Styczna do wykresu funkcji — równanie stycznej, kąt nachylenia, punkt styczności

**B.** \((0,0)\)

Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie o odciętej \(x_0\) jest równy \(f'(x_0)\). Dla \(f(x)=x^2+4\) mamy \(f'(x)=2x\), więc w punkcie \((2,8)\) \[f'(2)=4.\] Punkt ten istotnie leży na wykresie, bo \(f(2)=2^2+4=8\). Styczna ma zatem równanie \[y-8=4(x-2),\qquad y=4x.\] Punkt przecięcia z osią \(Ox\) znajdujemy z warunku \(y=0\): \[4x=0,\qquad x=0.\] Styczna przecina oś \(Ox\) w punkcie \((0,0)\). **Odpowiedź.** B: \((0,0)\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymagania określone w podstawie programowej **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 11.3R) Zdający korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej.

Warunki mają postać \(f(-2)=0\), \(f(1)=9\) oraz \(f'(-2)=\frac{9-0}{1-(-2)}=3\). Otrzymujemy układ \(-8+4a-2b+c=0\), \(1+a+b+c=9\), \(12-4a+b=3\). Jego rozwiązaniem jest \(a=3\), \(b=3\), \(c=2\), więc \(f(x)=x^{3}+3x^{2}+3x+2\).

Przykładowe pełne rozwiązania Sposób I Wzór wielomianu \(f\) ma postać \(f\)(x) = \(x^{3}\) + \(ax2\) + bx + c przy pewnych a, b, c ∈ R. Styczna jest prostą, na której leżą punkty A = (−\(2\), \(0\)) i P = (\(1\), \(9\)). \(9\) − \(0\) Obliczamy współczynnik kierunkowy μ tej prostej: μ = = \(3\). \(1\) − (−\(2\)) Korzystając z geometrycznej interpretacji pochodnej, mamy \(f\)′(−\(2\)) = \(3\). Obliczając pochodną wielomianu \(f\), otrzymujemy \(f\)′(x) = \(3x2\) + \(2ax\) + b. Zatem \(3 = 3\) ⋅ (−\(2\))\(2\) + \(2a\) ⋅ (−\(2\)) + b. Stąd b = \(4a\) − \(9\). Ponieważ \(f\)(−\(2\)) = \(0\), więc (−\(2\))\(3\) + a ⋅ (−\(2\))\(2\) + b ⋅ (−\(2\)) + c = \(0\), czyli −\(8\) + \(4a\) + (\(4a\) − \(9\)) ⋅ (−\(2\)) + c = \(0\) c = \(4a\) − \(10\) Ponieważ \(f\)(\(1\)) = \(9\), więc \(9 = 13\) + a ⋅ \(12\) + b ⋅ \(1\) + c, czyli \(9 = 1\) + a + (\(4a\) − \(9\)) + (\(4a\) − \(10\)) a = \(3\) Zatem b = \(4 ⋅ 3\) − \(9 = 3\) oraz c = \(4 ⋅ 3\) − \(10 = 2\). Wielomian \(f\) jest określony wzorem \(f\)(x) = \(x^{3}\) + \(3x2\) + \(3x\) + \(2\). Sposób II Zapisujemy wzór wielomianu \(f\) w postaci \(f\)(x) = (x + \(2\))(\(x^{2}\) + dx + e), gdzie d, e ∈ R. Styczna jest prostą, na której leżą punkty A = (−\(2\), \(0\)) i P = (\(1\), \(9\)). \(9\) − \(0\) Obliczamy współczynnik kierunkowy μ tej prostej: μ = = \(3\). \(1\) − (−\(2\)) Korzystając z geometrycznej interpretacji pochodnej, mamy \(f\)′(−\(2\)) = \(3\). Obliczając pochodną wielomianu \(f\), otrzymujemy \(f\)′(x) = \(1\) ⋅ (\(x^{2}\) + dx + e) + (x + \(2\)) ⋅ (\(2x\) + d) Zatem \(3\) = (−\(2\))\(2\) + d ⋅ (−\(2\)) + e + \(0\). Stąd e = \(2d\) − \(1\). Ponieważ \(f\)(\(1\)) = \(9\), więc \(9\) = (\(1 + 2\))(\(12\) + d + e), czyli \(9 = 3\) ⋅ (\(1\) + d + \(2d\) − \(1\)) d = \(1\) Zatem e = \(2 ⋅ 1\) − \(1 = 1\). Wielomian \(f\) jest określony wzorem \(f\)(x) = (x + \(2\))(\(x^{2}\) + x + \(1\)). Sposób III Niech y = \(g\)(x) będzie równaniem stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie A. Niech \(h\) będzie wielomianem trzeciego stopnia określonym następująco: \(h\)(x) = \(f\)(x) − \(g\)(x) dla każdego x ∈ R. Punkt A leży na wykresach funkcji \(f\) oraz \(g\), więc \(f\)(−\(2\)) = \(g\)(−\(2\)), czyli \(h\)(−\(2\)) = \(0\). Korzystając z geometrycznej interpretacji pochodnej, mamy \(f\)′(−\(2\)) = \(g\)′(−\(2\)), więc \(h\)′(−\(2\)) = \(f\)′(−\(2\)) − \(g\)′(−\(2\)) = \(0\). Zatem liczba (−\(2\)) jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu \(h\), czyli \(h\)(x) = (x + k)(x + \(2\))\(2\) przy pewnym k ∈ R. Punkt P leży na wykresach funkcji \(f\) oraz \(g\), więc \(f\)(\(1\)) = \(9\) i \(g\)(\(1\)) = \(9\). Stąd \(h\)(\(1\)) = \(f\)(\(1\)) − \(g\)(\(1\)) = \(0\). Zatem \(h\)(\(1\)) = (\(1\) + k)(\(1 + 2\))\(2\) \(0\) = (\(1\) + k) ⋅ \(9\) k = −\(1\) czyli \(h\)(x) = (x − \(1\))(x + \(2\))\(2\). Styczna jest prostą, na której leżą punkty A = (−\(2\), \(0\)) i P = (\(1\), \(9\)). \(9\) − \(0\) Obliczamy współczynnik kierunkowy μ tej prostej: μ = = \(3\). Zatem \(1\) − (−\(2\)) \(g\)(x) = \(3\)(x + \(2\)). Wyznaczamy wzór funkcji \(f\): \(f\)(x) = \(h\)(x) + \(g\)(x) = (x − \(1\))(x + \(2\))\(2 + 3\)(x + \(2\)) = (x + \(2\))(\(x^{2}\) + \(2x\) − x − \(2 + 3\)) = = (x + \(2\))(\(x^{2}\) + x + \(1\))

