Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Oś liczbowa na egzaminie ósmoklasisty

Oś liczbowa na egzaminie ósmoklasisty

Zadań jest siedem i dzielą się na dwie grupy. W dwóch trzeba najpierw wyliczyć, ile wynosi jedna działka — bo w żadnym z nich nie jest to podane wprost, a wcale nie musi być jedynką (w tych zadaniach wychodzi 2 i 8). W pozostałych pięciu oś służy do czegoś innego: do porównania ułamków i liczb ujemnych, do policzenia odległości między liczbami oraz do umieszczenia pierwiastka między dwiema liczbami całkowitymi. Ta strona przechodzi po kolei wszystkie te sytuacje, zaczynając od skali, bo tam ginie najwięcej punktów.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 7 — 3 z egzaminu ósmoklasisty i 4 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

Jak ustalić wartość jednej działki

To jest krok zerowy każdego zadania z osią i pomijanie go kosztuje najwięcej. Metoda opiera się na dwóch punktach, których wartości są na osi opisane.

  1. odejmij mniejszą wartość od większej — dostajesz odległość liczbową między nimi,
  2. policz działki między tymi punktami,
  3. podziel odległość przez liczbę działek.

Przykład: między opisanymi punktami 0 i 2 jest osiem działek. Jedna działka to 2:8=0,252 : 8 = 0{,}25. Założenie, że działka to jeden, dałoby odczyty czterokrotnie zawyżone.

Krok drugi bywa źródłem pomyłki o jeden. Liczy się odstępy między kreskami, a nie same kreski — między pięcioma kreskami są cztery działki.

Wartość działki warto zapisać obok rysunku, zanim zacznie się cokolwiek odczytywać. To jedna liczba, z której wynikają wszystkie odpowiedzi.

Odczytywanie liczby wskazanej na osi

Mając wartość działki, odczyt jest prostym mnożeniem. Od najbliższego opisanego punktu liczy się działki do szukanego i mnoży ich liczbę przez wartość jednej.

Kierunek ma znaczenie: idąc w prawo dodajemy, idąc w lewo odejmujemy. Dlatego warto startować od punktu opisanego położonego jak najbliżej.

Kontrola sensowności jest natychmiastowa. Odczytana liczba musi leżeć między wartościami sąsiednich opisanych punktów. Jeśli wypadła poza nimi, coś poszło źle.

Gdy na osi pojawiają się ułamki, wygodniej trzymać się ułamków zwykłych niż dziesiętnych. W tych zadaniach wracają szóstki i trzecie części — −26-\tfrac{2}{6}, −16-\tfrac{1}{6}, 1−561 - \tfrac{5}{6} — a 13\tfrac{1}{3} nie ma skończonego rozwinięcia dziesiętnego, więc porównywanie „po przecinku” zawsze będzie przybliżone. Wspólny mianownik rozstrzyga bez zaokrągleń.

Liczby ujemne na osi — kierunek ma znaczenie

Po lewej stronie zera intuicja przestaje działać i to tam koncentrują się błędy. Reguła jest jedna: im dalej w lewo, tym mniejsza liczba.

Stąd wynika własność, która wygląda jak paradoks: -7 jest mniejsze od -3, choć siódemka jest większa od trójki. Na osi punkt -7 leży dalej od zera w lewo, więc jest mniejszy.

Praktyczna wskazówka: przy porównywaniu liczb ujemnych porównaj ich odległości od zera i odwróć wynik. Większa odległość od zera to mniejsza liczba ujemna.

Zero jest granicą — każda liczba ujemna jest mniejsza od każdej dodatniej i od samego zera, niezależnie od tego, jak wygląda.

Odległość między dwiema liczbami

Odległość na osi to zawsze wielkość nieujemna — nie ma czegoś takiego jak ujemna odległość. Liczy się ją jako różnicę większej i mniejszej liczby.

Gdy obie liczby są dodatnie, to zwykłe odejmowanie. Gdy jedna jest ujemna, odległości dodają się: od -3 do 2 jest trzy jednostki do zera plus dwie od zera, razem pięć.

