Figury w układzie współrzędnych — pole wielokąta o danych wierzchołkach

**a)** \(\displaystyle P(a)=\frac{-a^{2}+4a-4}{2a}\) dla \(a<0\). **b)** Prosta \(AB\) ma równanie \(y=-2x+4\).

Prosta \(AB\) przechodząca przez \(K=(1,2)\) ma równanie \(y=a(x-1)+2\). Jej przecięcia z osiami to \[A=\left(\frac{a-2}{a},0\right),\qquad B=(0,2-a).\] Dla \(a<0\) pole trójkąta wynosi \[P(a)=\frac{1}{2}\cdot\frac{a-2}{a}\cdot(2-a)=\frac{-a^{2}+4a-4}{2a}.\] Ponieważ \(P'(a)=-\frac{1}{2}+\frac{2}{a^{2}}\), minimum w przedziale \(( -\infty,0)\) występuje dla \(a=-2\). Prosta przechodząca przez \(K\) ma wtedy równanie \(y-2=-2(x-1)\), czyli \(y=-2x+4\).

**Część a)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie pierwszej współrzędnej \(x_A\) punktu \(A\) oraz drugiej współrzędnej \(y_B\) punktu \(B\) w zależności od współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\): \(x_A=\frac{a-2}{a}\) oraz \(y_B=2-a\). **2 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania. **Część b)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(P\), np. \(P'(a)=\frac{(-2a+4)\cdot 2a-(-a^{2}+4a-4)\cdot 2}{(2a)^{2}}\) ALBO zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb \(\left(-\frac{a}{2}\right)\) oraz \(\left(-\frac{2}{a}\right)\): \(\frac{\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)}{2}\geq\sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)\cdot\left(-\frac{2}{a}\right)}\). **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(P\): \(a=-2\) ALBO obliczenie wartości \(a\), dla której zachodzi równość średniej arytmetycznej i geometrycznej liczb dodatnich \(\left(-\frac{a}{2}\right)\) oraz \(\left(-\frac{2}{a}\right)\): \(a=-2\), ALBO przekształcenie nierówności \(\frac{\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)}{2}\geq\sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)\cdot\left(-\frac{2}{a}\right)}\) do postaci \(\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)+2\geq 4\). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(a=-2\) ALBO przekształcenie nierówności \(\frac{\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)}{2}\geq\sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)\cdot\left(-\frac{2}{a}\right)}\) do postaci \(\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)+2\geq 4\) oraz zapisanie, że równość zachodzi tylko wtedy, gdy liczby dodatnie \(\left(-\frac{a}{2}\right)\) oraz \(\left(-\frac{2}{a}\right)\) są równe. **4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(a=-2\) oraz wyznaczenie równania prostej zawierającej przeciwprostokątną \(AB\) tego z trójkątów, który ma najmniejsze pole, np. \(y=-2x+4\). Uwagi do części b): 1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji \((-a^{2}+4a-4)\) oraz \(2a\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale \((-\infty,0)\) co najmniej jedno miejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce/a zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji \(P\), za wyznaczenie równania prostej \(AB\) tego z trójkątów, który ma najmniejsze pole). Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji \((-a^{2}+4a-4)\) lub \(2a\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale \((-\infty,0)\) co najmniej jedno miejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji \(P\) oraz za wyznaczenie równania prostej \(AB\) tego z trójkątów, który ma najmniejsze pole). 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(a\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: – opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(P\) LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość, LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji, LUB – wyznaczy drugą pochodną funkcji \(P\) i dla wyznaczonej wartości \(a\) obliczy wartość tej drugiej pochodnej oraz zapisze, że funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „−”) znak pochodnej. 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej, 1 punkt za wyznaczenie równania prostej \(AB\), dla której pole trójkąta \(ABC\) jest najmniejsze). 5. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 11.6R) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

\[A=(4,11),\qquad B=(16,17),\qquad C=(18,25).\]

Wierzchołek \(A\) jest wspólnym punktem prostych zawierających boki \(AB\) i \(AD\), więc \[\frac12x+9=4x-5\quad\Longrightarrow\quad \frac72x=14\quad\Longrightarrow\quad x=4,\qquad y=11,\] czyli \(A=(4,11)\). Punkt \(K=(10,14)\) jest środkiem odcinka \(AB\), zatem \[B=(2\cdot10-4,\ 2\cdot14-11)=(16,17).\] W równoległoboku \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), a \(\overrightarrow{AB}=[12,6]\), więc \[C=D+[12,6]=(6+12,\ 19+6)=(18,25).\] **Odpowiedź.** \(A=(4,11)\), \(B=(16,17)\), \(C=(18,25)\)

1 pkt: obliczenie A = (4, 11) albo inny wskazany w kluczu istotny etap. 2 pkt: obliczenie B = (16, 17) albo równoważne wyznaczenie danych pozwalających znaleźć S. 3 pkt: poprawna metoda i wynik S = (11, 18).

IV. Rozumowanie i argumentacja. IX.1) oraz SP X.4) Zdający znajduje punkt przecięcia prostych i współrzędne środka oraz drugiego końca odcinka.

Punkt \(A\) jest punktem przecięcia prostych \(y=\frac{1}{2}x+9\) i \(y=4x-5\), więc \(A=(4,11)\). Ponieważ \(K=(10,14)\) jest środkiem odcinka \(AB\), mamy \(B=(16,17)\). Punkt \(S\) jest środkiem przekątnej \(BD\), zatem \(S=(11,18)\). Szukana odległość jest równa \(\sqrt{11^{2}+18^{2}}=\sqrt{445}\).

**Krok \(1\).** pkt: obliczenie A = (\(4\), \(11\)) albo równoważny istotny etap wskazany w kluczu. **Krok \(2\).** pkt: obliczenie B = (\(16\), \(17\)) albo równoważne dane prowadzące do S. **Krok \(3\).** pkt: obliczenie S = (\(11\), \(18\)). **Krok \(4\).** pkt: obliczenie odległości √\(445\). **Odpowiedź.** Punkt \(A\) jest punktem przecięcia prostych \(y=\frac{1}{2}x+9\) i \(y=4x-5\), więc \(A=(4,11)\). Ponieważ \(K=(10,14)\) jest środkiem odcinka \(AB\), mamy \(B=(16,17)\). Punkt \(S\) jest środkiem przekątnej \(BD\), zatem \(S=(11,18)\). Szukana odległość jest równa \(\sqrt{11^{2}+18^{2}}=\sqrt{445}\).

1 pkt: obliczenie A = (4, 11) albo równoważny istotny etap wskazany w kluczu. 2 pkt: obliczenie B = (16, 17) albo równoważne dane prowadzące do S. 3 pkt: obliczenie S = (11, 18). 4 pkt: obliczenie odległości √445.

1 pkt – zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna wierzchołka \(A\), np. \(\frac{1}{2}x+9=4x-5\).

**B.** \(5\)

Punkty \(A=(0,-3)\) i \(C=(0,2)\) mają tę samą pierwszą współrzędną, więc bok \(AC\) leży na osi \(Oy\) i ma długość \(|AC|=2-(-3)=5\). Odległość punktu \(B=(2,1)\) od osi \(Oy\) jest równa \(2\), więc jest to wysokość trójkąta opuszczona na bok \(AC\). Stąd \[P_{ABC}=\frac12\cdot5\cdot2=5.\] **Odpowiedź.** \(P_{ABC}=5\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.

\[P=\frac{45}2,\qquad a=-2,\qquad b=\frac{17}2.\]

Odcinek \(AC\) jest przekątną kwadratu: \[|AC|^{2}=(6-0)^{2}+(4-1)^{2}=45.\] Pole kwadratu o przekątnej \(d\) jest równe \(\frac{d^{2}}2\), więc \[P=\frac{45}2.\] Przekątne kwadratu są prostopadłe i przecinają się w swoich środkach. Środek \(AC\) to \(S=\left(3,\frac52\right)\), a współczynnik kierunkowy \(AC\) wynosi \(\frac{4-1}{6-0}=\frac12\), więc prosta \(BD\) ma współczynnik \(a=-2\) i przechodzi przez \(S\): \[\frac52=-2\cdot3+b\quad\Longrightarrow\quad b=\frac{17}2.\] **Odpowiedź.** \(P=\frac{45}2\), \(a=-2\), \(b=\frac{17}2\)

**Część I** **1 pkt** – \(\lvert AC\rvert=\sqrt{45}\). **2 pkt** – pole \(\tfrac{45}{2}\). **Część II** **1 pkt** – \(S=\left(3,\tfrac{5}{2}\right)\), współczynnik \(AC\) równy \(\tfrac{1}{2}\) albo równoważny etap. **2 pkt** – współczynnik \(a=-2\) albo równanie ogólne prostej. **3 pkt** – \(a=-2\) i \(b=\tfrac{17}{2}\). Łącznie maksymalnie 5 pkt.

Wymaganie ogólne: IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymaganie szczegółowe: 8.1) Wyznacza równanie prostej przez dwa punkty; 8.3) wyznacza prostą prostopadłą; 8.6) oblicza odległość punktów.

\[B=(4,2).\]

Punkt \(A\) jest przecięciem prostych \(y=x-2\) i \(y=3x-6\), więc \(A=(2,0)\). Punkt \(S\) jest środkiem przekątnej \(AC\), zatem \[C=2S-A=(11,17)-(2,0)=(9,17).\] Prosta \(BC\) jest równoległa do \(AD\), więc ma współczynnik kierunkowy \(3\) i przechodzi przez \(C\): \[y-17=3(x-9),\qquad y=3x-10.\] Punkt \(B\) leży również na \(AB:y=x-2\). Rozwiązując \(x-2=3x-10\), otrzymujemy \(x=4\), \(y=2\).

**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(B=(4,2)\) **3 pkt** – wyznaczenie \(BC:y=3x-10\) albo równoważna metoda ze środkiem boku **2 pkt** – obliczenie \(C=(9,17)\) albo równoważny istotny etap **1 pkt** – obliczenie \(A=(2,0)\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie strategii. **Wymagania szczegółowe:** IX.1) Zdający znajduje punkt wspólny prostych. IX.2) Posługuje się równaniami prostych i równoległością.

\[|BC|=2\sqrt{13}.\]

Punkty \(A\) i \(B\) spełniają układ \[\begin{cases}y=x^2-2x-8,\\3x+y+2=0.\end{cases}\] Po podstawieniu otrzymujemy \(x^2+x-6=0\), więc, zgodnie z oznaczeniami w zadaniu, \[A=(-3,7),\qquad B=(2,-8).\] Niech \(C=(c,-\frac12c+1)\), gdzie \(c>0\). Z warunku odległości od prostej \(3x+y+2=0\): \[\frac{|3c+(-\frac12c+1)+2|}{\sqrt{10}}=\frac{9\sqrt{10}}5.\] Stąd \(|2,5c+3|=18\), zatem \(c=6\) albo \(c=-\frac{42}{5}\). Warunek \(c>0\) daje \(C=(6,-2)\). Wobec tego \[|BC|=\sqrt{(6-2)^2+(-2+8)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.\]

Rozwiązanie składa się z trzech etapów. **Etap 1: 2 pkt** – obliczenie \(A=(-3,7)\) i \(B=(2,-8)\) **1 pkt** – zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą **Etap 2: 3 pkt** – obliczenie \(C=(6,-2)\) **2 pkt** – zapisanie poprawnego równania odległości z jedną niewiadomą **1 pkt** – uzależnienie jednej współrzędnej punktu \(C\) od drugiej **Etap 3: 1 pkt** – obliczenie \(|BC|=2\sqrt{13}\) **Na każdym etapie: 0 pkt** – oznacza niepoprawną metodę albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8. R1) Zdający oblicza odległość punktu od prostej.

\[P(x)=\frac{21}{4}\cdot\frac{x^2-56}{x-8},\qquad x\in(0,7).\]

Najpierw wyznaczamy punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami. Dla osi \(Ox\): \[\frac{12x-84}{x-8}=0,\qquad 12x-84=0,\qquad x=7,\] zatem \(B=(7,0)\). Dla osi \(Oy\): \[f(0)=\frac{12\cdot0-84}{0-8}=\frac{21}{2},\] zatem \(D=\left(0,\frac{21}{2}\right)\). Ponieważ punkt \(C\) leży na wykresie funkcji \(f\) i ma obie współrzędne dodatnie, możemy zapisać \[C=\left(x,\frac{12x-84}{x-8}\right),\qquad 0<x<7.\] Pole czworokąta \(OBCD\) jest sumą pól trójkątów \(OCD\) i \(OBC\): \[P=P_{OCD}+P_{OBC}=\frac12\cdot\frac{21}{2}\cdot x+\frac12\cdot7\cdot\frac{12x-84}{x-8}.\] Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika: \[P(x)=\frac{21}{4}\cdot\frac{x(x-8)+8x-56}{x-8}=\frac{21}{4}\cdot\frac{x^2-56}{x-8}.\] To należało wykazać.

**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania **1 pkt** – obliczenie współrzędnych punktów \(B\) i \(D\) oraz zapisanie drugiej współrzędnej punktu \(C\) w zależności od \(x\): \(B=(7,0)\), \(D=(0,\frac{21}{2})\), \(C=(x,\frac{12x-84}{x-8})\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** V.3) Zdający odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie.

\[|BC|=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.\]

Punkt \(P\) jest środkiem przekątnej \(AC\). Jeżeli \(C=(x_C,y_C)\), to \[\frac{-2+x_C}{2}=6,\qquad\frac{6+y_C}{2}=7.\] Stąd \(x_C=14\) i \(y_C=8\), więc \(C=(14,8)\). Zatem \[|BC|=\sqrt{(14-10)^2+(8-2)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.\]

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie długości boku \(BC\): \(|BC|=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\) **1 pkt** – zapisanie współrzędnych punktu \(C=(14,8)\) lub wykonanie innego równoważnego istotnego kroku wskazanego w kluczu CKE **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.

\[B=(6,2),\qquad |BS|=\sqrt{90}=3\sqrt{10}.\]

Punkt \(A\) jest punktem wspólnym prostych zawierających boki \(AB\) i \(AD\). Rozwiązujemy \[\frac12x-1=2x-4,\] skąd \(x=2\) i \(y=0\), więc \(A=(2,0)\). Punkt \(S\) jest środkiem przekątnej \(AC\). Dla \(C=(x_C,y_C)\) mamy \[\frac{2+x_C}{2}=9,\qquad\frac{0+y_C}{2}=11,\] więc \(C=(16,22)\). Prosta \(BC\) jest równoległa do \(AD\), ma zatem współczynnik kierunkowy \(2\) i przechodzi przez \(C\): \[y-22=2(x-16),\qquad y=2x-10.\] Punkt \(B\) jest przecięciem prostych \(AB\) i \(BC\): \[\frac12x-1=2x-10.\] Stąd \(x=6\), \(y=2\), czyli \(B=(6,2)\). Na koniec \[|BS|=\sqrt{(9-6)^2+(11-2)^2}=\sqrt{9+81}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}.\]

**5 pkt** – poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu \(B\) i długości \(BS\) oraz wyniki \(B=(6,2)\), \(|BS|=\sqrt{90}\) **4 pkt** – obliczenie \(B=(6,2)\) albo obliczenie równoważnego punktu przeciwległego i odpowiedniej długości **3 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(BC:y=2x-10\), obliczenie \(C=(16,22)\) albo wykonanie równoważnego etapu wskazanego w kluczu CKE **2 pkt** – obliczenie \(C=(16,22)\), środka odpowiedniego boku albo zapisanie poprawnego układu zależności pozwalającego wyznaczyć współrzędne **1 pkt** – obliczenie \(A=(2,0)\), wyznaczenie jednej potrzebnej prostej lub zapisanie poprawnej zależności wynikającej z własności środka przekątnej **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8.3) Zdający wyznacza równanie prostej równoległej do danej prostej w postaci kierunkowej i przechodzącej przez dany punkt. 8.4) Zdający oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych. 8.5) Zdający wyznacza współrzędne środka odcinka. 8.6) Zdający oblicza odległość dwóch punktów.