**(dla sposobów I oraz II)** **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik niezależny od \(a\), \(b\), \(c\): \(f(x)=x^3+3x^2+3x+2\) (lub \(f(x)=(x+2)(x^2+x+1)\)). **3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a\), które wynika z warunków \(f(-2)=0\) i \(f(1)=9\) oraz \(f'(-2)=3\), np. \(9=1+a+(4a-9)+(4a-10)\) (dla sposobu I) ALBO – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi \(d\) oraz \(e\), np. \(3=(-2)^2+d\cdot(-2)+e+0\) i \(9=(1+2)(1^2+d+e)\) (dla sposobu II), – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema (spośród \(a\), \(b\) oraz \(c\)) niewiadomymi, które wynikają z warunków \(f(-2)=0\) i \(f(1)=9\) oraz z warunku \(f'(-2)=3\), np. \(0=(-2)^3+a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+9-1^3-a\cdot1^2-b\cdot1\) oraz \(3=3\cdot(-2)^2+2a\cdot(-2)+b\). **2 pkt** – wyznaczenie (z warunków \(f'(-2)=3\) i \(f(-2)=0\)) \(b\) oraz \(c\) w zależności od \(a\): \(b=4a-9\) i \(c=4a-10\) (dla sposobu I) ALBO – wyznaczenie (z warunków \(f'(-2)=3\) i \(f(1)=9\)) \(b\) oraz \(c\) w zależności od \(a\): \(b=4a-9\) i \(c=17-5a\) (dla sposobu I), ALBO – zapisanie warunku \(f(1)=9\) w postaci równania z dwiema niewiadomymi \(d\) oraz \(e\), np. \(9=(1+2)(1^2+d+e)\) (dla sposobu II), ALBO – zapisanie warunku \(f'(-2)=3\) w postaci równania z dwiema niewiadomymi \(d\) oraz \(e\), np. \(3=(-2)^2+d\cdot(-2)+e+0\) (dla sposobu II), ALBO – zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi \(a\), \(b\) oraz \(c\), które wynikają z warunków \(f(-2)=0\) i \(f(1)=9\) oraz \(f'(-2)=3\), np. \(0=(-2)^3+a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+c\) oraz \(9=1^3+a\cdot1^2+b\cdot1+c\) oraz \(3=3\cdot(-2)^2+2a\cdot(-2)+b\), ALBO – obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: \(3\) oraz wyznaczenie (z warunków \(f(-2)=0\) i \(f(1)=9\)) \(b\) w zależności od \(a\): \(b=a\). **1 pkt** – obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: \(3\) (dla sposobów I oraz II), ALBO – zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci \(f(x)=(x+2)(x^2+dx+e)\) (dla sposobu II), ALBO – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z trzema niewiadomymi \(a\), \(b\) oraz \(c\), które wynikają z warunków \(f(-2)=0\) i \(f(1)=9\), np. \(0=(-2)^3+a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+c\) oraz \(9=1^3+a\cdot1^2+b\cdot1+c\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Zasady oceniania (dla sposobu III)** **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik niezależny od \(a\), \(b\), \(c\): \(f(x)=x^3+3x^2+3x+2\) (lub \(f(x)=(x+2)(x^2+x+1)\)). **3 pkt** – wyznaczenie równania stycznej, np. \(g(x)=3(x+2)\), oraz zapisanie związków \(h(-2)=0\) i \(h'(-2)=0\), oraz przedstawienie wielomianu \(h\) w postaci \(h(x)=(x+k)(x+2)^2\) ALBO – wyznaczenie wzoru wielomianu \(h\), np. \(h(x)=(x-1)(x+2)^2\). **2 pkt** – obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: \(3\) oraz zapisanie związków \(h(-2)=0\) i \(h'(-2)=0\) ALBO – zapisanie związków \(h(-2)=0\) i \(h'(-2)=0\) oraz przedstawienie wielomianu \(h\) w postaci \(h(x)=(x+k)(x+2)^2\). **1 pkt** – obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: \(3\) ALBO – zapisanie związków \(h(-2)=0\) oraz \(h'(-2)=0\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście […] matematycznym […]. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R3) Zdający […] podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej.

\[f(x)=x^{3}+3x^{2}+3x+2=(x+2)\left(x^{2}+x+1\right).\]

Z rysunku i treści odczytujemy, że punkt styczności ma pierwszą współrzędną \(-2\), a liczba \(-2\) jest miejscem zerowym wielomianu, więc \(A=(-2,0)\). Styczna przechodzi przez punkty \(A=(-2,0)\) i \(P=(1,9)\), zatem jej współczynnik kierunkowy wynosi \[a_{\text{st}}=\frac{9-0}{1-(-2)}=3.\] Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pochodnej w punkcie styczności, więc \(f'(-2)=3\). Mamy \(f'(x)=3x^{2}+2ax+b\), co daje trzy warunki: \[f(-2)=-8+4a-2b+c=0,\] \[f(1)=1+a+b+c=9,\] \[f'(-2)=12-4a+b=3.\] Z trzeciego równania \(b=4a-9\). Podstawiając do pierwszego: \[4a-2(4a-9)+c=8,\qquad c=4a-10.\] Podstawiając oba wyniki do drugiego: \[a+(4a-9)+(4a-10)=8,\qquad 9a=27,\qquad a=3,\] a stąd \(b=3\) i \(c=2\). Sprawdzenie: \(f(x)=x^{3}+3x^{2}+3x+2\), więc \(f(-2)=-8+12-6+2=0\), \(f(1)=9\) oraz \(f'(-2)=12-12+3=3\). Ponieważ \(-2\) jest pierwiastkiem, wielomian rozkłada się na czynniki: \[f(x)=(x+2)\left(x^{2}+x+1\right),\] a trójmian \(x^{2}+x+1\) ma wyróżnik \(-3<0\), więc \(-2\) jest jedynym pierwiastkiem rzeczywistym. **Odpowiedź.** \(f(x)=x^{3}+3x^{2}+3x+2\).

