Ciąg określony wzorem ogólnym — obliczanie wyrazów i badanie monotoniczności ciągu

Mamy \(a_1=8\) i \(a_9=32\). Ponieważ \((a_1,a_9,a_k)\) jest ciągiem geometrycznym, \(a_9^{2}=a_1a_k\), więc \(a_k=128\). Z równania \(3k+5=128\) otrzymujemy \(k=41\).

Ze wzoru ogólnego \(a_n=3n+5\) obliczamy dwa pierwsze wyrazy trójki: \[a_1=3+5=8,\qquad a_9=27+5=32.\] Trójka \((a_1,a_9,a_k)\) jest ciągiem geometrycznym, więc kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych: \[a_9^{2}=a_1\cdot a_k,\qquad 32^{2}=8\cdot a_k,\qquad a_k=\frac{1024}{8}=128.\] Pozostaje znaleźć numer tego wyrazu: \[3k+5=128,\qquad 3k=123,\qquad k=41.\] **Odpowiedź.** \(k=41\)

adanie 15. (0—3) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe IV. Rozumowanie i argumentacja. Zdający: 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy VI.7) wykorzystuje własności ciągów, w tym rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach arytmetycznych i geometrycznych, do nietypowych. rozwiązywania zadań Zasady oceniania 3 pkt — zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: k = 41. 2 pkt— obliczenie wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego: (8, 32, 128) ALBO — zapisanie równania z jedną niewiadomą k, wynikającego z własności ciągu geometrycznego, np. 322 = 1 pkt— obliczenie wyrazów ał oraz ag: ał = 8, = 32 ALBO — wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie związku między wyrazami ał, ag, Q, np. (ag)2 0 pkt — rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający rozważa ciąg geometryczny (Cli, ał, cłk), gdzie I jest liczbą naturalną większą od 2 i różną od 9, oraz rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie wszystkich wyrazów tego ciągu lub zapisanie równania z jedną niewiadomą k wynikającego z własności ciągu geometrycznego oraz 1 punkt za konsekwentne obliczenie k). Przykładowe pełne rozwiązania Sposób I Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu (an) i obliczamy wyrazy ał oraz ag: 32 Zatem iloraz trzywyrazowego ciągu geometrycznego (8, 32, ak) jest równy -g- = 4 Stąd. ak = 32 128 Obliczamy k: ak = 128 31<+5 = 128 k = 41 Sposób II Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu (an) i zapisujemy: ak = 3k+5 Z warunków zadania wynika, że ciąg (8, 32, 3k + 5) jest geometryczny. Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy: 322 -8. (3k + 5) 128 = 3k +5 32-4-8 = 8 (3k+5) /•.8 = 41

**Wymaganie ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymaganie szczegółowe:** VI.7) wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań

**B.** \(a_1=0\), \(a_2=6\), \(a_3=18\), zatem \(S_3=0+6+18=24\).

Wyrazy obliczamy bezpośrednio ze wzoru ogólnego \(a_n=3n^{2}-3n\): \[a_1=3-3=0,\qquad a_2=12-6=6,\qquad a_3=27-9=18.\] Suma trzech początkowych wyrazów jest równa \[S_3=0+6+18=24.\] Uwaga: ciąg nie jest arytmetyczny, więc wzoru na sumę ciągu arytmetycznego użyć tu nie można — sumujemy wyrazy wprost. **Odpowiedź.** **B.** \(S_3=24\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: 5.1) Wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

**B.** \(a_1=0\), \(a_2=6\), \(a_3=18\), zatem \(S_3=0+6+18=24\).

Wyrazy obliczamy bezpośrednio ze wzoru ogólnego \(a_n=3n^{2}-3n\): \[a_1=3-3=0,\qquad a_2=12-6=6,\qquad a_3=27-9=18.\] Suma trzech początkowych wyrazów jest równa \[S_3=0+6+18=24.\] Uwaga: ciąg nie jest arytmetyczny, więc wzoru na sumę ciągu arytmetycznego użyć tu nie można — sumujemy wyrazy wprost. **Odpowiedź.** **B.** \(S_3=24\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: VI.1) Oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

**F, P.** Różnica \(a_{n+1}-a_n=6n\) nie jest stała, więc ciąg nie jest arytmetyczny. Ponadto \(a_n=3n(n-1)\), a iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych jest parzysty, więc każdy wyraz ciągu jest parzysty.

Sprawdzamy, czy różnica kolejnych wyrazów jest stała: \[a_{n+1}-a_n=3(n+1)^{2}-3(n+1)-\left(3n^{2}-3n\right)=6n.\] Wartość ta zależy od \(n\), więc ciąg **nie** jest arytmetyczny — pierwsze stwierdzenie jest fałszywe. Wzór ogólny można zapisać w postaci \(a_n=3n(n-1)\). Liczby \(n\) i \(n-1\) są kolejnymi liczbami całkowitymi, więc jedna z nich jest parzysta, a zatem iloczyn \(n(n-1)\) jest parzysty. Wtedy \(a_n=3\cdot n(n-1)\) też jest liczbą parzystą — drugie stwierdzenie jest prawdziwe. **Odpowiedź.** **F, P**

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: IV. Rozumowanie i argumentacja. Wymaganie szczegółowe: VI.4) Sprawdza, czy ciąg jest arytmetyczny; I.2) dowodzi podzielności liczb całkowitych.

**\(A_{3}\).** Ciąg jest rosnący, ponieważ \(a_{n+1}-a_n>0\).

Obliczamy różnicę kolejnych wyrazów: \[a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-(n+1)-(n^2-n)=2n.\] Dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\) zachodzi \(2n>0\), więc \(a_{n+1}-a_n>0\). Ciąg \((a_n)\) jest zatem rosnący.

**1 pkt** – odpowiedź **A3** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - tworzenie obiektów pomocniczych do argumentacji. IV. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** VI.1) Zdający oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. VI.3) W prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący.

