Egzamin ósmoklasisty · matematyka · maj 2021

Zadanie z E8 (maj 2021) – twierdzenie pitagorasa

Dany jest prostokąt ABCD o wymiarach 12 cm i 16 cm. Odcinek AC jest przekątną tego prostokąta. Odcinek DS jest wysokością trójkąta ACD poprowadzoną na przekątną AC. Oblicz długość odcinka DS. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

3pkt · trudniejsze

Zadanie 14 (maj 2021)3 pkttrudniejsze

Dany jest prostokąt

ABCD

o wymiarach 12 cm i 16 cm. Odcinek

AC

jest przekątną tego prostokąta. Odcinek

DS

jest wysokością trójkąta

ACD

poprowadzoną na przekątną

AC

. Oblicz długość odcinka

DS

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 9,6 cm

Krok 1 — przekątna prostokąta. $\textcolor{#E0453A}{AC} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{12}^2 + \textcolor{#16A06A}{16}^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = \textcolor{#E0453A}{20}$ cm.
Krok 2 — pole trójkąta $ACD$ pierwszym sposobem. Trójkąt jest prostokątny (kąt prosty przy $D$ ), a jego przyprostokątne to boki prostokąta:
$P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{12} \cdot \textcolor{#16A06A}{16} = \textcolor{#16A06A}{96}$ cm².
Krok 3 — to samo pole drugim sposobem. Bierzemy za podstawę przekątną $\textcolor{#E0453A}{AC}$ , a za wysokość szukany odcinek $DS$ :
$P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} \cdot DS$ .
Krok 4 — przyrównujemy. $\tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} \cdot DS = \textcolor{#16A06A}{96}$ , czyli $10 \cdot DS = \textcolor{#16A06A}{96}$ , więc $DS = 9{,}6$ cm.
Odpowiedź: odcinek $DS$ ma długość 9,6 cm.

💡 Wskazówka: Uniwersalna metoda: policz pole raz „łatwą” parą podstawa–wysokość, drugi raz tą z niewiadomą, i przyrównaj. Działa przy każdej wysokości opuszczonej na nietypowy bok.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że $DS$ to połowa jednego z boków albo połowa przekątnej (10 cm). Wysokość na przeciwprostokątną jest zawsze krótsza od obu przyprostokątnych.