Zapis rachunkowy daje to samo: 2−(−3)=2+3=52 - (-3) = 2 + 3 = 5. Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie dodatniej — i to jest miejsce, gdzie ten dział spotyka się z działaniami na ułamkach i liczbami ujemnymi.

Kontrola: policz działki między punktami na rysunku i pomnóż przez wartość działki. Zgodność z rachunkiem przesądza sprawę.

Gdzie leży ułamek między liczbami całkowitymi

Zadanie typu „zaznacz na osi 74\tfrac{7}{4}” rozwiązuje się w dwóch krokach: najpierw ustala się, między którymi liczbami całkowitymi leży ułamek, potem — w którym miejscu tego odcinka.

Ułamek niewłaściwy warto zamienić na liczbę mieszaną. 74=134\tfrac{7}{4} = 1\tfrac{3}{4}, więc szukany punkt leży między 1 a 2, i to bliżej dwójki.

Mianownik mówi, na ile części dzieli się odcinek jednostkowy, a licznik — którą z nich zaznaczamy. Przy 34\tfrac{3}{4} odcinek od 1 do 2 dzieli się na cztery części i bierze trzecią kreskę.

Przy ułamkach ujemnych działa ta sama zasada, tylko w lewo od zera. Liczba −74-\tfrac{7}{4} leży między -2 a -1, bliżej -2.

Gdzie leży pierwiastek

Osobny typ zadania: „między którymi liczbami całkowitymi leży 120\sqrt{120}”. Nie trzeba tu nic odczytywać z rysunku ani pierwiastkować — wystarczy znaleźć dwa sąsiednie kwadraty, między którymi mieści się liczba pod pierwiastkiem.

Dla 120\sqrt{120}: 102=10010^2 = 100, a 112=12111^2 = 121. Skoro 100<120<121100 < 120 < 121, to 10<120<1110 < \sqrt{120} < 11 — pierwiastkowanie nie zmienia kolejności liczb dodatnich.

Warto od razu zobaczyć którą z granic wynik jest bliższy: 120 leży o jeden poniżej 121, więc 120\sqrt{120} jest tuż pod jedenastką (≈10,95\approx 10{,}95). Sam wynik zostawiamy w postaci dokładnej 120\sqrt{120} — przybliżenie służy tylko do umieszczenia punktu na osi i piszemy je ze znakiem ≈\approx.

Dlatego warto mieć w pamięci kwadraty liczb do dwudziestu. Cała trudność tego zadania polega na przypomnieniu sobie, że 112=12111^2 = 121.

Oś nie musi zaczynać się od zera

Typowe założenie, które psuje zadanie: że skrajna lewa kreska to zero. W arkuszach oś bywa fragmentem — pokazuje na przykład przedział od 20 do 30, a zera nie ma w ogóle.

Wtedy jedynym punktem odniesienia są opisane wartości. Wszystko liczy się od nich, a nie od krawędzi rysunku.

Podobnie oś nie musi rosnąć co jeden ani mieć równych opisów. Bywa opisana tylko w dwóch miejscach — i to wystarcza, bo z dwóch punktów wylicza się skalę.

To ta sama dyscyplina, którą stosuje się przy odczytywaniu danych z wykresów: najpierw sprawdź skalę, dopiero potem odczytuj.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku: wyznaczenie skali, odczyt punktu, porównanie liczb ujemnych i zaznaczenie ułamka.

Przykład 1 Ile wynosi jedna działka

Na osi liczbowej opisano dwa punkty: 0 i 2. Między nimi znajduje się osiem równych działek. Jaka jest wartość jednej działki?

  1. Odległość liczbowa między opisanymi punktami: 2−0=22 - 0 = 2.
  2. Liczba działek między nimi: 8. Liczę odstępy, a nie kreski.
  3. Wartość jednej działki: 2:8=0,252 : 8 = 0{,}25, czyli 14\tfrac{1}{4}.
  4. Kontrola: cztery działki dają jedną jednostkę, więc punkt w połowie drogi między 0 a 2 to 1 ✓
  5. Założenie, że działka to 1, dałoby odczyty czterokrotnie zawyżone — i to jest najczęstszy błąd w tym dziale.