**C.** \(a_6=\frac{32\cdot(-1)^6}{2^5}=1\).

**Krok \(1\).** Ciąg jest dany wzorem ogólnym, a nie rekurencyjnym - to znaczy, że dowolny wyraz obliczamy od razu, wstawiając jego numer w miejsce \(n\). Szósty wyraz to \(a_6\), więc podstawiamy \(n=6\). **Krok \(2\).** Zajmijmy się najpierw czynnikiem \((-1)^n\). Wykładnik \(6\) jest parzysty, więc \[(-1)^6=1.\] **Krok \(3\).** Teraz mianownik. Uwaga na wykładnik \(n-1\): \[2^{n-1}=2^{6-1}=2^5=32.\] **Krok \(4\).** Podstawiamy obie wartości do wzoru: \[a_6=\frac{32\cdot(-1)^6}{2^{6-1}}=\frac{32\cdot 1}{32}=1.\] **Uwaga.** Dwie pułapki. Po pierwsze \((-1)^6=1\), a nie \(-1\) - potęga o parzystym wykładniku daje wynik dodatni (dla nieparzystego \(n\) wyraz byłby ujemny). Po drugie w mianowniku jest \(2^{5}\), a nie \(2^{6}\); pomyłka tutaj dałaby \(\frac{32}{64}=\frac12\). **Odpowiedź.** C: \(1\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.1) Zdający oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

C. \(50\)

Czynnik \((-1)^{n+1}\) przyjmuje na przemian wartości \(1\) i \(-1\), więc ciąg ma tylko dwa różne wyrazy: \[a_n=7\ \text{dla nieparzystych }n,\qquad a_n=3\ \text{dla parzystych }n.\] Wśród dziesięciu początkowych wyrazów jest pięć wyrazów równych \(7\) i pięć równych \(3\), zatem \[S_{10}=5\cdot7+5\cdot3=35+15=50.\] **Odpowiedź.** **C.** \(S_{10}=50\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.1) Zdający oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

**\(1\). F, \(2\). P.**

Kolejne wyrazy ciągu są równe \[a_1=3\cdot(-1)+10=7,\qquad a_2=3\cdot1+10=13,\qquad a_3=7.\] Ilorazy kolejnych wyrazów nie są stałe, więc ciąg nie jest geometryczny. Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe. Wyrazy występują parami \(7,13\), a suma każdej pary wynosi \(20\). Pierwszych osiem wyrazów tworzy cztery takie pary, zatem \[S_8=4\cdot20=80.\] Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **FP** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.1) Zdający oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. VI.4) Zdający sprawdza, czy dany ciąg jest geometryczny.

**P, F.**

Obliczamy wskazane wyrazy ciągu: \[a_1=(-1)^1(1-5)=4,\] \[a_3=(-1)^3(3-5)=2.\] Ponieważ \(a_1=2a_3\), pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe. Dla \(n=2\) mamy \[a_2=(-1)^2(2-5)=-3<0,\] więc nie wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie. Drugie stwierdzenie jest fałszywe.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **PF** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.1) Zdający oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

**B.** \(7\).

Trzeci wyraz ciągu jest różnicą sum trzech i dwóch początkowych wyrazów: \[a_3=S_3-S_2.\] Obliczamy \[S_3=3^2+2\cdot3=15,\qquad S_2=2^2+2\cdot2=8.\] Zatem \[a_3=15-8=7.\] Poprawna jest odpowiedź **B**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.1) Zdający oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. VI.4) Zdający stosuje wzór [...] na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

**P, F**

Obliczamy początkowe wyrazy: \[a_1=-3+5=2,\quad a_2=-6+5=-1,\quad a_3=-9+5=-4.\] Pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe. Różnica ciągu wynosi \[a_{n+1}-a_n=-3,\] a nie \(5\), więc drugie stwierdzenie jest fałszywe.

**1 pkt** – odpowiedzi **P, F** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja; dobieranie argumentów uzasadniających poprawność rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** VI.1 i VI.3 obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym oraz sprawdzanie, czy ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny.

B. \(31\)

**Krok \(1\).** Pytanie brzmi: ile wyrazów ciągu jest mniejszych od \(10\). Zamiast wypisywać wyrazy po kolei, układamy nierówność \(a_n\lt10\) i sprawdzamy, dla ilu liczb naturalnych \(n\geqslant1\) jest ona spełniona. **Krok \(2\).** Podstawiamy wzór ciągu: \[\frac{n-2}{3}\lt10.\] **Krok \(3\).** Mnożymy obie strony przez \(3\). Jest to liczba dodatnia, więc znak nierówności zostaje bez zmian: \[n-2\lt30.\] **Krok \(4\).** Dodajemy \(2\) do obu stron: \[n\lt32.\] **Krok \(5\).** Wracamy do warunku z treści: \(n\) jest liczbą naturalną i \(n\geqslant1\). Liczby naturalne spełniające \(1\leqslant n\lt32\) to \[n\in\{1,2,3,\ldots,31\},\] czyli jest ich \(31\). **Krok \(6\).** Kontrola na brzegu. Dla \(n=31\): \(a_{31}=\frac{29}{3}=9\tfrac23\lt10\) — ten wyraz się liczy. Dla \(n=32\): \(a_{32}=\frac{30}{3}=10\), a \(10\) nie jest mniejsze od \(10\) — ten wyraz już nie. **Uwaga.** Nierówność jest ostra, więc wyrazu równego \(10\) nie liczymy. To właśnie różnica między poprawnym \(31\) a kuszącym \(32\). **Odpowiedź.** B: \(31\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.3) Zdający rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą.

**\(A_{3}\).** Ciąg jest rosnący, ponieważ \(a_{n+1}-a_n>0\).

Obliczamy \[a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-(n+1)-(n^2-n)=2n.\] Dla każdego \(n\ge1\) zachodzi \(2n>0\), więc ciąg \((a_n)\) jest rosnący.

**1 pkt** – odpowiedź **A3** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III.1-III.2 i IV.1 operowanie obiektami, tworzenie obiektów pomocniczych i przeprowadzanie rozumowania. **Wymagania szczegółowe:** VI.1 i VI.3 obliczanie wyrazów ciągu ze wzoru ogólnego oraz badanie monotoniczności.

**D.** \(80\)

Podstawiamy \(n=4\) do wzoru ogólnego: \[a_4=2^4(4+1)=16\cdot5=80.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VI.1 zdający oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

B. −\(2\)

Podstawiamy \(n=3\) do wzoru ogólnego: \[a_3=(-1)^{3}\cdot\frac{3+1}{2}=-1\cdot\frac42=-2.\] **Odpowiedź.** **B.** \(a_3=-2\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Zadanie 16. (0–1) Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

**B.** \(\frac3{50}\)

Podstawiamy \(n=5\) do wzoru ogólnego: \[a_5=\frac{5-2}{2\cdot5^2}=\frac3{50}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.1 wyznaczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym.

**F, P.** Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe, a drugie prawdziwe.

Dla \(n\geq1\) mamy \[a_{n+1}-a_n=2(n+1)^2+(n+1)-(2n^2+n)=4n+3>0,\] więc ciąg jest rosnący, a nie malejący. Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe. Ponadto \[a_8=2\cdot8^2+8=2\cdot64+8=136,\] więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: FP **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VI.2 i VI.1 badanie w prostych przypadkach, czy ciąg jest rosnący lub malejący, oraz obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym.

D. −\(16\)

Wzór ogólny upraszczamy, pamiętając, że \(n\geq1\), więc dzielenie przez \(n\) jest dozwolone: \[a_n=\frac{2n^{2}-30n}{n}=2n-30.\] Zatem \(a_7=2\cdot7-30=14-30=-16\). **Odpowiedź.** **D.** \(a_7=-16\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2022** **Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.1) Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

**C.** Liczba \(10\) nie jest wyrazem ciągu \((a_n)\), ale jest wyrazem ciągu \((b_n)\).

Równanie \(3n=10\) daje \(n=\frac{10}{3}\), które nie jest liczbą naturalną. Natomiast z równania \(4n-2=10\) otrzymujemy \(n=3\).

