Równania wielomianowe — rozkład na czynniki, grupowanie i krotność pierwiastka

\[(27x^{3}+1)(x^{2}-4)=0\] Iloczyn jest równy \(0\), gdy co najmniej jeden czynnik jest równy \(0\). Z równania \(27x^{3}+1=0\) otrzymujemy \(x=-\frac{1}{3}\), a z równania \(x^{2}-4=0\) otrzymujemy \(x=-2\) lub \(x=2\). Zatem \(x\in\left\{-2,-\frac{1}{3},2\right\}\).

Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się co najmniej jeden z czynników, więc \[27x^3+1=0\quad\text{lub}\quad x^2-4=0.\] Z pierwszego równania \(x^3=-\tfrac1{27}\), czyli \(x=-\tfrac13\) (sześcian jest funkcją różnowartościową, więc to jedyny pierwiastek rzeczywisty). Z drugiego \(x^2=4\), czyli \(x=-2\) lub \(x=2\). **Odpowiedź.** \(x\in\left\{-2,-\tfrac13,2\right\}\).

1 pkt: zapisanie równań 27x³ + 1 = 0 i x² − 4 = 0, rozłożenie całości na czynniki albo poprawne rozwiązanie jednego z tych równań. 2 pkt: poprawna metoda i wszystkie rozwiązania: −2, −1/3, 2.

1 pkt – zapisanie, że liczba 2 jest rozwiązaniem równania \(x^2-4=0\).

**C.** Rozwiązaniami są \(-3\), \(m\) i \(-2\), więc \(-3+m-2=0\), stąd \(m=5\).

**Krok \(1\).** Lewa strona równania jest iloczynem czynników, więc rozwiązania odczytujemy, przyrównując do zera każdy czynnik z osobna. Parametr \(m\) siedzi w jednym z nich, więc jedno z rozwiązań będzie od niego zależeć — a warunek o sumie rozwiązań pozwoli \(m\) wyznaczyć. **Krok \(2\).** Czynnik \(3\) jest stałą różną od zera, więc nie daje żadnego rozwiązania — można go pominąć. **Krok \(3\).** Pozostałe czynniki przyrównujemy do zera: \[x+3=0\ \Rightarrow\ x=-3,\qquad x-m=0\ \Rightarrow\ x=m,\qquad 2x+4=0\ \Rightarrow\ x=-2.\] **Krok \(4\).** Sumujemy wszystkie rozwiązania: \[-3+m+(-2)=m-5.\] **Krok \(5\).** Z treści wiemy, że suma rozwiązań jest równa \(0\), więc \[m-5=0,\qquad m=5.\] **Krok \(6\).** Sprawdzenie. Dla \(m=5\) równanie przyjmuje postać \(3(x+3)(x-5)(2x+4)=0\), a jego rozwiązaniami są \(-3\), \(-2\) oraz \(5\). Ich suma to \(-3-2+5=0\) — warunek jest spełniony, a rozwiązania są trzema różnymi liczbami. **Uwaga.** Rozwiązaniem czynnika \(2x+4=0\) jest \(x=-2\), a nie \(x=-4\) — trzeba jeszcze podzielić przez \(2\). Podobnie z czynnika \(x-m\) wychodzi \(x=m\), a nie \(x=-m\); pomyłka w którymkolwiek z tych miejsc prowadzi wprost do jednego z pozostałych dystraktorów. **Odpowiedź.** C: \(m=5\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

**C.** Trzy rozwiązania.

Równanie ma postać iloczynową. Czynnik \(x^2+2x+3\) nie ma rzeczywistych miejsc zerowych, ponieważ jego wyróżnik jest równy \(-8\). Pozostałe czynniki dają \(x=0\) oraz \(x=\pm\sqrt3\), czyli łącznie trzy rozwiązania. Poprawna jest odpowiedź **C**.

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe doprowadzone do postaci iloczynowej.

**B.** Równanie ma trzy różne rozwiązania: \(x=1\), \(x=-5\) oraz \(x=5\).

**Krok \(1\).** Równanie jest już zapisane w postaci iloczynowej, a po prawej stronie stoi zero. Korzystamy więc z zasady: iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Rozpatrujemy każdy czynnik osobno. **Krok \(2\).** Czynnik \(4\) jest stałą różną od zera, więc nie daje żadnego rozwiązania. Możemy przez niego podzielić obie strony: \[(x-1)^{2}\left(x^{2}-25\right)=0.\] **Krok \(3\).** Pierwszy czynnik: \[(x-1)^{2}=0\ \Longleftrightarrow\ x-1=0\ \Longleftrightarrow\ x=1.\] **Krok \(4\).** Drugi czynnik rozkładamy wzorem na różnicę kwadratów: \[x^{2}-25=(x-5)(x+5)=0\ \Longleftrightarrow\ x=5\ \text{ lub }\ x=-5.\] **Krok \(5\).** Zbieramy wszystkie znalezione liczby: \(-5\), \(1\), \(5\). Są one parami różne, więc równanie ma trzy różne rozwiązania. **Uwaga.** Kwadrat przy nawiasie \((x-1)^{2}\) nie zwiększa liczby rozwiązań — mówimy wtedy o pierwiastku podwójnym, ale to wciąż jedna liczba \(x=1\). Zadanie pyta, ile jest rozwiązań, a nie ile wynosi suma ich krotności. **Odpowiedź.** B. Równanie ma dokładnie trzy rozwiązania: \(x=-5\), \(x=1\), \(x=5\).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: 3.7) Korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań.

