Egzamin ósmoklasisty · matematyka · maj 2024

Zadanie z E8 (maj 2024) – kąty w figurach

Dany jest trapez ABCD, w którym bok AB jest równoległy do boku DC. Poprowadzono odcinek EC równoległy do boku AD (punkt E leży na AB ). Kąt ADC ma miarę 135°, a kąt ABC ma miarę 80°. Kąt α to kąt BCE — czyli kąt przy wierzchołku C w trójkącie EBC. Dokończ zdanie. Kąt α ma miarę

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 7 (maj 2024)1 pkttrudniejsze

Dany jest trapez

ABCD

, w którym bok

AB

jest równoległy do boku

DC

. Poprowadzono odcinek

EC

równoległy do boku

AD

(punkt

E

leży na

AB

). Kąt

ADC

ma miarę $135°$ , a kąt

ABC

ma miarę $80°$ . Kąt

\alpha

to kąt

BCE

— czyli kąt przy wierzchołku

C

w trójkącie

EBC

. Dokończ zdanie.
Kąt

\alpha

ma miarę

A. $55°$
B. $50°$
C. $45°$
D. $20°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Kluczowa obserwacja: skoro $AB \parallel DC$ oraz $AD \parallel EC$ , to czworokąt $AECD$ jest równoległobokiem.
Wierzchołki idą po kolei $A - E - C - D$ , więc naprzeciw wierzchołka $D$ leży wierzchołek $E$ .
W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, zatem $\angle AEC = \angle ADC = \textcolor{#16A06A}{135°}$ .
Teraz przechodzimy do trójkąta $EBC$ . Punkty $A$ , $E$ , $B$ leżą na jednej prostej, więc kąty $AEC$ i $CEB$ są przyległe:
$\angle CEB = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{135°} = \textcolor{#16A06A}{45°}$ .
W trójkącie $EBC$ znamy już dwa kąty — pozostaje dopełnić trzeci:
$\alpha = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{45°} - \textcolor{#16A06A}{80°} = 55°$ — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Gdy w trapezie poprowadzisz odcinek równoległy do ramienia, zawsze powstaje równoległobok i trójkąt. To najskuteczniejszy sposób na zadania z trapezem — warto szukać takiego podziału.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie kątów przeciwległych z sąsiednimi w równoległoboku. Kąt przy $E$ leży naprzeciw kąta przy $D$ , więc jest mu równy ( $135°$ ), a nie dopełniający.