Egzamin ósmoklasisty · matematyka · maj 2024

Zadanie z E8 (maj 2024) – graniastosłupy i ostrosłupy

Z trzech jednakowych klocków w kształcie sześcianu i jednego klocka w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zbudowano dwie wieże. Wieża I to jeden sześcian z ustawionym na nim ostrosłupem, a wieża II to dwa sześciany jeden na drugim. Krawędź sześcianu ma długość 10 cm. Krawędź podstawy…

Zobacz rozwiązanie w obrazku

2pkt · trudniejsze

Zadanie 22 (maj 2024)2 pkttrudniejsze

Z trzech jednakowych klocków w kształcie sześcianu i jednego klocka w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zbudowano dwie wieże. Wieża I to jeden sześcian z ustawionym na nim ostrosłupem, a wieża II to dwa sześciany jeden na drugim. Krawędź sześcianu ma długość

10\ \text{cm}

. Krawędź podstawy ostrosłupa ma długość

9\ \text{cm}

, a jego objętość jest równa

324\ \text{cm}^3

. Oblicz różnicę wysokości obu wież. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $2\ \text{cm}$

Krok $\boldsymbol{1}$ — wysokość ostrosłupa. Znamy objętość i krawędź podstawy, więc wysokość wyznaczamy ze wzoru:
$\tfrac13 \cdot \textcolor{#16A06A}{9}^2 \cdot \textcolor{#E0453A}{H} = 324$
$\tfrac13 \cdot \textcolor{#16A06A}{81} \cdot \textcolor{#E0453A}{H} = 324$ , czyli $27\textcolor{#E0453A}{H} = 324$ , więc $\textcolor{#E0453A}{H} = \textcolor{#E0453A}{12}$ cm.
Krok $\boldsymbol{2}$ — wysokość wieży I. Sześcian plus ostrosłup:
$\textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#E0453A}{12} = \textcolor{#16A06A}{22}$ cm.
Krok $\boldsymbol{3}$ — wysokość wieży II. Dwa sześciany:
$2 \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = \textcolor{#16A06A}{20}$ cm.
Krok $\boldsymbol{4}$ — różnica. $\textcolor{#16A06A}{22} - \textcolor{#16A06A}{20} = 2$ cm.
Odpowiedź: wieża I jest wyższa od wieży II o $\boldsymbol{2\ \text{cm}}$ .

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że krawędź podstawy ostrosłupa $(9\ \text{cm})$ jest mniejsza niż krawędź sześcianu $(10\ \text{cm})$ — ostrosłup stoi więc stabilnie na górnej ścianie. Do rachunku ta liczba jest potrzebna tylko po to, by wyznaczyć wysokość.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie za wysokość ostrosłupa jego krawędzi bocznej albo krawędzi podstawy. Wysokość trzeba tu wyliczyć z objętości — nie ma jej podanej wprost.