Ciągi określone rekurencyjnie — wyznaczanie wyrazów ze wzoru rekurencyjnego

**C.** \(a_5=-22\)

Zależność \(a_{n+1}=a_n-6\) oznacza, że ciąg jest arytmetyczny o różnicy \(r=-6\) i pierwszym wyrazie \(a_1=2\). Ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\) otrzymujemy \[a_5=2+4\cdot(-6)=2-24=-22.\] **Odpowiedź.** **C.** \(a_5=-22\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. VI.2) Zdający oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie.

**P, P.** Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=-6\), zatem jest malejący.

Z zależności rekurencyjnej \(a_{n+1}=a_n-6\) wynika, że dla każdego \(n\geq1\) \[a_{n+1}-a_n=-6.\] Różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała, więc ciąg jest arytmetyczny o różnicy \(r=-6\) — pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe. Ponieważ \(r=-6<0\), każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, więc ciąg jest malejący — drugie stwierdzenie także jest prawdziwe. **Odpowiedź.** **P, P**

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. VI.4) i VI.3) Zdający sprawdza, czy ciąg jest arytmetyczny, oraz bada jego monotoniczność.

\(a_{10}=2\sqrt{2}=2{,}828427\ldots\), więc kolejne cyfry to \(8\), \(2\), \(8\).

Rozwiązanie \(8\) \(2\) \(8\) ZADANIA OTWARTE (NIEKODOWANE) Uwagi ogólne: \(1\). Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. \(2\). Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może otrzymać co najwyżej (n − \(1\)) punktów (gdzie n jest maksymalną możliwą do uzyskania liczbą punktów za dane zadanie).

2 pkt – odpowiedź całkowicie poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.1R) Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem rekurencyjnym.

\[S_4=36.\]

Korzystamy kolejno ze wzoru rekurencyjnego: \[a_1=-2,\] \[a_2=1\cdot a_1+4=1\cdot(-2)+4=2,\] \[a_3=2\cdot a_2+4=2\cdot2+4=8,\] \[a_4=3\cdot a_3+4=3\cdot8+4=28.\] Zatem \[S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=-2+2+8+28=36.\]

**2 pkt** – poprawne obliczenie \(a_2=2\), \(a_3=8\), \(a_4=28\) oraz sumy \(S_4=36\) **1 pkt** – poprawne obliczenie drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu ciągu **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VI.2) Zdający oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie.

**D.** Mamy \(a_2=2\cdot2+1=5\) oraz \(a_3=2\cdot5+1=11\).

**Krok \(1\).** Ciąg jest zadany **rekurencyjnie**: podany jest pierwszy wyraz i przepis, jak z dowolnego wyrazu otrzymać następny. Nie ma tu wzoru ogólnego, do którego można by wstawić \(n=3\) — trzeba iść krok po kroku od \(a_1\). **Krok \(2\).** Znamy \(a_1=2\). **Krok \(3\).** Wstawiamy \(n=1\) do wzoru \(a_{n+1}=2a_n+1\), czyli liczymy \(a_2\) z \(a_1\): \[a_2=2a_1+1=2\cdot2+1=5.\] **Krok \(4\).** Teraz wstawiamy \(n=2\), czyli liczymy \(a_3\) z \(a_2\): \[a_3=2a_2+1=2\cdot5+1=11.\] **Krok \(5\).** Trzeci wyraz ciągu jest więc równy \(11\). **Uwaga.** Odpowiedź **B** (\(5\)) to **drugi** wyraz — dostaje ją każdy, kto zatrzyma się o jeden krok za wcześnie. Odpowiedź **A** (\(4\)) powstaje z pominięcia składnika \(+1\). Warto ponumerować obliczenia i sprawdzić, przy którym wyrazie się kończy. **Odpowiedź.** D: \(a_3=11\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.2) Zdający oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie.

**F, F.** Początkowe wyrazy ciągu to \(2,5,11\). Różnice \(3\) i \(6\) nie są równe, a ilorazy \(\frac52\) i \(\frac{11}{5}\) również nie są równe.

