Na festyn wpuszczano uczestników jednym wejściem…

Zadanie 14 (grudzień 2024)2 pkttrudniejsze

Na festyn wpuszczano uczestników jednym wejściem. Pierwszy wchodzący otrzymał i sok, i ciastko. Następnie co szósty wchodzący otrzymywał sok, a co dziesiąty — ciastko. Sok otrzymali więc wchodzący: pierwszy, siódmy, trzynasty itd., a ciastko: pierwszy, jedenasty, dwudziesty pierwszy itd. Na festyn przyszło 450 osób. Oblicz, ilu uczestników otrzymało i sok, i ciastko. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 15 osób

Zapiszmy, którzy uczestnicy dostawali każdą rzecz.
Sok: numery $1, 7, 13, 19, \ldots$ — za każdym razem o $\textcolor{#E0453A}{6}$ dalej.
Ciastko: numery $1, 11, 21, 31, \ldots$ — za każdym razem o $\textcolor{#E0453A}{10}$ dalej.
Oba naraz dostaje ten, kogo numer pojawia się na obu listach. Skoro obie zaczynają się od 1, wspólne numery to $1, 1+\textcolor{#16A06A}{30}, 1+2\cdot\textcolor{#16A06A}{30}, \ldots$ , gdzie $\textcolor{#16A06A}{30} = \mathrm{NWW}(\textcolor{#E0453A}{6}, \textcolor{#E0453A}{10})$ .
Wspólne numery: $1, 31, 61, 91, \ldots$ — czyli co $\textcolor{#16A06A}{30}$ osób.
Ile takich numerów mieści się do 450? Szukamy największego $k$ , dla którego $1 + \textcolor{#16A06A}{30}k \le 450$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{30}k \le 449$ , więc $k \le 14{,}96$ — stąd $k = 14$ .
Liczba osób: $k = 0, 1, 2, \ldots, 14$ , czyli 15 osób. (Ostatnia z nich to numer $1 + 30 \cdot 14 = 421$ .)
Odpowiedź: i sok, i ciastko otrzymało 15 uczestników.

💡 Wskazówka: Uwaga na przesunięcie: numery to nie wielokrotności 6 i 10, tylko liczby o jeden większe od nich. Dlatego szukamy 1, 31, 61… a nie 30, 60, 90.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $450 : 30 = 15$ i uznanie tego za przypadek — akurat wynik się zgadza, ale rozumowanie jest inne. Drugi błąd: pominięcie pierwszej osoby i odpowiedź 14.