**B.** \(a=\frac43\) oraz \(b=-14\)

Symetria osiowa względem osi \(Ox\) zachowuje pierwszą współrzędną i zmienia znak drugiej. Zatem \[3a-1=3,\qquad -(b+7)=7.\] Stąd \[a=\frac43,\qquad b=-14.\]

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Element podstawy programowej:** geometria analityczna; zdający posługuje się współrzędnymi punktów i opisuje symetrię osiową względem osi układu współrzędnych.

**C.** \(40\)

Punkty \(A\) i \(C\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu, więc odcinek \(AC\) jest jego przekątną: \[d=|AC|=\sqrt{(3-(-1))^{2}+(-3-5)^{2}}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}.\] Pole kwadratu o przekątnej \(d\) jest równe \(\frac{d^{2}}2\): \[P=\frac{80}2=40.\] **Odpowiedź.** \(P=40\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.

\(A=\left(\frac72,2\right)\), \(P=\frac{225}{4}\)

Oś symetrii trapezu jest prostopadła do jego podstaw. Jej współczynnik kierunkowy wynosi \(-\frac43\), więc prosta \(AB\) ma współczynnik \(\frac34\). Ponieważ przechodzi przez \(B=\left(\frac{23}{2},8\right)\), jej równanie ma postać \[y=\frac34x-\frac58.\] Punkt \(E\), w którym \(AB\) przecina oś symetrii, jest środkiem odcinka \(AB\). Rozwiązujemy układ \[y=-\frac43x+15,\qquad y=\frac34x-\frac58,\] i otrzymujemy \[E=\left(\frac{15}{2},5\right).\] Ponieważ \(E\) jest środkiem \(AB\), \[A=2E-B=\left(15,10\right)-\left(\frac{23}{2},8\right)=\left(\frac72,2\right).\] Długości potrzebne do pola są równe \[|AB|=2|EB|=2\sqrt{\left(\frac{23}{2}-\frac{15}{2}\right)^2+(8-5)^2}=10,\] \[h=|EF|=\sqrt{\left(3-\frac{15}{2}\right)^2+(11-5)^2}=\frac{15}{2}.\] Zatem \[P=\frac{|AB|+|CD|}{2}\cdot h=\frac{10+5}{2}\cdot\frac{15}{2}=\frac{225}{4}.\]

**5 pkt** – poprawne wyznaczenie \(A=\left(\frac72,2\right)\) oraz pola \(P=\frac{225}{4}\) **Pierwszy etap, do: 3 pkt** – 1 pkt za współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) równy \(\frac34\); 2 pkt za \(E=\left(\frac{15}{2},5\right)\); 3 pkt za \(A=\left(\frac72,2\right)\) **Drugi etap, do: 2 pkt** – 1 pkt za obliczenie \(|AB|=10\), \(|EB|=5\) albo \(h=\frac{15}{2}\); 2 pkt za pole \(P=\frac{225}{4}\)

**Element podstawy programowej:** geometria analityczna i planimetria; zdający wykorzystuje prostopadłość prostych, współrzędne środka odcinka, wzór na odległość punktów i wzór na pole trapezu.

**D.** \(18\sqrt3\)

Długość boku trójkąta równobocznego wynosi \[|KL|=\sqrt{(-1+7)^2+(4+2)^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt2.\] Pole trójkąta równobocznego jest równe \[P=\frac{|KL|^2\sqrt3}{4}=\frac{(6\sqrt2)^2\sqrt3}{4}=18\sqrt3.\]

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; dobieranie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** IX.3 obliczanie odległości dwóch punktów w układzie współrzędnych.

\[d(C,k)=\frac9{\sqrt2}=\frac{9\sqrt2}{2},\qquad P_{ABC}=54.\]

Z równania prostej \(k\) mamy \(y=-x+9\). Podstawiamy do równania paraboli: \[-x+9=\frac14x^2-\frac32x+\frac14,\] \[x^2-2x-35=0.\] Stąd \(x=-5\) lub \(x=7\), więc zgodnie z opisem \[A=(7,2),\qquad B=(-5,14).\] Współczynnik kierunkowy prostych \(k\) i \(l\) wynosi \(-1\). Dla funkcji paraboli \[y'=\frac12x-\frac32.\] W punkcie styczności \(C\) pochodna jest równa \(-1\), zatem \[\frac12x_C-\frac32=-1,\qquad x_C=1.\] Po podstawieniu do równania paraboli otrzymujemy \(C=(1,-1)\). Odległość punktu \(C\) od prostej \(k\) wynosi \[d(C,k)=\frac{|1-1-9|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac9{\sqrt2}.\] Długość podstawy \(AB\): \[|AB|=\sqrt{(-5-7)^2+(14-2)^2}=12\sqrt2.\] Zatem \[P_{ABC}=\frac12|AB|\cdot d(C,k)=\frac12\cdot12\sqrt2\cdot\frac9{\sqrt2}=54.\]

**6 pkt** – poprawna odległość \(\frac9{\sqrt2}\) i pole \(54\) **5 pkt** – poprawne pole albo odległość wraz ze współrzędnymi punktów \(A\) i \(B\) **4 pkt** – obliczenie współrzędnych \(A\), \(B\), \(C\) albo odległości i poprawny układ dla punktów przecięcia **3 pkt** – współrzędne \(A\), \(B\) i pochodna, albo punkt \(C\) oraz układ równań, albo sama poprawna odległość **2 pkt** – współrzędne \(A\), \(B\) albo punkt \(C\), albo układ równań i pochodna **1 pkt** – poprawny układ równań dla punktów \(A,B\) albo pochodna paraboli **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** IX.R1 i IX.R3 posługiwanie się równaniem prostej w postaci ogólnej oraz znajdowanie punktów wspólnych prostej i paraboli.

Możliwe są cztery pary: \[C=(4,3),\quad B=(-1,-2)\quad\text{lub}\quad B=(9,8),\] \[C=(-4,-5),\quad B=(1,0)\quad\text{lub}\quad B=(-9,-10).\]

Prosta zawierająca bok \(BC\) ma postać \(x-y-1=0\). Odległość punktu \(A=(-3,2)\) od tej prostej wynosi \[d=\frac{|-3-2-1|}{\sqrt2}=3\sqrt2.\] Ze wzoru na pole \[15=\frac12|BC|\cdot3\sqrt2,\] więc \(|BC|=5\sqrt2\). Ponieważ \(|AC|=|BC|\), punkt \(C=(t,t-1)\) spełnia \[(t+3)^2+(t-3)^2=50.\] Stąd \(t^2=16\), zatem \[C=(4,3)\quad\text{lub}\quad C=(-4,-5).\] Wektor kierunkowy prostej ma postać \((1,1)\), a wektor długości \(5\sqrt2\) równoległy do niej to \((5,5)\) albo \((-5,-5)\). Dodając te wektory do każdego położenia punktu \(C\), otrzymujemy cztery pary podane w odpowiedzi.

**6 pkt** – poprawne wyznaczenie wszystkich czterech par punktów \(B\) i \(C\) **5 pkt** – poprawna metoda i trzy z czterech konfiguracji albo drobna usterka rachunkowa **4 pkt** – wyznaczenie obu punktów \(C\) i poprawnej metody wyznaczenia \(B\) **3 pkt** – wyznaczenie \(|BC|=5\sqrt2\) oraz równania dla punktu \(C\) **2 pkt** – obliczenie odległości punktu \(A\) od prostej i długości \(BC\) **1 pkt** – poprawny istotny krok geometryczny lub analityczny **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** P8.3, P8.6, R8.1 i R8.4 równania prostych, odległość punktów i punktu od prostej oraz współrzędne i długości wektorów.

**C.** \(6\sqrt5\)

W równoległoboku \(D=A+C-B\), więc \[D=(-6,5)+(10,-3)-(5,7)=(-1,-5).\] Zatem \[|BD|=\sqrt{(-1-5)^2+(-5-7)^2}=\sqrt{36+144}=6\sqrt5.\]

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VIII.3 obliczanie współrzędnych punktów i długości odcinków w układzie współrzędnych.

**D.** \(30\)

Punkty \(C=(-3,1)\) i \(D=(2,1)\) mają tę samą drugą współrzędną, więc bok \(CD\) jest poziomy i \[|CD|=2-(-3)=5.\] Boki \(CD\) i \(AD\) prostokąta są prostopadłe, więc pole wynosi \[P=|CD|\cdot|AD|=5\cdot6=30.\] **Odpowiedź.** \(P=30\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 23. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

\[A=\left(\frac{33}{5},\frac{14}{5}\right),\qquad P_{ABC}=\frac{153}{5}.\]

W trójkącie równoramiennym wysokość z wierzchołka \(C\) na podstawę \(AB\) jest również środkową. Prosta \(AB\) ma współczynnik kierunkowy \(-2\), więc prostopadła do niej wysokość \(CD\) ma współczynnik \(1/2\). Ponieważ przechodzi przez \(C=(-2,3)\), ma równanie \[y=\frac12x+4.\] Punkt \(D\) jest przecięciem prostych \[y=-2x+16\qquad\text{i}\qquad y=\frac12x+4.\] Stąd \[D=\left(\frac{24}{5},\frac{32}{5}\right).\] Ponieważ \(D\) jest środkiem odcinka \(AB\), a \(B=(3,10)\), mamy \[\frac{x_A+3}{2}=\frac{24}{5},\qquad \frac{y_A+10}{2}=\frac{32}{5}.\] Zatem \[A=\left(\frac{33}{5},\frac{14}{5}\right).\] Długości podstawy i wysokości wynoszą \[|AB|=\frac{18\sqrt5}{5},\qquad |CD|=\frac{17\sqrt5}{5}.\] Pole trójkąta jest więc równe \[P_{ABC}=\frac12\cdot\frac{18\sqrt5}{5}\cdot\frac{17\sqrt5}{5}=\frac{153}{5}.\]

**5 pkt** – współrzędne \(A=(33/5,14/5)\) i pole \(153/5\) **4 pkt** – obliczenie \(|AB|=18\sqrt5/5\) oraz \(|CD|=17\sqrt5/5\) **3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(A\) **2 pkt** – obliczenie środka podstawy \(D=(24/5,32/5)\) albo zapisanie równoważnego równania wynikającego z równoramienności **1 pkt** – wyznaczenie prostej wysokości \(y=\frac12x+4\), obliczenie \(|BC|=\sqrt{74}\) albo współczynnika kierunkowego prostej \(BC\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** wyznaczanie równań prostych prostopadłych, punktu przecięcia prostych, środka odcinka, długości odcinków i pola trójkąta w układzie współrzędnych.

**a)** \(P(m)=\frac{1}{2}\left\lvert m^{2}-m-2\right\rvert\) dla \(m\in\mathbb{R}\setminus\{-1,2\}\). **b)** Trójkąt \(ABC\) jest ostrokątny dla \(m\in\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{2},-2\right)\cup\left(1,\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right)\). Pole wynika z odległości punktu \(C=\left(m,m^{2}\right)\) od prostej \(AB\colon y=x+2\), a ostrokątność — z warunku, że iloczyn skalarny wektorów wychodzących z każdego wierzchołka jest dodatni.

**Krok \(1\).** Metoda w podpunkcie **a)**: pole liczymy ze wzoru \(P=\frac{1}{2}\lvert AB\rvert\cdot h\), gdzie \(h\) jest odległością wierzchołka \(C\) od prostej \(AB\). Współrzędne \(C\) zapisujemy w zależności od \(m\). **Krok \(2\).** Punkt \(C\) leży na paraboli \(y=x^{2}\), a jego pierwszą współrzędną jest \(m\), więc \(C=\left(m,\ m^{2}\right)\). **Krok \(3\).** Wyznaczamy prostą \(AB\) i długość odcinka \(AB\). Dla \(A=(0,2)\) i \(B=(1,3)\) współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac{3-2}{1-0}=1\), więc \[AB\colon y=x+2,\qquad\text{czyli}\qquad x-y+2=0,\] \[\lvert AB\rvert=\sqrt{(1-0)^{2}+(3-2)^{2}}=\sqrt2.\] **Krok \(4\).** Obliczamy wysokość opuszczoną z \(C\): \[h=\frac{\lvert m-m^{2}+2\rvert}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\lvert m-m^{2}+2\rvert}{\sqrt2}.\] **Krok \(5\).** Zapisujemy pole: \[P(m)=\frac{1}{2}\cdot\sqrt2\cdot\frac{\lvert m-m^{2}+2\rvert}{\sqrt2}=\frac{1}{2}\left\lvert m^{2}-m-2\right\rvert=\frac{1}{2}\left\lvert (m+1)(m-2)\right\rvert.\] Dziedziną jest zbiór \(\mathbb{R}\setminus\{-1,2\}\): dla \(m=-1\) i \(m=2\) punkt \(C\) leży na prostej \(AB\) i trójkąt nie istnieje. **Krok \(6\).** Metoda w podpunkcie **b)**: trójkąt jest ostrokątny dokładnie wtedy, gdy wszystkie trzy kąty wewnętrzne są ostre, a kąt między wektorami jest ostry dokładnie wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest dodatni. Sprawdzamy więc trzy warunki. **Krok \(7\).** Kąt przy wierzchołku \(A\). Mamy \(\overrightarrow{AB}=[1,1]\) oraz \(\overrightarrow{AC}=\left[m,\ m^{2}-2\right]\), więc \[\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}=m+m^{2}-2=(m+2)(m-1)\gt 0\iff m\lt -2\ \text{lub}\ m\gt 1.\] **Krok \(8\).** Kąt przy wierzchołku \(B\). Mamy \(\overrightarrow{BA}=[-1,-1]\) oraz \(\overrightarrow{BC}=\left[m-1,\ m^{2}-3\right]\), więc \[\overrightarrow{BA}\circ\overrightarrow{BC}=-(m-1)-\left(m^{2}-3\right)=-m^{2}-m+4\gt 0\iff m^{2}+m-4\lt 0.\] Ponieważ \(\Delta=1+16=17\), otrzymujemy \[m\in\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{2},\ \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right).\] **Krok \(9\).** Kąt przy wierzchołku \(C\). Mamy \(\overrightarrow{CA}=\left[-m,\ 2-m^{2}\right]\) oraz \(\overrightarrow{CB}=\left[1-m,\ 3-m^{2}\right]\), więc \[\overrightarrow{CA}\circ\overrightarrow{CB}=m^{4}-4m^{2}-m+6=\left(m^{2}-2\right)^{2}+(2-m).\] **Krok \(10\).** Pokazujemy, że to wyrażenie jest dodatnie dla każdego \(m\). Jeżeli \(m\leqslant 2\), to \(2-m\geqslant 0\) i \(\left(m^{2}-2\right)^{2}\geqslant 0\), przy czym oba składniki nie mogą zerować się jednocześnie (dla \(m=2\) pierwszy składnik jest równy \(4\)). Jeżeli \(m\gt 2\), to \((m-2)(m+1)\gt 0\), czyli \(m^{2}-2\gt m\gt 2\), a stąd \(\left(m^{2}-2\right)^{2}\gt m^{2}\gt m-2\). W obu przypadkach suma jest dodatnia, więc kąt przy \(C\) jest ostry zawsze. **Krok \(11\).** Wyznaczamy część wspólną warunków z kroków \(7\)–\(9\) (warunek z kroku \(9\) nic nie odrzuca): \[m\in\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{2},\ -2\right)\cup\left(1,\ \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right).\] Wartości \(m=-1\) i \(m=2\) i tak do tego zbioru nie należą. **Uwaga.** Ostrokątność wymaga sprawdzenia wszystkich trzech kątów. Kąt przy \(C\) okazuje się zawsze ostry, ale to trzeba uzasadnić — bez tego dowód jest niepełny. **Odpowiedź.** **a)** \(P(m)=\frac{1}{2}\left\lvert m^{2}-m-2\right\rvert\) dla \(m\in\mathbb{R}\setminus\{-1,2\}\). **b)** Trójkąt \(ABC\) jest ostrokątny dokładnie dla \(m\in\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{2},-2\right)\cup\left(1,\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right)\).

