Egzamin ósmoklasisty · matematyka · maj 2021

Zadanie z E8 (maj 2021) – kąty w figurach

W trójkącie ABC narysowano dwie wysokości: CD (opuszczoną z C na bok AB, punkt D na AB ) oraz AE (opuszczoną z A na bok BC, punkt E na BC ). Kąt rozwarty pomiędzy tymi wysokościami jest równy 138°. Kąt α to kąt DAE — czyli kąt przy wierzchołku A między bokiem AB a wysokością AE. Jaką miarę ma kąt α?

Rozwiązanie tekstem ↓

1pkt · trudniejsze

Rozwiązanie zadania z matematyki – E8 (maj 2021), kąty w figurach: W trójkącie ABC narysowano dwie wysokości: CD (opuszczoną z C na bok AB, punkt D na AB ) oraz AE… Odpowiedź: D — Zadanie – E8 (maj 2021), kąty w figurach: rozwiązanie krok po kroku z odpowiedzią.

Treść zadania i rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

W trójkącie

ABC

narysowano dwie wysokości:

CD

(opuszczoną z

C

na bok

AB

, punkt

D

AB

) oraz

AE

(opuszczoną z

A

na bok

BC

, punkt

E

BC

). Kąt rozwarty pomiędzy tymi wysokościami jest równy $138°$ . Kąt

\alpha

to kąt

DAE

— czyli kąt przy wierzchołku

A

między bokiem

AB

a wysokością

AE

. Jaką miarę ma kąt

\alpha

A. $38°$
B. $42°$
C. $45°$
D. $48°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Oznaczmy przez $H$ punkt przecięcia obu wysokości. Kąt rozwarty przy $H$ ma $\textcolor{#16A06A}{138°}$ , więc kąt ostry obok niego (przyległy) wynosi $\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{138°} = \textcolor{#16A06A}{42°}$ .
Przyglądamy się trójkątowi $ADH$ — tworzą go: wierzchołek $A$ , spodek wysokości $D$ i punkt przecięcia $H$ .
Kąt przy $D$ to $\textcolor{#E0453A}{90°}$ , bo $CD$ jest wysokością opuszczoną na $AB$ .
Kąt przy $H$ musi być ostry (w trójkącie może być tylko jeden kąt prosty lub rozwarty), więc $\angle AHD = \textcolor{#16A06A}{42°}$ .
Zostaje kąt przy $A$ : $\alpha = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#E0453A}{90°} - \textcolor{#16A06A}{42°} = 48°$ .
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Wysokość zawsze daje darmowy kąt $90°$ — szukaj trójkąta, w którym ten kąt prosty występuje razem ze znanym kątem. Wtedy trzeci kąt liczy się jednym odejmowaniem.

⚠ Najczęstszy błąd: podstawienie $138°$ do trójkąta $ADH$ . Razem z kątem prostym dałoby to już $228°$ — czyli więcej niż $180°$ , co powinno od razu zwrócić uwagę. Do trójkąta wchodzi kąt ostry, $42°$ .