Tożsamości trygonometryczne i wzory redukcyjne — zadania maturalne z rozwiązaniami

**C.** \(1\)

Korzystamy z tożsamości \(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\): \[\sin^{4}x+\cos^{4}x=1-2\sin^{2}x\cos^{2}x\leq 1.\] Równość zachodzi między innymi wtedy, gdy \(\sin x=0\), więc największa wartość funkcji jest równa \(1\).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 6.4) Zdający stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) oraz \(\sin(90^{\circ}-\alpha)=\cos\alpha\).

**D.** \(\tan\alpha=\frac{20}{3}\)

**Krok \(1\).** Szukamy tangensa, a w warunku występują sinus i cosinus. Celem przekształceń jest więc doprowadzenie do ilorazu \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), bo to właśnie jest \(\tan\alpha\). **Krok \(2\).** Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha\gt 0\). Mianownik \(4\cos\alpha\) jest zatem różny od zera i wolno przez niego pomnożyć obie strony: \[3\sin\alpha+4\cos\alpha=6\cdot 4\cos\alpha=24\cos\alpha.\] **Krok \(3\).** Przenosimy \(4\cos\alpha\) na prawą stronę: \[3\sin\alpha=24\cos\alpha-4\cos\alpha=20\cos\alpha.\] **Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(3\cos\alpha\) (znów wolno, bo \(\cos\alpha\gt 0\)): \[\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{20}{3}.\] **Krok \(5\).** Lewa strona to z definicji tangens, więc \[\tan\alpha=\frac{20}{3}.\] **Krok \(6\).** Szybszy wariant tego samego rachunku: rozbijamy ułamek z treści na dwa składniki \[\frac{3\sin\alpha}{4\cos\alpha}+\frac{4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6,\qquad \frac34\tan\alpha+1=6,\] skąd \(\frac34\tan\alpha=5\) i \(\tan\alpha=\frac{20}{3}\). **Uwaga.** Częsty błąd to skrócenie \(\cos\alpha\) w ułamku z treści już na starcie, tak jakby licznik był iloczynem. Skracać można tylko czynniki, a w liczniku jest suma — najpierw trzeba pomnożyć obie strony przez mianownik albo rozbić ułamek na dwa składniki, jak w kroku \(6\). **Odpowiedź.** D. \(\tan\alpha=\frac{20}{3}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VII.2) Zdający korzysta z wzorów \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

**C.** \(\operatorname{tg}25^\circ\)

W liczniku wyłączamy \(\sin 25^\circ\) przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\sin^{3}25^\circ+\sin 25^\circ\cos^{2}25^\circ=\sin 25^\circ\left(\sin^{2}25^\circ+\cos^{2}25^\circ\right)=\sin 25^\circ.\] Ponieważ \(\cos 25^\circ\neq0\), dzielenie jest wykonalne i \[\frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ}=\operatorname{tg}25^\circ.\] **Odpowiedź.** C

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: V. Rozumowanie i argumentacja. Wymaganie szczegółowe: 6.4) Stosuje tożsamość sin²α+cos²α=1 i definicję tangensa.

**C.** \(\operatorname{tg}25^\circ\)

W liczniku wyłączamy \(\sin 25^\circ\) przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\sin^{3}25^\circ+\sin 25^\circ\cos^{2}25^\circ=\sin 25^\circ\left(\sin^{2}25^\circ+\cos^{2}25^\circ\right)=\sin 25^\circ.\] Ponieważ \(\cos 25^\circ\neq0\), dzielenie jest wykonalne i \[\frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ}=\operatorname{tg}25^\circ.\] **Odpowiedź.** C

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: IV. Rozumowanie i argumentacja. Wymaganie szczegółowe: VII.2) Korzysta z tożsamości sin²α+cos²α=1 i definicji tangensa.

**C.** \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

**Krok \(1\).** W równaniu występują dwie różne funkcje trygonometryczne: tangens i sinus. Pierwszy ruch w takiej sytuacji to zamiana tangensa na iloraz \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) — wtedy wszystko wyrazi się przez sinus i cosinus. **Krok \(2\).** Po podstawieniu warunek z treści przyjmuje postać \[\sqrt{3}\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha.\] **Krok \(3\).** Zbieramy informacje o kącie: \(\alpha\) jest ostry, czyli \(0^{\circ}\lt\alpha\lt 90^{\circ}\). Dla takich kątów \(\sin\alpha\gt 0\) oraz \(\cos\alpha\gt 0\). To ważne, bo pozwoli nam podzielić obie strony przez \(\sin\alpha\) (dzielić przez zero nie wolno) i zapewnia, że \(\cos\alpha\) w mianowniku ma sens. **Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(\sin\alpha\): \[\frac{\sqrt{3}}{\cos\alpha}=2.\] **Krok \(5\).** Mnożymy obie strony przez \(\cos\alpha\), a następnie dzielimy przez \(2\): \[\sqrt{3}=2\cos\alpha,\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}.\] **Krok \(6\).** Sprawdzenie. Wartość \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\) odpowiada kątowi \(\alpha=30^{\circ}\). Wtedy lewa strona warunku to \(\sqrt{3}\cdot\tan 30^{\circ}=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=1\), a prawa \(2\sin 30^{\circ}=2\cdot\frac12=1\) — równość zachodzi. **Uwaga.** Nie wolno dzielić przez \(\sin\alpha\) bez uzasadnienia. Tutaj usprawiedliwia to założenie, że kąt jest ostry; gdyby dopuścić \(\alpha=0^{\circ}\), pojawiłoby się dodatkowe, pozorne rozwiązanie. **Odpowiedź.** C. \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VII.2) Zdający korzysta z wzorów \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\);

**A.** \(2-\sin^2 27^\circ\)

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\sin^2 27^\circ+\cos^2 27^\circ=1.\] Stąd \(\cos^2 27^\circ=1-\sin^2 27^\circ\), a więc \[1+\cos^2 27^\circ=2-\sin^2 27^\circ.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VII.2) Zdający korzysta ze wzorów \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) oraz \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

**B.** \(\sin20^\circ\)

Wyłączamy wspólny czynnik \(\sin20^\circ\): \[\sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\cdot\sin20^\circ=\sin20^\circ\left(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ\right).\] Korzystając z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), otrzymujemy \[\sin20^\circ\cdot1=\sin20^\circ.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII.2) Zdający korzysta z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) oraz \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

**B.** \(\frac7{24}\).

Korzystamy z tożsamości \[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.\] Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, \(\sin\alpha>0\), zatem \[\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{24}{25}\right)^2}=\sqrt{\frac{49}{625}}=\frac7{25}.\] Wobec tego \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{7/25}{24/25}=\frac7{24}.\] Poprawna jest odpowiedź **B**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VII.2) Zdający korzysta ze wzorów \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) oraz \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

**B.** \(\frac7{24}\)

Korzystamy z tożsamości \[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.\] Ponieważ kąt \(\alpha\) jest ostry, \[\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{24}{25}\right)^2}=\sqrt{\frac{49}{625}}=\frac7{25}.\] Zatem \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac7{25}}{\frac{24}{25}}=\frac7{24}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 6.3) Zdający stosuje zależności \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) oraz \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). 6.4) Znając wartość sinusa lub cosinusa, zdający wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego.

