Układy równań liniowych i nieliniowych — liczba rozwiązań i interpretacja geometryczna

**D.** \(\begin{cases}x+y=198,\\3(x+18)=y.\end{cases}\)

**Krok \(1\).** Zadanie nie prosi o obliczenie liczby drzew — prosi o **wskazanie układu równań**. Naszą pracą jest więc wierne przetłumaczenie każdego zdania z treści na równanie, przy oznaczeniach: \(x\) — liczba drzew iglastych, \(y\) — liczba drzew liściastych. **Krok \(2\).** Zdanie „wszystkich drzew łącznie jest \(198\)” daje pierwsze równanie: \[x+y=198.\] Występuje ono we wszystkich czterech odpowiedziach, więc rozstrzyga dopiero drugie równanie. **Krok \(3\).** Drugie zdanie jest hipotetyczne: „gdyby rosło o \(18\) drzew iglastych więcej niż teraz”. Liczba drzew iglastych zmieniłaby się wtedy na \(x+18\), natomiast liczba drzew liściastych pozostałaby taka sama, czyli \(y\). **Krok \(4\).** Warunek „drzew liściastych byłoby \(3\) razy więcej niż drzew iglastych” znaczy: liczba liściastych równa się trzykrotności liczby iglastych **po tej zmianie**. Mnożnik \(3\) stawiamy więc przy wielkości mniejszej, czyli przy iglastych: \[y=3\cdot(x+18),\qquad\text{czyli}\qquad 3(x+18)=y.\] **Krok \(5\).** Układ ma zatem postać \[\begin{cases}x+y=198,\\ 3(x+18)=y.\end{cases}\] **Krok \(6\).** Kontrola: rozwiążmy ten układ i sprawdźmy, czy wynik pasuje do treści. Podstawiamy \(y=3x+54\) do pierwszego równania: \[x+3x+54=198,\qquad 4x=144,\qquad x=36,\qquad y=162.\] Po dosadzeniu \(18\) drzew iglastych byłoby ich \(36+18=54\), a liściastych \(162=3\cdot54\) — zgadza się. **Uwaga.** Dwie typowe pułapki. Po pierwsze, mnożnik \(3\) należy do tej grupy, której jest **mniej** (iglaste) — zapis \(3y=x+18\) odwraca sens zdania. Po drugie, liczba \(18\) musi znaleźć się **wewnątrz** nawiasu, bo trzykrotność dotyczy już powiększonej liczby drzew iglastych; to właśnie odróżnia odpowiedź **D** od **B**. **Odpowiedź.** D: \(\begin{cases}x+y=198,\\ 3(x+18)=y.\end{cases}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** G7.7) Zdający za pomocą równań lub układów równań opisuje i rozwiązuje zadania osadzone w kontekście praktycznym.

**P, P**

Z pierwszego równania \(x+y=\frac1{20}>0\). Z drugiego \(x-y=\frac1{26}\). Stąd \[x=\frac{23}{520}>0,\qquad y=\frac{3}{520}>0.\] Suma i iloczyn są dodatnie, więc poprawna ocena to **P, P**.

**1 pkt** – poprawna ocena obu stwierdzeń: **P, P** **0 pkt** – odpowiedź niepełna, niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** IV.1) Zdający rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Niech \(x\) oznacza liczbę drzew posadzonych w pierwszym sadzie, a \(y\) liczbę drzew posadzonych w drugim sadzie. Otrzymujemy układ \[\begin{cases}x+y=1410,\\0{,}85y=0{,}70\cdot0{,}80x.\end{cases}\] Drugie równanie daje \(85y=56x\), czyli \(y=\frac{56}{85}x\). Zatem \(x+\frac{56}{85}x=1410\), skąd \(\frac{141}{85}x=1410\) i \(x=850\). W pierwszym sadzie posadzono \(850\) drzew.

**Krok \(1\).** pkt: zapisanie poprawnego układu lub równania, np. x + y = \(1410\) oraz \(0\),\(85y\) = \(0,70\cdot 0\),\(80x\). **Krok \(2\).** pkt: poprawna metoda i wynik \(850\). **Odpowiedź.** Niech \(x\) oznacza liczbę drzew posadzonych w pierwszym sadzie, a \(y\) liczbę drzew posadzonych w drugim sadzie. Otrzymujemy układ \[\begin{cases}x+y=1410,\\0{,}85y=0{,}70\cdot0{,}80x.\end{cases}\] Drugie równanie daje \(85y=56x\), czyli \(y=\frac{56}{85}x\). Zatem \(x+\frac{56}{85}x=1410\), skąd \(\frac{141}{85}x=1410\) i \(x=850\). W pierwszym sadzie posadzono \(850\) drzew.

1 pkt: zapisanie poprawnego układu lub równania, np. x + y = 1410 oraz 0,85y = 0,70·0,80x. 2 pkt: poprawna metoda i wynik 850.

Wymaganie ogólne: III. Modelowanie matematyczne. Wymaganie szczegółowe: G7.7) Za pomocą równań lub układów równań rozwiązuje zadania w kontekście praktycznym.

**D.** Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Drugie równanie jest wynikiem pomnożenia pierwszego przez \(-4\): \[-4(x+2y)=-4.\] Oba równania opisują tę samą prostą, więc układ jest nieoznaczony i ma nieskończenie wiele rozwiązań.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** IV.1) Zdający rozwiązuje liniowe układy równań z dwiema niewiadomymi i interpretuje układy nieoznaczone.

Układ równań ma postać \[\begin{cases}x+y=75,\\11x+7{,}98y=752{,}52.\end{cases}\] Po podstawieniu \(y=75-x\): \[11x+7{,}98(75-x)=752{,}52,\qquad3{,}02x=154{,}02,\qquad x=51.\] Kupiono \(51\) kg pomidorów malinowych.

**Krok \(1\).** pkt: zapisanie poprawnego układu lub równania z jedną niewiadomą, ewentualnie równoważnych różnic cen i kosztów. **Krok \(2\).** pkt: poprawna metoda i wynik \(51\) kg. **Odpowiedź.** Układ równań ma postać \[\begin{cases}x+y=75,\\11x+7{,}98y=752{,}52.\end{cases}\] Po podstawieniu \(y=75-x\): \[11x+7{,}98(75-x)=752{,}52,\qquad3{,}02x=154{,}02,\qquad x=51.\] Kupiono \(51\) kg pomidorów malinowych.

1 pkt: zapisanie poprawnego układu lub równania z jedną niewiadomą, ewentualnie równoważnych różnic cen i kosztów. 2 pkt: poprawna metoda i wynik 51 kg.

Wymaganie ogólne: III. Modelowanie matematyczne. Wymaganie szczegółowe: G7.7) Za pomocą równań lub układów równań opisuje i rozwiązuje zadania w kontekście praktycznym.

**D.** Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Drugie równanie jest wynikiem pomnożenia pierwszego równania przez \(-4\): \[-4(x-2y=3)\iff-4x+8y=-12.\] Oba równania opisują tę samą prostą, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** IV.1) Zdający rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

**A.** \(-2\)

Podstawiamy \(x=-1\) oraz \(y=6\) do obu równań układu: \[-a+3\cdot6=20,\qquad -1+6b=5.\] Stąd \[-a=2,\qquad a=-2,\] \[6b=6,\qquad b=1.\] Zatem \[a\cdot b=(-2)\cdot1=-2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** IV.1) Zdający rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

**A.** \(\begin{cases}x+y=1960,\\0{,}6\cdot0{,}95x=0{,}9y.\end{cases}\)

Po roku w pierwszym sadzie pozostało \(95\%\) posadzonych drzew, czyli \(0{,}95x\), a w drugim \(90\%\), czyli \(0{,}9y\). Z treści zadania otrzymujemy \[x+y=1960\] oraz \[0{,}9y=0{,}6\cdot0{,}95x.\] Jest to układ z odpowiedzi **A**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** IV.2) Zdający stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

A. y = −(\(\frac{3}{2}\))x + \(3\) oraz y = −(\(\frac{3}{2}\))x − \(1\)

Z rysunku odczytujemy, że obie proste są opadające, więc ich współczynniki kierunkowe są ujemne. To wyklucza układy, w których którykolwiek współczynnik jest dodatni. Proste są równoległe, a zatem mają **równe** współczynniki kierunkowe; w każdym z pozostałych układów sprawdzamy tę równość. Z rysunku odczytujemy też punkty przecięcia z osią \(Oy\): górna prosta przecina ją powyżej jedynki, dolna poniżej zera. Wyrazy wolne muszą więc być odpowiednio dodatni i ujemny. Oba warunki spełnia tylko układ \(y=-\tfrac32x+3\) i \(y=-\tfrac32x-1\). **Odpowiedź.** Odpowiedź **A**.