Odpowiedź: Jedna działka ma wartość 0,25.

Przykład 2 Odczyt punktu z osi

Na osi opisano punkty 10 i 30, a między nimi jest pięć równych działek. Jaką liczbę wskazuje punkt leżący dwie działki na prawo od 10?

  1. Wyznaczam skalę: (30−10):5=20:5=4(30 - 10) : 5 = 20 : 5 = 4. Jedna działka to 4.
  2. Startuję od opisanego punktu 10 i idę w prawo, więc dodaję.
  3. Dwie działki to 2⋅4=82 \cdot 4 = 8.
  4. Szukana liczba: 10+8=1810 + 8 = 18.
  5. Kontrola: wynik leży między 10 a 30 ✓ — i bliżej dziesiątki, bo przeszliśmy niecałą połowę odcinka ✓

Odpowiedź: Punkt wskazuje liczbę 18.

Przykład 3 Porównanie liczb ujemnych

Która z liczb jest większa: -7 czy -3?

  1. Porównuję odległości od zera: siedem i trzy. Siedem jest większe.
  2. Przy liczbach ujemnych ten wynik trzeba odwrócić — większa odległość od zera oznacza mniejszą liczbę.
  3. Zatem -7 leży dalej w lewo, czyli jest mniejsze.
  4. Większa jest liczba -3.
  5. Kontrola na osi: idąc od -7 w prawo, dojdziemy do -3, a w prawo znaczy w stronę większych liczb ✓

Odpowiedź: Większa jest liczba -3.

Przykład 4 Zaznaczenie ułamka na osi

Między którymi liczbami całkowitymi leży 74\tfrac{7}{4} i w którym miejscu tego odcinka?

  1. Zamieniam ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną: 74=134\dfrac{7}{4} = 1\dfrac{3}{4}.
  2. Część całkowita to 1, więc punkt leży między 1 a 2.
  3. Mianownik 4 mówi, że odcinek od 1 do 2 dzielę na cztery równe części.
  4. Licznik części ułamkowej to 3, więc biorę trzecią kreskę licząc od 1.
  5. Kontrola: 34\tfrac{3}{4} to więcej niż połowa, więc punkt musi leżeć bliżej 2 niż 1 ✓

Odpowiedź: Liczba 74\tfrac{7}{4} leży między 1 a 2, w trzech czwartych drogi od jedynki.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy tego działu. Pierwszy odpowiada za większość utraconych punktów i pojawia się w każdym roczniku.

Założenie, że jedna działka to jeden

Skąd się bierze: Oś w arkuszu bywa wyskalowana co pół, co ćwierć albo co dziesięć, a informacji o tym nie ma wprost — trzeba ją wyliczyć. Przy skali równej ćwierć wszystkie odczyty wychodzą czterokrotnie zawyżone, choć sam sposób liczenia jest poprawny.

Jak zrobić dobrze: Zanim cokolwiek odczytasz, wyznacz wartość działki z dwóch opisanych punktów: odejmij ich wartości i podziel przez liczbę działek między nimi. Zapisz tę liczbę obok rysunku.

Liczenie kresek zamiast odstępów

Skąd się bierze: Między pięcioma kreskami są cztery działki, więc policzenie kresek daje wartość działki zaniżoną. Błąd jest niewielki, ale przenosi się na wszystkie odczyty w zadaniu.

Jak zrobić dobrze: Licz przerwy między kreskami, a nie same kreski. Pomocniczo można zaznaczyć każdą przerwę łukiem — wtedy pomyłka o jeden staje się widoczna.

Uznanie, że minus siedem jest większe od minus trzech

Skąd się bierze: Odruch bierze się z porównywania samych cyfr, bez uwzględnienia znaku. Na osi liczba minus siedem leży dalej w lewo, więc jest mniejsza — większa odległość od zera oznacza w tym przypadku mniejszą wartość.