**A.** \(\frac34\)

Korzystamy z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\). Równanie przyjmuje postać \[4\tan\alpha=3.\] Zatem \[\tan\alpha=\frac34.\]

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VII.2 posługiwanie się zależnościami \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) oraz \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

**A.** \(\cos^3\alpha\)

Wyłączamy \(\cos\alpha\) przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\cos\alpha-\cos\alpha\sin^2\alpha=\cos\alpha(1-\sin^2\alpha)=\cos\alpha\cos^2\alpha=\cos^3\alpha.\]

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Element podstawy programowej:** trygonometria; zdający stosuje tożsamość \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) do przekształcania wyrażeń.

**B.** \(\frac{\sqrt5}{2}\)

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\sin\alpha>0\). Z jedynki trygonometrycznej: \[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac49}=\frac{\sqrt5}{3}.\] Zatem \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{\sqrt5}{3}}{\frac23}=\frac{\sqrt5}{2}.\]

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Element podstawy programowej:** trygonometria; zdający korzysta z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego i jedynki trygonometrycznej.

**A.** \(\cos^3\alpha\)

Wyłączamy \(\cos\alpha\) przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\cos\alpha-\cos\alpha\sin^2\alpha=\cos\alpha(1-\sin^2\alpha)=\cos\alpha\cos^2\alpha=\cos^3\alpha.\]

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja oraz tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** VII.2 zdający korzysta z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

**A.** \(\sin^2\alpha\)

Wyłączamy \(\sin^2\alpha\) przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\sin^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=\sin^2\alpha.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja; przeprowadzanie rozumowań i uzasadnianie ich poprawności. **Wymagania szczegółowe:** VII.2 zdający korzysta ze wzoru \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

B. \(\frac{5}{7}\)

Z jedynki trygonometrycznej \[\sin^{2}\alpha=1-\cos^{2}\alpha=1-\frac{24}{49}=\frac{25}{49}.\] Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\sin\alpha>0\) i wybieramy dodatni pierwiastek: \[\sin\alpha=\frac57.\] **Odpowiedź.** B

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Zadanie 19. (0–1) Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.

**C.** \(\frac49\)

Dla kąta ostrego zachodzi \(\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha\). Zatem \[\cos^2(90^\circ-\alpha)=\sin^2\alpha=\left(\frac23\right)^2=\frac49.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 6.3 stosowanie prostych zależności między funkcjami trygonometrycznymi.

**B.** \(\frac38\)

Korzystamy z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\): \[\frac1{\sin^2\alpha}+\frac1{\cos^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}=\frac1{(\sin\alpha\cos\alpha)^2}.\] Zatem \[\frac1{(\sin\alpha\cos\alpha)^2}=\frac{64}{9},\qquad (\sin\alpha\cos\alpha)^2=\frac9{64}.\] Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc iloczyn jest dodatni i \[\sin\alpha\cos\alpha=\frac38.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VII.2 korzystanie z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

**A.** \(\frac{-2\sqrt2+\sqrt3}{6}\)

Ponieważ \(\beta\in(\pi,\frac{3\pi}{2})\), sinus kąta \(\beta\) jest ujemny. Z tożsamości trygonometrycznej otrzymujemy \[\sin\beta=-\sqrt{1-\cos^2\beta}=-\sqrt{1-\frac19}=-\frac{2\sqrt2}{3}.\] Korzystamy ze wzoru na sinus różnicy: \[\sin\left(\beta-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\beta\cos\frac{\pi}{3}-\cos\beta\sin\frac{\pi}{3}\] \[=-\frac{2\sqrt2}{3}\cdot\frac12-\left(-\frac13\right)\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{-2\sqrt2+\sqrt3}{6}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R6.5 stosowanie wzoru na sinus różnicy kątów.

**D.** \(1\)

Korzystamy ze wzoru na sinus sumy: \[\sin(12^\circ+78^\circ)=\sin12^\circ\cos78^\circ+\cos12^\circ\sin78^\circ.\] Podane wyrażenie jest więc równe \(\sin90^\circ=1\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 6.3 stosowanie prostych zależności między funkcjami trygonometrycznymi.

\[\sin^2\alpha=\frac45.\]

Z warunku \(\operatorname{tg}\alpha=2\) mamy \(\sin\alpha=2\cos\alpha\). Korzystamy z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\): \[4\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\] \[\cos^2\alpha=\frac15.\] Stąd \[\sin^2\alpha=4\cos^2\alpha=\frac45.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(\sin^2\alpha=\frac45\) **1 pkt** – zapisanie zależności \(\sin\alpha=2\cos\alpha\) i wykorzystanie tożsamości jedynkowej albo równoważny istotny krok **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 6.3 stosowanie prostych zależności między funkcjami trygonometrycznymi.

**A.** \(\sin\alpha=\frac13\) i \(\cos\alpha=\frac23\)

Dla każdego kąta zachodzi tożsamość \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\). W odpowiedzi **A** otrzymujemy \[\left(\frac13\right)^2+\left(\frac23\right)^2=\frac59\neq1.\] Pozostałe pary spełniają tę tożsamość i mają dodatnie wartości.

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** IX.4 stosowanie związku \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

**B.** \(0\)

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów i tożsamości trygonometrycznej: \[(1-\cos20^\circ)(1+\cos20^\circ)-\sin^2 20^\circ\] \[=1-\cos^2 20^\circ-\sin^2 20^\circ\] \[=\sin^2 20^\circ-\sin^2 20^\circ=0.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VII.2 korzystanie z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) oraz zależności \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

**A.** \(\cos^2\alpha=\frac16\)

Korzystamy z tożsamości \[1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}.\] Ponieważ \(\operatorname{tg}\alpha=\sqrt5\), mamy \[\frac1{\cos^2\alpha}=1+5=6,\] a zatem \(\cos^2\alpha=\frac16\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** stosowanie związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta.

**D.** \(\frac{\sqrt3}{2}\)

Korzystamy z tożsamości \(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos(2\alpha)\): \[\cos^2 165^\circ-\sin^2 165^\circ=\cos330^\circ=\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** R6.2 wykorzystywanie definicji i wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta przez sprowadzenie do kąta ostrego.

**B.** \(\tan\alpha\)

Korzystamy z tożsamości \(1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\) oraz \(1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\): \[\frac{\cos\alpha}{\cos^2\alpha}\cdot\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\frac1{\cos\alpha}\cdot\sin\alpha=\tan\alpha.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 6.3 stosowanie prostych zależności między funkcjami trygonometrycznymi.

**D.** \(\cos\alpha=\frac35\)

Korzystamy z tożsamości \[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.\] Stąd \[\cos^2\alpha=1-\frac{16}{25}=\frac9{25}.\] Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha>0\), a zatem \(\cos\alpha=\frac35\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 6.4 wyznaczanie cosinusa kąta na podstawie wartości sinusa.

\[2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{24}{25}.\]

Podnosimy obie strony danej równości do kwadratu: \[(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\left(\frac75\right)^2.\] Korzystając z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), otrzymujemy \[1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{49}{25}.\] Zatem \[2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{49}{25}-1=\frac{24}{25}.\]

**2 pkt** – obliczenie \(2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{24}{25}\) **1 pkt** – podniesienie warunku do kwadratu i zapisanie \(1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{49}{25}\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 6.3 stosowanie prostych tożsamości trygonometrycznych.