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** IV.1) Zdający rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów […] sprzecznych.

**B.** \(\begin{cases}y=-x+2,\\y=2x-3.\end{cases}\)

Prosta malejąca przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,2)\), więc ma równanie \(y=-x+2\). Prosta rosnąca przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-3)\) i ma współczynnik kierunkowy \(2\), więc ma równanie \(y=2x-3\). Jest to układ z odpowiedzi **B**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście oraz w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** IV.1) Zdający rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi i podaje ich interpretację geometryczną.

**C.** \(x=-2\), \(y=1\)

Z drugiego równania mamy \(y=-2x-3\). Podstawiamy do pierwszego: \[x-3(-2x-3)+5=0,\] \[7x+14=0,\] stąd \(x=-2\). Wtedy \(y=-2(-2)-3=1\).

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** IV.1 rozwiązywanie układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

\(m\in(0,2)\cup(2,4)\)

Wyznacznik macierzy współczynników układu jest równy \(m^2-4\), więc układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla \(m\in\mathbb R\setminus\{-2,2\}\). Po rozwiązaniu układu otrzymujemy \[x=\frac{m^2+2m+4}{m+2},\qquad y=\frac{-4m}{m+2}.\] Zatem \[|x+y|=\left|\frac{m^2-2m+4}{m+2}\right|<2.\] Rozwiązanie tej nierówności wymiernej, z uwzędnieniem \(m\ne-2\) i \(m\ne2\), daje \[m\in(0,2)\cup(2,4).\]

**6 pkt** – poprawne wyznaczenie wszystkich wartości \(m\in(0,2)\cup(2,4)\) **5 pkt** – doprowadzenie do nierówności \(\left|\frac{m^2-2m+4}{m+2}\right|<2\) i poprawna metoda jej rozwiązania **4 pkt** – rozwiązanie jednej z dwóch nierówności powstałych po usunięciu wartości bezwzględnej **3 pkt** – zapisanie obu nierówności równoważnych warunkowi z wartością bezwzględną **2 pkt** – wyznaczenie \(x=\frac{m^2+2m+4}{m+2}\) oraz \(y=\frac{-4m}{m+2}\) **1 pkt** – ustalenie warunku \(m\in\mathbb R\setminus\{-2,2\}\) oraz wyznaczenie jednej niewiadomej w zależności od \(m\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. dobieranie i tworzenie modeli matematycznych oraz budowanie pomocniczych obiektów. **Wymagania szczegółowe:** III.2R i IV.1 rozwiązywanie nierówności wymiernych oraz układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Układ ma rozwiązanie \(a,b\ge4\) dokładnie dla \(c\in[4,\frac{28}{3}]\).

Po podzieleniu równań odpowiednio przez \(4\) i \(2\) mamy \[a+b+c=20,\qquad ab+bc+ca=128.\] Eliminujemy \(b=20-a-c\). Otrzymujemy równanie \[a^2+(c-20)a+c^2-20c+128=0.\] Jeżeli układ ma rozwiązanie rzeczywiste, to wyróżnik tego równania musi być nieujemny: \[\Delta_a=(c-20)^2-4(c^2-20c+128)=-3c^2+40c-112=-3(c-4)\left(c-\frac{28}{3}\right)\ge0.\] Ponieważ krawędź \(c\ge4\), koniecznie \(c\in[4,\frac{28}{3}]\). Odwrotnie, niech \(c\in[4,\frac{28}{3}]\). Wtedy \(\Delta_a\ge0\), więc równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki \(a\) i \(b\). Ich średnia, czyli odcięta wierzchołka paraboli, wynosi \[p=\frac{20-c}{2}\in\left[\frac{16}{3},8\right],\] a wartość trójmianu dla \(a=4\) jest równa \[4^2+4(c-20)+c^2-20c+128=(c-8)^2\ge0.\] Ponieważ parabola jest skierowana ramionami w górę, jej wierzchołek leży na prawo od \(4\), a wartość w punkcie \(4\) jest nieujemna, oba jej pierwiastki są nie mniejsze od \(4\). Są to długości \(a\) i \(b\), co kończy dowód równoważności.

**4 pkt** – wykorzystanie odpowiednich własności funkcji kwadratowej i pełne wykazanie, że układ ma rozwiązanie \(a,b\ge4\) dla całego wskazanego przedziału wartości \(c\) **3 pkt** – przyjęcie \(c\in[4,\frac{28}{3}]\) i zbudowanie funkcji \(f(a)=a^2+(c-20)a+c^2-20c+128\) **2 pkt** – obliczenie wyróżnika i argumentacja prowadząca do \(c\in[4,\frac{28}{3}]\) **1 pkt** – przyjęcie istnienia rozwiązania układu i zapisanie prawidłowego równania kwadratowego z niewiadomą \(a\) lub \(b\) oraz parametrem \(c\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1, III.3 i IV.3 operowanie obiektami matematycznymi, tworzenie obiektów pomocniczych i budowanie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** III.5R analizowanie równań i nierówności kwadratowych z parametrami oraz warunków dotyczących ich rozwiązań.

**D.** \(\begin{cases}y=-x+2\\y=2x-1\end{cases}\)

Na wykresie jedna prosta ma współczynnik kierunkowy \(-1\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,2)\), a druga ma współczynnik kierunkowy \(2\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-1)\). Są to proste \(y=-x+2\) oraz \(y=2x-1\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** IV.1 zdający rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi i podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych.

**C oraz E.**

Obwód prostokąta opisuje równanie \(2(a+b)=30\), równoważnie \(2a+2b=30\). Ponieważ \(a>b\), warunek różnicy boków ma postać \(a-b=5\), równoważnie \(b=a-5\). Odpowiadają temu układy **C** i **E**.

**2 pkt** – wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne **1 pkt** – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** IV.2 zdający stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

**D.** \(x-y=-14\) i \(-2x+y=22\)

Podstawiamy \(x=-8\) i \(y=6\) do równań z odpowiedzi **D**: \[-8-6=-14,\qquad -2\cdot(-8)+6=22.\] Punkt \((-8,6)\) leży na obu prostych, więc jest ich punktem przecięcia.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności - interpretacja rozwiązania układu dwóch równań liniowych.

**B.** \(x_0>0\) i \(y_0<0\)

Porównujemy prawe strony równań prostych: \[-3x+\frac13=\frac13x-3.\] Po pomnożeniu przez \(3\) otrzymujemy \(-9x+1=x-9\), zatem \(x_0=1\). Wtedy \[y_0=\frac13-3=-\frac83.\] A więc \(x_0>0\) i \(y_0<0\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.4 obliczanie współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych.

**C.** \(\begin{cases}50x+40y=8000,\\1{,}5x=1{,}2y.\end{cases}\)

Łączny koszt \(50\) par spodni i \(40\) marynarek daje równanie \[50x+40y=8000.\] Po doliczeniu marży cena spodni wynosi \(x+0{,}5x=1{,}5x\), a cena marynarki \(y+0{,}2y=1{,}2y\). Ceny detaliczne są równe, zatem \[1{,}5x=1{,}2y.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** IV.2 stosowanie układów równań liniowych do rozwiązywania zadań tekstowych.

**A.**

Prosta \(y=x-1\) ma współczynnik kierunkowy \(1\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-1)\). Prosta \(y=-x+1\) ma współczynnik kierunkowy \(-1\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,1)\). Obie proste przecinają się w punkcie \[x-1=-x+1,\qquad x=1,\qquad y=0.\] Te warunki spełnia rysunek A.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** IV.1 podawanie interpretacji geometrycznej układów równań oznaczonych.

