Zadanie 5, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Odcinek \(CD\) jest wysokością trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(\lvert AC\rvert=\lvert BC\rvert\). Prosta \(p\) jest prostopadła do boku \(BC\) i przecina ten…
Typ zadania
Dowody i uzasadnienia
Polecenie brzmi „wykaż”, „udowodnij”, „uzasadnij”; wynikiem jest argumentacja, nie liczba. Ten sam rodzaj pracy niezależnie od działu — zebrany w jednym miejscu, pogrupowany działami.
315zadań tego typu
99 zadań
Geometria płaska
Zadanie 9, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Odcinek \(CD\) jest wysokością trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(\lvert AC\rvert=\lvert BC\rvert\). Prosta \(p\), prostopadła do boku \(BC\), przecina bok…
Zadanie 20, czerwiec 2026, poziom podstawowy
W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(AB\), a punkt \(E\) leży na boku \(AC\). Odcinek \(BE\) jest środkową trójkąta \(ABC\), a odcinek \(CD\) jest…
Zadanie 30, czerwiec 2026, poziom podstawowy
W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(AB\) i odcinek \(CD\) jest wysokością tego trójkąta. Punkt \(E\) jest środkiem boku \(AC\). Ponadto odcinki…
Zadanie 8, maj 2026, poziom rozszerzony
Punkty \(K\) i \(L\) są środkami odpowiednio boków \(AB\) i \(BC\) kwadratu \(ABCD\) o boku długości \(a\). Punkt \(M\) jest takim punktem na boku \(BC\), że odcinki…
Zadanie 21, maj 2026, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt \(KLM\), w którym \(\lvert KM\rvert=a\) oraz \(\lvert LM\rvert=b\). Dwusieczna kąta \(LMK\) przecina bok \(KL\) w punkcie \(N\) (zobacz rysunek). Wykaż…
Zadanie 12.1, maj 2026, poziom rozszerzony
W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości \(x\) metrów, nieprzekraczającej \(10\) metrów. Na tym kwietniku ma…
Zadanie 21, próbna marzec 2026, poziom podstawowy
Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\), w którym \(|AB|=2\cdot|CD|\). Przekątna \(AC\) tego trapezu jest zawarta w dwusiecznej kąta \(DAB\)…
Zadanie 4, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Dany jest prostokąt \(ABCD\), w którym \(\lvert AB\rvert=2\cdot\lvert AD\rvert\). Na bokach \(AB\), \(BC\), \(CD\) oraz \(DA\) tego prostokąta obrano punkty - odpowiednio…
Zadanie 7, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Dany jest prostokąt \(ABCD\), w którym \(\lvert AB\rvert=2\cdot\lvert AD\rvert\). Na bokach \(AB\), \(BC\), \(CD\) oraz \(DA\) tego prostokąta obrano punkty - odpowiednio…
Zadanie 26, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\) o kątach prostych przy wierzchołkach \(A\) i \(D\). Ramię \(BC\) ma długość \(5\). W trapez wpisano okrąg o środku \(S\) i promieniu…
Zadanie 46, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Rozważmy trójkąt prostokątny \(ABC\) o kącie prostym przy wierzchołku \(A\). Niech każdy z boków tego trójkąta: \(CA\), \(AB\), \(BC\) będzie podstawą trójkątów…
Zadanie 48, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Trzy różne punkty \(A\), \(B\) i \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Odcinek \(BD\) jest średnicą tego okręgu. Styczne \(k\) i \(l\) do tego okręgu…
Zadanie 7, maj 2025, poziom rozszerzony
W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) punkt \(E\) jest środkiem ramienia \(AD\), a punkt \(F\) jest środkiem ramienia \(BC\) trapezu. Stosunek pola trapezu…
Zadanie 7, maj 2025, poziom rozszerzony
W trójkącie równobocznym \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\). Stosunek pola trójkąta \(ABD\) do pola trójkąta \(ADC\) jest równy \(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\). Wykaż, że…
Zadanie 6, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
Podstawy trapezu równoramiennego mają długości \(a\) oraz \(b\), gdzie \(a>b\). W ten trapez można wpisać okrąg. Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od \(a\cdot b\).
Zadanie 15, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
Rozważamy trapezy równoramienne, których przekątne mają długość \(10\). Odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość \(x\). **a)** Wykaż, że pole trapezu opisuje…
Zadanie 2, próbna grudzień 2024, poziom rozszerzony
Okrąg \(\mathcal O\) jest styczny do boków \(AC\) i \(BC\) trójkąta \(ABC\) oraz przecina bok \(AB\) tego trójkąta w punktach \(M\) oraz \(N\), przy czym…
Zadanie 7, maj 2024, poziom rozszerzony
Dany jest czworokąt wypukły \(ABCD\). Przekątne \(AC\) oraz \(BD\) tego czworokąta przecinają się w punkcie \(S\). Wykaż, że jeżeli…
Zadanie 8, maj 2024, poziom rozszerzony
Dany jest trójkąt \(ABC\), który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta \(ABC\) jest dwa razy większa od miary kąta \(BAC\). **Wykaż, że długości boków tego…
Zadanie 8, arkusz pokazowy 2023, poziom rozszerzony
Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\) o obwodzie \(l\) i podstawach \(AB\) oraz \(CD\) takich, że \(|AB|>|CD|\). Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a…
Zadanie 8, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
Dany jest okrąg \(\mathcal O\). Przez punkt \(A\) poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - \(P\) oraz \(Q\). Przez punkt…
Zadanie 26, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\) o kątach prostych przy wierzchołkach \(A\) i \(D\). Ramię \(BC\) trapezu ma długość \(5\). W trapez wpisano okrąg o środku \(S\) i…
Zadanie 35, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta, o której mówi samo to twierdzenie. Rozważmy trójkąt prostokątny \(ABC\) o kącie…
Zadanie 5, maj 2023, poziom rozszerzony
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\angle ABC|=90^\circ\) oraz \(|\angle CAB|=60^\circ\). Punkty \(K\) i \(L\) leżą na bokach - odpowiednio - \(AB\) i…
Zadanie 7, maj 2023, poziom rozszerzony
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(\lvert\angle ABC\rvert=90^\circ\) oraz \(\lvert\angle CAB\rvert=60^\circ\). Punkty \(K\) i \(L\) leżą na bokach…
Zadanie 9, czerwiec 2022, poziom rozszerzony
W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przez punkt \(O\) przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków \(BC\) i \(AD\). Prosta…
Zadanie 6, próbna grudzień 2022, poziom rozszerzony
W trójkącie \(ABC\) poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki \(BC\), \(AC\) i \(AB\) tego trójkąta w punktach - odpowiednio - \(K\), \(L\) oraz \(M\). Punkt \(P\)…
Zadanie 7, czerwiec 2021, poziom rozszerzony
W trójkącie \(ABC\) na boku \(AB\) obrano punkty \(D\), \(E\) i \(F\) tak, że \[|AD|=|DE|=|EF|=2|FB|.\] Na bokach \(AC\) i \(BC\) obrano odpowiednio punkty \(G\) i \(H\)…
Zadanie 8, maj 2021, poziom rozszerzony
Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) wybrano punkty - odpowiednio - \(D\) i \(E\) takie, że \[|BD|=|AE|=\frac13|AB|.\] Odcinki \(CD\) i \(BE\)…
Zadanie 31, próbna marzec 2021, poziom podstawowy
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości \(a\) i \(b\). Punkt \(O\), leżący na przeciwprostokątnej tego trójkąta, jest środkiem okręgu stycznego do obu…
Zadanie 7, czerwiec 2020, poziom rozszerzony
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|=6\). Punkt \(D\) jest środkiem boku \(AB\). Okrąg o środku \(D\) jest styczny do boku \(AC\) w punkcie…
Zadanie 29, czerwiec 2020, poziom podstawowy
Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta i \(|CE| = \frac{3}{4} \cdot |CD|\). Punkt F leży na boku BC, a EF ⟂ BC. Wykaż, że…
Zadanie 7, lipiec 2020, poziom rozszerzony
Dany jest czworokąt wypukły, którego kolejnymi wierzchołkami są punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\). Wykaż, że jeżeli \[|\angle ADB|=|\angle ACB|,\] to…
Zadanie 29, lipiec 2020, poziom podstawowy
Bok AB jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie ABC. Punkt D leży na tym okręgu, a SD jest zawarty w symetralnej BC. Wykaż, że AD leży w dwusiecznej kąta CAB.