**Krok \(1\).** Ciąg jest zadany rekurencyjnie: każdy kolejny wyraz powstaje z poprzedniego. Aby ocenić, czy ciąg jest arytmetyczny albo geometryczny, wystarczy policzyć kilka pierwszych wyrazów i sprawdzić definicje: w ciągu arytmetycznym stała jest różnica kolejnych wyrazów, w geometrycznym stały jest ich iloraz. **Krok \(2\).** Liczymy wyrazy ze wzoru \(a_{n+1}=2a_{n}+1\): \[a_{1}=2,\qquad a_{2}=2\cdot2+1=5,\qquad a_{3}=2\cdot5+1=11,\qquad a_{4}=2\cdot11+1=23.\] **Krok \(3\).** Sprawdzamy pierwsze stwierdzenie. Różnice kolejnych wyrazów: \[a_{2}-a_{1}=5-2=3,\qquad a_{3}-a_{2}=11-5=6.\] Ponieważ \(3\neq6\), różnica nie jest stała, więc ciąg nie jest arytmetyczny. Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe. **Krok \(4\).** Sprawdzamy drugie stwierdzenie. Ilorazy kolejnych wyrazów: \[\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac52=2{,}5,\qquad\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{11}{5}=2{,}2.\] Ilorazy są różne, więc ciąg nie jest geometryczny. Drugie stwierdzenie również jest fałszywe. **Uwaga.** Wzór \(a_{n+1}=2a_{n}+1\) tylko przypomina ciąg geometryczny, bo pojawia się w nim mnożenie przez \(2\). Dodawana jedynka psuje jednak stałość ilorazu. Do obalenia stwierdzenia wystarczy jeden kontrprzykład, czyli dwie różne różnice albo dwa różne ilorazy. **Odpowiedź.** F, F.

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.4) Zdający sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny.

\[S_4=36.\]

**Krok \(1\).** Ciąg jest dany **rekurencyjnie**: nie ma wzoru pozwalającego policzyć dowolny wyraz od razu, za to każdy kolejny wyraz obliczamy z poprzedniego. Skoro potrzebujemy czterech pierwszych wyrazów, wyznaczymy je po kolei, a na końcu je dodamy. **Krok \(2\).** Pierwszy wyraz jest dany wprost: \[a_1=-2.\] **Krok \(3\).** Aby dostać \(a_2\), we wzorze \(a_{n+1}=n\cdot a_n+4\) bierzemy \(n=1\): \[a_2=1\cdot a_1+4=1\cdot(-2)+4=2.\] **Krok \(4\).** Dla \(a_3\) bierzemy \(n=2\): \[a_3=2\cdot a_2+4=2\cdot 2+4=8.\] **Krok \(5\).** Dla \(a_4\) bierzemy \(n=3\): \[a_4=3\cdot a_3+4=3\cdot 8+4=28.\] **Krok \(6\).** Dodajemy cztery początkowe wyrazy: \[S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=-2+2+8+28=36.\] **Uwaga.** We wzorze \(a_{n+1}=n\cdot a_n+4\) mnożymy przez \(n\), czyli przez numer **poprzedniego** wyrazu. Licząc \(a_4\), podstawiamy \(n=3\) (bo \(a_4=a_{3+1}\)), a nie \(n=4\). Pomyłka w tym miejscu psuje wszystkie dalsze wyrazy. **Odpowiedź.** \(S_4=36\)

**2 pkt** – poprawne obliczenie \(a_2,a_3,a_4\) oraz sumy \(S_4=36\) **1 pkt** – poprawne obliczenie \(a_2=2\), \(a_3=8\), \(a_4=28\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 i I operowanie obiektami matematycznymi i sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** VI.2 obliczanie początkowych wyrazów ciągu określonego rekurencyjnie.

\(a_{1}\)+\(a_{2}\)+\(a_{3}\)=\(\frac{10}{9}\). Z \(a_{1}\)=\(3\)\(a_{2}\)+\(1\) otrzymujemy \(a_{2}\)=\(\frac{1}{3}\), a z \(a_{2}\)=\(3\)\(a_{3}\)+\(4\) otrzymujemy \(a_{3}\)=−\(\frac{11}{9}\).