**B.** \(\cos\alpha=\frac{24}{25}\)

Korzystamy z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\): \[\cos^2\alpha=1-\left(\frac7{25}\right)^2=1-\frac{49}{625}=\frac{576}{625}.\] Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha>0\). Zatem \[\cos\alpha=\sqrt{\frac{576}{625}}=\frac{24}{25}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** 6.3 stosowanie prostych zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta.

**B.** \(\cos\alpha\)

Kąty ostre w trójkącie prostokątnym są dopełniające, więc \[\alpha+\beta=90^\circ,\qquad \sin\beta=\cos\alpha.\] Zatem \[2\cos\alpha-\sin\beta=2\cos\alpha-\cos\alpha=\cos\alpha.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 6.1 wykorzystywanie definicji funkcji trygonometrycznych kątów w trójkącie prostokątnym.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac12.\]

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, \(\cos\alpha>0\), więc możemy podzielić każdy składnik licznika przez \(\cos\alpha\): \[2\operatorname{tg}\alpha+3=4.\] Stąd \[2\operatorname{tg}\alpha=1,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac12.\]

**2 pkt** – obliczenie \(\operatorname{tg}\alpha=\frac12\) **1 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(2\operatorname{tg}\alpha+3=4\) albo równoważnej **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 6.4 stosowanie zależności \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

**B.** \(\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{5}\)

Z jedynki trygonometrycznej \[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\] otrzymujemy \[\cos^2\alpha=1-\left(\frac{2\sqrt5}{5}\right)^2=1-\frac45=\frac15.\] Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc cosinus jest dodatni: \(\cos\alpha=\frac1{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** trygonometria - stosowanie jedynki trygonometrycznej.

**A.** \(\frac{15}{4}\)

Korzystamy z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\): \[(\cos\alpha-\sin\alpha)^2+2=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+2.\] Po podstawieniu \(\sin\alpha\cos\alpha=-\frac38\) otrzymujemy \[1-2\left(-\frac38\right)+2=3+\frac34=\frac{15}{4}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje odpowiedzi, bez osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** trygonometria - jedynka trygonometryczna i przekształcanie wyrażeń.

**C.** \(2\)

Ponieważ \(\sin72^\circ=\cos18^\circ\), mamy \[2\sin^2 18^\circ+\sin^2 72^\circ+\cos^2 18^\circ\] \[=2\sin^2 18^\circ+2\cos^2 18^\circ=2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje odpowiedzi, bez osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** trygonometria - funkcje kątów dopełniających i jedynka trygonometryczna.

**A.** \(-\frac{\sqrt3}{2}\)

Korzystamy ze wzoru \[\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos2\alpha.\] Dla \(\alpha=105^\circ\) otrzymujemy \[\cos210^\circ=\cos(180^\circ+30^\circ)=-\cos30^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R6.5 stosowanie wzorów na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów oraz na sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów.

**C.** \(\sin\alpha=\frac5{13}\)

Z jedynki trygonometrycznej \[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\] otrzymujemy \[\sin^2\alpha=1-\left(\frac{12}{13}\right)^2=\frac{25}{169}.\] Kąt jest ostry, więc sinus jest dodatni. Zatem \[\sin\alpha=\frac5{13}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje wyłącznie odpowiedzi. **Klasyfikacja rzeczowa:** trygonometria - jedynka trygonometryczna i funkcje kąta ostrego.

Nierówność jest prawdziwa dla każdego \(\alpha\in\left(0,\frac\pi2\right)\).

Korzystamy ze wzoru \(2\sin u\cos v=\sin(u+v)+\sin(u-v)\). Dla \[u=\frac\pi{12}-\alpha,\qquad v=\frac\pi{12}+\alpha\] otrzymujemy \[2\sin\left(\frac\pi{12}-\alpha\right)\cos\left(\frac\pi{12}+\alpha\right)=\sin\frac\pi6-\sin2\alpha.\] Zatem \[\sin\left(\frac\pi{12}-\alpha\right)\cos\left(\frac\pi{12}+\alpha\right)=\frac14-\frac12\sin2\alpha.\] Ponieważ \(\alpha\in(0,\frac\pi2)\), to \(2\alpha\in(0,\pi)\), a więc \(\sin2\alpha>0\). Stąd \[\frac14-\frac12\sin2\alpha<\frac14,\] co kończy dowód.

**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu **2 pkt** – sprowadzenie nierówności do postaci \(\frac12-\sin2\alpha<\frac12\) lub równoważnej, ale bez pełnego uzasadnienia znaku **1 pkt** – poprawne użycie wzoru na iloczyn sinusa i cosinusa albo innego równoważnego przekształcenia wskazanego w kluczu CKE **0 pkt** – brak istotnego postępu

Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** trygonometria - wzory redukcyjne i wzory na sumę lub różnicę kątów, znaki funkcji trygonometrycznych oraz dowodzenie nierówności.

\[\operatorname{tg}\alpha+\frac1{\operatorname{tg}\alpha}=2.\]

Podnosimy warunek do kwadratu: \[(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=2.\] Ponieważ \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), otrzymujemy \[1+2\sin\alpha\cos\alpha=2,\qquad \sin\alpha\cos\alpha=\frac12.\] Następnie \[\operatorname{tg}\alpha+\frac1{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac1{1/2}=2.\]

**2 pkt** – obliczenie wartości wyrażenia: \(2\) **1 pkt** – sprowadzenie wyrażenia do \(\frac1{\sin\alpha\cos\alpha}\) albo wyznaczenie \(\sin\alpha\cos\alpha=\frac12\) **0 pkt** – brak istotnego postępu

Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** trygonometria - jedynka trygonometryczna, tangens i przekształcanie wyrażeń trygonometrycznych.

**A.** \(\frac{16}{15}\)

Dla kąta ostrego \(\sin\alpha=\frac45\) i \(\tan\alpha=\frac43\), zatem \[\sin\alpha\tan\alpha=\frac45\cdot\frac43=\frac{16}{15}.\]

**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** trygonometria - związki między sinusem, cosinusem i tangensem.

\[(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=\frac14.\]

Podnosimy warunek do kwadratu: \[(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac74.\] Stąd \(2\sin\alpha\cos\alpha=\frac34\). Zatem \[(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-2\sin\alpha\cos\alpha=1-\frac34=\frac14.\]

**2 pkt** – obliczenie i zapisanie wyniku \(\frac14\) **1 pkt** – wyznaczenie \(2\sin\alpha\cos\alpha=\frac34\) albo zapisanie \((\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-2\sin\alpha\cos\alpha\) **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** tożsamość \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) i proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi.