**(dla sposobów I oraz II)** **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik niezależny od \(a\), \(b\), \(c\): \(f(x)=x^3+3x^2+3x+2\) (lub \(f(x)=(x+2)(x^2+x+1)\)). **3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a\), które wynika z warunków \(f(-2)=0\) i \(f(1)=9\) oraz \(f'(-2)=3\), np. \(9=1+a+(4a-9)+(4a-10)\) (dla sposobu I) ALBO – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi \(d\) oraz \(e\), np. \(3=(-2)^2+d\cdot(-2)+e+0\) i \(9=(1+2)(1^2+d+e)\) (dla sposobu II), – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema (spośród \(a\), \(b\) oraz \(c\)) niewiadomymi, które wynikają z warunków \(f(-2)=0\) i \(f(1)=9\) oraz z warunku \(f'(-2)=3\), np. \(0=(-2)^3+a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+9-1^3-a\cdot1^2-b\cdot1\) oraz \(3=3\cdot(-2)^2+2a\cdot(-2)+b\). **2 pkt** – wyznaczenie (z warunków \(f'(-2)=3\) i \(f(-2)=0\)) \(b\) oraz \(c\) w zależności od \(a\): \(b=4a-9\) i \(c=4a-10\) (dla sposobu I) ALBO – wyznaczenie (z warunków \(f'(-2)=3\) i \(f(1)=9\)) \(b\) oraz \(c\) w zależności od \(a\): \(b=4a-9\) i \(c=17-5a\) (dla sposobu I), ALBO – zapisanie warunku \(f(1)=9\) w postaci równania z dwiema niewiadomymi \(d\) oraz \(e\), np. \(9=(1+2)(1^2+d+e)\) (dla sposobu II), ALBO – zapisanie warunku \(f'(-2)=3\) w postaci równania z dwiema niewiadomymi \(d\) oraz \(e\), np. \(3=(-2)^2+d\cdot(-2)+e+0\) (dla sposobu II), ALBO – zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi \(a\), \(b\) oraz \(c\), które wynikają z warunków \(f(-2)=0\) i \(f(1)=9\) oraz \(f'(-2)=3\), np. \(0=(-2)^3+a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+c\) oraz \(9=1^3+a\cdot1^2+b\cdot1+c\) oraz \(3=3\cdot(-2)^2+2a\cdot(-2)+b\), ALBO – obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: \(3\) oraz wyznaczenie (z warunków \(f(-2)=0\) i \(f(1)=9\)) \(b\) w zależności od \(a\): \(b=a\). **1 pkt** – obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: \(3\) (dla sposobów I oraz II), ALBO – zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci \(f(x)=(x+2)(x^2+dx+e)\) (dla sposobu II), ALBO – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z trzema niewiadomymi \(a\), \(b\) oraz \(c\), które wynikają z warunków \(f(-2)=0\) i \(f(1)=9\), np. \(0=(-2)^3+a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+c\) oraz \(9=1^3+a\cdot1^2+b\cdot1+c\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Zasady oceniania (dla sposobu III)** **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik niezależny od \(a\), \(b\), \(c\): \(f(x)=x^3+3x^2+3x+2\) (lub \(f(x)=(x+2)(x^2+x+1)\)). **3 pkt** – wyznaczenie równania stycznej, np. \(g(x)=3(x+2)\), oraz zapisanie związków \(h(-2)=0\) i \(h'(-2)=0\), oraz przedstawienie wielomianu \(h\) w postaci \(h(x)=(x+k)(x+2)^2\) ALBO – wyznaczenie wzoru wielomianu \(h\), np. \(h(x)=(x-1)(x+2)^2\). **2 pkt** – obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: \(3\) oraz zapisanie związków \(h(-2)=0\) i \(h'(-2)=0\) ALBO – zapisanie związków \(h(-2)=0\) i \(h'(-2)=0\) oraz przedstawienie wielomianu \(h\) w postaci \(h(x)=(x+k)(x+2)^2\). **1 pkt** – obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: \(3\) ALBO – zapisanie związków \(h(-2)=0\) oraz \(h'(-2)=0\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 11.3R) Zdający korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej.

\[x_0=7,\qquad y=-x+12.\]

Ponieważ punkt \(P=(x_0,5)\) należy do wykresu funkcji \(f\), to \[5=\frac{2x_0+1}{x_0-4}.\] Stąd \[5x_0-20=2x_0+1,\qquad x_0=7.\] Pochodna funkcji jest równa \[f'(x)=\frac{2(x-4)-(2x+1)}{(x-4)^2}=\frac{-9}{(x-4)^2}.\] Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie \(P\) wynosi \[f'(7)=-1.\] Równanie stycznej przechodzącej przez punkt \(P=(7,5)\) ma postać \[y-5=-(x-7),\]\nczyli \[y=-x+12.\]

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x_0=7\) oraz \(y=-x+12\) (lub \(y=-(x-7)+5\)) **2 pkt** – obliczenie odciętej punktu \(P\), \(x_0=7\), oraz wyznaczenie pochodnej funkcji \(f\): \(f'(x)=\frac{2(x-4)-(2x+1)}{(x-4)^2}\) **1 pkt** – obliczenie odciętej punktu \(P\), \(x_0=7\), albo wyznaczenie pochodnej funkcji \(f\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania **Uwaga:** jeżeli zdający błędnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji, to może otrzymać co najwyżej \(1\) punkt za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R2) Zdający stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację geometryczną pochodnej. XIII.R3) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu.

