Punkty, odcinki i odległości w układzie współrzędnych — zadania maturalne z rozwiązaniami

**B.** \(16\sqrt2\)

Punkty \(A\) i \(B\) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu, więc odcinek \(AB\) jest jego bokiem: \[|AB|=\sqrt{(1-(-3))^{2}+(-3-1)^{2}}=\sqrt{16+16}=4\sqrt2.\] Obwód kwadratu jest czterokrotnością boku: \[L=4\cdot4\sqrt2=16\sqrt2.\] **Odpowiedź.** \(L=16\sqrt2\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.6) Zdający oblicza odległość dwóch punktów.

**D.** Środek okręgu ma współrzędne \((0,-\frac{1}{2})\).

Obliczamy kwadraty długości boków: \[\lvert AB\rvert^2=(2-0)^2+(1+3)^2=20,\qquad \lvert BC\rvert^2=(0-2)^2+(2-1)^2=5,\] \[\lvert AC\rvert^2=(0-0)^2+(2+3)^2=25.\] Ponieważ \(20+5=25\), z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa kąt prosty jest przy wierzchołku \(B\), a przeciwprostokątną jest \(AC\). Kąt prosty trójkąta jest kątem wpisanym opartym na średnicy, więc środek okręgu opisanego to środek odcinka \(AC\): \[S=\left(\frac{0+0}{2},\ \frac{-3+2}{2}\right)=\left(0,-\frac12\right).\] **Odpowiedź.** D. \(\left(0,-\frac{1}{2}\right)\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VIII.10) Zdający wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: […] środek okręgu opisanego na trójkącie […].

\[P=\left(\frac94,0\right),\qquad\lvert AP\rvert=\frac{5\sqrt{41}}4.\]

Ponieważ \(P\) leży na osi \(Ox\), przyjmujemy \(P=(x,0)\). Z warunku \(\lvert AP\rvert=\lvert BP\rvert\) po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy \[(x-2)^2+8^2=(x-10)^2+2^2.\] Po uproszczeniu \(16x=36\), więc \(x=\frac94\). Następnie \[\lvert AP\rvert=\sqrt{(\frac94-2)^2+(0-8)^2}=\sqrt{\frac1{16}+64}=\frac{5\sqrt{41}}4.\]

**4 pkt** – poprawne wyniki \(P=(\frac94,0)\) i \(\lvert AP\rvert=\frac{5\sqrt{41}}4\) **3 pkt** – obliczenie punktu \(P=(\frac94,0)\) **2 pkt** – poprawne równanie odległości wraz z \(y_P=0\) **1 pkt** – zapisanie \(P=(x,0)\) albo równania \(AP=BP\) we współrzędnych **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych. I.3) Stosuje własności pierwiastków.

**C.** \(10\)

Przekątne kwadratu przecinają się w połowie, więc \(S\) jest środkiem przekątnej wychodzącej z \(A\), a jej połowa ma długość \[|AS|=\sqrt{(4-1)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{9+16}=5.\] Cała przekątna jest dwa razy dłuższa: \(2\cdot5=10\). **Odpowiedź.** \(10\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.

\[P=\left(\frac94,0\right),\qquad |AP|=\frac{5\sqrt{41}}4.\]

Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne \[M=\left(\frac{2+10}{2},\frac{8+2}{2}\right)=(6,5).\] Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy \[a_{AB}=\frac{2-8}{10-2}=-\frac34.\] Symetralna odcinka \(AB\) jest prostopadła do \(AB\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac43\). Ponieważ przechodzi przez \(M\), ma równanie \[y-5=\frac43(x-6),\] czyli \[y=\frac43x-3.\] Punkt \(P\) leży na osi \(Ox\), zatem \(y=0\). Stąd \[0=\frac43x-3,\qquad x=\frac94,\] a więc \[P=\left(\frac94,0\right).\] Długość odcinka \(AP\) jest równa \[|AP|=\sqrt{\left(\frac94-2\right)^2+(0-8)^2}=\sqrt{\frac1{16}+64}=\frac{5\sqrt{41}}4.\]

**4 pkt** – poprawna metoda oraz oba wyniki: \(P=\left(\frac94,0\right)\), \(|AP|=\frac{5\sqrt{41}}4\) **3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(P=\left(\frac94,0\right)\) **2 pkt** – wyznaczenie równania symetralnej \(y=\frac43x-3\), zapisanie równoważnego układu albo równoważnego warunku wyznaczającego punkt \(P\) **1 pkt** – zapisanie \(M=(6,5)\), wyznaczenie \(a_{AB}=-\frac34\), zapisanie równania prostej \(AB\), warunku \(y_P=0\) albo równania \(|AP|=|BP|\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** IX.1) Zdający znajduje wspólny punkt dwóch prostych. IX.2) Zdający posługuje się równaniem prostej na płaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach. IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.

\[P=\left(\frac94,0\right),\qquad L=10+\frac{5\sqrt{41}}2.\]

Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne \[M=\left(\frac{2+10}{2},\frac{8+2}{2}\right)=(6,5).\] Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy \[a_{AB}=\frac{2-8}{10-2}=-\frac34.\] Symetralna odcinka \(AB\) jest prostopadła do \(AB\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac43\). Ponieważ przechodzi przez \(M\), ma równanie \[y-5=\frac43(x-6),\] czyli \[y=\frac43x-3.\] Punkt \(P\) leży na osi \(Ox\), zatem \(y=0\). Otrzymujemy \[0=\frac43x-3,\qquad x=\frac94,\] a więc \[P=\left(\frac94,0\right).\] Obliczamy długość boku \(AB\): \[|AB|=\sqrt{(10-2)^2+(2-8)^2}=10.\] Ponieważ \(P\) leży na symetralnej odcinka \(AB\), mamy \(|AP|=|BP|\). Ponadto \[|AP|=\sqrt{\left(\frac94-2\right)^2+(0-8)^2}=\sqrt{\frac1{16}+64}=\frac{5\sqrt{41}}4.\] Obwód trójkąta \(ABP\) jest więc równy \[L=|AB|+|AP|+|BP|=10+2\cdot\frac{5\sqrt{41}}4=10+\frac{5\sqrt{41}}2.\]

**5 pkt** – poprawna metoda oraz oba poprawne wyniki: \(P=\left(\frac94,0\right)\) i \(L=10+\frac{5\sqrt{41}}2\) **4 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(P\) oraz długości jednego z boków trójkąta: \(|AB|=10\) lub \(|AP|=\frac{5\sqrt{41}}4\) **3 pkt** – obliczenie \(|AB|=10\) oraz wyznaczenie równania symetralnej \(y=\frac43x-3\), zapisanie równoważnego układu albo obliczenie \(P=\left(\frac94,0\right)\) **2 pkt** – obliczenie \(|AB|=10\) i wykonanie jednego istotnego kroku, np. wyznaczenie \(M=(6,5)\), współczynnika \(a_{AB}=-\frac34\), warunku \(y_P=0\) albo równania \(|AP|=|BP|\) **1 pkt** – obliczenie \(|AB|=10\) albo wykonanie jednego z wymienionych wyżej istotnych kroków **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8.1) Zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. 8.3) Zdający wyznacza równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt. 8.4) Zdający oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych. 8.5) Zdający wyznacza współrzędne środka odcinka. 8.6) Zdający oblicza odległość dwóch punktów.

**A.** \(5\)

Odcinek \(AC\) jest przekątną kwadratu. Jego długość wynosi \[|AC|=\sqrt{(3-(-2))^2+(4-(-1))^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt2.\] Jeżeli \(a\) oznacza długość boku kwadratu, to \(|AC|=a\sqrt2\). Zatem \[a=\frac{5\sqrt2}{\sqrt2}=5.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.

**A.** \(\frac7{13}\)

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu \((x_0,y_0)\) od prostej \(Ax+By+C=0\): \[d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.\] Dla punktu \(A=(6,2)\) otrzymujemy \[d=\frac{|5\cdot6-12\cdot2+1|}{\sqrt{5^2+(-12)^2}}=\frac7{13}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.1 R) Zdający oblicza odległość punktu od prostej.

**A.** \((1,3)\)

Środek okręgu jest środkiem jego średnicy, a współrzędne środka odcinka są średnimi arytmetycznymi współrzędnych końców: \[S=\left(\frac{-4+6}2,\frac{7+(-1)}2\right)=(1,3).\] **Odpowiedź.** \(S=(1,3)\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.5) Zdający wyznacza współrzędne środka odcinka.

**B.** \(2\sqrt{13}\)

Długość przekątnej \(AC\) obliczamy ze wzoru na odległość punktów: \[|AC|=\sqrt{(4-(-2))^2+(5-1)^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.\]

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** IX.3 obliczanie odległości dwóch punktów w układzie współrzędnych.

\[|PR|=\sqrt{\frac14x^4-\frac12x^3-\frac{13}{8}x^2+\frac{39}{8}x+\frac{593}{64}}.\]

Ponieważ punkt \(R\) leży na wykresie funkcji \(g\), ma współrzędne \[R=\left(x,-\frac12\left(x-\frac12\right)^2+4\right).\] Korzystamy ze wzoru na odległość punktów \(P=(-1,1)\) i \(R\): \[|PR|=\sqrt{(x+1)^2+\left[-\frac12\left(x-\frac12\right)^2+3\right]^2}.\] Po rozwinięciu kwadratów otrzymujemy \[(x+1)^2=x^2+2x+1,\] \[\left[-\frac12\left(x-\frac12\right)^2+3\right]^2=\frac14x^4-\frac12x^3-\frac{21}{8}x^2+\frac{23}{8}x+\frac{529}{64}.\] Zatem \[|PR|=\sqrt{\frac14x^4-\frac12x^3-\frac{13}{8}x^2+\frac{39}{8}x+\frac{593}{64}}.\]

**2 pkt** – doprowadzenie wyrażenia określającego długość odcinka \(PR\) do wskazanej w zadaniu postaci **1 pkt** – przyjęcie \(R=\left(x,-\frac12\left(x-\frac12\right)^2+4\right)\) i poprawne zastosowanie wzoru na odległość dwóch punktów **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji; 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, na wykresach, diagramach i w tabelach. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi; 3. Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** II.1) Zdający stosuje wzory skróconego mnożenia na \((a+b)^2\), \((a-b)^2\), \(a^2-b^2\). IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.