Zadanie 29, wrzesień 2020, poziom podstawowy
Okręgi o promieniach \(2\) i \(6\) są styczne zewnętrznie i do wspólnej prostej k. Wykaż, że prosta przez ich środki przecina k pod kątem \(30^{\circ}\).
Zadanie 8, czerwiec 2019, poziom rozszerzony
Dwusieczne kątów \(BAD\) i \(BCD\) czworokąta wypukłego \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(E\), przy czym punkty \(B\) i \(E\) leżą po przeciwnych stronach prostej…
Zadanie 28, czerwiec 2019, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt ABC . Punkt S jest środkiem boku AB tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów A i B od prostej CS są równe. C B S
Zadanie 9, maj 2019, poziom rozszerzony
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Na ramieniu \(AC\) wybrano punkt \(M\), różny od punktów \(A\) i \(C\), a na ramieniu \(BC\) wybrano…
Zadanie 29, maj 2019, poziom podstawowy
Dany jest okrąg o środku S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi okręgu. Prosta CS przecina okrąg w punktach D i E…
Zadanie 29, sierpień 2019, poziom podstawowy
Wierzchołki A i C trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu r, a środek S tego okręgu leży na boku AB trójkąta (zobacz rysunek). Prosta BC jest styczna do tego okręgu w…
Zadanie 6, czerwiec 2018, poziom rozszerzony
W trójkącie ABC kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC. Wykaż, że \(BC^{2}-AC^{2}=AB \cdot AC\).
Zadanie 29, czerwiec 2018, poziom podstawowy
Dany jest prostokąt ABCD. Na boku CD tego prostokąta wybrano taki punkt E, że \(EC = 2 DE , a\) na boku AB wybrano taki punkt F, że \(BF = DE\) . Niech P oznacza punkt…
Zadanie 7, maj 2018, poziom rozszerzony
Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz \(AC>BC\). Dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie K. Punkt L jest obrazem K w symetrii względem dwusiecznej kąta BAC, punkt M jest…
Zadanie 15, maj 2018, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy \(a\) i wysokości trapezu jest równa \(2\)…
Zadanie 29, maj 2018, poziom podstawowy
Okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy jest styczny do obu ramion kąta prostego. Promień okręgu o środku A jest równy \(2\). Uzasadnij, że promień okręgu…
Zadanie 28, sierpień 2018, poziom podstawowy
W równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC. Z wierzchołka D poprowadzono prostą przecinającą bok BC w punkcie E. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F…
Zadanie 8, czerwiec 2017, poziom rozszerzony
Miary kątów trójkąta \(ABC\) są równe \[\alpha=|\angle BAC|,\qquad \beta=|\angle ABC|,\qquad \gamma=|\angle ACB|.\] Punkt \(S\) jest środkiem okręgu wpisanego w ten…
Zadanie 28, czerwiec 2017, poziom podstawowy
Dwusieczna kąta ostrego ABC przecina przyprostokątną AC trójkąta prostokątnego ABC w punkcie D. B A D C \(1\) Udowodnij, że jeżeli \(AD = BD\), to \(CD = \cdot BD\)…
Zadanie 28, maj 2017, poziom podstawowy
Dane są dwa okręgi o środkach w punktach \(P\) i \(R\), styczne zewnętrznie w punkcie \(C\). Prosta \(AB\) jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach \(A\) i…
Zadanie 29, sierpień 2017, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym \(ACB = 90^{\circ}\) i \(ABC = 60^{\circ}\) . Niech D oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka C kąta…
Zadanie 29, czerwiec 2016, poziom podstawowy
Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna kąta ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz…
Zadanie 9, maj 2016, poziom rozszerzony
Dany jest prostokąt ABCD. Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD w punkcie N. Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M, a środek…
Zadanie 29, maj 2016, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Na przyprostokątnych \(AC\) i \(AB\) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \(D\) i \(G\). Na przeciwprostokątnej \(BC\)…
Zadanie 30, sierpień 2016, poziom podstawowy
W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne AC oraz BD przecinają się w punkcie S. \(5\) Wykaż, że jeżeli \(AS = AC\), to pole trójkąta ABS jest \(25\) razy większe od…
Zadanie 10, arkusz pokazowy 2015, poziom rozszerzony
Punkty \(P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{23},P_{24}\) dzielą okrąg na \(24\) równe łuki (zobacz rysunek). Punkt \(A\) jest punktem przecięcia cięciw \(P_{11}P_{22}\) i…
Zadanie 27, arkusz pokazowy 2015, poziom podstawowy
W pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość \(10\) i jest styczna do wewnętrznego okręgu (zobacz rysunek). Wykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić…
Zadanie 9, czerwiec 2015, poziom rozszerzony
W trójkącie \(ABC\) kąt wewnętrzny przy wierzchołku \(A\) ma miarę \(50^\circ\), a kąt wewnętrzny przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(60^\circ\). Okrąg \(o_1\) przechodzi…
Zadanie 12, czerwiec 2015, poziom rozszerzony
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|BC|=a\). Z wierzchołka \(B\) poprowadzono środkową \(BD\) do boku \(AC\). Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(BD\). Przez punkty…
Zadanie 28, czerwiec 2015, poziom podstawowy
Czworokąt \(ABCD\) wpisano w okrąg tak, że bok \(AB\) jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że \[|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2.\]
Zadanie 1, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2015, poziom mieszany
Dany jest ostrokątny trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Na bokach, na zewnątrz trójkąta \(ABC\), zbudowano kwadraty \(ABDE\), \(BCFG\) i \(ACHJ\)…
Zadanie 1, przykłady oceniania z informatora 2015, poziom mieszany
Dany jest ostrokątny trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Na bokach, na zewnątrz trójkąta \(ABC\), zbudowano kwadraty \(ABDE\), \(BCFG\) i \(ACHJ\)…
Zadanie 18, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\) o kącie prostym przy wierzchołku \(C\) i obwodzie równym \(2p\). Na prostej \(AB\) obrano punkty \(D\) i \(E\) leżące na zewnątrz…
Zadanie 19, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Ramię \(AD\) trapezu \(ABCD\), w którym \(AB\parallel CD\), przedłużono do punktu \(E\) takiego, że \(AE=3\cdot AD\). Punkt \(M\) leży na podstawie \(AB\) oraz…
Zadanie 38, zbiór zadań z informatora 2015, poziom podstawowy
Punkt \(D\) leży na boku \(BC\) trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Odcinek \(AD\) dzieli trójkąt \(ABC\) na dwa trójkąty równoramienne w taki…
Zadanie 9, maj 2015, poziom rozszerzony
Dwusieczne kątów czworokąta \(ABCD\) wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: \(P,Q,R,S\) (zobacz rysunek). Wykaż, że na czworokącie \(PQRS\) można…
Zadanie 28, maj 2015, poziom podstawowy
Dany jest kwadrat \(ABCD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\). Punkty \(K\) i \(M\) są środkami odcinków, odpowiednio, \(AE\) i \(EC\). Punkty…
Zadanie 31, sierpień 2015, poziom podstawowy
W prostokącie \(ABCD\) punkt \(P\) jest środkiem boku \(BC\), a punkt \(R\) jest środkiem boku \(CD\). Wykaż, że pole trójkąta \(APR\) jest równe sumie pól trójkątów…
Zadanie 5, czerwiec 2014, poziom rozszerzony
Na przyprostokątnych \(AC\) i \(BC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) zbudowano, na zewnątrz trójkąta, kwadraty \(ACDE\) i \(BFGC\). Odcinek \(AF\) przecina przyprostokątną…
Zadanie 31, czerwiec 2014, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt \(ABC\). Odcinek \(CD\) jest wysokością tego trójkąta, punkt \(E\) jest środkiem boku \(BC\) (tak jak na rysunku) i \(|CD|=|DE|\). Udowodnij, że trójkąt…
Zadanie 15, próbna grudzień 2014, poziom rozszerzony
Punkt \(E\) jest środkiem boku \(BC\) prostokąta \(ABCD\), w którym \(|AB|>|BC|\). Punkt \(F\) leży na boku \(CD\) tego prostokąta oraz \(\angle AEF=90^\circ\)…
Zadanie 31, próbna grudzień 2014, poziom podstawowy
W trapezie \(ABCD\), w którym \(AB\parallel CD\), przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(O\) takim, że \[AO:OC=5:1.\] Pole trójkąta \(AOD\) jest równe…
Zadanie 6, maj 2014, poziom rozszerzony
Trójkąt \(ABC\) jest wpisany w okrąg o środku \(S\). Kąty wewnętrzne \(CAB\), \(ABC\) i \(BCA\) tego trójkąta są równe odpowiednio \(\alpha\), \(2\alpha\) i \(4\alpha\)…
Zadanie 31, maj 2014, poziom podstawowy
Środek \(S\) okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym \(ABC\), o ramionach \(AC\) i \(BC\), leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że miara kąta…
Zadanie 30, sierpień 2014, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AC|>|BC|\). Na bokach \(AC\) i \(BC\) tego trójkąta obrano odpowiednio takie punkty \(D\) i \(E\), że zachodzi równość…
Zadanie 2, maj 2013, poziom rozszerzony
Trapez równoramienny \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) jest opisany na okręgu o promieniu \(r\). Wykaż, że \[4r^2=|AB|\cdot|CD|.\]
Zadanie 30, maj 2012, poziom podstawowy
W trójkącie \(ABC\) poprowadzono dwusieczne kątów \(A\) i \(B\). Dwusieczne te przecinają się w punkcie \(P\). Uzasadnij, że kąt \(APB\) jest rozwarty.