Jak zrobić dobrze: Porównaj odległości od zera i odwróć wynik. Kontrolą jest kierunek: idąc w prawo, zawsze przechodzi się do liczb większych, niezależnie od tego, po której stronie zera jesteśmy.

Przyjęcie, że oś zaczyna się od zera

Skąd się bierze: Skrajna lewa kreska bywa brana za zero, choć na osi w ogóle go nie ma — arkusz często pokazuje tylko fragment, na przykład przedział od dwudziestu do trzydziestu. Wszystkie odczyty są wtedy przesunięte.

Jak zrobić dobrze: Punktem odniesienia są wyłącznie opisane wartości, nigdy krawędź rysunku. Odczytuj od najbliższej opisanej liczby i sprawdź, czy wynik mieści się między sąsiednimi opisami.

Zadania z arkuszy CKE — oś liczbowa

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 4 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje mechanizm odczytu z osi: zielona to wartość jednej działki, a czerwona to liczba działek, które pokonujemy. Gdy znasz jedną działkę, każdy punkt na osi liczy się jednym mnożeniem. W zadaniach o odległości kolor oddziela większą liczbę od mniejszej.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Dostaniesz wszystkie 6 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. To komplet zadań zamkniętych z tego działu, więc kolejne podejście będzie powtórką tych samych zadań.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2022)1 pktśrednie

Na osi liczbowej zaznaczono punkty PP, RR i SS. Odcinek PSPS jest podzielony na 8 równych części. Współrzędne punktów PP i RR podano na rysunku. Dokończ zdanie.
Współrzędna punktu SS jest równa
Oś liczbowa z punktami P, R i S P−3R7S?
Dane z rysunku — wersja tekstowa
PunktPRS
Kreska od początku058
Współrzędna−37?
  • A. 10
  • B. 11
  • C. 13
  • D. 15
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Najpierw liczymy wartość jednej działki — do tego potrzebujemy dwóch punktów o znanych współrzędnych.
  2. Od PP do RR jest 5\textcolor{#E0453A}{5} działek, a wartość rośnie z -3 do 7, czyli o 7−(−3)=107 - (-3) = 10.
  3. Jedna działka: 10:5=210 : \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{2}.
  4. Teraz punkt SS — dzieli go od PP aż 8\textcolor{#E0453A}{8} działek: S=−3+8⋅2=−3+16=13S = -3 + \textcolor{#E0453A}{8} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = -3 + 16 = 13.
  5. Odpowiedź C.
  6. Można też krócej, licząc od RR: od RR do SS zostają 3\textcolor{#E0453A}{3} działki, więc S=7+3⋅2=13S = 7 + \textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = 13 ✓

💡 Wskazówka: Schemat na wszystkie zadania z osią: znajdź wartość jednej działki, licząc różnicę dwóch znanych punktów i dzieląc ją przez liczbę działek między nimi. Reszta to mnożenie.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie działek „na oko” albo pomylenie liczby kresek z liczbą odstępów. Między PP a RR jest 5 odstępów, choć kresek widać 6.

