Egzamin ósmoklasisty · matematyka · styczeń 2026

Zadanie z E8 (styczeń 2026) – zadania mieszane i odkrywanie reguł

Z kart w kształcie trójkąta równobocznego o boku 2 cm układano figury: trójkąty ustawiano w jeden poziomy pas, każdy kolejny odwrócony względem poprzedniego (wierzchołkiem raz do góry, raz do dołu). Kolejne figury składały się z 1, 2, 3, 4, 5… trójkątów — przy nieparzystej ich liczbie powstaje…

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pkttrudniejsze

Z kart w kształcie trójkąta równobocznego o boku 2 cm układano figury: trójkąty ustawiano w jeden poziomy pas, każdy kolejny odwrócony względem poprzedniego (wierzchołkiem raz do góry, raz do dołu). Kolejne figury składały się z 1, 2, 3, 4, 5… trójkątów — przy nieparzystej ich liczbie powstaje trapez. Ile takich trójkątów należy ułożyć, aby otrzymać trapez o obwodzie równym 42 cm?

A. $7$
B. $11$
C. $19$
D. $21$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Przyjrzyjmy się, z czego składa się obwód trapezu ułożonego z $n$ trójkątów (gdzie $n$ jest nieparzyste).
Ramiona — to dwa skrajne boki, każdy po 2 cm, razem $\textcolor{#E0453A}{4}$ cm.
Dolna podstawa — leży na niej $\dfrac{n+1}{2}$ boków, górna — $\dfrac{n-1}{2}$ boków. Razem podstawy mają $\dfrac{n+1}{2} + \dfrac{n-1}{2} = \textcolor{#16A06A}{n}$ boków, czyli $2\textcolor{#16A06A}{n}$ cm.
Cały obwód: $2\textcolor{#16A06A}{n} + \textcolor{#E0453A}{4}$ cm — sprawdźmy na małym przypadku. Dla $n = 3$ : podstawy 2 cm i 4 cm, ramiona 2+2 cm, obwód $= 10$ cm, a wzór daje $2 \cdot 3 + 4 = 10$ ✓
Rozwiązujemy równanie: $2\textcolor{#16A06A}{n} + \textcolor{#E0453A}{4} = 42$ , czyli $2\textcolor{#16A06A}{n} = 38$ , więc $\textcolor{#16A06A}{n} = 19$ .
Odpowiedź C. (Liczba 19 jest nieparzysta, więc trapez rzeczywiście powstanie ✓)

💡 Wskazówka: Zamiast wyprowadzać wzór, można policzyć obwody kilku pierwszych trapezów: 3 trójkąty → 10 cm, 5 → 14 cm, 7 → 18 cm. Obwód rośnie o 4 cm co dwa trójkąty, czyli o 2 cm na trójkąt — stąd od razu widać zależność.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie obwodu jako sumy obwodów wszystkich trójkątów ( $n \cdot 6$ cm). Boki, którymi trójkąty się stykają, znikają w środku figury i nie należą do obwodu.