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.1 obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym i sprawdzanie, czy dana liczba jest jego wyrazem.

**A.** \(\frac{7^{49}}{3}\)

Podstawiamy \(n=50\) do wzoru ogólnego ciągu: \[a_{50}=\frac{7^{50}}{21}=\frac{7^{50}}{3\cdot7}=\frac{7^{49}}{3}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VI.1 obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym.

**\(A_{3}\).** Ciąg jest rosnący, ponieważ \(a_{n+1}-a_n=3\).

Obliczamy różnicę kolejnych wyrazów: \[a_{n+1}-a_n=[3(n+1)-1]-(3n-1)=3n+3-1-3n+1=3.\] Ponieważ dla każdego \(n\geq1\) różnica jest dodatnia, ciąg \((a_n)\) jest rosnący.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A3 **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja - dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** VI.2 badanie w prostych przypadkach, czy ciąg jest rosnący, czy malejący.

**B.** \(n=9\)

Rozwiązujemy nierówność \(a_n>25\): \[3n-1>25,\] \[3n>26,\] \[n>\frac{26}{3}=8\frac23.\] Najmniejszą liczbą naturalną spełniającą tę nierówność jest \(n=9\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.3 rozwiązywanie nierówności liniowych z jedną niewiadomą.

**B.** \((b_n)\)

Obliczamy dziesiąte wyrazy: \[a_{10}=203,\qquad b_{10}=2\cdot10^2-3=197,\] \[c_{10}=198,\qquad d_{10}=\frac{197}{10}.\] Liczba \(197\) jest więc dziesiątym wyrazem ciągu \((b_n)\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** obliczanie wyrazów ciągu danego wzorem ogólnym.

**D.** \(-23\)

Podstawiamy \(n=3\) do wzoru ogólnego, pamiętając o nawiasie przy podstawie potęgi: \[a_3=(-2)^{3}\cdot3+1=-8\cdot3+1=-24+1=-23.\] **Odpowiedź.** **D.** \(a_3=-23\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.1 wyznaczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym.

D. \(18\)

Oba wyrazy obliczamy bezpośrednio ze wzoru ogólnego \(a_n=2n^{2}\): \[a_5=2\cdot5^{2}=50,\qquad a_4=2\cdot4^{2}=32.\] Zatem \(a_5-a_4=50-32=18\). Uwaga: ciąg nie jest arytmetyczny — różnica kolejnych wyrazów \(a_{n+1}-a_n=2(2n+1)\) zależy od \(n\), więc nie wolno tu mówić o „różnicy ciągu”. **Odpowiedź.** **D.** \(18\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* […]

**Wymaganie ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymaganie szczegółowe:** 5. Ciągi. Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym (5.1).

\[a_n+a_{n+1}=(2n+2)^2.\]

Mamy \[a_{n+1}=2(n+1)^2+2(n+1)=2n^2+6n+4.\] Zatem \[a_n+a_{n+1}=2n^2+2n+2n^2+6n+4=4n^2+8n+4=(2n+2)^2.\] Liczba \(2n+2\) jest naturalna, co kończy dowód.

**2 pkt** – pełny dowód **1 pkt** – poprawne zapisanie sumy \(a_n+a_{n+1}\), bez zakończenia rozumowania **0 pkt** – sprawdzenie tezy wyłącznie dla konkretnych wartości \(n\) lub brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 2.1 wzory skróconego mnożenia.

**B.** \(4\).

Dla \(n\geq1\) czynnik \(n+3\) jest dodatni. Iloczyn jest ujemny dokładnie wtedy, gdy \(n-5<0\), czyli dla \(n=1,2,3,4\). Ujemne są zatem cztery wyrazy.

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi oraz znak iloczynu.

**C.** \(a_3=0\).

Podstawiamy \(n=3\) do wzoru ogólnego: \[a_3=(-3)^3\left(9-3^2\right)=-27\cdot(9-9)=0.\]

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **C** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 5.1. Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

Ciąg ma \(5\) wyrazów ujemnych.

Szukamy liczb naturalnych \(n\geq1\), dla których \[n^2-2n-24<0.\] Rozkładamy trójmian na czynniki: \[(n-6)(n+4)<0.\] Nierówność zachodzi dla \(-4<n<6\). Po uwzględnieniu warunku \(n\geq1\) otrzymujemy \[n\in\{1,2,3,4,5\}.\] Ciąg ma zatem \(5\) wyrazów ujemnych.

**2 pkt** – poprawna odpowiedź: \(5\) wyrazów ujemnych, wraz z uzasadnieniem **1 pkt** – poprawne rozwiązanie nierówności \(-4<n<6\) lub wskazanie poprawnych indeksów, lecz brak poprawnej odpowiedzi końcowej **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 5.1. Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

Ciąg ma \(5\) wyrazów ujemnych.

Szukamy liczb naturalnych \(n\geq1\), dla których \[n^2-2n-24<0.\] Rozkładamy trójmian: \[n^2-2n-24=(n-6)(n+4).\] Iloczyn jest ujemny dla \(-4<n<6\). Po uwzględnieniu warunku \(n\geq1\) otrzymujemy \[n\in\{1,2,3,4,5\}.\] Są to dokładnie \(5\) wartości indeksu.

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawna liczba pięciu wyrazów z uzasadnieniem **1 pkt** – poprawne rozwiązanie nierówności \(n^2-2n-24<0\) przed uwzględnieniem naturalnych indeksów **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 5.1. Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

**B.** \(\frac{31}{33}\).

Podstawiamy \(n=5\): \[a_5=\frac{2^5-1}{2^5+1}=\frac{32-1}{32+1}=\frac{31}{33}.\]

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi, obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem.

