Egzamin ósmoklasisty · matematyka · maj 2021

Zadanie z E8 (maj 2021) – obliczanie i przekształcanie wzorów

Trójki liczb naturalnych a, b, c spełniające warunek a² + b² = c² nazywamy trójkami pitagorejskimi. Niektóre z nich znajdujemy ze wzorów: a = 2n + 1, b = 2n(n + 1), c = 2n² + 2n + 1, gdzie n to dowolna liczba naturalna ( n ≥ 1 ). Uzupełnij zdania.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 4 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Trójki liczb naturalnych $a$ , $b$ , $c$ spełniające warunek $a^2 + b^2 = c^2$ nazywamy trójkami pitagorejskimi. Niektóre z nich znajdujemy ze wzorów:

\;a = 2n + 1

\;b = 2n(n + 1)

\;c = 2n^2 + 2n + 1

, gdzie $n$ to dowolna liczba naturalna ( $n \ge 1$ ).
Uzupełnij zdania.

Liczba

a

zawsze będzie AB.

A. parzysta
B. nieparzysta

Liczby

b

c

różnią się o CD.

C. $1$
D. $n$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Pierwsze zdanie. Wyrażenie $a = \textcolor{#16A06A}{2n} + \textcolor{#E0453A}{1}$ — składnik $\textcolor{#16A06A}{2n}$ jest zawsze parzysty (bo to dwójka razy coś), a dodanie $\textcolor{#E0453A}{1}$ czyni całość nieparzystą.
Odpowiedź B. (Sprawdzenie: dla $n = 1, 2, 3$ mamy $a = 3, 5, 7$ — same nieparzyste ✓)
Drugie zdanie. Liczymy różnicę, wcześniej wymnażając nawias w $b$ : $b = 2n(n+1) = \textcolor{#16A06A}{2n^2 + 2n}$ .
Zauważ, że $c = \textcolor{#16A06A}{2n^2 + 2n} + \textcolor{#E0453A}{1}$ — to dokładnie $b$ powiększone o $\textcolor{#E0453A}{1}$ .
Zatem $c - b = \textcolor{#E0453A}{1}$ — odpowiedź C. Razem: B, C.

💡 Wskazówka: Zawsze warto wymnożyć nawias, zanim porównasz dwa wyrażenia. Po rozpisaniu $b$ od razu widać, że $c$ to po prostu $b + 1$ .

⚠ Częsty błąd w drugim zdaniu: odejmowanie „na oko” bez rozpisania $2n(n+1)$ i wybór odpowiedzi D. Litera $n$ pojawia się w obu wzorach, ale to nie znaczy, że jest różnicą.