Funkcje trygonometryczne kąta ostrego — zadania maturalne z rozwiązaniami

B. \(2\)

**Krok \(1\).** Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej. Znamy sinus i przeciwprostokątną, więc z tej definicji od razu wyliczymy jedną z przyprostokątnych. **Krok \(2\).** Oznaczmy przez \(a\) przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta \(\alpha\). Wtedy \[\sin\alpha=\frac{a}{8}.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy \(\sin\alpha=\frac14\): \[\frac{a}{8}=\frac14.\] **Krok \(4\).** Mnożymy obie strony przez \(8\): \[a=8\cdot\frac14=2.\] **Krok \(5\).** Musimy jeszcze sprawdzić, czy to na pewno przyprostokątna krótsza. Drugą wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa: \[b=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{64-4}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}.\] **Krok \(6\).** Porównujemy: \(\sqrt{15}\) jest nieco mniejsze od \(4\), więc \(2\sqrt{15}\approx7{,}7\), czyli znacznie więcej niż \(2\). Krótsza przyprostokątna ma zatem długość \(2\). **Uwaga.** Zadanie pyta o przyprostokątną krótszą. Liczba \(2\sqrt{15}\) też występuje wśród odpowiedzi (D), ale to ta dłuższa. Można to zauważyć bez rachunku: naprzeciw mniejszego kąta leży krótszy bok, a skoro \(\sin\alpha=\frac14\) jest małe, kąt \(\alpha\) jest mały. **Odpowiedź.** B: \(2\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 7.4) Zdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych […].

A. \(\frac{3}{4}\)

**Krok \(1\).** Znamy sinus kąta ostrego, a szukamy tangensa. Najprościej narysować pomocniczy trójkąt prostokątny, w którym sinus tego kąta wynosi \(\frac35\), i brakujący bok wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa. **Krok \(2\).** Sinus to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej. Skoro \(\sin\alpha=\frac35\), możemy przyjąć \[a=3\ (\text{przyprostokątna naprzeciw }\alpha),\qquad c=5\ (\text{przeciwprostokątna}).\] **Krok \(3\).** Druga przyprostokątna \(b\) z twierdzenia Pitagorasa: \[b^2=c^2-a^2=25-9=16,\qquad b=4\] (bierzemy wartość dodatnią, bo to długość boku). **Krok \(4\).** Tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie: \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}=\frac34.\] **Krok \(5\).** Można też bez rysunku, z jedynki trygonometrycznej. Z \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) mamy \[\cos^2\alpha=1-\left(\frac35\right)^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25},\qquad \cos\alpha=\frac45,\] przy czym bierzemy wartość dodatnią, bo kąt jest ostry. **Krok \(6\).** Stąd \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac35}{\frac45}=\frac35\cdot\frac54=\frac34.\] **Uwaga.** Odpowiedź B (\(\frac43\)) to odwrotność poprawnego wyniku — powstaje z pomylenia, która przyprostokątna jest w liczniku. Tangens ma w liczniku bok **naprzeciw** kąta. **Odpowiedź.** A: \(\frac34\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 6.5) Zdający znając wartość jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego.

**C.** \(\sin\gamma=\frac{3}{\sqrt{10}}\)

Z rysunku odczytujemy, że kąt prosty jest przy wierzchołku \(B\), a kąt \(\gamma\) leży przy wierzchołku \(C\). Dla kąta \(\gamma\) bokiem przeciwległym jest przyprostokątna \(AB\), a przeciwprostokątną — bok \(AC\). Brakującą przyprostokątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa: \[|AB|^2=|AC|^2-|BC|^2=\left(2\sqrt{10}\right)^2-2^2=40-4=36,\] więc \(|AB|=6\). Z definicji sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym \[\sin\gamma=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.\] Wynik jest mniejszy od \(1\), jak musi być dla sinusa kąta ostrego. **Odpowiedź.** **C.** \(\frac{3}{\sqrt{10}}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VII.1) Zdający wykorzystuje definicje funkcji: sinus […] dla kątów od 0° do 180° […].

**C.** \(9\)

Ponieważ \(BC\) jest przeciwprostokątną, przy kącie \(BCA\) bok \(AB\) jest przeciwległy, a \(AC\) przyległy. Zatem \[\operatorname{tg}\angle BCA=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac32.\] Dla \(|AC|=6\) otrzymujemy \(|AB|=9\). Poprawna jest odpowiedź **C**.

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** VII.4) Zdający rozwiązuje trójkąty prostokątne z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych.

**B.** \(\dfrac47\)

Z rysunku odczytujemy, że \(\alpha\) i \(\beta\) są kątami ostrymi tego samego trójkąta prostokątnego, więc dopełniają się do \(90^\circ\). Dla takich kątów cosinus jednego jest równy sinusowi drugiego: \[\cos\beta=\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha=\frac47.\] **Odpowiedź.** B

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: 6.1) Wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych; 6.4) stosuje zależności dla kątów dopełniających.

**F**, **P**

Z rysunku odczytujemy, że \(\alpha\) i \(\beta\) są kątami ostrymi tego samego trójkąta prostokątnego, więc \(\alpha+\beta=90^\circ\). Z jedynki trygonometrycznej i z tego, że \(\alpha\) jest kątem ostrym (cosinus dodatni), \[\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\tfrac47\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{33}{49}}=\frac{\sqrt{33}}{7}\neq\frac37,\] bo \(\sqrt{33}\approx5{,}74\). Pierwsze stwierdzenie jest **fałszywe**. Dla kątów dopełniających się do \(90^\circ\) zachodzi \(\cos\beta=\sin\alpha\), więc \(\cos\beta=\tfrac47\). Drugie stwierdzenie jest **prawdziwe**. **Odpowiedź.** F, P

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: VII.1) Wykorzystuje definicje sinusa i cosinusa.

**A.** \(44^{\circ}\)

Promień podstawy wynosi \(r=10\). Jeśli \(\beta\) jest połową kąta rozwarcia stożka, to w przekroju osiowym \[\tan\beta=\frac rH=\frac{10}{25}=0{,}4.\] Stąd \(\beta\approx21{,}8^{\circ}\), więc kąt rozwarcia ma miarę \(2\beta\approx43{,}6^{\circ}\), czyli po zaokrągleniu \(44^{\circ}\).

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** X.4) Zdający oblicza kąt rozwarcia stożka. VII.4) Rozwiązuje trójkąty prostokątne z użyciem trygonometrii.

**D.** Punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AB\), więc \(|AD|=3\). W trójkącie prostokątnym \(ACD\) mamy \(|CD|=5\), zatem \(|AC|=4\). Stąd \(\tan\alpha=\frac{|AC|}{|AD|}=\frac43\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, gdzie leży kąt \(\alpha\). Odcinek \(CD\) jest środkową trójkąta \(ABC\) poprowadzoną do boku \(AB\), więc \(D\) jest **środkiem** odcinka \(AB\). Kąt \(\alpha=\sphericalangle ADC\) jest kątem trójkąta \(ACD\), a ten trójkąt jest prostokątny: skoro \(BC\) jest przeciwprostokątną trójkąta \(ABC\), to kąt prosty jest przy wierzchołku \(A\). Wystarczy więc policzyć boki trójkąta \(ACD\). **Krok \(2\).** Liczymy \(|AD|\). Punkt \(D\) dzieli \(AB\) na połowy, a \(|AB|=6\), więc \[|AD|=\frac{|AB|}{2}=\frac62=3.\] **Krok \(3\).** Ustalamy role boków w trójkącie \(ACD\): kąt prosty jest przy \(A\), więc przyprostokątnymi są \(AD\) i \(AC\), a przeciwprostokątną \(CD\), przy czym \(|CD|=5\). **Krok \(4\).** Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy brakującą przyprostokątną: \[|AC|^{2}+|AD|^{2}=|CD|^{2},\qquad |AC|^{2}+3^{2}=5^{2},\] \[|AC|^{2}=25-9=16.\] **Krok \(5\).** Długość odcinka jest dodatnia, więc \(|AC|=4\). Rozpoznajemy zresztą trójkąt o bokach \(3,4,5\). **Krok \(6\).** Stosujemy definicję tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym: to iloraz przyprostokątnej leżącej **naprzeciw** kąta przez przyprostokątną **przyległą** do kąta. Kąt \(\alpha\) jest przy wierzchołku \(D\), naprzeciw niego leży \(AC\), a przy nim \(AD\): \[\tan\alpha=\frac{|AC|}{|AD|}=\frac43.\] **Uwaga.** Nie należy mylić \(\alpha\) z kątem \(\beta=\sphericalangle ABC\). Dla \(\beta\) przyprostokątną przyległą jest cały bok \(AB\) o długości \(6\), więc \(\tan\beta=\frac{4}{6}=\frac23\) — to właśnie odpowiedź A, przygotowana jako pułapka na uczniów, którzy wezmą zły wierzchołek. **Odpowiedź.** D: \(\frac43\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VII.1) Zdający wykorzystuje definicje funkcji […] tangens dla kątów od 0° do 180° […].