**B.** \((9,-17)\)

Wektor \[\overrightarrow{AP}=(3-1,1-7)=(2,-6).\] Ponieważ \(|AP|:|PB|=1:3\), mamy \[\overrightarrow{PB}=3\overrightarrow{AP}=(6,-18).\] Zatem \[B=P+\overrightarrow{PB}=(3,1)+(6,-18)=(9,-17).\]

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Element podstawy programowej:** geometria analityczna; zdający oblicza współrzędne punktu dzielącego odcinek w zadanym stosunku.

**B.** \((9,-17)\)

Wektor \[\overrightarrow{AP}=(3-1,1-7)=(2,-6).\] Ponieważ \(|AP|:|PB|=1:3\), mamy \[\overrightarrow{PB}=3\overrightarrow{AP}=(6,-18).\] Zatem \[B=P+\overrightarrow{PB}=(3,1)+(6,-18)=(9,-17).\]

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. stosowanie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** X.4 (SP) zdający znajduje środek odcinka i wykorzystuje podział odcinka w zadanym stosunku.

**D.** \(6\sqrt5\)

Punkt \(S\) jest środkiem przekątnej \(AC\), więc \(|AC|=2|AS|\). Mamy \[|AS|=\sqrt{(2-(-1))^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt5.\] Zatem \(|AC|=6\sqrt5\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna - długość odcinka i środek przekątnej równoległoboku.

**D.** \(6\sqrt5\)

Punkt \(S\) jest środkiem przekątnej \(AC\), więc \(|AC|=2|AS|\). Obliczamy \[|AS|=\sqrt{(2-(-1))^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt5.\] Zatem \[|AC|=2\cdot3\sqrt5=6\sqrt5.\]

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna - odległość punktów i środek odcinka.

\(D=(-6,3)\)

Prosta \(BC\) ma współczynnik kierunkowy \[a_{BC}=\frac{7-2}{6-(-9)}=\frac13,\] więc jej równanie to \[y=\frac13x+5.\] Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne \[S=\left(\frac{\frac{22}{5}+6}{2},\frac{-\frac{21}{5}+7}{2}\right)=\left(\frac{26}{5},\frac75\right).\] Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy \(7\), zatem współczynnik kierunkowy jej symetralnej wynosi \(-\frac17\). Symetralna przechodzi przez \(S\), więc ma równanie \[y=-\frac17x+\frac{15}{7}.\] Punkt \(D\) jest przecięciem tej prostej z \(BC\). Rozwiązujemy układ \[\begin{cases}y=-\frac17x+\frac{15}{7},\\ y=\frac13x+5.\end{cases}\] Otrzymujemy \(x=-6\) i \(y=3\), czyli \[D=(-6,3).\]

**5 pkt** – poprawna metoda i wynik \(D=(-6,3)\) **4 pkt** – wyznaczenie obu równań: \(y=\frac13x+5\) oraz \(y=-\frac17x+\frac{15}{7}\), albo równoważna poprawna realizacja metodą twierdzenia Pitagorasa wskazana w kluczu **3 pkt** – wyznaczenie równania symetralnej \(y=-\frac17x+\frac{15}{7}\); klucz dopuszcza także wskazane równoważne zestawy istotnych kroków **2 pkt** – spełnienie dwóch z trzech kryteriów za 1 punkt albo obliczenie współczynnika kierunkowego symetralnej \(-\frac17\) **1 pkt** – wyznaczenie równania \(BC\): \(y=\frac13x+5\), współczynnika kierunkowego \(AB\): \(7\), albo środka \(S=\left(\frac{26}{5},\frac75\right)\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna - równania prostych, warunek prostopadłości, symetralna odcinka i punkt przecięcia prostych.

\[B=(9,1),\qquad C=\left(-\frac13,\frac{29}{3}\right).\]

Ponieważ \(S=(5,-1)\) jest środkiem odcinka \(AB\), mamy \[\frac{1+x_B}{2}=5,\qquad\frac{-3+y_B}{2}=-1.\] Stąd \(B=(9,1)\). Warunek \(|AC|=|BC|\) oznacza, że punkt \(C\) leży na symetralnej odcinka \(AB\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy \[a_{AB}=\frac{1-(-3)}{9-1}=\frac12,\] więc symetralna ma współczynnik \(-2\) i przechodzi przez \(S\): \[y+1=-2(x-5),\qquad y=-2x+9.\] Punkt \(C\) leży również na prostej \(y=x+10\), zatem \[-2x+9=x+10.\] Stąd \(x_C=-\frac13\) oraz \[y_C=x_C+10=\frac{29}{3}.\] Ostatecznie \[B=(9,1),\qquad C=\left(-\frac13,\frac{29}{3}\right).\]

**5 pkt** – poprawna metoda i oba wyniki: \(B=(9,1)\), \(C=\left(-\frac13,\frac{29}{3}\right)\) **4 pkt** – wyznaczenie \(B=(9,1)\) i poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do punktu \(C\), albo poprawne wyznaczenie punktu \(C\) bez poprawnego punktu \(B\) **3 pkt** – wyznaczenie \(B=(9,1)\) i równania symetralnej \(y=-2(x-5)-1\), albo równania odległości wynikającego z \(|AC|=|BC|\) **2 pkt** – spełnienie dwóch spośród warunków: wyznaczenie \(B=(9,1)\), obliczenie \(a_{AB}=\frac12\), zapisanie \(C=(x,x+10)\) **1 pkt** – spełnienie jednego z powyższych trzech warunków **0 pkt** – brak poprawnego postępu **Uwaga CKE:** błędny współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do \(AB\) i konsekwentne dokończenie rozwiązania pozwala uzyskać najwyżej \(2\) pkt.

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8.1, 8.3 i 8.4 wyznaczanie równania prostej przez dwa punkty, równania prostej równoległej lub prostopadłej do danej prostej oraz współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych.

**A.** \(b=-28\)

Pierwsza współrzędna środka odcinka jest średnią arytmetyczną pierwszych współrzędnych jego końców: \[\frac{4+b}2=-12\quad\Longrightarrow\quad 4+b=-24\quad\Longrightarrow\quad b=-28.\] **Odpowiedź.** \(b=-28\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania egzaminacyjne 2022** **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.5) Zdający wyznacza współrzędne środka odcinka.

**A.** \(4\sqrt{10}\)

Punkty \(A\) i \(B\) są sąsiednimi wierzchołkami, więc \(AB\) jest bokiem kwadratu: \[a=|AB|=\sqrt{(4+4)^{2}+(0-4)^{2}}=\sqrt{64+16}=4\sqrt5.\] Przekątna kwadratu jest \(\sqrt2\) razy dłuższa od boku: \[d=a\sqrt2=4\sqrt5\cdot\sqrt2=4\sqrt{10}.\] **Odpowiedź.** \(d=4\sqrt{10}\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania egzaminacyjne 2022** **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.6) Zdający oblicza odległość dwóch punktów.

**A.** \((-\frac12,\frac12)\)

Przekątne rombu przecinają się w swoich połowach. Środek przekątnej \(AC\), a więc także \(BD\), ma współrzędne \[\left(\frac{1+(-2)}2,\frac{-3+4}2\right)=\left(-\frac12,\frac12\right).\]

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** VIII.3 obliczanie współrzędnych środka odcinka i stosowanie własności przekątnych rombu.

\(P_{1}=(-2,2)\) oraz \(P_{2}=\left(\frac{2}{5},\frac{22}{5}\right)\). Dla \(P=(x,x+4)\) odległości od prostych \(k\) i \(l\) są równe odpowiednio \(\frac{\lvert x+8\rvert}{\sqrt5}\) oraz \(\frac{\lvert 3x+3\rvert}{\sqrt5}\), a warunek zadania daje równanie \(\lvert x+8\rvert=2\lvert 3x+3\rvert\).

**Krok \(1\).** Metoda: korzystamy ze wzoru na odległość punktu \((x_{0},y_{0})\) od prostej \(Ax+By+C=0\): \[d=\frac{\lvert Ax_{0}+By_{0}+C\rvert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}.\] Ponieważ punkt \(P\) leży na prostej \(y=x+4\), obie odległości wyrazimy przez jedną zmienną. **Krok \(2\).** Zapisujemy współrzędne punktu \(P\) w zależności od jednej zmiennej: \(P=(x,\ x+4)\). **Krok \(3\).** Obliczamy odległość \(P\) od prostej \(k\colon x-2y=0\): \[d(P,k)=\frac{\lvert x-2(x+4)\rvert}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{\lvert -x-8\rvert}{\sqrt5}=\frac{\lvert x+8\rvert}{\sqrt5}.\] **Krok \(4\).** Obliczamy odległość \(P\) od prostej \(l\colon 2x+y-1=0\): \[d(P,l)=\frac{\lvert 2x+(x+4)-1\rvert}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\frac{\lvert 3x+3\rvert}{\sqrt5}.\] **Krok \(5\).** Zapisujemy warunek zadania \(d(P,k)=2\cdot d(P,l)\): \[\frac{\lvert x+8\rvert}{\sqrt5}=2\cdot\frac{\lvert 3x+3\rvert}{\sqrt5},\] a po pomnożeniu obu stron przez \(\sqrt5\): \[\lvert x+8\rvert=\lvert 6x+6\rvert.\] **Krok \(6\).** Równość modułów oznacza, że wyrażenia są równe albo przeciwne: \[x+8=6x+6\qquad\text{lub}\qquad x+8=-(6x+6).\] **Krok \(7\).** Rozwiązujemy oba przypadki: \[5x=2\ \Rightarrow\ x=\frac{2}{5},\qquad\qquad 7x=-14\ \Rightarrow\ x=-2.\] **Krok \(8\).** Wyznaczamy drugie współrzędne ze wzoru \(y=x+4\): \[x=-2\ \Rightarrow\ P=(-2,\,2),\qquad x=\frac{2}{5}\ \Rightarrow\ P=\left(\frac{2}{5},\ \frac{22}{5}\right).\] **Uwaga.** Wartości bezwzględnej nie wolno pominąć: równanie \(x+8=6x+6\) daje tylko jedno z dwóch rozwiązań. Drugi przypadek (wyrażenia przeciwne) to drugi punkt, którego łatwo nie zauważyć. **Odpowiedź.** Warunki zadania spełniają dwa punkty: \(P_{1}=(-2,2)\) oraz \(P_{2}=\left(\frac{2}{5},\frac{22}{5}\right)\).