Zadanie 30, sierpień 2012, poziom podstawowy
Dany jest równoległobok \(ABCD\). Na przedłużeniu przekątnej \(AC\) wybrano punkt \(E\) tak, że \[|CE|=\frac12|AC|\] (zobacz rysunek). Uzasadnij, że pole równoległoboku…
Zadanie 9, czerwiec 2011, poziom rozszerzony
Przekątne trapezu \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(P\). Prosta równoległa do podstaw trapezu, przechodząca przez punkt \(P\), przecina ramiona \(AD\) i \(BC\)…
Zadanie 25, czerwiec 2011, poziom podstawowy
Trójkąt \(ABC\) przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty \(B\), \(C\), \(N\) są współliniowe. Na boku \(AC\) wybrano punkt \(M\) tak, że…
Zadanie 10, maj 2011, poziom rozszerzony
Dany jest czworokąt wypukły \(ABCD\) niebędący równoległobokiem. Punkty \(M\), \(N\) są odpowiednio środkami boków \(AB\) i \(CD\). Punkty \(P\), \(Q\) są odpowiednio…
Zadanie 29, maj 2011, poziom podstawowy
Dany jest czworokąt \(ABCD\), w którym \(AB\parallel CD\). Na boku \(BC\) wybrano taki punkt \(E\), że \(|EC|=|CD|\) i \(|EB|=|BA|\). Wykaż, że kąt \(AED\) jest prosty.
Zadanie 28, sierpień 2011, poziom podstawowy
Na bokach trójkąta równobocznego \(ABC\) (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty \(ABDE\), \(CBGH\) i \(ACKL\). Udowodnij, że trójkąt \(KGE\) jest równoboczny.
Zadanie 28, arkusz pokazowy 2010 P1, poziom podstawowy
Punkt \(E\) leży na ramieniu \(BC\) trapezu \(ABCD\), w którym \(AB\parallel CD\). Udowodnij, że \[ |\angle AED|=|\angle BAE|+|\angle CDE|. \]
Zadanie 29, arkusz pokazowy 2010 P2, poziom podstawowy
Punkt \(M\) leży wewnątrz prostokąta \(ABCD\) (zob. rysunek). Udowodnij, że \[ |AM|^2+|CM|^2=|BM|^2+|DM|^2. \]
Zadanie 29, czerwiec 2010, poziom podstawowy
Dany jest prostokąt \(ABCD\). Okręgi o średnicach \(AB\) i \(AD\) przecinają się w punktach \(A\) i \(P\) (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty \(B\), \(P\) i \(D\) leżą na…
Zadanie 93, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Czworokąty \(ABCD\) i \(APQR\) są kwadratami (patrz rysunek). Udowodnij, że \(|BP|=|DR|\).
Zadanie 94, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Na boku \(BC\) trójkąta \(ABC\) wybrano punkt \(D\) tak, by \(|\angle CAD|=|\angle ABC|\). Odcinek \(AE\) jest dwusieczną kąta \(DAB\). Udowodnij, że \(|AC|=|CE|\).
Zadanie 107, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Punkt \(D\) leży na boku \(BC\) trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Odcinek \(AD\) dzieli trójkąt \(ABC\) na dwa trójkąty równoramienne w taki…
Zadanie 108, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku \(O\) i średnicach odpowiednio \(AB\) i \(CD\) (punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) i \(O\) są współliniowe). Punkt \(P\) leży na…
Zadanie 9, maj 2010, poziom rozszerzony
Na bokach \(BC\) i \(CD\) równoległoboku \(ABCD\) zbudowano kwadraty \(CDEF\) i \(BCGH\) (zobacz rysunek). Udowodnij, że \(|AC|=|FG|\).
Zadanie 28, maj 2010, poziom podstawowy
Trójkąty prostokątne równoramienne \(ABC\) i \(CDE\) są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty). Wykaż, że…
Zadanie 31, próbna listopad 2009, poziom podstawowy
Trójkąty \(ABC\) i \(CDE\) są równoboczne. Punkty \(A\), \(C\) i \(E\) leżą na jednej prostej. Punkty \(K\), \(L\) i \(M\) są środkami odcinków \(AC\), \(CE\) i \(BD\)…
Zadanie 8, maj 2009, poziom rozszerzony
Dwa okręgi o środkach \(A\) i \(B\) są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego (patrz rysunek). Udowodnij, że…
Zadanie 11, próbna styczeń 2009, poziom podstawowy
Na zewnątrz kwadratu \(ABCD\) na bokach \(AB\) i \(BC\) zbudowano trójkąty równoboczne \(AEB\) i \(BFC\). Uzasadnij, że trójkąt \(DEF\) jest równoboczny.
Zadanie 4, arkusz pokazowy 2008, poziom rozszerzony
W prostokącie \(ABCD\) wierzchołek \(D\) połączono odcinkami ze środkami \(E\) i \(F\) boków \(AB\) i \(BC\), zaś \(M\) i \(N\) to punkty przecięcia tych odcinków z…
Zadanie 2, maj 2008, poziom podstawowy
Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest \(n\) boków i \(n\geqslant3\), wyraża się wzorem \[P(n)=\frac{n(n-3)}2.\] Wykorzystując ten wzór: a) oblicz liczbę…
Zadanie 17, próbna grudzień 2005, poziom rozszerzony
W trójkącie prostokątnym \(ABC\), w którym \(\angle BCA=90^\circ\), dane są długości przyprostokątnych: \(|BC|=a\) i \(|CA|=b\). Dwusieczna kąta prostego tego trójkąta…
Zadanie 4, próbna czerwiec 2004, poziom podstawowy
Na poniższym rysunku przedstawiono równoramienny trójkąt \(ABC\) o podstawie \(AC\) oraz prostokątny równoramienny trójkąt \(BDC\) o podstawie \(BC\). Uzasadnij, że…
63 zadania
Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 4, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \[xy+x+y\leq x^{2}+y^{2}+1.\]
Zadanie 8, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla każdych liczb rzeczywistych \(x\) oraz \(y\) prawdziwa jest nierówność \[xy+x+y\leq x^{2}+y^{2}+1.\]
Zadanie 7, maj 2026, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność…
Zadanie 27, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq2\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \[x^{2}+y^{2}>4(x+y-2).\]
Zadanie 2, maj 2025, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\neq\frac{1}{2}a\), prawdziwa jest nierówność…
Zadanie 5, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby \(a\) i każdej dodatniej liczby \(b\) takich, że \(a+b=1\), prawdziwa jest nierówność \[\frac1{2a+b}+\frac1{a+2b}\geq\frac43.\]
Zadanie 32, czerwiec 2024, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \[x^2+49y^2>2(x+7y-1).\]
Zadanie 31, sierpień 2024, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\), takich że \(x\neq2y\), prawdziwa jest nierówność \[x^2+4y^2-4>4(xy-1).\]
Zadanie 5, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej a zachodzi \(a^{2}+\frac{16}{a} \geq 12\).