**C.** \(5\)

Przekształcamy wzór ciągu: \[a_n=\frac{24-4n}{n}=\frac{24}{n}-4.\] Wyraz jest nieujemny, gdy \(\frac{24}{n}\geq4\), czyli \(n\leq6\). Wyraz jest liczbą całkowitą, gdy \(\frac{24}{n}\) jest całkowite, czyli gdy \(n\) jest dzielnikiem liczby \(24\). Wśród \(n\in\{1,2,\ldots,6\}\) dzielnikami \(24\) są \(1,2,3,4,6\) (liczba \(5\) nie dzieli \(24\)). Odpowiednie wyrazy to \[a_1=20,\quad a_2=8,\quad a_3=4,\quad a_4=2,\quad a_6=0,\] czyli pięć wyrazów całkowitych nieujemnych. **Odpowiedź.** C. \(5\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** 5.1) Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

**A.** \(n=2\)

Rozwiązujemy równanie \(a_n=4\): \[-2+\frac{12}{n}=4,\qquad \frac{12}{n}=6,\qquad n=2.\] **Odpowiedź.** **A.** \(n=2\)

Zadanie 16. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

**B.** trzeci

Szukamy takiego \(n\), dla którego \(a_n=6\): \[n^{2}-n=6,\qquad n^{2}-n-6=0,\qquad (n-3)(n+2)=0.\] Stąd \(n=3\) albo \(n=-2\); numer wyrazu musi być liczbą naturalną, więc \(n=3\). **Odpowiedź.** **B.** trzeci

Zadanie 22. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

**A.** \(a_8=2\sqrt5\)

Podstawiamy \(n=8\) do wzoru ogólnego: \[a_8=\sqrt{2\cdot8+4}=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt5.\] **Odpowiedź.** **A.** \(a_8=2\sqrt5\)

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** Obliczenie wyrazu ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym (I.5.a).

B. \(\frac{3}{25}\)

Podstawiamy \(n=5\) do wzoru ogólnego. Wykładnik jest nieparzysty, więc \((-1)^{5}=-1\): \[a_5=(-1)\cdot\frac{2-5}{5^{2}}=(-1)\cdot\frac{-3}{25}=\frac3{25}.\] **Odpowiedź.** **B.** \(a_5=\frac3{25}\)

Wykorzystanie i interpretowanie informacji. Obliczenie wyrazu ciągu określonego wzorem ogólnym (I.5.a).

**D.** \(a_3=-\frac38\)

Podstawiamy \(n=3\) do wzoru ogólnego: \[a_3=\frac{3}{(-2)^{3}}=\frac{3}{-8}=-\frac38.\] **Odpowiedź.** **D.** \(a_3=-\frac38\)

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** Zdający wyznacza wyraz ciągu określonego wzorem ogólnym.

**C.** \(2\)

Wyraz jest ujemny, gdy \(a_n<0\): \[2n^{2}-9<0,\qquad n^{2}<\frac92=4{,}5.\] Dla liczb naturalnych \(n\geq1\) warunek \(n^{2}<4{,}5\) spełniają tylko \(n=1\) i \(n=2\), bo \(3^{2}=9>4{,}5\). Sprawdzenie: \(a_1=-7\), \(a_2=-1\), \(a_3=9\). **Odpowiedź.** **C.** \(2\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Ciągi – określa liczbę ujemnych wyrazów ciągu.

**C.** \(a_3<2\)

Obliczamy trzeci wyraz, podstawiając \(n=3\) do wzoru ogólnego: \[a_3=(-1)^3\left(3^2-2\cdot3\right)=-1\cdot(9-6)=-3.\] Liczba \(-3\) jest mniejsza od \(2\), co wyklucza warianty A, B i D. **Odpowiedź.** C. \(a_3<2\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie wyrazu ciągu określonego wzorem ogólnym i porównywanie go z daną liczbą Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

\[a_2=0,\qquad a_5=\frac3{25}.\]

Wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym obliczamy, podstawiając kolejne wartości \(n\). Dla \(n=2\) wykładnik jest parzysty, więc \((-1)^{2}=1\): \[a_2=(-1)^{2}\cdot\frac{2-2}{2^{2}}=1\cdot\frac{0}{4}=0.\] Dla \(n=5\) wykładnik jest nieparzysty, więc \((-1)^{5}=-1\): \[a_5=(-1)^{5}\cdot\frac{2-5}{5^{2}}=-1\cdot\frac{-3}{25}=\frac3{25}.\] **Odpowiedź.** \(a_2=0\), \(a_5=\frac3{25}\)

**2 pkt** – poprawne obliczenie obu wyrazów: \(a_2=0\) oraz \(a_5=\frac3{25}\) **Uwaga:** Centralna Komisja Egzaminacyjna nie opublikowała dla tego arkusza pokazowego schematu oceniania z progami cząstkowymi. Podana punktacja całkowita pochodzi z arkusza.

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym, w tym poprawne obliczanie potęgi \((-1)^{n}\).

**C.** \(a_3=0\)

Podstawiamy \(n=3\) do wzoru ogólnego: \[a_3=(-3)^{3}\cdot\left(9-3^{2}\right)=-27\cdot(9-9)=-27\cdot0=0.\] Drugi czynnik jest zerem, więc cały iloczyn jest zerem niezależnie od wartości pierwszego czynnika. **Odpowiedź.** **C.** \(a_3=0\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: C.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Ciągi.

\(5\) wyrazów

Wyraz jest ujemny, gdy \(a_n<0\). Zapisujemy wzór w postaci iloczynowej: \[n^{2}-2n-24=(n-6)(n+4)<0.\] Dla \(n\geq1\) czynnik \(n+4\) jest dodatni, więc nierówność sprowadza się do \(n-6<0\), czyli \(n<6\). Warunek spełniają liczby naturalne \(n=1,2,3,4,5\), czyli pięć wyrazów. **Odpowiedź.** Ciąg ma \(5\) wyrazów ujemnych.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(5\) wyrazów

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Ciągi.

**B.** \(a_3=0\)

Podstawiamy \(n=3\) do wzoru ogólnego: \[a_3=(-1)^{3}\cdot(3-3)=-1\cdot0=0.\] Drugi czynnik jest zerem, więc iloczyn jest zerem — niezależnie od znaku pierwszego czynnika. **Odpowiedź.** **B.** \(a_3=0\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: \(\mathrm{B}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=-\frac37\). b) \(x=0\).