**1 pkt** – gdy zapisze odległość punktu \(P=(x_../../,\,y_../../)\) od jednej z prostych, np.: \(\frac{\lvert x_../../-2y_../../\rvert}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\) lub \(\frac{\lvert 2x_../../+y_../../-1\rvert}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}\) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – gdy wyznaczy odległość punktu \(P=(x_../../,\,y_../../)\) od jednej z prostych w zależności od jednej zmiennej, np. \(\frac{\lvert x_../../-2(x_../../+4)\rvert}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\) lub \(\frac{\lvert 2x_../../+(x_../../+4)-1\rvert}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}\) lub \(\frac{\lvert (y_../../-4)-2y_../../\rvert}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\) lub \(\frac{\lvert 2(y_../../-4)+y_../../-1\rvert}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}\) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą, opisujące zależność między odległościami punktu \(P=(x_../../,\,y_../../)\) od obu prostych, np.: \(\frac{\lvert x_../../-2(x_../../+4)\rvert}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=2\cdot\frac{\lvert 2x_../../+(x_../../+4)-1\rvert}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}\) lub \(\frac{\lvert (y_../../-4)-2y_../../\rvert}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=2\cdot\frac{\lvert 2(y_../../-4)+y_../../-1\rvert}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}\) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **4 pkt** – gdy obliczy i zapisze współrzędne punktu \(P\): \(P=(-2,\,2)\) oraz \(P=\left(\frac{2}{5},\,\frac{22}{5}\right)\). **Uwagi:** 1. Jeśli zdający zapisuje równanie „odległości” i w tym równaniu pomija zupełnie symbol wartości bezwzględnej, to za całe rozwiązanie otrzymuje \(0\) punktów. 2. Jeśli zdający sporządzi rysunek, zapisze współrzędne jednego z szukanych punktów \((-2,\,2)\), obliczy odległości punktu \((-2,\,2)\) od prostych \(k\) i \(l\) oraz zapisze, że odległość tego punktu od prostej \(k\) jest dwa razy większa niż odległość tego punktu od prostej \(l\), to otrzymuje \(1\) punkt za całe rozwiązanie.

Klasyfikacja rzeczowa: stosowanie wzoru na odległość punktu od prostej i rozwiązywanie równania z wartością bezwzględną.

\[C=(0,27),\qquad L=50+9\sqrt{10}.\]

Ponieważ punkt \(C\) leży na osi \(Oy\), zapisujemy \(C=(0,y)\). Warunek \(|AC|=|BC|\) możemy podnieść stronami do kwadratu: \[(0+20)^2+(y-12)^2=(0-7)^2+(y-3)^2.\] Po rozwinięciu otrzymujemy \[400+y^2-24y+144=49+y^2-6y+9,\] \[-18y=-486,\qquad y=27.\] Zatem \(C=(0,27)\). Obliczamy długości boków: \[|AC|=|BC|=\sqrt{20^2+15^2}=25,\] \[|AB|=\sqrt{27^2+(-9)^2}=\sqrt{810}=9\sqrt{10}.\] Obwód trójkąta jest równy \[L=|AC|+|BC|+|AB|=50+9\sqrt{10}.\]

**5 pkt** – poprawne wyznaczenie \(C=(0,27)\) oraz obwodu \(L=50+9\sqrt{10}\) **4 pkt** – poprawne wyznaczenie punktu \(C\) oraz długości \(|AB|=9\sqrt{10}\) lub \(|BC|=25\) **3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i wyznaczenie \(C=(0,27)\) **2 pkt** – zapisanie równania symetralnej \(y=3x+27\), równania z warunku \(|AC|=|BC|\) wraz z \(C=(0,y)\) albo równoważnego układu równań **1 pkt** – wykonanie istotnego kroku, np. przyjęcie \(C=(0,y)\), zapisanie warunku \(|AC|=|BC|\), wyznaczenie równania prostej \(AB\), środka odcinka \(AB\) albo obliczenie \(|AB|=9\sqrt{10}\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8.1, 8.3, 8.4 i 8.6 wyznaczanie równań prostych, prostych prostopadłych, punktu przecięcia prostych oraz odległości dwóch punktów.

**B.** \(\sqrt{13}\)

Środek odcinka \(PR\) ma współrzędne \[S=\left(\frac{4+(-2)}2,\frac{7+(-3)}2\right)=(1,2).\] Odległość punktu \(T=(3,-1)\) od \(S\) wynosi \[|TS|=\sqrt{(3-1)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.5 i 8.6 wyznaczanie środka odcinka i obliczanie odległości punktów.

**C.** \(\frac{5\sqrt2}{2}\)

Punkty \(A\) i \(C\) są końcami przekątnej kwadratu, a okrąg opisany na kwadracie ma środek w punkcie przecięcia przekątnych i promień równy ich połowie. \[|AC|=\sqrt{(-4-3)^{2}+(6-7)^{2}}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt2,\]\[R=\frac{|AC|}2=\frac{5\sqrt2}2.\] **Odpowiedź.** \(R=\frac{5\sqrt2}2\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 23. Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**A.** \(2\sqrt{34}\)

Symetria względem początku układu przekształca \(A=(-3,5)\) na \(B=(3,-5)\). Zatem \[|AB|=\sqrt{(3+3)^{2}+(-5-5)^{2}}=\sqrt{36+100}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}.\] **Odpowiedź.** \(|AB|=2\sqrt{34}\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej — zdający oblicza odległość dwóch punktów (8.6).

**D.** \((37,-10)\)

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej. Obliczamy środek odcinka \(AB\): \[S=\left(\frac{80+(-6)}2,\frac{-1+(-19)}2\right)=\left(\frac{74}2,\frac{-20}2\right)=(37,-10).\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.5 wyznaczanie współrzędnych środka odcinka.

**A.** \(P=(0,16)\) i \(Q=(8,0)\)

Ponieważ \(P\) leży na osi \(Oy\), a \(Q\) na osi \(Ox\), zapiszmy \(P=(0,p)\) i \(Q=(q,0)\). Współrzędne środka odcinka spełniają \[\left(\frac q2,\frac p2\right)=(4,8).\] Stąd \(q=8\) i \(p=16\), czyli \(P=(0,16)\) oraz \(Q=(8,0)\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna - współrzędne środka odcinka.

\[Q=\left(-\frac45,\frac{13}{5}\right).\]

Prosta \(PQ\) jest prostopadła do symetralnej, więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac12\). Ponieważ przechodzi przez \(P=(4,5)\), ma równanie \[y=\frac12x+3.\] Punkt przecięcia tej prostej z symetralną jest środkiem \(S\) odcinka \(PQ\). Rozwiązujemy układ \[y=-2x+7,\qquad y=\frac12x+3.\] Stąd \[-2x+7=\frac12x+3,\qquad x=\frac85,\qquad y=\frac{19}{5}.\] Zatem \(S=(\frac85,\frac{19}{5})\). Korzystając ze wzoru na środek odcinka, otrzymujemy \[\frac{4+x_Q}{2}=\frac85,\qquad \frac{5+y_Q}{2}=\frac{19}{5}.\] Stąd \[x_Q=-\frac45,\qquad y_Q=\frac{13}{5},\] czyli \(Q=(-\frac45,\frac{13}{5})\).

**5 pkt** – obliczenie i zapisanie \(Q=(-\frac45,\frac{13}{5})\) **4 pkt** – rozwiązanie doprowadzone do końca z drobną usterką rachunkową lub w przepisaniu **3 pkt** – zapisanie równań pozwalających obliczyć obie współrzędne punktu \(Q\) albo jednego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do współrzędnej \(Q\) **2 pkt** – obliczenie środka \(S=(\frac85,\frac{19}{5})\) albo równoważny istotny postęp określony w kluczu CKE **1 pkt** – wyznaczenie prostej \(PQ\): \(y=\frac12x+3\), albo inny konieczny krok wskazany w kluczu CKE **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna - proste prostopadłe, punkt przecięcia prostych oraz środek odcinka.

**C.** \(S=(10,10)\)

Z warunku \(|AS|=3|BS|\) i położenia \(S\) wewnątrz odcinka wynika, że \(S\) dzieli \(AB\) w stosunku \(3:1\), licząc od \(A\), czyli \[S=A+\frac34\left(B-A\right).\] Podstawiamy \(A=(7,4)\) i \(B=(11,12)\): \[S=\left(7+\frac34\cdot4,\ 4+\frac34\cdot8\right)=(10,10).\] **Odpowiedź.** \(S=(10,10)\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 17. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**A.** \(14\)

Odległość punktu od prostej pionowej \(x=4\) jest równa wartości bezwzględnej różnicy pierwszych współrzędnych, a od prostej poziomej \(y=-4\) — różnicy drugich: \[d_1=|-4-4|=8,\qquad d_2=|2-(-4)|=6.\] Suma odległości wynosi \(8+6=14\). **Odpowiedź.** \(14\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 18. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**C.** \(6\sqrt2\)

Bok kwadratu ma długość \[|AB|=\sqrt{(4+2)^{2}+(-1-5)^{2}}=\sqrt{36+36}=6\sqrt2.\] Okrąg wpisany w kwadrat jest styczny do wszystkich jego boków, więc jego średnica jest równa bokowi kwadratu. **Odpowiedź.** Średnica wynosi \(6\sqrt2\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 20. (0−1) Wersja Wersja II. Wykorzystanie 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. I II i interpretowanie Zdający oblicza odległość dwóch punktów (8.6). reprezentacji. C D

\[B=\left(\frac{102}5,-\frac{14}5\right).\]

Symetralna odcinka \(AB\) jest do niego prostopadła i przechodzi przez jego środek. Ponieważ symetralna ma współczynnik kierunkowy \(3\), prosta \(AB\) ma współczynnik \(-\frac13\) i przechodzi przez \(A=(-18,10)\): \[AB:\ y=-\frac13(x+18)+10=-\frac13x+4.\] Środek \(M\) odcinka \(AB\) jest punktem przecięcia obu prostych: \[3x=-\frac13x+4\quad\Longrightarrow\quad \frac{10}3x=4\quad\Longrightarrow\quad x=\frac65,\qquad y=\frac{18}5.\] Z własności środka odcinka \[B=\left(2\cdot\frac65+18,\ 2\cdot\frac{18}5-10\right)=\left(\frac{102}5,-\frac{14}5\right).\] **Odpowiedź.** \(B=\left(\frac{102}5,-\frac{14}5\right)\)

**1 pkt** – wyznaczenie równania prostej prostopadłej do prostej \(y=3x\) i przechodzącej przez punkt \(A=(-18,10)\) **albo** obliczenie odległości punktu \(A\) od tej prostej **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą, z którego można obliczyć współrzędną punktu \(B\) **3 pkt** – zapisanie obu równości pozwalających obliczyć współrzędne punktu \(B\) **4 pkt** – obliczenie i zapisanie współrzędnych punktu \(B=\left(\frac{102}5,-\frac{14}5\right)\)

**Wymaganie ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymaganie szczegółowe:** 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej — zdający wyznacza równanie prostej równoległej lub prostopadłej do danej i przechodzącej przez dany punkt (8.3), oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych (8.4) oraz wyznacza współrzędne środka odcinka (8.5).