**A.** \(8\)

Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie o pierwszej współrzędnej \(-2\) jest równy \(f'(-2)\). Mamy \[f'(x)=6x^2+8x,\] więc \[f'(-2)=6\cdot(-2)^2+8\cdot(-2)=24-16=8.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 11. R3) Zdający korzysta z geometrycznej interpretacji pochodnej.

\[a=\frac72,\qquad b=-5.\]

Wyznaczamy pochodną funkcji \(f\): \[f'(x)=\frac{(3x^2-3)x-(x^3-3x+2)}{x^2}=\frac{2x^3-2}{x^2}.\] Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie \(P\) jest równy \[a=f'(2)=\frac72.\] Ponadto \[f(2)=\frac{2^3-3\cdot2+2}{2}=2.\] Ponieważ punkt \(P=(2,2)\) leży na stycznej \(y=ax+b\), mamy \[2=\frac72\cdot2+b,\] stąd \[b=-5.\]

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(a=\frac72\) oraz \(b=-5\) **2 pkt** – obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: \(a=f'(2)=\frac72\) **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(f\), np. \(f'(x)=\frac{(3x^2-3)x-(x^3-3x+2)}{x^2}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 11.2 R) Zdający oblicza pochodne funkcji wymiernych. 11.3 R) Zdający korzysta z geometrycznej interpretacji pochodnej.

\[y=\frac34x-\frac34.\]

Wyznaczamy pochodną funkcji ilorazowej: \[f'(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+3)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2},\qquad x\neq1.\] Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie \(P\) wynosi \[f'(-3)=\frac{(-3)^2-2(-3)-3}{(-3-1)^2}=\frac{12}{16}=\frac34.\] Równanie stycznej przechodzącej przez punkt \((-3,-3)\) ma postać \[y+3=\frac34(x+3).\] Po uproszczeniu otrzymujemy \[y=\frac34x-\frac34.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i równanie stycznej \(y=\frac34x-\frac34\) **2 pkt** – poprawna interpretacja \(f'(-3)\) jako współczynnika kierunkowego stycznej i obliczenie \(f'(-3)=\frac34\) **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(f'(x)=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}\) dla \(x\in\mathbb R\setminus\{1\}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R2) Zdający stosuje definicję pochodnej funkcji i podaje interpretację geometryczną pochodnej. XIII.R3) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu.

\[x_0=2,\qquad y=17x-16.\]

Ponieważ \(P=(x_0,18)\) leży na wykresie funkcji \(f\), mamy \[18=2x_0^3-4x_0^2+9x_0.\] Po przeniesieniu wszystkich wyrazów na jedną stronę i rozłożeniu na czynniki: \[2x_0^3-4x_0^2+9x_0-18=0,\] \[(2x_0^2+9)(x_0-2)=0.\] Pierwszy czynnik jest dodatni dla każdego \(x_0\in\mathbb R\), więc \[x_0=2.\] Wyznaczamy pochodną: \[f'(x)=6x^2-8x+9.\] Współczynnik kierunkowy stycznej wynosi \[f'(2)=17.\] Styczna przechodzi przez punkt \((2,18)\), zatem \[y-18=17(x-2),\] \[y=17x-16.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wyniki \(x_0=2\) oraz \(y=17x-16\) **2 pkt** – obliczenie \(x_0=2\) i wyznaczenie \(f'(x)=6x^2-8x+9\) **1 pkt** – obliczenie \(x_0=2\) albo wyznaczenie pochodnej \(f'(x)=6x^2-8x+9\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja; 3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R2) Zdający stosuje definicję pochodnej funkcji i podaje interpretację geometryczną pochodnej. XIII.R3) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu.

\[x_0=2,\qquad y=17x-16.\]

Ponieważ punkt \(P=(x_0,18)\) należy do wykresu funkcji \(f\), mamy \[2x_0^3-4x_0^2+9x_0=18.\] Przenosimy wszystko na jedną stronę i rozkładamy na czynniki: \[2x_0^3-4x_0^2+9x_0-18=0,\] \[(2x_0^2+9)(x_0-2)=0.\] Dla liczb rzeczywistych \(2x_0^2+9>0\), zatem \[x_0=2.\] Wyznaczamy pochodną: \[f'(x)=6x^2-8x+9.\] Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy \[a=f'(2)=24-16+9=17.\] Styczna przechodzi przez punkt \((2,18)\), więc \[y-18=17(x-2),\] czyli \[y=17x-16.\]

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x_0=2\) oraz \(y=17x-16\) **2 pkt** – obliczenie \(x_0=2\) i wyznaczenie pochodnej \(f'(x)=6x^2-8x+9\) **1 pkt** – obliczenie \(x_0=2\); albo wyznaczenie pochodnej \(f'(x)=6x^2-8x+9\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Element podstawy programowej:** wyznaczanie pochodnej wielomianu i równania stycznej do wykresu funkcji w punkcie. Klucz CKE dla tego arkusza w formule 2015 nie podaje osobnego kodu wymagania.

\[x_0=-3,\qquad y=-\frac8{11}x+\frac9{11}.\]

Ponieważ \(P=(x_0,3)\) leży na wykresie \(f\), mamy \[3=\frac{3x_0^2-2x_0}{x_0^2+2x_0+8}.\] Mianownik jest dodatni dla każdego \(x_0\in\mathbb R\), więc \[3x_0^2+6x_0+24=3x_0^2-2x_0,\] \[x_0=-3.\] Wyznaczamy pochodną ilorazu: \[f'(x)=\frac{(6x-2)(x^2+2x+8)-(3x^2-2x)(2x+2)}{(x^2+2x+8)^2}.\] Po uproszczeniu: \[f'(x)=\frac{8x^2+48x-16}{(x^2+2x+8)^2}.\] Współczynnik kierunkowy stycznej wynosi \[f'(-3)=-\frac8{11}.\] Korzystamy z punktu \((-3,3)\): \[y-3=-\frac8{11}(x+3),\] \[y=-\frac8{11}x+\frac9{11}.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wyniki \(x_0=-3\), \(y=-\frac8{11}x+\frac9{11}\) **2 pkt** – obliczenie \(x_0=-3\) i wyznaczenie poprawnej pochodnej funkcji \(f\) **1 pkt** – obliczenie \(x_0=-3\) albo wyznaczenie poprawnej pochodnej ilorazu **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja; 3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R2) Zdający stosuje definicję pochodnej funkcji i podaje interpretację geometryczną pochodnej. XIII.R3) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu.

