Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Zadania mieszane i odkrywanie reguł — egzamin ósmoklasisty

Zadania mieszane i odkrywanie reguł — egzamin ósmoklasisty

Piętnaście zadań, których nie da się przypisać do żadnego działu — bo nie sprawdzają wiedzy z konkretnego tematu, tylko sposób myślenia. Uczeń dostaje ciąg liczb albo rosnącą figurę z patyczków i ma sam dostrzec regułę. Dobra wiadomość: na oba typy działa jedna metoda, i to bardzo prosta.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 15 — 13 z egzaminu ósmoklasisty i 2 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (15) ↓

Zadania, które sprawdzają myślenie, a nie dział

W arkuszu takie zadania nie są oznaczone jako trudniejsze i nie wymagają żadnej wiedzy spoza podstawy programowej. Wymagają czegoś innego: zauważenia zależności, której nikt nie podał.

Dlatego nie da się ich „przerobić” tak jak procentów czy pól figur. Da się natomiast przećwiczyć metodę — i to zwykle wystarcza, bo schemat zadań powtarza się z roku na rok.

Druga cecha wspólna: odpowiedź zawsze da się sprawdzić. Znaleziona reguła musi działać dla wszystkich podanych elementów, nie tylko dla dwóch pierwszych. To najtańsza kontrola w całym arkuszu.

Ta strona zbiera dwa bloki zadań: odkrywanie reguł (6 zadań) oraz zadania mieszane z arytmetyki (9 zadań). W tym drugim bloku po dwa zadania dotyczą liczb ujemnych i opuszczania nawiasu — i tym dwóm sprawom poświęcone są sekcje niżej — ale reszta rozsypuje się szeroko: notacja wykładnicza, odczyt etykiety, proporcje, zamiana jednostek masy i czasu, ułamek reszty. To jest właśnie sens słowa „mieszane”: wspólnego tematu tu nie ma.

Odkrywanie reguły w ciągu liczb

Metoda uniwersalna nazywa się policz różnice. Odejmij każdy wyraz od następnego i przyjrzyj się temu, co wyszło.

Dla ciągu 3,7,11,153, 7, 11, 15 różnice wynoszą 4,4,44, 4, 4. Reguła: dodaj 4. Wyraz na miejscu nn to 4n−14n - 1.

Zapisanie reguły wzorem nie zawsze jest potrzebne — czasem zadanie pyta tylko o kolejny wyraz. Ale gdy pyta o dziesiąty albo setny, wzór oszczędza całą resztę pracy.

Kontrola obowiązkowa: podstaw do znalezionego wzoru numery wszystkich podanych wyrazów. Reguła pasująca do trzech z czterech nie jest regułą.

Ciągi figur — jak policzyć n-ty element bez rysowania

Zadanie pokazuje trzy albo cztery figury z patyczków, kwadratów czy kropek i pyta o dziesiątą. Rysowanie jest możliwe, ale wolne i zawodne.

Metoda jest ta sama co przy liczbach: policz elementy w każdej figurze, zapisz jako ciąg liczb, policz różnice.

Dla ciągu figur o 4,7,10,134, 7, 10, 13 patyczkach różnica wynosi stale 3. Pierwsza figura ma 4, więc każda kolejna dokłada 3 — dziesiąta ma 4+9⋅3=314 + 9 \cdot 3 = 31.

Uwaga na mnożnik. Do dziesiątej figury dokładamy 9 razy, nie 10 — bo pierwsza figura już istnieje. To pomyłka o jeden i najczęstszy błąd w tym typie.

Warto też spojrzeć na figurę strukturalnie: często widać, że każdy krok dokłada jeden kwadrat kosztem trzech patyczków, bo czwarty jest wspólny. Takie spojrzenie od razu wyjaśnia, skąd bierze się różnica.

Liczby ujemne w porównaniach

Dwa zadania z bloku „mieszane” dotyczą wprost liczb ujemnych — oba w formie zamkniętej, gdzie liczy się rozstrzygnięcie, a nie rachunek: raz trzeba przyporządkować zapisane bez ładu temperatury do miejscowości, raz wskazać, do której z czterech podanych liczb należy dodać (−4)(-4), żeby wyszło -5,25.

Podstawowa reguła: im dalej w lewo na osi, tym mniejsza liczba. Dlatego -3 jest większe od -5, choć trójka jest mniejsza od piątki.

Praktyczny sposób: porównaj odległości od zera i odwróć wynik. Większa odległość od zera to mniejsza liczba ujemna. Więcej o tym na stronie o osi liczbowej.

Przy mnożeniu i dzieleniu obowiązuje reguła znaków: dwa minusy dają plus, jeden minus daje minus. Warto ustalić znak przed rachunkiem — wtedy liczy się już tylko na wartościach dodatnich.

Opuszczanie nawiasu

Klasyczne miejsce na utratę punktu w zadaniach mieszanych. Przy minusie przed nawiasem zmieniają się znaki wszystkich składników w środku, nie tylko pierwszego.

−(a−b+c)=−a+b−c-(a - b + c) = -a + b - c

Plus przed nawiasem niczego nie zmienia — składniki przepisuje się bez zmian. To rozróżnienie wygląda trywialnie, a odpowiada za sporą część błędów.

Bezpieczna technika: potraktuj minus przed nawiasem jak mnożenie przez -1 i pomnóż każdy składnik osobno. Wtedy nie da się pominąć żadnego.

Ta sama umiejętność wraca przy wyrażeniach algebraicznych, gdzie w nawiasach stoją już litery, a nie liczby.