**B.** Równanie ma trzy różne rozwiązania: \(x=1\), \(x=-5\) oraz \(x=5\).

**Krok \(1\).** Równanie jest już zapisane w postaci iloczynowej, więc nie ma po co niczego wymnażać. Iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy zeruje się któryś z czynników. Czynnik liczbowy \(4\) nigdy nie jest zerem, więc go pomijamy. **Krok \(2\).** Rozbijamy równanie na dwa prostsze: \[(x-1)^2=0\qquad\text{lub}\qquad x^2-25=0.\] **Krok \(3\).** Pierwsze: kwadrat jest zerem tylko wtedy, gdy zerowana jest podstawa, więc \[x-1=0\ \Rightarrow\ x=1.\] **Krok \(4\).** Drugie: \(x^2=25\), a stąd \[x=5\qquad\text{lub}\qquad x=-5.\] **Krok \(5\).** Zbieramy wszystkie znalezione liczby: \(1\), \(5\), \(-5\). Sprawdzamy, czy któraś się nie powtarza — nie, są trzy różne liczby. **Krok \(6\).** Równanie ma zatem dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. **Uwaga.** Czynnik \((x-1)^2\) daje pierwiastek podwójny, ale pytanie dotyczy liczby rozwiązań, a nie krotności. Liczba \(1\) jest jednym rozwiązaniem, więc nie wolno liczyć jej dwa razy — stąd trzy, a nie cztery (odpowiedź C to właśnie ta pomyłka). **Odpowiedź.** B: równanie ma dokładnie trzy rozwiązania: \(x=-5\), \(x=1\), \(x=5\).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: III.5) Rozwiązuje równania wielomianowe w postaci iloczynowej; II.1) stosuje różnicę kwadratów.

Pierwiastki wielomianu to \(4-\sqrt{13}\), \(4+\sqrt{13}\) oraz \(8\).

Zapisujemy \[W(x)=\frac18(x^3-16x^2+67x-24).\] Z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych oraz z przedstawionego fragmentu wykresu wynika, że całkowitego pierwiastka należy szukać wśród \(8,12,24\). Sprawdzamy: \[W(8)=\frac18(8^3-16\cdot8^2+67\cdot8-24)=0.\] Dzieląc przez \(x-8\), otrzymujemy \[W(x)=\frac18(x-8)(x^2-8x+3).\] Równanie \(x^2-8x+3=0\) ma rozwiązania \(x=4-\sqrt{13}\) i \(x=4+\sqrt{13}\). Razem z \(x=8\) są to wszystkie pierwiastki \(W\).

**3 pkt** – obliczenie wszystkich pierwiastków wielomianu \(W\) **2 pkt** – sprawdzenie, że \(8\) jest pierwiastkiem, oraz podzielenie \(W\) przez \(x-8\) **1 pkt** – zastosowanie twierdzenia o pierwiastkach całkowitych do \(x^3-16x^2+67x-24\) i określenie możliwych pierwiastków całkowitych **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie informacji przedstawionych w formie wykresu. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** II.1 R) Zdający dzieli wielomian jednej zmiennej \(W(x)\) przez dwumian \(x-a\). II.3 R) Znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych.

**A.** Czynnik \(x^{2}+25\) jest dodatni dla każdego \(x\in\mathbb{R}\). Zatem \(2x(x+3)(x^{2}+25)=0\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x=0\) lub \(x=-3\).

**Krok \(1\).** Lewa strona równania jest już rozłożona na czynniki: \(2x\), \(x+3\) oraz \(x^2+25\). Korzystamy z zasady, że iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest zerem — i badamy każdy czynnik osobno. **Krok \(2\).** Pierwszy czynnik: \(2x=0\), czyli \(x=0\). **Krok \(3\).** Drugi czynnik: \(x+3=0\), czyli \(x=-3\). **Krok \(4\).** Trzeci czynnik: \(x^2+25=0\), czyli \(x^2=-25\). Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc to równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Co więcej, dla każdego \(x\) mamy \(x^2\geq0\), a zatem \(x^2+25\geq25\gt0\) — ten czynnik jest zawsze dodatni i nigdy nie zeruje iloczynu. **Krok \(5\).** Zostają dokładnie dwa rozwiązania: \(-3\) oraz \(0\). **Uwaga.** Wyrażenia \(x^2+25\) nie wolno rozkładać jak różnicy kwadratów — wzór \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) dotyczy **różnicy**, a nie sumy. Właśnie z takiego błędnego rozkładu na \((x-5)(x+5)\) biorą się dystraktory z liczbami \(-5\) i \(5\). **Odpowiedź.** A: dwa rozwiązania: \(-3\) oraz \(0\).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

**C.** Rozwiązaniami są \(x=4\), \(x=-2\) oraz \(x=3\). Ich suma wynosi \(4-2+3=5\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy postać równania: lewa strona jest iloczynem trzech czynników, a prawa jest zerem. Iloczyn równa się zeru dokładnie wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem, więc rozbijamy zadanie na trzy proste równania liniowe. **Krok \(2\).** Pierwszy czynnik: \[3x-12=0\ \Longrightarrow\ 3x=12\ \Longrightarrow\ x=4.\] **Krok \(3\).** Drugi czynnik: \[10+5x=0\ \Longrightarrow\ 5x=-10\ \Longrightarrow\ x=-2.\] **Krok \(4\).** Trzeci czynnik: \[x-3=0\ \Longrightarrow\ x=3.\] **Krok \(5\).** Zbieramy rozwiązania: \(x=4\), \(x=-2\), \(x=3\). Są trzy różne, więc każde liczymy raz. **Krok \(6\).** Sumujemy je: \[4+(-2)+3=5.\] **Uwaga.** Sumujemy **rozwiązania**, a nie liczby stojące w nawiasach — dodanie \(12\), \(10\) i \(3\) prowadzi na manowce. Uważaj też na znak przy drugim czynniku: z \(10+5x=0\) wychodzi \(x=-2\), a nie \(x=2\). **Odpowiedź.** C: \(5\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

\[x\in\left\{-\frac12,\frac12,3\right\}.\]

