Wielokąty foremne i wypukłe — zadania maturalne z rozwiązaniami

**B.** \(\pi-\frac{3\sqrt3}{2}\)

Pole koła o promieniu \(1\) wynosi \(\pi\). Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku \(1\), więc jego pole to \(6\cdot\frac{\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3}{2}\). Pole zacieniowane wynosi \[\pi-\frac{3\sqrt3}{2}.\] Poprawna jest odpowiedź **B**.

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** VIII.3) Zdający rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności.

**C.** \(2\sqrt3\)

Pole sześciokąta foremnego o boku \(s\) jest równe \[6\cdot\frac{\sqrt3}{4}s^2=\frac{3\sqrt3}{2}s^2.\] Z warunku \(\frac{3\sqrt3}{2}s^2=6\sqrt3\) otrzymujemy \(s^2=4\), więc \(s=2\). Odcinek \(AE\) jest wysokością dwóch trójkątów równobocznych o boku \(2\), zatem \(|AE|=2\sqrt3\). Pole trójkąta \(ABE\) wynosi \[P_{ABE}=\frac12\cdot|AB|\cdot|AE|=\frac12\cdot2\cdot2\sqrt3=2\sqrt3.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VIII.3 rozpoznawanie wielokątów foremnych i korzystanie z ich podstawowych własności.

**B.** \(2\sqrt3\)

Z pola sześciokąta foremnego \[\frac{3\sqrt3}{2}s^2=6\sqrt3\] otrzymujemy \(s=2\). Odcinek \(AE\) jest sumą wysokości dwóch trójkątów równobocznych o boku \(2\), więc \[|AE|=2\cdot\frac{2\sqrt3}{2}=2\sqrt3.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VIII.3 rozpoznawanie wielokątów foremnych i korzystanie z ich podstawowych własności.

B. \(14\)

Każdy z \(7\) wierzchołków łączymy odcinkiem z \(7-3=4\) wierzchołkami nieprzyległymi (pomijamy sam wierzchołek i dwóch jego sąsiadów). Każda przekątna zostaje przy tym policzona dwukrotnie — raz z każdego końca — zatem \[\frac{7\cdot4}{2}=14.\] **Odpowiedź.** B. \(14\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Obliczanie liczby przekątnych wielokąta.

a) \(P(20)=170\) przekątnych; b) wielokąt ma \(13\) boków (trzynastokąt); c) stwierdzenie jest fałszywe — kontrprzykładem jest sześciokąt wypukły, dla którego \(P(6)=9\), czyli liczba przekątnych jest nieparzysta.

**Krok \(1\).** Zadanie \(2\). (\(4\) pkt) **Krok \(2\).** Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest n boków i n ≥ \(3\) wyraża się wzorem **Krok \(3\).** n ( n − \(3\)) **Krok \(4\).** P ( n) = . **Krok \(5\).** Wykorzystując ten wzór: **Krok \(6\).** a) oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym. **Krok \(7\).** b) oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy **Krok \(8\).** większa od liczby boków. **Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* a) Do podanego wzoru podstawiam \(n=20\) i otrzymuję \(P(20)=\frac{20\cdot 17}{2}=170\). W dwudziestokącie wypukłym jest \(170\) przekątnych. b) Zapisuję równanie uwzględniające treść tego podpunktu: \(\frac{n(n-3)}{2}=5n\). Jest ono równoważne równaniu kwadratowemu \(n^{2}-13n=0\), którego rozwiązaniem są liczby \(n=0\) lub \(n=13\). Biorąc pod uwagę założenie, że \(n\geq 3\) formułuję odpowiedź: Wielokątem wypukłym, który ma \(5\) razy więcej przekątnych niż boków jest trzynastokąt. c) Powyższe stwierdzenie nie jest prawdziwe, ponieważ sześciokąt wypukły ma \(9\) przekątnych, czyli \(P(6)=9\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.