**B.** \(x_0>0\) i \(y_0<0\)

Dzielimy pierwsze równanie przez \(11\), a drugie przez \(22\): \[x-y=\frac1{11},\qquad x+y=-\frac1{22}.\] Po dodaniu równań otrzymujemy \(2x=\frac1{22}\), więc \(x_0=\frac1{44}>0\). Następnie \[y_0=x_0-\frac1{11}=\frac1{44}-\frac4{44}=-\frac3{44}<0.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** G7.6 rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

**A.** \(\begin{cases}20y+50x+100\cdot2x=1040,\\y=x-2.\end{cases}\)

Banknotów \(50\)-złotowych jest \(x\), banknotów \(20\)-złotowych jest \(y=x-2\), a banknotów \(100\)-złotowych jest \(2x\). Warunek dotyczący łącznej kwoty ma więc postać \[20y+50x+100\cdot2x=1040.\] Razem otrzymujemy układ z odpowiedzi A.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** IV.2 stosowanie układów równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

**A.** \(\begin{cases}y=x+1,\\y=-2x+4.\end{cases}\)

Rosnąca prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,1)\) i ma współczynnik kierunkowy \(1\), więc ma równanie \(y=x+1\). Malejąca prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,4)\) i oś \(Ox\) w punkcie \((2,0)\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(-2\), a równanie to \(y=-2x+4\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.2 wykorzystywanie geometrycznej interpretacji układu równań liniowych.

**B.** \(a=-2\)

Podstawiamy \(x=1\) i \(y=-3\) do drugiego równania: \[(1+a)\cdot1-3(-3)=-4a.\] Stąd \[a+10=-4a,\qquad5a=-10,\qquad a=-2.\] Pierwsze równanie również jest spełnione, ponieważ \(1-(-3)=4=(-2)^2\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** G7.5 sprawdzanie, czy dana para liczb spełnia układ równań.

D

**Krok \(1\).** Układ dwóch równań liniowych ma nieskończenie wiele rozwiązań dokładnie wtedy, gdy oba równania opisują tę samą prostą, czyli gdy jedno powstaje z drugiego przez pomnożenie przez liczbę różną od zera. To właśnie chcemy uzyskać, dobierając \(m\). **Krok \(2\).** Zapisujemy oba równania: \[2x-y=2,\qquad x+my=1.\] **Krok \(3\).** Mnożymy drugie równanie przez \(2\), aby przy \(x\) pojawiła się ta sama liczba co w pierwszym równaniu: \[2x+2my=2.\] Wyrazy wolne już się zgadzają (w obu równaniach jest \(2\)) i przy \(x\) w obu stoi \(2\). **Krok \(4\).** Aby równania były identyczne, muszą zgadzać się jeszcze współczynniki przy \(y\): \[2m=-1\quad\Longrightarrow\quad m=-\frac12.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy: dla \(m=-\frac12\) drugie równanie to \(x-\frac12y=1\), a po pomnożeniu przez \(2\) otrzymujemy \(2x-y=2\), czyli dokładnie pierwsze równanie. Układ sprowadza się do jednego równania prostej, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele. **Uwaga.** Sprawdzenie musi obejmować także wyrazy wolne. Gdyby współczynniki przy \(x\) i \(y\) były proporcjonalne, ale wyrazy wolne nie, proste byłyby równoległe i rozłączne, a układ nie miałby żadnego rozwiązania. **Odpowiedź.** D, czyli \(m=-\frac12\).

Zadanie 7. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

**B.** \(a=1\)

Podstawiamy \(x=2\) i \(y=2\) do pierwszego równania układu: \[2a+2=4,\] więc \(a=1\). Drugie równanie również jest wtedy spełnione: \[-2\cdot2+3\cdot2=2=2a.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.2 wykorzystywanie interpretacji geometrycznej układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

**C.** \(a=3\)

**Krok \(1\).** Układ równań ma postać \[\begin{cases}-x+12y=a^2,\\ 2x+ay=9.\end{cases}\] Zdanie „para liczb \(x=3\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem układu” znaczy, że po podstawieniu tych liczb oba równania stają się prawdziwymi równościami liczbowymi. Podstawiamy więc \(x=3\), \(y=1\) i szukamy \(a\). **Krok \(2\).** Zaczynamy od drugiego równania, bo \(a\) występuje w nim liniowo — będzie łatwiej: \[2\cdot3+a\cdot1=9.\] **Krok \(3\).** Wykonujemy działania: \[6+a=9.\] **Krok \(4\).** Odejmujemy \(6\) od obu stron: \[a=3.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy przy \(a=3\) pierwsze równanie też jest spełnione. Lewa strona: \[-3+12\cdot1=9.\] Prawa strona: \(a^2=3^2=9\). Równość zachodzi, więc \(a=3\) jest dobre. **Uwaga.** Gdyby wyjść od pierwszego równania, otrzymalibyśmy \(a^2=9\), czyli \(a=3\) lub \(a=-3\) — dwie możliwości, obie obecne wśród odpowiedzi. Dopiero drugie równanie odrzuca \(a=-3\), bo wtedy \(2\cdot3+(-3)\cdot1=3\), a nie \(9\). Warunek musi być spełniony przez oba równania jednocześnie. **Odpowiedź.** C: \(a=3\)

Zadanie 5. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

**B.** \(\begin{cases}y=2x-4\\y=-\frac12x+\frac72\end{cases}\)

Z wykresu odczytujemy prostą rosnącą o współczynniku kierunkowym \(2\) i wyrazie wolnym \(-4\) oraz prostą malejącą o współczynniku \(-\frac12\) i wyrazie wolnym \(\frac72\).

**1 pkt** – odpowiedź B **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** układy równań i funkcja liniowa - odczytywanie równań prostych z wykresu.

C. \(-1\lt b\lt 1\)

**Krok \(1\).** W układzie występuje parametr \(b\), a informacja o rozwiązaniu jest jakościowa („para liczb dodatnich”). Plan: najpierw rozwiązujemy układ, wyznaczając \(x\) i \(y\) wyrażone przez \(b\), a dopiero potem nakładamy warunki \(x\gt0\) i \(y\gt0\). **Krok \(2\).** Dodajemy równania stronami — niewiadoma \(y\) się redukuje: \[(x+y)+(x-y)=1+b,\qquad 2x=1+b,\qquad x=\frac{1+b}{2}.\] **Krok \(3\).** Odejmujemy równania stronami — teraz redukuje się \(x\): \[(x+y)-(x-y)=1-b,\qquad 2y=1-b,\qquad y=\frac{1-b}{2}.\] **Krok \(4\).** Warunek \(x\gt0\): \[\frac{1+b}{2}\gt0\iff 1+b\gt0\iff b\gt-1.\] **Krok \(5\).** Warunek \(y\gt0\): \[\frac{1-b}{2}\gt0\iff 1-b\gt0\iff b\lt1.\] **Krok \(6\).** Oba warunki muszą zachodzić jednocześnie, więc bierzemy ich część wspólną: \[-1\lt b\lt1.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie skrajnych przypadków: dla \(b=0\) mamy \(x=y=\tfrac12\), czyli obie liczby dodatnie — dobrze; dla \(b=1\) wychodzi \(y=0\), a zero nie jest liczbą dodatnią, więc \(b=1\) rzeczywiście trzeba odrzucić. **Uwaga.** „Liczby dodatnie” to nierówność ostra \(\gt0\) — dlatego przedział jest obustronnie otwarty i wartości \(b=-1\) oraz \(b=1\) nie wchodzą w grę. **Odpowiedź.** C: \(-1\lt b\lt1\)

Zadanie 8. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

**A.** \(\begin{cases}2(a+b)=60\\a+10=b\end{cases}\)

Obwód prostokąta o bokach \(a\) i \(b\) jest równy \(2(a+b)\), co daje pierwsze równanie \(2(a+b)=60\). Warunek, że bok \(b\) jest o \(10\) dłuższy od boku \(a\), zapisujemy jako \(a+10=b\).

**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** modelowanie matematyczne - układ równań opisujący zależności geometryczne.

