Egzamin ósmoklasisty · matematyka · maj 2024

Zadanie z E8 (maj 2024) – twierdzenie pitagorasa

W trójkącie prostokątnym ABC (kąt prosty przy A ) przyprostokątną AC wydłużono o 7 cm — do punktu E — a przyprostokątną AB wydłużono o 12 cm — do punktu D. Otrzymano trójkąt prostokątny równoramienny ADE o polu równym 200 cm². Oceń prawdziwość podanych zdań.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 3 (maj 2024)1 pkttrudniejsze

W trójkącie prostokątnym

ABC

(kąt prosty przy

A

) przyprostokątną

AC

wydłużono o 7 cm — do punktu

E

— a przyprostokątną

AB

wydłużono o 12 cm — do punktu

D

. Otrzymano trójkąt prostokątny równoramienny $ADE$ o polu równym 200 cm². Oceń prawdziwość podanych zdań.

Przyprostokątna trójkąta $ADE$ jest równa 20 cm.	P	F
Pole trójkąta $ABC$ jest równe 52 cm².	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1. Trójkąt $ADE$ jest prostokątny i równoramienny, więc obie jego przyprostokątne są równe: $\textcolor{#16A06A}{AE} = \textcolor{#16A06A}{AD}$ .
Z pola: $\tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{AE} \cdot \textcolor{#16A06A}{AD} = 200$ , czyli $\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{AE}^2 = 200$ .
Stąd $\textcolor{#16A06A}{AE}^2 = 400$ , więc $\textcolor{#16A06A}{AE} = \textcolor{#16A06A}{AD} = 20$ cm ✓ — prawda.
Zdanie 2. Cofamy wydłużenia, żeby wrócić do małego trójkąta:
$AC = \textcolor{#16A06A}{AE} - \textcolor{#E0453A}{7} = 20 - \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#16A06A}{13}$ cm, $AB = \textcolor{#16A06A}{AD} - \textcolor{#E0453A}{12} = 20 - \textcolor{#E0453A}{12} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm.
Pole $ABC$ : $\tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{13} \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 52$ cm² ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: „Prostokątny równoramienny” znaczy, że równe są przyprostokątne — nie przeciwprostokątna z przyprostokątną (to nigdy nie zachodzi).

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie $\tfrac12$ we wzorze na pole i przyjęcie $AE^2 = 200$ . Wychodzi wtedy $AE = \sqrt{200}$ , czyli liczba niewymierna — sygnał, że coś jest nie tak.