Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2020
Zadanie z E8 (kwiecień 2020) – zadania na dowodzenie w geometrii
W trójkącie o kątach wewnętrznych α, β, γ miara kąta α jest równa różnicy miar dwóch pozostałych kątów. Uzasadnij, że ten trójkąt jest prostokątny.
2pkt · średnie
Zadanie 2 (kwiecień 2020)2 pktśrednie
W trójkącie o kątach wewnętrznych , , miara kąta jest równa różnicy miar dwóch pozostałych kątów. Uzasadnij, że ten trójkąt jest prostokątny.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: β = 90°
- Krok 1 — zapisujemy założenie. Przyjmijmy, że jest większy z dwóch pozostałych kątów. Warunek z treści to:
- Krok 2 — dopisujemy to, co zawsze prawdziwe. Suma kątów wewnętrznych trójkąta:
- Krok 3 — podstawiamy pierwsze równanie do drugiego. W miejsce wpisujemy :
- Kąty się redukują — i to jest sedno całego dowodu:
- , czyli . ∎
- Wniosek: jeden z kątów trójkąta ma miarę , więc trójkąt jest prostokątny — co należało uzasadnić.
💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że wynik nie zależy od konkretnych wartości i — kąt prosty wychodzi zawsze. Właśnie tym dowód różni się od zwykłego zadania rachunkowego.
⚠ Najczęstszy błąd: podstawienie przykładowych liczb (np. , , ) i uznanie tego za dowód. Jeden przykład niczego nie dowodzi — trzeba pokazać, że tak jest dla każdego takiego trójkąta.
Sklep Nie każ mu liczyć!
Przygotuj się do E8: zadania na dowodzenie w geometrii i pełne arkusze
Karty pracy i arkusze z kluczem — do druku od razu po zakupie.
E8 z matematyki: wyrażenia i równania, kl. 8 — 12 kart PDF z kluczem12 kart z tego zakresu, z kluczem7,90 zł · PDF do druku
Egzamin ósmoklasisty z matematyki — 5 arkuszy z rozwiązaniami, cz. 15 pełnych arkuszy E8 z rozwiązaniami24,90 zł · PDF do druku
10 minut do egzaminu ósmoklasisty — matematyka: 30 dni, PDF z kluczemCodziennie 10 minut przez 30 dni14,90 zł · PDF do drukuPodobne zadania z E8
- Trzy proste przecinają się w punktach A, B i C, tworząc trójkąt ABC. Odcinki AC i BC są równej długości. Kąt… (czerwiec 2020)
- Długości boków czworokąta opisano za pomocą wyrażeń algebraicznych: 2x - 15, x + 5, 32x - 5 oraz 12x + 15… (marzec 2020)
- W trójkącie równoramiennym ABC, w którym |AC| = |BC|, poprowadzono dwie wysokości: AD (z wierzchołka A na bok… (czerwiec 2019)
- Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i DC. Punkt E leży w połowie ramienia BC. Prostą poprowadzoną przez… (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)
- Trzy proste przecinają się tak, że tworzą trójkąt ABC: jedna z nich przechodzi przez A i B, druga przez A i… (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)
- Uzasadnij, że dwusieczne kątów BAD i ABC równoległoboku ABCD są prostopadłe. (materiały CKE)
