\textcolor{#16A06A}{5}.
  3. Czerwone: trzy razy więcej niż białych, czyli 3⋅5=153 \cdot 5 = 15.
  4. Niebieskie: o pięć mniej niż czerwonych (nie niż białych!), czyli 15−5=1015 - 5 = 10.
  5. Wszystkich kul: 5+15+10=30\textcolor{#E0453A}{5 + 15 + 10} = \textcolor{#E0453A}{30}.
  6. P=530=16P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{5}}{\textcolor{#E0453A}{30}} = \dfrac{1}{6} — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Rozpisz liczby kul w słupku, zanim policzysz prawdopodobieństwo. Mianownik to suma wszystkich, więc łatwo o pomyłkę, gdy jednej grupy się nie doliczy.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie niebieskich jako „o pięć mniej niż białych” (czyli 0) albo podzielenie 5 przez 15 zamiast przez 30. Zawsze sprawdź, do czego odnosi się porównanie.

Zadanie 4 (maj 2024)1 pktśrednie

Karolina kupiła pudełko balonów. W tabeli podano ich kolory i liczby:
Kolor balonuczerwonyniebieskizielonyżółty
Liczba balonów10868
Karolina wyjmowała losowo po jednym balonie. Pierwsze dwa wyjęte balony były czerwone. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzeci wyjęty balon będzie czerwony?
  • A. 13\dfrac{1}{3}
  • B. 516\dfrac{5}{16}
  • C. 415\dfrac{4}{15}
  • D. 14\dfrac{1}{4}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Na początku balonów było 10+8+6+8=3210 + 8 + 6 + 8 = 32, w tym 10 czerwonych.
  2. Ale Karolina wyjęła już dwa czerwone i ich nie zwróciła — zmieniły się więc obie liczby.
  3. Czerwonych zostało: 10−2=8\textcolor{#16A06A}{10 - 2} = \textcolor{#16A06A}{8}.
  4. Wszystkich balonów zostało: 32−2=30\textcolor{#E0453A}{32 - 2} = \textcolor{#E0453A}{30}.
  5. P=830=415P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{8}}{\textcolor{#E0453A}{30}} = \dfrac{4}{15} — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Przy losowaniu bez zwracania za każdym razem zmniejsz o 1 mianownik, a licznik tylko wtedy, gdy wyjęty przedmiot należał do interesującej nas grupy.

⚠ Najczęstszy błąd: zmniejszenie tylko licznika (832=14\tfrac{8}{32} = \tfrac14 — kusząca odpowiedź D) albo tylko mianownika (1030=13\tfrac{10}{30} = \tfrac13 — odpowiedź A). Trzeba zmienić oba.

Zadanie 5 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Spośród wszystkich liczb dwucyfrowych dodatnich losujemy jedną liczbę. Dokończ zdanie.
Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 20 jest równe
  • A. 245\dfrac{2}{45}
  • B. 125\dfrac{1}{25}
  • C. 12\dfrac{1}{2}
  • D. 499\dfrac{4}{99}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Mianownik — ile jest liczb dwucyfrowych? Od 10 do 99, czyli 99−10+1=90\textcolor{#E0453A}{99 - 10 + 1} = \textcolor{#E0453A}{90} liczb.
  2. Licznik — dwucyfrowe wielokrotności 20: 20, 40, 60, 80. To 4\textcolor{#16A06A}{4} liczby (setka jest już trzycyfrowa).
  3. P=490=245P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{90}} = \dfrac{2}{45} — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj: liczb dwucyfrowych jest 90, trzycyfrowych 900, czterocyfrowych 9000. Ta liczba wraca w wielu zadaniach.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie 99 liczb dwucyfrowych (czyli liczenie od 1) — stąd kusząca odpowiedź D. Liczby jednocyfrowe od 1 do 9 nie są dwucyfrowe, więc odpadają.

