Egzamin ósmoklasisty · matematyka · maj 2024

Zadanie z E8 (maj 2024) – obliczanie i przekształcanie wzorów

Dane jest równanie 5x = y/w, gdzie x, y, w są różne od 0. Paweł przekształcał je, aby wyznaczyć kolejno x, y i w, i otrzymał: I. x = y/5w · II. y = 5x/w · III. w = y/5x Które z równań I–III są poprawnymi przekształceniami?

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 2 (maj 2024)1 pkttrudniejsze

Dane jest równanie

\;5x = \dfrac{y}{w}\;

, gdzie

x

y

w

są różne od

0

. Paweł przekształcał je, aby wyznaczyć kolejno

x

y

w

, i otrzymał:
I.

x = \dfrac{y}{5w}

· II.

y = \dfrac{5x}{w}

· III.

w = \dfrac{y}{5x}

Które z równań I–III są poprawnymi przekształceniami?

A. I i II
B. II i III
C. I i III
D. I, II, III

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najwygodniej najpierw pozbyć się ułamka: mnożymy obie strony przez $\textcolor{#E0453A}{w}$ .
$5x \cdot \textcolor{#E0453A}{w} = y$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{y} = 5xw$ — i to jest postać wyjściowa do wszystkich przekształceń.
I. Wyznaczamy $x$ : dzielimy $y = 5xw$ obustronnie przez $\textcolor{#E0453A}{5w}$ , otrzymując $\textcolor{#16A06A}{x} = \dfrac{y}{\textcolor{#E0453A}{5w}}$ ✓
II. Wyznaczamy $y$ : właśnie policzyliśmy, że $\textcolor{#16A06A}{y} = 5xw$ . Paweł napisał $\dfrac{5x}{w}$ , czyli podzielił przez $w$ zamiast pomnożyć ✗
III. Wyznaczamy $w$ : dzielimy $y = 5xw$ obustronnie przez $\textcolor{#E0453A}{5x}$ , otrzymując $\textcolor{#16A06A}{w} = \dfrac{y}{\textcolor{#E0453A}{5x}}$ ✓
Poprawne są I i III — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Szybki test poprawności: podstaw konkretne liczby spełniające równanie, np. $x = 1$ , $w = 2$ , $y = 10$ (bo $5 \cdot 1 = \tfrac{10}{2}$ ). Wzór II daje $\tfrac{5}{2}$ zamiast $10$ — od razu widać błąd.

⚠ Najczęstszy błąd: gdy niewiadoma jest w mianowniku, uczniowie odruchowo przenoszą ją „przez znak równości” bez zmiany działania. Mnożenie obu stron przez mianownik jest bezpieczniejsze.