Egzamin ósmoklasisty · matematyka · marzec 2021

Zadanie z E8 (marzec 2021) – prostopadłościan i sześcian

Dwa sześciany — jeden o krawędzi 2 i drugi o krawędzi 3 — pocięto na sześciany o krawędzi 1. Z otrzymanych sześcianów zbudowano prostopadłościan. Żadna ściana tego prostopadłościanu nie jest kwadratem. Dokończ zdanie. Pole powierzchni zbudowanego prostopadłościanu jest równe

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 8 (marzec 2021)1 pkttrudniejsze

Dwa sześciany — jeden o krawędzi 2 i drugi o krawędzi 3 — pocięto na sześciany o krawędzi 1. Z otrzymanych sześcianów zbudowano prostopadłościan. Żadna ściana tego prostopadłościanu nie jest kwadratem. Dokończ zdanie.
Pole powierzchni zbudowanego prostopadłościanu jest równe

A. $35$
B. $47$
C. $94$
D. $142$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — ile mamy kostek. $\textcolor{#16A06A}{2}^3 + \textcolor{#16A06A}{3}^3 = 8 + 27 = \textcolor{#E0453A}{35}$ kostek jednostkowych.
Krok 2 — jakie wymiary są możliwe. Szukamy trójki liczb naturalnych o iloczynie $\textcolor{#E0453A}{35}$ . Ponieważ $35 = 5 \cdot 7$ (obie liczby pierwsze), są tylko dwie możliwości: $1 \times 1 \times 35$ oraz $1 \times 5 \times 7$ .
Krok 3 — który wariant odpada. Prostopadłościan $1 \times 1 \times 35$ ma dwie ściany $1 \times 1$ , czyli kwadraty — a treść tego zabrania. Zostaje $\textcolor{#16A06A}{1} \times \textcolor{#16A06A}{5} \times \textcolor{#16A06A}{7}$ .
Krok 4 — pole powierzchni. $P = 2(\textcolor{#16A06A}{1} \cdot \textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#16A06A}{1} \cdot \textcolor{#16A06A}{7} + \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{7}) = 2(5 + 7 + 35) = 2 \cdot 47 = 94$ .
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Warunek „żadna ściana nie jest kwadratem” znaczy po prostu, że wszystkie trzy wymiary są różne. To on wskazuje jedyny właściwy rozkład na czynniki.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie $47$ (odpowiedź B) — czyli zapomnienie o mnożeniu przez 2. Prostopadłościan ma trzy pary jednakowych ścian.