Czy takie zadania są trudne

Statystycznie nie bardziej niż reszta arkusza. Wydają się trudniejsze, bo nie da się ich rozpoznać po temacie i przypisać gotowej procedury.

Praktyczna wskazówka egzaminacyjna: jeśli reguła nie ujawnia się w ciągu minuty, zostaw zadanie i wróć do niego na końcu. Zadania odkrywcze mają to do siebie, że rozwiązanie albo przychodzi szybko, albo wcale — a czas lepiej wydać na zadania proceduralne.

Przy powrocie spróbuj innego tropu niż za pierwszym razem: jeśli różnice nic nie dały, sprawdź ilorazy albo policz elementy inaczej (nie patyczki, tylko kwadraty).

I rzecz najważniejsza w tym dziale: zawsze sprawdź regułę na wszystkich danych elementach. To kosztuje kilkanaście sekund, a odróżnia odpowiedź trafną od przypadkowej.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku: reguła w ciągu liczb, ciąg figur z patyczków, porównanie liczb ujemnych i opuszczanie nawiasu.

Przykład 1 Reguła w ciągu liczb

Dany jest ciąg liczb: 3,7,11,15,…3, 7, 11, 15, \ldots Jaka liczba stoi na dziesiątym miejscu?

  1. Liczę różnice między kolejnymi wyrazami: 7−3=47-3 = 4, 11−7=411-7 = 4, 15−11=415-11 = 4.
  2. Różnice są stałe i wynoszą 4, więc do każdego wyrazu dodaje się cztery.
  3. Zapisuję wzór ogólny. Pierwszy wyraz to 3, a do dziesiątego dodajemy czwórkę dziewięć razy: 3+9⋅4=3+36=393 + 9 \cdot 4 = 3 + 36 = 39.
  4. Kontrola wzorem: wyraz na miejscu nn to 4n−14n - 1. Dla n=1n = 1 daje 3 ✓, dla n=4n = 4 daje 15 ✓, dla n=10n = 10 daje 39 ✓
  5. Sprawdzenie na wszystkich podanych wyrazach było tu kluczowe — wzór 4n4n pasowałby do różnic, ale nie do pierwszego wyrazu.

Odpowiedź: Na dziesiątym miejscu stoi liczba 39.

Przykład 2 Ciąg figur z patyczków

Kolejne figury zbudowano z patyczków: pierwsza ma 4, druga 7, trzecia 10. Ile patyczków będzie miała dziesiąta figura?

  1. Zapisuję liczby patyczków jako ciąg: 4,7,104, 7, 10.
  2. Różnice: 7−4=37-4 = 3, 10−7=310-7 = 3. Każda kolejna figura dokłada trzy patyczki.
  3. Strukturalnie widać dlaczego: każdy nowy kwadrat wymaga trzech patyczków, bo czwarty jest wspólny z poprzednim.
  4. Od pierwszej do dziesiątej figury dokładamy dziewięć razy: 4+9⋅3=4+27=314 + 9 \cdot 3 = 4 + 27 = 31.
  5. Kontrola: dla trzeciej figury wzór daje 4+2⋅3=104 + 2 \cdot 3 = 10 ✓ — zgadza się z danymi.
  6. Uwaga: mnożenie przez 10 zamiast przez 9 dałoby 34 i jest to typowa pomyłka o jeden.

Odpowiedź: Dziesiąta figura będzie miała 31 patyczków.

Przykład 3 Porównanie liczb ujemnych

Rozstrzygnij, czy zdanie „-3 jest większe od -5” jest prawdziwe.

  1. Porównuję odległości od zera: trzy i pięć. Pięć jest większe.
  2. Przy liczbach ujemnych ten wynik odwracam — większa odległość od zera oznacza mniejszą liczbę.
  3. Zatem -5 leży dalej w lewo na osi, czyli jest mniejsze od -3.
  4. Zdanie jest prawdziwe.
  5. Kontrola na osi: idąc od -5 w prawo, dochodzimy do -3, a w prawo zawsze znaczy w stronę liczb większych ✓

Odpowiedź: Zdanie jest prawdziwe — liczba -3 jest większa od -5.

Przykład 4 Opuszczanie nawiasu z minusem

Oblicz wartość wyrażenia 8−(5−3+2)8 - (5 - 3 + 2).

  1. Przed nawiasem stoi minus, więc zmieniam znaki wszystkich składników w środku.
  2. 8−(5−3+2)=8−5+3−28 - (5 - 3 + 2) = 8 - 5 + 3 - 2.
  3. Liczę od lewej: 8−5=38 - 5 = 3, potem 3+3=63 + 3 = 6, potem 6−2=46 - 2 = 4.
  4. Kontrola przez policzenie nawiasu najpierw: 5−3+2=45 - 3 + 2 = 4, a 8−4=48 - 4 = 4 ✓
  5. Częsty błąd: zmiana znaku tylko przy pierwszym składniku dałaby 8−5−3+2=28 - 5 - 3 + 2 = 2 — wynik zły o dwa.

Odpowiedź: Wartość wyrażenia wynosi 4.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy typowe dla tego działu. Pierwszy dotyczy metody, pozostałe trzy — techniki rachunkowej.

Przyjęcie reguły pasującej tylko do części wyrazów

Skąd się bierze: Uczeń zauważa zależność między dwoma pierwszymi wyrazami i od razu ją stosuje. Bywa, że pasuje przypadkiem, a przy trzecim wyrazie już nie działa — i cała odpowiedź jest zbudowana na złym założeniu.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź znalezioną regułę na wszystkich podanych elementach, zanim policzysz szukany. To kilkanaście sekund, a odróżnia odpowiedź trafną od przypadkowej.