**A.** Z twierdzenia Pitagorasa \(|BC|=\sqrt{6^{2}+4^{2}}=2\sqrt{13}\). Zatem \(\sin\beta=\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{4}{2\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}\).

**Krok \(1\).** Zbierzmy, co wiemy. Skoro \(BC\) jest przeciwprostokątną, to kąt prosty jest przy wierzchołku \(A\). Odcinek \(CD\) jest środkową, więc \(D\) jest **środkiem** boku \(AB\). Sinus kąta \(\beta\) w trójkącie prostokątnym to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej - brakuje nam więc \(|AC|\) i \(|BC|\). Zaczniemy od mniejszego trójkąta \(ACD\). **Krok \(2\).** Skoro \(D\) jest środkiem \(AB\) i \(|AB|=6\), to \[|AD|=\frac{|AB|}{2}=3.\] **Krok \(3\).** Trójkąt \(ACD\) też ma kąt prosty przy \(A\) (bo \(D\) leży na odcinku \(AB\)), a jego przeciwprostokątną jest \(CD\) o długości \(5\). Z twierdzenia Pitagorasa: \[|AC|^2+|AD|^2=|CD|^2,\qquad |AC|^2+3^2=5^2,\] \[|AC|^2=25-9=16,\qquad |AC|=4.\] **Krok \(4\).** Wracamy do trójkąta \(ABC\) z kątem prostym przy \(A\) i przyprostokątnymi \(|AB|=6\), \(|AC|=4\). Liczymy przeciwprostokątną: \[|BC|=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.\] **Krok \(5\).** Kąt \(\beta\) jest przy wierzchołku \(B\). Naprzeciw niego leży bok \(AC\), a przeciwprostokątną jest \(BC\), więc \[\sin\beta=\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{4}{2\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}.\] **Uwaga.** Nie pomyl boków: bok \(AB\) **przylega** do kąta \(\beta\) (to jego ramię), a naprzeciw kąta \(\beta\) leży \(AC\). Użycie \(|AB|\) zamiast \(|AC|\) daje \(\frac{6}{2\sqrt{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}\), czyli błędną odpowiedź B. **Odpowiedź.** A: \(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VII.1) Zdający wykorzystuje definicje funkcji: sinus […] dla kątów od 0° do 180° […].

**D.** Dla trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej \(13\) i przyprostokątnej \(5\) druga przyprostokątna ma długość \(12\). Zatem \(\tan\alpha=\frac{12}{5}\).

**Krok \(1\).** Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc możemy go umieścić w trójkącie prostokątnym i korzystać z definicji funkcji trygonometrycznych jako stosunków boków. Znamy cosinus, czyli stosunek przyprostokątnej leżącej **przy** kącie do przeciwprostokątnej — z tego odczytujemy dwa boki, a trzeci policzymy z twierdzenia Pitagorasa. **Krok \(2\).** Z równości \(\cos\alpha=\frac{5}{13}\) przyjmujemy: przyprostokątna przy kącie \(\alpha\) ma długość \(5\), a przeciwprostokątna \(13\). Szukaną (leżącą naprzeciw kąta) oznaczmy przez \(b\). **Krok \(3\).** Twierdzenie Pitagorasa (przeciwprostokątna to najdłuższy bok, czyli \(13\)): \[5^{2}+b^{2}=13^{2},\qquad 25+b^{2}=169,\qquad b^{2}=144.\] **Krok \(4\).** Długość boku jest dodatnia, więc \[b=\sqrt{144}=12.\] **Krok \(5\).** Tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie: \[\tan\alpha=\frac{12}{5}.\] **Krok \(6\).** Kontrola inną drogą: \(\sin\alpha=\frac{12}{13}\), więc \[\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}=\frac{12}{13}\cdot\frac{13}{5}=\frac{12}{5}.\] **Uwaga.** W tangensie występują **dwie przyprostokątne**, przeciwprostokątna w ogóle się w nim nie pojawia. Ułamek \(\frac{12}{13}\) (odpowiedź B) to sinus, a \(\frac{5}{12}\) (odpowiedź A) to cotangens, czyli tangens odwrócony. **Odpowiedź.** D: \(\dfrac{12}{5}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VII.2) Zdający korzysta z wzorów \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

**B.** \(30^\circ\)

Różnica długości podstaw trapezu jest równa \[|AB|-|CD|=8-5=3.\] Po opuszczeniu wysokości z punktu \(C\) otrzymujemy trójkąt prostokątny, w którym dla \(\alpha=\angle ABC\) \[\tan\alpha=\frac{\sqrt3}{3}.\] Stąd \(\alpha=30^\circ\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII.4) Zdający oblicza kąty trójkąta.

**D.** \(\frac{\sqrt{15}}8\)

W trójkącie prostokątnym \(ABC\) bok \(BC\) jest przeciwprostokątną, a bok \(AC\) leży naprzeciw kąta \(ABC\). Z definicji sinusa \[\sin\angle ABC=\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{\sqrt{15}}8.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VII.1) Zdający wykorzystuje definicję sinusa dla kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\).

**A.** \(\sqrt{15}\)

Najpierw z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABC\): \[|AB|^2+|AC|^2=|BC|^2,\] \[|AB|^2+15=64,\qquad |AB|=7.\] Ponieważ \(|BD|=6\), mamy \[|AD|=|AB|-|BD|=7-6=1.\] W trójkącie prostokątnym \(ADC\): \[\tan\angle ADC=\frac{|AC|}{|AD|}=\frac{\sqrt{15}}1=\sqrt{15}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VII.1) Zdający wykorzystuje definicję tangensa dla kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\).

**B.** \(20\)

W trójkącie prostokątnym \[\sin\angle CAB=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac35.\] Możemy więc przyjąć \(|BC|=3k\) i \(|AB|=5k\). Z warunku \(|AB|-|BC|=8\) otrzymujemy \[5k-3k=8,\] \[2k=8,\qquad k=4.\] Zatem \[|AB|=5k=20.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 7.4) Zdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych.

**A.** \(\frac{\sqrt5}{2}\)

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha>0\). Z tożsamości trygonometrycznej \[\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac59}=\frac23.\] Zatem \[\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{\sqrt5}{3}}{\frac23}=\frac{\sqrt5}{2}.\]

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VII.1 i VII.2 wykorzystywanie definicji funkcji trygonometrycznych oraz zależności \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) i \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

**A.** \(44^\circ\)

Promień podstawy stożka jest równy \(r=10\,\mathrm{cm}\). Niech \(\beta\) oznacza połowę kąta rozwarcia stożka. W przekroju osiowym \[\tan\beta=\frac rH=\frac{10}{25}=\frac25.\] Z tablic wartości funkcji trygonometrycznych \(\beta\approx22^\circ\), więc pełny kąt rozwarcia ma miarę \[2\beta\approx44^\circ.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III.1 stosowanie i interpretowanie obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** X.4 rozpoznawanie i obliczanie kąta rozwarcia stożka.