Zadanie 32, czerwiec 2023, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) takiej, że \(b\neq a\), prawdziwa jest nierówność \[a^2+3b^2+4>2a+6b.\]
Zadanie 4, maj 2023, poziom rozszerzony
Liczby rzeczywiste \(x\) i \(y\) spełniają warunki \[x+y=4\] oraz \[x^3-x^2y\leq xy^2-y^3.\] **Wykaż, że \(x=2\) oraz \(y=2\).**
Zadanie 6, maj 2023, poziom rozszerzony
Liczby rzeczywiste \(x\) oraz \(y\) spełniają jednocześnie równanie \(x+y=4\) i nierówność \(x^3-x^2y \leq xy^2-y^3\). Wykaż, że \(x=2\) oraz \(y=2\).
Zadanie 32, sierpień 2023, poziom podstawowy
Wykaż, że dla dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x>2y\), zachodzi nierówność \[x^2+3xy-10y^2>0.\]
Zadanie 6, czerwiec 2022, poziom rozszerzony
**Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\), takich że \(x\ne y\), spełniona jest nierówność** \[x^4+y^4>xy(x^2+y^2).\]
Zadanie 30, czerwiec 2022, poziom podstawowy
**Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(y\), takich że \(x\ne y\), prawdziwa jest nierówność**…
Zadanie 3, próbna grudzień 2022, poziom rozszerzony
**Wykaż, że** dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) oraz dla każdej liczby rzeczywistej \(y\), spełniających warunek \(x+y\geq1\), prawdziwa jest nierówność…
Zadanie 6, maj 2022, poziom rozszerzony
**Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\), takich że \(2x>y\), spełniona jest nierówność** \[7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3.\]
Zadanie 31, maj 2022, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b takich, że \(b \neq a\), spełniona jest nierówność…
Zadanie 31, sierpień 2022, poziom podstawowy
**Wykaż, że** dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) różnej od \(0\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) różnej od \(0\) spełniona jest nierówność \[2a^2-4ab+5b^2>0.\]
Zadanie 30, maj 2021, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb a, b i c takich, że \(a < b\), spełniona jest nierówność \(\frac{a}{b} < \frac{(a + c)}{(b + c)}\).
Zadanie 6, próbna marzec 2021, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x>2\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \[5x^2-6xy+3y^2-2x-4>0.\]
Zadanie 31, sierpień 2021, poziom podstawowy
Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) zachodzi nierówność \[b(5b-4a)+a^2\geq0.\]
Zadanie 8, czerwiec 2020, poziom rozszerzony
Liczby dodatnie \(a\) i \(b\) spełniają równość \[a^2+2a=4b^2+4b.\] Wykaż, że \(a=2b\).
Zadanie 28, czerwiec 2020, poziom podstawowy
Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \[a(a-2b)+2b^2>0.\]
Zadanie 28, lipiec 2020, poziom podstawowy
Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\) spełniają warunki \(a<4\) i \(b<4\), to \[ab+16>4a+4b.\]
Zadanie 28, wrzesień 2020, poziom podstawowy
Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \[a(a+b)+b^2>3ab.\]
Zadanie 29, czerwiec 2019, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby \(a > 0\) i dla każdej liczby \(b > 0\) prawdziwa jest nierówność \(1\) \(1\) \(4\) \(+ \geq\) . a b a + b
Zadanie 8, maj 2019, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich \(x\), \(y\), \(a\), takich że \(x<y\), prawdziwa jest nierówność \[\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2.\]
Zadanie 28, maj 2019, poziom podstawowy
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \[3a^2-2ab+3b^2\geq0.\]
Zadanie 28, sierpień 2019, poziom podstawowy
− x Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej x prawdziwa jest nierówność \(x + \geq 1\). x
Zadanie 28, maj 2018, poziom podstawowy
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność \[\frac1{2a}+\frac1{2b}\geq\frac2{a+b}.\]
Zadanie 29, sierpień 2018, poziom podstawowy
Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to ( a + b ) \(1 + 1\) \(\geq 4\) . a b
Zadanie 7, czerwiec 2017, poziom rozszerzony
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \[5x^2+y^2-4xy+6x+9\geq0.\]
Zadanie 7, maj 2017, poziom rozszerzony
Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) zachodzi nierówność \[x^2y^2+2x^2+2y^2-8xy+4>0.\]
Zadanie 28, sierpień 2017, poziom podstawowy
Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność \(1\) \(4x + \geq 4\) . x
Zadanie 28, czerwiec 2016, poziom podstawowy
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność ( ) \(x 4 + y 4 + x 2 + y 2 \geq 2 x^{3} + y 3\) .
Zadanie 8, maj 2016, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że \(x^{2}+y^{2}=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y \leq 2\).
Zadanie 28, sierpień 2016, poziom podstawowy
Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunek abc \(= 1\), to \(a-1 + b-1 + c-1 =\) ab + ac + bc .
Zadanie 11, arkusz pokazowy 2015, poziom rozszerzony
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(m\) prawdziwa jest nierówność \[20x^2-24mx+18m^2\geq4x+12m-5.\]
Zadanie 29, czerwiec 2015, poziom podstawowy
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y\) prawdziwa jest nierówność \[3x^2+5y^2-4xy\geq0.\]
Zadanie 7, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Udowodnij, że jeśli \(a>0\) i \(b>0\) oraz \(a+b=1\), to \[ab\leq\frac14.\]
Zadanie 34, zbiór zadań z informatora 2015, poziom podstawowy
Udowodnij, że jeśli \(x,y\) są liczbami rzeczywistymi, to \[x^2+y^2\geq2xy.\]
Zadanie 8, maj 2015, poziom rozszerzony
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \[x^4-x^2-2x+3>0.\]
Zadanie 27, maj 2015, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \[4x^2-8xy+5y^2\geq0.\]
Zadanie 30, sierpień 2015, poziom podstawowy
Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x,y\) prawdziwa jest nierówność \[x^3+y^3\geq x^2y+xy^2.\]
Zadanie 3, czerwiec 2014, poziom rozszerzony
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \[x(x-1)+y(y-1)\geq xy-1.\]
Zadanie 27, czerwiec 2014, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) prawdziwa jest nierówność \[\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq\frac{a^2+b^2}{2}.\]
Zadanie 13, próbna grudzień 2014, poziom rozszerzony
Wykaż, że jeżeli \(a>b\geq1\), to \[\frac{a}{2+a^3}<\frac{b}{2+b^3}.\]
Zadanie 4, maj 2014, poziom rozszerzony
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \[\frac{x(x+1)}{y}+\frac{y(y+1)}{x}>2.\]
Zadanie 5, czerwiec 2013, poziom rozszerzony
Uzasadnij, że jeżeli \[2a+b\geq0,\] to \[2a^3+b^3\geq3a^2b.\]
Zadanie 28, maj 2013, poziom podstawowy
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y,z\), takich że \(x+y+z=0\), prawdziwa jest nierówność \[xy+yz+zx\leq0.\] Możesz skorzystać z tożsamości…
Zadanie 30, sierpień 2013, poziom podstawowy
Uzasadnij, że jeżeli \(a\) jest liczbą rzeczywistą różną od zera i \[a+\frac1a=3,\] to \[a^2+\frac1{a^2}=7.\]
Zadanie 6, czerwiec 2012, poziom rozszerzony
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a,b,c,d\) prawdziwa jest nierówność \[ac+bd\leq\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{c^2+d^2}.\]
Zadanie 7, maj 2012, poziom rozszerzony
Udowodnij, że jeżeli \[a+b\geq0,\] to prawdziwa jest nierówność \[a^3+b^3\geq a^2b+ab^2.\]
Zadanie 2, maj 2011, poziom rozszerzony
Uzasadnij, że jeżeli \(a\neq b\), \(a\neq c\), \(b\neq c\) i \(a+b=2c\), to \[\frac{a}{a-c}+\frac{b}{b-c}=2.\]
Zadanie 25, maj 2011, poziom podstawowy
Uzasadnij, że jeżeli \(a+b=1\) i \(a^2+b^2=7\), to \(a^4+b^4=31\).