**B.** \(m=\cos40^\circ\)

**Krok \(1\).** Kąt \(50^\circ\) nie jest kątem tablicowym, więc nic tu nie policzymy liczbowo. Zamiast tego trzeba rozpoznać związek między funkcjami kątów, które **dopełniają się do** \(90^\circ\) — a właśnie \(50^\circ+40^\circ=90^\circ\), i to kąty \(40^\circ\) oraz \(50^\circ\) występują w odpowiedziach. **Krok \(2\).** Skąd bierze się ten związek. W trójkącie prostokątnym kąty ostre mają miary \(\alpha\) i \(90^\circ-\alpha\). Ta sama przyprostokątna leży naprzeciw kąta \(\alpha\) i jednocześnie przy kącie \(90^\circ-\alpha\). Ponieważ sinus to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej, a cosinus — przyprostokątnej leżącej przy kącie do przeciwprostokątnej, oba stosunki są identyczne: \[\sin\alpha=\cos\left(90^\circ-\alpha\right).\] **Krok \(3\).** Podstawiamy \(\alpha=50^\circ\): \[m=\sin50^\circ=\cos\left(90^\circ-50^\circ\right)=\cos40^\circ.\] **Krok \(4\).** Sprawdzamy pozostałe możliwości. Sinus rośnie dla kątów ostrych, więc \(\sin50^\circ\gt\sin40^\circ\) — odpada **A**. Równość \(\sin\alpha=\cos\alpha\) zachodzi tylko dla \(\alpha=45^\circ\), więc \(\sin50^\circ\ne\cos50^\circ\) — odpada **C**. Dla kąta \(50^\circ\) mamy \(\tan50^\circ\gt1\), podczas gdy \(\sin50^\circ\lt1\) — odpada **D**. **Odpowiedź.** B: \(m=\cos40^\circ\)

**1 pkt** – odpowiedź B **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** trygonometria - funkcje trygonometryczne kątów dopełniających.

**B.** \(\cos\alpha=\frac57\)

Korzystamy z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\): \[\cos^2\alpha=1-\left(\frac{2\sqrt6}{7}\right)^2=1-\frac{24}{49}=\frac{25}{49}.\] Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha>0\), a zatem \(\cos\alpha=\frac57\).

**1 pkt** – odpowiedź B **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** trygonometria - jedynka trygonometryczna i znak cosinusa kąta ostrego.

**D.** \(\frac{\sqrt3}{2}\)

Korzystamy z tożsamości \(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos2\alpha\): \[\sin^2 75^\circ-\cos^2 75^\circ=-\cos150^\circ=-\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{\sqrt3}{2}.\]

**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** trygonometria - wzór na cosinus podwojonego kąta.

**A.** \(\dfrac15\)

Z odczytu redakcyjnego treści: \(\sin\alpha=\dfrac45\). Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha>0\) i z jedynki trygonometrycznej \[\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\tfrac45\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{9}{25}}=\frac35.\] Zatem \[\sin\alpha-\cos\alpha=\frac45-\frac35=\frac15.\] **Odpowiedź.** A

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 9. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.

**C.** \(2\sin2\alpha\cos\alpha\).

Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów: \[\sin u+\sin v=2\sin\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2}.\] Dla \(u=\alpha\), \(v=3\alpha\) otrzymujemy \[\sin\alpha+\sin3\alpha=2\sin2\alpha\cos\alpha.\]

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 6.5 R - wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów.

**C.** \(\frac37\).

Dla ostrego kąta \(\tan\alpha=\frac34\) możemy przyjąć przyprostokątne \(3\) i \(4\), a przeciwprostokątną \(5\). Zatem \(\cos\alpha=\frac45\). Wtedy \[\frac{2-\cos\alpha}{2+\cos\alpha}=\frac{2-\frac45}{2+\frac45}=\frac{\frac65}{\frac{14}{5}}=\frac37.\]

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** trygonometria, związki między tangensem i cosinusem kąta ostrego.

**C.** \(2\sin\alpha\)

Korzystamy z tożsamości \(\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha\): \[\sin\alpha+\sin(180^\circ-\alpha)=2\sin\alpha.\]

**1 pkt** – odpowiedź C **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** trygonometria - wartości funkcji trygonometrycznych kątów dopełniających do \(180^\circ\).

**B.** \(3\sin\alpha\cos\alpha\).

Wyłączamy wspólny czynnik i korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[3\sin^3\alpha\cos\alpha+3\sin\alpha\cos^3\alpha\] \[=3\sin\alpha\cos\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=3\sin\alpha\cos\alpha.\]

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** trygonometria, jedynka trygonometryczna i przekształcanie wyrażeń.

**D.** \(\cos\alpha>\frac{\sqrt{13}}4\).

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, \(\cos\alpha>0\). Z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy \[\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac1{16}}=\frac{\sqrt{15}}4.\] Ponieważ \(\sqrt{15}>\sqrt{13}\), zachodzi \(\cos\alpha>\frac{\sqrt{13}}4\).

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **D** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 6.5. Zdający, znając wartość jednej z funkcji sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego.

\[4(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha)=1+3\cos^2 2\alpha.\]

Korzystamy z tożsamości \[a^6+b^6=(a^2+b^2)\big((a^2+b^2)^2-3a^2b^2\big).\] Ponieważ \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), lewa strona jest równa \[4(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha)=4(1-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha).\] Z kolei \[\begin{aligned}1+3\cos^2 2\alpha&=1+3(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)^2\\&=1+3\big((\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)^2-4\sin^2\alpha\cos^2\alpha\big)\\&=4-12\sin^2\alpha\cos^2\alpha\\&=4(1-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha).\end{aligned}\] Obie strony są więc równe, co kończy dowód.

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 3 pkt** – pełne przekształcenie obu stron do tej samej postaci **2 pkt** – poprawne przekształcenie jednej strony i istotny postęp po drugiej stronie **1 pkt** – poprawne użycie właściwej tożsamości algebraicznej lub wzoru na cosinus kąta podwojonego **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność. **Wymagania szczegółowe:** 2.1. R. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^3\) oraz \(a^3\pm b^3\). 6.4. Zdający stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi, w szczególności \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

\[\frac{47}{15}.\]

**Krok \(1\).** Dany jest sinus, a szukamy wyrażenia z tangensem. Droga jest więc taka: z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy cosinus, a potem korzystamy z definicji \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Informacja, że kąt jest ostry, będzie potrzebna do ustalenia znaku cosinusa. **Krok \(2\).** Z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\): \[\cos^2\alpha=1-\left(\frac14\right)^2=1-\frac1{16}=\frac{15}{16}.\] **Krok \(3\).** Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha\gt0\) i bierzemy pierwiastek dodatni: \[\cos\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}.\] **Krok \(4\).** Liczymy tangens: \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac14}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{1}{\sqrt{15}}.\] **Krok \(5\).** Podnosimy do kwadratu: \[\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{15}.\] (Można też krócej, bez wyciągania pierwiastka: \(\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\dfrac{\frac1{16}}{\frac{15}{16}}=\dfrac1{15}\)). **Krok \(6\).** Wstawiamy do szukanego wyrażenia: \[3+2\operatorname{tg}^2\alpha=3+2\cdot\frac1{15}=3+\frac{2}{15}=\frac{45}{15}+\frac{2}{15}=\frac{47}{15}.\] **Uwaga.** Nie trzeba usuwać niewymierności z mianownika w kroku \(4\), bo i tak podnosimy tangens do kwadratu. Krótsza droga z kroku \(5\) pozwala w ogóle uniknąć pierwiastka. **Odpowiedź.** \(3+2\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{47}{15}\).