**a)** Dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\) obliczamy różnicę kolejnych wyrazów: \[a_{n+1}-a_n=\frac{5-3(n+1)}{7}-\frac{5-3n}{7}=\frac{-3}{7}.\] Otrzymana różnica nie zależy od \(n\), więc ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=-\frac37\). **b)** Ze wzoru ogólnego \[a_4=\frac{5-12}{7}=-1,\qquad a_{11}=\frac{5-33}{7}=-4.\] Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego dokładnie wtedy, gdy kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych: \[\left(x^{2}+2\right)^{2}=a_4\cdot a_{11}=(-1)\cdot(-4)=4.\] Stąd \(x^{2}+2=2\) albo \(x^{2}+2=-2\). Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) zachodzi \(x^{2}+2\geq2>0\), więc druga możliwość odpada. Z równania \(x^{2}+2=2\) otrzymujemy \(x^{2}=0\), czyli \(x=0\). Sprawdzenie: dla \(x=0\) trójka ma postać \((-1,2,-4)\) i jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(q=-2\). **Odpowiedź.** Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=-\frac37\); warunek z podpunktu b) spełnia jedynie \(x=0\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Obliczenie różnicy \(a_{n+1}-a_n=-\frac37\) i stwierdzenie, że nie zależy ona od \(n\). Wyznaczenie \(a_4=-1\) oraz \(a_{11}=-4\). Zapisanie warunku \(\left(x^{2}+2\right)^{2}=a_4\cdot a_{11}\). Odrzucenie możliwości \(x^{2}+2=-2\) i wyznaczenie \(x=0\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(39\) wyrazów (o numerach \(n=1,2,\ldots,39\)). b) \(x=\dfrac{31}{14}\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dwa niezależne wątki. W podpunkcie a) pytanie „ile wyrazów jest mniejszych od…” to nierówność \(a_n\lt1{,}975\) z niewiadomą naturalną \(n\) — rozwiązujemy ją, a potem ZLICZAMY pasujące liczby naturalne. W podpunkcie b) korzystamy z podstawowej własności ciągu arytmetycznego: wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiadów, czyli \(2a_7=a_2+x\). **Krok \(2\).** Zapisujemy nierówność z podpunktu a): \[2-\frac1n\lt1{,}975.\] Przenosimy \(2\) na prawą stronę: \[-\frac1n\lt-0{,}025,\] a po pomnożeniu obu stron przez \(-1\) (zmieniamy zwrot nierówności): \[\frac1n\gt0{,}025.\] **Krok \(3\).** Zamieniamy \(0{,}025\) na ułamek zwykły: \[0{,}025=\frac{25}{1000}=\frac{1}{40}.\] Mamy więc \(\dfrac1n\gt\dfrac1{40}\). Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną dodatnią, obie strony są dodatnie i możemy skorzystać z tego, że im większy mianownik, tym mniejszy ułamek. Zatem \(n\lt40\). **Krok \(4\).** Zliczamy liczby naturalne spełniające \(1\leqslant n\lt40\): są to \(n=1,2,3,\ldots,39\), czyli \(39\) wyrazów. **Krok \(5\).** Podpunkt b): ciąg \((a_2,a_7,x)\) jest arytmetyczny, więc środkowy wyraz jest średnią pozostałych: \[a_7=\frac{a_2+x}{2}\quad\Longrightarrow\quad x=2a_7-a_2.\] **Krok \(6\).** Obliczamy potrzebne wyrazy z wzoru \(a_n=2-\dfrac1n\): \[a_2=2-\frac12=\frac32,\qquad a_7=2-\frac17=\frac{13}{7}.\] **Krok \(7\).** Podstawiamy: \[x=2\cdot\frac{13}{7}-\frac32=\frac{26}{7}-\frac32=\frac{52}{14}-\frac{21}{14}=\frac{31}{14}.\] **Uwaga.** W podpunkcie a) pytanie brzmi ILE wyrazów, a nie „dla jakich \(n\)”. Odpowiedzią jest więc liczba \(39\), a nie nierówność \(n\lt40\) — łatwo tu też pomylić się o jeden, bo numeracja zaczyna się od \(n=1\), a nie od \(n=0\). Zauważmy przy okazji, że sam wyraz o numerze \(40\) wynosi \(2-\frac1{40}=1{,}975\), czyli jest RÓWNY granicznej wartości, a więc nie jest od niej mniejszy. **Odpowiedź.** a) \(39\) wyrazów (o numerach \(n=1,2,\ldots,39\)). b) \(x=\dfrac{31}{14}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* a) Rozwiązuję nierówność \(2-\frac{1}{n}<1{,}975\). Przekształcam ją do postaci równoważnej \(\frac{1}{n}>0{,}025\). Nierówność tę zapisuję w postaci \(\frac{1}{n}>\frac{1}{40}\). Jest ona spełniona gdy: \(n<40\). Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną, więc odpowiedź jest następująca: \(39\) wyrazów danego ciągu to liczby mniejsze od \(1{,}975\). b) Korzystam ze związku między sąsiednimi wyrazami w ciągu arytmetycznym i zapisuję równanie: \(\frac{a_{2}+x}{2}=a_{7}\), czyli \(x=2a_{7}-a_{2}\). Obliczam potrzebne wyrazy: \(a_{2}=\frac{3}{2}\), \(a_{7}=\frac{13}{7}\). Wstawiam obliczone wartości do równania i otrzymuję \(x=2\cdot\frac{13}{7}-\frac{3}{2}=\frac{31}{14}\). Odpowiedź: Trzywyrazowy ciąg \((a_{2},a_{7},x)\) jest arytmetyczny dla \(x=\frac{31}{14}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a_3=2\), \(a_4=0\), \(a_5=3\), \(a_{2005}=1003\), \(a_{2006}=0\), \(a_{2007}=1004\), \(a_{2008}=0\). b) \(0\). c) \(S_{2008}=504\,510\).