Zadanie 30, czerwiec 2010, poziom podstawowy
Uzasadnij, że jeśli \[ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2, \] to \(ad=bc\).
Zadanie 106, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Udowodnij, że jeśli a) \(x\), \(y\) są liczbami rzeczywistymi, to \(x^2+y^2\geqslant2xy\); b) \(x\), \(y\), \(z\) są liczbami rzeczywistymi takimi, że \(x+y+z=1\), to…
Zadanie 30, maj 2010, poziom podstawowy
Wykaż, że jeśli \(a>0\), to \[ \frac{a^2+1}{a+1}\geqslant\frac{a+1}{2}. \]
Zadanie 31, sierpień 2010, poziom podstawowy
Wykaż, że jeżeli \(a>0\) i \(b>0\) oraz \[ \sqrt{a^2+b}=\sqrt{a+b^2}, \] to \(a=b\) lub \(a+b=1\).
Zadanie 1, maj 2008, poziom rozszerzony
Wielomian \(f\), którego fragment wykresu przedstawiono na poniższym rysunku, spełnia warunek \(f(0)=90\). Wielomian \(g\) dany jest wzorem \[g(x)=x^3-14x^2+63x-90.\]…
Zadanie 2, zestaw zadań marzec 2008 nr 1, poziom podstawowy
Dany jest wielomian \[W(x)=x^3+2x^2-9x-18.\] a) Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. b) Sprawdź, czy wielomiany \(W(x)\) i \[P(x)=(x+2)(x^2-2x+4)+(x+2)(2x-13)\] są równe…
Zadanie 6, zestaw zadań marzec 2008 nr 1, poziom rozszerzony
Wykaż, że wielomian \(W(x)=x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-6x+9\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.
60 zadań
Liczby rzeczywiste
Zadanie 5, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n \geq 0\) liczba \(7^{n} + 7^{n+1} + 7^{n+2}\) jest podzielna przez \(19\).
Zadanie 7, maj 2026, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \(7n^{2}+21n\) jest podzielna przez \(14\).
Zadanie 5, próbna marzec 2026, poziom podstawowy
**Wykaż, że liczba** \(\mathbf{2501^{4}-2499^{4}}\) **jest podzielna przez** \(\mathbf{10\,000}\)**.**
Zadanie 2, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Wykaż, że jeżeli \(a=\log_{2}14\) oraz \(b=\log_{\sqrt{2}}27\), to \[\log_{7}54=\frac{b+2}{2a-2}.\]
Zadanie 5, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(a\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(1\), i dla każdej liczby całkowitej \(b\), która przy dzieleniu przez \(5\)…
Zadanie 3, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \[(3n+5)^2+11n^2-18\] przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).
Zadanie 4, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że \(a<b\) oraz obie są niepodzielne przez \(3\). Udowodnij, że liczba \[a^2+11ab+b^2\] jest podzielna przez…
Zadanie 5, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\) liczba \[n(n^2+3n+2)\] jest podzielna przez \(6\).
Zadanie 7, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Udowodnij, że liczba \[3^{45}+9^{22}+27^{14}\] jest podzielna przez \(37\).
Zadanie 5, maj 2025, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba \(3n^{2}+2n+7\) jest podzielna przez \(4\).
Zadanie 27, sierpień 2025, poziom podstawowy
Wykaż, że liczba \(8^{50}-2^{145}\) jest podzielna przez \(31\).
Zadanie 5, czerwiec 2024, poziom podstawowy
**Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\) liczba \(5n^3-5n\) jest podzielna przez \(30\).**
Zadanie 3, próbna grudzień 2024, poziom podstawowy
**Wykaż, że liczba** \[2^{100}+4^{49}+16^{24}\] **jest podzielna przez \(21\).**
Zadanie 4, próbna grudzień 2024, poziom rozszerzony
**Wykaż, że** \[\frac{1}{\log_2 35+1}+\frac{1}{\log_7 140-\log_7 2}+\frac{1}{\log_5 7+\log_5 2+1}=1.\]
Zadanie 3, maj 2024, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(n^{2} + (n + 1)^{2} + (n + 2)^{2}\) przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).
Zadanie 6, maj 2024, poziom rozszerzony
Wykaż, że jeżeli \[\log_5 4=a\qquad\text{oraz}\qquad\log_4 3=b,\] to \[\log_{12}80=\frac{2a+1}{a(1+b)}.\]
Zadanie 3, sierpień 2024, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \((2n+5)^{2}+3\) jest podzielna przez \(4\).
Zadanie 5, arkusz pokazowy 2023, poziom rozszerzony
**Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez \(4\) jest liczbą podzielną przez \(36\).**
Zadanie 9, arkusz pokazowy 2023, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej \(n\) liczba \[n^2+2023\] jest podzielna przez \(8\).
Zadanie 3, czerwiec 2023, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) reszta z dzielenia liczby \(49k^2+7k-2\) przez \(7\) jest równa \(5\).
Zadanie 5, próbna grudzień 2023, poziom podstawowy
**Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej \(n\) liczba \(3n^2+4n+1\) jest podzielna przez \(4\).**
Zadanie 14, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
**Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(20n^2+30n+7\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).**
Zadanie 15, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że obie są niepodzielne przez \(3\). **Udowodnij, że liczba \(a^3+b^3\) jest podzielna przez \(9\).**
Zadanie 3, maj 2023, poziom podstawowy
**Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\) liczba \((2n+1)^2-1\) jest podzielna przez \(8\).**
Zadanie 12.1, maj 2023, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=81^{\log_3x}+\frac{2\cdot\log_2\sqrt{27}\cdot\log_3 2}{3}\cdot x^2-6x\] dla każdej liczby dodatniej \(x\). **Wykaż, że dla…
Zadanie 4, sierpień 2023, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\) liczba \[3n^3+18n^2+15n\] jest podzielna przez \(6\).
Zadanie 14, próbna grudzień 2022, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \[5n^2+15n\] jest podzielna przez \(10\).
Zadanie 26, próbna wrzesień 2022, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \[10n^2+30n+8\] przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(3\).
Zadanie 6, czerwiec 2021, poziom rozszerzony
Niech \[\log_2 9=c.\] Wykaż, że \[\log_3 54=\frac{3c+2}{c}.\]
Zadanie 6, maj 2021, poziom rozszerzony
Niech \(\log_{2}18=c\). Wykaż, że \(\log_{3}4=\frac{4}{(c-1)}\).
Zadanie 8, lipiec 2020, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie \(n^{5}-3n^{4}-n+3\) jest podzielne przez \(16\).
Zadanie 9, czerwiec 2019, poziom rozszerzony
Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie \(n^{5}-3n^{4}-n+19\) jest podzielne przez \(16\).
Zadanie 28, czerwiec 2018, poziom podstawowy
Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez \(8\) jest równa \(6\).
Zadanie 8, maj 2018, poziom rozszerzony
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i każdej liczby całkowitej m liczba \(k^{3}m-km^{3}\) jest podzielna przez \(6\).
Zadanie 29, czerwiec 2017, poziom podstawowy
Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \(( 1, 5 )100 < 625\) .
Zadanie 27, maj 2017, poziom podstawowy
Wykaż, że liczba \(4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020}\) jest podzielna przez \(17\).
Zadanie 8, czerwiec 2016, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla \(a,b,c,d>0\) prawdziwa jest nierówność \[\sqrt{a+b}\cdot\sqrt{c+d}\geq\sqrt{ac}+\sqrt{bd}.\]
Zadanie 28, arkusz pokazowy 2015, poziom podstawowy
Uzasadnij, że liczba \[4^{12}+4^{13}+4^{14}\] jest podzielna przez \(42\).