**C.** \(\frac12\)

**Krok \(1\).** Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przyprostokątnej leżącej przy nim. Znamy jedną przyprostokątną i przeciwprostokątną, więc drugiej przyprostokątnej musimy się dopiero dopracować — z twierdzenia Pitagorasa. **Krok \(2\).** Ustalamy, gdzie jest kąt prosty. Przeciwprostokątną jest bok \(AB\), a leży on naprzeciw wierzchołka \(C\) — zatem kąt prosty jest przy \(C\), a przyprostokątne to \(AC\) i \(BC\). **Krok \(3\).** Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa: \[|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2,\qquad\text{czyli}\qquad 6^2+|BC|^2=\left(3\sqrt5\right)^2.\] **Krok \(4\).** Obliczamy kwadrat przeciwprostokątnej, pamiętając o podniesieniu do kwadratu obu czynników: \[\left(3\sqrt5\right)^2=3^2\cdot\left(\sqrt5\right)^2=9\cdot5=45.\] **Krok \(5\).** Wyznaczamy brakującą przyprostokątną: \[|BC|^2=45-36=9,\qquad |BC|=3.\] **Krok \(6\).** Kąt \(CAB\) ma wierzchołek w punkcie \(A\). Naprzeciw niego leży bok \(BC\), a przy nim bok \(AC\), zatem \[\operatorname{tg}\angle CAB=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac36=\frac12.\] **Uwaga.** Odwrócenie ułamka daje \(2\), czyli odpowiedź D. Aby się nie pomylić, zawsze zaczynaj od pytania: która przyprostokątna leży naprzeciw kąta, o który pytają. Tu jest to \(BC\), bo kąt jest przy \(A\). **Odpowiedź.** C: \(\frac12\)

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VIII.3 i IX.1 stosowanie twierdzenia Pitagorasa i definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

\[\tan\alpha+\tan\beta=\frac1{2k}.\]

Oznaczmy długości przyprostokątnych przez \(a\) i \(b\), a przeciwprostokątnej przez \(c\). Z warunku o polach mamy \[k=\frac{P_{ABC}}{P_{ABDE}}=\frac{\frac12ab}{c^2}=\frac{ab}{2c^2}.\] Stąd \[c^2=\frac{ab}{2k}.\] Dla kątów ostrych \(\alpha\) i \(\beta\) trójkąta: \[\tan\alpha=\frac ab,\qquad\tan\beta=\frac ba.\] Zatem, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, \[\tan\alpha+\tan\beta=\frac ab+\frac ba=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{c^2}{ab}.\] Po podstawieniu \(c^2=\frac{ab}{2k}\) otrzymujemy \[\tan\alpha+\tan\beta=\frac1{2k}.\]

**4 pkt** – pełny poprawny dowód prowadzący do \(\tan\alpha+\tan\beta=\frac1{2k}\) **3 pkt** – wyznaczenie \(c^2=\frac{ab}{2k}\) **2 pkt** – zapisanie zarówno \(k=\frac{ab}{2c^2}\), jak i \(\tan\alpha+\tan\beta=\frac{c^2}{ab}\) **1 pkt** – poprawne zapisanie jednej z powyższych zależności **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** V. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 6.1 i G10.7 stosowanie definicji tangensa oraz twierdzenia Pitagorasa.

**A.** \(\frac43\)

Trójkąt \(OMN\) jest prostokątny w punkcie \(M\). Długości przyprostokątnych wynoszą \(|OM|=6\) oraz \(|MN|=8\). Zatem \[\tan|\angle MON|=\frac{|MN|}{|OM|}=\frac86=\frac43.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 6.1 wykorzystywanie definicji tangensa kąta ostrego.

A. \(\frac{4}{3}\)

W trapezie prostokątnym \(ABCD\) ramię \(AD\) jest prostopadłe do podstaw, więc \(\lvert AD\rvert=4\) jest wysokością. Rzut wierzchołka \(C\) na podstawę \(AB\) odcina przy kącie \(ABC\) trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \[\lvert AB\rvert-\lvert DC\rvert=8-5=3\qquad\text{oraz}\qquad h=4\] (zgodnie z danymi \(\lvert BC\rvert=\sqrt{3^2+4^2}=5\)). Tangens kąta ostrego to iloraz przyprostokątnej naprzeciw kąta przez przyprostokątną przy kącie: \[\operatorname{tg}\lvert\angle ABC\rvert=\frac43.\] **Odpowiedź.** A. \(\dfrac43\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Zadanie 16. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.

**A.** \(19^\circ<\beta<21^\circ\)

Dla kąta \(\beta=\angle ABC\) bok \(AC\) jest przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta, a \(BC\) przyprostokątną przyległą. Zatem \[\operatorname{tg}\beta=\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{91}{250}=0{,}364.\] Ponieważ \(\operatorname{tg}20^\circ\approx0{,}364\), mamy \(\beta\approx20^\circ\), a więc \[19^\circ<\beta<21^\circ.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 6.1 wykorzystywanie definicji tangensa kąta ostrego.

**D.** \(\cos\alpha=\frac35\)

Z jedynki trygonometrycznej \[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]\notrzymujemy \[\cos^2\alpha=1-\left(\frac45\right)^2=\frac9{25}.\] Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc jego cosinus jest dodatni. Stąd \[\cos\alpha=\frac35.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 6.5 wyznaczanie wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego samego kąta ostrego przy znanej wartości sinusa lub cosinusa.

**C.** \(21^\circ<\alpha\leq24^\circ\)

\[\sin\alpha=\frac{|LM|}{|KL|}=\frac38=0{,}375.\] Z tablic: \(\sin21^\circ\approx0{,}358\) i \(\sin24^\circ\approx0{,}407\), więc \(21^\circ<\alpha<24^\circ\), co odpowiada C.

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne II.** **6.2:** zdający korzysta z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych odczytanych z tablic.

**C.** \(\alpha\in(30^\circ,40^\circ)\)

\[\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{3}\approx0{,}577.\] Ponieważ \(\sin30^\circ=0{,}5\), a \(\sin40^\circ\approx0{,}643\), otrzymujemy \(30^\circ<\alpha<40^\circ\).

**1 pkt** – odpowiedź C **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** trygonometria - sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

D

Z odczytu redakcyjnego treści: \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{12}{5}\). Dla kąta ostrego można przyjąć trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(12\) (naprzeciw \(\alpha\)) i \(5\) (przyległa do \(\alpha\)). Wtedy z twierdzenia Pitagorasa przeciwprostokątna ma długość \[\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{169}=13,\] a stąd \[\sin\alpha=\frac{12}{13}.\] **Odpowiedź.** D

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 15. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.

**B.** \(25^\circ<\varphi<30^\circ\)

W trójkącie prostokątnym \(ABC\) mamy \(\tan|\angle ABC|=\frac53\), więc \(|\angle ABC|\approx59^\circ\). Ponieważ \(BD\) jest dwusieczną, \(\varphi\approx29{,}5^\circ\).

**1 pkt** – odpowiedź B **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** trygonometria i planimetria - tangens kąta ostrego oraz dwusieczna.

Cosinusy kątów ostrych są równe \(\dfrac{\sqrt7-1}{4}\) oraz \(\dfrac{\sqrt7+1}{4}\).

Oznaczmy przyprostokątne przez \(a\) i \(b\) (przy czym \(a>b\)), przeciwprostokątną przez \(c\), a przez \(\alpha\) kąt ostry leżący naprzeciw boku \(a\). Wtedy \[\sin\alpha=\frac ac,\qquad \cos\alpha=\frac bc.\] Warunek zadania \(\dfrac{a-b}{c}=\dfrac12\) zapisujemy jako \[\sin\alpha-\cos\alpha=\tfrac12,\qquad \sin\alpha=\cos\alpha+\tfrac12.\] Podstawiamy do jedynki trygonometrycznej: \[\left(\cos\alpha+\tfrac12\right)^{2}+\cos^{2}\alpha=1,\qquad 2\cos^{2}\alpha+\cos\alpha-\tfrac34=0,\] czyli \(8\cos^{2}\alpha+4\cos\alpha-3=0\). Stąd \[\cos\alpha=\frac{-4\pm\sqrt{16+96}}{16}=\frac{-1\pm\sqrt7}{4}.\] Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha>0\) i pierwiastek ujemny odrzucamy: \[\cos\alpha=\frac{\sqrt7-1}{4}.\] Drugi kąt ostry dopełnia \(\alpha\) do \(90^\circ\), więc jego cosinus jest równy \(\sin\alpha\): \[\sin\alpha=\cos\alpha+\tfrac12=\frac{\sqrt7-1}{4}+\frac24=\frac{\sqrt7+1}{4}.\] **Odpowiedź.** Cosinusy kątów ostrych są równe \(\dfrac{\sqrt7-1}{4}\) oraz \(\dfrac{\sqrt7+1}{4}\).

**Schemat punktowania I sposobu rozwiązania** **[…] pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający zapisze równość […] w postaci […] i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **[…] pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający podstawi równość do tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) i doprowadzi otrzymane równanie do postaci uporządkowanego równania kwadratowego, np. \(2\cos^2\alpha+\) […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający zapisze dwa rozwiązania tego równania \(\cos\alpha=\) […] oraz odrzuci ujemne rozwiązanie tego równania i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **[…] pkt** – rozwiązanie pełne: zdający obliczy i zapisze cosinusy obu kątów ostrych tego trójkąta. **Schemat punktowania II sposobu rozwiązania** **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający zapisze równość […], a następnie wyznaczy z niej jedną zmienną, zapisze dodatnie rozwiązanie tego równania i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **[…] pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający skorzysta z twierdzenia Pitagorasa i doprowadzi […] do równania kwadratowego z niewiadomą \(c\) i parametrem \(b\): \(3c^2-4bc-8b^2\) […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający […], a następnie obliczy cosinus kąta \(\alpha\) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **[…] pkt** – rozwiązanie pełne: zdający obliczy i zapisze cosinusy obu kątów ostrych tego trójkąta.