\(\displaystyle x_0=-3\), a styczna ma równanie \(\displaystyle y=-\frac8{11}x+\frac9{11}\). Równanie \(f(x_0)=3\) daje \(x_0=-3\), a \(f'(-3)=-\frac8{11}\).

**Krok \(1\).** Metoda: odciętą punktu \(P\) znajdujemy z równania \(f(x_{0})=3\), a współczynnik kierunkowy stycznej to \(f'(x_{0})\), przy czym pochodną liczymy ze wzoru na pochodną ilorazu. **Krok \(2\).** Mianownik \(x^{2}+2x+8\) ma wyróżnik \(4-32=-28\lt 0\), więc jest dodatni dla każdego \(x\) — funkcja \(f\) jest istotnie określona na całym zbiorze liczb rzeczywistych i wolno mnożyć przez ten mianownik. **Krok \(3\).** Rozwiązujemy \(f(x_{0})=3\): \[3\left(x_{0}^{2}+2x_{0}+8\right)=3x_{0}^{2}-2x_{0},\qquad 3x_{0}^{2}+6x_{0}+24=3x_{0}^{2}-2x_{0},\qquad 8x_{0}=-24,\] skąd \(x_{0}=-3\), a więc \(P=(-3,3)\). **Krok \(4\).** Pochodna ilorazu: \[f'(x)=\frac{(6x-2)\left(x^{2}+2x+8\right)-\left(3x^{2}-2x\right)(2x+2)}{\left(x^{2}+2x+8\right)^{2}}.\] **Krok \(5\).** Upraszczamy licznik: \[(6x-2)\left(x^{2}+2x+8\right)=6x^{3}+10x^{2}+44x-16,\qquad \left(3x^{2}-2x\right)(2x+2)=6x^{3}+2x^{2}-4x,\] więc licznik jest równy \(8x^{2}+48x-16\) i \[f'(x)=\frac{8x^{2}+48x-16}{\left(x^{2}+2x+8\right)^{2}}.\] **Krok \(6\).** Obliczamy współczynnik kierunkowy stycznej: \[f'(-3)=\frac{8\cdot 9-144-16}{(9-6+8)^{2}}=\frac{-88}{121}=-\frac{8}{11}.\] **Krok \(7\).** Korzystamy ze wzoru na styczną w punkcie \((x_{0},f(x_{0}))\): \[y=-\frac{8}{11}(x+3)+3=-\frac{8}{11}x-\frac{24}{11}+\frac{33}{11}=-\frac{8}{11}x+\frac{9}{11}.\] **Uwaga.** Najczęstszy błąd to liczenie pochodnej ilorazu jako ilorazu pochodnych. Kolejność w liczniku też ma znaczenie: jest to pochodna licznika razy mianownik minus licznik razy pochodna mianownika. **Odpowiedź.** \(x_{0}=-3\), a styczna ma równanie \(y=-\frac{8}{11}x+\frac{9}{11}\).

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x_{0}=-3\) oraz \(y=-\frac{8}{11}x+\frac{9}{11}\) (lub \(y=-\frac{8}{11}(x+3)+3\)). **2 pkt** – obliczenie odciętej punktu \(P\) i wyznaczenie pochodnej funkcji \(f\): \(x_{0}=-3\) oraz \(f'(x)=\frac{(6x-2)\cdot(x^{2}+2x+8)-(3x^{2}-2x)\cdot(2x+2)}{\left(x^{2}+2x+8\right)^{2}}\). **1 pkt** – obliczenie odciętej punktu \(P\): \(x_{0}=-3\) ALBO – wyznaczenie pochodnej funkcji \(f\): \(f'(x)=\frac{(6x-2)\cdot(x^{2}+2x+8)-(3x^{2}-2x)\cdot(2x+2)}{\left(x^{2}+2x+8\right)^{2}}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwaga:** Jeżeli zdający błędnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji, to może otrzymać co najwyżej \(1\) punkt za całe rozwiązanie.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** R11.2) Zdający oblicza pochodne funkcji wymiernych; R11.3) Zdający korzysta z geometrycznej interpretacji pochodnej.

\[k=-\frac4{27}.\]

Niech \(x_0\neq0\) będzie odciętą punktu styczności. Punkt ten leży na wykresie funkcji i na prostej \(y=-x\), więc \[\frac{x_0^3+k}{x_0}=-x_0.\] Pochodna funkcji jest równa \[f'(x)=\frac{2x^3-k}{x^2}.\] Współczynnik kierunkowy stycznej wynosi \(-1\), zatem \[\frac{2x_0^3-k}{x_0^2}=-1.\] Po usunięciu mianowników otrzymujemy układ \[x_0^3+k=-x_0^2,\qquad 2x_0^3-k=-x_0^2.\] Po dodaniu równań: \[3x_0^3=-2x_0^2.\] Ponieważ \(x_0\neq0\), mamy \(x_0=-\frac23\). Wtedy \[k=-x_0^3-x_0^2=\frac8{27}-\frac49=-\frac4{27}.\]

**5 pkt** – poprawna metoda i wynik \(k=-\frac4{27}\) **4 pkt** – wyznaczenie z układu \(x_0=-\frac23\) **3 pkt** – zapisanie układu warunków przynależności punktu do wykresu i równości pochodnej współczynnikowi kierunkowemu stycznej **2 pkt** – zapisanie równania \(\frac{2x_0^3-k}{x_0^2}=-1\) **1 pkt** – poprawne obliczenie \(f'(x)=\frac{2x^3-k}{x^2}\), zapisanie \(f'(x_0)=-1\) albo warunku \(f(x_0)=-x_0\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III i IV wykorzystanie reprezentacji analitycznej oraz tworzenie strategii rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** obliczanie pochodnej funkcji wymiernej, korzystanie z geometrycznej interpretacji pochodnej i warunku styczności.

