Egzamin ósmoklasisty · matematyka · marzec 2021

Zadanie z E8 (marzec 2021) – obliczanie i przekształcanie wzorów

Zależność między liczbą przekątnych ( k ) a liczbą boków ( n ) wielokąta wypukłego określa wzór k = n(n - 3)/2. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · średnie

Zadanie 6 (marzec 2021)1 pktśrednie

Zależność między liczbą przekątnych (

k

) a liczbą boków (

n

) wielokąta wypukłego określa wzór

\;k = \dfrac{n(n - 3)}{2}

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Liczba przekątnych w dwunastokącie wypukłym jest trzy razy większa od liczby przekątnych w czworokącie wypukłym.	P	F
Liczba przekątnych w ośmiokącie wypukłym jest o $11$ większa od liczby przekątnych w sześciokącie wypukłym.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Za każdym razem podstawiamy liczbę boków do wzoru.
Dwunastokąt ( $\textcolor{#E0453A}{n = 12}$ ): $k = \dfrac{12 \cdot (12 - 3)}{2} = \dfrac{12 \cdot 9}{2} = \textcolor{#16A06A}{54}$ .
Czworokąt ( $\textcolor{#E0453A}{n = 4}$ ): $k = \dfrac{4 \cdot 1}{2} = \textcolor{#16A06A}{2}$ .
Zdanie $\boldsymbol{1}$ : czy $\textcolor{#16A06A}{54} = 3 \cdot \textcolor{#16A06A}{2}$ ? Nie — $3 \cdot 2 = 6$ , a nie $54$ — fałsz.
Ośmiokąt ( $\textcolor{#E0453A}{n = 8}$ ): $k = \dfrac{8 \cdot 5}{2} = \textcolor{#16A06A}{20}$ . Sześciokąt ( $\textcolor{#E0453A}{n = 6}$ ): $k = \dfrac{6 \cdot 3}{2} = \textcolor{#16A06A}{9}$ .
Zdanie $\boldsymbol{2}$ : $\textcolor{#16A06A}{20} - \textcolor{#16A06A}{9} = 11$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Skąd bierze się ten wzór? Z każdego z $n$ wierzchołków wychodzi $n-3$ przekątnych (nie liczymy jego samego ani dwóch sąsiadów), a każdą przekątną liczymy dwa razy — stąd dzielenie przez $2$ .

⚠ Częsty błąd: intuicja „trzy razy więcej boków, więc trzy razy więcej przekątnych”. Liczba przekątnych rośnie znacznie szybciej niż liczba boków — zależy od $n^2$ .