Egzamin ósmoklasisty · matematyka · maj 2021

Zadanie z E8 (maj 2021) – obliczanie i przekształcanie wzorów

Trójki pitagorejskie wyznaczamy ze wzorów: a = 2n + 1, b = 2n(n + 1), c = 2n² + 2n + 1, gdzie n ≥ 1 jest liczbą naturalną. Dokończ zdanie. Jeżeli najmniejsza z liczb a, b, c jest równa 9, to największa z tych liczb jest równa

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 5 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Trójki pitagorejskie wyznaczamy ze wzorów:

\;a = 2n + 1

\;b = 2n(n + 1)

\;c = 2n^2 + 2n + 1

, gdzie $n \ge 1$ jest liczbą naturalną.
Dokończ zdanie.
Jeżeli najmniejsza z liczb

a

b

c

jest równa

9

, to największa z tych liczb jest równa

A. $41$
B. $73$
C. $145$
D. $181$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Najpierw ustalmy, która z trzech liczb jest najmniejsza, a która największa.
Po wymnożeniu $b = 2n(n + 1) = 2n^2 + 2n$ widać, że $c = b + 1$ , więc $c$ jest zawsze największa.
Zostaje porównać $a$ i $b$ . Sprawdźmy $n = 1$ : $a = 3$ , $b = 4$ . Dla większych $n$ różnica tylko rośnie, bo $b$ zawiera $n^2$ . Zatem $\textcolor{#16A06A}{a}$ jest najmniejsza.
Skoro $\textcolor{#16A06A}{a} = 9$ , to $2n + 1 = 9$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{n} = 4$ .
Liczymy największą: $c = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{4}^2 + 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{4} + 1 = 32 + 8 + 1 = 41$ — odpowiedź A.
Sprawdzenie, czy to naprawdę trójka pitagorejska: $b = 2 \cdot 4 \cdot 5 = 40$ , a $9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2$ ✓

💡 Wskazówka: Zadanie ma dwa etapy: najpierw z jednej danej wyznacz parametr $n$ , a dopiero potem policz to, o co pytają. To typowa konstrukcja zadań ze wzorem z parametrem.

⚠ Najczęstszy błąd: podstawienie $n = 9$ zamiast rozwiązania równania $2n + 1 = 9$ . Wtedy wychodzi $c = 181$ — kusząca odpowiedź D.