Egzamin ósmoklasisty · matematyka · maj 2024

Zadanie z E8 (maj 2024) – twierdzenie pitagorasa

Prostokąt ABCD podzielono na trzy trójkąty: AED, ACE i ABC (punkt E leży na boku DC ). Podano, że DE = 15 cm oraz AD = 20 cm. W trójkącie ACE zaznaczono dwa kąty o takiej samej mierze α: przy wierzchołku A (kąt EAC ) oraz przy wierzchołku C (kąt ACE ). Oblicz pole trapezu ABCE. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

3pkt · trudniejsze

Zadanie 12 (maj 2024)3 pkttrudniejsze

Prostokąt

ABCD

podzielono na trzy trójkąty:

AED

ACE

ABC

(punkt

E

leży na boku

DC

). Podano, że

DE = 15

cm oraz

AD = 20

cm. W trójkącie

ACE

zaznaczono dwa kąty o takiej samej mierze $\alpha$ : przy wierzchołku

A

(kąt

EAC

) oraz przy wierzchołku

C

(kąt

ACE

). Oblicz pole trapezu

ABCE

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 650 cm²

Krok 1 — odcinek $AE$ . Trójkąt $AED$ jest prostokątny (kąt prosty przy narożniku $D$ ):
$\textcolor{#E0453A}{AE} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{15}^2 + \textcolor{#16A06A}{20}^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = \textcolor{#E0453A}{25}$ cm.
Krok 2 — odcinek $EC$ . W trójkącie $ACE$ dwa kąty są równe ( $\alpha$ przy $A$ i przy $C$ ), więc jest on równoramienny.
Równe kąty leżą naprzeciw równych boków, zatem $EC = \textcolor{#E0453A}{AE} = \textcolor{#E0453A}{25}$ cm.
Krok 3 — bok prostokąta. $DC = \textcolor{#16A06A}{DE} + EC = \textcolor{#16A06A}{15} + \textcolor{#E0453A}{25} = \textcolor{#16A06A}{40}$ cm, a więc również $AB = \textcolor{#16A06A}{40}$ cm.
Krok 4 — pole trapezu $ABCE$ . Podstawy: $AB = \textcolor{#16A06A}{40}$ i $EC = \textcolor{#E0453A}{25}$ ; wysokość to bok $AD = \textcolor{#16A06A}{20}$ cm.
$P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{40} + \textcolor{#E0453A}{25}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{20} = 32{,}5 \cdot \textcolor{#16A06A}{20} = 650$ cm².
Odpowiedź: pole trapezu $ABCE$ wynosi 650 cm².

💡 Wskazówka: Zaznaczenie dwóch równych kątów to zawsze podpowiedź: trójkąt jest równoramienny. A stąd od razu wiadomo, które boki są równe.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie $EC = 15$ cm (czyli że $E$ jest środkiem boku $DC$ ). Nic tego nie gwarantuje — o długości $EC$ decydują dopiero równe kąty.