Grupujemy wyrazy: \[4x^3-12x^2-x+3=4x^2(x-3)-(x-3).\] Wyłączamy wspólny czynnik i stosujemy wzór na różnicę kwadratów: \[(x-3)(4x^2-1)=0,\] \[(x-3)(2x-1)(2x+1)=0.\] Stąd \[x=3\quad\text{lub}\quad x=\frac12\quad\text{lub}\quad x=-\frac12.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \(x\in\left\{-\frac12,\frac12,3\right\}\) **2 pkt** – sprowadzenie równania do postaci iloczynowej wielomianów stopnia co najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z powstałych równań albo wykonanie równoważnej części rozwiązania **1 pkt** – przekształcenie wielomianu do postaci \(4x^2(x-3)-(x-3)\), \(x(4x^2-1)-3(4x^2-1)\), zapisanie jednego rozwiązania albo wykonanie równoważnego istotnego kroku **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\) dla wielomianów zapisanych w postaci iloczynowej lub takich, które dają się sprowadzić do postaci iloczynowej metodą grupowania.

\[x\in\{-\sqrt3,\sqrt3,2\}.\]

Grupujemy wyrazy: \[x^3-2x^2-3x+6=x^2(x-2)-3(x-2).\] Wyłączamy wspólny czynnik: \[(x-2)(x^2-3)=0.\] Stąd \[x-2=0\quad\text{lub}\quad x^2-3=0,\] czyli \[x=2\quad\text{lub}\quad x=\sqrt3\quad\text{lub}\quad x=-\sqrt3.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \(-\sqrt3,\sqrt3,2\) **2 pkt** – sprowadzenie równania do postaci iloczynowej wielomianów stopnia co najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań albo wykonanie równoważnej części rozwiązania **1 pkt** – zapisanie postaci \(x^2(x-2)-3(x-2)\), wyznaczenie jednego rozwiązania albo wykonanie równoważnego istotnego kroku **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\), które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą grupowania.

\[x\in\{-5,-\sqrt2,\sqrt2\}.\]

Grupujemy wyrazy: \[x^3+5x^2-2x-10=x^2(x+5)-2(x+5).\] Wyłączamy wspólny czynnik: \[(x+5)(x^2-2)=0.\] Stąd \[x+5=0\quad\text{lub}\quad x^2-2=0,\] czyli \[x=-5\quad\text{lub}\quad x=-\sqrt2\quad\text{lub}\quad x=\sqrt2.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i obliczenie wszystkich rozwiązań: \(-5,-\sqrt2,\sqrt2\) **2 pkt** – sprowadzenie lewej strony do postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego i rozwiązanie jednego z równań albo równoważny zaawansowany etap **1 pkt** – zapisanie postaci \(x^2(x+5)-2(x+5)\), wyznaczenie jednego rozwiązania albo wykonanie równoważnego istotnego kroku **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się sprowadzić do postaci iloczynowej.

**B.** \(-23\)

Sprawdzamy znak iloczynu dla podanych liczb. Dla \(x=-23\): \[(-23-3)(-23-2)(-23+20)=(-26)(-25)(-3)<0.\] Liczba \(-23\) spełnia nierówność. Liczba \(-20\) zeruje iloczyn, a dla \(20\) i \(23\) wszystkie czynniki są dodatnie.

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Element podstawy programowej:** nierówności wielomianowe; zdający określa znak iloczynu czynników liniowych i sprawdza, czy liczba należy do zbioru rozwiązań nierówności.

\(x\in\{-4,-3,3\}\)

Grupujemy wyrazy: \[x^3+4x^2-9x-36=x^2(x+4)-9(x+4)\] \[=(x+4)(x^2-9)=(x+4)(x-3)(x+3).\] Z zasady zerowego iloczynu otrzymujemy \[x=-4\quad\text{lub}\quad x=3\quad\text{lub}\quad x=-3.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wszystkie rozwiązania: \(-4,-3,3\) **2 pkt** – sprowadzenie do alternatywy równań stopnia co najwyżej drugiego i rozwiązanie jednego z nich albo inny równoważny etap z zasad CKE **1 pkt** – rozkład np. \((x+4)(x^2-9)=0\) albo wskazanie jednego poprawnego rozwiązania **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja oraz tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** III.5 zdający rozwiązuje równania wielomianowe przez wyłączanie wspólnego czynnika lub grupowanie.

\(x\in\left\{-\sqrt7,-\frac32,0,\sqrt7\right\}\)

Korzystamy z zasady zerowego iloczynu: \[(2x^2+3x)(x^2-7)=0\] \[2x^2+3x=0\quad\text{lub}\quad x^2-7=0.\] Pierwsze równanie daje \[x(2x+3)=0,\] czyli \(x=0\) lub \(x=-\frac32\). Z drugiego równania otrzymujemy \(x=-\sqrt7\) lub \(x=\sqrt7\). Zatem \[x\in\left\{-\sqrt7,-\frac32,0,\sqrt7\right\}.\]

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i uzyskanie wszystkich rozwiązań: \(-\sqrt7,-\frac32,0,\sqrt7\) **1 pkt** – zapisanie alternatywy \(2x^2+3x=0\) lub \(x^2-7=0\), albo poprawne rozwiązanie jednego z tych równań **0 pkt** – rozwiązanie z niepoprawną metodą albo brak rozwiązania

**Element podstawy programowej:** równania wielomianowe; zdający stosuje zasadę zerowego iloczynu i rozwiązuje równania kwadratowe.

\(x\in\left\{-\sqrt5,-\frac32,\sqrt5\right\}\)

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i grupujemy: \[2x^3+3x^2-10x-15=0,\] \[x^2(2x+3)-5(2x+3)=0,\] \[(2x+3)(x^2-5)=0.\] Stąd \[2x+3=0\quad\text{lub}\quad x^2-5=0,\] czyli \[x=-\frac32\quad\text{lub}\quad x=-\sqrt5\quad\text{lub}\quad x=\sqrt5.\]

**3 pkt** – poprawne przekształcenie równania i wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \(-\sqrt5\), \(-\frac32\), \(\sqrt5\) **2 pkt** – doprowadzenie do postaci \((2x+3)(x^2-5)=0\) i rozwiązanie co najmniej jednego z równań wynikających z tego rozkładu albo równoważny etap wskazany w kluczu CKE **1 pkt** – poprawne doprowadzenie do postaci iloczynowej \((2x+3)(x^2-5)=0\) albo równoważny postęp wskazany w kluczu CKE **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja; stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań. **Wymagania szczegółowe:** III.1 i III.5 równoważne przekształcanie równań oraz rozwiązywanie równań wielomianowych metodą grupowania i sprowadzania do postaci iloczynowej.