**Zasady oceniania dla podpunktu a)** **1 pkt** – gdy zapisze współrzędne punktu \(C\) w zależności od zmiennej \(m\): \(C=(m,\,m^{2})\). **2 pkt** – gdy: • wyznaczy wysokość \(h_{C}\) trójkąta \(ABC\) opuszczoną z wierzchołka \(C\) w zależności od \(m\): \(h_{C}=\frac{\lvert m-m^{2}+2\rvert}{\sqrt{2}}\) ALBO • wyznaczy współrzędne dwóch wektorów zaczepionych w jednym z wierzchołków trójkąta \(ABC\), rozpinających trójkąt \(ABC\), np. \(\overrightarrow{AC}=[m,\,m^{2}-2]\), \(\overrightarrow{AB}=[1,\,1]\) ALBO • wyznaczy długości odcinków \(AC\) i \(BC\) w zależności od zmiennej \(m\) oraz wyznaczy długość odcinka \(AB\): \(\lvert AC\rvert=\sqrt{m^{2}+(m^{2}-2)^{2}}\), \(\lvert BC\rvert=\sqrt{(m-1)^{2}+(m^{2}-3)^{2}}\), \(\lvert AB\rvert=\sqrt{2}\) **3 pkt** – gdy zastosuje poprawną metodę i zapisze wzór na pole trójkąta \(ABC\) w zależności od zmiennej \(m\): \(P(m)=\frac{1}{2}\cdot\lvert m^{2}-m-2\rvert\) dla \(m\ne -1\) i \(m\ne 2\). **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający wyznaczy poprawny wzór funkcji \(P(m)\), lecz nie poda dziedziny tej funkcji, to może za rozwiązanie podpunktu a) otrzymać \(3\) punkty. 2. Jeżeli zdający przyjmuje \(C=(x,\,x^{2})\), konsekwentnie rozwiązuje podpunkt a) zadania do końca, otrzymując \(P(x)=\frac{1}{2}\cdot\lvert x^{2}-x-2\rvert\), to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty. **Zasady oceniania dla podpunktu b)** **1 pkt** – gdy: • zauważy, że trójkąt ten jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy punkt \(C\) leży na jednym z fragmentów \(M_{1}M_{2}\) lub \(N_{1}N_{2}\) paraboli ALBO • zapisze równania prostych prostopadłych do prostej \(AB\) przechodzących przez punkt \(A\) i \(B\) ALBO • zapisze, że w każdym z rozpatrywanych trójkątów \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(C\) jest ostry i zapisze warunki na to, żeby kąty przy wierzchołkach \(A\) i \(B\) były ostre ALBO • zapisze warunki na to, aby kąty przy wierzchołkach \(A\), \(B\) i \(C\) były ostre, np.: \(\cos\lvert\measuredangle CAB\rvert>0\) oraz \(\cos\lvert\measuredangle ABC\rvert>0\) oraz \(\cos\lvert\measuredangle ACB\rvert>0\) lub \(\cos\lvert\measuredangle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\rvert>0\) oraz \(\cos\lvert\measuredangle(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})\rvert>0\) oraz \(\cos\lvert\measuredangle(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})\rvert>0\) lub \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}>0\) oraz \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}>0\) oraz \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}>0\) lub \(\lvert AB\rvert^{2}+\lvert BC\rvert^{2}>\lvert CA\rvert^{2}\), \(\lvert BC\rvert^{2}+\lvert CA\rvert^{2}>\lvert AB\rvert^{2}\), \(\lvert AC\rvert^{2}+\lvert AB\rvert^{2}>\lvert BC\rvert^{2}\) **2 pkt** – gdy: • wyznaczy równania prostych \(M_{1}N_{1}\) oraz \(M_{2}N_{2}\) oraz obliczy odcięte co najmniej dwóch punktów spośród \(M_{1}\), \(N_{1}\), \(M_{2}\), \(N_{2}\) i stwierdzi, że trójkąt ten jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy punkt \(C\) leży na jednym z fragmentów \(M_{1}M_{2}\) lub \(N_{1}N_{2}\) paraboli ALBO • zapisze układ nierówności: \(m^{2}+(m^{2}-2)^{2}+2-(m-1)^{2}-(m^{2}-3)^{2}>0\) i \((m-1)^{2}+(m^{2}-3)^{2}+2-m^{2}-(m^{2}-2)^{2}>0\) i \(m^{2}+(m^{2}-2)^{2}+(m-1)^{2}+(m^{2}-3)^{2}-2>0\) ALBO • stwierdzi, że w każdym z rozpatrywanych trójkątów \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(C\) jest ostry oraz zapisze układ nierówności: \(m^{2}+(m^{2}-2)^{2}+2-(m-1)^{2}-(m^{2}-3)^{2}>0\) i \((m-1)^{2}+(m^{2}-3)^{2}+2-m^{2}-(m^{2}-2)^{2}>0\) ALBO • zapisze układ nierówności: \(m^{2}+m-2>0\) i \(m^{4}-4m^{2}-m+6>0\) i \(-m^{2}-m+4>0\) **3 pkt** – gdy zastosuje poprawną metodę i wyznaczy wartości \(m\) dla których trójkąt \(ABC\) jest ostrokątny: \(m\in\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{2},\,-2\right)\cup\left(1,\,\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right)\). **Uwaga:** Jeżeli zdający, rozwiązując część b) sposobem 1., nie stwierdzi, że kąt przy wierzchołku \(C\) jest zawsze ostry, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty.

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** P4.9) Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie; R7.4) Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich […]. Łącznie za zadanie zdający może otrzymać 6 punktów: 3 punkty za rozwiązanie podpunktu a) oraz 3 punkty za rozwiązanie podpunktu b).

**B.** \(136\)

Punkt \(M\) jest przecięciem przekątnych, więc odcinek \(AM\) jest połową przekątnej: \[|AM|=\sqrt{(3-1)^{2}+(-5-3)^{2}}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68},\qquad d=2\sqrt{68}.\] Pole kwadratu o przekątnej \(d\): \[P=\frac{d^{2}}2=\frac{4\cdot68}2=136.\] **Odpowiedź.** \(P=136\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8.6) Zdający oblicza odległość dwóch punktów.

\[b\in\{1-\sqrt2,\ 1,\ 1+\sqrt2\}.\]

Proste \(y=b\) i \(y=2\) są równoległe, podobnie jak proste \(y=x+b\) i \(y=x+2b\). Długość poziomego boku równoległoboku wynosi \(|b|\), a jego wysokość jest równa odległości między prostymi poziomymi, czyli \(|b-2|\). Pole ma więc postać \[P=|b|\,|b-2|=|b(b-2)|.\] Warunek \(P=1\) jest równoważny alternatywie \[b(b-2)=1\quad\text{lub}\quad b(b-2)=-1.\] Z pierwszego równania: \[b^2-2b-1=0,\qquad b=1-\sqrt2\quad\text{lub}\quad b=1+\sqrt2.\] Z drugiego równania: \[b^2-2b+1=0,\qquad(b-1)^2=0,\qquad b=1.\] Wszystkie trzy wartości spełniają warunki \(b\neq0\) i \(b\neq2\).

**5 pkt** – wyznaczenie \(b=1-\sqrt2\), \(b=1\), \(b=1+\sqrt2\) **4 pkt** – poprawne rozwiązanie jednego z równań \(b(b-2)=1\) lub \(b(b-2)=-1\) **3 pkt** – zapisanie obu równań wynikających z wartości bezwzględnej **2 pkt** – zapisanie pola w postaci \(P=|b|\,|b-2|\) **1 pkt** – wyznaczenie długości podstawy \(|b|\) albo wysokości \(|b-2|\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8.6 i R3.8 obliczanie odległości oraz rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną.

Punkt przecięcia przekątnych: \[O=\left(1,\frac43\right).\] Pole kwadratu: \[P=50.\]

Przekątne kwadratu są prostopadłe. Prosta \(BD\) ma współczynnik kierunkowy \(\frac43\), więc prosta \(AC\) ma współczynnik \(-\frac34\). Ponieważ przechodzi przez punkt \(A=(5,-\frac53)\), jej równanie ma postać \[y+\frac53=-\frac34(x-5),\]\[y=-\frac34x+\frac{25}{12}.\] Punkt \(O\) jest przecięciem prostych \(AC\) i \(BD\), więc rozwiązujemy \[\frac43x=-\frac34x+\frac{25}{12}.\] Po pomnożeniu przez \(12\) otrzymujemy \(16x=-9x+25\), stąd \(x=1\) i \(y=\frac43\). Zatem \[O=\left(1,\frac43\right).\] Długość połowy przekątnej wynosi \[|AO|=\sqrt{(5-1)^2+\left(-\frac53-\frac43\right)^2}=\sqrt{16+9}=5.\] Cała przekątna ma długość \(d=10\), więc pole kwadratu wynosi \[P=\frac{d^2}{2}=\frac{10^2}{2}=50.\]

**4 pkt** – obliczenie \(O=(1,\frac43)\) oraz pola kwadratu \(P=50\) **3 pkt** – obliczenie punktu \(O\) i długości przekątnej \(10\) albo równoważny istotny etap prowadzący do obu wyników **2 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(AC\) i punktu \(O=(1,\frac43)\) albo obliczenie odległości punktu \(A\) od prostej \(BD\) oraz pola \(50\) **1 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(AC\) albo obliczenie odległości punktu \(A\) od prostej \(BD\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8.3, 8.4 i 8.5 wyznaczanie równania prostej prostopadłej, punktu przecięcia prostych i środka odcinka.

**C.** \(5\)

Z rysunku odczytujemy, że wierzchołki \(A\) i \(B\) leżą na osi \(Ox\), a wierzchołek \(C\) jest punktem przecięcia obu danych prostych. Miejsce zerowe prostej \(y=\frac23x+2\): \(\frac23x+2=0\), czyli \(x=-3\), więc \(A=(-3,0)\). Miejsce zerowe prostej \(y=-x+2\): \(x=2\), więc \(B=(2,0)\). Obie proste mają ten sam wyraz wolny \(2\), więc przecinają się na osi \(Oy\): \(C=(0,2)\). Bok \(AB\) leży na osi \(Ox\), zatem \[|AB|=2-(-3)=5,\qquad h=y_C=2,\qquad P=\frac12\cdot5\cdot2=5.\] **Odpowiedź.** \(P=5\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 7. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

\[C=(10,0),\qquad B=\left(\tfrac{27}{4},\tfrac{17}{2}\right),\qquad D=\left(\tfrac54,-\tfrac52\right)\] (oznaczenia \(B\) i \(D\) można zamienić).

Przekątne rombu są prostopadłe i połowią się, więc punkt \(S\) ich przecięcia jest spodkiem prostopadłej poprowadzonej z \(A=(-2,6)\) do prostej \(2x-y-5=0\). Prosta \(AC\) jest prostopadła do \(BD\), więc ma wektor kierunkowy \([2,-1]\): \[(x,y)=(-2+2t,\ 6-t).\] Podstawiamy do równania \(BD\): \[2(-2+2t)-(6-t)-5=0,\qquad 5t=15,\qquad t=3,\] czyli \(S=(4,3)\) oraz \[C=2S-A=(10,0).\] Długość przekątnej \(AC\): \[\lvert AC\rvert=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt5.\] Z pola rombu \[82{,}5=\tfrac12\cdot6\sqrt5\cdot\lvert BD\rvert,\qquad \lvert BD\rvert=\frac{165}{6\sqrt5}=\frac{11\sqrt5}{2}.\] Wierzchołki \(B\) i \(D\) leżą na prostej \(BD\) w odległości \(\frac{11\sqrt5}{4}\) od \(S\). Wektor jednostkowy kierunku tej prostej to \(\frac{1}{\sqrt5}[1,2]\), więc \[B=S+\frac{11\sqrt5}{4}\cdot\frac{[1,2]}{\sqrt5}=(4,3)+\left[\tfrac{11}{4},\tfrac{11}{2}\right]=\left(\tfrac{27}{4},\tfrac{17}{2}\right),\] \[D=S-\left[\tfrac{11}{4},\tfrac{11}{2}\right]=\left(\tfrac54,-\tfrac52\right).\] **Odpowiedź.** \(C=(10,0)\), \(B=\left(\frac{27}{4},\frac{17}{2}\right)\), \(D=\left(\frac54,-\frac52\right)\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **1–2 pkt** – wyznaczenie punktu \(S=(4,3)\) przecięcia przekątnych. **3–4 pkt** – wyznaczenie \(C=(10,0)\) i długości \(\lvert BD\rvert=\frac{11\sqrt5}{2}\). **5–6 pkt** – wyznaczenie współrzędnych \(B\) i \(D\).

Zadanie 12. (0–6) Punkt A = ( −2, 6 ) jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu 82,5. Przekątna BD zawiera się w prostej l o równaniu 2x − y − 5 = 0 . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu. Rozwiązanie (I sposób) Wyznaczamy równanie prostej k zawierającej przekątną AC rombu (prosta k jest prostopadła do prostej l, punkt A leży na prostej k. 1 k : y = − x + 5 2  y = 2x − 5  Z układu równań  1 wyznaczamy współrzędne punktu S = ( 4, 3 ) (środek  y = − x + 5  2 symetrii rombu). Punkt S jest jednocześnie środkiem przekątnej AC, co pozwala obliczyć współrzędne wierzchołka C = ( 10, 0 ) . Obliczamy długość przekątnej AC = 6 5 , a następnie, wykorzystując informację o polu rombu, obliczamy długość drugiej przekątnej. 1 AC ⋅ BD = 82, 5 2 1 ⋅ 6 5 ⋅ BD = 82, 5 2 11 BD = 5 2 Punkty B oraz D leżą na okręgu o środku S = ( 4, 3 ) i promieniu 1 BD = 11 5 oraz na 2 4 prostej l. Wyznaczamy ich współrzędne rozwiązując układ równań

**B.** \(20\)

Odcinek \(AC\) jest przekątną kwadratu: \[d=\sqrt{(0-1)^{2}+(5+2)^{2}}=\sqrt{1+49}=5\sqrt2.\] Bok kwadratu jest \(\sqrt2\) razy krótszy od przekątnej: \[a=\frac{5\sqrt2}{\sqrt2}=5,\qquad L=4a=20.\] **Odpowiedź.** Obwód wynosi \(20\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 17. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**A.** \(3\)

Punkty \(A=(4,1)\) i \(C=(4,-1)\) mają tę samą pierwszą współrzędną, więc bok \(AC\) jest pionowy i \(|AC|=1-(-1)=2\). Wysokość opuszczona na ten bok to odległość punktu \(B=(1,3)\) od prostej \(x=4\), czyli \(|4-1|=3\). Stąd \[P=\frac12\cdot2\cdot3=3.\] **Odpowiedź.** \(P=3\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 22. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**C.** Istnieją \(3\) takie punkty \(D\).