**C.** \(a =1\) i \(b = -3\)

**Krok \(1\).** Rozważany układ ma postać \[\begin{cases}y=-ax+2a,\\ y=\dfrac{b}{3}x-2.\end{cases}\] Oba równania są zapisane w postaci kierunkowej, czyli każde z nich opisuje prostą. Rozwiązanie układu to punkt wspólny tych prostych, więc układ nie ma rozwiązań dokładnie wtedy, gdy proste nie mają punktu wspólnego — są równoległe i różne. **Krok \(2\).** Odczytujemy współczynniki kierunkowe: dla pierwszej prostej jest to \(-a\), dla drugiej \(\frac{b}{3}\). Warunek równoległości to ich równość: \[-a=\frac{b}{3}.\] **Krok \(3\).** Sama równoległość to za mało — proste równoległe mogłyby się pokrywać, a wtedy rozwiązań byłoby nieskończenie wiele. Dopisujemy więc drugi warunek: wyrazy wolne muszą być różne: \[2a\neq-2,\qquad\text{czyli}\qquad a\neq-1.\] **Krok \(4\).** Sprawdzamy odpowiedź A (\(a=-1\), \(b=-3\)): \(-a=1\), a \(\frac{b}{3}=\frac{-3}{3}=-1\). Liczby \(1\) i \(-1\) są różne, więc proste nie są równoległe — przecinają się i układ ma rozwiązanie. **Krok \(5\).** Sprawdzamy odpowiedź B (\(a=1\), \(b=3\)): \(-a=-1\), a \(\frac{b}{3}=1\). Znowu różne — proste się przecinają. **Krok \(6\).** Sprawdzamy odpowiedź C (\(a=1\), \(b=-3\)): \(-a=-1\) oraz \(\frac{b}{3}=\frac{-3}{3}=-1\) — współczynniki kierunkowe są równe, więc proste są równoległe. Wyrazy wolne to \(2a=2\) oraz \(-2\), a \(2\neq-2\), więc proste są różne. Nie mają punktu wspólnego, czyli układ nie ma rozwiązań. **Krok \(7\).** Dla pewności sprawdzamy jeszcze D (\(a=-1\), \(b=3\)): \(-a=1\) i \(\frac{b}{3}=1\) — proste są równoległe, ale wyraz wolny pierwszej to \(2a=-2\), czyli taki sam jak w drugiej. Proste się pokrywają, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, a nie zero. **Uwaga.** Cała trudność tego zadania polega na rozróżnieniu dwóch sytuacji: proste równoległe i różne dają brak rozwiązań, a proste pokrywające się — nieskończenie wiele. Odpowiedzi C i D obie spełniają warunek równoległości, dopiero porównanie wyrazów wolnych rozstrzyga, która jest właściwa. **Odpowiedź.** C: \(a=1\) i \(b=-3\)

Zadanie 18. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

**C.** \(P=(-1,-2)\)

Podwajamy pierwsze równanie i odejmujemy drugie: \[\begin{aligned}4x-6y&=8,\\5x-6y&=7,\end{aligned}\qquad -x=1,\qquad x=-1.\] Z \(2x-3y=4\) dostajemy \(y=-2\).

**1 pkt** – odpowiedź C **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** układy równań liniowych - punkt przecięcia dwóch prostych.

**D.** Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Drugie równanie powstaje przez pomnożenie pierwszego równania przez \(-2\): \[-2(2x-3y=5)\iff-4x+6y=-10.\] Oba równania opisują tę samą prostą.

**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** układy równań liniowych - rozpoznawanie układu nieoznaczonego.

\(\frac{14}{23}\)

**Krok \(1\).** Szukamy ułamka, a o ułamku wiemy dwie rzeczy, więc wprowadzamy dwie niewiadome: licznik \(x\) i mianownik \(y\), przy czym \(y\neq0\). Każde zdanie z treści zamienimy na jedno równanie i rozwiążemy powstały układ. **Krok \(2\).** Pierwszy warunek: po dodaniu \(32\) do licznika (mianownik bez zmian) otrzymujemy liczbę \(2\): \[\frac{x+32}{y}=2\quad\Longrightarrow\quad x+32=2y\quad\Longrightarrow\quad x=2y-32.\] **Krok \(3\).** Drugi warunek: po odjęciu \(6\) od licznika i od mianownika otrzymujemy \(\frac{8}{17}\): \[\frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17}.\] Mnożymy na krzyż: \[17(x-6)=8(y-6)\quad\Longrightarrow\quad 17x-102=8y-48\quad\Longrightarrow\quad 17x-8y=54.\] **Krok \(4\).** Podstawiamy \(x=2y-32\) z kroku \(2\) do równania z kroku \(3\): \[17(2y-32)-8y=54,\] \[34y-544-8y=54,\] \[26y=598,\qquad y=23.\] **Krok \(5\).** Wracamy do wzoru na licznik: \[x=2\cdot23-32=46-32=14.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy oba warunki: \(\frac{14+32}{23}=\frac{46}{23}=2\) oraz \(\frac{14-6}{23-6}=\frac{8}{17}\). Sprawdzamy też nieskracalność: \(23\) jest liczbą pierwszą i nie dzieli \(14\), więc ułamka \(\frac{14}{23}\) skrócić się nie da. **Uwaga.** W drugim warunku odejmujemy \(6\) od licznika i od mianownika, więc zmieniają się obie liczby. Odjęcie tylko od licznika prowadzi do zupełnie innego układu równań i innego wyniku. **Odpowiedź.** Szukany ułamek to \(\frac{14}{23}\).

1 pkt: poprawny układ równań z licznikiem i mianownikiem. 2 pkt: ułamek 14/23.

Zadanie 27. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

**C.** \(9x+12y-10=0\).

Układ jest sprzeczny, gdy proste są równoległe i różne. Po pomnożeniu współczynników przy \(x\) i \(y\) w pierwszym równaniu przez \(3\) otrzymujemy \(9x+12y-15=0\), a nie \(9x+12y-10=0\). Są to więc różne proste równoległe.

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** układy równań liniowych, proste równoległe i układ sprzeczny.

**D.** \(a=3\).

Po podstawieniu \(x=2\), \(y=1\) do pierwszego równania otrzymujemy \[2+a=5,\] czyli \(a=3\). Drugie równanie jest spełnione: \(2\cdot2-1=3\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności, układ równań z parametrem.

**B.** Dokładnie jeden punkt.

Proste opisane równaniami układu nie są równoległe. Po podstawieniu \(y=x-3\) do drugiego równania otrzymujemy \[2x+0{,}5(x-3)=4,\] czyli równanie z jednym rozwiązaniem. Proste przecinają się zatem w dokładnie jednym punkcie.

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.2 zdający wykorzystuje interpretację geometryczną układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Szukany ułamek to \(\frac8{17}\).

Niech \(x\) i \(y\) oznaczają licznik i mianownik. Z drugiego warunku \[\frac{x+1}{y+1}=\frac12,\] więc \(y=2x+1\). Pierwszy warunek daje \[\frac{x+\frac x2}{y+\frac x2}=\frac47.\] Po pomnożeniu stron otrzymujemy \(\frac{21x}{2}=4y+2x\). Po podstawieniu \(y=2x+1\) mamy \(\frac{17x}{2}=8x+4\), skąd \(x=8\) i \(y=17\).

**1 pkt** – poprawne zapisanie układu warunków dla licznika \(x\) i mianownika \(y\) **2 pkt** – rozwiązanie układu i podanie nieskracalnego ułamka \(\frac8{17}\) **0 pkt** – rozwiązanie bez poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** G7.6 i G7.7 zdający opisuje zadanie układem dwóch równań liniowych i rozwiązuje ten układ.

**A.** Rysunek A.

Pierwsza prosta ma równanie \(y=-\frac13x-\frac53\), więc jest malejąca. Druga ma równanie \(y=\frac32x+2\), więc jest rosnąca. Ich punkt przecięcia spełnia układ: \(x=-2\), \(y=-1\). Te cechy przedstawia rysunek A.

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności, geometryczna interpretacja układu równań.