Pierwiastkami wielomianu są \(2-\sqrt{10}\), \(\frac34\) oraz \(2+\sqrt{10}\).

Z wykresu odczytujemy kandydaturę \(x=\frac34\) i sprawdzamy, że \(W\!\left(\frac34\right)=0\). Dzielimy wielomian przez \(x-\frac34\): \[W(x)=\left(x-\frac34\right)(4x^2-16x-24).\] Rozwiązujemy równanie kwadratowe \[4x^2-16x-24=0,\] którego pierwiastkami są \(2-\sqrt{10}\) i \(2+\sqrt{10}\). Ostatecznie \[x\in\left\{2-\sqrt{10},\frac34,2+\sqrt{10}\right\}.\]

**3 pkt** – wyznaczenie wszystkich trzech pierwiastków: \(2-\sqrt{10}\), \(\frac34\), \(2+\sqrt{10}\) **2 pkt** – sprawdzenie, że \(\frac34\) jest pierwiastkiem, oraz poprawne podzielenie wielomianu przez \(x-\frac34\) **1 pkt** – zastosowanie twierdzenia o pierwiastkach wymiernych i wskazanie kandydatów na pierwiastki **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II.1 oraz III.2 odczytywanie informacji z diagramu i tworzenie modelu matematycznego. **Wymagania szczegółowe:** II.6 i II.1R dzielenie wielomianu przez dwumian oraz stosowanie twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

\(m=2\)

Liczba \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W\) dla każdej wartości parametru \(m\). Aby \(W\) miał dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty, trójmian \[x^2-mx+m-1\] nie może mieć pierwiastków rzeczywistych albo jego jedynym pierwiastkiem musi być \(1\). Jego wyróżnik jest równy \[\Delta=m^2-4(m-1)=(m-2)^2.\] Warunek \(\Delta<0\) nie ma rozwiązań. Dla \(\Delta=0\) otrzymujemy \(m=2\), a podwójny pierwiastek trójmianu ma wtedy wartość \(m/2=1\). Zatem jedyną szukaną wartością jest \(m=2\).

**3 pkt** – poprawne uzasadnienie i wyznaczenie \(m=2\) **2 pkt** – wyznaczenie wszystkich wartości \(m\), dla których trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych albo ma wyłącznie pierwiastek \(1\) **1 pkt** – zauważenie, że \(1\) jest zawsze pierwiastkiem wielomianu, oraz zapisanie warunków dla drugiego czynnika **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV.1 prowadzenie rozumowania i dobieranie strategii rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** III.5R rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych z parametrem.

\[x\in\{1-\sqrt3,\ 1-\sqrt2,\ 1+\sqrt2,\ 1+\sqrt3\}.\]

Podstawiamy \(z=(x-1)^2\), gdzie \(z\ge0\). Otrzymujemy \[z^2-5z+6=0,\qquad (z-2)(z-3)=0,\] więc \(z=2\) lub \(z=3\). Zatem \[(x-1)^2=2\quad\text{lub}\quad(x-1)^2=3,\] co daje \(x=1\pm\sqrt2\) lub \(x=1\pm\sqrt3\).

**3 pkt** – poprawna metoda i wszystkie cztery rozwiązania: \(1\pm\sqrt2\), \(1\pm\sqrt3\) **2 pkt** – rozwiązanie \(z^2-5z+6=0\) i zapisanie równań \((x-1)^2=2\), \((x-1)^2=3\), albo poprawne dokończenie jednej z tych gałęzi **1 pkt** – odpowiednie podstawienie i uzyskanie równania \(z^2-5z+6=0\), gdzie \(z\ge0\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV.2 dostrzeganie regularności i analogii. **Wymagania szczegółowe:** III.5 rozwiązywanie równań sprowadzalnych do równania kwadratowego, w szczególności równań dwukwadratowych.

Równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie w \((-1,0)\) i co najmniej jedno inne rozwiązanie w \((0,1)\).

Niech \[f(x)=x^4-7x^3+9x^2+8x-2.\] Funkcja \(f\) jest wielomianowa, a więc ciągła. Obliczamy \[f(-1)=7>0,\qquad f(0)=-2<0,\qquad f(1)=9>0.\] Z własności Darboux istnieje \(x_1\in(-1,0)\), dla którego \(f(x_1)=0\), oraz \(x_2\in(0,1)\), dla którego \(f(x_2)=0\). Przedziały są rozłączne, więc \(x_1\ne x_2\), a oba rozwiązania należą do \((-2,2)\).

**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu **2 pkt** – podanie trzech argumentów \(x_1<x_2<x_3\) z przedziału \((-2,2)\), dla których \(f(x_1)>0\), \(f(x_2)<0\) i \(f(x_3)>0\) **1 pkt** – podanie dwóch argumentów \(x_1<x_2\) z przedziału \((-2,2)\), dla których \(f(x_1)f(x_2)<0\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV.1 i IV.4 przeprowadzanie rozumowań oraz stosowanie strategii również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.2R stosowanie własności Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji.

