Egzamin ósmoklasisty · matematyka · grudzień 2024

Zadanie z E8 (grudzień 2024) – kąty w figurach

Dane są proste a, b, c, d, e. Proste a, b, c są wzajemnie równoległe (poziome). Proste d i e są wzajemnie prostopadłe i przecinają się w punkcie A leżącym na prostej b. Prosta d przecina prostą a, tworząc z nią kąt 142° (kąt po prawej stronie prostej d, nad prostą a ). Kąt α to kąt między prostą b…

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 4 (grudzień 2024)1 pkttrudniejsze

Dane są proste

a

b

c

d

e

. Proste

a

b

c

są wzajemnie równoległe (poziome). Proste

d

e

są wzajemnie prostopadłe i przecinają się w punkcie

A

leżącym na prostej

b

. Prosta

d

przecina prostą

a

, tworząc z nią kąt $142°$ (kąt po prawej stronie prostej

d

, nad prostą

a

). Kąt

\alpha

to kąt między prostą

b

(na lewo od

A

) a prostą

e

(poniżej

A

). Dokończ zdanie.
Miara kąta

\alpha

jest równa

A. $38°$
B. $45°$
C. $52°$
D. $60°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — jaki kąt tworzy prosta $d$ z poziomem? Kąt $\textcolor{#16A06A}{142°}$ i szukany kąt nachylenia są przyległe, więc razem dają $\textcolor{#E0453A}{180°}$ .
Nachylenie prostej $d$ : $\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{142°} = \textcolor{#16A06A}{38°}$ .
Krok 2 — przenosimy ten kąt na prostą $b$ . Proste $a$ i $b$ są równoległe, a $d$ je przecina, więc kąty odpowiadające są równe: prosta $d$ tworzy z $b$ również kąt $\textcolor{#16A06A}{38°}$ .
Krok 3 — korzystamy z prostopadłości. W punkcie $A$ proste $d$ i $e$ tworzą kąt $\textcolor{#E0453A}{90°}$ .
Kąt między $b$ a $e$ to więc $\textcolor{#E0453A}{90°} - \textcolor{#16A06A}{38°} = 52°$ .
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Przy prostych równoległych przeciętych trzecią prostą wszystkie powstałe kąty mają tylko dwie różne miary — tutaj $38°$ i $142°$ . Wystarczy rozpoznać, która jest która.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie $38°$ (odpowiedź A) — czyli kąta nachylenia prostej $d$ zamiast $e$ . Te dwie proste są prostopadłe, więc ich kąty z poziomem dopełniają się do $90°$ , a nie są równe.