**D.** \(L=(80,72)\)

Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(KL\), więc \[x_L=2x_S-x_K=2\cdot40-0=80,\qquad y_L=2y_S-y_K=2\cdot40-8=72.\] **Odpowiedź.** \(L=(80,72)\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 18. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**B.** punkt \(B\)

Punkt \(P=(-30,-76)\) ma obie współrzędne ujemne, więc leży w III ćwiartce. Sprawdzamy pozostałe punkty: \(A=(1,4)\) — I ćwiartka, \(B=(-5,-1)\) — III ćwiartka, \(C=(-5,3)\) — II ćwiartka, \(D=(6,-4)\) — IV ćwiartka. **Odpowiedź.** Wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 20. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

\[B=\left(\frac{43}5,\frac{29}5\right).\]

Trójkąt jest równoramienny o ramionach \(AC\) i \(BC\), więc wysokość opuszczona z \(C\) na podstawę \(AB\) dzieli tę podstawę na połowy. Podstawa leży na prostej \(y=\frac12x+\frac32\), więc wysokość z \(C=(1,9)\) ma współczynnik kierunkowy \(-2\): \[y=-2(x-1)+9=-2x+11.\] Spodek wysokości \(M\) jest przecięciem obu prostych: \[\frac12x+\frac32=-2x+11\quad\Longrightarrow\quad \frac52x=\frac{19}2\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{19}5,\qquad y=\frac{17}5.\] Punkt \(M\) jest środkiem odcinka \(AB\), więc \[B=\left(2\cdot\frac{19}5-(-1),\ 2\cdot\frac{17}5-1\right)=\left(\frac{43}5,\frac{29}5\right).\] **Odpowiedź.** \(B=\left(\frac{43}5,\frac{29}5\right)\)

**1–3 pkt** – równanie okręgu lub wykorzystanie równości \(AC=BC\). **4 pkt** – \(B=\left(\tfrac{43}{5},\tfrac{29}{5}\right)\).

Zadanie 34. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**B.** \(L=(6,4)\)

Trójkąt \(KLM\) jest równoramienny o ramionach \(KM\) i \(LM\), więc wysokość \(MN\) opuszczona z wierzchołka \(M\) na podstawę \(KL\) dzieli tę podstawę na połowy. Punkt \(N\) jest zatem środkiem odcinka \(KL\): \[x_L=2\cdot4-2=6,\qquad y_L=2\cdot3-2=4.\] **Odpowiedź.** \(L=(6,4)\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 18. (0−1) Wersja Wersja II. Wykorzystanie 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. I II i interpretowanie Zdający wyznacza współrzędne środka reprezentacji. odcinka (8.5). B A

**D.** \(10\sqrt2\)

Punkt \(M\) jest środkiem odcinka \(AB\), więc jego współrzędne są średnimi arytmetycznymi współrzędnych końców. Stąd \[x_B=2\cdot4-(-3)=11,\qquad y_B=2\cdot1-2=0,\] czyli \(B=(11,0)\). Zatem \[|AB|=\sqrt{(11+3)^{2}+(0-2)^{2}}=\sqrt{196+4}=\sqrt{200}=10\sqrt2.\] **Odpowiedź.** \(|AB|=10\sqrt2\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 21. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**A.** \((-9,-14)\)

Symetria względem osi \(Ox\) zmienia znak drugiej współrzędnej, więc \[A'=(-21,-11),\qquad B'=(3,-17).\] Środek odcinka \(A'B'\): \[\left(\frac{-21+3}2,\frac{-11+(-17)}2\right)=(-9,-14).\] **Odpowiedź.** \((-9,-14)\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 19. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**C.** \(58\)

Punkty \(B\) i \(C\) są sąsiednimi wierzchołkami, więc odcinek \(BC\) jest bokiem kwadratu: \[|BC|^{2}=(5+2)^{2}+(1-4)^{2}=49+9=58.\] Pole kwadratu jest kwadratem długości boku, więc \(P=58\). **Odpowiedź.** \(P=58\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 17. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**B.** \(a=-1\) i \(b=2\)

Współrzędne środka odcinka są średnimi arytmetycznymi współrzędnych końców: \[\frac{a+7}2=3\quad\Longrightarrow\quad a=-1,\qquad \frac{6+b}2=4\quad\Longrightarrow\quad b=2.\] **Odpowiedź.** \(a=-1\) i \(b=2\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 21. (0−1) Wersja Wersja II. Wykorzystanie 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. I II i interpretowanie Zdający wyznacza współrzędne środka reprezentacji. odcinka (8.6). B C

**C.** \(4\sqrt{10}\).

Długość odcinka łączącego środki dwóch sąsiednich boków wynosi \[|EF|=\sqrt{(9-7)^2+(7-1)^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.\] W trójkącie \(ABC\) odcinek \(EF\) łączy środki boków \(AB\) i \(BC\), więc jest równy połowie przekątnej \(AC\). Zatem \(|AC|=2|EF|=4\sqrt{10}\).

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna i geometria płaska, odległość punktów oraz odcinek łączący środki boków trójkąta.

\[r=\frac{11}{35}.\]

Równanie prostej zapisujemy w postaci ogólnej: \[-3x+4y+\frac{122}{7}=0.\] Promień jest odległością środka \(S=(1,-4)\) od prostej, więc \[r=\frac{\left|-3\cdot1+4\cdot(-4)+\frac{122}{7}\right|}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}=\frac{11}{35}.\]

**2 pkt** – poprawne obliczenie \(r=\frac{11}{35}\) **1 pkt** – poprawna postać ogólna prostej i zastosowanie wzoru na odległość punktu od prostej **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** geometria analityczna - odległość punktu od prostej i styczność okręgu.

\[C=\left(0,-\frac53\right).\]

Ponieważ \(C\) leży na osi \(Oy\), przyjmijmy \(C=(0,y)\). Warunek \(|AC|=|BC|\) daje równość kwadratów odległości: \[(0+2)^2+(y-4)^2=(0-6)^2+(y+2)^2.\] Po rozwinięciu otrzymujemy \[4+y^2-8y+16=36+y^2+4y+4,\] czyli \(-12y=20\), a więc \(y=-\frac53\).

**1 pkt** – przyjęcie \(C=(0,y)\) i zapisanie odległości od \(A\) oraz \(B\) **2 pkt** – ułożenie równania wynikającego z \(|AC|=|BC|\) **3 pkt** – poprawne rozwiązanie równania dla \(y\) **4 pkt** – podanie \(C=(0,-\frac53)\)

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna, odległość punktów i symetralna odcinka.

**C.** \(5\).

Długość przekątnej \(AC\) jest równa \[|AC|=\sqrt{(7-(-1))^2+(9-3)^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10.\] Środek okręgu opisanego na prostokącie jest punktem przecięcia jego przekątnych, więc promień stanowi połowę długości przekątnej: \[r=\frac{|AC|}{2}=5.\]

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **C** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 8.6. Zdający oblicza odległość dwóch punktów.

**B.** \(\frac{4\sqrt5}{5}\).

Prostą zapisujemy w postaci ogólnej: \[2x-y+4=0.\] Odległość punktu \((0,0)\) od tej prostej wynosi \[d=\frac{|2\cdot0-0+4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac4{\sqrt5}=\frac{4\sqrt5}{5}.\]

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej - obliczanie odległości punktu od prostej (R8.4).

**D.** \(K'=\left(\frac32,-2\right)\).

Środek odcinka \(MN\) ma współrzędne \[K=\left(\frac{-2+(-1)}2,\frac{1+3}2\right)=\left(-\frac32,2\right).\] Symetria względem początku zmienia znaki obu współrzędnych, więc \(K'=(\frac32,-2)\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.5 i 8.7 zdający wyznacza środek odcinka i obraz punktu w symetrii względem początku układu.

**A.** \(b=-13\).

Druga współrzędna środka odcinka spełnia \[\frac{3+b}{2}=-5.\] Stąd \(3+b=-10\), więc \(b=-13\).

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna, współrzędne środka odcinka.

\[y=-3x+16.\]

Mamy \(|AB|^2=8^2+(-4)^2=80\) oraz \(|BC|^2=4^2+8^2=80\), więc trójkąt jest równoramienny o podstawie \(AC\). Oś symetrii przechodzi przez \(B\) i środek podstawy \[M=\left(\frac{-2+10}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(4,4).\] Jej współczynnik kierunkowy wynosi \[m=\frac{4-(-2)}{4-6}=-3.\] Zatem \(y+2=-3(x-6)\), czyli \(y=-3x+16\).

**4 pkt** – poprawne równanie osi \(y=-3x+16\) **3 pkt** – wyznaczenie środka \(M=(4,4)\) i współczynnika kierunkowego \(-3\), lecz brak poprawnego równania końcowego **2 pkt** – wyznaczenie środka odcinka \(AC\) i wskazanie osi jako prostej \(BM\) **1 pkt** – poprawne rozpoznanie, że oś symetrii jest symetralną boku \(AC\), lub równoważny istotny postęp **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna, odległość punktów, środek odcinka i równanie prostej.

Końcami odcinka są punkty \[A=(2,0),\qquad B=\left(\frac{26}{5},\frac{12}{5}\right)\] (w dowolnej kolejności).