Pomyłka o jeden przy liczeniu kroków ciągu

Skąd się bierze: Do dziesiątego wyrazu dokłada się różnicę dziewięć razy, nie dziesięć, bo pierwszy wyraz już istnieje. Mnożenie przez dziesięć daje wynik przesunięty dokładnie o jedną różnicę i wygląda równie wiarygodnie.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź wzór na wyrazie, który jest podany w treści — na przykład trzecim. Jeśli wychodzi zgodnie z danymi, mnożnik jest dobry.

Zmiana znaku tylko przy pierwszym składniku nawiasu

Skąd się bierze: Minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich składników w środku, a nie wyłącznie tego pierwszego. Pominięcie pozostałych daje wynik przesunięty o ich podwojoną wartość.

Jak zrobić dobrze: Potraktuj minus przed nawiasem jak mnożenie przez minus jeden i pomnóż każdy składnik osobno. Kontrolą jest policzenie nawiasu w całości i odjęcie wyniku.

Porównywanie liczb ujemnych po samych cyfrach

Skąd się bierze: Odruch podpowiada, że minus pięć jest większe od minus trzech, bo pięć jest większe od trzech. Na osi liczbowej minus pięć leży jednak dalej w lewo, więc jest mniejsze.

Jak zrobić dobrze: Porównaj odległości od zera i odwróć wynik. Można też wyobrazić sobie oś: liczba położona bardziej w prawo jest zawsze większa, po obu stronach zera.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — zestaw mieszany

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

To zestaw z różnych działów, więc kolor za każdym razem pokazuje to samo w innym przebraniu: zielona to wielkość, od której zaczynamy (podstawa porównania, wartość wyjściowa), a czerwona to przelicznik albo druga wielkość, z którą ją zestawiamy.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Dostaniesz wszystkie 8 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. To komplet zadań zamkniętych z tego działu, więc kolejne podejście będzie powtórką tych samych zadań.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pkttrudniejsze

Dane są trzy liczby:   x=5,27⋅10−3\;x = 5{,}27 \cdot 10^{-3},   y=0,0023\;y = 0{,}0023,   z=1400⋅10−5\;z = 1400 \cdot 10^{-5}. Uporządkowano je od najmniejszej do największej. Który zapis przedstawia poprawne uporządkowanie?
  • A. x<y<zx < y < z
  • B. y<x<zy < x < z
  • C. z<y<xz < y < x
  • D. x<z<yx < z < y
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Żeby porównać liczby, sprowadzamy je wszystkie do zwykłego zapisu dziesiętnego.
  2. x=5,27⋅10−3x = 5{,}27 \cdot 10^{\textcolor{#E0453A}{-3}} — przesuwamy przecinek o 3\textcolor{#E0453A}{3} miejsca w lewo: x=0,00527x = \textcolor{#16A06A}{0{,}00527}.
  3. y=0,0023y = \textcolor{#16A06A}{0{,}0023} — już jest w zapisie dziesiętnym.
  4. z=1400⋅10−5z = 1400 \cdot 10^{\textcolor{#E0453A}{-5}} — przesuwamy przecinek o 5\textcolor{#E0453A}{5} miejsc w lewo: z=0,014z = \textcolor{#16A06A}{0{,}014}.
  5. Porównujemy: 0,0023<0,00527<0,014\textcolor{#16A06A}{0{,}0023} < \textcolor{#16A06A}{0{,}00527} < \textcolor{#16A06A}{0{,}014}, czyli y<x<zy < x < z.
  6. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Przy porównywaniu ułamków dziesiętnych dopisz zera, żeby wszystkie miały tyle samo miejsc: 0,00230, 0,00527, 0,01400. Wtedy porównanie jest oczywiste.

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie po liczbach przed potęgą (1400 > 5,27 > 0,0023), z pominięciem wykładników. Ujemny wykładnik oznacza liczbę mniejszą, a im większa jego wartość bezwzględna, tym mniejsza liczba.

Zadanie 2 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Dane jest równanie   5+1−x2=2(x−1)\;5 + \dfrac{1 - x}{2} = 2(x - 1). Dokończ zdanie.
Rozwiązaniem tego równania jest liczba
  • A. 2
  • B. 2122\dfrac{1}{2}
  • C. 3
  • D. 4134\dfrac{1}{3}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Najpierw pozbywamy się ułamka — mnożymy całe równanie przez 2\textcolor{#E0453A}{2}:
  2. 2⋅5+(1−x)=2⋅2(x−1)\textcolor{#E0453A}{2} \cdot 5 + (1 - x) = \textcolor{#E0453A}{2} \cdot 2(x - 1), czyli 10+1−x=4(x−1)10 + 1 - x = 4(x - 1).
  3. Porządkujemy lewą stronę i opuszczamy nawias po prawej: 11−x=4x−411 - \textcolor{#16A06A}{x} = 4\textcolor{#16A06A}{x} - 4.
  4. Przenosimy niewiadome na prawo, liczby na lewo: 11+4=4x+x11 + 4 = 4\textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#16A06A}{x}, czyli 15=5x15 = 5\textcolor{#16A06A}{x}.
  5. Stąd x=3\textcolor{#16A06A}{x} = 3 — odpowiedź C.
  6. Sprawdzenie: lewa strona 5+1−32=5−1=45 + \dfrac{1-3}{2} = 5 - 1 = 4; prawa 2(3−1)=42(3-1) = 4 ✓

💡 Wskazówka: Mnożąc równanie przez liczbę, pamiętaj o każdym składniku po obu stronach — także o tych bez ułamka. Tu piątka też musi zostać pomnożona przez 2.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie przez 2 tylko ułamka, a pominięcie piątki i prawej strony. Zawsze warto sprawdzić wynik przez podstawienie — zajmuje kilkanaście sekund.

