Egzamin ósmoklasisty · matematyka · maj 2023

Zadanie z E8 (maj 2023) – twierdzenie pitagorasa

W czworokącie ABCD o polu 48 cm² przekątna AC ma długość 8 cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty: ABC i ACD. Wysokość trójkąta ACD poprowadzona z wierzchołka D do prostej AC jest równa 2 cm. Oblicz wysokość trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka B do prostej AC. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

3pkt · trudniejsze

Zadanie 13 (maj 2023)3 pkttrudniejsze

W czworokącie

ABCD

o polu 48 cm² przekątna

AC

ma długość 8 cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty:

ABC

ACD

. Wysokość trójkąta

ACD

poprowadzona z wierzchołka

D

do prostej

AC

jest równa 2 cm. Oblicz wysokość trójkąta

ABC

poprowadzoną z wierzchołka

B

do prostej

AC

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 10 cm

Oba trójkąty mają wspólną podstawę — przekątną $\textcolor{#16A06A}{AC} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm. Różnią się tylko wysokościami.
Krok 1 — pole trójkąta $ACD$ . $P_{ACD} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm².
Krok 2 — pole trójkąta $ABC$ . To reszta czworokąta: $48 - \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#16A06A}{40}$ cm².
Krok 3 — szukana wysokość. $\textcolor{#16A06A}{40} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} \cdot \textcolor{#E0453A}{h}$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{40} = 4\textcolor{#E0453A}{h}$ .
Stąd $\textcolor{#E0453A}{h} = 10$ cm.
Odpowiedź: wysokość trójkąta $ABC$ wynosi 10 cm.
Kontrola sensu: trójkąt $ABC$ ma pole pięć razy większe przy tej samej podstawie, więc i wysokość musi być pięć razy większa: $5 \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = 10$ ✓

💡 Wskazówka: Gdy dwa trójkąty mają wspólną podstawę, ich pola są wprost proporcjonalne do wysokości. Można więc pominąć rachunki i od razu użyć stosunku pól.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie pola czworokąta na pół i przyjęcie, że każdy trójkąt ma 24 cm². Przekątna dzieli czworokąt na równe części tylko w szczególnych przypadkach.