Warunek \(a_n=3a_{n+1}+n^{2}\) pozwala wyznaczać kolejne wyrazy, jeśli przekształcimy go względem \(a_{n+1}\): \[a_{n+1}=\frac{a_n-n^{2}}{3}.\] Dla \(n=1\) otrzymujemy \[a_2=\frac{2-1}{3}=\frac13,\] a dla \(n=2\) \[a_3=\frac{\frac13-4}{3}=\frac{-\frac{11}3}{3}=-\frac{11}9.\] Zatem \[a_1+a_2+a_3=2+\frac13-\frac{11}9=\frac{18}9+\frac39-\frac{11}9=\frac{10}9.\] **Odpowiedź.** \(a_1+a_2+a_3=\frac{10}9\)

**1 pkt** – gdy obliczy drugi wyraz ciągu \((a_{n})\): \(a_{2}=\frac{1}{3}\) **2 pkt** – gdy obliczy trzeci wyraz ciągu \((a_{n})\): \(a_{3}=-\frac{11}{9}\) **3 pkt** – gdy obliczy sumę \(a_{1}+a_{2}+a_{3}=\frac{10}{9}\).

Zadanie 6. (0–3) Pierwszy wyraz ciągu ( a ) , określonego dla n ≥ 1, jest równy 2. Wszystkie wyrazy tego ciągu n spełniają warunek a = 3⋅ a + n2 . Oblicz sumę a + a + a . n n+1 1 2 3 Rozwiązanie Wyznaczamy kolejno wyrazy; 1 dla n = 1 otrzymujemy: a = 3⋅ a +1 , czyli a = , 1 2 2 3 11 dla n = 2 otrzymujemy: a = 3⋅ a + 4 , czyli a = − . 2 3 3 9 1 11 10 Stąd a + a + a = 2 + − = . 1 2 3 3 9 9

\(a_{1}\)=\(10\), a ciąg nie jest malejący. Cofając rekurencję od \(a_{4}\)=\(4\) otrzymujemy \(a_{3}\)=\(5\), \(a_{2}\)=\(7\) i \(a_{1}\)=\(10\). Ponadto \(a_{5}\)=\(a_{4}\), bo \(a_{5}\)−\(a_{4}\)=\(4\)−\(4=0\), więc warunek ścisłej malejącości nie jest spełniony.

**Krok \(1\).** Ciąg jest zadany rekurencyjnie wzorem \(a_{n+1}=a_n+n-4\), czyli wzór pozwala iść w przód: z wyrazu \(n\)-tego robi \((n+1)\)-szy. My znamy \(a_4\), a szukamy \(a_1\), więc musimy iść wstecz — przekształcamy wzór do postaci \(a_n=a_{n+1}-n+4\). Druga część zadania dotyczy monotoniczności, a o niej decyduje znak różnicy \(a_{n+1}-a_n\). **Krok \(2\).** Dla \(n=3\) wzór daje \(a_4=a_3+3-4=a_3-1\). Ponieważ \(a_4=4\), mamy \[a_3=a_4+1=5.\] **Krok \(3\).** Dla \(n=2\): \(a_3=a_2+2-4=a_2-2\), więc \[a_2=a_3+2=7.\] **Krok \(4\).** Dla \(n=1\): \(a_2=a_1+1-4=a_1-3\), więc \[a_1=a_2+3=10.\] **Krok \(5\).** Przechodzimy do monotoniczności. Ciąg jest malejący, gdy dla każdego \(n\) zachodzi \(a_{n+1}\lt a_n\), czyli gdy \(a_{n+1}-a_n\lt0\). Z definicji ciągu \[a_{n+1}-a_n=n-4.\] **Krok \(6\).** Różnica \(n-4\) jest ujemna tylko dla \(n\lt4\), czyli maleją jedynie pierwsze cztery wyrazy. Dla \(n=4\) różnica wynosi \(0\), zatem \[a_5=a_4+4-4=a_4=4.\] **Krok \(7\).** Skoro \(a_5=a_4\), to warunek \(a_5\lt a_4\) nie jest spełniony, więc ciąg nie jest malejący (dla \(n\gt4\) różnica jest wręcz dodatnia, czyli dalsze wyrazy rosną). **Uwaga.** To, że kilka pierwszych wyrazów maleje (\(10,7,5,4\)), nie oznacza, że ciąg jest malejący — definicja wymaga nierówności dla każdego \(n\). Wystarczy wskazać jedno miejsce, gdzie warunek zawodzi. **Odpowiedź.** \(a_1=10\); ciąg nie jest malejący, bo \(a_5=a_4=4\).