Prosta zawierająca symetralną jest prostopadła do prostej \(AB\), więc ma współczynnik kierunkowy \(-\frac43\). Ponieważ przechodzi przez \(P=(0,6)\), jej równanie jest równe \[y=-\frac43x+6.\] Punkt przecięcia tej prostej z prostą zawierającą \(AB\) jest środkiem \(S\) odcinka. Rozwiązujemy układ \[\begin{cases}y=\frac34x-\frac32,\\y=-\frac43x+6.\end{cases}\] Otrzymujemy \[S=\left(\frac{18}{5},\frac65\right).\] Wektor kierunkowy prostej \(AB\) może mieć postać \((4,3)\), a jego długość wynosi \(5\). Połowa odcinka \(AB\) ma długość \(2\), więc wektor od środka do końca odcinka jest równy \[\frac25(4,3)=\left(\frac85,\frac65\right).\] Stąd końce odcinka to \[S-\left(\frac85,\frac65\right)=(2,0)\] oraz \[S+\left(\frac85,\frac65\right)=\left(\frac{26}{5},\frac{12}{5}\right).\]

**6 pkt** – poprawne współrzędne obu końców odcinka **5 pkt** – poprawna metoda wyznaczenia końców z pojedynczą usterką rachunkową albo równania liniowe prowadzące bezpośrednio do obu punktów **4 pkt** – poprawne wyznaczenie środka \(S\) i równania odległości końca od środka **3 pkt** – poprawne wyznaczenie środka \(S=(\frac{18}{5},\frac65)\) i wykorzystanie warunku \(|AS|=|BS|=2\) **2 pkt** – poprawne równanie symetralnej oraz układ wyznaczający środek odcinka **1 pkt** – poprawne równanie symetralnej \(y=-\frac43x+6\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię wynikającą z treści zadania. **Wymagania szczegółowe:** Zdający wyznacza równania prostych prostopadłych, współrzędne punktu przecięcia oraz punkty w zadanej odległości na prostej.

**A.** \(12\)

Symetria względem osi \(Oy\) przeprowadza punkt \((x,y)\) na punkt \((-x,y)\), a okrąg na okrąg o tym samym promieniu. Obrazem środka \(S=(-6,-8)\) jest więc \[S_1=(6,-8).\] Oba punkty mają tę samą drugą współrzędną, zatem \[|SS_1|=|6-(-6)|=12.\] Promień \(2014\) nie ma tu znaczenia. **Odpowiedź.** A. \(12\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 8.7) Zdający znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych i w symetrii środkowej względem początku układu.

**D.** \(S=(-2+2\sqrt2,\ 5-2\sqrt2)\)

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc punkt ich przecięcia \(S\) jest środkiem przekątnej \(AC\). Ze wzoru na środek odcinka \[S=\left(\frac{x_A+x_C}{2},\ \frac{y_A+y_C}{2}\right).\] Podstawiamy \(A=(-6-2\sqrt2,\ 4-2\sqrt2)\) oraz \(C=(2+6\sqrt2,\ 6-2\sqrt2)\): \[\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{-4+4\sqrt2}{2}=-2+2\sqrt2,\qquad \frac{y_A+y_C}{2}=\frac{10-4\sqrt2}{2}=5-2\sqrt2.\] **Odpowiedź.** D. \(S=(-2+2\sqrt2,\ 5-2\sqrt2)\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** 8.5) Zdający wyznacza współrzędne środka odcinka.

**C.** \(S=(14,-2)\)

Przekątne kwadratu przecinają się w swoich środkach, więc szukany punkt jest środkiem odcinka \(AC\): \[S=\left(\frac{13+15}2,\frac{-12+8}2\right)=(14,-2).\] **Odpowiedź.** \(S=(14,-2)\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 21. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**D.** \(8\sqrt{13}\)

Romb ma wszystkie boki równe, a \(A\) i \(B\) są sąsiednimi wierzchołkami, więc \[a=|AB|=\sqrt{(5+1)^{2}+(-2-2)^{2}}=\sqrt{36+16}=2\sqrt{13}.\] Obwód: \[L=4a=8\sqrt{13}.\] **Odpowiedź.** \(L=8\sqrt{13}\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Obliczanie odległości punktów na płaszczyźnie i obwodu rombu (II.8.e).

**C.** \(P=(-25,2)\)

Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(PQ\), więc \[x_P=2x_S-x_Q=2\cdot(-4)-17=-25,\qquad y_P=2y_S-y_Q=2\cdot7-12=2.\] **Odpowiedź.** \(P=(-25,2)\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykorzystanie współrzędnych środka odcinka do wyznaczenia jednego z końców tego odcinka (II.8.f).

**D.** \(a=\frac52\)

Pierwsza współrzędna środka odcinka jest średnią arytmetyczną pierwszych współrzędnych końców: \[\frac{a+(a+3)}2=4\quad\Longrightarrow\quad 2a+3=8\quad\Longrightarrow\quad a=\frac52.\] **Odpowiedź.** \(a=\frac52\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 14. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**A.** \(B=(5,11)\)

Ze wzoru na środek odcinka \[x_B=2x_S-x_A=2\cdot2-(-1)=5,\qquad y_B=2y_S-y_A=2\cdot7-3=11.\] **Odpowiedź.** \(B=(5,11)\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** zdający wykorzystuje wzór na współrzędne środka odcinka (II.8.f).

\[y=-\frac12x+6.\]

Symetralna odcinka przechodzi przez jego środek i jest do niego prostopadła. Środek odcinka: \[S=\left(\frac{-2+2}2,\frac{2+10}2\right)=(0,6).\] Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\): \[a_{AB}=\frac{10-2}{2-(-2)}=2,\] więc symetralna ma współczynnik \(-\frac12\) i przechodzi przez \((0,6)\): \[y=-\frac12x+6.\] **Odpowiedź.** \(y=-\frac12x+6\)

1 pkt: poprawne wyznaczenie środka S = (0, 6) i współczynnika kierunkowego AB = 2 albo równoważny poprawny etap. 2 pkt: poprawne równanie symetralnej y = −x/2 + 6 lub x + 2y − 12 = 0.

Użycie i tworzenie strategii. Wykorzystanie własności symetralnej odcinka do wyznaczenia jej równania (IV.8.b, 8.c, 8.e).

\[B=\left(\frac{34}5,\frac{17}5\right).\]

Punkt \(B\) leży na prostej \(y=\frac12x\), więc ma postać \(B=\left(t,\frac t2\right)\). Z warunku \(|AC|=|BC|\), gdzie \(A=(2,1)\) i \(C=(1,9)\): \[|AC|^{2}=(2-1)^{2}+(1-9)^{2}=65,\]\[|BC|^{2}=(t-1)^{2}+\left(\frac t2-9\right)^{2}=\frac54t^{2}-11t+82.\] Przyrównując, otrzymujemy \(\frac54t^{2}-11t+17=0\), czyli \(5t^{2}-44t+68=0\). Wyróżnik \(\Delta=576\), więc \[t=\frac{44\pm24}{10}\in\left\{2,\ \frac{34}5\right\}.\] Wartość \(t=2\) daje \(B=A\), co odrzucamy. Zatem \[B=\left(\frac{34}5,\frac{17}5\right).\] **Odpowiedź.** \(B=\left(\frac{34}5,\frac{17}5\right)\)

**1–3 pkt** – równanie wynikające z \(AC=BC\) albo symetralna \(AC\). **4 pkt** – \(B=\left(\tfrac{34}{5},\,\tfrac{17}{5}\right)\).

Zadanie 32. (0–4) Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AC  BC oraz A   2,1 i C  1, 9 . 1 Podstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej y  x . Oblicz współrzędne wierzchołka B. 2 Użycie i tworzenie strategii Oblicza odległość między punktami, wyznacza środek odcinka, interpretuje współczynniki funkcji liniowej, wyznacza miejsca zerowe funkcji kwadratowej. I sposób rozwiązania: (odległość) 1 Punkt B leży na prostej o równaniu y  x , więc jego współrzędne można zapisać w postaci 2  1  B  x, x . Obliczamy odległość punktu C od punktu A: AC  65 oraz odległość    2  2  x  punktu C od punktu B: BC   x 12   9 . Ponieważ AC  BC , więc możemy    2  2  x  zapisać równanie z jedną niewiadomą  x 12   9  65 , skąd otrzymujemy    2  5 równanie kwadratowe x2 11x 17  0 lub 5x2  44x  68  0 . Równanie to ma dwa 4 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy 34 rozwiązania x  lub x  2 . Ponieważ drugie rozwiązanie tego równania prowadzi 5 do punktu o współrzędnych  2,1 , co oznacza, że otrzymujemy podany w treści zadania  34 17  punkt A, zatem szukany punkt B  , .    5 5  Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania...........................................................................................................1 pkt Obliczenie odległości AC: AC  65 . Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp......................................................................2 pkt 2 2  x   x   zapisanie równania  x 12   9  65 lub  x 12   9  65 lub      2   2   2 y 12   y  92  65 albo  1  1 y  x y  x    zapisanie układu równań:  2 lub  2   x 12   y  92  65  x 12   y  92  65   Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt 5 Doprowadzenie do równania kwadratowego, np. x2 11x 17  0 lub 5x2  44x  68  0 4 lub 5 y2  22 y 17  0 . Rozwiązanie pełne ..............................................................................................................4 pkt  34 17  Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka B  , .    5 5  II sposób rozwiązania: (środek odcinka) Niech punkt D będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka C. Wyznaczamy  22 11  równanie prostej CD: y  2x  11 . Obliczamy współrzędne punktu D  , .    5 5  Wyznaczamy współrzędne punktu B:  x  2 22    2 5  wykorzystując na przykład wzór na współrzędne środka odcinka:  y 1 11    2 5 albo  x  2 22    2 5  wykorzystując wzór na współrzędne środka odcinka i równanie prostej:  1  y  x  2 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy albo  porównując długości odcinków AD i DB:  2 2 2 2  22   11   22   11     2    1   x     y     5   5   5   5    1 y  x   2  34 17  Otrzymujemy B  , .    5 5  Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania .......................................................................................................... 1 pkt Wyznaczenie równania prostej CD, np. w postaci y  2x  11 Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt  22 11  Obliczenie współrzędnych punktu D: D  , .    5 5  Uwaga:  y  2x 11  Jeżeli zdający zapisze układ równań:  1 lub analogiczny i popełni błąd y  x   2 rachunkowy w jego rozwiązaniu, to otrzymuje 2 punkty. Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt  34 17  Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka B  , .    5 5  III sposób rozwiązania: (kąt między prostymi) Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AC: a  8 . Zapisujemy równanie: 1 1 1  8  a 2 2 2  , korzystając ze wzoru na tangens kąta między prostymi AC i BC, 1 4 1 1 a 2 2 28 gdzie a jest współczynnikiem kierunkowym prostej BC. Obliczamy a : a   (drugie 2 2 2 29 rozwiązanie tego równania a  8 to współczynnik kierunkowy prostej AC). Zapisujemy 2 28 równanie prostej BC: y    x 1  9 , a następnie wyznaczamy punkt wspólny tej prostej 29 1 i prostej AB o równaniu y  x . Rozwiązujemy układ równań: 2 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy  28   y   x  1  9   29  1  y  x   2  34 17  Otrzymujemy współrzędne szukanego punktu: B  , .    5 5  Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp......................................................................2 pkt Zapisanie równania z niewiadomym współczynnikiem kierunkowym prostej BC: 1 1  8  a 2 2 2  1  4 1 1  a 2 2 Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt 28 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej BC: a   . 2 29 Rozwiązanie pełne ..............................................................................................................4 pkt  34 17  Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka B  , jako punktu wspólnego prostych    5 5  1 28 o równaniach y  x oraz y    x 1  9 . 2 29 Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeśli zdający przepisze z błędem współrzędne punktów lub zamieni miejscami liczby będące współrzędnymi danych punktów i rozwiąże konsekwentnie zadanie do końca, to za takie rozwiązanie otrzymuje 4 punkty. Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy

