Zadanie z E8 (maj 2025) – kąty w figurach

Odpowiedź: DAB = 75°, BCD = 132°, CDA = 105°

1. Krok 1 — trójkąt $EBC$. Znamy dwa kąty, więc trzeci dopełniamy do $\textcolor{#E0453A}{180°}$:
2. $\angle CEB = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{48°} - \textcolor{#16A06A}{57°} = \textcolor{#16A06A}{75°}$.
3. Krok 2 — kąt $AEC$. Punkty $A$, $E$, $B$ leżą na jednej prostej, więc kąty $AEC$ i $CEB$ są przyległe:
4. $\angle AEC = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{75°} = \textcolor{#16A06A}{105°}$.
5. Krok 3 — kąt $DAB$. W równoległoboku $AECD$ kąty przy $A$ i przy $E$ są sąsiednie, więc dopełniają się do $\textcolor{#E0453A}{180°}$:
6. $\angle DAE = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{105°} = 75°$. To właśnie kąt $DAB$ trapezu.
7. Krok 4 — kąt $CDA$. W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, a $\angle ADC$ leży naprzeciw $\angle AEC$:
8. $\angle CDA = \textcolor{#16A06A}{105°}$.
9. Krok 5 — kąt $BCD$. Składa się z dwóch części: $\angle DCE$ (kąt równoległoboku, równy przeciwległemu $\angle DAE = 75°$) oraz $\angle ECB = \textcolor{#16A06A}{57°}$.
10. $\angle BCD = 75° + \textcolor{#16A06A}{57°} = 132°$.
11. Odpowiedź: $\angle DAB = 75°$, $\angle BCD = 132°$, $\angle CDA = 105°$.
12. Kontrola: suma kątów czworokąta $75° + 48° + 132° + 105° = 360°$ ✓

💡 Wskazówka: Na koniec zawsze sprawdź sumę kątów czworokąta — musi wyjść $360°$. To najprostsza kontrola, która wyłapuje niemal każdą pomyłkę.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie tego, że kąt $BCD$ składa się z dwóch części — kąta równoległoboku i kąta trójkąta. Podanie samego $57°$ albo samego $75°$ daje zły wynik.