**a)** Wartość wyrazu zależy od parzystości numeru. Dla \(n\) nieparzystego \(a_n=\frac{n+1}2\), dla \(n\) parzystego \(a_n=0\). Zatem \[a_3=2,\quad a_4=0,\quad a_5=3,\quad a_{2005}=1003,\quad a_{2006}=0,\quad a_{2007}=1004,\quad a_{2008}=0.\] **b)** Podstawiamy obliczone wartości. Wykładniki \(a_{2006}\) i \(a_{2008}\) są równe zeru, a podstawa \(a_{2006}\) jest równa zeru: \[(a_{2005})^{a_{2006}}\cdot(a_{2006})^{a_{2007}}\cdot(a_{2007})^{a_{2008}}=1003^{0}\cdot0^{1004}\cdot1004^{0}=1\cdot0\cdot1=0.\] **c)** Wyrazy o numerach parzystych są zerami, więc sumujemy tylko te o numerach nieparzystych: \(a_1,a_3,\ldots,a_{2007}\). Dla \(n=2k-1\) mamy \(a_{2k-1}=\frac{(2k-1)+1}{2}=k\), a numer \(2007\) odpowiada \(k=1004\). Zatem \[S_{2008}=1+2+3+\ldots+1004=\frac{(1+1004)\cdot1004}{2}=1005\cdot502=504\,510.\] **Odpowiedź.** b) \(0\); c) \(S_{2008}=504\,510\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (1 pkt)** – […] \(a_{2007}=1004\), \(a_{2008}=0\). […] \(a_{3}=2\), \(a_{4}=0\), \(a_{5}=3\). **6.2. (1 pkt)** – zapisanie wartości wyrażenia: \(\left(a_{2005}\right)^{a_{2006}}\cdot\left(a_{2006}\right)^{a_{2007}}\cdot\left(a_{2007}\right)^{a_{2008}}=0\). Wystarczy, że zdający poprawnie ustali wartości poszczególnych czynników, np. \(1\cdot 0\cdot 1\). **6.3. (1 pkt)** – stwierdzenie, że ciąg \(\left(a_{1},a_{3},a_{5},\ldots,a_{2007}\right)\) jest arytmetyczny: np. \(a_{1}=1\), \(r=1\), albo stwierdzenie, że wyrazy pierwszy, trzeci, piąty itd. to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. **6.4. (1 pkt)** – określenie liczby wyrazów ciągu \(\left(a_{1},a_{3},a_{5},\ldots,a_{2007}\right)\): \(n=1004\). Jeśli zdający źle ustali liczbę wyrazów ciągu \(\left(a_{1},a_{3},a_{5},\ldots,a_{2007}\right)\), to nie otrzymuje punktu także w czynności 6.5. **6.5. (1 pkt)** – zastosowanie wzoru na sumę \(1004\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczenie sumy \(2008\) początkowych wyrazów ciągu \(\left(a_{n}\right)\): \(\frac{1+1004}{2}\cdot 1004=504510\). Jeśli zdający stosuje bezpośrednio wzór \(1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}\) dla \(n=1004\), to otrzymuje wszystkie punkty za czynności 6.3, 6.4, 6.5.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) ciąg jest malejący, bo \(a_{n+1}-a_n=\dfrac{-1}{10(n+1)(n+2)}\lt 0\); b) \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\frac12\); c) \(a=\frac12\), \(b=\frac{11}{20}\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy trzy standardowe pytania o ciąg zadany wzorem ogólnym. Monotoniczność badamy, licząc różnicę \(a_{n+1}-a_n\) i sprawdzając jej znak; granicę liczymy, dzieląc licznik i mianownik przez najwyższą potęgę \(n\); podpunkt c) będzie wnioskiem z dwóch pierwszych. **Krok \(2\).** Wypisujemy wyraz następny, wstawiając \(n+1\) w miejsce \(n\): \[a_{n+1}=\frac{5(n+1)+6}{10\bigl((n+1)+1\bigr)}=\frac{5n+11}{10(n+2)}.\] **Krok \(3\).** Liczymy różnicę, sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika \(10(n+1)(n+2)\): \[a_{n+1}-a_n=\frac{5n+11}{10(n+2)}-\frac{5n+6}{10(n+1)}=\frac{(5n+11)(n+1)-(5n+6)(n+2)}{10(n+1)(n+2)}.\] **Krok \(4\).** Rozwijamy licznik: \[(5n+11)(n+1)=5n^2+16n+11,\qquad (5n+6)(n+2)=5n^2+16n+12,\] więc licznik jest równy \(5n^2+16n+11-5n^2-16n-12=-1\). Zatem \[a_{n+1}-a_n=\frac{-1}{10(n+1)(n+2)}.\] **Krok \(5\).** Dla każdego \(n\geqslant1\) mianownik \(10(n+1)(n+2)\) jest dodatni, a licznik równy \(-1\), więc \(a_{n+1}-a_n\lt0\). Każdy wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli ciąg jest malejący. **Krok \(6\).** Podpunkt b). Dzielimy licznik i mianownik przez \(n\): \[\lim_{n\to\infty}\frac{5n+6}{10n+10}=\lim_{n\to\infty}\frac{5+\frac6n}{10+\frac{10}{n}}=\frac{5+0}{10+0}=\frac12.\] **Krok \(7\).** Podpunkt c), liczba \(b\). Skoro ciąg jest malejący, jego największym wyrazem jest wyraz pierwszy: \[a_1=\frac{5\cdot1+6}{10\cdot(1+1)}=\frac{11}{20}.\] Nierówność \(a_n\leqslant b\) musi zachodzić w szczególności dla \(n=1\), więc \(b\geqslant\frac{11}{20}\); z drugiej strony \(b=\frac{11}{20}\) rzeczywiście ogranicza cały ciąg od góry. Najmniejsze takie \(b\) to \(\frac{11}{20}\). **Krok \(8\).** Liczba \(a\). Ciąg maleje i zbliża się do \(\frac12\), nigdy tej wartości nie osiągając, więc \(a_n\gt\frac12\) dla każdego \(n\), czyli liczba \(a=\frac12\) spełnia warunek \(a\leqslant a_n\). Żadna liczba większa od \(\frac12\) już go nie spełni, bo wyrazy ciągu schodzą dowolnie blisko \(\frac12\). Największe takie \(a\) to \(\frac12\). **Uwaga.** Warto zauważyć niesymetryczność obu odpowiedzi: liczba \(b=\frac{11}{20}\) jest wyrazem ciągu (to \(a_1\)), a liczba \(a=\frac12\) wyrazem ciągu nie jest — jest tylko jego granicą. Mimo to obie spełniają warunek \(a\leqslant a_n\leqslant b\), bo nierówności są nieostre, a z \(a_n\gt\frac12\) tym bardziej wynika \(a_n\geqslant\frac12\). **Odpowiedź.** a) ciąg jest malejący, bo \(a_{n+1}-a_n=\dfrac{-1}{10(n+1)(n+2)}\lt 0\); b) \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\frac12\); c) \(a=\frac12\), \(b=\frac{11}{20}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 13.** (\(5\) pkt) Dany jest ciąg \((a_{n})\), gdzie \(a_{n}=\frac{5n+6}{10(n+1)}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). a) Zbadaj monotoniczność ciągu \((a_{n})\). b) Oblicz \(\lim_{n\to\infty}a_{n}\). c) Podaj największą liczbę \(a\) i najmniejszą liczbę \(b\) takie, że dla każdego \(n\) spełniony jest warunek \(a\le a_{n}\le b\). a) Aby określić monotoniczność ciągu obliczam różnicę \(a_{n+1}-a_{n}\). \(a_{n+1}-a_{n}=\frac{5n+11}{10(n+2)}-\frac{5n+6}{10(n+1)}=\frac{(5n+11)(n+1)-(5n+6)(n+2)}{10(n+1)(n+2)}=\frac{5n^{2}+5n+11n+11-5n^{2}-10n-6n-12}{10(n+1)(n+2)}=\frac{-1}{10(n+1)(n+2)}\) \(\frac{-1}{10(n+1)(n+2)}<0\) dla każdej liczby naturalnej, zatem ciąg jest malejący. b) \(\lim_{n\to\infty}\frac{5n+6}{10(n+1)}=\lim_{n\to\infty}\frac{5n+6}{10n+10}=\lim_{n\to\infty}\frac{5+\frac{6}{n}}{10+\frac{10}{n}}=\frac{1}{2}\) c) Ciąg jest malejący, więc najmniejszą liczbą, która spełnia nierówność \(a_{n}\le b\) jest pierwszy wyraz tego ciągu, czyli \(b=\frac{11}{20}\), natomiast największą liczbą spełniającą nierówność \(a\le a_{n}\) jest granica tego ciągu, czyli \(a=\frac{1}{2}\). | Nr czynności | 13.1. | 13.2. | 13.3. | 13.4. | 13.5. | |---|---:|---:|---:|---:|---:| | Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Nierówność \(a_n\gt\frac12\) spełniają tylko \(n=1\) i \(n=2\), czyli wyrazy \(a_{1}=\frac{3}{4}\) oraz \(a_{2}=\frac{4}{7}\).