Zadanie 3 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Fragment etykiety opakowania śmietany — wartość odżywcza w 100 g produktu:
tłuszcz18 g
węglowodany4 g
białko3 g
sól0,15 g
Uzupełnij zdania.
W opakowaniu zawierającym 200 g tej śmietany jest AB dag białka.
  • A. 0,6
  • B. 0,06
Masa tłuszczu w dowolnej porcji tej śmietany jest CD razy większa od masy soli.
  • C. 12
  • D. 120
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, D

  1. Pierwsze zdanie. W 100 g jest 3\textcolor{#16A06A}{3} g białka, więc w 200 g (dwa razy więcej) jest 3⋅2=6\textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = 6 g.
  2. Teraz zamiana jednostek: 1 dag = 10 g, więc 6 g =6:10=0,6= 6 : 10 = 0{,}6 dag — odpowiedź A.
  3. Drugie zdanie. Stosunek tłuszczu do soli jest taki sam w każdej porcji, bo obie masy rosną proporcjonalnie. Wystarczy więc policzyć go dla 100 g.
  4. 180,15=180015=120\dfrac{\textcolor{#16A06A}{18}}{\textcolor{#E0453A}{0{,}15}} = \dfrac{1800}{15} = 120 — odpowiedź D.
  5. Razem: A, D.

💡 Wskazówka: Przy dzieleniu przez liczbę z przecinkiem pomnóż obie liczby przez 100: 180,15=180015\tfrac{18}{0{,}15} = \tfrac{1800}{15}. Rachunek robi się wtedy na liczbach całkowitych.

⚠ Najczęstszy błąd w pierwszym zdaniu: dzielenie przez 100 zamiast przez 10 (wychodzi 0,06 — kusząca odpowiedź B). Dekagram to 10 gramów, nie 100.

Zadanie 4 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Adam zapisał w przypadkowej kolejności temperatury odnotowane pewnego zimowego dnia w Zakopanem, w Wiśle, w Karpaczu i w Szklarskiej Porębie. Zapisane wartości to:   −8°C\;-8°C,   −5°C\;-5°C,   −3°C\;-3°C,   −2°C\;-2°C.
Temperatura w Karpaczu była o 6°C6°C wyższa niż w Szklarskiej Porębie, a w Wiśle była niższa niż w Zakopanem. Dokończ zdanie.
Temperaturę −5°-5° zanotowano w
  • A. Szklarskiej Porębie.
  • B. Zakopanem.
  • C. Karpaczu.
  • D. Wiśle.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Zaczynamy od warunku, który daje konkretną liczbę — różnicę 6°C6°C między Karpaczem a Szklarską Porębą.
  2. Szukamy wśród podanych temperatur pary różniącej się dokładnie o 6: −8\textcolor{#16A06A}{-8} i −2\textcolor{#16A06A}{-2}, bo −2−(−8)=6\textcolor{#16A06A}{-2} - (\textcolor{#16A06A}{-8}) = 6 ✓
  3. Karpacz jest cieplejszy, więc Karpacz =−2°C= \textcolor{#16A06A}{-2}°C, a Szklarska Poręba =−8°C= \textcolor{#16A06A}{-8}°C.
  4. Zostają dwie temperatury: −5\textcolor{#E0453A}{-5} i −3\textcolor{#E0453A}{-3} — dla Wisły i Zakopanego.
  5. Wisła była chłodniejsza niż Zakopane, a −5<−3\textcolor{#E0453A}{-5} < \textcolor{#E0453A}{-3}, więc Wisła =−5°C= \textcolor{#E0453A}{-5}°C, Zakopane =−3°C= \textcolor{#E0453A}{-3}°C.
  6. Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Zacznij od najbardziej „sztywnego” warunku — takiego, który jednoznacznie wskazuje parę liczb. Reszta zwykle układa się sama.

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie temperatur ujemnych jak dodatnich — uznanie, że -5 jest „większe” od -3, bo 5>35 > 3. Im dalej od zera w stronę minusa, tym zimniej.

Zadanie 5 (czerwiec 2024)1 pktłatwe

Dane są cztery liczby:
I. -9,25  ·  II. -1,25  ·  III. 1,25  ·  IV. 9,25
Do której z liczb I–IV należy dodać liczbę (−4)(-4), aby otrzymać liczbę (−5,25)(-5{,}25)?
  • A. I
  • B. II
  • C. III
  • D. IV
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Szukamy liczby a\textcolor{#16A06A}{a}, dla której a+(−4)=−5,25\textcolor{#16A06A}{a} + (\textcolor{#E0453A}{-4}) = -5{,}25.
  2. Przenosimy czwórkę na drugą stronę — odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie:
  3. a=−5,25+4=−1,25\textcolor{#16A06A}{a} = -5{,}25 + \textcolor{#E0453A}{4} = -1{,}25.
  4. To liczba II — odpowiedź B.
  5. Sprawdzenie: −1,25+(−4)=−5,25-1{,}25 + (-4) = -5{,}25 ✓

💡 Wskazówka: Kontrola bez rachunków: dodajemy liczbę ujemną, więc wynik musi być mniejszy od szukanej liczby. Skoro wynik to -5,25, szukana liczba jest od niego większa — to od razu skreśla odpowiedź I.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie 4 zamiast dodania przy przenoszeniu na drugą stronę (wychodzi -9,25, czyli kusząca odpowiedź A).