Klasyfikacja rzeczowa: modelowanie zależności boków trójkąta prostokątnego funkcjami trygonometrycznymi i rozwiązywanie równania kwadratowego.

**C.** \(\sin\alpha=\frac{2\sqrt{13}}{13}\)

Możemy przyjąć przyprostokątne długości \(2\) i \(3\). Przeciwprostokątna ma wtedy długość \(\sqrt{13}\), więc \[\sin\alpha=\frac2{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}.\]

**1 pkt** – odpowiedź C **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** trygonometria - zależność między tangensem a sinusem kąta ostrego.

**D.** \(\frac{2\sqrt6}{5}\).

Przeciwprostokątna ma długość \(5\), a przyprostokątna przyległa do kąta \(\alpha\) ma długość \(1\). Druga przyprostokątna ma więc długość \[\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}=2\sqrt6.\] Zatem \(\sin\alpha=\frac{2\sqrt6}{5}\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** trygonometria, sinus kąta ostrego i twierdzenie Pitagorasa.

**C.** \(\sin\beta=\frac{3\sqrt{34}}{34}\).

Trójkąt jest prostokątny przy wierzchołku \(C\), więc przeciwprostokątna ma długość \[|AB|=\sqrt{|BC|^2+|AC|^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}.\] Dla kąta \(\beta\) bokiem przeciwległym jest \(AC\). Zatem \[\sin\beta=\frac{|AC|}{|AB|}=\frac3{\sqrt{34}}=\frac{3\sqrt{34}}{34}.\]

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **C** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 6.1. Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od \(0^\circ\) do \(180^\circ\).

\[\sin\alpha\cos\alpha=\frac25.\]

Przeciwprostokątna ma długość \[c=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}.\] Niezależnie od tego, który kąt ostry oznaczono przez \(\alpha\), sinus i cosinus są ilorazami długości obu przyprostokątnych przez \(c\), tylko w odwrotnej kolejności. Zatem \[\sin\alpha\cos\alpha=\frac2{\sqrt{20}}\cdot\frac4{\sqrt{20}}=\frac8{20}=\frac25.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawny wynik \(\frac25\) z obliczeniami **1 pkt** – poprawne wyznaczenie przeciwprostokątnej \(\sqrt{20}\) i wartości sinusa lub cosinusa **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania. **Wymagania szczegółowe:** 6.1. Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od \(0^\circ\) do \(180^\circ\).

**C.** \(\frac2{\sqrt{29}}\).

Przeciwprostokątna ma długość \(\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}\). Większy kąt ostry leży naprzeciw boku długości \(5\), więc jego przyprostokątna przyległa ma długość \(2\). Stąd \(\cos\alpha=\frac2{\sqrt{29}}\).

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** trygonometria, funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

**A.** \(30^\circ\)

Punkty \(A=(\sqrt2,\sqrt6)\) i \(C=(\sqrt2,0)\) mają tę samą pierwszą współrzędną, a punkty \(B=(0,0)\) i \(C=(\sqrt2,0)\) — tę samą drugą. Odcinek \(AC\) jest więc pionowy, odcinek \(BC\) poziomy, a kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty. Długości przyprostokątnych wynoszą \[|AC|=\sqrt6,\qquad |BC|=\sqrt2.\] W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym \(BAC\) przy wierzchołku \(A\) bok \(BC\) leży naprzeciw tego kąta, a bok \(AC\) przy nim, zatem \[\operatorname{tg}\angle BAC=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{\sqrt2}{\sqrt6}=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.\] Kątem ostrym o tangensie \(\frac{\sqrt3}{3}\) jest \(30^\circ\). **Odpowiedź.** A. \(30^\circ\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 6.1, 6.3) Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od \(0^\circ\) do \(180^\circ\); oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość.

A. −\(\frac{11}{23}\)

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha\neq0\) i licznik oraz mianownik można podzielić przez \(\cos\alpha\): \[\frac{3\cos\alpha-2\sin\alpha}{\sin\alpha-5\cos\alpha}=\frac{3-2\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\alpha-5}.\] Po podstawieniu \(\operatorname{tg}\alpha=\tfrac25\) \[\frac{3-\tfrac45}{\tfrac25-5}=\frac{\tfrac{11}{5}}{-\tfrac{23}{5}}=-\frac{11}{23}.\] **Odpowiedź.** A. \(-\dfrac{11}{23}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Stosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego (I.6.c).

**C.** \(\frac{5\sqrt{13}}{13}\)

Z warunku \(3\operatorname{tg}\alpha=2\) mamy \(\operatorname{tg}\alpha=\tfrac23\). Dla kąta ostrego można przyjąć trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(2\) i \(3\); jego przeciwprostokątna ma długość \(\sqrt{13}\), więc \[\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}},\qquad \cos\alpha=\frac{3}{\sqrt{13}}.\] Zatem \[\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{5}{\sqrt{13}}=\frac{5\sqrt{13}}{13}.\] **Odpowiedź.** C

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 15. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.

**B.** \(30^\circ\)

Najmniejszy kąt trójkąta leży naprzeciw najkrótszego boku, czyli naprzeciw przyprostokątnej długości \(1\). Dla tego kąta \(\alpha\) \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3},\] a jest to wartość tangensa kąta \(30^\circ\). **Odpowiedź.** B

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 19. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.

\[\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=\frac13.\]

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha>0\) i licznik oraz mianownik można podzielić przez \(\cos\alpha\): \[\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=\frac{\operatorname{tg}\alpha-1}{\operatorname{tg}\alpha+1}.\] Mianownik jest różny od zera, bo \(\operatorname{tg}\alpha=2\neq-1\). Po podstawieniu \[\frac{2-1}{2+1}=\frac13.\] **Odpowiedź.** \(\dfrac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=\dfrac13\).

1 pkt: podzielenie licznika i mianownika przez cos α lub podstawienie sin α=2cos α. 2 pkt: wynik 1/3.

Zadanie 28. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.

B. \(\frac{5}{13}\)

W trójkącie prostokątnym \(ABC\) przeciwprostokątną jest \(AB\), więc kąt prosty leży przy wierzchołku \(C\). Z twierdzenia Pitagorasa \[\lvert AC\rvert=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{25}=5.\] Sinus kąta \(ABC\) to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej: \[\sin\lvert\angle ABC\rvert=\frac{\lvert AC\rvert}{\lvert AB\rvert}=\frac{5}{13}.\] **Odpowiedź.** B. \(\dfrac{5}{13}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykorzystanie definicji do wyznaczenia wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta ostrego (II.6.a).

**C.** \(\frac7{\sqrt{120}}\)

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha>0\) i z jedynki trygonometrycznej \[\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{7}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169-49}{169}}=\frac{\sqrt{120}}{13}.\] Zatem \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\tfrac{7}{13}}{\tfrac{\sqrt{120}}{13}}=\frac{7}{\sqrt{120}}.\] **Odpowiedź.** C

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 14. (0–1) Wykorzystanie i tworzenie Znając wartość jednej funkcji informacji trygonometrycznej wyznacza wartości C pozostałych funkcji trygonometrycznych.

**A.** \(\cos\alpha=\frac9{11}\)

Z rysunku odczytujemy, że kąt \(\alpha\) leży przy wierzchołku, w którym schodzą się przyprostokątna długości \(9\) i przeciwprostokątna długości \(11\); druga przyprostokątna ma długość \(2\sqrt{10}\). Cosinus kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej: \[\cos\alpha=\frac{9}{11}.\] Dla porządku: \(\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt{10}}{11}\), więc warianty B, C i D są fałszywe. **Odpowiedź.** A

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** Zdający wykorzystuje definicje funkcji trygonometrycznych i wyznacza ich wartości dla kątów ostrych.

A. sin α = \(\frac{12}{13}\) i tg α = \(\frac{12}{5}\)

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\sin\alpha>0\) i z jedynki trygonometrycznej \[\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}.\] Stąd \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\tfrac{12}{13}}{\tfrac{5}{13}}=\frac{12}{5}.\] **Odpowiedź.** A

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wyznaczenie wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego, gdy dana jest wartość jednej z nich.

\[\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\frac25.\]

Z twierdzenia Pitagorasa przeciwprostokątna ma długość \[c=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt5.\] Niech \(\alpha\) będzie kątem ostrym leżącym naprzeciw przyprostokątnej długości \(2\). Wtedy \[\sin\alpha=\frac{2}{2\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt5},\qquad \cos\alpha=\frac{4}{2\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5}.\] Stąd \[\sin\alpha\cos\alpha=\frac{2}{5}.\] Dla drugiego kąta ostrego iloczyn jest taki sam, bo zamienia się jedynie rolami sinus z cosinusem. **Odpowiedź.** \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\dfrac25\).

Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.

**C.** \(\cos\alpha=\frac{12}{13}\)

Z rysunku odczytujemy, że kąt \(\alpha\) leży przy wierzchołku, do którego przylega przyprostokątna długości \(12\) i przeciwprostokątna długości \(13\); naprzeciw kąta \(\alpha\) leży przyprostokątna długości \(5\). Zatem \[\cos\alpha=\frac{12}{13},\qquad \sin\alpha=\frac{5}{13},\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{5}{12},\] co wyklucza warianty A, B i D. **Odpowiedź.** C

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Trygonometria – oblicza funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym.

**C.** \(\cos\alpha=\frac{12}{13}\)

Z rysunku odczytujemy, że trójkąt jest prostokątny, przyprostokątne mają długości \(5\) (pionowa) i \(12\) (pozioma), przeciwprostokątna \(13\), a kąt \(\alpha\) leży przy przyprostokątnej długości \(12\), naprzeciw przyprostokątnej długości \(5\). Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym \[\cos\alpha=\frac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}}=\frac{12}{13},\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{5}{12}.\] Wyklucza to warianty A, B i D. **Odpowiedź.** C. \(\cos\alpha=\frac{12}{13}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, z odczytem danych z rysunku Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

\[\cos\alpha=\frac{12}{13}.\]

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc można go umieścić w trójkącie prostokątnym. Z definicji tangensa \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\text{przyprostokątna przyległa}}=\frac{5}{12},\] więc przyprostokątne można przyjąć równe \(5\) i \(12\). Z twierdzenia Pitagorasa przeciwprostokątna ma długość \[\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13.\] Zatem \[\cos\alpha=\frac{12}{13}.\] **Odpowiedź.** \(\cos\alpha=\dfrac{12}{13}\).

1 pkt: poprawne użycie jedynki trygonometrycznej po zapisaniu sin α = (5/12)cos α lub równoważny istotny etap, np. obliczenie przeciwprostokątnej trójkąta o przyprostokątnych 5 i 12. 2 pkt: obliczenie cos α = 12/13 (akceptowane także poprawne przybliżenie wskazane w kluczu).

Użycie i tworzenie strategii. Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego.

**C.** \(\frac{\sqrt7}{4}\)

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\sin\alpha>0\) i z jedynki trygonometrycznej \[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt7}{4}.\] **Odpowiedź.** C

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Trygonometria – stosuje jedynkę trygonometryczną.

D. \(\dfrac{1}{\sqrt2}\)

Z rysunku odczytujemy, że kąt prosty jest przy dolnym lewym wierzchołku, a kąt \(\alpha\) leży przy dolnym prawym wierzchołku, między przeciwprostokątną a dolną przyprostokątną. Przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta \(\alpha\) ma długość \(1\), a przyprostokątna przyległa do niego — \(\sqrt2\). Tangens kąta ostrego to iloraz przyprostokątnej naprzeciw kąta przez przyprostokątną przy kącie: \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{1}{\sqrt2}.\] Sprawdzenie: \(1^2+\left(\sqrt2\right)^2=3=\left(\sqrt3\right)^2\), więc trójkąt o podanych bokach istnieje i jest prostokątny. **Odpowiedź.** D. \(\dfrac{1}{\sqrt2}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac45+\dfrac35=\dfrac75=1{,}4\).

**Krok \(1\).** Znamy tangens kąta ostrego, a szukamy sinusa i cosinusa. Najszybciej pomyśleć o trójkącie prostokątnym: tangens to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie, więc możemy dobrać sobie wygodne długości boków. **Krok \(2\).** Skoro \(\tan\alpha=\frac43\), przyjmujemy, że przyprostokątna naprzeciw kąta \(\alpha\) ma długość \(4x\), a przyprostokątna przy tym kącie \(3x\), gdzie \(x\gt0\). Wtedy istotnie \(\tan\alpha=\frac{4x}{3x}=\frac43\). **Krok \(3\).** Długość przeciwprostokątnej obliczamy z twierdzenia Pitagorasa: \[c=\sqrt{(4x)^2+(3x)^2}=\sqrt{16x^2+9x^2}=\sqrt{25x^2}=5x.\] **Krok \(4\).** Odczytujemy wartości funkcji trygonometrycznych: \[\sin\alpha=\frac{4x}{5x}=\frac45,\qquad \cos\alpha=\frac{3x}{5x}=\frac35.\] Zmienna \(x\) się skróciła — dlatego wolno było dobrać boki dowolnie. **Krok \(5\).** Dodajemy: \[\sin\alpha+\cos\alpha=\frac45+\frac35=\frac75=1{,}4.\] **Krok \(6\).** Ten sam wynik daje rachunek na tożsamościach: z definicji tangensa \(\sin\alpha=\frac43\cos\alpha\), więc po wstawieniu do jedynki trygonometrycznej \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) otrzymujemy \(\frac{16}{9}\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), czyli \(\frac{25}{9}\cos^2\alpha=1\) i \(\cos^2\alpha=\frac{9}{25}\). **Krok \(7\).** Kontrola: \(\left(\frac45\right)^2+\left(\frac35\right)^2=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1\) — jedynka trygonometryczna się zgadza. **Uwaga.** Z równania \(\cos^2\alpha=\frac{9}{25}\) wynikają dwie wartości: \(\frac35\) i \(-\frac35\). Ujemną odrzucamy, ponieważ kąt \(\alpha\) jest ostry, a dla kąta ostrego zarówno sinus, jak i cosinus są dodatnie. **Odpowiedź.** \(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac75=1{,}4\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **I sposób rozwiązania:** Z definicji funkcji tangens mamy \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{4}{3}\), zatem \(\sin\alpha=\frac{4}{3}\cos\alpha\). Podstawiam tę równość do tożsamości \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\) i otrzymuję \(\left(\frac{4}{3}\cos\alpha\right)^{2}+\cos^{2}\alpha=1\), a stąd \(\cos^{2}\alpha=\frac{9}{25}\). Zatem \(\cos\alpha=\frac{3}{5}\) lub \(\cos\alpha=-\frac{3}{5}\). Ujemny wynik odrzucam, ponieważ zgodnie z warunkami zadania kąt \(\alpha\) jest kątem ostrym. Obliczam wartości funkcji \(\sin\alpha=\frac{4}{5}\), a następnie wartość wyrażenia \(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=\frac{7}{5}\). Odpowiedź: \(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{7}{5}\). **II sposób rozwiązania:** Rysuję trójkąt prostokątny, w którym oznaczam przyprostokątne \(3x\) i \(4x\) oraz zaznaczam kąt ostry \(\alpha\) tak, aby \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{4}{3}\). […] Z twierdzenia Pitagorasa obliczam długość przeciwprostokątnej: \((4x)^{2}+(3x)^{2}=25x^{2}\). Zatem przeciwprostokątna ma długość \(5x\). Obliczam wartości funkcji \(\sin\alpha=\frac{4}{5}\) i \(\cos\alpha=\frac{3}{5}\). Stąd \(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=\frac{7}{5}\). Odpowiedź: \(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{7}{5}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Dla kąta ostrego \(\alpha\) zachodzi \(\sin\alpha<\operatorname{tg}\alpha\), czyli \(\sin\alpha-\operatorname{tg}\alpha<0\). b) \(\cos^3\alpha+\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha=\frac13\).

**a)** Kąt \(\alpha\) jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym, więc \(\sin\alpha>0\) oraz \(0<\cos\alpha<1\). Z definicji tangensa \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.\] Zatem \[\sin\alpha-\operatorname{tg}\alpha=\sin\alpha-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\sin\alpha\cdot\frac{\cos\alpha-1}{\cos\alpha}.\] Czynnik \(\sin\alpha\) jest dodatni, mianownik \(\cos\alpha\) jest dodatni, a licznik \(\cos\alpha-1\) jest ujemny, bo \(\cos\alpha<1\). Iloczyn jest więc ujemny, co kończy uzasadnienie. **b)** Wyłączamy \(\cos\alpha\) przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\cos^3\alpha+\cos\alpha\sin^2\alpha=\cos\alpha\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)=\cos\alpha.\] Dla \(\sin\alpha=\frac{2\sqrt2}{3}\) oraz \(\alpha\) ostrego mamy \(\cos\alpha>0\), więc \[\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac89}=\sqrt{\frac19}=\frac13.\] **Odpowiedź.** a) Nierówność zachodzi dla każdego kąta ostrego. b) Wartość wyrażenia jest równa \(\frac13\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Model odpowiedzi CKE dla arkusza podstawowego maj 2009 nie jest dostępny w tym wydaniu bazy, dlatego progów punktowych nie podajemy.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Podjazd ma długość około \(980\ \mathrm{cm}\), czyli \(9{,}8\ \mathrm{m}\).

