Zadanie z E8 (maj 2021) – prędkość, droga i czas

Odpowiedź: Adam dotarł o godzinie $17{:}56$, czyli $4$ minuty przed umówioną godziną

1. Krok 1 — czytamy trasę z siatki. Bok kratki to $\textcolor{#16A06A}{1}$ km. Trasa składa się z trzech odcinków i tylko środkowy jest ukośny:
2.   • Bocianowo → Stawisko: poziomo, $\textcolor{#E0453A}{3}$ kratki, czyli $\textcolor{#E0453A}{3}$ km,
3.   • Stawisko → Bajorko: ukośnie, $\textcolor{#E0453A}{3}$ kratki w prawo i $\textcolor{#E0453A}{4}$ kratki w górę,
4.   • Bajorko → Żabno: pionowo, $\textcolor{#E0453A}{7}$ kratek, czyli $\textcolor{#E0453A}{7}$ km.
5. Krok 2 — odcinek ukośny z twierdzenia Pitagorasa. Tego jednego nie da się odczytać przez policzenie kratek — trzeba go policzyć. Przesunięcie w prawo i w górę tworzy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $\textcolor{#E0453A}{3}$ i $\textcolor{#E0453A}{4}$:
6. $|SB|^2 = \textcolor{#E0453A}{3}^2 + \textcolor{#E0453A}{4}^2 = 9 + 16 = \textcolor{#E0453A}{25} \qquad \Longrightarrow \qquad |SB| = \textcolor{#E0453A}{5} \text{ km}$
7. To znana trójka pitagorejska $3$, $4$, $5$ — warto ją rozpoznać od razu.
8. Krok 3 — cała trasa.
9. $s = \textcolor{#E0453A}{3} + \textcolor{#E0453A}{5} + \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#E0453A}{15} \text{ km}$
10. Krok 4 — czas jazdy. Ze wzoru $t = \dfrac{s}{v}$:
11. $t = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{15} \text{ km}}{\textcolor{#16A06A}{25} \text{ km/h}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}6} \text{ h}$
12. Krok 5 — zamiana na minuty. Godzina to $60$ minut, więc
13. $\textcolor{#E0453A}{0{,}6} \text{ h} = \textcolor{#E0453A}{0{,}6} \cdot 60 = \textcolor{#E0453A}{36} \text{ minut}$
14. Krok 6 — godzina przyjazdu.
15. $\textcolor{#16A06A}{17{:}20} + \textcolor{#E0453A}{36} \text{ min} = 17{:}56$
16. Odpowiedź: Adam dotarł o godzinie $17{:}56$ — czyli $4$ minuty przed umówioną $\textcolor{#16A06A}{18{:}00}$.
17. Kontrola: gdyby Adam jechał przez cały czas $\textcolor{#16A06A}{25}$ km/h przez pełne $40$ minut (czyli do $18{:}00$), przejechałby $25 \cdot \tfrac{40}{60} \approx \textcolor{#E0453A}{16{,}7}$ km. Trasa jest krótsza niż $16{,}7$ km, więc przyjazd przed czasem jest wynikiem sensownym  ✓
18. Druga kontrola, na odcinku ukośnym: jest on dłuższy od każdej z przyprostokątnych, ale krótszy od ich sumy — $\textcolor{#E0453A}{4} < \textcolor{#E0453A}{5} < \textcolor{#E0453A}{3} + \textcolor{#E0453A}{4}$  ✓ Gdyby ktoś policzył go, licząc kratki „po schodkach”, wyszłoby $7$ km i cała trasa miałaby $17$ km, czyli o $2$ km za dużo.

💡 Wskazówka: Na siatce da się policzyć kratki tylko dla odcinków poziomych i pionowych. Odcinek ukośny trzeba wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa, biorąc jako przyprostokątne jego przesunięcie w poziomie i w pionie. To najczęstszy schemat w zadaniach „trasa na kratce”. Druga rzecz: prędkość $25$ km/h i czas w minutach nie pasują do siebie wprost — najpierw licz czas w godzinach ze wzoru $t = \tfrac{s}{v}$, a dopiero potem zamień na minuty, mnożąc przez $60$. Ułamek $0{,}6$ h to $36$ minut, a nie $6$ ani $60$.

⚠ Policzenie odcinka ukośnego przez liczenie kratek „po schodkach”, czyli $3 + 4 = 7$ km zamiast $5$ km. Cała trasa wychodzi wtedy $17$ km, czas $40{,}8$ minuty i godzina $18{:}01$ — czyli spóźnienie zamiast przyjazdu przed czasem. Warto pamiętać: przekątna kratki jest zawsze krótsza niż droga po jej bokach. Drugi błąd: potraktowanie $0{,}6$ h jako $6$ minut albo jako $1$ godziny i $6$ minut; $0{,}6$ h to $36$ minut, bo godzina ma $60$, a nie $100$ minut. Trzeci błąd: dodanie $36$ minut do godziny $18{:}00$ zamiast do $17{:}20$ — pytanie dotyczy godziny przyjazdu, a $18{:}00$ to godzina umówiona, nie wyjazdu.