Zadanie z E8 (grudzień 2018) – graniastosłupy i ostrosłupy

Odpowiedź: F, F

1. Oznaczmy wspólną długość krawędzi przez $a$.
2. Zdanie $\boldsymbol{1}$ — liczymy krawędzie.
3. Ostrosłup czworokątny: $\textcolor{#16A06A}{4}$ krawędzie podstawy $+\ \textcolor{#E0453A}{4}$ boczne $= \textcolor{#16A06A}{8}$, czyli suma $8a$.
4. Graniastosłup trójkątny: $\textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{3}$ krawędzie dwóch podstaw $+\ \textcolor{#E0453A}{3}$ boczne $= \textcolor{#16A06A}{9}$, czyli suma $9a$.
5. $8a < 9a$, więc suma dla ostrosłupa jest mniejsza — fałsz.
6. Zdanie $\boldsymbol{2}$ — liczymy pola. Trójkąt równoboczny o boku $a$ ma pole $\tfrac{a^2\sqrt3}{4} \approx 0{,}43a^2$, kwadrat — $a^2$.
7. Ostrosłup: $\textcolor{#16A06A}{1}$ kwadrat $+\ \textcolor{#E0453A}{4}$ trójkąty $= a^2 + 4 \cdot 0{,}43a^2 \approx \textcolor{#16A06A}{2{,}72}\,a^2$.
8. Graniastosłup: $\textcolor{#16A06A}{2}$ trójkąty $+\ \textcolor{#E0453A}{3}$ kwadraty $= 2 \cdot 0{,}43a^2 + 3a^2 \approx \textcolor{#16A06A}{3{,}86}\,a^2$.
9. Ostrosłup ma mniejsze pole — fałsz.
10. Odpowiedzi: F, F.

💡 Wskazówka: Przy porównywaniu brył o jednakowych krawędziach wystarczy policzyć ściany po rodzajach. Kwadrat jest ponad dwa razy „większy” od trójkąta równobocznego o tym samym boku — a graniastosłup ma ich aż trzy.

⚠ Najczęstszy błąd: intuicja „ostrosłup wygląda na większy, bo ma więcej ścian bocznych”. Wygląd bryły nie decyduje — trzeba policzyć ściany i krawędzie.