Zadanie 8, czerwiec 2015, poziom rozszerzony
Niech \(a=\log_{12}2\). Wykaż, że \[\log_6 64=\frac{6a}{1-a}.\]
Zadanie 2, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Niech \(m=\log_{21}7\). Wykaż, że \[\log_7 27=\frac{3(1-m)}{m}.\]
Zadanie 6, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) liczba \[k(k+1)(k+9)(k^2+1)\] jest podzielna przez \(5\).
Zadanie 43, zbiór zadań z informatora 2015, poziom podstawowy
Udowodnij, że prawdziwa jest nierówność \[\sqrt{2^{50}+1}+\sqrt{2^{50}-1}<2^{26}.\]
Zadanie 28, próbna grudzień 2014, poziom podstawowy
Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez \(3\), to jej kwadrat przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(1\).
Zadanie 28, maj 2014, poziom podstawowy
Udowodnij, że każda liczba całkowita \(k\), która przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby \(3k^2\) przez \(7\) jest…
Zadanie 28, sierpień 2014, poziom podstawowy
Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez \(24\).
Zadanie 4, czerwiec 2013, poziom rozszerzony
Wykaż, że prawdziwa jest równość \[\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3.\]
Zadanie 12, czerwiec 2013, poziom rozszerzony
Pierwiastkami wielomianu stopnia trzeciego są liczby \(1\), \(3\), \(5\). Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest równy \(\frac{1}{2}\). Uzasadnij, że dla…
Zadanie 30, czerwiec 2013, poziom podstawowy
Wykaż, że liczba \[\left(1+2013^2\right)\left(1+2013^4\right)\] jest dzielnikiem liczby \[1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7.\]
Zadanie 31, maj 2013, poziom podstawowy
Wykaż, że liczba \[6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}\] jest podzielna przez \(17\).
Zadanie 29, czerwiec 2012, poziom podstawowy
Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).
Zadanie 6, czerwiec 2011, poziom rozszerzony
Wykaż, że nie istnieje wielomian \(W(x)\) stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych, który spełnia warunki: \(W(2)=3\) i \(W(-2)=2\).
Zadanie 27, czerwiec 2011, poziom podstawowy
Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej \(n\) liczba \[3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\] jest wielokrotnością liczby \(10\).
Zadanie 1, maj 2011, poziom rozszerzony
Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) liczba \[k^6-2k^4+k^2\] jest podzielna przez \(36\).
Zadanie 25, sierpień 2011, poziom podstawowy
Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od \(1\) do \(16\), czyli \[ 1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot16, \] jest podzielny przez \(2^{15}\).
Zadanie 105, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \[\sqrt{2^{50}+1}+\sqrt{2^{50}-1}<2^{26}.\]
Zadanie 6, sierpień 2010, poziom rozszerzony
Wykaż, że nierówność \[ \sqrt[4]{\frac{a^4+b^4}{2}}\geqslant\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \] jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\).
Zadanie 4, maj 2009, poziom podstawowy
Wykaż, że liczba \(3^{54}\) jest rozwiązaniem równania \(243^{11}-81^{14}+7x=9^{27}\).
Zadanie 5, maj 2009, poziom rozszerzony
Wykaż, że jeżeli \(A=3^{4\sqrt2+2}\) i \(B=3^{2\sqrt2+3}\), to \(B=9\sqrt{A}\).
Zadanie 17, maj 2005, poziom rozszerzony
Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że \[\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}\] jest liczbą całkowitą.
Zadanie 1, próbna styczeń 2005, poziom podstawowy
Wykonaj odpowiednie obliczenia i oceń, które z podanych zdań jest prawdziwe, a które fałszywe…
16 zadań
Geometria analityczna
Zadanie 16, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
W układzie współrzędnych \((x,y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C=(0,0)\), punkt \(B\) leży na dodatniej półosi \(Oy\), punkt \(A\) leży…
Zadanie 13.1, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C=(0,0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatniej półosi…
Zadanie 13.1, próbna grudzień 2024, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=\frac{12x-84}{x-8}\] dla każdego \(x\in(-\infty,8)\). W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) rozważamy wszystkie…
Zadanie 6.1, arkusz pokazowy 2023, poziom rozszerzony
Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej…
Zadanie 8, maj 2010, poziom rozszerzony
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji \[ f(x)=\frac{1}{x^2}. \] Przeprowadzono prostą równoległą do osi \(Ox\), która przecięła wykres tej funkcji w punktach \(A\)…
Zadanie 30, sierpień 2010, poziom podstawowy
Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach \(A=(3,8)\), \(B=(1,2)\), \(C=(6,7)\) jest prostokątny.
Zadanie 3, próbna styczeń 2009, poziom rozszerzony
Jeden z końców odcinka leży na paraboli o równaniu \(y=x^2\), a drugi na prostej o równaniu \(y=2x-6\). Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza od \(5\)…
Zadanie 5, arkusz pokazowy 2008, poziom rozszerzony
Dane są punkty \(A=(-4,32)\) i \(B=(-36,16)\). Wykaż, że koło o średnicy \(AB\) jest zawarte w II ćwiartce prostokątnego układu współrzędnych.
Zadanie 7, maj 2008, poziom rozszerzony
Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu \[y=\frac14x^2+1\] jest równoodległy od osi \(Ox\) i od punktu \(F=(0,2)\).
Zadanie 4, zestaw zadań marzec 2008 nr 2, poziom podstawowy
W układzie współrzędnych są dane punkty \(A=(-4,-2)\), \(B=(5,4)\). a) Oblicz odległość punktu \(C=(-1,4)\) od prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\). b)…
Zadanie 10, zestaw zadań marzec 2008 nr 1, poziom podstawowy
Na płaszczyźnie dane są punkty \(A=(2,3)\) i \(B=(-2,1)\) (patrz rysunek). Zbadaj, czy punkty \(K=(36,21)\) i \(L=(-37,-15)\) leżą po tej samej stronie prostej \(AB\)…
Zadanie 15, maj 2005, poziom rozszerzony
W dowolnym trójkącie \(ABC\) punkty \(M\) i \(N\) są odpowiednio środkami boków \(AC\) i \(BC\) (rys. \(1\)). **Zapoznaj się uważnie z następującym rozumowaniem:**…
Zadanie 18, maj 2005, poziom rozszerzony
Pary liczb \((x,y)\) spełniające układ równań \[\begin{cases}-4x^2+y^2+2y+1=0,\\-x^2+y+4=0\end{cases}\] są współrzędnymi wierzchołków czworokąta wypukłego \(ABCD\). a)…
Zadanie 9, próbna czerwiec 2004, poziom podstawowy
Punkty \(A=(-1,-2)\), \(B=(2,-1)\), \(C=(1,2)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). a) Oblicz długość odcinka \(AB\). b) Napisz równanie prostej \(m\), do której należą…
Zadanie 14, próbna styczeń 2004, poziom rozszerzony
Wykaż, że jeśli \(a\neq b\), to równanie \[x^2+y^2+ax+by+\frac{ab}{2}=0\] jest równaniem okręgu. Wyznacz współrzędne środka i długość promienia tego okręgu.
Zadanie 13, maj 2002, poziom rozszerzony
Sprawdź, że przekształcenie \(P\) płaszczyzny dane wzorem \(P((x,y))=(x+1,-y)\) jest izometrią. Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu \(x^{2}+y^{2}-2x=0\) w…
15 zadań
Ciągi
Zadanie 35, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem ogólnym \[a_n=4n-9\] dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\). Wykaż, że ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.
Zadanie 24, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem ogólnym \[a_n=4n-9\qquad\text{dla każdego }n\ge1.\] **Wykaż, że ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.**
Zadanie 30, maj 2016, poziom podstawowy
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \[a_n=2n^2+2n\] dla \(n\geq1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Zadanie 10, czerwiec 2013, poziom rozszerzony
Liczby \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\) są dodatnie i w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Uzasadnij, że…
Zadanie 30, próbna listopad 2009, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdego \(m\) ciąg \[\left(\frac{m+1}{4},\frac{m+3}{6},\frac{m+9}{12}\right)\] jest arytmetyczny.