Zadanie 6 (maj 2023)1 pktłatwe

Z urny, w której jest wyłącznie 18 kul białych i 12 kul czarnych, losujemy 1 kulę. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe 35\dfrac{3}{5}.PF
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest mniejsze od 13\dfrac{1}{3}.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

  1. Wszystkich kul: 18+12=30\textcolor{#E0453A}{18 + 12} = \textcolor{#E0453A}{30}.
  2. Zdanie 1: P(biała)=1830=35P(\text{biała}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{18}}{\textcolor{#E0453A}{30}} = \dfrac{3}{5} ✓ — prawda.
  3. Zdanie 2: P(czarna)=1230=25P(\text{czarna}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{12}}{\textcolor{#E0453A}{30}} = \dfrac{2}{5}.
  4. Porównujemy 25\dfrac{2}{5} z 13\dfrac{1}{3} — wspólny mianownik 15: 615\dfrac{6}{15} kontra 515\dfrac{5}{15}.
  5. Zatem 25>13\dfrac{2}{5} > \dfrac{1}{3}, a nie mniejsze — fałsz.
  6. Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Kontrola: prawdopodobieństwa obu kolorów muszą sumować się do 1. Tu 35+25=1\tfrac35 + \tfrac25 = 1 ✓ — to znaczy, że oba są policzone poprawnie.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: porównanie „na oko” (0,4 kontra 0,33) bez sprowadzenia do wspólnego mianownika i pomyłka w kierunku nierówności.

Zadanie 7 (maj 2022)1 pkttrudniejsze

W pudełku było wyłącznie 6 kulek zielonych i 8 kulek niebieskich. Po dołożeniu do tego pudełka pewnej liczby kulek zielonych prawdopodobieństwo wylosowania kulki niebieskiej jest równe 14\dfrac{1}{4}. Ile kulek zielonych dołożono do pudełka?
  • A. 10
  • B. 16
  • C. 18
  • D. 24
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Kluczowa obserwacja: dokładamy tylko zielone, więc liczba niebieskich się nie zmienia — nadal jest ich 8\textcolor{#16A06A}{8}.
  2. Zmienia się natomiast liczba wszystkich kulek. Oznaczmy przez xx liczbę dołożonych zielonych: wszystkich jest 6+8+x=14+x\textcolor{#E0453A}{6 + 8 + x} = \textcolor{#E0453A}{14 + x}.
  3. Zapisujemy równanie: 814+x=14\dfrac{\textcolor{#16A06A}{8}}{\textcolor{#E0453A}{14 + x}} = \dfrac{1}{4}.
  4. Mnożymy na krzyż: 4⋅8=14+x4 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#E0453A}{14 + x}, czyli 32=14+x32 = 14 + x.
  5. Stąd x=18x = 18 — odpowiedź C.
  6. Sprawdzenie: po dołożeniu jest 6+18=246 + 18 = 24 zielone i 8 niebieskich, razem 32. P(niebieska)=832=14P(\text{niebieska}) = \tfrac{8}{32} = \tfrac14 ✓

💡 Wskazówka: Skoro P=14P = \tfrac14, to niebieskie stanowią jedną czwartą wszystkich kulek. Skoro jest ich 8, to wszystkich musi być 4⋅8=324 \cdot 8 = 32 — i stąd od razu 32−14=1832 - 14 = 18 dołożonych.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie końcowej liczby zielonych (24 — kusząca odpowiedź D) zamiast liczby dołożonych. Sześć zielonych było już w pudełku.

