Egzamin ósmoklasisty · matematyka · maj 2025

Zadanie z E8 (maj 2025) – graniastosłupy i ostrosłupy

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wysokość ściany bocznej poprowadzona do krawędzi podstawy jest równa 12 cm. Pole powierzchni jednej ściany bocznej tego ostrosłupa jest równe 108 cm². Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

3pkt · trudniejsze

Zadanie 20 (maj 2025)3 pkttrudniejsze

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wysokość ściany bocznej poprowadzona do krawędzi podstawy jest równa

12\ \text{cm}

. Pole powierzchni jednej ściany bocznej tego ostrosłupa jest równe

108\ \text{cm}^2

. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $132\ \text{cm}$

Krok $\boldsymbol{1}$ — krawędź podstawy. Ściana boczna to trójkąt o podstawie $\textcolor{#16A06A}{a}$ i wysokości $\textcolor{#E0453A}{12}$ cm:
$\tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#E0453A}{12} = 108$ , czyli $6\textcolor{#16A06A}{a} = 108$ , więc $\textcolor{#16A06A}{a} = \textcolor{#16A06A}{18}$ cm.
Krok $\boldsymbol{2}$ — krawędź boczna. Wysokość ściany bocznej dzieli ten trójkąt równoramienny na dwa prostokątne o przyprostokątnych $\textcolor{#E0453A}{12}$ cm i $\textcolor{#16A06A}{18} : 2 = \textcolor{#16A06A}{9}$ cm.
$\textcolor{#E0453A}{b} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{12}^2 + \textcolor{#16A06A}{9}^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = \textcolor{#E0453A}{15}$ cm.
Krok $\boldsymbol{3}$ — suma krawędzi. Cztery krawędzie podstawy i cztery boczne:
$4 \cdot \textcolor{#16A06A}{18} + 4 \cdot \textcolor{#E0453A}{15} = 72 + 60 = 132$ cm.
Odpowiedź: suma długości wszystkich krawędzi wynosi $\boldsymbol{132\ \text{cm}}$ .

💡 Wskazówka: Krawędź boczna, wysokość ściany bocznej i połowa krawędzi podstawy tworzą trójkąt prostokątny — to najczęściej używana zależność w całej stereometrii ósmoklasisty.

⚠ Najczęstszy błąd: użycie w Pitagorasie całej krawędzi podstawy ( $18$ ) zamiast jej połowy ( $9$ ). Wysokość ściany bocznej pada na środek krawędzi podstawy.