**D.** \(\sqrt2\)

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zeru. Z czynnika \(x^2-2=0\) otrzymujemy \(x=\pm\sqrt2\), więc jednym z rozwiązań jest \(\sqrt2\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.5 zdający rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

\(x\in\left\{-2,\frac23,2\right\}\)

Grupujemy wyrazy: \[3x^3-2x^2-12x+8=x^2(3x-2)-4(3x-2)=(3x-2)(x^2-4).\] Następnie \[(3x-2)(x-2)(x+2)=0,\] więc \[x=\frac23\quad\text{lub}\quad x=2\quad\text{lub}\quad x=-2.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \(-2\), \(\frac23\), \(2\) **2 pkt** – rozkład do postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego i rozwiązanie co najmniej jednego z otrzymanych równań albo wyznaczenie jednego pierwiastka i poprawne podzielenie wielomianu przez odpowiedni dwumian **1 pkt** – rozkład \((3x-2)(x^2-4)=0\), zapisanie jednego poprawnego rozwiązania albo poprawnej alternatywy równań **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja; stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** III.5 zdający rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\), które można doprowadzić do postaci iloczynowej metodą grupowania.

B. Dwa rozwiązania

**Krok \(1\).** Lewa strona jest zapisana jako iloczyn dwóch nawiasów. Nie wymnażamy ich - korzystamy z reguły: iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden** z czynników jest równy zeru. Rozbijamy więc zadanie na dwa prostsze równania. **Krok \(2\).** Pierwszy czynnik: \[x^2-3x=0.\] Wyłączamy \(x\) przed nawias: \(x(x-3)=0\), skąd \(x=0\) lub \(x=3\). Mamy dwa rozwiązania. **Krok \(3\).** Drugi czynnik: \[x^2+1=0,\qquad x^2=-1.\] Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc \(x^2+1\geq 1\gt 0\) - to równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. **Krok \(4\).** Zbieramy wszystkie rozwiązania: \(x=0\) i \(x=3\), czyli dokładnie dwa. **Uwaga.** Nie sugeruj się tym, że po wymnożeniu powstałby wielomian stopnia czwartego. Stopień mówi tylko, ile **najwyżej** może być pierwiastków - tu czynnik \(x^2+1\) nie daje żadnego. **Odpowiedź.** B: dwa rozwiązania

Zadanie 8. Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

\(x\in\left\{-1,\frac23,1\right\}\)

Grupujemy wyrazy: \[3x^3-2x^2-3x+2=x^2(3x-2)-(3x-2)=(3x-2)(x^2-1).\] Korzystając z różnicy kwadratów, otrzymujemy \[(3x-2)(x-1)(x+1)=0.\] Stąd \[x=\frac23\quad\text{lub}\quad x=1\quad\text{lub}\quad x=-1.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i komplet rozwiązań \(x=-1\), \(x=\frac23\), \(x=1\) **2 pkt** – poprawny rozkład i rozwiązanie części równań albo wskazanie dwóch poprawnych pierwiastków **1 pkt** – rozkład na czynniki stopnia najwyżej drugiego albo wskazanie jednego pierwiastka **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności - rozwiązywanie równania wielomianowego przez rozkład na czynniki.

**C.** \(2\)

Sprawdzamy wartość lewej strony dla \(x=2\): \[2^4-3\cdot2^3+3=16-24+3=-5<0.\] Liczba \(2\) spełnia zatem podaną nierówność.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.1 sprawdzanie, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności.

**B.** Dwa rozwiązania rzeczywiste.

Z własności iloczynu \[x^2-27=0\qquad\text{lub}\qquad x^2+16=0.\] Pierwsze równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x=\pm3\sqrt3\), a drugie nie ma rozwiązań rzeczywistych. Łącznie są więc dwa rozwiązania rzeczywiste.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.6 korzystanie z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań.

**C.** \(0\)

Z własności iloczynu rozwiązaniami są \(x=0\), \(x=3\), \(x=-3\) oraz \(x=-1\). Ponieważ jednym z czynników ich iloczynu jest \(0\), iloczyn wszystkich rozwiązań jest równy \(0\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.6 korzystanie z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań.

**B.** \(-1\)

Wyłączamy wspólny czynnik: \[5(x+1)-x^2(x+1)=(x+1)(5-x^2).\] Stąd jednym z rozwiązań jest \(x=-1\).

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.3 rozwiązywanie równań wielomianowych zapisanych w postaci iloczynowej.

**B.** \(-\frac12\)

Z postaci iloczynowej otrzymujemy rozwiązania \(x=\frac12\), \(x=1\) oraz \(x=-2\). Ich suma jest równa \[\frac12+1-2=-\frac12.\]

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.3 rozwiązywanie równań wielomianowych zapisanych w postaci iloczynowej.

\[x\in\{-3,2,3\}.\]

Grupujemy wyrazy i wyłączamy wspólne czynniki: \[3x^3-6x^2-27x+54=0,\] \[3x^2(x-2)-27(x-2)=0,\] \[(x-2)(3x^2-27)=0,\] \[3(x-2)(x^2-9)=0,\] \[3(x-2)(x-3)(x+3)=0.\] Stąd \[x=2\quad\text{lub}\quad x=3\quad\text{lub}\quad x=-3.\]

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i podanie wszystkich rozwiązań: \(x=-3\), \(x=2\), \(x=3\) **2 pkt** – rozwiązanie jednego z równań \(x^2-9=0\) albo \(x-2=0\) **1 pkt** – przekształcenie lewej strony równania do iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych, operowanie nimi i interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.5 rozwiązywanie równań wielomianowych \(W(x)=0\) dla wielomianów w postaci iloczynowej lub sprowadzalnych do niej przez wyłączanie wspólnego czynnika albo grupowanie.

**B.** \(-4\)

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem. Otrzymujemy \[x=4,\qquad x=1,\qquad x=-1.\] Iloczyn wszystkich rozwiązań wynosi \[4\cdot1\cdot(-1)=-4.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.6 korzystanie z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań.