Zadanie 8 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

W pudełku znajdowały się piłeczki białe i czarne — łącznie 72. Wśród wszystkich piłeczek 14\dfrac{1}{4} stanowiły piłeczki czarne. Wyciągnięto 12 piłeczek, wśród których żadna nie była czarna. Bartek — jako trzynasty — losuje jedną piłeczkę. Dokończ zdanie.
Prawdopodobieństwo wylosowania przez Bartka piłeczki czarnej wynosi
  • A. 14\dfrac{1}{4}
  • B. 13\dfrac{1}{3}
  • C. 310\dfrac{3}{10}
  • D. 37\dfrac{3}{7}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Najpierw ile było czarnych: 14\dfrac{1}{4} z 72, czyli 72:4=1872 : 4 = 18 piłeczek.
  2. Teraz kluczowe zdanie: wyciągnięto 12 piłeczek i żadna nie była czarna.
  3. Czarnych zostało więc tyle samo: 18\textcolor{#16A06A}{18} — licznik się nie zmienia.
  4. Ale wszystkich piłeczek ubyło: 72−12=60\textcolor{#E0453A}{72 - 12} = \textcolor{#E0453A}{60} — mianownik maleje.
  5. P=1860=310P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{18}}{\textcolor{#E0453A}{60}} = \dfrac{3}{10} — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Zauważ ciekawą rzecz: wyciąganie samych białych zwiększa szansę na czarną (z 14=0,25\tfrac14 = 0{,}25 do 310=0,3\tfrac{3}{10} = 0{,}3). Im mniej białych w pudełku, tym „gęściej” od czarnych.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A — przekonanie, że skoro losujemy tę samą pulę, to prawdopodobieństwo zostaje 14\tfrac14. Skład pudełka jednak się zmienił, więc i szansa jest inna.

Zadanie 9 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

W pewnej loterii wśród 150 losów co szósty był wygrywający, a pozostałe losy były puste. Wyciągnięto 30 losów i żaden z nich nie był wygrywający. Uzupełnij zdania.
Na loterię przygotowano AB losów wygrywających.
  • A. 120
  • B. 25
Wyciągnięto jeszcze jeden los. Prawdopodobieństwo, że będzie to los wygrywający, wynosi CD.
  • C. 25120\dfrac{25}{120}
  • D. 25125\dfrac{25}{125}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

  1. Pierwsze zdanie. „Co szósty los wygrywający” znaczy, że wygrywające stanowią 16\tfrac16 wszystkich.
  2. 150:6=25150 : 6 = 25 losów wygrywających — odpowiedź B. (Liczba 120 to losy puste: 150−25150 - 25.)
  3. Drugie zdanie. Wyciągnięto 30 losów i żaden nie był wygrywający.
  4. Wygrywających zostało tyle samo: 25\textcolor{#16A06A}{25}.
  5. Wszystkich losów zostało: 150−30=120\textcolor{#E0453A}{150 - 30} = \textcolor{#E0453A}{120}.
  6. P=25120P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{25}}{\textcolor{#E0453A}{120}} — odpowiedź C. Razem: B, C.

💡 Wskazówka: „Co szósty” to zawsze 16\tfrac16 całości — podobnie „co trzeci” to 13\tfrac13, a „co dziesiąty” to 110\tfrac{1}{10}.

⚠ Dwie pułapki naraz: (1) w pierwszym zdaniu podanie liczby losów pustych (120) zamiast wygrywających; (2) w drugim — mianownik 125, jakby wyciągnięto tylko 25 losów. Wyciągnięto 30, więc zostało 120.

Zadanie 10 (marzec 2021)1 pkttrudniejsze

Na festyn przygotowano loterię, w której było 120 losów, w tym 80 wygrywających. Przed rozpoczęciem festynu dołożono jeszcze 20 losów wygrywających i 20 przegrywających. Czy prawdopodobieństwo wyciągnięcia losu wygrywającego zmieniło się po dołożeniu losów?
ATak,ponieważ1.różnica liczby losów wygrywających i przegrywających po dołożeniu losów jest taka sama jak na początku.
2.dołożono tyle samo losów wygrywających co przegrywających.
BNie,
3.zmienił się stosunek liczby losów wygrywających do liczby wszystkich losów.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, 3

  1. Liczymy prawdopodobieństwo przed dołożeniem: 80120=23≈0,67\dfrac{\textcolor{#16A06A}{80}}{\textcolor{#E0453A}{120}} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67.
  2. Po dołożeniu: wygrywających jest 80+20=10080 + 20 = \textcolor{#16A06A}{100}, a wszystkich 120+40=160120 + 40 = \textcolor{#E0453A}{160}.
  3. P=100160=58=0,625P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{100}}{\textcolor{#E0453A}{160}} = \dfrac{5}{8} = 0{,}625.
  4. Skoro 23≠58\tfrac23 \ne \tfrac58, prawdopodobieństwo się zmieniło — odpowiedź A.
  5. Powód: o prawdopodobieństwie decyduje stosunek wygrywających do wszystkich, a ten stosunek się zmienił — uzasadnienie 3.
  6. Dlaczego nie 1. ani 2.? Oba te zdania są prawdziwe (różnica 40 zostaje, dołożono po równo), ale opisują różnicę i sumę, a nie stosunek. A to stosunek decyduje o prawdopodobieństwie.