**C.** \((1,5)\)

Dana prosta ma współczynnik kierunkowy \(\frac12\), więc prostopadła do niej styczna musi mieć współczynnik \(-2\). Obliczamy pochodną: \[f'(x)=4x^3-9x^2+2x+1.\] Dla \(x=1\) otrzymujemy \[f'(1)=4-9+2+1=-2,\] a ponadto \[f(1)=1-3+1+1+5=5.\] Szukanym punktem jest więc \((1,5)\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R8.2 i R11.3 badanie prostopadłości prostych na podstawie współczynników kierunkowych oraz korzystanie z geometrycznej interpretacji pochodnej.

b=\(2019\). Dla \(f\)(x)=\(2\)\(x^{2}\)+x+\(2219\) mamy \(f\)′(\(10\))=\(41\), więc styczna w P ma równanie y−\(2429=41\)(x−\(10\)), czyli y=\(41x\)+\(2019\).

**Krok \(1\).** Hasło „styczna do wykresu w punkcie” oznacza pochodną: współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie o odciętej \(x_0\) jest równy wartości pochodnej \(f^{\prime}(x_0)\). Mając \(a\), wyraz wolny \(b\) wyliczymy z warunku, że punkt \(P\) leży na stycznej. **Krok \(2\).** Przyjmujemy \(f(x)=2x^2+x+2219\) i sprawdzamy, czy \(P\) rzeczywiście leży na paraboli: \[f(10)=2\cdot100+10+2219=200+10+2219=2429.\] Zgadza się z drugą współrzędną punktu \(P\). **Krok \(3\).** Obliczamy pochodną: \[f^{\prime}(x)=4x+1.\] **Krok \(4\).** Wyznaczamy współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie o odciętej \(x_0=10\): \[a=f^{\prime}(10)=4\cdot10+1=41.\] **Krok \(5\).** Prosta \(y=41x+b\) przechodzi przez \(P=(10,2429)\), więc podstawiamy współrzędne tego punktu: \[2429=41\cdot10+b.\] **Krok \(6\).** Stąd \[b=2429-410=2019.\] **Krok \(7\).** Dla kontroli można zapisać styczną wzorem \(y-f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)\), czyli \(y-2429=41(x-10)\), co po uporządkowaniu daje \(y=41x+2019\) — ten sam wynik. **Uwaga.** Pytanie dotyczy \(b\), czyli wyrazu wolnego, a nie współczynnika kierunkowego \(a\). Wartość \(41\) jest tylko etapem pośrednim — podanie jej jako odpowiedzi to typowa pomyłka. **Odpowiedź.** \(b=2019\).

Zadanie 7. (0-2) II. Wykorzystanie I I. Rachunek różniczkowy. Zdający korzysta z geometrycznej i interpretowanie i fizycznej interpretacji pochodnej (RI I .3). re rezentacȘi. Schemat punktowania Zdający otrzymuje gdy obliczy współczynnik b: b = 2019 Zdający otrzymuje 1 p gdy obliczy współczynnik kierunkowy stycznej: a = 41 lub obliczy wartość pochodnej funkcji f określonej wzorem f (x) = 2x2 + x+ 2219, dla argumentu 10: f '(10) = 41. Uwagi l. Jeżeli zdający popełni błąd przy wyznaczaniu pochodnej danej funkcji, ale otrzyma wielomian stopnia l. i poprawnie zinterpretuje współczynnik a jako f '(10) , to może otrzymać 1 punkt, o ile konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca. 2. Jeżeli zdający przyjmie, że xo = 2429 i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, nie popełniając innych błędów, to otrzymuje 1 punkt. Przykładowe rozwiązania I sposób Przyjmujemy, że funkcja f jest określona wzorem f (x) = 2x2 + x + 2219. Równanie stycznej do krzywej w punkcie P = ma postać: y — f(xo) = — xo). Z danych zadania wynika, że: xo = 10, f(xo) = f (10) = 2429 Pochodna funkcji f jest określona wzorem: f '(x) = 4x + I Wartość tej pochodnej dla argumentuxo = 10 jest równa f'(xo) = f '(10) = 4 • 10 +1 = 41. Ponieważ f'(xo) = a , zatem a = 41. Na podstawie równania stycznej do krzywej w danym punkcie mamy: y — 2429 = 41(x — I O) a stąd po przekształceniach otrzymujemy: y = 41x + 2019. Zatem b = 2019. Odpowiedź: Współczynnik b = 2019. II sposób Prosta o równaniu kierunkowym y = ax+b jest styczna do paraboli określonej równaniem y = 2x2 + x + 2219 . Zatem układ równań ma dokładnie jedno Y = 2x2 x 2219 rozwiązanłe. Stąd otrzymujemy: 2x2 + x + 2219 = ax + b . Po przekształceniach mamy: Powyższe równame musi mieć tylko jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych, które jest jednocześnie odciętą punktu styczności paraboli i prostej. Oznacza to, że xo = 10 (odcięta punktu styczności). Z drugiej strony równanie 2x2 ma tylko jedno I—a rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych, gdy A = O i jest ono równe xo czyli 2-2 I—a 10 2-2 Stąd wynika, że a = 41. Współczynnik b możemy wyznaczyć na trzy sposoby: l. sposób Podstawiając do równania prostej y = ax+b wartość a = 41 oraz współrzędne punktu P, otrzymujemy 2429 = 41 • 10+b . Stąd b = 2019. 2. sposób Podstawiając do równania 2x2 + (I—a)x+2219—b=O wartość a —41, otrzymamy równame 2x2 —40x+2219—b=O. Równanie to ma jedno rozwiązanie, czyli A = O, a zatem (—40)2 —4,2 • (2219 —b) = O. Stąd b = 2019. 3. sposób Podstawiając do równania 2x2 +(l— a)X+ 2219—b 2-102 -40,10+2219-b = O. stąd b-2019. = O wartości a —41 i xo —10 mamy:

II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 11. Rachunek różniczkowy. Zdający korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej (R11.3).