D. \(x^{2}(x+2)+2(x+2)=0\)

**Krok \(1\).** Pytanie „która z równości ma dane rozwiązanie” nie wymaga rozwiązywania żadnego z równań. Wystarczy podstawić \(x=-2\) do kolejnych wzorów i sprawdzić, w którym równość jest prawdziwa. Trzeba tylko pamiętać o dziedzinie, gdy pojawi się ułamek. **Krok \(2\).** Odpowiedź A: \((-2)^2+4=4+4=8\). Otrzymujemy \(8\neq0\), więc \(-2\) nie jest rozwiązaniem. **Krok \(3\).** Odpowiedź B: \(\frac{-2+2}{2}=\frac{0}{2}=0\). Powinno wyjść \(1\), a wyszło \(0\), więc też nie. **Krok \(4\).** Odpowiedź C: mianownik \(x+2\) dla \(x=-2\) jest równy \(0\). Liczba \(-2\) nie należy do dziedziny tego równania, więc nie może być jego rozwiązaniem — nawet nie sprawdzamy licznika. **Krok \(5\).** Odpowiedź D: \[(-2)^2\cdot(-2+2)+2\cdot(-2+2)=4\cdot0+2\cdot0=0.\] Równość \(0=0\) jest prawdziwa, więc \(-2\) spełnia to równanie. **Krok \(6\).** Widać to też bez rachunków, jeśli wyłączyć wspólny czynnik: \[x^2(x+2)+2(x+2)=(x+2)(x^2+2),\] a nawias \(x+2\) zeruje się dokładnie dla \(x=-2\). **Uwaga.** Odpowiedź A bywa zaznaczana odruchowo, bo „\(x^2=-4\) daje \(x=-2\)” — to nieprawda: \((-2)^2=4\), a równanie \(x^2+4=0\) nie ma rozwiązań rzeczywistych. W odpowiedzi C licznik faktycznie nie jest zerem, ale rozstrzyga to, że zeruje się mianownik i wyrażenie traci sens. **Odpowiedź.** D: \(x^{2}(x+2)+2(x+2)=0\)

Zadanie 5. Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

**B.** \(1\)

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden jego czynnik jest zerem. Zatem \[x=0\quad\text{lub}\quad x=3\quad\text{lub}\quad x=-2.\] Suma wszystkich rozwiązań wynosi \[0+3+(-2)=1.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.7 korzystanie z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań.

\[x\in\{-1,0,1,2\}.\]

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zeru: \[x^2-1=0\quad\text{lub}\quad x^2-2x=0.\] Pierwsze równanie daje \[(x-1)(x+1)=0,\qquad x=1\quad\text{lub}\quad x=-1.\] Drugie równanie daje \[x(x-2)=0,\qquad x=0\quad\text{lub}\quad x=2.\] Zatem \(x\in\{-1,0,1,2\}\).

**2 pkt** – wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \(-1,0,1,2\) **1 pkt** – zapisanie dwóch równań \(x^2-1=0\), \(x^2-2x=0\) albo poprawne rozwiązanie jednego z nich **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.7 korzystanie z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań.

x∈{−\(3\),−\(2\),\(3\)}

**Krok \(1\).** pkt: rozkład czynników lub wyznaczenie części rozwiązań. **Krok \(2\).** pkt: x=−\(3\),−\(2\),\(3\). **Odpowiedź.** x∈{−\(3\),−\(2\),\(3\)}

1 pkt: rozkład czynników lub wyznaczenie części rozwiązań. 2 pkt: x=−3,−2,3.

Zadanie 30. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

A. \(-5\)

**Krok \(1\).** Lewa strona jest już rozłożona na czynniki, a pytanie brzmi tylko: która z czterech podanych liczb spełnia nierówność. Nie trzeba więc rozwiązywać nierówności — wystarczy dla każdego kandydata zbadać **znak** iloczynu, bez liczenia jego wartości. **Krok \(2\).** Najpierw upraszczamy sobie pracę. Czynnik \((x-2)^2\) jest kwadratem, więc dla \(x\neq2\) jest dodatni i nie wpływa na znak całości. O znaku decydują trzy czynniki: \(x-6\), \(x+4\), \(x+10\). Iloczyn jest dodatni, gdy liczba czynników ujemnych jest parzysta. **Krok \(3\).** Sprawdzamy \(x=-5\): \[x-6=-11\ (\text{minus}),\qquad x+4=-1\ (\text{minus}),\qquad x+10=5\ (\text{plus}).\] Dwa minusy, czyli parzyście — iloczyn tych trzech czynników jest dodatni. Kwadrat \((-5-2)^2=49\) też jest dodatni, więc całe wyrażenie jest większe od zera. Ta liczba spełnia nierówność. **Krok \(4\).** Dla porządku pozostałe liczby: - \(x=0\): \((-6)\cdot(+4)\cdot(+10)\) — jeden minus, iloczyn ujemny, - \(x=3\): \((-3)\cdot(+7)\cdot(+13)\) — jeden minus, iloczyn ujemny, - \(x=5\): \((-1)\cdot(+9)\cdot(+15)\) — jeden minus, iloczyn ujemny. **Krok \(5\).** Jedyną liczbą spełniającą nierówność jest więc \(-5\). **Uwaga.** Czynnik \((x-2)^2\) nigdy nie zmienia znaku iloczynu, ale zeruje go dla \(x=2\) — przy nierówności ostrej liczba \(2\) nie należy do zbioru rozwiązań. Traktowanie kwadratu jak zwykłego czynnika (zmieniającego znak) jest tu najczęstszym błędem. **Odpowiedź.** A: \(-5\)

Zadanie 3. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

\[x\in\{-1,2,5\}.\]

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru: \[x^3-8=0\qquad\text{lub}\qquad x^2-4x-5=0.\] Pierwsze równanie daje \(x=2\). Drugi trójmian rozkładamy na czynniki: \[x^2-4x-5=(x-5)(x+1),\] więc \(x=5\) lub \(x=-1\). Wszystkie rozwiązania to \(-1\), \(2\) i \(5\).

**2 pkt** – wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \(x=-1\), \(x=2\), \(x=5\) **1 pkt** – zapisanie równań \(x^3-8=0\) i \(x^2-4x-5=0\) albo poprawne rozwiązanie jednego z nich **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.7 korzystanie z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań wielomianowych.