💡 Wskazówka: Dopisanie takiej samej liczby do licznika i mianownika zmienia ułamek — i zawsze przybliża go do 1. Sprawdź na prostym przykładzie: 12\tfrac12, a po dodaniu 1 do obu 23\tfrac23.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź B z uzasadnieniem 2 („dołożono po równo, więc bez zmian”). To rozumowanie działa dla różnicy, ale nie dla ułamka.

Zadanie 11 (grudzień 2018)1 pktśrednie

Do gry planszowej używane są dwa bączki. Każdy po zatrzymaniu wskazuje jedną liczbę ze swojej tarczy.
• Bączek I — pięciokąt foremny z liczbami od 1 do 5,
• Bączek II — sześciokąt foremny z liczbami od 1 do 6.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Bączek I — pięciokąt foremny z liczbami 1–5; bączek II — sześciokąt foremny z liczbami 1–612345123456bączek Ibączek II
Prawdopodobieństwo otrzymania liczby większej niż 3 na bączku z rysunku I jest większe niż 12\dfrac{1}{2}.PF
Uzyskanie nieparzystej liczby na bączku z rysunku I jest tak samo prawdopodobne, jak uzyskanie nieparzystej liczby na bączku z rysunku II.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, F

  1. Zdanie 1. Na bączku I liczby większe niż 3 to 4\textcolor{#16A06A}{4} i 5\textcolor{#16A06A}{5} — czyli 2\textcolor{#16A06A}{2} możliwości z 5\textcolor{#E0453A}{5}.
  2. P=25=0,4P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{5}} = 0{,}4, a 12=0,5\dfrac12 = 0{,}5. Zatem 0,4<0,50{,}4 < 0{,}5 — fałsz.
  3. Zdanie 2. Nieparzyste na bączku I: 1,3,51, 3, 5, czyli PI=35P_I = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{5}}.
  4. Nieparzyste na bączku II: też 1,3,51, 3, 5, ale wszystkich liczb jest sześć: PII=36=12P_{II} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \dfrac{1}{2}.
  5. 35=0,6\dfrac{3}{5} = 0{,}6, a 12=0,5\dfrac{1}{2} = 0{,}5 — prawdopodobieństwa nie są równe — fałsz.
  6. Odpowiedzi: F, F.

💡 Wskazówka: Zauważ, dlaczego wyniki się różnią: liczba nieparzystych jest w obu przypadkach ta sama (3), ale mianowniki są inne (5 i 6). To mianownik decyduje o różnicy.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: „w obu jest po trzy liczby nieparzyste, więc szansa taka sama”. Prawdopodobieństwo to ułamek — liczy się także, ile jest wszystkich możliwości.

Zadanie 12 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Rzucamy jeden raz nietypową sześcienną kostką do gry. Z jej siatki odczytujemy, że kostka ma:
• trzy ścianki z jednym oczkiem,
• dwie ścianki z dwoma oczkami,
• jedną ściankę z trzema oczkami.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Siatka kostki: trzy ścianki po jednym oczku, dwie po dwa oczka, jedna z trzema oczkami
Prawdopodobieństwo wyrzucenia nieparzystej liczby oczek jest 2 razy większe niż prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek.PF
Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek mniejszej od 3 jest równe 56\dfrac{5}{6}.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Wypiszmy wszystkie sześć ścianek: 1, 1, 1, 2, 2, 31,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3.
  2. Zdanie 1. Nieparzyste oczka to jedynki i trójka: 3+1=43 + 1 = \textcolor{#16A06A}{4} ścianki, więc P=46=23P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \dfrac{2}{3}.
  3. Parzyste to same dwójki: 2\textcolor{#16A06A}{2} ścianki, więc P=26=13P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \dfrac{1}{3}.
  4. Sprawdzamy: 23=2⋅13\dfrac{2}{3} = 2 \cdot \dfrac{1}{3} ✓ — prawda.
  5. Zdanie 2. Liczby oczek mniejsze od 3 to jedynki i dwójki: 3+2=53 + 2 = \textcolor{#16A06A}{5} ścianek.
  6. P=56P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{5}}{\textcolor{#E0453A}{6}} ✓ — prawda. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Przy nietypowej kostce wypisz wszystkie ścianki jako listę liczb (1,1,1,2,2,31, 1, 1, 2, 2, 3). Wtedy zadanie robi się tak samo proste jak z kulami w pudełku.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie rodzajów wyników (są trzy: 1, 2, 3) zamiast ścianek (jest ich sześć). Mianownik to zawsze liczba ścianek, nawet gdy niektóre się powtarzają.