Podjazd musi pokonać tę samą różnicę wysokości co schody: \[H=8\cdot15\ \mathrm{cm}=120\ \mathrm{cm}.\] Podjazd jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym naprzeciw kąta nachylenia \(7^\circ\) leży przyprostokątna \(H\): \[\sin 7^\circ=\frac{H}{\ell},\qquad \ell=\frac{120}{\sin 7^\circ}.\] Podstawiamy podane przybliżenie \(\sin 7^\circ\approx0{,}1219\): \[\ell\approx\frac{120}{0{,}1219}\approx984{,}4\ \mathrm{cm}.\] Po zaokrągleniu do \(10\ \mathrm{cm}\) otrzymujemy \(980\ \mathrm{cm}\). **Odpowiedź.** Podjazd ma długość około \(980\ \mathrm{cm}\), czyli \(9{,}8\ \mathrm{m}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **5.1. (1 pkt)** – […] **5.2. (1 pkt)** – obliczenie długości odcinka \(BC\): \(120\) cm. **5.3. (1 pkt)** – zapisanie zależności \(\sin\angle CAB=\frac{BC}{AC}\) i wyznaczenie długości odcinka \(AC\): \(AC=\frac{BC}{\sin 7^\circ}\). **5.4. (1 pkt)** – obliczenie przybliżonej długości podjazdu i podanie odpowiedzi: \(980\) cm.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{2H}\). b) \(\cos\alpha=\frac{h}{a}\). c) Z warunku \(a^2=H\cdot h\) wynika \(2\operatorname{tg}\alpha=\cos\alpha\), a stąd \(\sin^2\alpha+2\sin\alpha-1=0\); dla \(\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\) daje to \(\sin\alpha=\sqrt2-1\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Wysokość opuszczona na podstawę trójkąta równoramiennego dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych \(\frac{a}{2}\) i \(H\) oraz przeciwprostokątnej równej ramieniu. Kąt \(\alpha\) leży właśnie w takim trójkącie, przy wierzchołku. To wystarczy do podpunktów a) i b), a podpunkt c) będzie połączeniem obu wzorów. **Krok \(2\).** Podpunkt a). W tym trójkącie prostokątnym naprzeciw kąta \(\alpha\) leży przyprostokątna \(\frac{a}{2}\), a przy kącie \(\alpha\) leży przyprostokątna \(H\), więc z definicji tangensa \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\frac{a}{2}}{H}=\frac{a}{2H}.\] **Krok \(3\).** Podpunkt b). Oznaczmy przez \(b\) długość ramienia. Wysokość \(h\) opuszczona na ramię wiąże się z pozostałymi wielkościami przez pole trójkąta, które można policzyć na dwa sposoby: \[P=\frac12aH\qquad\text{oraz}\qquad P=\frac12bh.\] **Krok \(4\).** Porównujemy oba wyrażenia: \[aH=bh,\qquad\text{czyli}\qquad \frac{h}{a}=\frac{H}{b}.\] **Krok \(5\).** W trójkącie prostokątnym z kroku \(1\) przy kącie \(\alpha\) leży przyprostokątna \(H\), a przeciwprostokątną jest \(b\), więc \(\cos\alpha=\frac{H}{b}\). Łącząc to z krokiem \(4\), otrzymujemy \[\cos\alpha=\frac{h}{a}.\] **Krok \(6\).** Podpunkt c). Z podpunktu a) wyznaczamy \(H=\frac{a}{2\operatorname{tg}\alpha}\), a z podpunktu b) \(h=a\cos\alpha\). Wstawiamy to do danego warunku \(a^2=H\cdot h\): \[a^2=\frac{a}{2\operatorname{tg}\alpha}\cdot a\cos\alpha=\frac{a^2\cos\alpha}{2\operatorname{tg}\alpha}.\] **Krok \(7\).** Dzielimy obie strony przez \(a^2\) (bok jest dodatni) i porządkujemy: \[1=\frac{\cos\alpha}{2\operatorname{tg}\alpha},\qquad 2\operatorname{tg}\alpha=\cos\alpha.\] **Krok \(8\).** Zapisujemy tangens jako iloraz i mnożymy przez \(\cos\alpha\), który dla kąta ostrego jest dodatni: \[2\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\cos\alpha,\qquad 2\sin\alpha=\cos^2\alpha.\] **Krok \(9\).** Korzystamy z jedynki trygonometrycznej \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\) i przenosimy wszystko na jedną stronę: \[2\sin\alpha=1-\sin^2\alpha,\qquad \sin^2\alpha+2\sin\alpha-1=0.\] **Krok \(10\).** Podstawiamy \(t=\sin\alpha\) i rozwiązujemy równanie kwadratowe \(t^2+2t-1=0\): \(\Delta=4+4=8\), \(\sqrt{\Delta}=2\sqrt2\), więc \[t_1=\frac{-2-2\sqrt2}{2}=-1-\sqrt2,\qquad t_2=\frac{-2+2\sqrt2}{2}=-1+\sqrt2.\] **Krok \(11\).** Kąt \(\alpha\) jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym, więc \(\sin\alpha\gt 0\). Liczba \(-1-\sqrt2\) jest ujemna, więc ją odrzucamy i zostaje \(\sin\alpha=\sqrt2-1\), co należało wykazać. **Uwaga.** Odrzucenie ujemnego pierwiastka to konieczna część dowodu — bez niej rozwiązanie jest niepełne. Warto też sprawdzić rachunkowo, że \(\sqrt2-1\approx0{,}41\), czyli że jest to liczba z przedziału \((0,1)\), a więc rzeczywiście może być sinusem kąta ostrego. **Odpowiedź.** a) \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{2H}\); b) \(\cos\alpha=\frac{h}{a}\); c) warunek \(a^2=H\cdot h\) prowadzi do równania \(\sin^2\alpha+2\sin\alpha-1=0\), którego jedynym rozwiązaniem dla kąta ostrego jest \(\sin\alpha=\sqrt2-1\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **4.1. (1 pkt)** – wyrażenie funkcji \(\tg\alpha\) w zależności od \(a\) i \(H\): \(\tg\alpha=\frac{\frac{a}{2}}{H}=\frac{a}{2H}\). **4.2. (1 pkt)** – wyrażenie funkcji \(\cos\alpha\) w zależności od \(a\) i \(h\): \(\cos\alpha=\frac{h}{a}\). **4.3. (1 pkt)** – wykorzystanie wyznaczonych zależności i doprowadzenie podanego w treści zadania związku \(a^{2}=H\cdot h\) do zależności z jedną zmienną \(\alpha\): np. \(\frac{\frac{a}{2}}{H}=\tg\alpha\) stąd \(H=\frac{a}{2\tg\alpha}\), \(\frac{h}{a}=\cos\alpha\) stąd \(h=a\cos\alpha\); po podstawieniu otrzymujemy \(2\tg\alpha=\cos\alpha\). **4.4. (1 pkt)** – doprowadzenie zależności do postaci równania, w którym jest tylko jedna funkcja trygonometryczna, np.: \(2\sin\alpha=1-\sin^{2}\alpha\) dla \(\alpha\in\left(0,\,\frac{\pi}{2}\right)\). **4.5. (1 pkt)** – rozwiązanie równania, np. dokonanie podstawienia \(t=\sin\alpha\) i rozwiązanie równania kwadratowego \(t^{2}+2t-1=0\): \(t=-1-\sqrt{2}\) oraz \(t=-1+\sqrt{2}\). **4.6. (1 pkt)** – odrzucenie ujemnego pierwiastka i podanie odpowiedzi: \(\sin\alpha=\sqrt{2}-1\). Jeśli zdający nie wskaże właściwego rozwiązania spełniającego warunki zadania, to nie otrzymuje punktu za tę czynność. **II sposób rozwiązania (czynności 4.3 i 4.4)** **4.3. (1 pkt)** – zapisanie wyrażenia \(a^{2}=H\cdot h\) w postaci proporcji \(\frac{a}{H}=\frac{h}{a}\Leftrightarrow 2\cdot\frac{\frac{a}{2}}{H}=\frac{h}{a}\). **4.4. (1 pkt)** – wykorzystanie funkcji trygonometrycznych do zapisania proporcji w postaci równania jednej zmiennej: \(2\cdot\frac{\frac{a}{2}}{H}=2\cdot\tg\alpha\), \(\frac{h}{a}=\cos\alpha\) stąd \(\frac{a}{H}=\frac{h}{a}\), \(2\cdot\tg\alpha=\cos\alpha\), \(\sin^{2}\alpha+2\sin\alpha-1=0\) dla \(\alpha\in\left(0,\,\frac{\pi}{2}\right)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Teza wynika stąd, że w trójkącie prostokątnym \(\beta=90^\circ-\alpha\), więc \(\sin\beta=\cos\alpha=\frac34\), \(\cos\beta=\frac{\sqrt7}{4}\) i \(\operatorname{tg}\beta=\frac{3}{\sqrt7}=\frac{3\sqrt7}{7}\approx1{,}13\), a to przeczy warunkowi \(\operatorname{tg}\beta=\frac43\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Mamy wykazać, że pewien obiekt nie istnieje. Takie dowody prowadzi się nie wprost: zakładamy, że taki trójkąt prostokątny istnieje, wyciągamy z tego wnioski i dochodzimy do sprzeczności. Punktem wyjścia jest fakt, że w trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do \(90^{\circ}\). **Krok \(2\).** Załóżmy więc, że istnieje trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha\) i \(\beta\). Suma kątów w trójkącie wynosi \(180^{\circ}\), a jeden z nich jest prosty, więc \[\alpha+\beta=90^{\circ},\qquad\text{czyli}\qquad \beta=90^{\circ}-\alpha.\] **Krok \(3\).** Dla kątów dopełniających się do \(90^{\circ}\) zachodzi \(\sin\left(90^{\circ}-\alpha\right)=\cos\alpha\). Zatem z danej \(\cos\alpha=\frac34\) wynika \[\sin\beta=\cos\alpha=\frac{3}{4}.\] **Krok \(4\).** Kąt \(\beta\) jest ostry, więc \(\cos\beta\gt 0\) i z jedynki trygonometrycznej \[\cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt7}{4}.\] **Krok \(5\).** Obliczamy tangens tego kąta: \[\mathrm{tg}\,\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{\frac34}{\frac{\sqrt7}{4}}=\frac{3}{\sqrt7}=\frac{3\sqrt7}{7}.\] **Krok \(6\).** Porównujemy z wartością podaną w treści. Zamiast liczyć przybliżenia, porównajmy kwadraty obu dodatnich liczb: \[\left(\frac{3}{\sqrt7}\right)^2=\frac{9}{7},\qquad \left(\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{9}.\] Sprowadzamy do wspólnego mianownika \(63\): \(\frac{9}{7}=\frac{81}{63}\) oraz \(\frac{16}{9}=\frac{112}{63}\). Te liczby są różne, więc \[\frac{3\sqrt7}{7}\ne\frac{4}{3}.\] Dla orientacji: \(\frac{3\sqrt7}{7}\approx 1{,}13\), a \(\frac43\approx 1{,}33\). **Krok \(7\).** Otrzymaliśmy sprzeczność: z założenia, że trójkąt jest prostokątny i \(\cos\alpha=\frac34\), wynika \(\mathrm{tg}\,\beta=\frac{3\sqrt7}{7}\), a treść wymaga \(\mathrm{tg}\,\beta=\frac43\). Oba warunki nie mogą zachodzić jednocześnie, więc taki trójkąt nie istnieje. **Uwaga.** Długość przeciwprostokątnej \(24\) jest w tym rozumowaniu zupełnie niepotrzebna, bo sprzeczność wynika już z samych kątów; to dana nadmiarowa. Można też rozumować rachunkowo: z \(\cos\alpha=\frac34\) przyprostokątna przyległa do \(\alpha\) ma długość \(24\cdot\frac34=18\), a z \(\mathrm{tg}\,\beta=\frac43\) druga przyprostokątna wynosiłaby \(18\cdot\frac34=13{,}5\); wtedy \(18^2+13{,}5^2=506{,}25\), a \(24^2=576\), więc twierdzenie Pitagorasa nie zachodzi. **Odpowiedź.** Taki trójkąt nie istnieje: w trójkącie prostokątnym z \(\cos\alpha=\frac34\) wynika \(\mathrm{tg}\,\beta=\frac{3\sqrt7}{7}\approx 1{,}13\), a to jest sprzeczne z warunkiem \(\mathrm{tg}\,\beta=\frac43\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **7.1. (1 pkt)** – obliczenie przybliżonej wartości kąta \(\alpha\): \(\alpha\approx 41^{\circ}\). **7.2. (1 pkt)** – obliczenie przybliżonej wartości kąta: \(\beta\approx 53^{\circ}\). **7.3. (1 pkt)** – oszacowanie sumy kątów \(\alpha\) i \(\beta\): \(\alpha+\beta>90^{\circ}\). Wystarczy obliczenie przybliżonej wartości sumy tych kątów. **7.4. (1 pkt)** – stwierdzenie sprzeczności oraz zapisanie wniosku: trójkąt nie jest prostokątny. **II sposób rozwiązania:** **7.1. (1 pkt)** – obliczenie \(\sin\beta\) (na podstawie równości \(\sin\beta=\cos\alpha\)): \(\sin\beta=\frac{3}{4}\). **7.2. (1 pkt)** – obliczenie \(\cos\beta\): \(\cos\beta=\frac{\sqrt{7}}{4}\). **7.3. (1 pkt)** – obliczenie \(\tg\beta\): \(\tg\beta=\frac{3\sqrt{7}}{7}\). **7.4. (1 pkt)** – porównanie uzyskanego wyniku z wartością funkcji \(\tg\beta\) daną w zadaniu i stwierdzenie sprzeczności oraz zapisanie wniosku: trójkąt nie jest prostokątny. **III sposób rozwiązania:** **7.1. (1 pkt)** – wykorzystanie definicji funkcji cosinus i obliczenie długości przyprostokątnej \(AC\): \(\frac{AC}{AB}=\cos\alpha\) stąd \(AC=18\). (rysunek: \(B\), \(\beta\), \(24\), \(\alpha\), \(C\), \(A\)) **7.2. (1 pkt)** – wykorzystanie definicji funkcji tangens i obliczenie długości przyprostokątnej \(BC\): \(\frac{AC}{BC}=\tg\beta\) stąd \(BC=\frac{27}{2}\). **7.3. (1 pkt)** – obliczenie sumy kwadratów przyprostokątnych i kwadratu przeciwprostokątnej: \(AC^{2}+BC^{2}=(18)^{2}+\left(\frac{27}{2}\right)^{2}=506\frac{1}{4}\), \(AB^{2}=576\). **7.4. (1 pkt)** – uzyskanie sprzeczności \(AC^{2}+BC^{2}\neq AB^{2}\) i zapisanie wniosku: trójkąt nie jest prostokątny. **IV sposób rozwiązania:** **7.1. (1 pkt)** – wykorzystanie definicji funkcji cosinus i obliczenie długości przyprostokątnej \(AC\): \(\frac{AC}{AB}=\cos\alpha\) stąd \(AC=18\). **7.2. (1 pkt)** – zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i obliczenie długości przyprostokątnej \(BC\): \(BC=6\sqrt{7}\). **7.3. (1 pkt)** – wykorzystanie funkcji tangens i obliczenie tangensa kąta \(\beta\): \(\tg\beta=\frac{3}{\sqrt{7}}\). **7.4. (1 pkt)** – uzyskanie sprzeczności: \(\tg\beta=\frac{3}{\sqrt{7}}\) i z warunków zadania \(\tg\beta=\frac{4}{3}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Większą wartość ma wyrażenie drugie: \(\operatorname{tg}\beta\cdot\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}+\sin\beta=\dfrac{24}{13}\), podczas gdy pierwsze jest równe \(\dfrac{10}{13}\).