Każdy z trzech danych punktów może być wierzchołkiem równoległoboku leżącym naprzeciw punktu \(D\). Otrzymujemy trzy dopełnienia: \[D_1=B+C-A=(9,7),\] \[D_2=A+C-B=(-1,3),\] \[D_3=A+B-C=(3,-1).\] Punkty są niewspółliniowe, więc te trzy dopełnienia są różne.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla czerwca 2019 nie zawiera tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna - własności przekątnych równoległoboku i działania na współrzędnych.

Długość boku rombu jest równa \(3\sqrt{10}\).

Przekątne rombu są prostopadłe i przecinają się w połowie. Punkt \(S\) przecięcia jest więc spodkiem prostopadłej poprowadzonej z \(A\) do prostej zawierającej \(BD\). Odległość punktu \(A=(-2,6)\) od prostej \(2x-y-5=0\): \[\lvert AS\rvert=\frac{\lvert 2\cdot(-2)-6-5\rvert}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{15}{\sqrt5}=3\sqrt5.\] Zatem \(\lvert AC\rvert=2\lvert AS\rvert=6\sqrt5\). Pole rombu jest połową iloczynu przekątnych: \[90=\tfrac12\cdot6\sqrt5\cdot\lvert BD\rvert,\qquad \lvert BD\rvert=\frac{180}{6\sqrt5}=6\sqrt5.\] Połówki przekątnych mają długości \(3\sqrt5\) i \(3\sqrt5\), a tworzą przyprostokątne trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątną jest bok rombu: \[a=\sqrt{\left(3\sqrt5\right)^2+\left(3\sqrt5\right)^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}.\] **Odpowiedź.** Bok rombu ma długość \(3\sqrt{10}\).

**1–2 pkt** – obliczenie odległości \(\lvert AS\rvert=3\sqrt5\) i długości \(\lvert AC\rvert=6\sqrt5\). **3–5 pkt** – wyznaczenie \(\lvert BD\rvert=6\sqrt5\) z pola rombu. **6 pkt** – obliczenie długości boku \(3\sqrt{10}\).

Klasyfikacja rzeczowa: wykorzystywanie prostopadłości prostych, odległości punktów, własności przekątnych i pola rombu w geometrii analitycznej.

**B.** \(10\)

Ponieważ \(A\) jest początkiem układu, pole trójkąta o wierzchołkach \((0,0)\), \(B=(x_B,y_B)\), \(C=(x_C,y_C)\) można obliczyć ze wzoru \[P=\frac12\left|x_By_C-x_Cy_B\right|=\frac12\left|4\cdot6-2\cdot2\right|=\frac12\cdot20=10.\] **Odpowiedź.** \(P=10\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 15. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**A.** \(Q=(6,8)\)

Symetria względem osi \(Ox\) zmienia znak drugiej współrzędnej: \[P=(-6,-8)\ \longmapsto\ (-6,8).\] Symetria względem osi \(Oy\) zmienia znak pierwszej współrzędnej: \[(-6,8)\ \longmapsto\ (6,8).\] **Odpowiedź.** \(Q=(6,8)\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 19. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

\[P_{ABC}=\frac{243}{7}=34\frac57.\]

Współczynnik kierunkowy prostej \(AM\) jest równy \[\frac{9-0}{2-(-4)}=\frac32,\] więc \(AM:y=\frac32x+6\). Punkt przecięcia prostej \(k\) z osią \(Ox\) to \(B=(5,0)\), zatem \(|AB|=9\). Rozwiązując układ \[\frac32x+6=-2x+10\] otrzymujemy \(C=(\frac87,\frac{54}{7})\). Wysokość trójkąta opuszczona na \(AB\) ma długość \(\frac{54}{7}\), więc \[P_{ABC}=\frac12\cdot9\cdot\frac{54}{7}=\frac{243}{7}.\]

**5 pkt** – obliczenie pola \(P_{ABC}=\frac{243}{7}\) **4 pkt** – wyznaczenie \(y_C=\frac{54}{7}\) i \(|AB|=9\) albo współrzędnych punktów \(B\) i \(C\) **3 pkt** – wyznaczenie \(|AB|=9\) i poprawnego równania prowadzącego do punktu \(C\), albo wyznaczenie punktu \(C\) bez punktu \(B\) **2 pkt** – wyznaczenie równania \(AM:y=\frac32x+6\) albo równoważny istotny etap rozwiązania **1 pkt** – wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(AM\), równego \(\frac32\), albo punktu \(B=(5,0)\) **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** geometria analityczna - równanie prostej, punkt przecięcia prostych i pole trójkąta w układzie współrzędnych.

\[P=\frac83.\]

Proste przecinają się na osi \(Oy\), więc mają ten sam wyraz wolny: \(b=2\), czyli druga prosta to \(y=-3x+2\). Punkt przecięcia to \((0,2)\). Miejsca zerowe obu prostych wyznaczają pozostałe wierzchołki trójkąta: \[x+2=0\ \Rightarrow\ x=-2,\qquad -3x+2=0\ \Rightarrow\ x=\frac23.\] Trzeci bok leży na osi \(Ox\), więc \[a=\frac23-(-2)=\frac83,\qquad h=2,\qquad P=\frac12\cdot\frac83\cdot2=\frac83.\] **Odpowiedź.** \(P=\frac83\)

1 pkt: b=2 albo poprawny wykres z punktem przecięcia (0,2). 2 pkt: pole trójkąta 8/3.

Zadanie 27. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

\(C=\left(\dfrac83,\dfrac{14}{3}\right)\), \(D=(6,2)\). Punkt \(D\) jest obrazem \(B=(0,8)\) w symetrii względem prostej \(y=x+2\). Ponieważ oś symetrii przechodzi przez środek okręgu, przekątna \(AC\) jest średnicą, więc kąt \(ABC\) jest prosty; prosta \(BC\) o współczynniku \(-\tfrac54\) przecina prostą \(y=x+2\) właśnie w punkcie \(C\).

**Krok \(1\).** Zbierzmy, co daje treść. Prosta \(x-y+2=0\), czyli \(y=x+2\), jest osią symetrii czworokąta i zawiera przekątną \(AC\). Wynikają z tego dwie rzeczy. Po pierwsze, symetria względem tej prostej zostawia \(A\) i \(C\) na miejscu, a zamienia \(B\) z \(D\) — czyli \(D\) jest obrazem \(B\). Po drugie, oś symetrii figury wpisanej w okrąg jest osią symetrii także tego okręgu, więc przechodzi przez jego środek; zatem \(AC\) jest średnicą, a stąd kąt \(ABC\) jest prosty (kąt oparty na średnicy). **Krok \(2\).** Sprawdzamy, że \(A\) rzeczywiście leży na osi: \(30-32+2=0\). Zgadza się. **Krok \(3\).** Wyznaczamy \(D\) jako obraz \(B=(0,8)\) w symetrii względem prostej \(y=x+2\). Prosta przechodząca przez \(B\) i prostopadła do osi ma współczynnik kierunkowy \(-1\) (bo \(1\cdot(-1)=-1\)): \[y=-x+8.\] **Krok \(4\).** Szukamy punktu \(S\) przecięcia tej prostopadłej z osią symetrii: \[x+2=-x+8\ \Longrightarrow\ 2x=6\ \Longrightarrow\ x=3,\quad y=5,\] czyli \(S=(3,5)\). **Krok \(5\).** Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(BD\), więc ze wzorów na środek odcinka: \[x_D=2\cdot3-0=6,\qquad y_D=2\cdot5-8=2,\] zatem \(D=(6,2)\). **Krok \(6\).** Przechodzimy do \(C\). Kąt \(ABC\) jest prosty, więc prosta \(BC\) jest prostopadła do \(AB\). Współczynnik kierunkowy \(AB\): \[a_{AB}=\frac{32-8}{30-0}=\frac{24}{30}=\frac45,\] więc prosta \(BC\) ma współczynnik \(-\dfrac54\) i przechodzi przez \(B=(0,8)\): \[y=-\frac54x+8.\] **Krok \(7\).** Punkt \(C\) leży na przekątnej \(AC\), czyli na osi \(y=x+2\). Rozwiązujemy układ: \[x+2=-\frac54x+8\ \Longrightarrow\ x+\frac54x=6\ \Longrightarrow\ \frac94x=6\ \Longrightarrow\ x=\frac{8}{3}.\] **Krok \(8\).** Stąd \(y=\dfrac83+2=\dfrac{14}{3}\), czyli \(C=\left(\dfrac83,\dfrac{14}{3}\right)\). **Krok \(9\).** Sprawdzenie. Środek okręgu to środek średnicy \(AC\), czyli punkt \(\left(\dfrac{49}{3},\dfrac{55}{3}\right)\). Kwadrat jego odległości od \(A\) i od \(B\) wynosi w obu przypadkach \(\dfrac{3362}{9}\), więc punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) rzeczywiście leżą na jednym okręgu. **Uwaga.** Informacja, że \(AC\) jest jedyną osią symetrii, mówi, że czworokąt jest deltoidem, a nie na przykład prostokątem. Dzięki temu wiadomo, że w tej symetrii \(B\) przechodzi na \(D\), a nie na siebie. **Odpowiedź.** \(C=\left(\dfrac83,\dfrac{14}{3}\right)\), \(D=(6,2)\).

Zadanie 13. (0-5) 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej IV. Użycie i tworzenie danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt, strategii. oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych oraz wyznacza współrzędne środka odcinka (8.3, 8.4, 8.5). Przykładowe rozwiązanie Zauważamy, że jeżeli AC jest przekątną czworokąta ABCD, wpisanego w okrąg i pros AC jest osią symetrii tego czworokąta, to ten czworokąt jest deltoidem, a trójkąty AB i ADC są prostokątne. Obliczymy najpierw współrzędne wierzchołka D , który jest obraze wierzchołka B , w symetrii osiowej względem prostej AC . Ponieważ prosta BD je prostopadła do prostej AC i przechodzi przez punkt B , więc jej równanie ma postać Obliczamy współrzędne środka S przekątnej BD. Ponieważ jest to punkt przecięc prostych AC i BD , więc wystarczy rozwiązać układ równań Otrzymujemy stąd x = 3 i y = 5 . Zatem punkt S ma współrzędne Współrzędl punktu D spełniają zatem równania YD+8 2 -5. 2 Stąd wynika, że XI) i YD = 2 czyli D Obliczymy teraz współrzędne wierzchołka C . Zauważamy, że jest to punkt przecięcia prost AC i prostej CD , która jest prostopadła do prostej AD i przechodzi przez punkt D 2-32 Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej AD jest równy 5 więc prosta CD n równanie postaci Rozwiązujemy układ równań Zatem C = Schemat punktowania 6-30 i otrzymujemy Y 4 24 42 9 8 14 3 Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części. Pierwsza, to obliczenie współrzędny punktu D, druga, to obliczenie współrzędnych punktu C . Mogą być one wykonał niezależnie od siebie, w dowolnej kolejności. Za pierwszą część rozwiązanła zdają( otrzymuje 2 punkty, a za drugą 3 punkty. Schemat punktowania pierwszej części 1 punkt przyznajemy zdającemu, który wyznaczy równanie prostej BD i zapisze, że punkt przecięcia prostych AC i BD jest środkiem odcinka BD lub wykorzysta ten fakt. 2 punkty przyznajemy zdającemu za obliczenie współrzędnych punktu D Schemat punktowania drugiej części 1 punkt przyznajemy zdającemu, który zapisze, że trójkąt ADC jest trójkątem prostokątnym lub wykorzysta ten fakt 2 punkty przyznajemy zdającemu za wyznaczenie równania prostej CD y— (X-6)+2 3 punkty przyznajemy zdającemu za obliczenie współrzędnych punktu C • Uwaga: Współrzędne punktu C zdający może obliczać inaczej. Poniżej schematy przydziału 3 punktów za obliczenie współrzędnych wierzchołka C. • W przypadku obliczenia w pierwszej kolejności współrzędnych środka okręgu opisanego na danym czworokącie, który jest środkiem odcinka AC. gdy zdający zapisze równame z jedną niewiadomą opisujące zależność 1 punkt ISA12 = ISB12 2 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu S, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC. gdy zdający zauważy, że trójkąt ABC jest prostokątny, np. zapisze 1 punkt IAc12 = ABP +lBc12 , 2 punkty gdy zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, wynikające z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem symetralnej odcinka AB i środka okręgu opisanego na czworokącie ABCD. 1 punkt — gdy zdający zapisze równanie symetralnej odcinka AB, 2 punkty gdy zdający wyznaczy współrzędne środka okręgu przechodzącego przez punkty 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem kąta pomiędzy prostymi AD i AB 1 punkt — gdy zdający obliczy tangens kąta DAB, 2 punkty gdy zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą z wykorzystaniem współczynników kierunkowych prostych BC i CD jako tangensów odpowiednich kątów, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem iloczynu skalarneś wektorów BC i BA (albo, po wyznaczeniu współrzędnych punktu D, wektorów DA i DC). 1 punkt gdy zdający zapisze, że wektory BC i BA albo DA i DC są prostopadłe h wyznaczy ich współrzędne, 2 punkty — gdy zdający zapisze równame z jedną niewiadomą wynikające z zerowania s iloczynu skalarnego wektorów, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem równania okrę{ przechodzącego przez punkty A, B, D. 1 punkt gdy zdający zapisze układ trzech równań z trzema niewiadomymi, z którego możl obliczyć współczynniki w równaniu okręgu, 2 punkty — gdy zdający wyznaczy równanie okręgu opisanego na trójkącie ABD, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem twierdzen cosinusów. 1 punkt gdy zdający wyznaczy cosinus kąta BAD, 2 punkty — gdy zdający zastosuje twierdzenie cosinusów w trójkącie BCD i zapisze równan z jedną niewiadomą, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem twierdzen o wysokości w trójkącie prostokątnym ABC (albo, po wyznaczeniu współrzędny punktu D, w trójkącie ACD). 1 punkt gdy zdający wyznaczy długości odcinków AS i BS, lub AS i DS, gdzie S je spodkiem wysokości trójkąta należącym do boku AC, 2 punkty — gdy zdający zastosuje twierdzenie o wysokości w trójkącie prostokątny i zapisze równanie z jedną niewiadomą, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C.