\(f'(6)=\frac{24}{25}=0{,}96\) — w kratki wpisujemy cyfry \(0\), \(9\), \(6\).

Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie o odciętej \(x_0\) jest równy \(f'(x_0)\). Funkcję \(f(x)=\frac{x^2}{x-1}\) różniczkujemy jak iloraz; zakładamy \(x\ne1\): \[f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2\cdot1}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}.\] Punkt styczności ma odciętą \(x_0=6\); istotnie leży on na wykresie, bo \(\frac{6^2}{6-1}=\frac{36}{5}\). Stąd \[f'(6)=\frac{6^2-2\cdot6}{(6-1)^2}=\frac{24}{25}=0{,}96.\] **Odpowiedź.** Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy \(0{,}96\); w kratki wpisujemy kolejno cyfry \(0\), \(9\), \(6\).

Klasyfikacja rzeczowa: obliczanie pochodnej funkcji wymiernej i interpretowanie jej wartości jako współczynnika kierunkowego stycznej.

\(P=\left(\frac{1}{6},\ \frac{\sqrt{3}-36}{36}\right)\). Współczynnik kierunkowy stycznej wynosi \(\mathrm{tg}\,30^{\circ}=\frac{\sqrt3}{3}\), a ponieważ \(f^{\prime}(x)=2\sqrt3\,x\), z równania \(2\sqrt3\,x_0=\frac{\sqrt3}{3}\) otrzymujemy \(x_0=\frac16\) oraz \(y_0=\sqrt3\left(\frac16\right)^{2}-1=\frac{\sqrt3-36}{36}\).

**Krok \(1\).** Mowa o paraboli \(y=\sqrt{3}\,x^2-1\) i o jej stycznej. Kluczowa jest tu geometryczna interpretacja pochodnej: współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie o odciętej \(x_0\) jest równy \(f^{\prime}(x_0)\). Drugi element to związek nachylenia prostej z kątem: jeśli prosta jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem \(\alpha\), to jej współczynnik kierunkowy wynosi \(\mathrm{tg}\,\alpha\). **Krok \(2\).** Z tablic \(\mathrm{tg}\,30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}\), więc współczynnik kierunkowy szukanej stycznej to \[a=\frac{\sqrt{3}}{3}.\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy pochodną funkcji \(f(x)=\sqrt{3}\,x^2-1\). Liczba \(\sqrt3\) jest tylko stałym czynnikiem, a pochodna \(x^2\) to \(2x\): \[f^{\prime}(x)=2\sqrt{3}\,x.\] **Krok \(4\).** Przyrównujemy pochodną w punkcie styczności do współczynnika kierunkowego: \[2\sqrt{3}\,x_0=\frac{\sqrt{3}}{3}.\] **Krok \(5\).** Dzielimy obie strony przez \(\sqrt{3}\) (liczba dodatnia, więc wolno): \[2x_0=\frac{1}{3},\qquad x_0=\frac{1}{6}.\] **Krok \(6\).** Obliczamy drugą współrzędną punktu \(P\), wstawiając \(x_0\) do wzoru funkcji: \[y_0=\sqrt{3}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{2}-1=\frac{\sqrt{3}}{36}-1=\frac{\sqrt{3}-36}{36}.\] **Krok \(7\).** Zatem \(P=\left(\frac{1}{6},\ \frac{\sqrt{3}-36}{36}\right)\). Dla orientacji: \(\frac{\sqrt{3}-36}{36}\approx -0{,}95\), więc punkt leży tuż nad wierzchołkiem paraboli \((0,-1)\), co jest zgodne z rysunkiem. **Uwaga.** Nachylenie \(30^{\circ}\) nie oznacza, że współczynnik kierunkowy wynosi \(30\) ani \(\frac{1}{30}\), tylko \(\mathrm{tg}\,30^{\circ}\). Poza tym samo \(x_0\) to jeszcze nie odpowiedź: zadanie pyta o współrzędne punktu, więc trzeba doliczyć \(y_0\) ze wzoru funkcji, a nie ze wzoru stycznej. **Odpowiedź.** \(P=\left(\frac{1}{6},\ \frac{\sqrt{3}-36}{36}\right)\).

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: zdający zapisze, że współczynnik kierunkowy stycznej jest równy \(\operatorname{tg}30^\circ\), lub zapisze równanie stycznej, albo wyznaczy pochodną funkcji \(f\): \(f'(x)=2\sqrt{3}\,x\). **2 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający zapisze równanie […] albo zapisze równanie […] i stwierdzi, że ma ono dokładnie jedno rozwiązanie, np. zapisze \(\Delta=0\). **3 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający wyznaczy współrzędne punktu \(P\): \(x_0=\) […], \(y_0=\) […].

II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 11. Rachunek różniczkowy. Zdający korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej (R11.3).

Styczna ma równanie \(y=\frac12x-\frac12\).

Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie o odciętej \(x_0\) jest równy \(f'(x_0)\). Różniczkujemy iloraz \(f(x)=\frac{x-1}{x^2+1}\); mianownik jest dodatni dla każdego \(x\), więc funkcja jest różniczkowalna w całym zbiorze liczb rzeczywistych: \[f'(x)=\frac{1\cdot(x^2+1)-(x-1)\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\frac{x^2+1-2x^2+2x}{(x^2+1)^2}=\frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}.\] Punkt \(P=(1,0)\) leży na wykresie, bo \(f(1)=\frac{0}{2}=0\). Obliczamy \[f'(1)=\frac{-1+2+1}{(1+1)^2}=\frac{2}{4}=\frac12.\] Równanie stycznej w punkcie \((x_0,f(x_0))\) ma postać \(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\), więc \[y-0=\frac12(x-1),\qquad y=\frac12x-\frac12.\] **Odpowiedź.** \(y=\frac12x-\frac12\)

**1 pkt** – gdy zdający wyznaczy pochodną funkcji \(f\), np. \(f'(x)=\) […], i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. **2 pkt** – gdy obliczy \(f'(1)=\tfrac{1}{2}\), poprawnie interpretuje tę liczbę jako współczynnik kierunkowy stycznej i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. **3 pkt** – gdy zapisze równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P=(1,0)\).