Zadanie 2 (kwiecień 2020)1 pktśrednie

Na osi liczbowej oznaczono cztery punkty: RR, SS, TT, WW. Odcinek RWRW jest podzielony na pięć równych części. Współrzędne punktów SS i WW podano na rysunku. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Oś liczbowa z punktami R, S, T i W R?S287T?W311
Dane z rysunku — wersja tekstowa
PunktRSTW
Kreska od początku0235
Współrzędna?287?311
Współrzędne punktów RR i TT różnią się o 24.PF
Współrzędna punktu RR jest równa 271.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Zaczynamy od wartości jednej działki. Między SS (druga kreska) a WW (piąta kreska) są 3\textcolor{#E0453A}{3} działki, a wartość rośnie z 287 do 311, czyli o 24.
  2. Jedna działka: 24:3=824 : \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#16A06A}{8}.
  3. Teraz odczytujemy pozostałe punkty. RR leży 2\textcolor{#E0453A}{2} działki przed SS: R=287−2⋅8=287−16=271R = 287 - \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 287 - 16 = 271.
  4. TT leży 1\textcolor{#E0453A}{1} działkę za SS: T=287+8=295T = 287 + \textcolor{#16A06A}{8} = 295.
  5. Zdanie 1: T−R=295−271=24T - R = 295 - 271 = 24 ✓ — prawda. (Widać to też od razu: RR i TT dzielą 3\textcolor{#E0453A}{3} działki, czyli 3⋅8=243 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 24.)
  6. Zdanie 2: R=271R = 271 ✓ — prawda. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Kiedy już znasz wartość działki, odległość między dowolnymi dwoma punktami liczysz jednym mnożeniem: liczba działek razy wartość działki. Nie trzeba wyznaczać obu współrzędnych.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że skoro SS i WW różnią się o 24, to o tyle samo różnią się dowolne dwa punkty. Odległość zależy od liczby działek — a między SS a WW są trzy, tak samo jak między RR a TT (stąd akurat ta sama wartość).

Zadanie 3 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Na osi liczbowej między liczbami (−26)\left(-\dfrac{2}{6}\right) oraz (−16)\left(-\dfrac{1}{6}\right) znajduje się liczba
Oś liczbowa z podziałką co 1/6 i zaznaczonym przedziałem między −2/6 a −1/6−1−2/6−1/60
  • A. −14-\dfrac{1}{4}
  • B. −13-\dfrac{1}{3}
  • C. −512-\dfrac{5}{12}
  • D. −12-\dfrac{1}{2}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Najwygodniej zamienić wszystko na ułamki dziesiętne — wtedy widać położenie na osi jak na dłoni.
  2. Granice przedziału: −26=−0,33…\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{2}{6}} = \textcolor{#16A06A}{-0{,}33\ldots} oraz −16=−0,16…\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{1}{6}} = \textcolor{#16A06A}{-0{,}16\ldots}
  3. A. −14=−0,25-\dfrac14 = \textcolor{#E0453A}{-0{,}25} — leży między −0,33\textcolor{#16A06A}{-0{,}33} a −0,17\textcolor{#16A06A}{-0{,}17} ✓
  4. B. −13=−0,33…-\dfrac13 = -0{,}33\ldots — to dokładnie granica (bo 13=26\tfrac13 = \tfrac26), więc nie leży *między* ✗
  5. C. −512≈−0,42-\dfrac{5}{12} \approx -0{,}42 — za daleko w lewo ✗  ·  D. −12=−0,5-\dfrac12 = -0{,}5 — jeszcze dalej ✗
  6. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Można też wszystko sprowadzić do mianownika 12: przedział to (−412,−212)\left(-\tfrac{4}{12}, -\tfrac{2}{12}\right), a odpowiedzi to −312-\tfrac{3}{12}, −412-\tfrac{4}{12}, −512-\tfrac{5}{12}, −612-\tfrac{6}{12}. Od razu widać, że pasuje tylko −312-\tfrac{3}{12}.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór −13-\tfrac13, bo „wygląda jak coś pomiędzy”. Po skróceniu −26=−13-\tfrac26 = -\tfrac13 — to ta sama liczba co lewy koniec przedziału.