IV. Użycie i tworzenie strategii. 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza równanie prostej równoległej lub prostopadłej do danej, oblicza punkt przecięcia dwóch prostych oraz wyznacza środek odcinka (8.3, 8.4, 8.5).

\[P(x)=4+2x-x^2-\frac12x^3,\qquad x\in(0,2),\] \[C=\left(\frac23,\frac{16}{9}\right).\]

Niech \(C=(x,y)\). Ponieważ \(C\) leży na paraboli, \[C=\left(x,2-\frac12x^2\right),\qquad 0<x<2.\] Z symetrii \(|AB|=4\), \(|CD|=2x\), a wysokość trapezu wynosi \(2-\frac12x^2\). Stąd \[P(x)=\frac{4+2x}{2}\left(2-\frac12x^2\right)=4+2x-x^2-\frac12x^3.\] Pochodna ma postać \[P'(x)=2-2x-\frac32x^2=-\frac32\left(x-\frac23\right)(x+2).\] W przedziale \((0,\frac23)\) pochodna jest dodatnia, a w \((\frac23,2)\) ujemna, więc pole jest największe dla \(x=\frac23\). Wtedy \[y=2-\frac12\left(\frac23\right)^2=\frac{16}{9},\] czyli \(C=(\frac23,\frac{16}{9})\).

*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.* **Rozwiązanie składa się z trzech etapów i jest warte łącznie 7 pkt.** **Etap I: 3 pkt** – po \(1\) pkt za zapisanie \(\lvert CD\rvert=2x\) i \(h=2-\tfrac{1}{2}x^2\); wyznaczenie \(P(x)=4+2x-x^2-\tfrac{1}{2}x^3\); określenie dziedziny \(x\in(0,2)\). **Etap II: 3 pkt** – po \(1\) pkt za obliczenie \(P'(x)=2-2x-\tfrac{3}{2}x^2\); wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej \(x=-2\), \(x=\tfrac{2}{3}\); zbadanie znaku pochodnej i uzasadnienie maksimum dla \(x=\tfrac{2}{3}\). **Etap III: 1 pkt** – obliczenie współrzędnych \(C=\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{16}{9}\right)\). **Przy poprawnej pochodnej i współrzędnych punktu \(C\), lecz bez uzasadnienia maksimum, można otrzymać najwyżej 5 pkt.**

**Wymagania ogólne:** CKE III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** rachunek różniczkowy - zastosowanie pochodnej do zadania optymalizacyjnego.

\[P=2.\]

Oba trójkąty mają wysokość równą \(4\), bo proste przechodzą przez \(A=(0,4)\). Jeśli dodatni punkt przecięcia z osią \(Ox\) ma współrzędną \(x_0\), to pole wynosi \(\frac12\cdot x_0\cdot4=2x_0\). Dla prostej \(l\) otrzymujemy \(x_l=4\), a dla \(k\) mamy \(x_k=5\). Szukany trójkąt ma podstawę długości \(1\) na osi \(Ox\) i wysokość \(4\), więc \[P=\frac12\cdot1\cdot4=2.\]

**2 pkt** – poprawne pole \(2\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie punktów przecięcia z osią \(Ox\): \((4,0)\) i \((5,0)\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

Klucz CKE publikuje rozwiązanie i punktację. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna, pole trójkąta w układzie współrzędnych.

Wymiary: \(\frac{2\sqrt3}{3}\) i \(\frac43\). Największe pole: \(\frac{8\sqrt3}{9}\).

Niech \(x\in(0,1)\) będzie odległością prawego dolnego wierzchołka od osi \(Oy\). Szerokość prostokąta wynosi \(2x\), a wysokość \(4-(2x^2+2)=2-2x^2\). Stąd \[P(x)=2x(2-2x^2)=-4x^3+4x.\] Mamy \(P'(x)=-12x^2+4\), więc w dziedzinie jedynym punktem krytycznym jest \(x=\frac{\sqrt3}{3}\). Pochodna zmienia tam znak z dodatniego na ujemny. Wymiary wynoszą \[2x=\frac{2\sqrt3}{3},\qquad 2-2x^2=\frac43,\] a pole \[P_{\max}=\frac{2\sqrt3}{3}\cdot\frac43=\frac{8\sqrt3}{9}.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 7 pkt** – poprawne wymiary i największe pole z pełną analizą **5: 6 pkt** – poprawny model i punkt maksimum z drobnym błędem końcowym **3: 4 pkt** – poprawna funkcja pola i jej pochodna **1: 2 pkt** – poprawne wyrażenie boków prostokąta **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. Zdający buduje model matematyczny danej sytuacji, uwzględniając ograniczenia i zastrzeżenia. **Wymagania szczegółowe:** 11.6. R. Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

\[C=(3,3).\]

Punkt \(A=(2,1)\) należy do prostej \(2x-y-3=0\), więc na tej prostej leży ramię \(AC\). Niech \[C=(x,2x-3).\] Ponieważ podstawą trójkąta równoramiennego jest \(AB\), mamy \(|AC|=|BC|\). Po podniesieniu do kwadratu: \[(x-2)^2+(2x-4)^2=(x-5)^2+(2x-5)^2.\] Po uproszczeniu \[5x^2-20x+20=5x^2-30x+50,\] stąd \(x=3\). Wtedy \(y=2\cdot3-3=3\), zatem \[C=(3,3).\]

**4 pkt** – poprawne współrzędne \(C=(3,3)\) **3 pkt** – poprawne równanie odległości i wyznaczenie \(x=3\), lecz usterka przy drugiej współrzędnej **2 pkt** – poprawne zapisanie \(C=(x,2x-3)\) i warunku \(|AC|=|BC|\) **1 pkt** – poprawne rozpoznanie, że punkt \(A\) należy do podanej prostej i że zawiera ona ramię \(AC\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** Zdający wykorzystuje równanie prostej i wzór na odległość punktów do wyznaczania współrzędnych wierzchołka trójkąta równoramiennego.

\[P=24.\]

W równoległoboku \(ABCD\) sąsiednie boki wyznaczają wektory \[\overrightarrow{AB}=[3-(-1),\,-1-(-5)]=[4,4],\qquad\overrightarrow{BC}=[2-3,\,4-(-1)]=[-1,5].\] Pole równoległoboku rozpiętego na wektorach \([u_1,u_2]\) i \([v_1,v_2]\) jest równe wartości bezwzględnej wyznacznika: \[P=\left|u_1v_2-u_2v_1\right|=\left|4\cdot5-4\cdot(-1)\right|=|20+4|=24.\] **Odpowiedź.** \(P=24\)

**1–3 pkt** – długość podstawy, wysokość lub równoważne obliczenia współrzędnościowe. **4 pkt** – pole \(24\).

Zadanie 33. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**A.** \((-5,-2012)\)

Symetria względem osi \(Ox\) zmienia znak drugiej współrzędnej: \[A=(5,2012)\ \longmapsto\ B=(5,-2012).\] Symetria względem osi \(Oy\) zmienia znak pierwszej współrzędnej: \[B=(5,-2012)\ \longmapsto\ C=(-5,-2012).\] **Odpowiedź.** \(C=(-5,-2012)\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykorzystanie pojęcia układu współrzędnych na płaszczyźnie (II.8.a).

**B.** \(58\)

Odcinek \(BC\) jest bokiem kwadratu, więc \[|BC|^{2}=(5+2)^{2}+(1-4)^{2}=49+9=58,\] a pole kwadratu jest równe kwadratowi długości boku, czyli \(58\). **Odpowiedź.** \(P=58\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** zdający oblicza odległość punktów w układzie współrzędnych i oblicza pole kwadratu.

B=(\(7\),−\(1\)), D=(\(0\),\(10\)), a pole trapezu wynosi \(75\). Proste zawierające podstawy są prostopadłe do osi y=\(2x\). Punkty przecięcia podstaw z osią, M=(\(1\),\(2\)) i N=(\(4\),\(8\)), są środkami odpowiednio AB i CD, co pozwala odbić A i C. Następnie |AB|=\(6\sqrt{5}\), |CD|=\(4\sqrt{5}\) i wysokość wynosi \(3\sqrt{5}\).

Oś symetrii trapezu równoramiennego jest prostopadła do obu podstaw i przechodzi przez ich środki. Rzutujemy więc \(A\) i \(C\) na prostą \(y=2x\) — prostopadłe do niej mają współczynnik kierunkowy \(-\frac12\). Dla \(A=(-5,5)\): prosta \(y=-\frac12x+\frac52\) przecina oś w punkcie \(M=(1,2)\), który jest środkiem \(AB\), zatem \[B=2M-A=(7,-1).\] Dla \(C=(8,6)\): prosta \(y=-\frac12x+10\) przecina oś w punkcie \(N=(4,8)\), który jest środkiem \(CD\), zatem \[D=2N-C=(0,10).\] Długości podstaw i wysokość: \[\lvert AB\rvert=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt5,\qquad \lvert CD\rvert=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt5,\qquad h=\lvert MN\rvert=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt5.\] Pole trapezu: \[P=\frac{6\sqrt5+4\sqrt5}{2}\cdot3\sqrt5=5\sqrt5\cdot3\sqrt5=75.\] **Odpowiedź.** \(B=(7,-1)\), \(D=(0,10)\), \(P=75\)

*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.* *Schemat oceniania I* **Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – wyznaczenie równań prostych \(AB\) i \(CD\): \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\), \(y=-\frac{1}{2}x+10\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – obliczenie współrzędnych punktów \(M\) i \(N\): \(M=(1,2)\), \(N=(4,8)\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – obliczenie współrzędnych punktów \(B\) i \(D\) jako symetrycznych do punktów \(A\) i \(C\) względem prostej \(y=2x\). **Rozwiązanie pełne** – obliczenie pola trapezu \(P=75\) oraz podanie współrzędnych \(B=(7,-1)\), \(D=(0,10)\). *Schemat oceniania II* **Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – zapisanie układu równań lub równania, z którego można wyznaczyć współrzędne środka okręgu, np. \((a+5)^{2}+(2a-5)^{2}=(a-8)^{2}+[\ldots]\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – obliczenie współrzędnych środka okręgu \(S=\left(\frac{5}{3},\frac{10}{3}\right)\) oraz promienia okręgu \(r=\sqrt{\frac{425}{9}}\) i podanie równania okręgu \(\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}+\left(y-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{425}{9}\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – obliczenie współrzędnych punktów \(B\) i \(D\), np. poprzez rozwiązanie układów równań. **Rozwiązanie pełne** – obliczenie pola trapezu \(P=75\) oraz podanie współrzędnych \(B\), \(D\). Jeżeli zdający nie wyznaczy współrzędnych wierzchołków \(B\) i \(D\), ale obliczy pole trapezu, to przyznajemy \(3\) punkty. Jeżeli zdający wyznaczy poprawnie długości podstaw oraz wysokość trapezu i nie obliczy pola trapezu, to przyznajemy \(4\) punkty. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu długości podstaw i wysokości trapezu i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy pole trapezu, to przyznajemy \(4\) punkty.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: symetria osiowa i obliczenia długości oraz pola w układzie współrzędnych.

\(C=(5,6)\) lub \(C=(-3,-2)\). Odległość punktu \(A\) od prostej \(y=x+1\) wynosi \(3\sqrt2\), z pola trójkąta \(|BC|=5\sqrt2\), a z warunku \(|AC|=|BC|\) dla \(C=(x,x+1)\) otrzymujemy \((x+2)^2+(x-4)^2=50\), czyli \(x^2-2x-15=0\).

**Krok \(1\).** Wierzchołek \(C\) leży na danej prostej, więc od razu opiszmy go jedną niewiadomą: \(C=(x,x+1)\). Do wyznaczenia \(x\) potrzebujemy jednego równania i dostarczy go warunek \(|AC|=|BC|\) — ale najpierw z pola trójkąta obliczymy, ile wynosi \(|BC|\). **Krok \(2\).** Bok \(BC\) leży na prostej \(y=x+1\), a punkt \(A\) do niej nie należy (bo \(-2+1=-1\neq5\)). Wysokość trójkąta opuszczona na bok \(BC\) to po prostu odległość punktu \(A\) od tej prostej. **Krok \(3\).** Zapisujemy prostą w postaci ogólnej: \(x-y+1=0\), czyli \(A=1\), \(B=-1\), \(C=1\) we wzorze na odległość. Dla \(A=(-2,5)\) \[d=\frac{|1\cdot(-2)+(-1)\cdot5+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|-6|}{\sqrt2}=\frac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2.\] **Krok \(4\).** Ze wzoru na pole trójkąta \(P=\tfrac12\cdot|BC|\cdot d\) wyznaczamy długość podstawy: \[15=\tfrac12\cdot|BC|\cdot3\sqrt2\quad\Longrightarrow\quad |BC|=\frac{30}{3\sqrt2}=\frac{10}{\sqrt2}=5\sqrt2.\] **Krok \(5\).** Z warunku \(|AC|=|BC|\) mamy \(|AC|=5\sqrt2\), więc \(|AC|^2=50\). Wygodniej pracować na kwadratach, bo znikają pierwiastki. **Krok \(6\).** Podstawiamy \(C=(x,x+1)\) do wzoru na kwadrat długości odcinka: \[(x-(-2))^2+((x+1)-5)^2=50,\] czyli \[(x+2)^2+(x-4)^2=50.\] **Krok \(7\).** Rozwijamy i porządkujemy: \[x^2+4x+4+x^2-8x+16=50,\] \[2x^2-4x-30=0,\qquad x^2-2x-15=0.\] **Krok \(8\).** Liczymy \(\Delta=4+60=64\), \(\sqrt{\Delta}=8\), więc \[x_1=\frac{2-8}{2}=-3,\qquad x_2=\frac{2+8}{2}=5.\] Druga współrzędna to \(x+1\), zatem \(C=(-3,-2)\) albo \(C=(5,6)\). **Uwaga.** Oba rozwiązania są poprawne — punkt \(C\) może leżeć po jednej albo po drugiej stronie spodka wysokości, a warunki zadania nie rozstrzygają, po której. Nie wolno więc odrzucać ujemnego \(x\). **Odpowiedź.** \(C=(5,6)\) lub \(C=(-3,-2)\).

Schemat oceniania **Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na […] do całkowitego rozwiązania zadania** – obliczenie odległości punktu \(A\) od prostej \(y=x+1\): \(d=3\sqrt{2}\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – obliczenie długości odcinków \(AC\) i \(BC\): \(\lvert AC\rvert=\lvert BC\rvert=5\sqrt{2}\). **4 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: ułożenie układu równań pozwalającego obliczyć współrzędne punktu \(C\) (odległość \(\lvert AC\rvert=5\sqrt{2}\) oraz punkt \(C\) należy do prostej o równaniu \(y=x+1\)) i sprowadzenie układu do równania kwadratowego \(x^{2}-2x-15=0\). **Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)** – […] **6 pkt** – rozwiązanie pełne: wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\): \(C=(5,6)\) lub \(C=(-3,-2)\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. Stosowanie równań i nierówności do opisania zależności w prostokątnym układzie współrzędnych.

Punkty przecięcia to \(A=\left(x,\frac1{x^2}\right)\) i \(B=\left(-x,\frac1{x^2}\right)\), gdzie \(x\neq0\). Wtedy \(|AB|=2|x|\), a wysokość poprowadzona z \(C=(3,-1)\) ma długość \(\frac1{x^2}+1\), więc pole wynosi \(|x|+\frac1{|x|}\geqslant2\), ponieważ ta nierówność jest równoważna \((|x|-1)^2\geqslant0\).