A. y = x + \(1\) oraz y = −\(2x\) + \(4\)

Z rysunku odczytujemy punkty przecięcia obu prostych z osiami. Prosta rosnąca przechodzi przez punkty \((-1,0)\) i \((0,1)\), więc jej współczynnik kierunkowy jest równy \(1\), a wyraz wolny \(1\): \(y=x+1\). Prosta opadająca przechodzi przez punkty \((0,4)\) i \((2,0)\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac{0-4}{2-0}=-2\), a wyraz wolny \(4\): \(y=-2x+4\). **Odpowiedź.** Odpowiedź **A**.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Interpretacja geometryczna układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi (II.8.d).

C. x = \(3\) i y = −\(4\)

Stosujemy metodę przeciwnych współczynników. Mnożymy pierwsze równanie przez \(2\): \[10x+6y=6,\qquad 8x-6y=48.\] Dodajemy stronami: \[18x=54,\qquad x=3.\] Podstawiamy do pierwszego równania: \(15+3y=3\), czyli \(y=-4\). Sprawdzenie w drugim równaniu: \(8\cdot3-6\cdot(-4)=24+24=48\). **Odpowiedź.** \(x=3\) i \(y=-4\), czyli odpowiedź **C**.

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Rozwiązanie układu równań liniowych (I.3.c).

**D.** \(x>0\) i \(y>0\)

Z pierwszego równania \(3x=5y\), czyli \(y=\tfrac35x\). Podstawiamy do drugiego równania: \[2x-\tfrac35x=14,\qquad \tfrac75x=14,\qquad x=10.\] Wtedy \(y=\tfrac35\cdot10=6\). Obie liczby są dodatnie. **Odpowiedź.** \(x>0\) i \(y>0\), czyli odpowiedź **D**.

Zadanie 4. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

**B.** \(6\)

Dodajemy stronami wszystkie trzy równania: \[(a+b)+(b+c)+(c+a)=3+4+5,\] czyli \(2(a+b+c)=12\). Stąd \(a+b+c=6\). **Odpowiedź.** \(6\), czyli odpowiedź **B**.

Zadanie 6. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

\(40\,\mathrm{m}\times150\,\mathrm{m}\) lub \(100\,\mathrm{m}\times60\,\mathrm{m}\)

**Krok \(1\).** W zadaniu opisano dwie działki i podano dwie informacje liczbowe: pole pierwszej oraz o ile większe jest pole drugiej. Szukamy dwóch liczb — wymiarów pierwszej działki — więc wprowadzamy dwie niewiadome i układamy układ dwóch równań. **Krok \(2\).** Oznaczenia: niech \(x\) i \(y\) będą długościami boków pierwszej działki (w metrach), przy czym \(x\gt0\) i \(y\gt0\). Pierwszy warunek to \[xy=6000.\] **Krok \(3\).** Druga działka ma boki dłuższe o \(10\ \mathrm{m}\) i o \(15\ \mathrm{m}\), czyli \(x+10\) oraz \(y+15\), a jej pole jest o \(2250\ \mathrm{m}^2\) większe, czyli równe \(6000+2250=8250\). Stąd drugie równanie: \[(x+10)(y+15)=8250.\] **Krok \(4\).** Wymnażamy drugie równanie: \[xy+15x+10y+150=8250.\] Podstawiamy \(xy=6000\): \[6000+15x+10y+150=8250,\qquad 15x+10y=2100,\qquad 3x+2y=420.\] **Krok \(5\).** Z pierwszego równania \(y=\frac{6000}{x}\) (dzielenie jest dozwolone, bo \(x\gt0\)). Wstawiamy to do zależności z kroku \(4\): \[3x+2\cdot\frac{6000}{x}=420,\qquad 3x+\frac{12000}{x}=420.\] **Krok \(6\).** Mnożymy obie strony przez \(x\) i porządkujemy: \[3x^2+12000=420x,\qquad 3x^2-420x+12000=0,\qquad x^2-140x+4000=0.\] **Krok \(7\).** Liczymy wyróżnik i pierwiastki: \[\Delta=(-140)^2-4\cdot1\cdot4000=19600-16000=3600,\qquad \sqrt{\Delta}=60,\] \[x_1=\frac{140-60}{2}=40,\qquad x_2=\frac{140+60}{2}=100.\] **Krok \(8\).** Wyznaczamy odpowiadające im \(y\): dla \(x=40\) mamy \(y=\frac{6000}{40}=150\), a dla \(x=100\) mamy \(y=\frac{6000}{100}=60\). **Krok \(9\).** Sprawdzenie obu możliwości. Dla boków \(40\) i \(150\): pole \(40\cdot150=6000\), a druga działka \(50\cdot165=8250\) — zgadza się. Dla boków \(100\) i \(60\): pole \(100\cdot60=6000\), a druga działka \(110\cdot75=8250\) — również się zgadza. **Uwaga.** Oba rozwiązania są dodatnie i oba spełniają warunki zadania, więc żadnego nie wolno odrzucić — zadanie ma dwie odpowiedzi. To nie jest ten sam prostokąt zapisany dwa razy: \(40\times150\) i \(100\times60\) mają wprawdzie równe pola, ale różne wymiary, a powiększenie o \(10\ \mathrm{m}\) dotyczy w każdym przypadku innego boku. **Odpowiedź.** Pierwsza działka ma wymiary \(40\,\mathrm{m}\times150\,\mathrm{m}\) albo \(100\,\mathrm{m}\times60\,\mathrm{m}\).

**1–4 pkt** – układ \(xy=6000\) i \((x+10)(y+15)=8250\) oraz jego rozwiązanie. **5 pkt** – oba dopuszczalne zestawy wymiarów.

Zadanie 32. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

Pierwszy turysta szedł z prędkością \(4\ \mathrm{km/h}\), a drugi \(3\ \mathrm{km/h}\).

Niech \(x\) oznacza drogę przebytą do spotkania przez turystę z miasta \(A\), a \(t\) — czas, jaki do spotkania szedł turysta z miasta \(B\). Wtedy \(0<x<18\) oraz \(t>0\). Turysta z \(A\) szedł do spotkania \(t+1\) godziny, a po spotkaniu \(1{,}5\) godziny i przebył wtedy \(18-x\) kilometrów. Turysta z \(B\) szedł do spotkania \(t\) godzin i przebył \(18-x\) kilometrów, a po spotkaniu \(4\) godziny na drodze \(x\). Prędkość każdego z nich jest stała, więc \[\frac{x}{t+1}=\frac{18-x}{1{,}5},\qquad \frac{18-x}{t}=\frac{x}{4}.\] Z drugiego równania \(t=\dfrac{4(18-x)}{x}\). Podstawiamy do pierwszego: \[1{,}5x=(18-x)\left(\frac{4(18-x)}{x}+1\right)=\frac{(18-x)(72-3x)}{x}.\] Po wymnożeniu i uporządkowaniu \[1{,}5x^{2}=1296-126x+3x^{2},\qquad x^{2}-84x+864=0.\] Wyróżnik \(\Delta=7056-3456=3600\), \(\sqrt{\Delta}=60\), więc \[x=\frac{84-60}{2}=12\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{84+60}{2}=72.\] Wartość \(72\) odrzucamy, bo droga do spotkania nie może przekraczać \(18\) km. Dla \(x=12\) mamy \(t=\dfrac{4\cdot6}{12}=2\), a stąd \[v_B=\frac{x}{4}=\frac{12}{4}=3,\qquad v_A=\frac{18-x}{1{,}5}=\frac{6}{1{,}5}=4.\] **Odpowiedź.** Turysta z miasta \(A\) szedł z prędkością \(4\ \mathrm{km/h}\), a turysta z miasta \(B\) — \(3\ \mathrm{km/h}\).