Zadanie 13 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie monetą. Jeśli wypadnie orzeł, zapisujemy 1, a jeśli reszka — zapisujemy 2. Wynikiem doświadczenia jest zapisana liczba dwucyfrowa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zapisana liczba jest podzielna przez 3?
  • A. 0
  • B. 14\dfrac{1}{4}
  • C. 13\dfrac{1}{3}
  • D. 12\dfrac{1}{2}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Wypisujemy wszystkie możliwe wyniki dwóch rzutów. Za każdym razem mamy 1 albo 2, więc liczb jest cztery:
  2. 11,  12,  21,  22 — czyli 4\textcolor{#E0453A}{4} możliwości.
  3. Sprawdzamy podzielność przez 3 (suma cyfr): 11→211 \to 2 ✗, 12→312 \to 3 ✓, 21→321 \to 3 ✓, 22→422 \to 4 ✗.
  4. Podzielne przez 3 są 2\textcolor{#16A06A}{2} liczby: 12 i 21.
  5. P=24=12P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{4}} = \dfrac{1}{2} — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Przy dwóch rzutach zawsze warto wypisać wszystkie wyniki — jest ich niewiele, a ryzyko pomyłki spada do zera. Uwaga: 12 i 21 to dwa różne wyniki, bo kolejność rzutów ma znaczenie.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie 12 i 21 jako tego samego wyniku (wychodzą wtedy 3 możliwości i odpowiedź 13\tfrac13). Pierwszy rzut zapisujemy jako pierwszą cyfrę — kolejność jest istotna.

Zadanie 14 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

Rzucamy jeden raz sześcienną kostką do gry. Oznaczmy przez p2p_2 prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby podzielnej przez 2, a przez p3p_3 — prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby podzielnej przez 3. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Liczba p2p_2 jest mniejsza od liczby p3p_3.PF
Liczby p2p_2 i p3p_3 są mniejsze od 16\dfrac{1}{6}.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, F

  1. Kostka ma ścianki 1,2,3,4,5,61, 2, 3, 4, 5, 6 — wszystkich możliwości jest 6\textcolor{#E0453A}{6}.
  2. Podzielne przez 2: 2,4,62, 4, 6 — czyli 3\textcolor{#16A06A}{3} ścianki, więc p2=36=12p_2 = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \dfrac{1}{2}.
  3. Podzielne przez 3: 3,63, 6 — czyli 2\textcolor{#16A06A}{2} ścianki, więc p3=26=13p_3 = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \dfrac{1}{3}.
  4. Zdanie 1: czy 12<13\dfrac12 < \dfrac13? Nie — fałsz.
  5. Zdanie 2: obie liczby (12\tfrac12 i 13\tfrac13) są większe od 16\tfrac16 — fałsz.
  6. Odpowiedzi: F, F.

💡 Wskazówka: Im więcej liczb spełnia warunek, tym większe prawdopodobieństwo. Podzielnych przez 2 jest więcej niż przez 3, więc od razu wiadomo, że p2>p3p_2 > p_3.

⚠ Częsty błąd w drugim zdaniu: przekonanie, że skoro kostka ma 6 ścianek, to każde prawdopodobieństwo jest rzędu 16\tfrac16. Wartość 16\tfrac16 dotyczy jednej konkretnej ścianki, a tu warunek spełnia kilka.