**C.** \(5\sqrt2\)

Ze wzoru na odległość punktów \[|AB|=\sqrt{(2-1)^{2}+(3+4)^{2}}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt2.\] **Odpowiedź.** \(|AB|=5\sqrt2\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria analityczna – oblicza odległość punktów w układzie współrzędnych.

**A.** \(\frac{5\sqrt3}{2}\)

W trójkącie równobocznym o boku \(a\) wysokość wyraża się wzorem \(h=\frac{a\sqrt3}{2}\). Bok \(AC\) obliczamy ze wzoru na odległość punktów: \[|AC|=\sqrt{(4-1)^2+(2-(-2))^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.\] Zatem \[h=\frac{5\sqrt3}{2}.\] **Odpowiedź.** A. \(\frac{5\sqrt3}{2}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** obliczanie odległości punktów w układzie współrzędnych i stosowanie wzoru na wysokość trójkąta równobocznego Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

Ramię ma długość \(\sqrt{65}\).

Obliczamy kwadraty długości wszystkich boków, korzystając ze wzoru \[|PQ|^{2}=(x_Q-x_P)^{2}+(y_Q-y_P)^{2}.\] Dla \(A=(-3,-5)\), \(B=(4,-1)\), \(C=(-2,3)\): \[|AB|^{2}=(4-(-3))^{2}+(-1-(-5))^{2}=7^{2}+4^{2}=49+16=65,\] \[|AC|^{2}=(-2-(-3))^{2}+(3-(-5))^{2}=1^{2}+8^{2}=1+64=65,\] \[|BC|^{2}=(-2-4)^{2}+(3-(-1))^{2}=(-6)^{2}+4^{2}=36+16=52.\] Równe są długości \(|AB|\) i \(|AC|\), więc to one są ramionami, a \(BC\) jest podstawą. Zatem \[|AB|=|AC|=\sqrt{65}.\] **Odpowiedź.** Ramię trójkąta ma długość \(\sqrt{65}\).

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody, wskazanie ramion i poprawny wynik: \(|AB|=|AC|=\sqrt{65}\) **Uwaga:** Centralna Komisja Egzaminacyjna nie opublikowała dla tego arkusza pokazowego schematu oceniania z progami cząstkowymi. Podana punktacja całkowita pochodzi z arkusza.

**Sprawdzana umiejętność:** obliczanie odległości punktów w układzie współrzędnych i rozpoznawanie ramion trójkąta równoramiennego przez porównanie długości boków.

**C.** \(12\sqrt5\)

Bok trójkąta równobocznego: \[a=|AB|=\sqrt{(3+5)^{2}+(-2-2)^{2}}=\sqrt{64+16}=4\sqrt5.\] Obwód jest trzykrotnością boku: \[L=3\cdot4\sqrt5=12\sqrt5.\] **Odpowiedź.** \(L=12\sqrt5\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Obliczanie odległości punktów na płaszczyźnie.

**C.** \(\sqrt{45}\)

Odległość punktów \(A=(x_A,y_A)\) i \(B=(x_B,y_B)\) wyraża się wzorem \[|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}.\] Podstawiamy \(A=(-2,3)\) oraz \(B=(4,6)\): \[|AB|=\sqrt{(4-(-2))^{2}+(6-3)^{2}}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}.\] **Odpowiedź.** \(|AB|=\sqrt{45}\), czyli wariant **C**

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: \(\mathrm{C}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(y=-2x+14\).

W kwadracie przekątne są prostopadłe i przecinają się w swoim wspólnym środku, więc prosta \(BD\) jest prostopadła do \(AC\) i przechodzi przez środek odcinka \(AC\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AC\): \[a_{AC}=\frac{7-5}{6-2}=\frac12,\] zatem \(a_{BD}=-2\). Środek odcinka \(AC\): \[S=\left(\frac{2+6}{2},\frac{5+7}{2}\right)=(4,6).\] Prosta \(BD\): \(y-6=-2(x-4)\), czyli \(y=-2x+14\). **Odpowiedź.** \(y=-2x+14\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Obliczam współczynnik kierunkowy prostej \(AC\): \(a_{AC}=\frac{7-5}{6-2}=\frac{1}{2}\), a następnie wyznaczam współczynnik kierunkowy prostej \(BD\) prostopadłej do \(AC\): \(a_{BD}=-2\). Wyznaczam współrzędne środka \(S\) odcinka \(AC\): \(S=\left(\frac{2+6}{2},\frac{5+7}{2}\right)=(4,6)\) i wyznaczam równanie prostej o współczynniku kierunkowym \(-2\), przechodzącej przez punkt \(S\). Odpowiedź: \(y=-2x+14\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Najmniejsza możliwa długość odcinka wynosi \(\sqrt5\).

Niech \(P=(t,t^{2})\) będzie punktem paraboli. Najkrótszy odcinek łączący \(P\) z prostą \(y=2x-6\) to odcinek prostopadły, więc jego długość jest odległością punktu \(P\) od tej prostej. Zapisujemy prostą w postaci ogólnej: \(2x-y-6=0\). Wtedy \[d(t)=\frac{|2t-t^{2}-6|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{|-(t^{2}-2t+6)|}{\sqrt5} =\frac{t^{2}-2t+6}{\sqrt5},\] przy czym opuszczenie wartości bezwzględnej jest uprawnione, bo trójmian \(t^{2}-2t+6\) ma wyróżnik \(\Delta=4-24=-20<0\) i dodatni współczynnik przy \(t^{2}\), więc jest dodatni dla każdego \(t\). W szczególności parabola i prosta nie mają punktów wspólnych. Trójmian przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku, dla \(t=1\): \[t^{2}-2t+6=(t-1)^{2}+5\geq5.\] Stąd \[d(t)\geq\frac{5}{\sqrt5}=\sqrt5,\] a równość zachodzi dla \(t=1\), czyli dla punktu \((1,1)\). Każdy odcinek o końcach na paraboli i na prostej jest nie krótszy od odcinka prostopadłego, więc jego długość jest nie mniejsza niż \(\sqrt5\). Rysunek pomocniczy: parabola \(y=x^{2}\) o wierzchołku w początku układu oraz prosta \(y=2x-6\) przecinająca oś \(Oy\) w punkcie \((0,-6)\) i oś \(Ox\) w punkcie \((3,0)\); prosta przebiega pod parabolą i nie ma z nią punktów wspólnych. **Odpowiedź.** Długość odcinka jest nie mniejsza od \(\sqrt5\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **3.1. (1 pkt)** – […]. […] obu funkcji podanych w zadaniu. **3.2. (1 pkt)** – zapisanie współrzędnych dowolnego punktu paraboli w zależności od jednej zmiennej: np. \(P=(x,x^{2})\). **3.3. (1 pkt)** – wyznaczenie odległości punktu \(P\) od danej prostej: \(d=\frac{\lvert 2x-x^{2}-6\rvert}{\sqrt{5}}\). **3.4. (1 pkt)** – zapisanie odległości bez wartości bezwzględnej: \(d=\frac{(x-1)^{2}+5}{\sqrt{5}}\) lub \(d=\frac{x^{2}-2x+6}{\sqrt{5}}\). **3.5. (1 pkt)** – oszacowanie najmniejszej wartości: \(d\ge\sqrt{5}\). **II sposób rozwiązania: (czynności 3.4 i 3.5)** **3.4. (1 pkt)** – wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji \(d(x)=\frac{\lvert 2x-x^{2}-6\rvert}{\sqrt{5}}\): \(d_{\min}=\sqrt{5}\). Zdający może wyznaczyć równanie prostej równoległej do danej prostej, stycznej do paraboli i obliczyć odległość między tymi prostymi równoległymi. **3.5. (1 pkt)** – zapisanie wniosku: \(d\ge\sqrt{5}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Osią symetrii jest prosta \(y=x-1\).