Zadanie 6 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Działka ma powierzchnię 200 arów. Warzywa zajmują 130 arów, jabłonie rosną na 15\dfrac{1}{5} pozostałej części działki, a resztę zajmują śliwy. Dokończ zdanie.
Śliwy zajmują powierzchnię
  • A. 14 arów.
  • B. 30 arów.
  • C. 56 arów.
  • D. 70 arów.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Krok 1 — co zostaje po warzywach? 200−130=70200 - 130 = \textcolor{#16A06A}{70} arów.
  2. Krok 2 — jabłonie. To 15\tfrac15 pozostałej części, czyli 15\tfrac15 z 70\textcolor{#16A06A}{70}: 70:5=14\textcolor{#16A06A}{70} : \textcolor{#E0453A}{5} = 14 arów.
  3. Krok 3 — śliwy. To cała reszta: 70−14=56\textcolor{#16A06A}{70} - 14 = 56 arów.
  4. Odpowiedź C.
  5. Szybciej: skoro jabłonie zajmują 15\tfrac15 reszty, to śliwy 45\tfrac45 reszty: 45⋅70=56\tfrac45 \cdot \textcolor{#16A06A}{70} = 56 arów ✓

💡 Wskazówka: Zwrot „15\tfrac15 pozostałej części” oznacza, że ułamek liczymy od 70 arów, a nie od całych 200. To najczęstsza pułapka w tego typu zadaniach.

⚠ Trzy kuszące błędne odpowiedzi naraz: 70 arów to cała reszta (bez odjęcia jabłoni), 14 arów to same jabłonie, a 30 arów wychodzi przy liczeniu 15\tfrac15 z 200 arów.

Zadanie 7 (czerwiec 2023)1 pktłatwe

W pewnym zoo mieszkają słoń afrykański o masie 6 ton oraz góralek skalny o masie 3 kg. Dokończ zdanie.
Masa słonia afrykańskiego jest większa niż masa góralka skalnego
  • A. 20 razy.
  • B. 200 razy.
  • C. 2 0002\,000 razy.
  • D. 20 00020\,000 razy.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Masy podano w różnych jednostkach, więc najpierw je ujednolicamy.
  2. 1 tona =1000= \textcolor{#E0453A}{1000} kg, więc słoń waży 6⋅1000=60006 \cdot \textcolor{#E0453A}{1000} = \textcolor{#16A06A}{6000} kg.
  3. Teraz dzielimy: 6000:3=2000\textcolor{#16A06A}{6000} : 3 = 2000.
  4. Odpowiedź C — słoń jest 2000 razy cięższy.

💡 Wskazówka: Zawsze zamień jednostki przed dzieleniem. Zapamiętaj: 1 t = 1000 kg, 1 kg = 1000 g, 1 kg = 100 dag.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 6:3=26 : 3 = 2 i dopisanie zer „na oko”. Wynik różni się wtedy o cały rząd wielkości — stąd wśród odpowiedzi aż trzy warianty z zerami.

Zadanie 8 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Podczas spaceru w czasie każdych 10 sekund Ewa robi taką samą liczbę aa kroków. Ile kroków zrobi Ewa w czasie 3 minut tego spaceru?
  • A. 6a6a
  • B. 18a18a
  • C. 30a30a
  • D. 180a180a
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Sprowadzamy czas do jednej jednostki: 3 minuty =3⋅60=180= 3 \cdot 60 = \textcolor{#16A06A}{180} sekund.
  2. Teraz pytanie brzmi: ile razy 10\textcolor{#E0453A}{10}-sekundowy odcinek mieści się w 180\textcolor{#16A06A}{180} sekundach?
  3. 180:10=18\textcolor{#16A06A}{180} : \textcolor{#E0453A}{10} = 18 takich odcinków.
  4. W każdym Ewa robi aa kroków, więc razem: 18a18a — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Rozbij zadanie na dwa kroki: najpierw ile razy mieści się dana jednostka czasu, potem pomnóż przez liczbę kroków. Nie mnóż od razu przez 180.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie 180⋅a180 \cdot a (kusząca odpowiedź D) — czyli potraktowanie aa jako liczby kroków na sekundę, a nie na dziesięć sekund.

Zadanie 9 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Rozwiązaniem równania   −2(x−1)−3(2−x)=0  \;-2(x - 1) - 3(2 - x) = 0\; jest liczba
  • A. -4
  • B. -1,6
  • C. 0,8
  • D. 4
  • E. 8
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Opuszczamy nawiasy, pilnując znaków — przed oboma stoi minus.
  2. −2(x−1)=−2x+2-2(x - 1) = \textcolor{#16A06A}{-2x} + 2  (bo −2⋅(−1)=+2-2 \cdot (-1) = +2).
  3. −3(2−x)=−6+3x-3(2 - x) = -6 \textcolor{#16A06A}{+ 3x}  (bo −3⋅(−x)=+3x-3 \cdot (-x) = +3x).
  4. Składamy: −2x+2−6+3x=0\textcolor{#16A06A}{-2x} + 2 - 6 \textcolor{#16A06A}{+ 3x} = 0.
  5. Redukujemy wyrazy podobne: −2x+3x=x\textcolor{#16A06A}{-2x + 3x} = \textcolor{#16A06A}{x} oraz 2−6=−4\textcolor{#E0453A}{2 - 6} = \textcolor{#E0453A}{-4}.
  6. Zostaje x−4=0\textcolor{#16A06A}{x} \textcolor{#E0453A}{- 4} = 0, czyli x=4\textcolor{#16A06A}{x} = 4 — odpowiedź D.
  7. Sprawdzenie: −2(4−1)−3(2−4)=−6−3⋅(−2)=−6+6=0-2(4-1) - 3(2-4) = -6 - 3 \cdot (-2) = -6 + 6 = 0 ✓