**Krok \(1\).** To zadanie na dowód, więc nie wolno wybrać konkretnej prostej — trzeba pracować na dowolnej. Rozpoznajemy dwie rzeczy: wykres funkcji \(f(x)=\frac1{x^2}\) jest symetryczny względem osi \(Oy\) (bo \(f(-x)=f(x)\)), a prosta równoległa do osi \(Ox\) ma równanie \(y=c\). Dlatego oba punkty przecięcia mają tę samą drugą współrzędną i przeciwne pierwsze współrzędne. Pole wyrazimy jedną zmienną i oszacujemy z dołu. **Krok \(2\).** Niech \(A=\left(x,\frac1{x^2}\right)\), gdzie \(x\neq0\). Ponieważ \(\frac1{(-x)^2}=\frac1{x^2}\), drugim punktem przecięcia jest \(B=\left(-x,\frac1{x^2}\right)\). **Krok \(3\).** Odcinek \(AB\) jest równoległy do osi \(Ox\), więc jego długość to różnica pierwszych współrzędnych: \[|AB|=|x-(-x)|=2|x|.\] **Krok \(4\).** Podstawa \(AB\) leży na prostej poziomej \(y=\frac1{x^2}\), więc wysokość trójkąta opuszczona z punktu \(C=(3,-1)\) to po prostu odległość pionowa: \[h=\left|\frac1{x^2}-(-1)\right|=\frac1{x^2}+1,\] bo \(\frac1{x^2}\gt0\), więc wyrażenie pod modułem jest dodatnie. **Krok \(5\).** Liczymy pole i upraszczamy: \[P=\frac12\cdot|AB|\cdot h=\frac12\cdot2|x|\cdot\left(\frac1{x^2}+1\right)=\frac{|x|}{x^2}+|x|=\frac1{|x|}+|x|.\] **Krok \(6\).** Zostaje wykazać, że \(|x|+\frac1{|x|}\geqslant2\). Oznaczmy \(a=|x|\gt0\) i pomnóżmy nierówność \(a+\frac1a\geqslant2\) stronami przez \(a\gt0\) (to nie zmienia zwrotu): \[a^2+1\geqslant 2a.\] **Krok \(7\).** Przenosimy wszystko na jedną stronę: \[a^2-2a+1\geqslant0,\qquad (a-1)^2\geqslant0,\] a kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny — to prawda dla każdego \(a\). **Krok \(8\).** Wszystkie przekształcenia były równoważne, zatem \(P=|x|+\frac1{|x|}\geqslant2\) dla każdego \(x\neq0\), co należało wykazać. Równość zachodzi tylko dla \(|x|=1\). **Uwaga.** Pierwsza współrzędna punktu \(C\) nie ma tu żadnego znaczenia — wysokość mierzymy w pionie, bo podstawa jest pozioma. Sprawdzenie tezy dla jednej wybranej pary punktów \(A\) i \(B\) nie jest dowodem. **Odpowiedź.** Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(|x|+\dfrac1{|x|}\), a ta wartość jest nie mniejsza niż \(2\), bo nierówność jest równoważna \((|x|-1)^2\geqslant0\).

Schemat oceniania **0 pkt** – zdający otrzymuje 0 punktów, jeżeli wybierze konkretne dwa punkty \(A\) oraz \(B\) i dla tych punktów obliczy pole trójkąta \(ABC\). **Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania** – zapisanie współrzędnych dwóch punktów leżących na wykresie funkcji \(f\) oraz na prostej równoległej do osi \(Ox\): […]. **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zapisanie długości odcinka \(AB\) \(\left(\lvert AB\rvert=2\lvert x\rvert\right)\) oraz wysokości \(h\) trójkąta \(ABC\) […]. **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zapisanie pola trójkąta \(ABC\) w zależności od jednej zmiennej: […]. Uwaga: zdający może założyć, że \(x>0\) i zapisać wzór na pole trójkąta w postaci […]. **Rozwiązanie pełne** – uzasadnienie, że \(\frac{1}{x}+\lvert x\rvert\ge 2\). Zdający może powołać się na (znane) twierdzenie o sumie liczby dodatniej i jej odwrotności.

V. Rozumowanie i argumentacja. Przeprowadzenie dowodu algebraicznego.

C=(\(4\),\(11\)), B=(\(24\),\(1\)), D=(−\(18\),\(7\)). Punkt S jest środkiem AC, więc wyznaczamy C i |AC|=\(10\sqrt{2}\). Z pola rombu otrzymujemy |BD|=\(30\sqrt{2}\). Przekątna BD jest prostopadła do AC i przechodzi przez S; rozwiązanie układu opisującego tę prostą oraz odległość \(15\sqrt{2}\) od S daje punkty B i D.

Punkt \(S\) jest środkiem symetrii rombu, czyli punktem przecięcia przekątnych, a więc środkiem odcinka \(AC\). Stąd \[C=2S-A=(2\cdot3-2,\ 2\cdot4-(-3))=(4,11).\] Długość przekątnej: \[\lvert AC\rvert=\sqrt{(4-2)^2+(11+3)^2}=\sqrt{4+196}=10\sqrt2.\] Pole rombu jest połową iloczynu przekątnych: \[300=\tfrac12\cdot10\sqrt2\cdot\lvert BD\rvert,\qquad \lvert BD\rvert=\frac{600}{10\sqrt2}=30\sqrt2.\] Przekątne rombu są prostopadłe i przecinają się w połowie, więc \(B\) i \(D\) leżą na prostej przechodzącej przez \(S\) i prostopadłej do \(AC\), w odległości \(15\sqrt2\) od \(S\). Wektor \(\vec{AC}=[2,14]\), więc wektorem prostopadłym jest \([14,-2]\) o długości \(10\sqrt2\). Wektor o długości \(15\sqrt2\) otrzymujemy, mnożąc go przez \(\frac{15\sqrt2}{10\sqrt2}=\frac32\): \[[21,-3].\] Zatem \[B=S+[21,-3]=(24,1),\qquad D=S-[21,-3]=(-18,7)\] (oznaczenia \(B\) i \(D\) można zamienić). **Odpowiedź.** \(B=(24,1)\), \(C=(4,11)\), \(D=(-18,7)\)

*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.* Schemat oceniania I **Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – obliczenie współrzędnych wierzchołka \(C\) oraz długości przekątnej \(AC\) (lub jej połowy): […]. **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć współrzędne punktów \(B\) i \(D\): \(x+7y=31\), […]. **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – przekształcenie układu do równania kwadratowego z jedną niewiadomą, np. \((28-7y)^{2}\) […] \(=450\). **Rozwiązanie pełne** – współrzędne pozostałych wierzchołków rombu: \(B=(24,1)\), \(C=(4,11)\), \(D=(-18,7)\). Schemat oceniania II **Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – obliczenie współrzędnych wierzchołka \(C\) oraz długości przekątnej \(AC\) (lub jej połowy): \(C=(4,11)\), \(\lvert AC\rvert=10\sqrt{2}\) (\(\lvert AS\rvert=5\sqrt{2}\)). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – obliczenie długości drugiej przekątnej \(\lvert BD\rvert=30\sqrt{2}\) oraz długości boku rombu, np. \(\lvert AD\rvert=[…]\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć współrzędne punktu \(B\) (\(D\)) i przekształcenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą: \(\lvert AD\rvert^{2}=500\), […], \(x^{2}-6x-432=0\). **Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)** – […] **Rozwiązanie bezbłędne** – pozostałe wierzchołki rombu mają współrzędne \(B=(24,1)\), \(C=(4,11)\) i \(D=(-18,7)\).

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: własności przekątnych rombu i obliczenia w układzie współrzędnych.

**A.** \(10\)

Odcinek \(AC\) jest przekątną kwadratu: \[d^{2}=(-5+1)^{2}+(5-3)^{2}=16+4=20.\] Pole kwadratu o przekątnej \(d\) wynosi \(\frac{d^{2}}2\), czyli \(10\). **Odpowiedź.** \(P=10\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria analityczna – oblicza pole kwadratu z jego przekątnej.

Trójkąt ABC jest prostokątny w A

Wyznaczamy wektory wychodzące z wierzchołka \(A=(3,8)\): \[\overrightarrow{AB}=[1-3,\,2-8]=[-2,-6],\qquad \overrightarrow{AC}=[6-3,\,7-8]=[3,-1].\] Trójkąt jest prostokątny przy \(A\) dokładnie wtedy, gdy te wektory są prostopadłe, czyli gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru: \[\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}=(-2)\cdot3+(-6)\cdot(-1)=-6+6=0.\] Warunek jest spełniony, więc kąt \(BAC\) jest prosty. **Odpowiedź.** Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny, z kątem prostym przy wierzchołku \(A\).

1 pkt: obliczenie kwadratów długości boków. 2 pkt: zależność AC²+AB²=BC² i wniosek.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria analityczna – sprawdza prostokątność trójkąta ze współrzędnych.

\(C=(3,3)\) albo \(C=(4,4)\).

Kąt \(ACB\) jest prosty, więc punkt \(C\) leży na okręgu o średnicy \(AB\) (twierdzenie Talesa). Środkiem tego okręgu jest środek odcinka \(AB\), czyli \(S=(7,0)\), a promieniem połowa długości \(AB\), czyli \(r=5\). Punkt \(C\) leży na prostej \(y=x\), więc \(C=(c,c)\) i \[(c-7)^{2}+c^{2}=25.\] Stąd \[2c^{2}-14c+24=0,\qquad c^{2}-7c+12=0,\] a więc \(c=3\) lub \(c=4\). Obie wartości dają punkt różny od \(A\) i \(B\), więc obie są dobre. **Odpowiedź.** \(C=(3,3)\) albo \(C=(4,4)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **I sposób rozwiązania:** Punkt \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=x\) i na okręgu, którego środkiem jest środek przeciwprostokątnej, a promień jest równy połowie długości tej przeciwprostokątnej. Obliczam długość przeciwprostokątnej \(AB\): \(AB=\sqrt{(12-2)^{2}+(0-0)^{2}}=10\). Wyznaczam współrzędne środka przeciwprostokątnej: \(S=(7,0)\). Zapisuję równanie okręgu: \((x-7)^{2}+y^{2}=25\). Rozwiązuję układ równań \(\begin{cases}y=x\\ (x-7)^{2}+y^{2}=25\end{cases}\) Otrzymuję równanie z jedną niewiadomą: \[x^{2}-7x+12=0\] Rozwiązaniem tego równania są liczby: \(x_{1}=4\), \(x_{2}=3\). Odpowiedź: Warunki zadania spełniają dwa punkty: \(C=(4,4)\) oraz \(C=(3,3)\). **II sposób rozwiązania:** Oznaczmy współrzędne punktu \(C\) przez \((x,y)\). Wtedy \(AB=\sqrt{(12-2)^{2}+(0-0)^{2}}=10\), \(AC=\sqrt{(x-2)^{2}+(y-0)^{2}}\), \(BC=\sqrt{(x-12)^{2}+(y-0)^{2}}\). Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny, więc spełniona jest równość \(AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}\), czyli \((x-2)^{2}+y^{2}+(x-12)^{2}+y^{2}=10^{2}\). Punkt \(C\) leży też na prostej o równaniu \(y=x\), zatem aby obliczyć jego współrzędne, należy rozwiązać układ równań: \[\begin{cases}(x-2)^{2}+y^{2}+(x-12)^{2}+y^{2}=10^{2}\\ y=x\end{cases}\]\[x^{2}-4x+4+x^{2}+x^{2}-24x+144+x^{2}=100\]\[4x^{2}-28x+48=0\]\[x^{2}-7x+12=0\]\[x_{1}=4,\quad x_{2}=3\] Odpowiedź: Warunki zadania spełniają dwa punkty: \(C=(4,4)\) oraz \(C=(3,3)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(C=(30,0)\) lub \(C=(-26,0)\).

**Krok \(1\).** Punkty \(A\) i \(C\) leżą na osi \(Ox\), więc bok \(AC\) trójkąta jest zawarty w tej osi. Warto wziąć go za podstawę — wtedy wysokość opuszczona z punktu \(B\) jest po prostu odległością \(B\) od osi \(Ox\), czyli wartością bezwzględną rzędnej punktu \(B\). Z wzoru na pole trójkąta wyliczymy \(|AC|\), a stąd współrzędne \(C\). **Krok \(2\).** Wyznaczamy \(A\) — punkt przecięcia prostej z osią \(Ox\), czyli podstawiamy \(y=0\): \[5x+4\cdot0-10=0,\qquad 5x=10,\qquad x=2,\] więc \(A=(2,0)\). **Krok \(3\).** Wyznaczamy \(B\) — punkt przecięcia z osią \(Oy\), czyli podstawiamy \(x=0\): \[5\cdot0+4y-10=0,\qquad 4y=10,\qquad y=\frac52,\] więc \(B=\left(0,\frac52\right)\). **Krok \(4\).** Szukany punkt ma postać \(C=(x,0)\). Podstawa trójkąta to \(|AC|=|x-2|\), a wysokość opuszczona z \(B\) na prostą \(Ox\) ma długość \(h=\frac52\). **Krok \(5\).** Zapisujemy warunek na pole: \[\frac12\cdot|AC|\cdot\frac52=35,\] \[\frac54\,|AC|=35,\qquad |AC|=35\cdot\frac45=28.\] **Krok \(6\).** Rozwiązujemy równanie \(|x-2|=28\): \[x-2=28\quad\text{lub}\quad x-2=-28,\] \[x=30\quad\text{lub}\quad x=-26.\] **Krok \(7\).** Zatem \(C=(30,0)\) lub \(C=(-26,0)\). Sprawdzenie dla \(C=(-26,0)\): \(|AC|=|-26-2|=28\), pole \(=\frac12\cdot28\cdot\frac52=35\) — zgadza się. **Uwaga.** W treści jest napisane wszystkich punktów \(C\), a to sygnał, że rozwiązanie nie jest jedno. Punkt \(C\) może leżeć po prawej albo po lewej stronie punktu \(A\) — wysokość trójkąta w obu przypadkach jest taka sama, bo mierzymy ją od punktu \(B\) do osi \(Ox\). Podanie tylko \(C=(30,0)\) to niepełne rozwiązanie. **Odpowiedź.** \(C=(30,0)\) lub \(C=(-26,0)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Wyznaczam współrzędne punktów \(A\) i \(B\): \(A=(2,0)\) oraz \(B=\left(0,\frac{5}{2}\right)\). […] Punkt \(C\) może leżeć z lewej lub z prawej strony punktu \(A\). Przyjmując, że w obu przypadkach wysokością trójkąta \(ABC\) jest odcinek \(BO\), którego długość jest równa \(\frac{5}{2}\) i korzystając z faktu, że pole trójkąta \(ABC\) równa się \(35\) zapisuję równanie: \[\frac{1}{2}\cdot\lvert AC\rvert\cdot\lvert BO\rvert=35\] \[\frac{1}{2}\cdot\lvert AC\rvert\cdot\frac{5}{2}=35\] \[\lvert AC\rvert=28\] Ponieważ punkt \(A=(2,0)\), więc \(C=(30,0)\) lub \(C=(-26,0)\). Zadanie ma zatem dwa rozwiązania.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(C=(10,4)\) lub \(C=(-5,9)\) (z równania \(y^{2}-13y+36=0\)).

