Zadanie z E8 (grudzień 2018) – skala i mapa

Odpowiedź: 3 cm

1. Kwadraty stoją „na rogu”, więc wzdłuż krawędzi kartki każdy z nich zajmuje swoją przekątną, a nie bok.
2. Krok 1 — przekątna kwadratu o boku $a$.
3. $d = \textcolor{#16A06A}{a}\sqrt2 \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a}$
4. Krok 2 — warunek dla krótszego boku (15 cm). Trzy przekątne muszą się zmieścić:
5. $3 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 15$  →  $4{,}2\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 15$  →  $\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}57\ldots$
6. Krok 3 — warunek dla dłuższego boku (18 cm). Tu przekątnych jest cztery:
7. $4 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 18$  →  $5{,}6\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 18$  →  $\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}21\ldots$
8. Krok 4 — wybieramy największą liczbę całkowitą. Muszą być spełnione oba warunki, więc decyduje ten ostrzejszy: $\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}21$.
9. Największa taka liczba całkowita to $\textcolor{#16A06A}{a} = 3$ cm.
10. Sprawdzenie: dla $a = 3$ przekątna wynosi $4{,}2$ cm, więc trzy przekątne to $12{,}6 \le 15$ ✓, a cztery — $16{,}8 \le 18$ ✓
11. Dla $a = 4$: przekątna $5{,}6$ cm, trzy przekątne to już $16{,}8 > 15$ ✗ — nie mieści się.
12. Odpowiedź: maksymalna długość boku kwadratu wynosi 3 cm.

💡 Wskazówka: Gdy warunki są dwa, zawsze wygrywa ostrzejszy — czyli ten, który dopuszcza mniej. Warto na koniec podstawić wynik do obu i sprawdzić, że oba są spełnione.

⚠ Najczęstszy błąd: użycie boku kwadratu zamiast przekątnej ($3a \le 15$ daje $a \le 5$). Skoro kwadraty są obrócone o $45°$, wzdłuż krawędzi kartki układa się ich przekątna, czyli odcinek o około $40\%$ dłuższy od boku.