Egzamin ósmoklasisty · matematyka · maj 2023

Zadanie z E8 (maj 2023) – pola figur

Dane są trzy figury: kwadrat F1 o boku 5 cm, kwadrat F2 o boku 3 cm i prostokąt F3 o bokach 3 cm i 5 cm. Czy z figur F1, F2, F3 można ułożyć — bez rozcinania — kwadrat K o polu 49 cm²?

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 10 (maj 2023)1 pkttrudniejsze

Dane są trzy figury: kwadrat

F_1

o boku 5 cm, kwadrat

F_2

o boku 3 cm i prostokąt

F_3

o bokach 3 cm i 5 cm. Czy z figur

F_1

F_2

F_3

można ułożyć — bez rozcinania — kwadrat

K

o polu 49 cm²?

A	Tak,	ponieważ	1.	suma obwodów figur $F_2$ i $F_3$ jest równa obwodowi kwadratu $K$ .

			2.	suma pól figur $F_1$ , $F_2$ i $F_3$ jest równa 49 cm².
B	Nie,
			3.	suma długości dowolnych boków figur $F_1$ , $F_2$ i $F_3$ nie jest równa 7 cm.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, 3

Sprawdźmy najpierw pola. $F_1$ : $\textcolor{#16A06A}{25}$ cm², $F_2$ : $\textcolor{#16A06A}{9}$ cm², $F_3$ : $\textcolor{#16A06A}{15}$ cm². Razem $\textcolor{#16A06A}{49}$ cm² — dokładnie tyle, ile ma mieć kwadrat $K$ .
Zgodność pól to warunek konieczny, ale niewystarczający — trzeba jeszcze sprawdzić, czy kawałki fizycznie się złożą.
Kwadrat $K$ ma bok $\textcolor{#E0453A}{7}$ cm (bo $\textcolor{#E0453A}{7}^2 = 49$ ). Żeby ułożyć jego bok, musimy poskładać boki naszych figur.
Dostępne długości boków to $5$ , $3$ , $3$ , $5$ . Sprawdzamy możliwe sumy: $5 + 3 = 8$ , $3 + 3 = 6$ , $5 + 5 = 10$ — żadna nie daje $\textcolor{#E0453A}{7}$ .
Nie da się więc utworzyć boku kwadratu, a bez rozcinania figur nie ma innej możliwości.
Odpowiedź: B, 3 — nie można ułożyć, bo z dostępnych boków nie złożymy odcinka długości $\textcolor{#E0453A}{7}$ cm.

💡 Wskazówka: Uzasadnienie 2. jest prawdziwym zdaniem, ale prowadzi do błędnej odpowiedzi — zgodność pól nie gwarantuje, że układanka się uda. To klasyczna pułapka „prawdziwa przesłanka, zły wniosek”.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór A z uzasadnieniem 2. Zgodność pól sprawdza się szybko i wygląda przekonująco, ale trzeba jeszcze pomyśleć o wymiarach.