Zadanie z E8 (maj 2023) – kąty w figurach

Odpowiedź: F, P

1. Trójkąt $ACD$ jest równoboczny, więc wszystkie jego kąty mają po $\textcolor{#16A06A}{60°}$ — w tym $\angle ACD = \textcolor{#16A06A}{60°}$ i $\angle DAC = \textcolor{#16A06A}{60°}$. Ponadto $AC = AD = CD$.
2. Kąt $BCD$ dzieli się przekątną na dwie części: $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD$.
3. Stąd $\angle BCA = 131° - \textcolor{#16A06A}{60°} = \textcolor{#16A06A}{71°}$.
4. Trójkąt $ABC$. Skoro $AB = AD$, a $AD = AC$ (bok trójkąta równobocznego), to $AB = AC$ — trójkąt jest równoramienny o wierzchołku $A$.
5. Kąty przy podstawie $BC$ są więc równe: $\angle ABC = \angle BCA = \textcolor{#16A06A}{71°}$.
6. Zdanie 1. Kąt $ABC$ ma $\textcolor{#16A06A}{71°}$, a nie $60°$ — fałsz.
7. Zdanie 2. Kąt przy $A$ w trójkącie $ABC$: $\angle BAC = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{71°} - \textcolor{#16A06A}{71°} = \textcolor{#16A06A}{38°}$.
8. Cały kąt $DAB$ to suma: $\angle DAC + \angle CAB = \textcolor{#16A06A}{60°} + \textcolor{#16A06A}{38°} = 98°$ ✓ — prawda.
9. Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Kluczem jest zauważenie, że $AC$ też ma długość boku trójkąta równobocznego — dzięki temu $AB = AC$ i wiadomo, gdzie w trójkącie $ABC$ leżą równe kąty.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że skoro trójkąt $ACD$ jest równoboczny, to kąty $60°$ pojawiają się też w trójkącie $ABC$. Ten drugi jest tylko równoramienny — jego kąty trzeba policzyć osobno.