\(x\in\{-4,1,4\}\)

**Krok \(1\).** Równanie ma postać iloczynu dwóch nawiasów przyrównanego do zera: \[(x^{2}-16)(x^{3}-1)=0.\] Nie mnożymy nawiasów przez siebie. Korzystamy z zasady: iloczyn jest zerem dokładnie wtedy, gdy zeruje się przynajmniej jeden czynnik. Rozbijamy więc zadanie na dwa prostsze równania. **Krok \(2\).** Pierwszy czynnik: \[x^{2}-16=0\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=16.\] Liczba podniesiona do kwadratu daje \(16\) w dwóch przypadkach, więc \[x=4\qquad\text{lub}\qquad x=-4.\] (To samo wyjdzie z rozkładu \(x^{2}-16=(x-4)(x+4)\).) **Krok \(3\).** Drugi czynnik: \[x^{3}-1=0\quad\Longrightarrow\quad x^{3}=1.\] Sześcian liczby ujemnej jest ujemny, a sześcian liczby większej od \(1\) jest większy od \(1\), więc jedyną liczbą rzeczywistą o sześcianie równym \(1\) jest \[x=1.\] **Krok \(4\).** Zbieramy wszystkie znalezione liczby: \[x=-4,\qquad x=1,\qquad x=4.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy każdą w wyjściowym równaniu: dla \(x=-4\) pierwszy nawias to \(16-16=0\); dla \(x=4\) tak samo; dla \(x=1\) drugi nawias to \(1-1=0\). W każdym przypadku iloczyn jest zerem. **Uwaga.** Warto zauważyć różnicę między potęgą parzystą a nieparzystą: równanie \(x^{2}=16\) ma **dwa** rozwiązania, a \(x^{3}=1\) tylko **jedno**. Dopisanie do rozwiązania liczby \(-1\) byłoby błędem, bo \((-1)^{3}=-1\). **Odpowiedź.** \(x\in\{-4,\,1,\,4\}\)

1 pkt: rozwiązanie jednego z równań czynnikowych. 2 pkt: wszystkie trzy rozwiązania.

Zadanie 26. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

**D.** \(-2\)

**Krok \(1\).** Pytanie brzmi: która z czterech podanych liczb spełnia nierówność \((4-x)(x+3)(x+4)\gt0\). Nie trzeba więc rozwiązywać całej nierówności — wystarczy podstawiać kolejne liczby i sprawdzać znak iloczynu. Co więcej, nie musimy nawet mnożyć: decyduje tylko to, ile czynników jest ujemnych. **Krok \(2\).** Sprawdzamy \(x=5\): \(4-5=-1\lt0\), \(5+3=8\gt0\), \(5+4=9\gt0\). Jeden czynnik ujemny, więc iloczyn jest ujemny (dokładnie \(-72\)). Ta liczba nie spełnia nierówności. **Krok \(3\).** Sprawdzamy \(x=16\): \(4-16=-12\lt0\), \(16+3=19\gt0\), \(16+4=20\gt0\). Znowu jeden czynnik ujemny — iloczyn ujemny. Odpada. **Krok \(4\).** Sprawdzamy \(x=-4\): trzeci czynnik to \(-4+4=0\), więc cały iloczyn jest równy \(0\). A zdanie \(0\gt0\) jest fałszywe, więc ta liczba też nie spełnia nierówności. **Krok \(5\).** Sprawdzamy \(x=-2\): \(4-(-2)=6\gt0\), \(-2+3=1\gt0\), \(-2+4=2\gt0\). Wszystkie trzy czynniki są dodatnie, zatem \[6\cdot1\cdot2=12\gt0.\] Ta liczba spełnia nierówność. **Uwaga.** Nierówność jest **ostra**, dlatego liczba \(-4\), która zeruje iloczyn, nie jest jej rozwiązaniem. Gdyby w zadaniu stało \(\geq0\), poprawne byłyby dwie odpowiedzi — to typowa pułapka. **Odpowiedź.** D: \(-2\)

Zadanie 3. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

Równanie jest równoważne równaniu \(\left(x^{4}-1\right)^{2}+(x-1)^{2}=0\). Suma dwóch kwadratów jest zerem tylko wtedy, gdy oba są zerami, a warunek \(x-1=0\) daje \(x=1\), który spełnia również \(x^{4}-1=0\). Zatem \(x=1\) jest jedynym rozwiązaniem rzeczywistym.

**Krok \(1\).** Równanie \(x^8+x^2=2(x^4+x-1)\) ma stopień \(8\) i nie ma sensu szukać dla niego wzorów. Skoro mamy wykazać, że rozwiązanie jest dokładnie jedno, naturalnym pomysłem jest przenieść wszystko na jedną stronę i spróbować zapisać otrzymane wyrażenie jako sumę kwadratów. Suma kwadratów zeruje się bowiem tylko wtedy, gdy każdy składnik jest zerem, a to od razu daje jedyność. **Krok \(2\).** Rozwijamy prawą stronę i przenosimy wszystko na lewo: \[x^8+x^2-2x^4-2x+2=0.\] **Krok \(3\).** Grupujemy wyrazy tak, aby powstały pełne kwadraty. Wyrazy \(x^8\), \(-2x^4\) proszą się o \(+1\), a wyrazy \(x^2\), \(-2x\) o drugie \(+1\). Na szczęście wyraz wolny jest równy \(2=1+1\): \[\left(x^8-2x^4+1\right)+\left(x^2-2x+1\right)=0.\] **Krok \(4\).** Rozpoznajemy oba nawiasy jako kwadraty różnicy, bo \(x^8=\left(x^4\right)^2\): \[\left(x^4-1\right)^2+(x-1)^2=0.\] **Krok \(5\).** Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, a suma dwóch liczb nieujemnych jest równa zeru tylko wtedy, gdy obie są zerami. Otrzymujemy więc układ warunków \[x^4-1=0\qquad\text{oraz}\qquad x-1=0.\] **Krok \(6\).** Drugi warunek ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=1\). Sprawdzamy, czy spełnia on także pierwszy warunek: \(1^4-1=0\). Spełnia. **Krok \(7\).** Zatem układ z kroku \(5\) ma dokładnie jedno rozwiązanie \(x=1\), a ponieważ przekształcenia były równoważne, wyjściowe równanie też ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste \(x=1\). To kończy dowód. **Uwaga.** Samo podstawienie \(x=1\) do równania i sprawdzenie, że wychodzi \(2=2\), dowodzi tylko tego, że \(1\) jest rozwiązaniem. Nie dowodzi, że nie ma innych. Cała siła tego rozwiązania tkwi w zapisie lewej strony jako sumy kwadratów, bo dopiero on wyklucza pozostałe liczby. **Odpowiedź.** Równanie jest równoważne równaniu \(\left(x^4-1\right)^2+(x-1)^2=0\), które ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste \(x=1\).

