Egzamin ósmoklasisty · matematyka · maj 2025

Zadanie z E8 (maj 2025) – pola figur

Dany jest trójkąt prostokątny ABC (kąt prosty przy B ). Na środku boku AB zaznaczono punkt D i poprowadzono odcinek DC, dzielący trójkąt ABC na dwa trójkąty ADC i DBC. Ponadto |AD| = |DB| = 30 cm oraz |DC| = 50 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 6 (maj 2025)1 pkttrudniejsze

Dany jest trójkąt prostokątny

ABC

(kąt prosty przy

B

). Na środku boku

AB

zaznaczono punkt

D

i poprowadzono odcinek

DC

, dzielący trójkąt

ABC

na dwa trójkąty

ADC

DBC

. Ponadto

|AD| = |DB| = 30

cm oraz

|DC| = 50

cm. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole trójkąta $DBC$ jest równe 600 cm².	P	F
Pole trójkąta $ABC$ jest dwa razy większe od pola trójkąta $ADC$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Krok 1 — wyznaczamy $BC$ . Trójkąt $DBC$ jest prostokątny (kąt prosty przy $B$ ), a $DC = 50$ to jego przeciwprostokątna.
Z twierdzenia Pitagorasa: $BC = \sqrt{50^2 - \textcolor{#16A06A}{30}^2} = \sqrt{2500 - 900} = \sqrt{1600} = \textcolor{#E0453A}{40}$ cm.
Zdanie 1. $P_{DBC} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{30} \cdot \textcolor{#E0453A}{40} = 600$ cm² ✓ — prawda.
Zdanie 2. Trójkąty $ADC$ i $DBC$ mają równe podstawy ( $AD = DB = \textcolor{#16A06A}{30}$ ) i wspólną wysokość (odcinek $BC$ opuszczony z $C$ ).
Mają więc równe pola: $P_{ADC} = P_{DBC} = 600$ cm².
Cały trójkąt: $P_{ABC} = 600 + 600 = 1200$ cm², czyli dokładnie dwa razy więcej niż $P_{ADC}$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Środkowa trójkąta (odcinek do środka boku) zawsze dzieli go na dwa trójkąty o równych polach — niezależnie od kształtu. Warto to znać, bo oszczędza liczenia.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie pola $ADC$ osobno, z próbą wyznaczenia jego wysokości. Wystarczy zauważyć równe podstawy i wspólną wysokość.