Zadanie 15 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

W pudełku było 20 kul białych i 10 czarnych. Dołożono jeszcze 10 kul białych i 15 czarnych. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Przed dołożeniem kul prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej było trzy razy większe niż prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej.PF
Po dołożeniu kul prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest większe niż prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, F

  1. Zdanie 1 — stan początkowy. Kul jest 20+10=30\textcolor{#E0453A}{20 + 10} = \textcolor{#E0453A}{30}.
  2. P(biała)=2030=23P(\text{biała}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{20}}{\textcolor{#E0453A}{30}} = \dfrac{2}{3},   P(czarna)=1030=13P(\text{czarna}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{10}}{\textcolor{#E0453A}{30}} = \dfrac{1}{3}.
  3. Białych jest dwa razy więcej niż czarnych, a nie trzy razy — fałsz.
  4. Zdanie 2 — po dołożeniu. Białych: 20+10=3020 + 10 = \textcolor{#16A06A}{30}. Czarnych: 10+15=2510 + 15 = \textcolor{#16A06A}{25}. Razem 55\textcolor{#E0453A}{55}.
  5. P(biała)=3055P(\text{biała}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{30}}{\textcolor{#E0453A}{55}},   P(czarna)=2555P(\text{czarna}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{25}}{\textcolor{#E0453A}{55}}.
  6. Mianowniki są równe, więc wystarczy porównać liczniki: 30>25\textcolor{#16A06A}{30} > \textcolor{#16A06A}{25} — białych nadal jest więcej, czarna jest mniej prawdopodobna — fałsz.
  7. Odpowiedzi: F, F.

💡 Wskazówka: Gdy porównujesz dwa prawdopodobieństwa w tym samym doświadczeniu, mianowniki są identyczne — wystarczy porównać same liczniki, czyli liczby kul.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: uznanie, że skoro dołożono więcej czarnych (15 kontra 10), to czarne przeważyły. Doszły, owszem, ale białych i tak zostało więcej.

Zadanie 16 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

W pudełku znajduje się 6 losów, wśród których są 2 losy wygrywające. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia losu wygrywającego jest dwukrotnie mniejsze niż wyciągnięcia losu przegrywającego.PF
Jeśli do pudełka włożymy dodatkowy los wygrywający, to prawdopodobieństwo wygranej wzrośnie.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Zdanie 1. Wygrywających jest 2\textcolor{#16A06A}{2}, przegrywających 6−2=46 - 2 = \textcolor{#16A06A}{4}, wszystkich 6\textcolor{#E0453A}{6}.
  2. P(wygrana)=26=13P(\text{wygrana}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \dfrac{1}{3},   P(przegrana)=46=23P(\text{przegrana}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \dfrac{2}{3}.
  3. 13\dfrac13 jest dwukrotnie mniejsze od 23\dfrac23 ✓ — prawda.
  4. Zdanie 2. Po dołożeniu jednego wygrywającego: wygrywających 3\textcolor{#16A06A}{3}, wszystkich 7\textcolor{#E0453A}{7}.
  5. P=37≈0,43P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{7}} \approx 0{,}43, a wcześniej było 13≈0,33\dfrac13 \approx 0{,}33 — prawdopodobieństwo wzrosło ✓ — prawda.
  6. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Porównując 37\tfrac37 z 13\tfrac13, sprowadź do wspólnego mianownika 21: 921\tfrac{9}{21} kontra 721\tfrac{7}{21} — od razu widać, że pierwsze jest większe.

⚠ Częsty błąd w drugim zdaniu: liczenie 36\tfrac{3}{6} zamiast 37\tfrac{3}{7} — czyli zwiększenie licznika bez zwiększenia mianownika. Dołożony los powiększa obie liczby.