**Uwaga** W poniżej zamieszczonym schemacie używamy niewiadomych \(v_A\), \(v_B\), \(x\), \(t\) oznaczających odpowiednio: prędkość turysty z miasta \(A\), prędkość turysty z miasta \(B\) oraz drogę i czas do momentu spotkania. Oczywiście niewiadome mogą być oznaczane w inny sposób. Nie wymagamy, by niewiadome były wyraźnie opisane na początku rozwiązania, o ile z postaci równań jasno wynika ich znaczenie. **Schemat oceniania** **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: zapisanie zależności między prędkością \(v_A\), prędkością \(v_B\), drogą \(x\) i czasem \(t\) dla jednego z turystów, np. […]. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, np. […]. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. […]. Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. **Uwaga:** Jeżeli zdający przy pokonywaniu zasadniczych trudności zadania popełni błędy rachunkowe, usterki i na tym zakończy, to otrzymuje \(2\) punkty. **4 pkt** – rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe): rozwiązanie równania z niewiadomą \(t\) bezbłędnie: \(t=2\) h i nie obliczenie prędkości turystów, albo rozwiązanie równania z niewiadomą \(x\) bezbłędnie: \(x=12\) i nie obliczenie prędkości turystów, albo obliczenie \(t\) lub \(x\) z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie prędkości. **[…] pkt** – rozwiązanie pełne: obliczenie szukanych prędkości: \(v_A=4\) km/h, \(v_B=3\) km/h.

**Wymaganie ogólne:** Modelowanie matematyczne. **Wymaganie szczegółowe:** Zdający buduje model matematyczny sytuacji opisanej w zadaniu (ruch jednostajny), zapisuje układ równań z dwiema niewiadomymi i sprowadza go do równania kwadratowego z jedną niewiadomą. Uwaga redakcyjna: w tym miejscu w zastanym materiale znajdował się zrzut treści zadania, rozwiązania wzorcowego CKE i schematu oceniania — usunięto go, bo ujawniał wynik przed próbą.

a=\(3\), b=\(12\), c=\(48\). Geometryczność daje \(b^{2}\)=ac. Arytmetyczność przekształconego ciągu daje \(4b\)=\(3a\)+\(3\)+c−\(12\), a warunek sumy \(3a\)+\(3\)+\(2b\)=c−\(12\). Rozwiązanie układu prowadzi do jedynej trójki spełniającej warunki.

**Krok \(1\).** W treści są trzy niezależne informacje: jeden ciąg jest geometryczny, drugi arytmetyczny, a dodatkowo suma dwóch pierwszych wyrazów drugiego ciągu równa się jego trzeciemu wyrazowi. Każdą z nich zamieniamy na równanie — dostaniemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi \(a\), \(b\), \(c\). **Krok \(2\).** Ciąg \((a,b,c)\) jest geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi sąsiadów: \[b^2=ac.\quad(1)\] **Krok \(3\).** Ciąg \((3a+3,\,2b,\,c-12)\) jest arytmetyczny, więc podwojony wyraz środkowy równa się sumie sąsiadów: \[2\cdot2b=(3a+3)+(c-12),\qquad\text{czyli}\qquad 4b=3a+c-9.\quad(2)\] **Krok \(4\).** Suma dwóch pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa trzeciemu: \[(3a+3)+2b=c-12,\qquad\text{czyli}\qquad 2b=c-3a-15.\quad(3)\] **Krok \(5\).** Równania \((2)\) i \((3)\) są liniowe, więc zaczynamy od nich. Mnożymy \((3)\) stronami przez \(2\): \(4b=2c-6a-30\). Porównujemy z \((2)\): \[3a+c-9=2c-6a-30,\qquad 9a+21=c.\] **Krok \(6\).** Wstawiamy \(c=9a+21\) do \((3)\): \[2b=(9a+21)-3a-15=6a+6,\qquad\text{więc}\qquad b=3a+3.\] **Krok \(7\).** Teraz wykorzystujemy równanie \((1)\), do którego wstawiamy \(b\) i \(c\) wyrażone przez \(a\): \[(3a+3)^2=a(9a+21),\qquad 9a^2+18a+9=9a^2+21a.\] Wyrazy \(9a^2\) się redukują, zostaje \(9=3a\), czyli \(a=3\). **Krok \(8\).** Stąd \(b=3\cdot3+3=12\) oraz \(c=9\cdot3+21=48\). **Krok \(9\).** Sprawdzamy wszystkie trzy warunki. Ciąg \((3,12,48)\) jest geometryczny o ilorazie \(4\). Ciąg \((3\cdot3+3,\,2\cdot12,\,48-12)=(12,24,36)\) jest arytmetyczny o różnicy \(12\). Wreszcie \(12+24=36\) — suma dwóch pierwszych wyrazów równa się trzeciemu. **Uwaga.** Łatwo pomylić własności obu ciągów. W arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiadów (\(2b_2=b_1+b_3\)), a w geometrycznym jego kwadrat jest iloczynem sąsiadów (\(b_2^2=b_1b_3\)). Zamiana tych wzorów miejscami przekreśla całe rozwiązanie. **Odpowiedź.** \(a=3\), \(b=12\), \(c=48\).

*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.* **Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – wykorzystanie własności ciągu geometrycznego (arytmetycznego) i zapisanie równania, np. \(b^{2}=a\cdot c\) albo \(2(2b)=(3a+3)+(c-12)\) albo \(2(2aq)=(3a+3)+\left(aq^{2}-12\right)\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zapisanie układu równań z trzema lub dwiema niewiadomymi, np. \(\begin{cases}b^{2}=ac\\ 4b=3a+3+c-12\end{cases}\) lub \(\begin{cases}b^{2}=ac\\ 3a+3+2b=c-12\end{cases}\) lub \(4aq=3a+3+aq^{2}-12\) lub \(a\left(q^{2}-4q+3\right)=9\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – doprowadzenie układu równań do równania z jedną niewiadomą, np. \(q^{2}-7q+12=0\). **Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)** **Rozwiązanie bezbłędne** – \(a=3\), \(b=12\), \(c=48\). Uwaga: jeżeli zdający pomyli własności któregokolwiek ciągu, to za całe rozwiązanie otrzymuje \(0\) punktów. Jeżeli zdający rozwiązuje układ z niewiadomymi \(a\), \(q\) i nie odrzuci rozwiązania \(q=[\ldots]\), to otrzymuje \(4\) punkty.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i arytmetycznego w układzie równań.

D. a = \(3\)

Układ dwóch równań liniowych ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy oba równania opisują tę samą prostą, czyli gdy współczynniki są proporcjonalne: \[\frac{6}{4}=\frac{a}{2}=\frac{15}{10}.\] Ponieważ \(\frac64=\frac{15}{10}=\frac32\), warunek sprowadza się do \(\frac{a}{2}=\frac32\), czyli \(a=3\). Sprawdzenie: dla \(a=3\) drugie równanie \(6x+3y=15\) powstaje z pierwszego przez pomnożenie przez \(\tfrac32\). **Odpowiedź.** \(a=3\), czyli odpowiedź **D**.

Modelowanie matematyczne. Rozwiązanie układu równań.

**A.** \(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)

Z drugiego równania wyznaczamy \(y=2x-3\) i podstawiamy do pierwszego: \[x+3(2x-3)=5,\qquad 7x-9=5,\qquad x=2.\] Wtedy \(y=2\cdot2-3=1\). Sprawdzenie: \(2+3\cdot1=5\) oraz \(2\cdot2-1=3\). **Odpowiedź.** \(x=2\) i \(y=1\), czyli odpowiedź **A**.

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje układ dwóch równań liniowych.

\(x=2\), \(y=1\)

**Krok \(1\).** Mamy układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. W drugim równaniu \(y\) występuje ze współczynnikiem \(-1\), więc najłatwiej wyznaczyć z niego \(y\) i wstawić do pierwszego równania (metoda podstawiania). **Krok \(2\).** Z równania \(2x-y=3\) wyznaczamy \(y\): \[-y=3-2x,\qquad y=2x-3.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy to wyrażenie w miejsce \(y\) w pierwszym równaniu: \[x+3(2x-3)=5.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy powstałe równanie z jedną niewiadomą: \[x+6x-9=5,\qquad 7x=14,\qquad x=2.\] **Krok \(5\).** Wracamy do wzoru na \(y\): \[y=2\cdot 2-3=1.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy oba równania: \[2+3\cdot 1=5\quad\text{oraz}\quad 2\cdot 2-1=3.\] Obie równości są prawdziwe. **Uwaga.** Rozwiązaniem układu jest **para** liczb - trzeba podać i \(x\), i \(y\). Wyznaczenie samego \(x\) to dopiero połowa zadania. **Odpowiedź.** \(x=2\), \(y=1\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(x=2\), \(y=1\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Równania i nierówności.