Zadanie 7, maj 2009, poziom rozszerzony
Ciąg \((x-3,\ x+3,\ 6x+2,\ldots)\) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że…
Zadanie 6, maj 2008, poziom rozszerzony
Udowodnij, że jeżeli ciąg \((a,b,c)\) jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny, to \(a=b=c\).
Zadanie 10, próbna listopad 2006, poziom rozszerzony
Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant1\) wzorem \[a_n=(n-3)(2-p^2),\qquad p\in\mathbb{R}.\] a) Wykaż, że dla każdej wartości…
Zadanie 12, maj 2006, poziom rozszerzony
Korzystając z zasady indukcji matematycznej, wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant1\) prawdziwy jest wzór…
Zadanie 5, próbna styczeń 2006, poziom podstawowy
Zauważ, że: \[\begin{aligned}1^2&=1,\\2^2&=1+2+1,\\3^2&=1+2+3+2+1,\\4^2&=1+2+3+4+3+2+1.\end{aligned}\] Stosując wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego…
Zadanie 20, próbna styczeń 2006, poziom rozszerzony
Ciąg \((a_n)\) określony jest rekurencyjnie w następujący sposób: \[\begin{cases}a_1=2,\\a_{n+1}=\dfrac{a_n}{a_n+1}&\text{dla dowolnego }n\geqslant1.\end{cases}\] Wykaż…
Zadanie 19, próbna grudzień 2005, poziom rozszerzony
Korzystając z zasady indukcji matematycznej, udowodnij, że każda liczba naturalna \(n\geqslant5\) spełnia nierówność \[2^n>n^2+n-1.\]
Zadanie 14, próbna styczeń 2005, poziom rozszerzony
Dany jest ciąg liczbowy \[a_n=3n^2-3n+2\] określony dla dowolnej liczby \(n\in\mathbb{N}_+\). a) Wykaż, korzystając z definicji monotoniczności ciągu, że ciąg \((a_n)\)…
Zadanie 20, maj 2003, poziom rozszerzony
Udowodnij, stosując zasadę indukcji matematycznej, że dla każdego całkowitego dodatniego \(n\) zachodzi równość \[2+5+8+\ldots+(3n-1)=\frac32n^2+\frac12n.\]
Zadanie 14, próbna styczeń 2003, poziom rozszerzony
Suma \(n\) początkowych, kolejnych wyrazów ciągu \((a_{n})\), jest obliczana według wzoru \(S_{n}=n^{2}+3n\), \((n\in\mathbb{N}^{+})\). Wyznacz \(a_{n}\). Wykaż, że ciąg…
14 zadań
Trygonometria
Zadanie 8, maj 2022, poziom rozszerzony
Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(CD\) jest o \(2\) mniejsza od długości podstawy \(AB\). Promień okręgu opisanego na…
Zadanie 8, próbna marzec 2021, poziom rozszerzony
Na przeciwprostokątnej \(AB\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) zbudowano kwadrat \(ABDE\) (zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy \(k\). Wykaż…
Zadanie 7, czerwiec 2018, poziom rozszerzony
Udowodnij, że dla dowolnego kąta \(\alpha\in\left(0,\frac\pi2\right)\) prawdziwa jest nierówność…
Zadanie 8, maj 2017, poziom rozszerzony
W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(c\), bok \(BC\) ma długość \(a\), a \(|\angle ABC|=\beta\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) w punkcie…
Zadanie 24, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla każdego kąta \(\alpha\) prawdziwa jest równość \[4\left(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha\right)=1+3\cos^2 2\alpha.\]
Zadanie 14, próbna grudzień 2014, poziom rozszerzony
Wykaż, że jeżeli \(\alpha,\beta,\gamma\) są kątami wewnętrznymi trójkąta i \[\sin^2\alpha+\sin^2\beta<\sin^2\gamma,\] to \(\cos\gamma<0\).
Zadanie 8, czerwiec 2013, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla dowolnego kąta \(\alpha\) prawdziwa jest tożsamość \[\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=\frac{1+\cos^2(2\alpha)}{2}.\]
Zadanie 28, czerwiec 2012, poziom podstawowy
Uzasadnij, że jeżeli \(\alpha\) jest kątem ostrym, to \[\sin^4\alpha+\cos^2\alpha=\sin^2\alpha+\cos^4\alpha.\]
Zadanie 5, czerwiec 2011, poziom rozszerzony
Dany jest trójkąt ostrokątny \(ABC\) o bokach długości \(a\), \(b\), \(c\) i kątach \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) (zobacz rysunek). Wykaż, że…
Zadanie 6, maj 2009, poziom podstawowy
Miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa \(\alpha\). a) Uzasadnij, że spełniona jest nierówność \(\sin\alpha-\tan\alpha<0\). b) Dla…
Zadanie 3, próbna styczeń 2009, poziom podstawowy
Uzasadnij, że dla każdego \(\alpha\in(0^\circ,90^\circ)\) prawdą jest, że \[(1+\sin\alpha)\left(\frac1{\cos\alpha}-\tan\alpha\right)=\cos\alpha.\]
Zadanie 4, zestaw zadań marzec 2008 nr 1, poziom rozszerzony
W trójkącie równoramiennym (patrz rysunek) długość podstawy wynosi \(a\), zaś wysokości opuszczone odpowiednio na podstawę i ramię są równe \(H\) i \(h\). Kąt między…
Zadanie 7, zestaw zadań marzec 2008 nr 2, poziom podstawowy
Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość \(24\), a kąty ostre \(\alpha\) i \(\beta\) są takie, że…
Zadanie 9, próbna styczeń 2003, poziom podstawowy
Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów sinusów miar wszystkich jego kątów wewnętrznych równa się \(2\).
12 zadań
Stereometria
Zadanie 15, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym \(24\sqrt{3}\). a) Wykaż, że objętość \(V\) graniastosłupa w zależności od…
Zadanie 12.1, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym \(24\sqrt{3}\). Wykaż, że objętość \(V\) graniastosłupa w zależności od…
Zadanie 15, maj 2025, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od \(5\), a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa \(5\). a) Wykaż, że objętość \(V\) stożka, jako…
Zadanie 12.1, maj 2025, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od \(5\), a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa \(5\). Wykaż, że objętość \(V\) stożka, jako…
Zadanie 13.1, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości \(H\) ostrosłupa oraz promienia \(R\) okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest…
Zadanie 16, maj 2024, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości \(3456\), których krawędź podstawy ma długość nie większą niż \(8\sqrt3\). **a)** Wykaż, że pole \(P\)…
Zadanie 13.1, maj 2024, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości \(3456\), których krawędź podstawy ma długość nie większą niż \(8\sqrt3\). **Zadanie \(13\).\(1\).**…
Zadanie 11, czerwiec 2016, poziom rozszerzony
W sześcianie ABCDEFGH przez wierzchołki A i C oraz środek K krawędzi BF poprowadzono płaszczyznę przecinającą przekątną BH w punkcie P. Wykaż, że \(BP:HP=1:3\).