Z rysunku odczytujemy: przyprostokątne mają długości \(5\) i \(12\), przeciwprostokątna \(13\), kąt \(\alpha\) leży naprzeciw boku \(5\), a kąt \(\beta\) naprzeciw boku \(12\). Zatem \[\sin\alpha=\tfrac{5}{13},\ \cos\alpha=\tfrac{12}{13},\ \operatorname{tg}\alpha=\tfrac{5}{12},\qquad \sin\beta=\tfrac{12}{13},\ \cos\beta=\tfrac{5}{13},\ \operatorname{tg}\beta=\tfrac{12}{5}.\] Oba kąty są ostre, więc ich sinusy są dodatnie i z jedynki trygonometrycznej \[\sqrt{1-\cos^{2}\beta}=\sin\beta,\qquad \sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sin\alpha.\] Stąd \[\operatorname{tg}\alpha\cdot\sqrt{1-\cos^{2}\beta}+\sin\alpha=\frac{5}{12}\cdot\frac{12}{13}+\frac{5}{13}=\frac{5}{13}+\frac{5}{13}=\frac{10}{13},\] \[\operatorname{tg}\beta\cdot\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}+\sin\beta=\frac{12}{5}\cdot\frac{5}{13}+\frac{12}{13}=\frac{12}{13}+\frac{12}{13}=\frac{24}{13}.\] Ponieważ \(\tfrac{24}{13}>\tfrac{10}{13}\), większą wartość ma wyrażenie drugie. **Odpowiedź.** Większą wartość ma \(\operatorname{tg}\beta\cdot\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}+\sin\beta\); wynosi ona \(\dfrac{24}{13}\), a pierwsze wyrażenie \(\dfrac{10}{13}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **12.1. (1 pkt)** – […] \(\operatorname{tg}\alpha\cdot\sqrt{1-\cos^{2}\beta}+\sin\alpha=\operatorname{tg}\alpha\cdot\sin\beta+\sin\alpha\), \(\operatorname{tg}\beta\cdot\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}+\sin\beta=\operatorname{tg}\beta\cdot\sin\alpha+\sin\beta\). **12.2. (1 pkt)** – wykorzystanie zależności między tangensem, sinusem i cosinusem tego samego kąta i zapisanie wyrażeń w postaci: \(\operatorname{tg}\alpha\cdot\sin\beta+\sin\alpha=2\sin\alpha\), \(\operatorname{tg}\beta\cdot\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\beta\). **12.3. (1 pkt)** – obliczenie wartości wyrażeń: \(\operatorname{tg}\alpha\cdot\sqrt{1-\cos^{2}\beta}+\sin\alpha=2\sin\alpha=\frac{10}{13}\), \(\operatorname{tg}\beta\cdot\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}+\sin\beta=2\sin\beta=\frac{24}{13}\). **12.4. (1 pkt)** – porównanie liczb \(\frac{10}{13}\) i \(\frac{24}{13}\) i sformułowanie odpowiedzi: \(\frac{10}{13}<\frac{24}{13}\), […] drugie wyrażenie. Jeżeli zdający nie wykonuje obliczeń, a stwierdzi jedynie, że sinus większego z kątów ostrych trójkąta jest większy i zapisze \(2\sin\beta>2\sin\alpha\), to otrzymuje punkt także za czynność 12.3. **II sposób rozwiązania:** **12.1. (1 pkt)** – wykorzystanie definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego i zapisanie potrzebnych wartości funkcji kąta \(\alpha\): \(\sin\alpha=\frac{5}{13}\), \(\cos\alpha=\frac{12}{13}\), \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{5}{12}\). Punkt otrzymuje zdający, który popełni co najwyżej jeden błąd. **12.2. (1 pkt)** – wykorzystanie definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego i zapisanie potrzebnych wartości funkcji kąta \(\beta\): \(\sin\beta=\frac{12}{13}\), \(\cos\beta=\frac{5}{13}\), \(\operatorname{tg}\beta=\frac{12}{5}\). Punkt otrzymuje zdający, który popełni co najwyżej jeden błąd. **12.3. (1 pkt)** – obliczenie wartości wyrażeń: \(\operatorname{tg}\alpha\cdot\sqrt{1-\cos^{2}\beta}+\sin\alpha=\frac{10}{13}\), \(\operatorname{tg}\beta\cdot\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}+\sin\beta=\frac{24}{13}\). **12.4. (1 pkt)** – porównanie liczb \(\frac{10}{13}\) i \(\frac{24}{13}\) i sformułowanie odpowiedzi: \(\frac{10}{13}<\frac{24}{13}\), drugie wyrażenie ma większą wartość.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Wartość wyrażenia jest równa \(-\frac{133}{45}\).