II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 11. Rachunek różniczkowy. Zdający oblicza pochodne funkcji wymiernych oraz korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej (R11.2, R11.3).

\[y=6x-8.\]

Dla \(f(x)=x^2+1\) mamy \[f'(x)=2x,\qquad f'(3)=6.\] Punkt styczności ma współrzędne \[A=(3,f(3))=(3,10).\] Równanie prostej o współczynniku kierunkowym \(6\), przechodzącej przez \(A\), jest równe \[y-10=6(x-3),\] czyli \(y=6x-8\).

**3 pkt** – równanie \(y=6x-8\) **2 pkt** – poprawne wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(6\) i punktu \(A=(3,10)\) **1 pkt** – obliczenie pochodnej \(f'(x)=2x\) albo wartości \(f'(3)=6\) **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 11.3 R - geometryczna interpretacja pochodnej.

Prosta \(l:y=10x+9\) jest styczna do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \((-1,-1)\).

Równanie prostej zapisujemy w postaci \(y=10x+9\). Pochodna funkcji jest równa \[f'(x)=12x^2-2.\] Warunek zgodności współczynnika kierunkowego daje \(f'(x)=10\), czyli \(x=-1\) lub \(x=1\). Mamy \(f(-1)=-1\) i \(f(1)=3\). Punkt \((-1,-1)\) leży na prostej \(l\), ponieważ \(10\cdot(-1)+9=-1\), natomiast punkt \((1,3)\) na niej nie leży. Prosta \(l\) ma zatem w punkcie \((-1,-1)\) ten sam współczynnik kierunkowy co styczna do wykresu \(f\) i przechodzi przez ten punkt, co kończy dowód.

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 3 pkt** – pełne uzasadnienie styczności w punkcie \((-1,-1)\) **2 pkt** – poprawne wyznaczenie \(f'(x)=12x^2-2\) i kandydatów \(x=-1,1\) **1 pkt** – poprawne obliczenie pochodnej lub zapisanie warunku \(f'(x)=10\) **0 pkt** – brak istotnego postępu lub rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność. **Wymagania szczegółowe:** 11.3. R. Zdający korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej.

\[y=4x-7\qquad\text{lub}\qquad y=4x+\frac{67}{27}.\]

Styczna równoległa do \(y=4x\) musi mieć współczynnik kierunkowy \(4\). Ponieważ \[f'(x)=3x^2-4x,\] punkty styczności spełniają \[3x^2-4x=4,\qquad 3x^2-4x-4=0.\] Stąd \(x=2\) albo \(x=-\frac23\). Mamy \[f(2)=1,\qquad f\left(-\frac23\right)=-\frac5{27}.\] Równania stycznych przechodzących odpowiednio przez \((2,1)\) i \((-\frac23,-\frac5{27})\) są równe \[y-1=4(x-2),\qquad y+\frac5{27}=4\left(x+\frac23\right),\] czyli \[y=4x-7,\qquad y=4x+\frac{67}{27}.\]

**4 pkt** – oba poprawne równania stycznych **3 pkt** – poprawne wyznaczenie punktów styczności i jednego równania lub drobny błąd rachunkowy w drugim **2 pkt** – rozwiązanie równania \(f'(x)=4\) i otrzymanie \(x=2\), \(x=-\frac23\) **1 pkt** – obliczenie \(f'(x)=3x^2-4x\) albo zapisanie warunku \(f'(x)=4\) **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 11. Rachunek różniczkowy - geometryczna interpretacja pochodnej (R11.3) 8. Geometria analityczna - równanie prostej równoległej przechodzącej przez dany punkt (8.3).

\[y=4x-3.\]

Styczna do wykresu funkcji \(f\) w punkcie o odciętej \(x_0\) ma współczynnik kierunkowy równy \(f'(x_0)\). Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe, a dla prostej \(y=4x+7\) jest on równy \(4\). Obliczamy pochodną: \[f'(x)=4x^3.\] Z warunku \(f'(x_0)=4\) otrzymujemy \[4x_0^3=4,\qquad x_0^3=1,\qquad x_0=1,\] a punkt styczności to \((1,f(1))=(1,1)\). Równanie stycznej: \[y-1=4(x-1),\qquad y=4x-3.\] Prosta ta jest różna od \(y=4x+7\), więc jest do niej równoległa, a nie z nią tożsama. **Odpowiedź.** \(y=4x-3\).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: obliczenie pochodnej funkcji \(f\): \(f'(x)=4x^3\). **2 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: obliczenie pierwszej współrzędnej punktu styczności: \(x_0=1\). **3 pkt** – rozwiązanie pełne: zapisanie równania stycznej w postaci np. \(y=4x-3\).

4 Zadanie 10. (0–3) Funkcja f jest określona wzorem f (x)  x4 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f , która jest równoległa do prostej y  4x  7 . IV. Użycie i tworzenie R11.3. Zdający korzysta z geometrycznej i fizycznej strategii interpretacji pochodnej. Rozwiązanie: Styczna do wykresu funkcji f w punkcie  x , f (x ) jest prostą o równaniu 0 0 y  f (x )  f (x )  x  x  0 0 0 Obliczamy pochodną funkcji f: f (x)  4x3 Ponieważ styczna jest równoległa do prostej o równaniu y  4x  7 , więc f (x )  4 . 0 Zatem x  1 i styczna ma równanie 0 y 1  4 x 1 , czyli y  4x  3 . Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp – 1 p. Obliczenie pochodnej funkcji f: f (x)  4x3 . Pokonanie zasadniczych trudności zadania – 2 p. Obliczenie pierwszej współrzędnej punktu styczności: x  1. 0 Rozwiązanie pełne – 3 p. Zapisanie równania stycznej w postaci np. y  4x  3 .