Obliczamy długości boków: \[|AC|=\sqrt{(2+4)^{2}+(1+1)^{2}}=\sqrt{40},\qquad |BC|=\sqrt{(2-0)^{2}+(1+5)^{2}}=\sqrt{40}.\] Zatem \(|AC|=|BC|\), więc podstawą trójkąta równoramiennego jest \(AB\), a osią symetrii — symetralna odcinka \(AB\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\): \[a_{AB}=\frac{-5-(-1)}{0-(-4)}=-1,\] więc symetralna ma współczynnik \(1\). Przechodzi przez środek odcinka \(AB\): \[S=\left(\frac{-4+0}{2},\frac{-1-5}{2}\right)=(-2,-3).\] Stąd \(y+3=1\cdot(x+2)\), czyli \(y=x-1\). **Odpowiedź.** \(y=x-1\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (1 pkt)** – zapisanie, które boki trójkąta są równej długości: \(AC=BC\). […] toku rozumowania wynika, że zdający poprawnie wybrał równe boki trójkąta. **6.2. (1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej \(AB\): \(y=-x-5\). Wystarczy, że zdający poda współczynnik kierunkowy prostej \(AB\). **6.3. (1 pkt)** – zapisanie równania rodziny prostych prostopadłych do prostej \(AB\): \(y=x+b\). Wystarczy, że zdający poda współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej \(AB\). **6.4. (1 pkt)** – wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta: \(y=x-1\). **II sposób rozwiązania: (z własności symetralnej)** **6.1. (1 pkt)** – oznaczenie dowolnego punktu leżącego na poszukiwanej symetralnej, np. \(P=(x,y)\) i zapisanie własności \(AP=BP\). **6.2. (1 pkt)** – wyznaczenie długości odcinków \(AP\) i \(BP\) i zapisanie równania: \((x+4)^{2}+(y+1)^{2}=x^{2}+(y+5)^{2}\). **6.3. (1 pkt)** – doprowadzenie równania do postaci równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, np. \(8x+2y+17=10y+25\). **6.4. (1 pkt)** – zapisanie odpowiedzi: \(y=x-1\). **III sposób rozwiązania:** **6.1. (1 pkt)** – zapisanie, które boki trójkąta są równej długości: \(AC=BC\). **6.2. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\): \(D=(-2,-3)\). **6.3. (1 pkt)** – zauważenie, że prosta przechodząca przez punkty \(C\) i \(D\) jest osią symetrii trójkąta \(ABC\). Przyznajemy punkt, gdy z toku rozumowania wynika, że zdający stosując tę metodę poprawnie wybrał równe boki trójkąta. **6.4. (1 pkt)** – wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta: \(y=x-1\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

**a)** Symetralna odcinka \(AB\) ma równanie \(y=-3x+6\). **b)** \(C=(7,5)\).

**a)** Środek odcinka \(AB\) o końcach \(A=(-2,2)\) i \(B=(4,4)\) to \[S=\left(\frac{-2+4}2,\frac{2+4}2\right)=(1,3).\] Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy \(a_{AB}=\frac{4-2}{4-(-2)}=\frac13\), więc symetralna, jako prosta prostopadła do \(AB\), ma współczynnik \(a=-3\). Przechodzi ona przez \(S=(1,3)\), zatem \[y-3=-3(x-1),\qquad\text{czyli}\qquad y=-3x+6.\] **b)** Prosta \(AB\) ma równanie \(y=\frac13x+\frac83\). Współrzędne punktu \(C\) spełniają układ \[\begin{cases}3x-2y-11=0\\ y=\frac13x+\frac83\end{cases}\] Po podstawieniu: \(3x-2\left(\frac13x+\frac83\right)-11=0\), czyli \(\frac73x=\frac{49}3\), skąd \(x=7\) oraz \(y=\frac73+\frac83=5\). **Odpowiedź.** \(y=-3x+6\) oraz \(C=(7,5)\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (1 pkt)** – […] \(y=\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}\). **6.2. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\): \((1,3)\). **6.3. (1 pkt)** – wyznaczenie współczynnika kierunkowego symetralnej odcinka \(AB\): \(a=-3\). **6.4. (1 pkt)** – zapisanie równania symetralnej: \(y=-3x+6\). **6.5. (1 pkt)** – zapisanie układu równań: \[\begin{cases}3x-2y-11=0\\[2pt] \frac{1}{3}x-y+\frac{8}{3}=0\end{cases}\] **6.6. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\): \(C=(7,5)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Teza wynika z równości \(\left|PP_{x}\right|=\tfrac14x^{2}+1=|PF|\) dla dowolnego punktu \(P=\left(x,\tfrac14x^{2}+1\right)\) tej paraboli (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Zadanie \(7\). (\(4\) pkt) **Krok \(2\).** Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu y = \(x^{2}\) + \(1\) jest równoodległy od osi Ox i od **Krok \(3\).** punktu F = (\(0\), \(2\)) . **Krok \(4\).** ⎛ \(1\) ⎞ **Krok \(5\).** P = ⎜ x, \(x^{2}\) +\(1\)⎟ **Krok \(6\).** ⎝ \(4\) ⎠ **Krok \(7\).** F = (\(0\),\(2\)) **Krok \(8\).** P = ( x,\(0\)) **Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Wybieram dowolny punkt \(P\) leżący na paraboli i oznaczam jego współrzędne w zależności od jednej zmiennej \(P=\left(x,\frac{1}{4}x^{2}+1\right)\). […] Punkt \(P_{x}=(x,0)\) jest rzutem punktu \(P\) na oś \(Ox\). Odległość punktu \(P\) od osi \(Ox\) jest równa \(\lvert PP_{x}\rvert=\left\lvert\frac{1}{4}x^{2}+1\right\rvert\). \(\frac{1}{4}x^{2}+1>0\) dla każdego \(x\in R\), więc \(\lvert PP_{x}\rvert=\left\lvert\frac{1}{4}x^{2}+1\right\rvert=\frac{1}{4}x^{2}+1\). Wyznaczam odległość punktu \(P\) od punktu \(F\): \[\lvert PF\rvert=\sqrt{x^{2}+\left(\frac{1}{4}x^{2}+1-2\right)^{2}}\] \[\lvert PF\rvert=\sqrt{\frac{1}{16}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+1}\] \[\lvert PF\rvert=\sqrt{\left(\frac{1}{4}x^{2}+1\right)^{2}}=\left\lvert\frac{1}{4}x^{2}+1\right\rvert=\frac{1}{4}x^{2}+1\] Zatem \(\lvert PP_{x}\rvert=\lvert PF\rvert\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Prosta \(AB\colon 2x-3y+2=0\), a odległość punktu \(C\) od niej wynosi \(\dfrac{12}{\sqrt{13}}=\dfrac{12\sqrt{13}}{13}\). b) Punkt \(D=(-1,m)\) leży na prostej \(AB\) tylko dla \(m=0\), więc dla \(m\neq0\) punkty \(A\), \(B\), \(D\) nie są współliniowe i tworzą trójkąt (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy narzędzia. W podpunkcie a) potrzebna jest odległość punktu od prostej, a wzór na nią \[d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\] wymaga równania prostej w postaci OGÓLNEJ \(Ax+By+C=0\). Zaczynamy więc od wyznaczenia równania prostej \(AB\). W podpunkcie b) korzystamy z faktu, że trzy punkty są wierzchołkami trójkąta dokładnie wtedy, gdy NIE leżą na jednej prostej. **Krok \(2\).** Liczymy współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) dla \(A=(-4,-2)\) i \(B=(5,4)\): \[a=\frac{4-(-2)}{5-(-4)}=\frac{6}{9}=\frac23.\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy wyraz wolny, wstawiając punkt \(A\) do \(y=\frac23x+b\): \[-2=\frac23\cdot(-4)+b,\qquad -2=-\frac83+b,\qquad b=-2+\frac83=\frac23.\] Zatem \(AB:\ y=\frac23x+\frac23\). **Krok \(4\).** Zamieniamy na postać ogólną — mnożymy obie strony przez \(3\) i przenosimy wszystko na jedną stronę: \[3y=2x+2,\qquad 2x-3y+2=0.\] (Kontrola: dla \(B=(5,4)\) mamy \(10-12+2=0\ \checkmark\)) **Krok \(5\).** Podpunkt a). Wstawiamy \(C=(-1,4)\) oraz \(A=2\), \(B=-3\), \(C_{\text{ogólne}}=2\) do wzoru na odległość: \[d=\frac{|2\cdot(-1)-3\cdot 4+2|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{|-2-12+2|}{\sqrt{4+9}}=\frac{12}{\sqrt{13}}.\] **Krok \(6\).** Usuwamy niewymierność z mianownika: \[d=\frac{12}{\sqrt{13}}=\frac{12\sqrt{13}}{13}\approx 3{,}33.\] **Krok \(7\).** Podpunkt b). Punkty \(A\), \(B\), \(D\) tworzą trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy nie są współliniowe. Sprawdzamy więc, kiedy punkt \(D=(-1,m)\) LEŻY na prostej \(AB\) — wstawiamy jego współrzędne do równania \(2x-3y+2=0\): \[2\cdot(-1)-3m+2=0.\] **Krok \(8\).** Rozwiązujemy to równanie: \[-2-3m+2=0,\qquad -3m=0,\qquad m=0.\] Punkt \(D\) leży na prostej \(AB\) wyłącznie dla \(m=0\). **Krok \(9\).** Wyciągamy wniosek: dla każdego \(m\neq 0\) punkt \(D=(-1,m)\) NIE leży na prostej \(AB\), więc punkty \(A\), \(B\), \(D\) nie są współliniowe, a zatem są wierzchołkami trójkąta — co należało uzasadnić. **Uwaga.** W podpunkcie b) uzasadnienie polega na pokazaniu, że warunek współliniowości prowadzi jedynie do \(m=0\) — nie trzeba liczyć żadnych długości ani pól (choć można też skorzystać z faktu, że pole trójkąta jest niezerowe). Pamiętaj o wartości bezwzględnej w liczniku wzoru na odległość: bez niej dostalibyśmy \(-\frac{12}{\sqrt{13}}\), a odległość nie może być ujemna. **Odpowiedź.** a) Prosta \(AB\colon 2x-3y+2=0\), a odległość punktu \(C\) od niej wynosi \(\dfrac{12}{\sqrt{13}}=\dfrac{12\sqrt{13}}{13}\). b) Punkt \(D=(-1,m)\) leży na prostej \(AB\) tylko dla \(m=0\), więc dla \(m\neq0\) punkty \(A\), \(B\), \(D\) nie są współliniowe i tworzą trójkąt (dowód w rozwiązaniu).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **4.1. (1 pkt)** – zapisanie równania prostej \(AB\): \(2x-3y+2=0\). **4.2. (1 pkt)** – obliczenie odległości punktu \(C\) od prostej \(AB\): \(\frac{12}{13}\sqrt{13}\). **4.3. (1 pkt)** – zapisanie warunku, przy którym punkt \(D\) leży na prostej \(AB\): \(2(-1)-3m+2=0\) stąd \(m=0\). **4.4. (1 pkt)** – stwierdzenie i zapisanie, że dla \(m\neq 0\) punkty \(A\), \(B\) i \(D\) są wierzchołkami trójkąta.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(B=\left(\frac{38}{5},\frac15\right)\), czyli \(B=(7{,}6;\ 0{,}2)\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy pojęcie: symetralna odcinka \(BC\) to prosta PROSTOPADŁA do \(BC\), przechodząca przez ŚRODEK tego odcinka. Z tych dwóch własności wynika cały plan: skoro znamy symetralną i punkt \(C\), to prostą \(BC\) wyznaczamy jako prostopadłą do symetralnej przechodzącą przez \(C\); punkt przecięcia obu prostych to środek \(S\) odcinka \(BC\); a znając \(C\) i \(S\), z wzoru na środek odcinka odzyskujemy \(B\). **Krok \(2\).** Symetralna \(y=2x-8\) ma współczynnik kierunkowy \(2\). Prosta \(BC\) jest do niej prostopadła, a warunek prostopadłości prostych to \(a_1\cdot a_2=-1\): \[a\cdot2=-1\quad\Longrightarrow\quad a=-\tfrac12.\] **Krok \(3\).** Prosta \(BC\) przechodzi przez \(C=(2,3)\), więc podstawiamy do wzoru \(y=-\tfrac12x+b\): \[3=-\tfrac12\cdot2+b\quad\Longrightarrow\quad 3=-1+b\quad\Longrightarrow\quad b=4.\] Zatem prosta \(BC\) ma równanie \(y=-\tfrac12x+4\). **Krok \(4\).** Wyznaczamy punkt \(S\) przecięcia prostej \(BC\) z symetralną. Porównujemy prawe strony: \[2x-8=-\tfrac12x+4.\] Mnożymy obie strony przez \(2\): \(4x-16=-x+8\), stąd \(5x=24\), czyli \(x=\dfrac{24}{5}\). Wtedy \[y=2\cdot\frac{24}{5}-8=\frac{48}{5}-\frac{40}{5}=\frac{8}{5}.\] Zatem \(S=\left(\dfrac{24}{5},\dfrac{8}{5}\right)\). **Krok \(5\).** Korzystamy z tego, że \(S\) jest środkiem odcinka \(BC\). Wzór na środek: \(S=\left(\dfrac{x_B+x_C}{2},\dfrac{y_B+y_C}{2}\right)\). Zapisujemy dwa równania: \[\frac{x_B+2}{2}=\frac{24}{5},\qquad \frac{y_B+3}{2}=\frac{8}{5}.\] **Krok \(6\).** Rozwiązujemy je: \[x_B+2=\frac{48}{5}\ \Longrightarrow\ x_B=\frac{48}{5}-\frac{10}{5}=\frac{38}{5},\] \[y_B+3=\frac{16}{5}\ \Longrightarrow\ y_B=\frac{16}{5}-\frac{15}{5}=\frac{1}{5}.\] Zatem \(B=\left(\dfrac{38}{5},\dfrac{1}{5}\right)=(7{,}6;\ 0{,}2)\). **Uwaga.** Symetralna NIE przechodzi przez punkt \(C\) (gdyby przechodziła, byłaby prostopadła do \(BC\) w jego końcu, a nie w środku) — sprawdźmy: dla \(x=2\) mamy \(y=2\cdot2-8=-4\neq3\). Punktem wspólnym symetralnej i prostej \(BC\) jest środek odcinka, i właśnie dlatego w kroku \(4\) rozwiązujemy układ równań. Nie należy też mylić \(S\) z szukanym \(B\). **Odpowiedź.** \(B=\left(\frac{38}{5},\frac15\right)\), czyli \(B=(7{,}6;\ 0{,}2)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 7.** (\(5\) pkt) Dany jest punkt \(C=(2,3)\) i prosta o równaniu \(y=2x-8\) będąca symetralną odcinka \(BC\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\). Wykonaj obliczenia uzasadniające odpowiedź. […] Poszukiwany punkt \(B=(x,y)\) leży na prostej \(l\), która jest prostopadła do prostej \(y=2x-8\). Wyznaczam współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(l\): \(a=-\frac{1}{2}\). Prosta \(l\) przechodzi przez punkt \(C=(2,3)\), więc zachodzi równość \(3=-\frac{1}{2}\cdot 2+b\), z której wyznaczam współczynnik \(b\). \(b=4\), więc równanie prostej \(l\) ma postać: \(y=-\frac{1}{2}x+4\). Wyznaczam współrzędne punktu \(S\) będącego punktem przecięcia prostych: \(y=2x-8\) oraz \(y=-\frac{1}{2}x+4\). Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+4\\ y=2x-8\end{cases}\) są liczby: \(x=\frac{24}{5}\), \(y=\frac{8}{5}\). Punkt \(S\) ma więc współrzędne: \(\left(\frac{24}{5},\frac{8}{5}\right)\). Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(BC\). Zapisuję zależność między współrzędnymi punktu \(S\) i końcami odcinka \(BC\): \(\left(\frac{x+2}{2},\frac{y+3}{2}\right)=\left(\frac{24}{5},\frac{8}{5}\right)\) i rozwiązuję równania: \(\frac{x+2}{2}=\frac{24}{5}\), stąd \(x=\frac{38}{5}\) oraz \(\frac{y+3}{2}=\frac{8}{5}\), stąd \(y=\frac{1}{5}\). Punkt \(B\) ma współrzędne: \(B=\left(\frac{38}{5},\frac{1}{5}\right)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Symetralna odcinka \(CD\) ma równanie \(x-4y+3=0\), czyli \(y=\frac14x+\frac34\).