Z rysunku odczytujemy, że trójkąt \(ABC\) ma kąt prosty przy wierzchołku \(C\), przyprostokątne mają długości \(|AC|=8\) i \(|BC|=6\), kąt \(\alpha\) leży przy wierzchołku \(A\), a kąt \(\beta\) przy wierzchołku \(B\). Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy przeciwprostokątną: \[|AB|=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10.\] Wartości funkcji trygonometrycznych obu kątów ostrych obliczamy z definicji w trójkącie prostokątnym: \[\cos\alpha=\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{8}{10}=\frac45,\qquad\sin\alpha=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{6}{10}=\frac35,\qquad\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac43,\] \[\sin\beta=\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{8}{10}=\frac45,\qquad\operatorname{tg}\beta=\frac{|AC|}{|BC|}=\frac86=\frac43.\] Ostatni składnik upraszczamy jedynką trygonometryczną. Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, to \(\sin\alpha>0\), więc \[\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{\sin^2\alpha}=\sin\alpha=\frac35.\] Podstawiamy obliczone wartości: \[\operatorname{tg}^2\beta-5\sin\beta\cdot\operatorname{ctg}\alpha+\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\left(\frac43\right)^2-5\cdot\frac45\cdot\frac43+\frac35=\frac{16}{9}-\frac{16}{3}+\frac35.\] Sprowadzamy do wspólnego mianownika \(45\): \[\frac{80}{45}-\frac{240}{45}+\frac{27}{45}=-\frac{133}{45}.\] **Odpowiedź.** Wartość wyrażenia jest równa \(-\frac{133}{45}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 3.** (\(4\) pkt) Korzystając z danych przedstawionych na rysunku, oblicz wartość wyrażenia: \(\operatorname{tg}^{2}\beta-5\sin\beta\cdot\operatorname{ctg}\alpha+\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}\). […] Stosuję twierdzenia Pitagorasa do obliczenia przeciwprostokątnej trójkąta \(ABC\): \(AB=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{100}=10\). Obliczam wartości funkcji trygonometrycznych kąta \(\alpha\): \(\cos\alpha=\frac{4}{5}\), \(\operatorname{ctg}\alpha=\frac{4}{3}\). Obliczam wartości funkcji trygonometrycznych kąta \(\beta\): \(\sin\beta=\frac{4}{5}\), \(\operatorname{tg}\beta=\frac{4}{3}\). Obliczam wartość wyrażenia \(\operatorname{tg}^{2}\beta-5\sin\beta\cdot\operatorname{ctg}\alpha+\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}\): \(\left(\frac{4}{3}\right)^{2}-5\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{3}+\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^{2}}=-\frac{133}{45}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Podjazd ma długość około \(980\ \mathrm{cm}\), czyli \(9{,}8\ \mathrm{m}\).

Podjazd musi pokonać tę samą różnicę wysokości co schody: \[H=8\cdot15\ \mathrm{cm}=120\ \mathrm{cm}.\] Podjazd, jego rzut poziomy i wysokość \(H\) tworzą trójkąt prostokątny, w którym podjazd jest przeciwprostokątną, a kąt nachylenia \(7^\circ\) leży naprzeciw przyprostokątnej \(H\). Zatem \[\sin 7^\circ=\frac{H}{\ell},\qquad \ell=\frac{120}{\sin 7^\circ}.\] Ponieważ \(\sin 7^\circ\approx0{,}1219\), otrzymujemy \[\ell\approx\frac{120}{0{,}1219}\approx984{,}4\ \mathrm{cm}.\] Po zaokrągleniu do \(10\ \mathrm{cm}\) długość podjazdu wynosi \(980\ \mathrm{cm}\). **Odpowiedź.** Podjazd ma długość około \(980\ \mathrm{cm}\), czyli \(9{,}8\ \mathrm{m}\).

**1. (1 pkt)** – wykonanie rysunku lub wprowadzenie oznaczeń. Jeżeli uczeń nie wykona rysunku, ale wprowadzi czytelne oznaczenia, przyznajemy punkt. **2. (1 pkt)** – obliczenie długości odcinka \(BC\). Odp. \(120\) cm. **3. (1 pkt)** – odczytanie z tablic wartości sinusa kąta o mierze \(7^\circ\). Odp. \(\sin 7^\circ=0{,}1219\) **4. (2 pkt)** – obliczenie przybliżonej długości podjazdu i podanie odpowiedzi. Odp. \(980\) cm. Za zapisanie zależności \(\sin\angle CAB=\frac{\lvert BC\rvert}{\lvert AC\rvert}\) – \(1\) punkt. Za wyznaczenie długości odcinka \(AB\) bez wskazanego zaokrąglenia przyznajemy w sumie \(4\) pkt. Przyjęcie innej wartości (poprawnego przybliżenia) sinusa nie może stanowić przesłanki do odjęcia punktu.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.