Zadanie 17 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Organizatorzy konkursu matematycznego przygotowali zestaw, w którym było 10 pytań z algebry i 8 pytań z geometrii. Uczestnicy losowali kolejno po jednym pytaniu, które po wylosowaniu było usuwane z zestawu. Pierwszy uczestnik wylosował pytanie z algebry. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia przez drugą osobę pytania z algebry jest równe 917\dfrac{9}{17}.PF
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia przez drugą osobę pytania z geometrii się nie zmieniło.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

  1. Na początku pytań było 10+8=1810 + 8 = 18. Pierwszy uczestnik wylosował pytanie z algebry i je usunięto.
  2. Zostało: algebra 10−1=9\textcolor{#16A06A}{10 - 1} = \textcolor{#16A06A}{9}, geometria nadal 8\textcolor{#16A06A}{8}, wszystkich 18−1=17\textcolor{#E0453A}{18 - 1} = \textcolor{#E0453A}{17}.
  3. Zdanie 1: P(algebra)=917P(\text{algebra}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{9}}{\textcolor{#E0453A}{17}} ✓ — prawda.
  4. Zdanie 2: przed losowaniem P(geometria)=818=49≈0,444P(\text{geometria}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{8}}{18} = \dfrac{4}{9} \approx 0{,}444.
  5. Teraz P(geometria)=817≈0,471P(\text{geometria}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{8}}{\textcolor{#E0453A}{17}} \approx 0{,}471 — liczba pytań z geometrii się nie zmieniła, ale mianownik zmalał, więc prawdopodobieństwo wzrosło — fałsz.
  6. Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Usunięcie pytania z innej kategorii zawsze zwiększa szansę na naszą kategorię — licznik zostaje ten sam, a mianownik maleje.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: „liczba pytań z geometrii się nie zmieniła, więc prawdopodobieństwo też nie”. Prawdopodobieństwo to ułamek — zmiana samego mianownika wystarczy, żeby je zmienić.

Zadanie 18 (materiały CKE)1 pkttrudniejsze

W szufladzie znajduje się 10 par skarpetek, w tym 3 pary skarpetek czarnych. Tomek losowo wyjmuje po jednej skarpetce z szuflady. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Tomek, aby mieć pewność, że przynajmniej dwie skarpetki będą czarne, musi wyjąć co najmniej 16 skarpetek.PF
Tomek za pierwszym razem nie wyjął czarnej skarpetki. Prawdopodobieństwo, że za drugim razem wyjmie czarną skarpetkę, wzrosło.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Zamieniamy pary na sztuki: 10 par to 20\textcolor{#E0453A}{20} skarpetek, w tym 3 pary czarnych, czyli 6\textcolor{#16A06A}{6} czarnych skarpetek. Nieczarnych jest 20−6=1420 - 6 = 14.
  2. Zdanie 1. Słowo „pewność” oznacza, że musimy założyć najgorszy możliwy przypadek.
  3. Najgorzej będzie, gdy Tomek najpierw wyciągnie wszystkie 14 skarpetek nieczarnych.
  4. Potem każda kolejna musi już być czarna: piętnasta to pierwsza czarna, szesnasta — druga.
  5. Zatem 14+2=1614 + 2 = 16 skarpetek ✓ — prawda.
  6. Zdanie 2. Na początku P(czarna)=620=0,3P(\text{czarna}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{6}}{\textcolor{#E0453A}{20}} = 0{,}3.
  7. Po wyjęciu jednej nieczarnej: czarnych nadal 6\textcolor{#16A06A}{6}, wszystkich 19\textcolor{#E0453A}{19}, więc P=619≈0,316P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{6}}{\textcolor{#E0453A}{19}} \approx 0{,}316 — wzrosło ✓ — prawda.
  8. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Zadania o „pewności” nie mają nic wspólnego z prawdopodobieństwem — to zadania o najgorszym przypadku. Zakładaj, że pech trwa jak najdłużej.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) liczenie 10 skarpetek zamiast 20 (para to dwie sztuki); (2) w zdaniu 1 odpowiedź „15”, czyli zapomnienie, że potrzebne są dwie czarne, a nie jedna.

