Egzamin ósmoklasisty · matematyka · maj 2023

Zadanie z E8 (maj 2023) – prostopadłościan i sześcian

Z pięciu prostopadłościennych klocków o jednakowych wymiarach ułożono figurę. Klocki leżą płasko, więc wysokość figury równa się wysokości jednego klocka i wynosi 5 cm. Cztery klocki tworzą zamkniętą ramkę ułożoną „wiatraczkowo” — każdy dosuwa się bokiem do końca następnego — a piąty klocek…

Zobacz rozwiązanie w obrazku

3pkt · trudniejsze

Zadanie 22 (maj 2023)3 pkttrudniejsze

Z pięciu prostopadłościennych klocków o jednakowych wymiarach ułożono figurę. Klocki leżą płasko, więc wysokość figury równa się wysokości jednego klocka i wynosi 5 cm. Cztery klocki tworzą zamkniętą ramkę ułożoną „wiatraczkowo” — każdy dosuwa się bokiem do końca następnego — a piąty klocek dołożono z zewnątrz, wzdłuż jednego boku ramki. Zewnętrzne wymiary całej figury to 23 cm i 20,5 cm. Oblicz objętość jednego klocka. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 225 cm³

Oznaczmy wymiary jednego klocka: długość $\textcolor{#16A06A}{d}$ , szerokość $\textcolor{#16A06A}{s}$ i wysokość $5$ cm.
Równanie 1 — krótszy wymiar figury. W tym kierunku mierzymy samą ramkę: długość jednego klocka plus szerokość klocka do niego dosuniętego:
$\textcolor{#16A06A}{d} + \textcolor{#16A06A}{s} = 20{,}5$
Równanie 2 — dłuższy wymiar figury. Tu dochodzi jeszcze piąty klocek, przyklejony bokiem:
$\textcolor{#16A06A}{d} + 2\textcolor{#16A06A}{s} = 23$
Rozwiązanie układu. Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:
$\textcolor{#16A06A}{s} = 23 - 20{,}5 = \textcolor{#E0453A}{2{,}5}$ cm, a stąd $\textcolor{#16A06A}{d} = 20{,}5 - \textcolor{#E0453A}{2{,}5} = \textcolor{#E0453A}{18}$ cm.
Objętość klocka: $V = \textcolor{#E0453A}{18} \cdot \textcolor{#E0453A}{2{,}5} \cdot 5 = 225$ cm³.
Odpowiedź: objętość jednego klocka wynosi 225 cm³.

💡 Wskazówka: Gdy dwa wymiary figury różnią się o szerokość jednego klocka, odjęcie równań stronami od razu daje tę szerokość: $23 - 20{,}5 = 2{,}5$ cm. Cała reszta to już podstawianie.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że $23$ cm to długość klocka. W układzie wiatraczkowym żaden bok figury nie równa się długości pojedynczego klocka — zawsze dochodzi szerokość sąsiada.