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawny wynik \(\frac{47}{15}\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie \(\operatorname{tg}^2\alpha=\frac1{15}\) **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 6.4. Zdający stosuje zależności \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) oraz \(\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha\).

\[3+2\tan^2\alpha=\frac{47}{15}.\]

Korzystamy z zależności \(\tan^2\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\) oraz \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\): \[\tan^2\alpha=\frac{\left(\frac14\right)^2}{1-\left(\frac14\right)^2}=\frac{\frac1{16}}{\frac{15}{16}}=\frac1{15}.\] Zatem \[3+2\tan^2\alpha=3+\frac2{15}=\frac{47}{15}.\]

**2 pkt** – poprawny wynik \(\frac{47}{15}\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie \(\tan^2\alpha=\frac1{15}\), lecz błąd w końcowym obliczeniu **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 6.4. Zdający stosuje zależności \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) oraz \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

**A.** \(\cos\alpha=\frac12\).

Ponieważ \(0^\circ<\alpha<90^\circ\), mamy \(\sin\alpha>0\). Korzystamy z \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\): \[\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha.\] Po podzieleniu przez \(\sin\alpha\) dostajemy \(\frac1{\cos\alpha}=2\), czyli \(\cos\alpha=\frac12\).

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 6.4 zdający stosuje zależność \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

**B.** \(\cos\alpha=\frac{\sqrt7}{4}\).

Ponieważ \(\alpha\) jest ostry, \(\cos\alpha>0\). Z jedynki trygonometrycznej: \[\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac9{16}}=\frac{\sqrt7}{4}.\]

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** trygonometria, jedynka trygonometryczna.

\[\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\frac27.\]

Korzystamy z zależności \[\operatorname{tg}\alpha+\frac1{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac1{\sin\alpha\cos\alpha}.\] Zatem \(\frac1{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac72\), skąd \(\sin\alpha\cos\alpha=\frac27\).

**2 pkt** – poprawny wynik \(\frac27\) **1 pkt** – poprawne przekształcenie \(\operatorname{tg}\alpha+\frac1{\operatorname{tg}\alpha}=\frac1{\sin\alpha\cos\alpha}\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** trygonometria, związki między funkcjami trygonometrycznymi.

**C.** \(2\)

Dla \(0^\circ<\alpha<90^\circ\) zachodzi \(\sin\alpha\neq0\) i \(\cos\alpha\neq0\), więc oba ułamki są określone. Z jedynki trygonometrycznej \[1-\sin^{2}\alpha=\cos^{2}\alpha,\qquad 1-\cos^{2}\alpha=\sin^{2}\alpha.\] Zatem \[\frac{\cos^{2}\alpha}{1-\sin^{2}\alpha}+\frac{1-\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha}=\frac{\cos^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}+\frac{\sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha}=1+1=2.\] **Odpowiedź.** C

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 13. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.

\[\sqrt3.\]

Przekształcamy drugi składnik, mnożąc licznik i mianownik przez \(1-\sin\alpha\): \[\frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha}=\frac{\cos\alpha(1-\sin\alpha)}{1-\sin^2\alpha}=\frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha}.\] Zatem całe wyrażenie jest równe \[\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac1{\cos\alpha}.\] Ponieważ \(\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{3}\), otrzymujemy \[\frac1{\cos\alpha}=\frac3{\sqrt3}=\sqrt3.\]

**2 pkt** – poprawna wartość \(\sqrt3\) wraz z przekształceniem wyrażenia **1 pkt** – poprawne sprowadzenie wyrażenia do \(\frac1{\cos\alpha}\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** Zdający stosuje jedynkę trygonometryczną i przekształca wyrażenia zawierające funkcje trygonometryczne.

\[\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\frac25.\]

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\sin\alpha>0\) i \(\cos\alpha>0\) — obydwa mianowniki są różne od zera. Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika: \[\frac{4}{\sin^{2}\alpha}+\frac{4}{\cos^{2}\alpha}=\frac{4\left(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha\right)}{\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}=\frac{4}{\left(\sin\alpha\cos\alpha\right)^{2}}.\] Z warunku zadania \[\frac{4}{\left(\sin\alpha\cos\alpha\right)^{2}}=25,\qquad \left(\sin\alpha\cos\alpha\right)^{2}=\frac{4}{25}.\] Iloczyn \(\sin\alpha\cos\alpha\) jest dodatni, więc \[\sin\alpha\cos\alpha=\frac25.\] **Odpowiedź.** \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\dfrac25\).

1 pkt: sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika. 2 pkt: wynik 2/5.

Zadanie 29. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.

**C.** \(1\)

Grupujemy dwa ostatnie składniki i wyłączamy \(\cos^{2}\alpha\) przed nawias: \[\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha+\cos^{4}\alpha=\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\left(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\right).\] Z jedynki trygonometrycznej nawias jest równy \(1\), więc wyrażenie sprowadza się do \[\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1.\] **Odpowiedź.** C

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 6. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.

**A.** \(\dfrac43\)

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha\neq0\) i z definicji tangensa \[\operatorname{tg}\alpha\cdot\cos\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\cos\alpha=\sin\alpha.\] Zatem \[1+\operatorname{tg}\alpha\cdot\cos\alpha=1+\frac13=\frac43.\] **Odpowiedź.** A

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 7. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.

Tożsamość została wykazana dla dowolnego kąta \(\alpha\).

Przekształcamy lewą stronę. Z jedynki trygonometrycznej \(\left(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\right)^{2}=1\), a po rozwinięciu kwadratu sumy \[\sin^{4}\alpha+2\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha+\cos^{4}\alpha=1,\] czyli \[\sin^{4}\alpha+\cos^{4}\alpha=1-2\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha.\] Teraz prawa strona. Ze wzoru na sinus podwojonego kąta \(\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha\), więc \[\sin^{2}(2\alpha)=4\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha,\qquad \cos^{2}(2\alpha)=1-\sin^{2}(2\alpha)=1-4\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha.\] Zatem \[\frac{1+\cos^{2}(2\alpha)}{2}=\frac{2-4\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}{2}=1-2\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha.\] Obie strony sprowadziliśmy do tego samego wyrażenia, więc tożsamość zachodzi dla każdego kąta \(\alpha\). **Odpowiedź.** \(\sin^{4}\alpha+\cos^{4}\alpha=\dfrac{1+\cos^{2}(2\alpha)}{2}\) dla dowolnego \(\alpha\), co należało wykazać.

**1 pkt** – zdający doprowadzi lewą stronę tej równości do postaci […] albo zapisze prawą stronę tej równości w postaci \(\tfrac{2-\sin^{2}2\alpha}{2}\) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – zdający doprowadzi lewą stronę tej równości do postaci \(1-2\left(\sin\alpha\cos\alpha\right)^{2}\) oraz zapisze prawą stronę w postaci \(\tfrac{2-\sin^{2}2\alpha}{2}\) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – zdający przeprowadzi pełne poprawne rozumowanie.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: dowód tożsamości trygonometrycznej.

\[2+\sin^{3}\alpha+\sin\alpha\cos^{2}\alpha=\frac{11}{4}.\]

W dwóch ostatnich składnikach wyłączamy \(\sin\alpha\) przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\sin^{3}\alpha+\sin\alpha\cos^{2}\alpha=\sin\alpha\left(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\right)=\sin\alpha.\] Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\sin\alpha>0\) i \[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\frac34.\] Zatem całe wyrażenie jest równe \(2+\tfrac34=\tfrac{11}{4}\). **Odpowiedź.** \(\dfrac{11}{4}\).

1 pkt: sprowadzenie wyrażenia do 2+sin α albo obliczenie sin α=3/4. 2 pkt: wynik 11/4.

Zadanie 28. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.