Zadania otwarte

Zadanie 19 (czerwiec 2024)2 pktśrednie

Na diagramie przedstawiono rozkład liczby punktów zdobytych przez zawodników w grze Kulki. Z diagramu odczytujemy:
Rozkład punktów w grze Kulki0123456010203040 liczba zawodników liczba punktów
Dane z rysunku — wersja tekstowa
Liczba punktów010203040
Liczba zawodników12431
Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany zawodnik zdobył w tej grze więcej niż 20 punktów. Zapisz obliczenia.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 4/11

  1. Mianownik — ilu było wszystkich zawodników? Sumujemy słupki: 1+2+4+3+1=111 + 2 + 4 + 3 + 1 = \textcolor{#E0453A}{11}.
  2. Licznik — którzy zdobyli więcej niż 20 punktów? To zawodnicy z wynikiem 30 i 40 punktów.
  3. Uwaga: słupek dla 20 punktów nie wchodzi, bo warunek brzmi „więcej niż 20”, a nie „co najmniej 20”.
  4. 3+1=43 + 1 = \textcolor{#16A06A}{4} zawodników.
  5. P=411P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{11}}.
  6. Odpowiedź: prawdopodobieństwo wynosi 411\dfrac{4}{11}.

💡 Wskazówka: Przy diagramach słupkowych mianownik to suma wysokości wszystkich słupków, a nie liczba słupków. Tu słupków jest 5, ale zawodników 11.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) doliczenie zawodników z dokładnie 20 punktami (wyszłoby 811\tfrac{8}{11}); (2) podzielenie przez 5 (liczbę słupków) zamiast przez 11 (liczbę zawodników).

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B, C2. D3. D4. C5. A6. P, F
7. C8. C9. B, C10. A, 311. F, F12. P, P
13. D14. F, F15. F, F16. P, P17. P, F18. P, P
19. 4/11

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Jak obliczyć prawdopodobieństwo krok po kroku?

Policz najpierw, ile jest wszystkich możliwych wyników, potem ile z nich spełnia warunek zadania, i podziel drugą liczbę przez pierwszą. Wynik zawsze mieści się między zerem a jedynką — wartość spoza tego przedziału oznacza, że ułamek został odwrócony.

Co to są zdarzenia sprzyjające?

To te wyniki losowania, które spełniają warunek podany w zadaniu — na przykład wylosowanie kuli czerwonej albo liczby podzielnej przez trzy. Trafiają do licznika ułamka. Przy warunkach opisanych przez zaprzeczenie szybciej policzyć przypadki przeciwne i odjąć je od liczby wszystkich.

Jak zmienia się prawdopodobieństwo po dołożeniu kul?

Łączna liczba kul rośnie zawsze, więc mianownik rośnie w każdym przypadku. Licznik rośnie tylko wtedy, gdy dokładane kule są tego koloru, o który pyta zadanie. Dołożenie kul sprzyjających zwiększa prawdopodobieństwo, dołożenie pozostałych — zmniejsza.

Czy prawdopodobieństwo może być większe od jedynki?

Nie. Zdarzeń sprzyjających nigdy nie ma więcej niż wszystkich możliwych, więc ułamek nie przekroczy jedynki. Jedynka oznacza zdarzenie pewne, zero — niemożliwe. Wynik poza tym przedziałem to zawsze sygnał błędu.

Jak porównać dwa prawdopodobieństwa bez liczenia?

Gdy mianowniki są takie same, wystarczy porównać liczniki. Gdy takie same są liczniki, większe prawdopodobieństwo ma ułamek o mniejszym mianowniku — mniej możliwości przy tej samej liczbie sprzyjających to większa szansa. W pozostałych przypadkach sprowadź ułamki do wspólnego mianownika.

Co zmienia losowanie bez zwracania?

Przy drugim losowaniu w pudełku jest o jeden element mniej, więc mianownik maleje. Licznik maleje tylko wtedy, gdy za pierwszym razem wylosowano element sprzyjający. Najbezpieczniej wypisać skład pudełka po pierwszym losowaniu, zanim policzy się drugie prawdopodobieństwo.

Czytaj dalej

Działania na ułamkach na egzaminieSkracanie i porównywanie ułamków — narzędzie do porównywania szansCechy podzielności na egzaminieSzybkie liczenie, ile liczb w zakresie spełnia warunekOdczytywanie danych na egzaminieGdy skład zbioru trzeba najpierw wyczytać z tabeli lub diagramuEgzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.