💡 Wskazówka: Przy dwóch nawiasach z minusem wypisz osobno cztery iloczyny ze znakami, zanim je zsumujesz. To dłuższe o pięć sekund, ale znacznie pewniejsze.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie −3⋅(−x)-3 \cdot (-x) jako −3x-3x. Wtedy wyrazy z xx się dodają zamiast redukować i wynik wychodzi ujemny — stąd kuszące odpowiedzi A i B.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B2. C3. A, D4. D5. B6. C
7. C8. B9. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Zadania z arkuszy CKE — odkrywanie reguł i związków liczbowych

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 2 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor oddziela kolejne wyrazy ciągu od tego, co je ze sobą łączy — czyli od przyrostu, mnożnika albo pozycji w powtarzającym się cyklu. Reguła zawsze siedzi w czerwonych liczbach: gdy je wypiszesz obok siebie, zwykle od razu widać, co się dzieje.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pkttrudniejsze

Z kart w kształcie trójkąta równobocznego o boku 2 cm układano figury: trójkąty ustawiano w jeden poziomy pas, każdy kolejny odwrócony względem poprzedniego (wierzchołkiem raz do góry, raz do dołu). Kolejne figury składały się z 1, 2, 3, 4, 5… trójkątów — przy nieparzystej ich liczbie powstaje trapez. Ile takich trójkątów należy ułożyć, aby otrzymać trapez o obwodzie równym 42 cm?
Pas pięciu trójkątów równobocznych o boku 2 cm tworzący trapez2 cm
  • A. 7
  • B. 11
  • C. 19
  • D. 21
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Przyjrzyjmy się, z czego składa się obwód trapezu ułożonego z nn trójkątów (gdzie nn jest nieparzyste).
  2. Ramiona — to dwa skrajne boki, każdy po 2 cm, razem 4\textcolor{#E0453A}{4} cm.
  3. Dolna podstawa — leży na niej n+12\dfrac{n+1}{2} boków, górna — n−12\dfrac{n-1}{2} boków. Razem podstawy mają n+12+n−12=n\dfrac{n+1}{2} + \dfrac{n-1}{2} = \textcolor{#16A06A}{n} boków, czyli 2n2\textcolor{#16A06A}{n} cm.
  4. Cały obwód: 2n+42\textcolor{#16A06A}{n} + \textcolor{#E0453A}{4} cm — sprawdźmy na małym przypadku. Dla n=3n = 3: podstawy 2 cm i 4 cm, ramiona 2+2 cm, obwód =10= 10 cm, a wzór daje 2⋅3+4=102 \cdot 3 + 4 = 10 ✓
  5. Rozwiązujemy równanie: 2n+4=422\textcolor{#16A06A}{n} + \textcolor{#E0453A}{4} = 42, czyli 2n=382\textcolor{#16A06A}{n} = 38, więc n=19\textcolor{#16A06A}{n} = 19.
  6. Odpowiedź C. (Liczba 19 jest nieparzysta, więc trapez rzeczywiście powstanie ✓)

💡 Wskazówka: Zamiast wyprowadzać wzór, można policzyć obwody kilku pierwszych trapezów: 3 trójkąty → 10 cm, 5 → 14 cm, 7 → 18 cm. Obwód rośnie o 4 cm co dwa trójkąty, czyli o 2 cm na trójkąt — stąd od razu widać zależność.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie obwodu jako sumy obwodów wszystkich trójkątów (n⋅6n \cdot 6 cm). Boki, którymi trójkąty się stykają, znikają w środku figury i nie należą do obwodu.

Zadanie 2 (czerwiec 2025)1 pktłatwe

Zapisywano kolejno liczby według następującej zasady:
• liczbę 6 zapisano jako pierwszą,
• każda następna zapisana liczba była połową liczby poprzedniej.
Dokończ zdanie.
Piątą liczbą, którą zapisano, jest
  • A. 32\dfrac{3}{2}
  • B. 34\dfrac{3}{4}
  • C. 38\dfrac{3}{8}
  • D. 316\dfrac{3}{16}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Wypisujemy liczby po kolei, za każdym razem dzieląc przez 2\textcolor{#E0453A}{2}:
  2. 1. 6\textcolor{#16A06A}{6}  →  2. 3\textcolor{#16A06A}{3}  →  3. 32\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{2}}  →  4. 34\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}}  →  5. 38\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{8}}
  3. Piąta zapisana liczba to 38\dfrac{3}{8} — odpowiedź C.
  4. Zauważ regułę: licznik pozostaje 3, a mianownik podwaja się przy każdym kroku (1, 2, 4, 8).

💡 Wskazówka: Dzielenie ułamka przez 2 to podwojenie mianownika, a nie zmiana licznika: 34:2=38\tfrac34 : 2 = \tfrac38. Wielu uczniów odruchowo dzieli licznik.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie czterech kroków zamiast czterech przejść i podanie 316\tfrac{3}{16} (kusząca odpowiedź D). Szóstka jest liczbą pierwszą, więc do piątej dzielimy tylko cztery razy.