A. −\(\frac{7}{4}\)

Z jedynki trygonometrycznej \[\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha=1-\frac34=\frac14.\] Zatem \[\cos^{2}\alpha-2=\frac14-2=-\frac74.\] **Odpowiedź.** A. \(-\dfrac74\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zastosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego do obliczenia wartości wyrażenia (II.6.c).

\[\sin^{2}\alpha-3\cos^{2}\alpha=0.\]

Z jedynki trygonometrycznej \[\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha=1-\frac34=\frac14.\] Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha=\tfrac12\) (pierwiastek ujemny odrzucamy), ale do obliczeń wystarczy sam kwadrat. Zatem \[\sin^{2}\alpha-3\cos^{2}\alpha=\frac34-3\cdot\frac14=\frac34-\frac34=0.\] **Odpowiedź.** \(\sin^{2}\alpha-3\cos^{2}\alpha=0\).

1 pkt: wyznaczenie cos α = 1/2 lub cos²α = 1/4, ewentualnie równoważny poprawny etap. 2 pkt: obliczenie wartości sin²α − 3cos²α = 0.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zastosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego do obliczenia wartości wyrażenia (II.6.c).

**B.** \(\dfrac13\)

**Krok \(1\).** W wyrażeniu \(2\cos^2\alpha-1\) występuje kwadrat cosinusa, a w danych mamy sinus. Łącznikiem między nimi jest jedynka trygonometryczna \[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.\] Dzięki niej nie musimy w ogóle szukać kąta \(\alpha\). **Krok \(2\).** Obliczamy \(\sin^2\alpha\), podnosząc daną wartość do kwadratu: \[\sin^2\alpha=\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^2=\frac{(\sqrt3)^2}{3^2}=\frac{3}{9}=\frac13.\] **Krok \(3\).** Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy kwadrat cosinusa: \[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac13=\frac23.\] **Krok \(4\).** Podstawiamy do wyrażenia z treści: \[2\cos^2\alpha-1=2\cdot\frac23-1=\frac43-1=\frac43-\frac33=\frac13.\] **Uwaga.** Nie trzeba wyznaczać samego \(\cos\alpha\) ani miary kąta - w wyrażeniu występuje tylko \(\cos^2\alpha\). Informacja, że kąt jest ostry, gwarantuje jedynie, że \(\cos\alpha\gt 0\), ale przy kwadracie znak i tak nie ma znaczenia. **Odpowiedź.** B: \(\dfrac13\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 24. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.

\[\lvert\cos\alpha-\sin\alpha\rvert=\frac{\sqrt2}{3}.\]

Podnosimy dany warunek do kwadratu i korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\left(\cos\alpha+\sin\alpha\right)^{2}=1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{16}{9},\] skąd \[2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{16}{9}-1=\frac79.\] Następnie \[\left(\cos\alpha-\sin\alpha\right)^{2}=1-2\sin\alpha\cos\alpha=1-\frac79=\frac29.\] Wartość bezwzględna jest nieujemna, więc bierzemy pierwiastek dodatni: \[\lvert\cos\alpha-\sin\alpha\rvert=\sqrt{\frac29}=\frac{\sqrt2}{3}.\] **Odpowiedź.** \(\lvert\cos\alpha-\sin\alpha\rvert=\dfrac{\sqrt2}{3}\).

*Schemat oceniania I sposobu rozwiązania* **1 pkt** – zapisanie równania, w którym występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna kąta \(\alpha\): \(\sin^{2}\alpha+\left(\frac{4}{3}-\sin\alpha\right)^{2}=1\) albo \(\cos^{2}\alpha+\left(\frac{4}{3}-\cos\alpha\right)^{2}=1\). **2 pkt** – zapisanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą w postaci uporządkowanej: \(2\sin^{2}\alpha-\frac{8}{3}\sin\alpha+\frac{7}{9}=0\) albo \(2\cos^{2}\alpha-\frac{8}{3}\cos\alpha+\frac{7}{9}=0\). **3 pkt** – obliczenie wartości \(\sin\alpha\) albo \(\cos\alpha\): \(\sin\alpha=\frac{4-\sqrt{2}}{6}\) lub \(\sin\alpha=\frac{4+\sqrt{2}}{6}\), albo \(\cos\alpha=\frac{4-\sqrt{2}}{6}\) lub \(\cos\alpha=\frac{4+\sqrt{2}}{6}\). **4 pkt** – rozwiązanie zadania prawie do końca: obliczenie wartości drugiej funkcji trygonometrycznej kąta \(\alpha\) oraz zapisanie wyrażenia \(\lvert\cos\alpha-\sin\alpha\rvert\) w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej: \(\left\lvert\frac{4}{3}-2\sin\alpha\right\rvert\) albo \(\left\lvert 2\cos\alpha-\frac{4}{3}\right\rvert\). **5 pkt** – obliczenie wartości wyrażenia: \(\lvert\cos\alpha-\sin\alpha\rvert=\frac{\sqrt{2}}{3}\). *Schemat oceniania II sposobu rozwiązania* **2 pkt** – obliczenie wartości \(2\cos\alpha\sin\alpha=\frac{7}{9}\) albo zapisanie wyrażenia \(\lvert\cos\alpha-\sin\alpha\rvert\) w postaci \(\sqrt{\left(\cos\alpha-\sin\alpha\right)^{2}}\). **3 pkt** – obliczenie wartości \(2\cos\alpha\sin\alpha=\frac{7}{9}\) oraz zapisanie wyrażenia \(\lvert\cos\alpha-\sin\alpha\rvert\) w postaci \(\sqrt{\left(\cos\alpha-\sin\alpha\right)^{2}}\). **4 pkt** – rozwiązanie zadania prawie do końca: obliczenie wartości \(2\cos\alpha\sin\alpha=\frac{7}{9}\) oraz zapisanie wyrażenia \(\lvert\cos\alpha-\sin\alpha\rvert\) w postaci \(\sqrt{1-2\cos\alpha\sin\alpha}\). **5 pkt** – obliczenie wartości wyrażenia: \(\lvert\cos\alpha-\sin\alpha\rvert=\frac{\sqrt{2}}{3}\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie równania trygonometrycznego (IV.6.e.R).

Tożsamość została uzasadniona.

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i grupujemy je tak, by powstały różnice tych samych potęg: \[\sin^{4}\alpha-\cos^{4}\alpha-\left(\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha\right).\] Do pierwszej różnicy stosujemy wzór skróconego mnożenia \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) dla \(a=\sin^{2}\alpha\), \(b=\cos^{2}\alpha\): \[\sin^{4}\alpha-\cos^{4}\alpha=\left(\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha\right)\left(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\right)=\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha,\] bo z jedynki trygonometrycznej drugi nawias jest równy \(1\). Zatem rozważane wyrażenie jest równe \[\left(\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha\right)-\left(\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha\right)=0,\] a to oznacza, że obie strony badanej równości są równe. Rachunek nie korzystał z założenia o ostrości kąta, więc tożsamość zachodzi dla każdego \(\alpha\). **Odpowiedź.** \(\sin^{4}\alpha+\cos^{2}\alpha=\sin^{2}\alpha+\cos^{4}\alpha\) dla każdego kąta \(\alpha\), co należało uzasadnić.

1 pkt: poprawne przekształcenie jednej strony. 2 pkt: pełne uzasadnienie tożsamości.