**1 pkt** – gdy zdający obliczy trzeci wyraz ciągu: \(a_3=5\) albo uzasadni, że ciąg nie jest malejący. **2 pkt** – gdy obliczy pierwszy wyraz ciągu: \(a_1=10\). **3 pkt** – gdy obliczy pierwszy wyraz ciągu \(a_1=10\) oraz uzasadni, że ciąg nie jest malejący.

Klasyfikacja rzeczowa: obliczanie wyrazów ciągu określonego rekurencyjnie i badanie monotoniczności na podstawie różnicy kolejnych wyrazów.

**D.** \(a_2=3\)

Dla \(n=2\) zależność rekurencyjna daje \[a_3=a_2+2-6=a_2-4.\] Ponieważ \(a_3=-1\), mamy \(a_2=3\).

**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** ciągi - obliczanie wyrazu ciągu określonego rekurencyjnie.

Wzór \(a_n=\frac{2}{2n-1}\) zachodzi dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\); dowód przez indukcję: baza \(a_1=2\), krok \(a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}=\frac{2}{2n+1}\).

Dowód przeprowadzamy metodą indukcji matematycznej względem \(n\). **Baza indukcji.** Dla \(n=1\) wzór ogólny daje \(\frac{2}{2\cdot1-1}=\frac21=2\), co jest zgodne z warunkiem \(a_1=2\). **Krok indukcyjny.** Zakładamy, że dla pewnej liczby naturalnej \(n\geq1\) zachodzi \(a_n=\frac{2}{2n-1}\). Wykażemy, że wtedy \[a_{n+1}=\frac{2}{2(n+1)-1}=\frac{2}{2n+1}.\] Zauważmy najpierw, że \(2n-1>0\), więc \(a_n>0\), a zatem \(a_n+1\ne0\) i wzór rekurencyjny ma sens. Korzystamy z założenia indukcyjnego: \[a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}=\frac{\frac{2}{2n-1}}{\frac{2}{2n-1}+1}=\frac{\frac{2}{2n-1}}{\frac{2+(2n-1)}{2n-1}}=\frac{2}{2n+1}.\] Otrzymaliśmy dokładnie to, co należało wykazać. Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór \(a_n=\frac{2}{2n-1}\) zachodzi dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\), co kończy dowód.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **20.1. (1 pkt)** – sprawdzenie warunku dla \(n=1\). **20.2. (1 pkt)** – napisanie założenia indukcyjnego i tezy indukcyjnej. **20.3. (2 pkt)** – przeprowadzenie dalszej części dowodu. Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(a_4=8\)

Wzór rekurencyjny \(a_{n+2}=2^{n-1}+a_n+a_{n+1}\) pozwala wyznaczyć kolejne wyrazy, gdy znamy dwa poprzednie. Zaczynamy od \(a_1=1\) i \(a_2=2\). Dla \(n=1\): \[a_3=2^{0}+a_1+a_2=1+1+2=4.\] Dla \(n=2\): \[a_4=2^{1}+a_2+a_3=2+2+4=8.\] **Odpowiedź.** \(a_4=8\)

**1. (2 pkt)** – wyznaczenie wyrazu \(a_{3}\). Odp. \(a_{3}=4\). Za zapisanie zależności \(a_{3}=20+a_{1}+a_{2}\) przyznajemy \(1\) punkt. **2. (1 pkt)** – wyznaczenie wyrazu \(a_{4}\). Odp. \(a_{4}=8\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.