Zadanie 3 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

W pudełku są kulki czerwone, zielone i niebieskie. Kulek czerwonych jest trzy razy więcej niż zielonych i o dwie mniej niż niebieskich. Uzupełnij zdania.
W pudełku najmniej jest kulek AB.
  • A. niebieskich
  • B. zielonych
Jeśli liczbę kulek zielonych oznaczymy przez xx, to liczbę wszystkich kulek w pudełku opisuje wyrażenie CD.
  • C. 7x−27x - 2
  • D. 7x+27x + 2
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

  1. Zapisujemy wszystko przez xx — liczbę kulek zielonych.
  2. Zielone: x\textcolor{#16A06A}{x}.   Czerwone: trzy razy więcej, czyli 3x\textcolor{#16A06A}{3x}.
  3. Niebieskie: czerwonych jest o dwie mniej niż niebieskich, więc niebieskich jest o dwie więcej: 3x+2\textcolor{#16A06A}{3x} + \textcolor{#E0453A}{2}.
  4. Pierwsze zdanie. Porównujemy: x<3x<3x+2\textcolor{#16A06A}{x} < \textcolor{#16A06A}{3x} < \textcolor{#16A06A}{3x} + \textcolor{#E0453A}{2} — najmniej jest zielonych, odpowiedź B.
  5. Drugie zdanie. Sumujemy wszystkie: x+3x+(3x+2)=7x+2\textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#16A06A}{3x} + (\textcolor{#16A06A}{3x} + \textcolor{#E0453A}{2}) = \textcolor{#16A06A}{7x} + \textcolor{#E0453A}{2} — odpowiedź D.
  6. Razem: B, D.

💡 Wskazówka: Warto oznaczać literą najmniejszą z porównywanych wielkości — wtedy pozostałe wyrażają się przez mnożenie i dodawanie, bez ułamków i odejmowania.

⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie niebieskich jako 3x−23x - 2 (co daje odpowiedź C). Zdanie „czerwonych jest o dwie mniej niż niebieskich” znaczy, że niebieskich jest więcej — więc do nich dodajemy dwójkę.

Zadanie 4 (kwiecień 2020)1 pkttrudniejsze

Tomek narysował według pewnej reguły cztery łamane. Ich długości zapisał w tabeli:
Numer łamanejIIIIIIIV
Długość łamanej381524
Kolejne łamane — od numeru V — Tomek rysował zgodnie z tą samą regułą. Uzupełnij zdania.
Łamana o długości 48 ma numer AB.
  • A. VI
  • B. VII
Łamana o numerze VIII ma długość CD.
  • C. 63
  • D. 80
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, D

  1. Regułę najłatwiej znaleźć, licząc różnice między kolejnymi długościami:
  2. 8−3=58 - 3 = \textcolor{#E0453A}{5},   15−8=715 - 8 = \textcolor{#E0453A}{7},   24−15=924 - 15 = \textcolor{#E0453A}{9}.
  3. Różnice rosną co 2, więc kolejne będą wynosić 11\textcolor{#E0453A}{11}, 13\textcolor{#E0453A}{13}, 15\textcolor{#E0453A}{15}, 17\textcolor{#E0453A}{17}.
  4. Dopisujemy dalsze wyrazy: V =24+11=35= 24 + \textcolor{#E0453A}{11} = \textcolor{#16A06A}{35},   VI =35+13=48= \textcolor{#16A06A}{35} + \textcolor{#E0453A}{13} = \textcolor{#16A06A}{48},   VII =48+15=63= \textcolor{#16A06A}{48} + \textcolor{#E0453A}{15} = \textcolor{#16A06A}{63},   VIII =63+17=80= \textcolor{#16A06A}{63} + \textcolor{#E0453A}{17} = \textcolor{#16A06A}{80}.
  5. Pierwsze zdanie: długość 48 ma łamana numer VI — odpowiedź A.
  6. Drugie zdanie: łamana VIII ma długość 80 — odpowiedź D. Razem: A, D.
  7. Można też zauważyć wzór wprost: nn-ta długość to n(n+2)n(n+2) — sprawdźmy: 1⋅3=31 \cdot 3 = 3, 2⋅4=82 \cdot 4 = 8, 3⋅5=153 \cdot 5 = 15, 4⋅6=244 \cdot 6 = 24 ✓, a 8⋅10=808 \cdot 10 = 80 ✓

💡 Wskazówka: Gdy nie widać reguły od razu, policz różnice między kolejnymi wyrazami. Jeśli i one nie są stałe — policz różnice różnic. Tutaj drugie różnice są równe 2, co zdradza zależność kwadratową.

⚠ Pułapka jest w pierwszym zdaniu: liczba 63 (odpowiedź C w drugim podpunkcie) to długość łamanej VII. Łatwo pomylić numery, gdy dopisuje się wyrazy w pośpiechu — warto wypisać je w słupku z numerami.

Zadanie 5 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Poniżej podano kilka kolejnych potęg liczby 7:
71=77^1 = 772=497^2 = 4973=3437^3 = 34374=24017^4 = 240175=16 8077^5 = 16\,807
76=117 6497^6 = 117\,64977=823 5437^7 = 823\,54378=5 764 8017^8 = 5\,764\,80179=40 353 6077^9 = 40\,353\,607…
Dokończ zdanie.
Cyfrą jedności liczby 71907^{190} jest
  • A. 1
  • B. 3
  • C. 7
  • D. 9
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Wypisujemy same cyfry jedności kolejnych potęg siódemki:
  2. 71→77^1 \to \textcolor{#16A06A}{7},   72→97^2 \to \textcolor{#16A06A}{9},   73→37^3 \to \textcolor{#16A06A}{3},   74→17^4 \to \textcolor{#16A06A}{1},   75→77^5 \to \textcolor{#16A06A}{7},   76→97^6 \to \textcolor{#16A06A}{9}…
  3. Widać, że cyfry powtarzają się w cyklu o długości 4\textcolor{#E0453A}{4}: 7,9,3,17, 9, 3, 1, a potem od nowa.
  4. Żeby ustalić, w którym miejscu cyklu wypada 71907^{190}, dzielimy wykładnik przez 4\textcolor{#E0453A}{4} i patrzymy na resztę:
  5. 190:4=47190 : \textcolor{#E0453A}{4} = 47 reszty 2\textcolor{#E0453A}{2}.
  6. Reszta 2\textcolor{#E0453A}{2} oznacza drugą pozycję w cyklu, a tam stoi cyfra 9\textcolor{#16A06A}{9}.
  7. Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Cyfra jedności każdej potęgi powtarza się cyklicznie — dla 7 cykl ma długość 4, dla 2 również 4, dla 3 też 4, a dla 5 i 6 cykl ma długość 1 (zawsze kończą się na 5 i 6).