Niech x i y oznaczają długość i szerokość pierwszego basenu. Mamy xy = \(240\) oraz (x + \(5\))(y + \(2\)) = \(350\). Po podstawieniu xy = \(240\) otrzymujemy \(2x\) + \(5y\) = \(100\), a po eliminacji jednej zmiennej: \(y^{2}\) − \(20y\) + \(96 = 0\). Stąd y = \(8\) lub y = \(12\). Dla y = \(8\) jest x = \(30\), a dla y = \(12\) jest x = \(20\). Możliwe wymiary: pierwszy basen \(30\) m × \(8\) m i drugi \(35\) m × \(10\) m albo pierwszy \(20\) m × \(12\) m i drugi \(25\) m × \(14\) m.

**Krok \(1\).** pkt: wprowadzenie oznaczeń i zapisanie jednej poprawnej zależności, xy = \(240\) albo (x + \(5\))(y + \(2\)) = \(350\). **Krok \(2\).** pkt: zapisanie poprawnego układu dwóch równań. **Krok \(3\).** pkt: zapisanie równania z jedną niewiadomą. **Krok \(4\).** pkt: doprowadzenie do równania kwadratowego i obliczenie x = \(20\) lub \(30\) albo y = \(8\) lub \(12\); także rozwiązanie z drobną usterką rachunkową przy poprawnej metodzie. **Krok \(5\).** pkt: podanie obu par możliwych wymiarów obu basenów. **Odpowiedź.** Niech x i y oznaczają długość i szerokość pierwszego basenu. Mamy xy = \(240\) oraz (x + \(5\))(y + \(2\)) = \(350\). Po podstawieniu xy = \(240\) otrzymujemy \(2x\) + \(5y\) = \(100\), a po eliminacji jednej zmiennej: \(y^{2}\) − \(20y\) + \(96 = 0\). Stąd y = \(8\) lub y = \(12\). Dla y = \(8\) jest x = \(30\), a dla y = \(12\) jest x = \(20\). Możliwe wymiary: pierwszy basen \(30\) m × \(8\) m i drugi \(35\) m × \(10\) m albo pierwszy \(20\) m × \(12\) m i drugi \(25\) m × \(14\) m.

1 pkt: wprowadzenie oznaczeń i zapisanie jednej poprawnej zależności, xy = 240 albo (x + 5)(y + 2) = 350. 2 pkt: zapisanie poprawnego układu dwóch równań. 3 pkt: zapisanie równania z jedną niewiadomą. 4 pkt: doprowadzenie do równania kwadratowego i obliczenie x = 20 lub 30 albo y = 8 lub 12; także rozwiązanie z drobną usterką rachunkową przy poprawnej metodzie. 5 pkt: podanie obu par możliwych wymiarów obu basenów.

Modelowanie matematyczne. Rozwiązanie zadania umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego.

\[m=80,\qquad n=60.\]

Z planu wynika, że w ciągu \(7\) dni obaj rzemieślnicy wykonują całe zlecenie: \[7(m+n)=980,\qquad\text{czyli}\qquad m+n=140.\] Pierwszego dnia pracowali obaj i wykonali \(m+n=140\) detali. Pozostało \[980-140=840\] detali, które drugi rzemieślnik wykonał sam. Pracował o \(8\) dni dłużej, niż planował, czyli łącznie \(7+8=15\) dni; z tego \(14\) dni samodzielnie. Stąd \[14n=840,\qquad n=60,\] a z pierwszego równania \(m=140-60=80\). Sprawdzenie: \(80+14\cdot60=80+840=920\)? Pierwszego dnia wykonano \(80+60=140\) detali, przez kolejnych \(14\) dni drugi wykonał \(840\), razem \(980\). **Odpowiedź.** Pierwszy rzemieślnik wykonywał dziennie \(80\) detali, drugi \(60\) detali.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Klucz CKE dołączony w tym miejscu przez ekstrakcję pochodzi z arkusza **rozszerzonego** z tej samej sesji i nie dotyczy tego zadania — został usunięty. Model odpowiedzi CKE dla arkusza podstawowego maj 2009 nie jest dostępny w tym wydaniu bazy, dlatego progów punktowych nie podajemy.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(T(n)=\tfrac1{20}n^{2}+\tfrac32n\); w ciągu \(50\) sekund można ułożyć \(20\) kartek.

Z danych doświadczalnych otrzymujemy układ równań: \[\begin{cases}100a+10b=20,\\900a+30b=90.\end{cases}\] Z pierwszego równania \(10a+b=2\), czyli \(b=2-10a\). Podstawiamy do drugiego: \[900a+30(2-10a)=90,\qquad 600a=30,\qquad a=\tfrac1{20},\] a stąd \(b=2-\tfrac12=\tfrac32\). Zatem \[T(n)=\tfrac1{20}n^{2}+\tfrac32n.\] Szukamy \(n\), dla którego \(T(n)=50\): \[\tfrac1{20}n^{2}+\tfrac32n=50\quad\big/\cdot20,\qquad n^{2}+30n-1000=0.\] Wyróżnik \(\Delta=900+4000=4900\), \(\sqrt{\Delta}=70\), więc \[n=\frac{-30+70}{2}=20\qquad\text{lub}\qquad n=\frac{-30-70}{2}=-50.\] Liczba kartek jest dodatnia, więc \(n=20\). **Odpowiedź.** \(T(n)=\tfrac1{20}n^{2}+\tfrac32n\); w \(50\) sekund można ułożyć \(20\) kartek.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **10.1. (1 pkt)** – zapisanie układu: \(\begin{cases}[…]\\ 900a+30b=90\end{cases}\). Wystarczy zapis \(\begin{cases}[…]\\ T(30)=90\end{cases}\). **10.2. (1 pkt)** – rozwiązanie układu: \(\begin{cases}a=\frac{1}{20}\\ b=\frac{3}{2}\end{cases}\). **10.3. (1 pkt)** – zapisanie wzoru funkcji: \(T(n)=\frac{1}{20}n^{2}+\frac{3}{2}n,\ n\in N\). Akceptujemy sam wzór bez podania założenia \(n\in N\). **10.4. (1 pkt)** – zapisanie równania: \(\frac{1}{20}n^{2}+\frac{3}{2}n=50\). **10.5. (1 pkt)** – rozwiązanie równania i wyznaczenie liczby kartek: \(20\). Zdający nie musi wyznaczyć ujemnego rozwiązania równania.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x=\frac{3m}{m^2+1}\), \(y=\frac{m^2-2}{m^2+1}\) dla każdego \(m\in\mathbb{R}\); najmniejsza wartość sumy \(x+y\) dla \(m\in\langle2,4\rangle\) wynosi \(\frac{26}{17}\) i jest przyjmowana dla \(m=4\).