**Krok \(1\).** Polecenie, aby wyznaczyć wszystkie wyrazy większe od \(\frac12\), oznacza: rozwiąż nierówność \(a_n\gt\frac12\), ale nie w zbiorze liczb rzeczywistych, tylko dla \(n=1,2,3,\ldots\). Na końcu trzeba podać same wyrazy, a nie ich numery. **Krok \(2\).** Zapisujemy nierówność, wstawiając wzór ciągu: \[\frac{n+2}{3n+1}\gt\frac12.\] **Krok \(3\).** Zanim pomnożymy obie strony przez mianownik, sprawdzamy jego znak. Dla \(n\geqslant1\) mamy \(3n+1\geqslant4\gt0\), więc mnożenie przez \(2(3n+1)\) nie zmienia zwrotu nierówności. **Krok \(4\).** Mnożymy i porządkujemy: \[2(n+2)\gt 3n+1,\qquad 2n+4\gt 3n+1,\qquad 3\gt n.\] **Krok \(5\).** Otrzymaliśmy warunek \(n\lt3\). Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną dodatnią, pozostają tylko \(n=1\) oraz \(n=2\). **Krok \(6\).** Obliczamy te wyrazy ze wzoru ciągu: \[a_1=\frac{1+2}{3\cdot1+1}=\frac34,\qquad a_2=\frac{2+2}{3\cdot2+1}=\frac47.\] **Krok \(7\).** Kontrola: \(a_3=\frac{5}{10}=\frac12\), a więc trzeci wyraz już nie jest większy od \(\frac12\) — to potwierdza, że granicę wyznaczyliśmy dobrze. **Uwaga.** Nierówność jest ostra, dlatego \(n=3\) odpada mimo równości \(a_3=\frac12\). Odpowiedzią są liczby \(\frac34\) i \(\frac47\), a nie numery \(1\) i \(2\). **Odpowiedź.** Warunek spełniają dwa wyrazy: \(a_1=\dfrac34\) oraz \(a_2=\dfrac47\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **2.1. (1 pkt)** – zapisanie nierówności: \(\frac{[\ldots]}{3n+1}>\frac{1}{2}\) **2.2. (1 pkt)** – przekształcenie nierówności do postaci liniowej lub iloczynowej: \(n<3\) lub \(2(3-n)(3n+1)>0\) **2.3. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności w zbiorze liczb naturalnych: \(n=1\) lub \(n=2\) **2.4. (1 pkt)** – sformułowanie odpowiedzi: \(a_{1}=\frac{3}{4}\), \(a_{2}=\frac{4}{7}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) ciąg jest rosnący, bo \(a_{n+1}-a_{n}=6n\gt 0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}_{+}\); b) \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[3]{8n^{6}+n}}{1-a_{n}}=-\frac{2}{3}\).

**Krok \(1\).** Punkt a) mówi wprost: „korzystając z definicji monotoniczności” — a ciąg jest rosnący dokładnie wtedy, gdy \(a_{n+1}-a_n\gt0\) dla każdego \(n\). Liczymy więc tę różnicę i pokazujemy, że jest dodatnia. W punkcie b) w liczniku i mianowniku występują wyrażenia rosnące jak \(n^2\); standardową metodą jest wyłączenie najwyższej potęgi \(n\) — pod pierwiastkiem sześciennym wyłączamy \(n^6\), bo \(\sqrt[3]{n^6}=n^2\). **Krok \(2\).** a) Wyznaczamy \(a_{n+1}\), podstawiając \(n+1\) w miejsce \(n\): \[a_{n+1}=3(n+1)^2-3(n+1)+2=3\left(n^2+2n+1\right)-3n-3+2=3n^2+6n+3-3n-1=3n^2+3n+2.\] **Krok \(3\).** Liczymy różnicę kolejnych wyrazów: \[a_{n+1}-a_n=\left(3n^2+3n+2\right)-\left(3n^2-3n+2\right)=3n+3n=6n.\] **Krok \(4\).** Dla każdego \(n\in\mathbb{N}_+\) mamy \(n\geqslant1\), więc \(6n\geqslant6\gt0\). Zatem \(a_{n+1}\gt a_n\) dla każdego \(n\), a to znaczy, że ciąg \((a_n)\) jest rosnący. **Krok \(5\).** b) Zapisujemy mianownik jawnie: \[1-a_n=1-\left(3n^2-3n+2\right)=-3n^2+3n-1.\] **Krok \(6\).** Licznik przekształcamy, wyłączając \(n^6\) spod pierwiastka sześciennego: \[\sqrt[3]{8n^6+n}=\sqrt[3]{n^6\left(8+\frac{1}{n^5}\right)}=n^2\sqrt[3]{8+\frac{1}{n^5}}.\] **Krok \(7\).** Dzielimy licznik i mianownik przez \(n^2\): \[\frac{\sqrt[3]{8n^6+n}}{1-a_n}=\frac{n^2\sqrt[3]{8+\frac{1}{n^5}}}{n^2\left(-3+\frac3n-\frac{1}{n^2}\right)}=\frac{\sqrt[3]{8+\frac{1}{n^5}}}{-3+\frac3n-\frac{1}{n^2}}.\] **Krok \(8\).** Przechodzimy do granicy. Wyrażenia \(\frac{1}{n^5}\), \(\frac3n\) i \(\frac{1}{n^2}\) dążą do zera, więc \[\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]{8n^6+n}}{1-a_n}=\frac{\sqrt[3]{8}}{-3}=\frac{2}{-3}=-\frac23.\] **Uwaga.** Znak minus w wyniku bierze się stąd, że w mianowniku stoi \(1-a_n\), a nie \(a_n-1\) — dla dużych \(n\) mianownik jest ujemny. Warto też zapamiętać regułę \(\sqrt[3]{n^6}=n^2\) (bo \(\frac63=2\)); pomylenie jej z \(n^3\) jest tu najczęstszym błędem rachunkowym. **Odpowiedź.** a) ciąg jest rosnący, bo \(a_{n+1}-a_{n}=6n\gt 0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}_{+}\); b) \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[3]{8n^{6}+n}}{1-a_{n}}=-\frac{2}{3}\).

**1. (1 pkt)** – Zapisanie granicy: \(\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]{8n^{6}+n}}{1-a_{n}}\) w postaci \(\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]{8n^{6}+n}}{-3n^{2}+3n-1}\) **2. (1 pkt)** – Zastosowanie właściwego algorytmu obliczania granicy ciągu: np. zapisanie ułamka w postaci \(\frac{\sqrt[3]{8+\frac{1}{n^{5}}}}{-3+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^{2}}}\) **3. (1 pkt)** – Obliczenie granicy: \(\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]{8n^{6}+n}}{1-a_{n}}=-\frac{2}{3}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Ciąg ma \(2\) wyrazy ujemne: \(a_1=-4\) i \(a_2=-1\). b) Nie, ciąg nie jest geometryczny, bo \(\frac{a_2}{a_1}=\frac14\), a \(\frac{a_3}{a_2}=-4\), więc iloraz kolejnych wyrazów nie jest stały.