Zadania 28. (0–2) Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie tożsamości trygonometrycznej z zastosowaniem prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kata ostrego (V.6.c) I sposób rozwiązania sin4  sin2  cos4  cos2  sin2   sin21   cos2   cos2 1  sin2    cos2    cos2    sin2  L  P Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy przekształci lewą lub prawą stronę tej równości do postaci: sin2   sin21  lub cos2  cos2 1  i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa. II sposób rozwiązania sin4  cos4  sin2  cos2   sin2  cos2    sin2  cos2    sin2  cos2  1  sin2  cos2    sin2  cos2  L  P Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy uzyska po lewej stronie wyrażenie  sin2 cos2   sin2 cos2   i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa. III sposób rozwiązania L  sin4  cos2  sin2  sin2 cos2 sin2   1 cos2    cos2   sin2 sin2  cos2  cos2  1  1 cos2   cos2  1 cos2 cos4  sin2 cos4 P Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy przekształcając lewą lub prawą stronę równość uzyska wyrażenie sin2  sin2  cos2  cos2  i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa. Egzamin maturalny z matematyki 9 Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy IV sposób rozwiązania sin2  sin2 cos2  sin2 cos4  1 cos2     1 cos2    cos2  1 cos2    cos4  1 2 cos2  cos4  cos2  1 cos2  cos4  1 cos2 cos4 1 cos2 cos4  L  P lub sin4  cos2 sin2  cos2  cos2  sin4   1 sin2    sin2   1 sin2     1 sin2   sin4  sin2 1  sin21 2 sin2  sin4 sin4  sin2 1  sin4 sin21 L  P Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy przekształci równość do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna, np.:  1 cos2     1 cos2    cos2  1 cos2    cos4  lub sin4   1 sin2    sin2   1 sin2     1 sin2   i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt jeżeli przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa. V sposób rozwiązania Daną równość zapisujemy w postaci sin4  cos4  sin2  cos2 . Przekształcamy: L  sin4  cos4    sin2  2  cos4    1  cos2  2  cos4    1  2 cos2  cos4  cos4   1  2 cos2   1  cos2  cos2   sin 2  cos2   P Schemat oceniania V sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy uzyska po lewej stronie wyrażenie  1  cos2  2  cos4  i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa. 10 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy

**D.** \(2\)

Kąty \(\alpha=27^\circ\) i \(\beta=63^\circ\) są ostrymi kątami tego samego trójkąta prostokątnego, więc \(\alpha+\beta=90^\circ\). Dla kątów dopełniających się do \(90^\circ\) zachodzi \(\sin\beta=\cos\alpha\), czyli \[\sin63^\circ=\cos27^\circ.\] Stąd \[\frac{\cos\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha}=\frac{\cos\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha}=\frac{2\cos\alpha}{\cos\alpha}=2,\] przy czym \(\cos27^\circ\ne0\), więc dzielenie jest dozwolone. **Odpowiedź.** D. \(2\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie związków między funkcjami trygonometrycznymi kątów dopełniających się do \(90^\circ\) Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**D.** \(2\)

Kąty ostre trójkąta prostokątnego dopełniają się do \(90^\circ\), a tu \(41^\circ+49^\circ=90^\circ\). Dla takich kątów \(\sin 49^\circ=\cos 41^\circ\). Ponieważ \(\cos 41^\circ\neq0\), otrzymujemy \[\frac{\cos 41^\circ+\sin 49^\circ}{\cos 41^\circ}=\frac{2\cos 41^\circ}{\cos 41^\circ}=2.\] **Odpowiedź.** D

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Trygonometria – stosuje związki między funkcjami trygonometrycznymi kątów dopełniających.

B. \(0\)

Z jedynki trygonometrycznej \(\sin^{2}\beta+\cos^{2}\beta=1\) dla każdego kąta \(\beta\), więc \[\sin^{2}38^\circ+\cos^{2}38^\circ-1=1-1=0,\] \[\sin^{2}52^\circ+\cos^{2}52^\circ+1=1+1=2.\] Mianownik jest różny od zera, więc wartość ułamka wynosi \(\tfrac02=0\). **Odpowiedź.** B. \(0\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zastosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego.

\[\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\frac12.\]

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\sin\alpha>0\) i \(\cos\alpha>0\) — oba mianowniki są różne od zera. Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika: \[\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha},\] gdzie w liczniku wykorzystaliśmy jedynkę trygonometryczną. Z warunku zadania \(\dfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=2\), zatem \[\sin\alpha\cos\alpha=\frac12.\] **Odpowiedź.** \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\dfrac12\).

1 pkt: sprowadzenie sumy do wspólnego mianownika albo zapisanie sin²α + cos²α = 2 sin α cos α. 2 pkt: obliczenie sin α cos α = 1/2.

Użycie i tworzenie strategii. Zastosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego.

**D.** \(43^\circ\)

Dla kątów dopełniających się do \(90^\circ\) zachodzi \(\cos\beta=\sin\left(90^\circ-\beta\right)\), więc \[\cos 47^\circ=\sin\left(90^\circ-47^\circ\right)=\sin 43^\circ.\] Warunek \(\sin\alpha=\sin 43^\circ\) przy ostrym \(\alpha\) daje \(\alpha=43^\circ\), bo funkcja sinus jest rosnąca w przedziale kątów ostrych. **Odpowiedź.** D

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Trygonometria – stosuje związki funkcji trygonometrycznych kątów dopełniających.

**B.** \(\frac{\sqrt7}{4}\)

Z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\): \[\sin^2\alpha=1-\left(\frac34\right)^2=1-\frac9{16}=\frac7{16}.\] Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\sin\alpha>0\): \[\sin\alpha=\sqrt{\frac7{16}}=\frac{\sqrt7}{4}.\] **Odpowiedź.** B. \(\frac{\sqrt7}{4}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie jedynki trygonometrycznej do wyznaczenia sinusa kąta ostrego przy danym cosinusie Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** \(\sin\alpha=\frac{2\sqrt{10}}7\)

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\): \[\sin^2\alpha=1-\left(\frac37\right)^2=1-\frac9{49}=\frac{40}{49}.\] Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\sin\alpha>0\) i wybieramy pierwiastek dodatni: \[\sin\alpha=\frac{\sqrt{40}}{7}=\frac{2\sqrt{10}}{7}.\] **Odpowiedź.** A. \(\sin\alpha=\frac{2\sqrt{10}}7\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie jedynki trygonometrycznej do wyznaczenia sinusa kąta ostrego przy danym cosinusie Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

A. \(\frac{25}{16}\)

Z jedynki trygonometrycznej \[\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}.\] Zatem \[2-\cos^{2}\alpha=2-\frac{7}{16}=\frac{25}{16}.\] **Odpowiedź.** A. \(\dfrac{25}{16}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego do obliczenia wartości wyrażenia.

**C.** \(\dfrac{\sqrt{17}}{9}\)

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha>0\). Z jedynki trygonometrycznej \[\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha=1-\frac{64}{81}=\frac{17}{81},\] a stąd, biorąc pierwiastek dodatni, \[\cos\alpha=\frac{\sqrt{17}}{9}.\] **Odpowiedź.** C

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: \(\mathrm{C}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Tożsamość zachodzi: po skorzystaniu z \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) i z jedynki trygonometrycznej lewa strona redukuje się do \(\cos\alpha\).