**Krok \(1\).** Zadanie ma dwie części i dwa różne narzędzia. Najpierw rozwiązujemy układ z parametrem \(m\) metodą podstawiania — otrzymamy \(x\) i \(y\) jako wyrażenia zależne od \(m\). Potem suma \(x+y\) stanie się funkcją jednej zmiennej \(m\), a najmniejszej wartości funkcji na przedziale domkniętym szukamy przy użyciu pochodnej. **Krok \(2\).** Z pierwszego równania \(mx-y=2\) wyznaczamy \(y=mx-2\). **Krok \(3\).** Podstawiamy do drugiego równania: \[x+m(mx-2)=m,\qquad x+m^2x-2m=m,\qquad x(m^2+1)=3m.\] Ponieważ \(m^2+1\gt0\) dla każdego \(m\), możemy podzielić i otrzymujemy \[x=\frac{3m}{m^2+1}.\] **Krok \(4\).** Wracamy do \(y=mx-2\): \[y=\frac{3m^2}{m^2+1}-2=\frac{3m^2-2(m^2+1)}{m^2+1}=\frac{m^2-2}{m^2+1}.\] Układ ma więc dokładnie jedno rozwiązanie dla każdej wartości \(m\). **Krok \(5\).** Zapisujemy sumę jako funkcję parametru: \[f(m)=x+y=\frac{3m+m^2-2}{m^2+1}=\frac{m^2+3m-2}{m^2+1}.\] **Krok \(6\).** Liczymy pochodną ze wzoru na pochodną ilorazu: \[f'(m)=\frac{(2m+3)(m^2+1)-(m^2+3m-2)\cdot2m}{(m^2+1)^2}.\] Licznik to \[2m^3+2m+3m^2+3-2m^3-6m^2+4m=-3m^2+6m+3,\] więc \(f'(m)=\dfrac{-3m^2+6m+3}{(m^2+1)^2}\). **Krok \(7\).** Szukamy miejsc zerowych pochodnej. Mianownik jest dodatni, więc wystarczy \(-3m^2+6m+3=0\), czyli \(m^2-2m-1=0\). Stąd \(\Delta=4+4=8\), \(\sqrt{\Delta}=2\sqrt2\) i \(m=1-\sqrt2\) lub \(m=1+\sqrt2\). W przedziale \(\langle2,4\rangle\) leży tylko \(m=1+\sqrt2\approx2{,}41\). **Krok \(8\).** Badamy znak pochodnej. Trójmian \(-3m^2+6m+3\) ma ujemny współczynnik przy \(m^2\), więc jest dodatni między pierwiastkami i ujemny poza nimi. Zatem \(f\) rośnie na \(\langle2,\,1+\sqrt2\rangle\) i maleje na \(\langle1+\sqrt2,\,4\rangle\). Wartość najmniejsza jest więc przyjmowana w jednym z końców przedziału. **Krok \(9\).** Liczymy wartości na końcach: \[f(2)=\frac{4+6-2}{4+1}=\frac{8}{5},\qquad f(4)=\frac{16+12-2}{16+1}=\frac{26}{17}.\] **Krok \(10\).** Porównujemy je, mnożąc na krzyż: \(8\cdot17=136\) oraz \(26\cdot5=130\), a \(130\lt136\), więc \(\frac{26}{17}\lt\frac85\). Najmniejszą wartością sumy jest \(f(4)=\frac{26}{17}\). **Uwaga.** Pułapka jest w tym, że punkt \(m=1+\sqrt2\) to miejsce zerowe pochodnej, ale funkcja ma tam maksimum, a nie minimum. Gdy szukamy najmniejszej wartości funkcji ciągłej na przedziale domkniętym, kandydatami są zarówno punkty krytyczne wewnątrz przedziału, jak i oba jego końce — i tutaj wygrywa koniec. Nie wolno więc odruchowo podstawić miejsca zerowego pochodnej do wzoru funkcji. **Odpowiedź.** \(x=\frac{3m}{m^2+1}\), \(y=\frac{m^2-2}{m^2+1}\) dla każdego \(m\in\mathbb{R}\); najmniejsza wartość sumy \(x+y\) dla \(m\in\langle2,4\rangle\) wynosi \(\frac{26}{17}\) i jest przyjmowana dla \(m=4\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}mx-y=2\\ x+my=m\end{cases}\) dla każdego \(m\in R\) jest para liczb \(\begin{cases}x=\frac{3m}{m^{2}+1}\\ y=\frac{m^{2}-2}{m^{2}+1}\end{cases}\) Sumę \(x+y\) zapisuję w postaci funkcji \(f(m)=\frac{m^{2}+3m-2}{m^{2}+1}\), \(m\in R\). Aby znaleźć najmniejszą wartość sumy w danym przedziale obliczam pochodną funkcji \(f\): \(f^{\prime}(m)=\frac{-3m^{2}+6m+3}{\left(m^{2}+1\right)^{2}}\), \(m\in R\). Obliczam miejsca zerowe pochodnej funkcji \(f\): \(f^{\prime}(m)=0\) gdy \(-3m^{2}+6m+3=0\). Rozwiązaniami równania są liczby: \(m_{1}=1-\sqrt{2}\), \(m_{2}=1+\sqrt{2}\), przy czym \(m_{1}\notin\langle 2,4\rangle\). Badam znak pochodnej w przedziale \(\langle 2,4\rangle\): Ponieważ \(f^{\prime}(m)>0\) dla \(m\in\left\langle 2,\,1+\sqrt{2}\right)\), więc funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale \(\left\langle 2,\,1+\sqrt{2}\right)\). Ponieważ \(f^{\prime}(m)<0\) dla \(m\in\left(1+\sqrt{2},\,4\right\rangle\), więc funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale \(\left(1+\sqrt{2},\,4\right\rangle\). Stąd wnioskuję, że funkcja \(f\) przyjmuje najmniejszą wartość w jednym z końców przedziału \(\langle 2,4\rangle\). Obliczam wartość funkcji \(f\) na końcach przedziału: \(f(2)=\frac{8}{5}\) oraz \(f(4)=\frac{26}{17}\) i porównuję otrzymane liczby. Najmniejszą wartością sumy \(x+y\) jest \(f(4)=\frac{26}{17}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\((x,y)=(2,1)\) lub \((x,y)=(-2,1)\)

**Krok \(1\).** W układzie mamy wartość bezwzględną i równanie okręgu. Kluczowa obserwacja: z pierwszego równania \(|x|=y+1\), a wtedy \(x^2=|x|^2=(y+1)^2\). Dzięki temu drugie równanie zamieni się na równanie z jedną niewiadomą \(y\), bez rozbijania na przypadki. **Krok \(2\).** Z równania \(|x|-y=1\) mamy \[|x|=y+1.\] Wartość bezwzględna jest nieujemna, więc od razu zapisujemy warunek konieczny: \[y+1\geqslant0,\qquad\text{czyli}\qquad y\geqslant-1.\] **Krok \(3\).** Podnosimy obie strony do kwadratu: \(x^2=(y+1)^2\). Wstawiamy do drugiego równania: \[(y+1)^2+(y+1)^2=8.\] **Krok \(4\).** Stąd \(2(y+1)^2=8\), czyli \[(y+1)^2=4.\] **Krok \(5\).** Zatem \(y+1=2\) lub \(y+1=-2\), czyli \[y=1\qquad\text{lub}\qquad y=-3.\] **Krok \(6\).** Wartość \(y=-3\) odrzucamy: nie spełnia warunku \(y\geqslant-1\) z kroku \(2\) (dawałaby \(|x|=-2\), co jest niemożliwe). **Krok \(7\).** Dla \(y=1\) mamy \(|x|=1+1=2\), czyli \[x=2\qquad\text{lub}\qquad x=-2.\] **Krok \(8\).** Sprawdzenie w drugim równaniu: \(2^2+(1+1)^2=4+4=8\), a dla \(x=-2\) tak samo. Oba rozwiązania są poprawne. **Uwaga.** Pułapką jest tu wartość \(y=-3\), która pojawia się po podniesieniu do kwadratu. Podnoszenie do kwadratu nie jest przekształceniem równoważnym, więc otrzymane wartości trzeba skonfrontować z warunkiem \(|x|\geqslant0\) albo po prostu sprawdzić w wyjściowym układzie. **Odpowiedź.** \((x,y)=(2,1)\) lub \((x,y)=(-2,1)\).

*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.* **12.1. (1 pkt)** – […] drugiego równania do postaci: \((y+1)^{2}+(y+1)^{2}=8\). **12.2. (1 pkt)** – wyznaczenie wartości zmiennej \(y\): \(y=-3\) lub \(y=1\). **12.3. (2 pkt)** – rozwiązanie układu równań \(\begin{cases}y=-3\\ x=-2\end{cases}\) lub \(\begin{cases}y=1\\ x=2\end{cases}\): \(\begin{cases}x=2\\ y=1\end{cases}\) lub \(\begin{cases}x=-2\\ y=1\end{cases}\). Inna metoda. **12.1. ([…] pkt)** – zastosowanie definicji wartości bezwzględnej i zapisanie alternatywy układów równań lub dwóch równań. **12.2. ([…] pkt)** – przekształcenie otrzymanych układów równań do równań z jedną niewiadomą. **12.3. ([…] pkt)** – rozwiązanie równań, układów równań. Metoda graficzna. **12.1. ([…] pkt)** – geometryczna interpretacja pierwszego równania. **12.2. ([…] pkt)** – geometryczna interpretacja drugiego równania. **12.3. ([…] pkt)** – podanie rozwiązania układu

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.