**Krok \(1\).** W podpunkcie a) pytanie „ile wyrazów jest ujemnych” zamieniamy na nierówność \(a_n\lt0\), którą rozwiązujemy w zbiorze liczb naturalnych dodatnich (bo \(n\) numeruje wyrazy). W podpunkcie b) trzeba sięgnąć do definicji: ciąg jest geometryczny, gdy iloraz każdego wyrazu przez poprzedni jest stały. **Krok \(2\).** Zapisujemy nierówność z podpunktu a): \[n^2-5\lt0,\qquad n^2\lt5.\] **Krok \(3\).** Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną dodatnią, warunek \(n^2\lt5\) oznacza \(n\lt\sqrt5\approx2{,}24\). Spełniają go tylko \(n=1\) i \(n=2\). **Krok \(4\).** Sprawdzamy te wyrazy: \(a_1=1-5=-4\) oraz \(a_2=4-5=-1\). Oba są ujemne, a już \(a_3=9-5=4\) jest dodatni i dalej wyrazy tylko rosną. Ujemne wyrazy są więc dwa. **Krok \(5\).** Podpunkt b). Aby ciąg był geometryczny, iloraz \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) musiałby być taki sam dla każdego \(n\). Wystarczy więc policzyć dwa pierwsze ilorazy i porównać je. **Krok \(6\).** Mamy \(a_1=-4\), \(a_2=-1\), \(a_3=4\), zatem \[\frac{a_2}{a_1}=\frac{-1}{-4}=\frac14,\qquad \frac{a_3}{a_2}=\frac{4}{-1}=-4.\] **Krok \(7\).** Otrzymane ilorazy są różne (\(\frac14\neq-4\)), więc nie istnieje stała \(q\) spełniająca warunek definicji. Ciąg \((a_n)\) nie jest geometryczny. **Krok \(8\).** Widać to też ogólnie: \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2-5}{n^2-5}=\frac{n^2+2n-4}{n^2-5}\), a to wyrażenie zmienia się wraz z \(n\). **Uwaga.** Do obalenia hipotezy wystarczy jeden kontrprzykład — dwa różne ilorazy kolejnych wyrazów. Nie trzeba badać wszystkich \(n\), ale trzeba wykonać rachunek, a nie tylko stwierdzić, że „wzór nie wygląda na geometryczny”. **Odpowiedź.** a) Ciąg ma dwa wyrazy ujemne: \(a_1=-4\) i \(a_2=-1\). b) Nie, ciąg \((a_n)\) nie jest geometryczny, bo \(\frac{a_2}{a_1}=\frac14\), a \(\frac{a_3}{a_2}=-4\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **(1 pkt)** – zapisanie nierówności \(n^{2}-5<0\). **(1 pkt)** – rozwiązanie nierówności w zbiorze liczb naturalnych: \(n\in\{1,\,2\}\). **(1 pkt)** – podanie liczby ujemnych wyrazów ciągu: \(2\). **(1 pkt)** – zapisanie warunku na ciąg geometryczny, np. \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\mathrm{const}\). **(1 pkt)** – obliczenie \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{n^{2}+2n-4}{n^{2}-5}\). **(1 pkt)** – stwierdzenie, że iloraz zależy od \(n\), więc ciąg nie jest geometryczny.

Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Pozostałe wyrazy równe zero to \(a_3=0\) i \(a_5=0\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie. „Wyrazy równe zero” to nic innego jak rozwiązania równania \(a_n=0\), czyli równania wielomianowego trzeciego stopnia. Sama treść podpowiada metodę: skoro znamy jeden pierwiastek (\(n=2\)), to z twierdzenia Bézouta wielomian dzieli się bez reszty przez dwumian \((n-2)\), a po podzieleniu zostanie trójmian kwadratowy, z którym już sobie poradzimy. **Krok \(2\).** Zapisujemy równanie: \[n^3-10n^2+31n-30=0.\] **Krok \(3\).** Sprawdzamy podany pierwiastek: \(2^3-10\cdot 2^2+31\cdot 2-30=8-40+62-30=0\) — istotnie \(a_2=0\). **Krok \(4\).** Dzielimy wielomian przez \((n-2)\): \[\left(n^3-10n^2+31n-30\right):(n-2)=n^2-8n+15.\] (Kontrola przez wymnożenie: \((n-2)(n^2-8n+15)=n^3-8n^2+15n-2n^2+16n-30=n^3-10n^2+31n-30\).) **Krok \(5\).** Zapisujemy równanie w postaci iloczynowej: \[(n-2)\left(n^2-8n+15\right)=0.\] Iloczyn jest zerem, gdy \(n=2\) (to znamy) albo gdy \(n^2-8n+15=0\). **Krok \(6\).** Rozwiązujemy trójmian kwadratowy: \[\Delta=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=64-60=4,\qquad \sqrt{\Delta}=2,\] \[n_1=\frac{8-2}{2}=3,\qquad n_2=\frac{8+2}{2}=5.\] **Krok \(7\).** Sprawdzamy, czy otrzymane liczby mogą być numerami wyrazów: \(3\) i \(5\) są liczbami naturalnymi dodatnimi, więc odpowiadają im istniejące wyrazy ciągu. Zatem \(a_3=0\) i \(a_5=0\). (Sprawdzenie: \(a_3=27-90+93-30=0\), \(a_5=125-250+155-30=0\).) **Uwaga.** Zwróć uwagę na dwie rzeczy. Po pierwsze, pytano o POZOSTAŁE wyrazy równe zero, więc w odpowiedzi nie powtarzamy \(a_2\). Po drugie, \(n\) jest numerem wyrazu, więc pierwiastki, które nie są liczbami naturalnymi dodatnimi, trzeba by odrzucić — tutaj oba się nadają, ale sprawdzenie jest obowiązkowe. Odpowiadamy wartościami \(a_3=0\) i \(a_5=0\), a nie samymi liczbami \(3\) i \(5\). **Odpowiedź.** Pozostałe wyrazy równe zero to \(a_3=0\) i \(a_5=0\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (1 pkt)** – ułożenie równania z niewiadomą \(n\): \(n^{3}-10n^{2}+31n-30=0\). **6.2. (1 pkt)** – wykorzystanie twierdzenia Bézouta do rozkładu lewej strony równania na czynniki: \((n-2)\left(n^{2}-8n+15\right)=0\). **6.3. (1 pkt)** – wyznaczenie pozostałych pierwiastków równania: \(n_{1}=3\), \(n_{2}=5\). **6.4. (1 pkt)** – wyznaczenie pozostałych wyrazów ciągu równych zero: \(a_{3}=0\), \(a_{5}=0\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.