⚠ Najczęstszy błąd: reszta 0 traktowana jako „pozycja zerowa”. Gdyby wykładnik dzielił się przez 4 (np. 71887^{188}), reszta wynosiłaby 0 i trzeba by wziąć ostatnią cyfrę cyklu, czyli 1.

Zadanie 6 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Zaczynając od punktu (0,0)(0,0), budujemy łamaną zwijającą się w spiralę. Kolejne odcinki numerujemy liczbami naturalnymi, a ich długości rosną według reguły widocznej na rysunku: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, … — czyli co dwa odcinki długość zwiększa się o 1. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Łamana zwijająca się w spiralę — osiem początkowych odcinków12345678
Łamana złożona z początkowych 7 odcinków ma długość 16.PF
Długość setnego odcinka łamanej jest równa 100.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

  1. Zdanie 1. Wypisujemy długości siedmiu pierwszych odcinków: 1,1,2,2,3,3,4\textcolor{#16A06A}{1}, \textcolor{#16A06A}{1}, \textcolor{#16A06A}{2}, \textcolor{#16A06A}{2}, \textcolor{#16A06A}{3}, \textcolor{#16A06A}{3}, \textcolor{#16A06A}{4}.
  2. Sumujemy: 1+1+2+2+3+3+4=161 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16 ✓ — prawda.
  3. Zdanie 2. Szukamy reguły dla dowolnego numeru. Skoro każda długość powtarza się dwa razy, to długość odcinka o numerze nn jest mniej więcej połową tego numeru.
  4. Dokładniej: odcinki 1 i 2 mają długość 1, odcinki 3 i 4 — długość 2, odcinki 5 i 6 — długość 3…
  5. Odcinki 99\textcolor{#E0453A}{99} i 100\textcolor{#E0453A}{100} mają zatem długość 100:2=50100 : \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#16A06A}{50}, a nie 100 — fałsz.
  6. Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Zauważ, że numer odcinka rośnie dwa razy szybciej niż jego długość. Zawsze warto sprawdzić taką regułę na kilku małych przypadkach, zanim przeniesie się ją na setny wyraz.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: przyjęcie, że „nn-ty odcinek ma długość nn”. Tak byłoby, gdyby każda długość występowała raz — a tu każda pojawia się dwukrotnie, więc długość rośnie o połowę wolniej.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C2. C3. B, D4. A, D5. D6. P, F

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Jak znaleźć regułę w ciągu liczb?

Policz różnice między kolejnymi wyrazami. Jeśli są stałe, reguła polega na dodawaniu tej samej liczby. Jeśli rosną równomiernie, w regule pojawia się kwadrat. Jeśli różnice nie układają się w żaden wzór, sprawdź ilorazy — być może kolejne wyrazy powstają przez mnożenie.

Jak policzyć, ile patyczków będzie w dziesiątej figurze?

Zapisz liczby patyczków w kolejnych figurach jako ciąg liczb i policz różnice. Potem do liczby z pierwszej figury dodaj różnicę pomnożoną przez dziewięć — nie przez dziesięć, bo pierwsza figura już istnieje. Sprawdź wzór na figurze podanej w treści.

Dlaczego minus trzy jest większe od minus pięciu?

Bo na osi liczbowej leży bardziej w prawo, a im dalej w prawo, tym liczba większa. Przy liczbach ujemnych porównanie odległości od zera trzeba odwrócić: większa odległość od zera oznacza mniejszą wartość.

Co się dzieje ze znakami przy opuszczaniu nawiasu?

Minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika w środku, a plus nie zmienia niczego. Najbezpieczniej potraktować minus jak mnożenie przez minus jeden i przemnożyć każdy składnik osobno — wtedy nie da się żadnego pominąć.

Czy zadania na odkrywanie reguł są zawsze trudne?

Nie trudniejsze niż reszta arkusza, ale inne — nie da się do nich przypisać gotowej procedury po samym temacie. Praktyczna rada: jeśli reguła nie ujawni się w ciągu minuty, zostaw zadanie i wróć na końcu. Takie zadania albo rozwiązują się szybko, albo wcale.

Jak sprawdzić, czy znaleziona reguła jest poprawna?

Podstaw do niej numery wszystkich wyrazów podanych w treści i porównaj wyniki z danymi. Reguła pasująca do trzech z czterech elementów nie jest regułą. To najtańsza kontrola w całym arkuszu i wyłapuje praktycznie każdą pomyłkę w tym typie zadań.

Czytaj dalej

Wyrażenia algebraiczne na egzaminieZapis reguły wzorem i opuszczanie nawiasów z literamiDziałania na ułamkach na egzaminieLiczby ujemne, kolejność działań i reguła znakówOś liczbowa na egzaminieDlaczego minus trzy jest większe od minus pięciuZadania tekstowe na egzaminieDruga grupa zadań, w których liczy się rozumowanieEgzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.