Zadanie 4 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Odległość między punktami, które na osi liczbowej odpowiadają liczbom -2,3 i 13\dfrac{1}{3}, jest równa
Oś liczbowa z punktami −2,3 oraz 1/3−3−2−101−2,31/3
  • A. −2,3−13-2{,}3 - \dfrac{1}{3}
  • B. 2,3−132{,}3 - \dfrac{1}{3}
  • C. 13−2,3\dfrac{1}{3} - 2{,}3
  • D. 13+2,3\dfrac{1}{3} + 2{,}3
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Odległość na osi to zawsze większa liczba minus mniejsza — wynik musi wyjść dodatni.
  2. Większa jest 13\textcolor{#16A06A}{\dfrac13} (dodatnia), mniejsza −2,3\textcolor{#E0453A}{-2{,}3} (ujemna).
  3. Odległość =13−(−2,3)= \textcolor{#16A06A}{\dfrac13} - (\textcolor{#E0453A}{-2{,}3}), a odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie:
  4. =13+2,3= \textcolor{#16A06A}{\dfrac13} + 2{,}3 — odpowiedź D.
  5. Sens na osi: punkty leżą po przeciwnych stronach zera, więc odległość to suma ich odległości od zera: 2,3 w lewo i 13\tfrac13 w prawo.

💡 Wskazówka: Gdy dwie liczby leżą po przeciwnych stronach zera, ich odległość to suma wartości bezwzględnych. Gdy po tej samej stronie — różnica.

⚠ Najczęstsze błędy: odpowiedź C (odejmowanie w złej kolejności — wychodzi liczba ujemna, a odległość nie może być ujemna) oraz B (potraktowanie -2,3 jako 2,3 i odjęcie zamiast dodania).

Zadanie 5 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Na osi liczbowej liczba równa wartości wyrażenia (1−56)−0,5\left(1 - \dfrac{5}{6}\right) - 0{,}5 znajduje się między
  • A. -1 i -0,5
  • B. -0,5 i 0
  • C. 0 i 0,5
  • D. 0,5 i 1
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Najpierw liczymy nawias: 1−56=161 - \dfrac{5}{6} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{6}}.
  2. Teraz odejmujemy 0,5=12=360{,}5 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}}.
  3. 16−36=−26=−13\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{6}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3}.
  4. Zamieniamy na ułamek dziesiętny: −13≈−0,33-\dfrac13 \approx -0{,}33.
  5. Ta liczba leży między -0,5 a 0 — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Bez pełnego rachunku widać kierunek wyniku: nawias daje liczbę małą i dodatnią (16\tfrac16), a odejmujemy od niej 0,5 — czyli więcej. Wynik musi być ujemny, ale niewielki. To już wskazuje przedział B.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie nawiasu jako 56\tfrac56 (czyli pominięcie odejmowania od jedynki) — wtedy wynik wychodzi dodatni i ląduje w przedziale C lub D.

Zadanie 6 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Liczba 120\sqrt{120} znajduje się na osi liczbowej między
  • A. 10 i 11
  • B. 11 i 12
  • C. 12 i 20
  • D. 30 i 40
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Szukamy dwóch sąsiednich kwadratów, między którymi leży liczba 120.
  2. 102=100\textcolor{#16A06A}{10}^2 = \textcolor{#16A06A}{100}  oraz  112=121\textcolor{#E0453A}{11}^2 = \textcolor{#E0453A}{121}.
  3. Skoro 100<120<121\textcolor{#16A06A}{100} < 120 < \textcolor{#E0453A}{121}, to po spierwiastkowaniu: 10<120<11\textcolor{#16A06A}{10} < \sqrt{120} < \textcolor{#E0453A}{11}.
  4. Odpowiedź A.
  5. Warto zauważyć, jak blisko jedenastki jest ta liczba — 120 to tylko o jeden mniej niż 121\textcolor{#E0453A}{121}, więc 120≈10,95\sqrt{120} \approx 10{,}95.

💡 Wskazówka: Naucz się kwadratów do 20 na pamięć — zwłaszcza 112=12111^2 = 121, 122=14412^2 = 144, 132=16913^2 = 169, 152=22515^2 = 225. Szacowanie pierwiastków robi się wtedy natychmiastowe.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 120 przez 2 i szukanie w okolicach 60, albo wybór przedziału „12 i 20” — bo 120 kojarzy się z tymi liczbami. Pierwiastek z liczby trzycyfrowej jest zawsze dwucyfrowy.