Dla \(\alpha\in(0^\circ,90^\circ)\) mamy \(\cos\alpha\ne0\), więc obie strony równości są określone, a \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Przekształcamy lewą stronę, sprowadzając wyrażenie w nawiasie do wspólnego mianownika: \[(1+\sin\alpha)\left(\frac1{\cos\alpha}-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)=(1+\sin\alpha)\cdot\frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1-\sin^{2}\alpha}{\cos\alpha}.\] Z jedynki trygonometrycznej \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\) wynika, że \(1-\sin^{2}\alpha=\cos^{2}\alpha\), więc \[\frac{\cos^{2}\alpha}{\cos\alpha}=\cos\alpha.\] Otrzymaliśmy prawą stronę równości, co kończy uzasadnienie.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **3.1. (1 pkt)** – wykorzystanie związku \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) w przekształcaniu tożsamości. **3.2. (1 pkt)** – przekształcenie lewej strony tożsamości do postaci: \(\frac{1-\sin^{2}\alpha}{\cos\alpha}\). Punkt przyznajemy za poprawne wymnożenie nawiasów na dowolnym etapie rozwiązania tego zadania. **3.3. (1 pkt)** – wykorzystanie związku \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\) w przekształcaniu tożsamości. **3.4. (1 pkt)** – sformułowanie wniosku: „Podana równość jest tożsamością” lub sformułowanie równoważne. Wniosek musi być konsekwencją wykonanych przekształceń.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Po przekształceniu \(f(x)=\sqrt3\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\), zatem wartość najmniejsza to \(m=-\sqrt3\), a największa \(M=\sqrt3\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy strukturę wzoru. Oba składniki są funkcjami trygonometrycznymi tego samego argumentu \(2x\) (drugi tylko przesuniętego o \(\frac{\pi}{6}\)). Standardowa metoda: rozwinąć drugi składnik wzorem na cosinus różnicy, sprowadzić wszystko do postaci \(A\sin 2x+B\cos 2x\), a następnie zwinąć to do jednej funkcji \(R\sin(2x+\varphi)\), której zbiór wartości znamy od ręki. **Krok \(2\).** Rozwijamy wzorem na cosinus różnicy \(\cos(\beta-\gamma)=\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\sin\gamma\): \[\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=\cos\frac{\pi}{6}\cos 2x+\sin\frac{\pi}{6}\sin 2x=\frac{\sqrt3}{2}\cos 2x+\frac12\sin 2x.\] **Krok \(3\).** Wstawiamy do wzoru funkcji i redukujemy wyrazy podobne: \[f(x)=\sin 2x+\frac12\sin 2x+\frac{\sqrt3}{2}\cos 2x=\frac32\sin 2x+\frac{\sqrt3}{2}\cos 2x.\] **Krok \(4\).** Liczymy „amplitudę”, czyli liczbę \(R=\sqrt{A^2+B^2}\) dla \(A=\frac32\), \(B=\frac{\sqrt3}{2}\): \[R=\sqrt{\frac94+\frac34}=\sqrt{\frac{12}{4}}=\sqrt3.\] **Krok \(5\).** Wyłączamy \(\sqrt3\) przed nawias: \[f(x)=\sqrt3\left(\frac{3}{2\sqrt3}\sin 2x+\frac{\sqrt3}{2\sqrt3}\cos 2x\right)=\sqrt3\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x+\frac12\cos 2x\right).\] **Krok \(6\).** Zauważamy, że \(\frac{\sqrt3}{2}=\cos\frac{\pi}{6}\) i \(\frac12=\sin\frac{\pi}{6}\), więc nawias jest rozwinięciem sinusa sumy: \[f(x)=\sqrt3\left(\sin 2x\cos\frac{\pi}{6}+\cos 2x\sin\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right).\] **Krok \(7\).** Uzasadniamy wartości skrajne. Dla dowolnego argumentu \(\sin\) przyjmuje wartości z przedziału \(\langle-1,1\rangle\), a wyrażenie \(2x+\frac{\pi}{6}\) przebiega cały zbiór liczb rzeczywistych, gdy \(x\) przebiega \(\mathbb{R}\). Zatem \[-\sqrt3\leqslant f(x)\leqslant\sqrt3\] i obie skrajne wartości są osiągane. **Krok \(8\).** Wskazujemy konkretne argumenty. Największą wartość dostajemy, gdy \(2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\), czyli dla \(x=\frac{\pi}{6}\): \(f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\). Najmniejszą, gdy \(2x+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}\), czyli dla \(x=-\frac{\pi}{3}\): \(f\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3\). (Ten sam wzór można zapisać przy pomocy cosinusa: ze wzoru redukcyjnego \(\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\), więc \(f(x)=\sqrt3\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\) — obie postacie są równoważne.) **Uwaga.** Polecenie brzmi „odpowiedź uzasadnij” — samo podanie liczb \(\pm\sqrt3\) nie wystarczy. Trzeba pokazać przekształcenie do jednej funkcji trygonometrycznej i zaznaczyć, że wartości skrajne są rzeczywiście OSIĄGANE (najlepiej podając przykładowe \(x\)). Uwaga też na częsty błąd: amplituda sumy \(A\sin t+B\cos t\) to \(\sqrt{A^2+B^2}\), a nie \(A+B\) — tutaj \(\frac32+\frac{\sqrt3}{2}\approx 2{,}37\), a poprawna wartość to \(\sqrt3\approx 1{,}73\). **Odpowiedź.** Po przekształceniu \(f(x)=\sqrt3\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\), zatem wartość najmniejsza to \(m=-\sqrt3\), a największa \(M=\sqrt3\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **15.1. (1 pkt)** – […] zastosowaniu wzorów redukcyjnych: \(f(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)\). **15.2. (1 pkt)** – przekształcenie wzoru funkcji po zastosowaniu wzoru na sumę sinusów lub kosinusów: \(f(x)=\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)\) lub \(f(x)=\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\). **15.3. (2 pkt)** – wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji (w tym \(1\) p. za podanie wartości oraz \(1\) p. za uzasadnienie): Najmniejsza wartość: \(m=-\sqrt{3}\). Największa wartość: \(M=\sqrt{3}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Teza została wykazana: suma kwadratów sinusów kątów wewnętrznych trójkąta prostokątnego jest równa \(2\).

Oznaczmy kąty trójkąta prostokątnego przez \(90^\circ\), \(\alpha\) i \(\beta\). Suma miar kątów w trójkącie wynosi \(180^\circ\), więc \[\alpha+\beta=90^\circ,\qquad \beta=90^\circ-\alpha.\] Ze wzoru redukcyjnego \(\sin\left(90^\circ-\alpha\right)=\cos\alpha\), zatem \[\sin^{2}90^\circ+\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta=1+\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha.\] Z jedynki trygonometrycznej dwa ostatnie składniki dają \(1\), więc cała suma jest równa \(2\). **Odpowiedź.** Suma kwadratów sinusów miar kątów wewnętrznych trójkąta prostokątnego jest równa \(2\), co należało wykazać.

**[…] ([…] pkt)** – […] wewnętrznych danego trójkąta np. \(\sin\alpha+\sin\beta+\sin 90^\circ\) (1). **34. (1 pkt)** – przekształcenie wyrażenia (1) do postaci: \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha+1\). **35. (1 pkt)** – wykorzystanie równości: \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\) do uzyskania tezy twierdzenia.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.