Zadanie 26, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Kąt \(\alpha\) jest kątem między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi. Kąt \(\beta\) jest kątem przy podstawie ściany bocznej…
Zadanie 11, maj 2009, poziom podstawowy
Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta ma długość \(12\) i tworzy z bokiem, którego długość jest równa…
Zadanie 11, maj 2008, poziom rozszerzony
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: \(H\) - wysokość ostrosłupa oraz \(\alpha\) - miara kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy…
Zadanie 11, maj 2003, poziom podstawowy
Podstawą prostopadłościanu \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) jest prostokąt o bokach długości \(|AD|=3\) i \(|AB|=6\). Wysokość prostopadłościanu ma długość równą \(6\). Uzasadnij za…
10 zadań
Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 36, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Niech \(A\), \(B\) będą zdarzeniami losowymi zawartymi w \(\Omega\). Wykaż, że jeżeli \(P(A)=0{,}7\) i \(P(B)=0{,}8\), to \[P(A\mid B)\geq0{,}625.\] Symbol \(P(A\mid B)\)…
Zadanie 38, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Niech \(A\), \(B\) będą zdarzeniami losowymi zawartymi w \(\Omega\). Wykaż, że jeżeli \[P(A\cap B)=P(A)P(B),\] to \[P(A\cap B')=P(A)P(B').\] Symbol \(B'\) oznacza…
Zadanie 12, czerwiec 2012, poziom rozszerzony
Zdarzenia losowe \(A,B\) są zawarte w \(\Omega\) oraz \[P(A\cap B^{\prime})=0{,}1\qquad\text{i}\qquad P(A^{\prime}\cap B)=0{,}2.\] Wykaż, że \[P(A\cap B)\leq0{,}7,\]…
Zadanie 11, maj 2012, poziom rozszerzony
Zdarzenia losowe \(A,B\) są zawarte w \(\Omega\) oraz \[P(A\cap B^{\prime})=0{,}7,\] gdzie \(A^{\prime}\) oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia \(A\), a \(B^{\prime}\)…
Zadanie 12, maj 2011, poziom rozszerzony
\(A\), \(B\) są zdarzeniami losowymi zawartymi w \(\Omega\). Wykaż, że jeżeli \(P(A)=0{,}9\) i \(P(B)=0{,}7\), to \[P(A\cap B')\leqslant0{,}3,\] gdzie \(B'\) oznacza…
Zadanie 6, maj 2007, poziom rozszerzony
Niech \(A\), \(B\) będą zdarzeniami o prawdopodobieństwach \(P(A)\) i \(P(B)\). Wykaż, że jeżeli \(P(A)=0{,}85\) i \(P(B)=0{,}75\), to prawdopodobieństwo warunkowe…
Zadanie 16, próbna styczeń 2006, poziom rozszerzony
Para \((\Omega,P)\) jest przestrzenią probabilistyczną, a \(A\subset\Omega\) i \(B\subset\Omega\) są zdarzeniami niezależnymi. Wykaż, że jeżeli \[P(A\cup B)=1,\] to jedno…
Zadanie 14, próbna grudzień 2005, poziom rozszerzony
Niech \(A,B\subset\Omega\) będą zdarzeniami losowymi, takimi że \[P(A)=\frac5{12}\qquad\text{oraz}\qquad P(B)=\frac7{11}.\] Zbadaj, czy zdarzenia \(A\) i \(B\) są…
Zadanie 19, próbna styczeń 2004, poziom rozszerzony
W pierwszej loterii jest \(n\) losów, gdzie \(n>2\), w tym jeden los wygrywający. W drugiej loterii jest \(2n\) losów, w tym dwa wygrywające. W której z loterii należy…
Zadanie 12, maj 2002, poziom rozszerzony
\(A\) i \(B\) są zdarzeniami losowymi i \(P(B)>0\). Wykaż, że \(P(A\mid B)\leq\frac{1-P(A')}{P(B)}\).
9 zadań
Równania i nierówności
Zadanie 18.1, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
**Informacja do zadań \(18\).\(1\)–\(18\).\(2\).** Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(80\), pole…
Zadanie 16, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
**Wykaż, że równanie** \[x^4-7x^3+9x^2+8x-2=0\] **ma w przedziale \((-2,2)\) co najmniej dwa różne rozwiązania.**
Zadanie 18.1, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(80\), pole powierzchni całkowitej jest równe \(256\) i żadna z krawędzi…
Zadanie 30, czerwiec 2021, poziom podstawowy
Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a\), \(b\) i \(c\) takich, że \[\frac{a+b}{2}>c\qquad\text{i}\qquad\frac{b+c}{2}>a,\] prawdziwa jest nierówność…
Zadanie 8, czerwiec 2018, poziom rozszerzony
Wykaż, że równanie \(x^{8}+x^{2}=2(x^{4}+x-1)\) ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste \(x=1\).
Zadanie 3, przykłady oceniania z informatora 2015, poziom mieszany
Wykaż, że jeżeli \(x>0\), to \[x^2+\frac{16}{x}\geq12.\]
Zadanie 26, próbna grudzień 2014, poziom podstawowy
Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania \[\frac{2x+4}{x-2}=2x+1.\]
Zadanie 31, sierpień 2012, poziom podstawowy
Wykaż, że jeżeli \(c<0\), to trójmian kwadratowy \[y=x^2+bx+c\] ma dwa różne miejsca zerowe.
Zadanie 12, próbna styczeń 2004, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\), \(b\), \(c\) funkcja \[f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)\] ma co najmniej jedno miejsce zerowe.
8 zadań
Funkcje
Zadanie 11, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=\frac{2x-3}{x+2}+4\log_{\frac12}x\] dla każdego \(x>0\). Wykaż, że funkcja \(f\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe, które…
Zadanie 14, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=x^6-2x^4-x^3+1\] dla każdego \(x\in\mathbb{R}\). Wykaż, że liczba \(5\) należy do zbioru wartości tej funkcji.
Zadanie 7, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=\frac{3x}{x+1}\] dla każdego \(x\in(-1,+\infty)\). **Wykaż, że \(f\) jest funkcją rosnącą.**
Zadanie 11, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=\frac{2x-3}{x+2}+4\log_{\frac12}x\] dla wszystkich \(x>0\). **Wykaż, że funkcja \(f\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe…
Zadanie 14, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=x^6-2x^4-x^3+1\] dla każdego \(x\in\mathbb R\). **Wykaż, że liczba \(5\) należy do zbioru wartości funkcji \(f\).**
Zadanie 34, próbna marzec 2021, poziom podstawowy
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=x^2+bx+c.\] Funkcja \(f\) nie ma miejsc zerowych. Wykaż, że \[1+c>b.\]
Zadanie 19, maj 2003, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest funkcją wykładniczą. Określ liczbę rozwiązań równania \[f(x-1)=m\] w zależności od wartości parametru \(m\). Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 7, próbna styczeń 2003, poziom podstawowy
Funkcja \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) jest określona wzorem: \(f(x)=x^{2}-6x+12\). a) Rozwiąż nierówność \(f(x)-19>0\). b) Uzasadnij, że obrazem wykresu funkcji \(f\), w…
7 zadań
Analiza matematyczna
Zadanie 15, maj 2026, poziom rozszerzony
W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości \(x\) metrów, nieprzekraczającej \(10\) metrów. Na tym kwietniku ma…
Zadanie 16, maj 2023, poziom rozszerzony
Rozważamy trójkąty \(ABC\), w których \(A=(0,0)\), \(B=(m,0)\), \(m\in(4,+\infty)\), wierzchołek \(C\) leży na prostej \(y=-2x\), a punkt \(D=(3,2)\) leży na boku \(BC\)…
Zadanie 15, czerwiec 2022, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne \(ABC\), gdzie \(|AC|=|BC|\), na których opisano okrąg o promieniu \(R=1\). Niech \(x\) oznacza odległość środka…
Zadanie 15, maj 2022, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym \(18\). **a)** Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża…
Zadanie 15, czerwiec 2021, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\) o przeciwprostokątnej \(AB\) i obwodzie równym \(4\). Niech \(x=|AC|\). **a)** Wykaż, że pole \(P\) trójkąta \(ABC\)…
Zadanie 13, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2015, poziom rozszerzony
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \[f(x)=4x^3-2x+1\] dla wszystkich liczb rzeczywistych. Uzasadnij, że prosta \(l\) o równaniu \(10x-y+9=0\) jest styczna do…
Zadanie 8, próbna listopad 2006, poziom rozszerzony
Uczeń analizował własności funkcji \(f\), której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i która ma pochodną \(f'(x)\) dla każdego \(x\in\mathbb{R}\). Wyniki…
1 zadanie
Kombinatoryka
Zadanie 14, maj 2016, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry \(1\), \(2\), \(3\), przy czym cyfra \(1\) występuje…
1 zadanie
Statystyka
Zadanie 27, maj 2012, poziom podstawowy
Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste \(a\), \(b\), \(c\) spełniają nierówności \[0<a<b<c,\] to \[\frac{a+b+c}{3}>\frac{a+b}{2}.\]