**Krok \(1\).** Kąt prosty jest przy wierzchołku \(C\), więc prostopadłe są odcinki \(CA\) i \(CB\). Punkt \(C\) leży na danej prostej, więc jego współrzędne da się opisać jedną niewiadomą. Warunek prostopadłości zapiszemy przez iloczyn skalarny wektorów \(\vec{CA}\) i \(\vec{CB}\) — otrzymamy jedno równanie kwadratowe. **Krok \(2\).** Z równania prostej \(x+3y=22\) wyznaczamy \(x=22-3y\), więc \[C=(22-3y,\ y).\] **Krok \(3\).** Obliczamy wektory wychodzące z \(C\): \[\vec{CA}=[-2-(22-3y),\ 12-y]=[3y-24,\ 12-y],\] \[\vec{CB}=[6-(22-3y),\ -2-y]=[3y-16,\ -2-y].\] **Krok \(4\).** Wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru: \[(3y-24)(3y-16)+(12-y)(-2-y)=0.\] **Krok \(5\).** Wymnażamy oba iloczyny: \[(3y-24)(3y-16)=9y^2-48y-72y+384=9y^2-120y+384,\] \[(12-y)(-2-y)=-24-12y+2y+y^2=y^2-10y-24.\] **Krok \(6\).** Dodajemy stronami i porządkujemy: \[10y^2-130y+360=0,\qquad y^2-13y+36=0.\] **Krok \(7\).** Obliczamy wyróżnik i pierwiastki: \[\Delta=169-144=25,\qquad\sqrt{\Delta}=5,\] \[y=\frac{13-5}{2}=4\qquad\text{lub}\qquad y=\frac{13+5}{2}=9.\] **Krok \(8\).** Wracamy do współrzędnej \(x=22-3y\): dla \(y=4\) mamy \(x=22-12=10\), a dla \(y=9\) mamy \(x=22-27=-5\). Otrzymujemy dwa punkty: \(C_1=(10,4)\) oraz \(C_2=(-5,9)\). **Krok \(9\).** Sprawdzenie. Dla \(C_1\): \(\vec{C_1A}=[-12,8]\), \(\vec{C_1B}=[-4,-6]\), iloczyn skalarny \(48-48=0\). Dla \(C_2\): \(\vec{C_2A}=[3,3]\), \(\vec{C_2B}=[11,-11]\), iloczyn skalarny \(33-33=0\). Oba punkty spełniają warunki zadania. **Krok \(10\).** Rysunek: zaznaczamy \(A=(-2,12)\) i \(B=(6,-2)\), prostą \(x+3y=22\) (przechodzi na przykład przez \((22,0)\) i \((10,4)\)) oraz oba znalezione punkty \(C\). Dobra kontrola: skoro kąt przy \(C\) jest prosty, to \(C\) leży na okręgu o średnicy \(AB\) (twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa) — okrąg ten ma środek \((2,5)\) i rzeczywiście przechodzi przez oba znalezione punkty. **Uwaga.** Polecenie każe rozważyć wszystkie przypadki i nie jest to formalność: okrąg Talesa o średnicy \(AB\) przecina daną prostą w dwóch punktach, więc rozwiązania są dwa. Podanie tylko jednego to utrata punktów. **Odpowiedź.** \(C=(10,4)\) albo \(C=(-5,9)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **1.1. (1 pkt)** – […] (rysunek: układ współrzędnych, oś \(x\): \(-8,\ -7,\ -6,\ -5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13\); oś \(y\): \(7,\ 6,\ 5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ -1,\ -2,\ -3\); punkty \(C\) i \(B\)) […] prawidłowość odczytu. Przyznajemy pełną pulę punktów. • W przypadku, gdy zdający poda odczytane współrzędne punktu \(C\) i nie dokona sprawdzenia z warunkami zadania otrzymuje punkty tylko w czynnościach 1.1 i 1.5. **1.2. (1 pkt)** – wprowadzenie oznaczenia współrzędnych punktu \(C\), np. \(C=(22-3y,\,y)\) lub \(C=\left(x,\,-\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\right)\). **1.3. (1 pkt)** – wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa i zapisanie warunku prostopadłości odcinków \(AC\) i \(BC\): \(AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}\), w którym \(AC^{2}=10y^{2}-168y+720\), \(BC^{2}=10y^{2}-92y+260\), \(AB^{2}=260\) lub \(AC^{2}=\frac{1}{9}\left(10x^{2}+64x+232\right)\), \(BC^{2}=\frac{1}{9}\left(10x^{2}-164x+1108\right)\). **1.4. (1 pkt)** – doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą: np. \(y^{2}-13y+36=0\) lub \(x^{2}-5x-50=0\). **1.5. (1 pkt)** – rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi: \(C=(10,\,4)\) lub \(C=(-5,\,9)\). **II metoda rozwiązania („WEKTORY”):** **1.1. (1 pkt)** – sporządzenie rysunku w układzie współrzędnych. Rysunek musi zawierać daną prostą oraz punkty \(A\) i \(B\). Inne elementy mogą, ale nie muszą być uwzględnione. **1.2. (1 pkt)** – wprowadzenie oznaczeń pomocniczych i wyznaczenie wektorów: np. \(C=(22-3y,\,y)\), \(\overrightarrow{CA}=[-24+3y,\,12-y]\), \(\overrightarrow{CB}=[-16+3y,\,-2-y]\) lub \(C=\left(x,\,-\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\right)\), \(\overrightarrow{CA}=\left[-2-x,\,\frac{1}{3}x+\frac{14}{3}\right]\), \(\overrightarrow{CB}=\left[6-x,\,\frac{1}{3}x-\frac{28}{3}\right]\). **1.3. (1 pkt)** – wykorzystanie warunku prostopadłości wektorów \(\overrightarrow{CA}\), \(\overrightarrow{CB}\) i zapisanie równania: np. \((-24+3y)(-16+3y)+(12-y)(-2-y)=0\), gdzie \(y\) to rzędna punktu \(C\), lub \(-(2+x)(6-x)+\frac{1}{9}(x+14)(x-28)=0\), gdzie \(x\) to odcięta punktu \(C\). **1.4. (1 pkt)** – doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą: np. \(y^{2}-13y+36=0\) lub \(x^{2}-5x-50=0\). **1.5. (1 pkt)** – rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi: \(C=(10,\,4)\) lub \(C=(-5,\,9)\). **III metoda rozwiązania („KONSTRUKCJA”):** **1.1. (1 pkt)** – sporządzenie rysunku w układzie współrzędnych. Rysunek musi zawierać daną prostą oraz punkty \(A\) i \(B\). Inne elementy mogą, ale nie muszą być uwzględnione. **1.2. (1 pkt)** – zapisanie równania okręgu o środku w punkcie \(S=(2,\,5)\), który jest środkiem odcinka \(AB\) i promieniu \(r=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{260}\): \((x-2)^{2}+(y-5)^{2}=\left(\frac{1}{2}\sqrt{260}\right)^{2}\). **1.3. (1 pkt)** – zapisanie układu równań: \(\begin{cases}x+3y=22\\ (x-2)^{2}+(y-5)^{2}=\left(\frac{1}{2}\sqrt{260}\right)^{2}\end{cases}\) **1.4. (1 pkt)** – doprowadzenie obliczeń do postaci równania kwadratowego, np.: \(y^{2}-13y+36=0\) lub \(x^{2}-5x-50=0\). **1.5. (1 pkt)** – rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi: \(C=(10,\,4)\) lub \(C=(-5,\,9)\). **Ogólnie, rozwiązanie powinno mieć postać:** **1.1. (1 pkt)** – sporządzenie rysunku w układzie współrzędnych. **1.2. (1 pkt)** – przedstawienie metody pozwalającej wyznaczyć punkt \(C\). W metodzie II i III przestawione zostały czynności 1.2 i 1.3 i zapisane w kolejności takiej, jaka będzie miała miejsce w trakcie rozwiązania tą metodą. **1.3. (1 pkt)** – zapisanie warunków algebraicznych wynikających z obranej metody rozwiązania. **1.4. (1 pkt)** – doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą. **1.5. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych punktów \(C\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(A=(3-\sqrt3,6)\), \(B=(3+\sqrt3,6)\), \(C=(3,9)\).

Parabola \(y=-x^2+6x=-(x-3)^2+9\) ma wierzchołek \(C=(3,9)\) i oś symetrii \(x=3\). Bok \(AB\) jest równoległy do osi \(Ox\), a trójkąt jest równoboczny, więc \(A\) i \(B\) leżą symetrycznie względem prostej \(x=3\). Przyjmijmy \[A=(3-t,\,y_0),\qquad B=(3+t,\,y_0),\qquad t>0.\] Punkty te leżą na paraboli, zatem \(y_0=-t^2+9\). Bok \(|AB|=2t\), a wysokość trójkąta to odległość \(C\) od prostej \(AB\): \[h=9-(9-t^2)=t^2.\] W trójkącie równobocznym \(h=\dfrac{\sqrt3}{2}\,|AB|\), więc \[t^2=\frac{\sqrt3}{2}\cdot2t=\sqrt3\,t,\qquad t=\sqrt3.\] Stąd \(y_0=9-3=6\). **Odpowiedź.** \(A=(3-\sqrt3,6)\), \(B=(3+\sqrt3,6)\), \(C=(3,9)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Aby sporządzić rysunek wyznaczam współrzędne wierzchołka danej paraboli: \(y=-x^{2}+6x=-(x-3)^{2}+9\), więc wierzchołek paraboli ma współrzędne \((3,9)\). Wykonuję rysunek ilustrujący treść zadania. […] Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny, więc kąt \(BAC\) ma miarę \(60^\circ\). Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(C\) jest więc równy \(\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt{3}\). Wyznaczam równanie prostej \(AC\): prosta \(y=\sqrt{3}x+b\) przechodzi przez punkt \(C=(3,9)\), więc współczynnik \(b\) jest równy \(b=-3\sqrt{3}+9\). Prosta \(AC\) ma równanie: \(y=\sqrt{3}x-3\sqrt{3}+9\). Aby wyznaczyć współrzędne punktu \(A\) rozwiązuję układ równań: \[\begin{cases}y=\sqrt{3}x-3\sqrt{3}+9\\ y=-x^{2}+6x\end{cases}\] Po dokonaniu podstawienia \(y=-x^{2}+6x\) otrzymuję równanie \(\sqrt{3}x-3\sqrt{3}+9=-x^{2}+6x\), które po uporządkowaniu przyjmuje postać: \(x^{2}+x\left(\sqrt{3}-6\right)+9-3\sqrt{3}=0\). Rozwiązaniem równania są liczby: \(x_{1}=3\), \(x_{2}=3-\sqrt{3}\). Współrzędne punktów przecięcia prostej \(AC\) z parabolą \(y=-x^{2}+6x\) są więc następujące: \(\left(3-\sqrt{3},\,6\right)\) oraz \((3,9)\). Punkt \((3,9)\) jest wierzchołkiem paraboli, więc punkt \(A\) ma współrzędne \(\left(3-\sqrt{3},\,6\right)\). Współrzędne punktu \(B\) wyznaczam wykorzystując fakt, iż osią symetrii paraboli \(y=-x^{2}+6x\) jest prosta \(x=3\). Punkt \(B\) jest więc obrazem punktu \(A\) w symetrii względem tej prostej, czyli \(B=\left(3+\sqrt{3},\,6\right)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(P_{ABCD}=36\) (bo \(D=(0,6)\), \(A=(-3,0)\), \(B=(6,0)\), \(C=(3,6)\), więc \(|AB|=9\), \(|CD|=3\), a wysokość trapezu wynosi \(6\)).

