Egzamin ósmoklasisty · matematyka · styczeń 2026

Zadanie z E8 (styczeń 2026) – obwody figur

Dany jest czworokąt ABCD. Przekątna BD o długości √18 dzieli go na dwa trójkąty prostokątne równoramienne: trójkąt ABD z kątem prostym przy wierzchołku A oraz trójkąt BCD z kątem prostym przy wierzchołku D. Oblicz obwód czworokąta ABCD. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

3pkt · trudniejsze

Zadanie 13 (styczeń 2026)3 pkttrudniejsze

Dany jest czworokąt

ABCD

. Przekątna

BD

o długości

\sqrt{18}

dzieli go na dwa trójkąty prostokątne równoramienne: trójkąt

ABD

z kątem prostym przy wierzchołku

A

oraz trójkąt

BCD

z kątem prostym przy wierzchołku

D

. Oblicz obwód czworokąta

ABCD

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 12 + 3√2

W trójkącie prostokątnym równoramiennym przeciwprostokątna jest $\sqrt2$ razy dłuższa od przyprostokątnej.
Trójkąt $ABD$ — kąt prosty przy $A$ , więc przeciwprostokątną jest przekątna $BD = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{18}}$ .
Przyprostokątne: $AB = AD = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{\sqrt{18}}}{\sqrt2} = \sqrt{\dfrac{18}{2}} = \sqrt9 = \textcolor{#16A06A}{3}$ .
Trójkąt $BCD$ — kąt prosty przy $D$ , więc tym razem $BD$ jest przyprostokątną, a nie przeciwprostokątną.
Skoro trójkąt jest równoramienny: $DC = DB = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{18}} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt2}$ , a przeciwprostokątna $BC = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{18}} \cdot \sqrt2 = \textcolor{#16A06A}{6}$ .
Obwód czworokąta (przekątna do niego nie wchodzi!):
$AB + AD + DC + CB = \textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#E0453A}{3\sqrt2} + \textcolor{#16A06A}{6} = 12 + 3\sqrt2$ .
Odpowiedź: obwód czworokąta $ABCD$ wynosi $12 + 3\sqrt2$ .

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na sedno tego zadania: ta sama przekątna $BD$ jest przeciwprostokątną w jednym trójkącie i przyprostokątną w drugim. Decyduje o tym położenie kąta prostego.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie przekątnej $BD$ do obwodu. Przekątna leży wewnątrz czworokąta — to linia podziału, a nie brzeg.