Zadanie 7 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Odległość na osi liczbowej między największą i najmniejszą spośród liczb   0\;0,   34\;\dfrac{3}{4},   −52\;-\dfrac{5}{2},   −2  \;-2\; jest równa
Oś liczbowa z liczbami −5/2, −2, 0 i 3/4−3−2−101−5/2−203/4
  • A. 1341\dfrac{3}{4}
  • B. 3143\dfrac{1}{4}
  • C. 2342\dfrac{3}{4}
  • D. 1141\dfrac{1}{4}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Najpierw porządkujemy liczby. Zamieniamy na dziesiętne: 0,  34=0,75\tfrac34 = 0{,}75,  −52=−2,5-\tfrac52 = -2{,}5,  -2.
  2. Rosnąco: −2,5<−2<0<0,75-2{,}5 < -2 < 0 < 0{,}75.
  3. Największa to 34\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}}, najmniejsza to −52\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{5}{2}}.
  4. Odległość =34−(−52)=0,75+2,5=3,25= \textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}} - \left(\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{5}{2}}\right) = \textcolor{#16A06A}{0{,}75} + \textcolor{#E0453A}{2{,}5} = 3{,}25.
  5. Zamieniamy na liczbę mieszaną: 3,25=3143{,}25 = 3\dfrac{1}{4} — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Uwaga przy liczbach ujemnych: −52=−2,5-\tfrac52 = -2{,}5 jest mniejsze od -2, mimo że „wygląda na większe”. Im dalej w lewo na osi, tym mniejsza liczba.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie -2 za najmniejszą (bo 2<2,52 < 2{,}5 „na oko”). Wtedy odległość wyszłaby 2342\tfrac34 — czyli kusząca odpowiedź C.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C2. P, P3. A4. D5. B6. A
7. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Jak obliczyć wartość jednej działki na osi?

Znajdź dwa punkty, których wartości są na osi opisane, odejmij mniejszą od większej i podziel wynik przez liczbę działek między nimi. Licz odstępy między kreskami, a nie same kreski — między pięcioma kreskami są cztery działki.

Która liczba ujemna jest większa?

Ta, która leży bliżej zera. Minus trzy jest większe od minus siedmiu, bo na osi leży bardziej na prawo. Przy porównywaniu liczb ujemnych porównaj ich odległości od zera i odwróć wynik — większa odległość oznacza mniejszą liczbę.

Jak policzyć odległość między dwiema liczbami na osi?

Odejmij mniejszą liczbę od większej — odległość jest zawsze nieujemna. Gdy jedna z liczb jest ujemna, odległości od zera dodają się: od minus trzech do dwóch jest pięć jednostek. Rachunkowo wychodzi to samo, bo odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie dodatniej.

Gdzie na osi leży siedem czwartych?

Między jedynką a dwójką, w trzech czwartych drogi od jedynki. Zamień ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną — część całkowita mówi, między którymi liczbami całkowitymi leży punkt, mianownik na ile części dzielimy odcinek, a licznik którą kreskę zaznaczamy.

Czy oś liczbowa musi zaczynać się od zera?

Nie. W arkuszach oś bywa fragmentem i pokazuje na przykład przedział od dwudziestu do trzydziestu, bez zera w ogóle. Punktem odniesienia są zawsze opisane wartości, a nie krawędź rysunku — zakładanie, że skrajna kreska to zero, przesuwa wszystkie odczyty.

Jak sprawdzić, czy odczyt z osi jest poprawny?

Odczytana liczba musi leżeć między wartościami sąsiednich opisanych punktów. Jeśli wypadła poza nimi, błąd jest albo w skali, albo w kierunku liczenia. Druga kontrola: sprawdź, czy wynik leży po właściwej stronie środka odcinka między opisami.

Czytaj dalej

Działania na ułamkach na egzaminieLiczby ujemne i zamiana ułamków niewłaściwych na mieszaneUkład współrzędnych na egzaminieDwie osie zamiast jednej — ta sama dyscyplina odczytu skaliOdczytywanie danych na egzaminieNajpierw sprawdź skalę, dopiero potem odczytuj — reguła wykresówEgzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.