**Krok \(1\).** Kluczowa jest obserwacja, że wszystkie cztery wierzchołki trapezu leżą na paraboli, a to pozwala wyliczyć ich współrzędne z równania paraboli. Bok \(AB\) leży na osi \(Ox\), więc \(A\) i \(B\) to miejsca zerowe funkcji. Punkt \(D\) leży na osi \(Oy\), więc odpowiada mu \(x=0\). Wreszcie \(CD\) jest równoległe do \(AB\) (to podstawy trapezu), a skoro \(AB\) jest poziome, to \(C\) ma tę samą rzędną co \(D\). **Krok \(2\).** Wyznaczamy \(D\), podstawiając \(x=0\): \[y=-\frac13\cdot0^2+0+6=6,\qquad D=(0,6).\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy \(A\) i \(B\), czyli miejsca zerowe: \[-\frac13x^2+x+6=0\qquad\big|\cdot(-3)\big.\] \[x^2-3x-18=0.\] **Krok \(4\).** Liczymy wyróżnik i pierwiastki: \[\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-18)=9+72=81,\qquad\sqrt{\Delta}=9,\] \[x_1=\frac{3-9}{2}=-3,\qquad x_2=\frac{3+9}{2}=6.\] Zatem \(A=(-3,0)\) i \(B=(6,0)\), a długość dłuższej podstawy to \[|AB|=6-(-3)=9.\] **Krok \(5\).** Wyznaczamy \(C\). Skoro \(CD\parallel AB\), punkt \(C\) ma tę samą rzędną co \(D\), czyli \(y=6\): \[-\frac13x^2+x+6=6,\qquad -\frac13x^2+x=0,\qquad x\left(1-\frac13x\right)=0,\] skąd \(x=0\) lub \(x=3\). Wartość \(x=0\) to punkt \(D\), więc \(C=(3,6)\). **Krok \(6\).** Obliczamy krótszą podstawę: \[|CD|=3-0=3.\] **Krok \(7\).** Wysokość trapezu to odległość między prostymi zawierającymi podstawy, czyli między prostą \(y=6\) a osią \(Ox\): \[h=6.\] **Krok \(8\).** Podstawiamy do wzoru na pole trapezu: \[P=\frac{|AB|+|CD|}{2}\cdot h=\frac{9+3}{2}\cdot6=6\cdot6=36.\] **Uwaga.** Równanie z kroku \(5\) ma dwa rozwiązania i trzeba świadomie odrzucić \(x=0\) — ono odpowiada punktowi \(D\), a nie nowemu wierzchołkowi. Zwróć też uwagę, że wysokości nie trzeba liczyć osobno: to po prostu rzędna punktów \(C\) i \(D\), bo druga podstawa leży na osi \(Ox\). **Odpowiedź.** \(P_{ABCD}=36\) (bo \(D=(0,6)\), \(A=(-3,0)\), \(B=(6,0)\), \(C=(3,6)\), więc \(|AB|=9\), \(|CD|=3\), a wysokość trapezu wynosi \(6\)).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\): \(D=(0,\,6)\). **6.2. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych punktów \(A\) i \(B\): \(A=(-3,\,0)\), \(B=(6,\,0)\). **6.3. (1 pkt)** – wyznaczenie długości odcinka \(CD\): \(CD=3\). **6.4. (1 pkt)** – obliczenie pola trapezu: \(P_{ABCD}=\frac{9+3}{2}\cdot 6=36\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(A=(-1,-3)\), \(B=(1,-3)\), \(C=(3,5)\), \(D=(-3,5)\). b) \(AB\parallel DC\) (oba odcinki są poziome) oraz \(|AD|=|BC|=2\sqrt{17}\), przy czym \(|AB|=2\neq6=|DC|\) — czworokąt jest trapezem równoramiennym (dowód w rozwiązaniu). c) \(x^{2}+\left(y-\dfrac32\right)^{2}=\dfrac{85}{4}\), czyli środek \(O=\left(0,\dfrac32\right)\) i promień \(r=\dfrac{\sqrt{85}}{2}\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie łączące algebrę z geometrią analityczną. Punkt startowy to zwykły układ równań: w drugim równaniu \(x\) występuje tylko w postaci \(x^2\), więc możemy wyznaczyć \(x^2\) i wstawić do pierwszego — zostanie równanie z jedną niewiadomą \(y\). **Krok \(2\).** Z drugiego równania \(-x^2+y+4=0\) otrzymujemy \[x^2=y+4.\] **Krok \(3\).** Wstawiamy to do pierwszego równania: \[-4(y+4)+y^2+2y+1=0,\qquad -4y-16+y^2+2y+1=0,\qquad y^2-2y-15=0.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy: \(\Delta=4+60=64\), \(\sqrt{\Delta}=8\), więc \(y=\dfrac{2-8}{2}=-3\) lub \(y=\dfrac{2+8}{2}=5\). **Krok \(5\).** Wracamy do zależności \(x^2=y+4\). Dla \(y=-3\) mamy \(x^2=1\), czyli \(x=-1\) lub \(x=1\). Dla \(y=5\) mamy \(x^2=9\), czyli \(x=-3\) lub \(x=3\). Otrzymujemy cztery punkty: \((-1,-3)\), \((1,-3)\), \((3,5)\), \((-3,5)\). Aby czworokąt \(ABCD\) był wypukły, wierzchołki trzeba wypisać w kolejności obiegu, więc przyjmujemy \(A=(-1,-3)\), \(B=(1,-3)\), \(C=(3,5)\), \(D=(-3,5)\). **Krok \(6\).** Podpunkt b). Punkty \(A\) i \(B\) mają tę samą rzędną \(-3\), a punkty \(D\) i \(C\) tę samą rzędną \(5\), więc odcinki \(AB\) i \(DC\) są poziome, a zatem równoległe. Ich długości to \(|AB|=1-(-1)=2\) oraz \(|DC|=3-(-3)=6\). Skoro \(|AB|\neq|DC|\), czworokąt nie jest równoległobokiem, tylko trapezem o podstawach \(AB\) i \(DC\). **Krok \(7\).** Liczymy ramiona: \[|AD|=\sqrt{(-3-(-1))^2+(5-(-3))^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17},\] \[|BC|=\sqrt{(3-1)^2+(5-(-3))^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}.\] Ramiona są równe, więc trapez \(ABCD\) jest równoramienny. **Krok \(8\).** Podpunkt c). Każdy trapez równoramienny da się wpisać w okrąg, więc okrąg opisany istnieje. Jego środek \(S\) jest jednakowo odległy od wszystkich wierzchołków; z symetrii figury względem osi \(Oy\) (odcięte wierzchołków tworzą pary \(\pm1\) i \(\pm3\)) leży on na tej osi, więc \(S=(0,b)\). **Krok \(9\).** Wyznaczamy \(b\) z warunku \(|SA|=|SD|\): \[(-1-0)^2+(-3-b)^2=(-3-0)^2+(5-b)^2,\] \[1+b^2+6b+9=9+b^2-10b+25,\] \[6b+10=34-10b,\qquad 16b=24,\qquad b=\frac32.\] **Krok \(10\).** Liczymy promień: \[r^2=|SA|^2=1+\left(-3-\tfrac32\right)^2=1+\left(\tfrac92\right)^2=1+\frac{81}{4}=\frac{85}{4},\qquad r=\frac{\sqrt{85}}{2}.\] Okrąg o środku \(\left(0,\tfrac32\right)\) i promieniu \(r\) ma równanie \(x^2+\left(y-\tfrac32\right)^2=\tfrac{85}{4}\). **Uwaga.** Do wykazania, że trapez jest równoramienny, nie wystarczy sama równość ramion — trzeba jeszcze sprawdzić, że podstawy mają różne długości. Gdyby było \(|AB|=|DC|\), figura byłaby równoległobokiem, a nie trapezem. Drugi wygodny skrót: środka okręgu opisanego szukamy na osi symetrii figury, zamiast rozwiązywać układ trzech równań z dwiema niewiadomymi. **Odpowiedź.** a) \(A=(-1,-3)\), \(B=(1,-3)\), \(C=(3,5)\), \(D=(-3,5)\). b) \(AB\parallel DC\) (oba odcinki są poziome) oraz \(|AD|=|BC|=2\sqrt{17}\), przy czym \(|AB|=2\neq6=|DC|\) — czworokąt jest trapezem równoramiennym. c) \(x^{2}+\left(y-\dfrac32\right)^{2}=\dfrac{85}{4}\), czyli środek \(O=\left(0,\dfrac32\right)\) i promień \(r=\dfrac{\sqrt{85}}{2}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **18.1. (2 pkt)** – […]zanie **18.2. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych wierzchołków czworokąta: \(A=(-1;-3)\), \(B=(1;-3)\), \(C=(3;5)\), \(D=(-3;5)\) **18.3. (1 pkt)** – uzasadnienie że czworokąt \(ABCD\) jest trapezem równoramiennym, np. \(AB\parallel CD\) oraz \(\lvert AD\rvert=\lvert BC\rvert\) **18.4. (1 pkt)** – wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(BC\): \(x+4y-6=0\) **18.5. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych środka okręgu: \(O=\left(0;\frac{3}{2}\right)\) **18.6. (1 pkt)** – obliczenie długości promienia okręgu: \(r=\frac{\sqrt{85}}{2}\) **18.7. (1 pkt)** – zapisanie równania okręgu: \(x^{2}+\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{85}{4}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[P_{ABC}=7.\]

Rysujemy prostokąt \(KLMN\) o bokach równoległych do osi, opisany na trójkącie: \(K=(1,0)\), \(L=(5,0)\), \(M=(5,4)\), \(N=(1,4)\). Wierzchołek \(A=(1,0)\) pokrywa się z \(K\), punkt \(B=(5,1)\) leży na boku \(LM\), a \(C=(3,4)\) na boku \(MN\). Odczytujemy długości odcinków: \[\lvert KL\rvert=4,\ \lvert LB\rvert=1,\ \lvert BM\rvert=3,\ \lvert MC\rvert=2,\ \lvert CN\rvert=2,\ \lvert NK\rvert=4.\] Pole prostokąta: \[P_{KLMN}=4\cdot4=16.\] Pola trzech trójkątów prostokątnych: \[P_{AKL\text{–}B}=\tfrac12\cdot4\cdot1=2,\qquad P_{BMC}=\tfrac12\cdot3\cdot2=3,\qquad P_{CNA}=\tfrac12\cdot2\cdot4=4.\] Od pola prostokąta odejmujemy sumę pól trójkątów: \[P_{ABC}=16-(2+3+4)=7.\] Kontrola drugą metodą (wzór na pole trójkąta z współrzędnych): \[P=\tfrac12\left\lvert 1(1-4)+5(4-0)+3(0-1)\right\rvert=\tfrac12\cdot14=7.\] **Odpowiedź.** \(P_{ABC}=7\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **(1 pkt)** – zaznaczenie w układzie współrzędnych punktów \(ABC\) oraz narysowanie prostokąta \(KLMN\). **(1 pkt)** – wyznaczenie długości odpowiednich odcinków: \(\lvert KL\rvert=4\), \(\lvert LB\rvert=1\), \(\lvert BM\rvert=3\), \(\lvert MC\rvert=2\), \(\lvert CN\rvert=2\), \(\lvert NK\rvert=4\). **(1 pkt)** – obliczenie pola prostokąta \(KLMN\): \(16\). **(1 pkt)** – obliczenie pól odpowiednich trójkątów prostokątnych: \(2\), \(3\) i \(4\). **(1 pkt)** – wyznaczenie pola trójkąta \(ABC\): \(7\).

Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Układ nierówności: \[\begin{cases} y\geqslant -\tfrac{3}{5}x\\ y\leqslant \tfrac{3}{5}x\\ x\leqslant 5\end{cases}\] Pole trójkąta: \(P=\frac12\cdot|CB|\cdot|AD|=\frac12\cdot 6\cdot 5=15\).

**Krok \(1\).** Trójkąt jest częścią wspólną trzech półpłaszczyzn: każdy jego bok leży na pewnej prostej, a cały trójkąt znajduje się po jednej stronie każdej z tych prostych. Plan jest więc taki: wyznaczyć równania prostych \(AB\), \(AC\) i \(BC\), a potem dla każdej ustalić właściwy kierunek nierówności, sprawdzając ten wierzchołek, który na danej prostej nie leży. Pole policzymy ze wzoru \(P=\frac12\cdot\text{podstawa}\cdot\text{wysokość}\), biorąc za podstawę pionowy bok \(BC\). **Krok \(2\).** Prosta \(AC\) przechodzi przez \(A=(0,0)\) i \(C=(5,3)\). Przechodzi przez początek układu, więc ma postać \(y=ax\); z warunku \(3=a\cdot5\) dostajemy \(a=\frac35\), czyli \(y=\frac35x\). **Krok \(3\).** Prosta \(AB\) przechodzi przez \(A=(0,0)\) i \(B=(5,-3)\). Analogicznie \(-3=a\cdot5\), czyli \(a=-\frac35\) i \(y=-\frac35x\). **Krok \(4\).** Prosta \(BC\) przechodzi przez \(B=(5,-3)\) i \(C=(5,3)\) — oba punkty mają tę samą pierwszą współrzędną, więc jest to prosta pionowa \(x=5\). **Krok \(5\).** Ustalamy kierunki nierówności, podstawiając współrzędne wierzchołka nieleżącego na danej prostej. Dla prostej \(y=\frac35x\) sprawdzamy \(B=(5,-3)\): tutaj \(\frac35\cdot5=3\), a \(-3\leqslant3\), więc trójkąt leży po stronie \(y\leqslant\frac35x\). Dla prostej \(y=-\frac35x\) sprawdzamy \(C=(5,3)\): tutaj \(-\frac35\cdot5=-3\), a \(3\geqslant-3\), więc trójkąt leży po stronie \(y\geqslant-\frac35x\). Dla prostej \(x=5\) sprawdzamy \(A=(0,0)\): \(0\leqslant5\), więc trójkąt leży po stronie \(x\leqslant5\). **Krok \(6\).** Zapisujemy układ (nierówności nieostre, bo do trójkąta należą też jego boki): \[\begin{cases} y\geqslant -\tfrac{3}{5}x\\ y\leqslant \tfrac{3}{5}x\\ x\leqslant 5\end{cases}\] **Krok \(7\).** Liczymy pole. Za podstawę bierzemy bok \(CB\) leżący na prostej \(x=5\); jego długość to różnica drugich współrzędnych: \[|CB|=|3-(-3)|=6.\] **Krok \(8\).** Wysokość opuszczona z \(A\) na tę pionową podstawę jest odcinkiem poziomym od \(A=(0,0)\) do punktu \(D=(5,0)\), więc \[|AD|=5.\] **Krok \(9\).** Obliczamy pole trójkąta: \[P=\frac12\cdot|CB|\cdot|AD|=\frac12\cdot6\cdot5=15.\] **Uwaga.** Nierówności muszą być nieostre, bo trójkąt jako figura obejmuje również swoje boki i wierzchołki; przy ostrych nierównościach opisalibyśmy tylko wnętrze. Kierunku nierówności nie warto zgadywać z rysunku — najpewniejsze jest podstawienie współrzędnych wierzchołka, który na danej prostej nie leży. **Odpowiedź.** Układ nierówności: \[\begin{cases} y\geqslant -\tfrac{3}{5}x\\ y\leqslant \tfrac{3}{5}x\\ x\leqslant 5\end{cases}\] Pole trójkąta: \(P=\frac12\cdot|CB|\cdot|AD|=\frac12\cdot 6\cdot 5=15\).

*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.* **9.1. ([…] pkt)** – […] Za dwie poprawne nierówności albo za trzy nierówności, z których co najmniej jedna jest ostra, o właściwych kierunkach przyznajemy \(1\) p.: \(\begin{cases}y\ge-\frac{3}{5}x\\ y\le\frac{3}{5}x\\ […]\end{cases}\) **9.2. (1 pkt)** – wyznaczenie długości podstawy i wysokości trójkąta \(ABC\): \(CB=6\), \(AD=5\). **9.3. (1 pkt)** – obliczenie pola figury \(F\) jako pole \(\Delta ABC\): \(P=\frac{1}{2}CB\cdot AD=15\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Figura \(F\) jest rombem o polu \(P=\frac83\).

Nierówność \(3|x|+|y|\le2\) rozpatrujemy w czterech ćwiartkach, opuszczając wartości bezwzględne. Dla \(x\ge0\) i \(y\ge0\) otrzymujemy \(3x+y\le2\), czyli obszar pod prostą \(y=-3x+2\); w pozostałych ćwiartkach obrazy tego obszaru w symetriach względem osi układu. Zbiór \(F\) jest więc rombem o wierzchołkach \[\left(\tfrac23,0\right),\quad(0,2),\quad\left(-\tfrac23,0\right),\quad(0,-2),\] czyli figurą symetryczną względem obu osi. Przekątne rombu leżą na osiach układu i mają długości \(d_1=\frac43\) oraz \(d_2=4\). Pole rombu obliczamy ze wzoru na iloczyn przekątnych: \[P=\frac12 d_1d_2=\frac12\cdot\frac43\cdot4=\frac83.\] **Odpowiedź.** \(P=\frac83\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **16.1. (2 pkt)** – […] (w tym \(1\) p. za metodę oraz \(1\) p. za obliczenia): […] \(\lor\begin{cases}x<0\\ y\ge 0\\ -3x+y\le 2\end{cases}\lor\begin{cases}x<0\\ y<0\\ -3x-y\le 2\end{cases}\) **16.2. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych wierzchołków figury \(F\): \(\left(-\frac{2}{3};0\right)\); \(\left(\frac{2}{3};0\right)\); \((0;2)\); \((0;-2)\). **16.3. (1 pkt)** – sporządzenie rysunku i zaznaczenie figury \(F\). **16.4. (1 pkt)** – obliczenie pola figury \(F\): \(P_{F}=2P_{\Delta ABC}=AB\cdot OC\), \(P_{F}=\frac{8}{3}\), \(AB=[…]\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Przekształcenie \(P\) jest izometrią, a obrazem danego okręgu jest okrąg o równaniu \(x^2+y^2-4x+3=0\).

**Izometria.** Niech \(A=(x_1,y_1)\) i \(B=(x_2,y_2)\). Wtedy \(P(A)=(x_1+1,-y_1)\) oraz \(P(B)=(x_2+1,-y_2)\), a zatem \[\left|P(A)P(B)\right|=\sqrt{\left((x_2+1)-(x_1+1)\right)^{2}+\left(-y_2+y_1\right)^{2}}=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}=|AB|.\] Przekształcenie zachowuje odległość dowolnych dwóch punktów, więc jest izometrią. **Obraz okręgu.** Dany okrąg zapisujemy w postaci kanonicznej: \[x^{2}+y^{2}-2x=0\quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)^{2}+y^{2}=1,\] więc ma środek \((1,0)\) i promień \(1\). Izometria przeprowadza okrąg na okrąg o tym samym promieniu, a obrazem środka jest \[P\left((1,0)\right)=(2,0).\] Obraz ma więc równanie \[(x-2)^{2}+y^{2}=1\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}-4x+3=0.\] **Odpowiedź.** \(x^2+y^2-4x+3=0\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **13.1. (1 pkt)** – powołanie się na definicję izometrii **13.2. (1 pkt)** – wybór dwóch różnych punktów \(A\) i \(B\) i wyznaczenie współrzędnych ich obrazów \(A^{\prime}\) i \(B^{\prime}\) **13.3. (1 pkt)** – sprawdzenie, że odległości \(AB\) i \(A^{\prime}B^{\prime}\) są równe **13.4. (2 pkt)** – wyznaczenie równania obrazu danego okręgu w przekształceniu \(P\): np. \(x^{2}+y^{2}-4x+3=0\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.