**Krok \(1\).** W treści dostaliśmy gotowy przepis i mamy go powtórzyć dla innego odcinka. Idea jest taka: symetralna odcinka to zbiór punktów jednakowo odległych od jego końców. Bierzemy więc dowolny punkt \(P=(x,y)\) symetralnej, zapisujemy warunek \(|CP|=|DP|\), podnosimy obie strony do kwadratu (żeby pozbyć się pierwiastków) i upraszczamy otrzymane równanie. **Krok \(2\).** Warunek na punkt symetralnej: \[|CP|=|DP|\iff|CP|^2=|DP|^2.\] Podnoszenie do kwadratu jest tu równoważnością, bo obie strony są nieujemne. **Krok \(3\).** Zapisujemy kwadraty odległości dla \(C=(4,6)\) i \(D=(6,-2)\): \[|CP|^2=(x-4)^2+(y-6)^2,\qquad|DP|^2=(x-6)^2+(y+2)^2.\] **Krok \(4\).** Układamy równanie symetralnej: \[(x-4)^2+(y-6)^2=(x-6)^2+(y+2)^2.\] **Krok \(5\).** Rozwijamy wszystkie kwadraty: \[x^2-8x+16+y^2-12y+36=x^2-12x+36+y^2+4y+4.\] **Krok \(6\).** Wyrazy \(x^2\) i \(y^2\) występują po obu stronach, więc się redukują: \[-8x+16-12y+36=-12x+36+4y+4,\] \[-8x-12y+52=-12x+4y+40.\] **Krok \(7\).** Przenosimy wszystko na lewą stronę: \[-8x+12x-12y-4y+52-40=0,\] \[4x-16y+12=0.\] Dzielimy obie strony przez \(4\): \[x-4y+3=0,\qquad\text{czyli}\qquad y=\frac14x+\frac34.\] **Krok \(8\).** Sprawdzenie: symetralna musi przechodzić przez środek odcinka \(CD\), czyli przez punkt \(S=\left(\frac{4+6}{2},\frac{6+(-2)}{2}\right)=(5,2)\). Podstawiamy: \(5-4\cdot2+3=5-8+3=0\) — zgadza się. **Uwaga.** Najwięcej błędów pojawia się przy rozwijaniu kwadratów ze znakami: \((y-6)^2=y^2-12y+36\), ale \((y+2)^2=y^2+4y+4\). Warto po wszystkim zrobić sprawdzenie środkiem odcinka — zajmuje chwilę, a wyłapuje pomyłkę rachunkową. **Odpowiedź.** Symetralna odcinka \(CD\) ma równanie \(x-4y+3=0\), czyli \(y=\frac14x+\frac34\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **4.1. (1 pkt)** – […] odcinka \(CD\): \(\lvert CP\rvert=\lvert DP\rvert\Leftrightarrow\lvert CP\rvert^{2}=\lvert DP\rvert^{2}\). **4.2. (1 pkt)** – wyznaczenie \(\lvert CP\rvert^{2}\) i \(\lvert DP\rvert^{2}\): \(\lvert CP\rvert^{2}=(x-4)^{2}+(y-6)^{2}\), \(\lvert DP\rvert^{2}=(x-6)^{2}+(y+2)^{2}\). **4.3. (1 pkt)** – ułożenie równania: \((x-4)^{2}+(y-6)^{2}=(x-6)^{2}+(y+2)^{2}\). **4.4. (1 pkt)** – przekształcenie równania do prostszej postaci i zapisanie równania symetralnej odcinka \(CD\): \(x-4y+3=0\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(C=(0,2\sqrt{10})\) lub \(C=(0,-2\sqrt{10})\).

Punkt \(C\) leży na osi \(OY\), więc \(C=(0,y)\). Kąt \(ACB\) jest prosty dokładnie wtedy, gdy wektory \(\vec{CA}\) i \(\vec{CB}\) są prostopadłe, czyli gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru: \[\vec{CA}=[-9-0,\,-2-y]=[-9,\,-2-y],\qquad \vec{CB}=[4-0,\,2-y]=[4,\,2-y].\] \[\vec{CA}\circ\vec{CB}=-36+(-2-y)(2-y)=-36+\left(y^2-4\right)=y^2-40.\] Warunek \(y^2-40=0\) daje \(y=2\sqrt{10}\) lub \(y=-2\sqrt{10}\). **Odpowiedź.** \(C=(0,2\sqrt{10})\) albo \(C=(0,-2\sqrt{10})\).

**27. (1 pkt)** – obliczenie współrzędnych wektora \(\overrightarrow{CB}=[4,\,2-y]\). **28. (1 pkt)** – obliczenie iloczynu skalarnego wektorów \(CA\) i \(CB\): \(-36-(2-y)\cdot(2+y)\). **29. (1 pkt)** – rozwiązanie równania (1) i zapisanie odpowiedzi: Istnieją dwa takie punkty: \(C\left(0,\,2\sqrt{10}\right)\) lub \(C\left(0,\,-2\sqrt{10}\right)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.