**1 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający zapisze równanie w postaci \((x^4-1)\) […]. **2 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający przeprowadzi pełne rozumowanie.

Klasyfikacja rzeczowa: przekształcanie równania wielomianowego do sumy kwadratów i wykazywanie jednoznaczności rozwiązania.

x ∈ {−\(8\), −\(5\), \(8\)}. Iloczyn jest równy zero, gdy \(x^{3}\) + \(125 = 0\) lub \(x^{2}\) − \(64 = 0\). Stąd odpowiednio x = −\(5\) oraz x = −\(8\) lub x = \(8\).

**Krok \(1\).** Zadanie \(27\). (\(0-2\)) **Krok \(2\).** \(3\). Równania i nierówności. Zdający korzysta z własności **Krok \(3\).** I. Wykorzystanie **Krok \(4\).** iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x(x + l)(x \(7\)) — O **Krok \(5\).** i tworzenie Informacji. **Krok \(6\).** (\(3\).\(7\)). **Krok \(7\).** Przykładowe rozwiązanie **Krok \(8\).** Lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników \(x^{3}\) +\(125\) oraz x \(2\) — \(64\). Zatem iloczyn **Odpowiedź.** x ∈ {−\(8\), −\(5\), \(8\)}. Iloczyn jest równy zero, gdy \(x^{3}\) + \(125 = 0\) lub \(x^{2}\) − \(64 = 0\). Stąd odpowiednio x = −\(5\) oraz x = −\(8\) lub x = \(8\).

**1 pkt** – gdy zdający zapisze dwa równania \(x^3+125=0\) i \(x^2-64=0\) lub wyznaczy poprawnie (lub poda) rozwiązania jednego z równań: \(x^3+125=0\) lub \(x^2-64=0\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – gdy zdający wyznaczy wszystkie rozwiązania równania: \(x=-5\), \(x=8\), \(x=-8\).

I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 3. Równania i nierówności. Zdający korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x(x + 1)(x − 7) = 0 (3.7).

x∈{−\(4\),−\(3\),\(4\)}

**Krok \(1\).** Równanie ma postać iloczynu dwóch czynników przyrównanego do zera: \[\left(x^3+27\right)\left(x^2-16\right)=0.\] Iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem — nic nie mnożymy i nic nie rozwijamy, tylko rozbijamy zadanie na dwa proste równania. **Krok \(2\).** Pierwszy czynnik: \[x^3+27=0,\qquad x^3=-27.\] **Krok \(3\).** Szukamy liczby, której sześcian wynosi \(-27\). Ponieważ \((-3)^3=-27\), mamy \(x=-3\) i jest to jedyne rozwiązanie tego równania (funkcja \(x\mapsto x^3\) jest różnowartościowa, więc nie ma drugiej takiej liczby). **Krok \(4\).** Drugi czynnik: \[x^2-16=0,\qquad x^2=16.\] **Krok \(5\).** Tu rozwiązania są dwa, bo kwadrat liczby i liczby do niej przeciwnej jest taki sam: \[x=4\qquad\text{lub}\qquad x=-4.\] (Można też rozłożyć: \(x^2-16=(x-4)(x+4)\).) **Krok \(6\).** Zbieramy wszystkie znalezione liczby — każda z nich zeruje przynajmniej jeden czynnik, więc każda spełnia równanie. **Uwaga.** Częsty błąd to potraktowanie obu czynników tak samo i napisanie \(x=\pm3\) w pierwszym albo tylko \(x=4\) w drugim. Przy nieparzystej potędze rozwiązanie jest jedno, przy parzystej — dwa (o ile prawa strona jest dodatnia). **Odpowiedź.** \(x=-4\), \(x=-3\) lub \(x=4\).

1 pkt: rozwiązanie jednego równania czynnikowego. 2 pkt: wszystkie rozwiązania.

Zadanie 27. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

**C.** dwa rozwiązania: \(x = 0 , x = 3\)

**Krok \(1\).** Po lewej stronie mamy iloczyn trzech czynników, a po prawej zero. Korzystamy z zasady: iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy **przynajmniej jeden** z czynników jest zerem. Rozbijamy więc zadanie na trzy proste równania. **Krok \(2\).** Pierwszy czynnik: \(x=0\). To już jest rozwiązanie. **Krok \(3\).** Drugi czynnik: \(x-3=0\), czyli \(x=3\). **Krok \(4\).** Trzeci czynnik: \(x^{2}+25=0\), czyli \(x^{2}=-25\). Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc to równanie **nie ma** rozwiązań. Inaczej: dla każdego \(x\) zachodzi \(x^{2}\geq0\), więc \(x^{2}+25\geq25 \gt 0\). **Krok \(5\).** Zbieramy: równanie ma dokładnie dwa rozwiązania, \(x=0\) oraz \(x=3\). **Uwaga.** Wyrażenie \(x^{2}+25\) to **suma** kwadratów i nie da się jej rozłożyć — liczby \(5\) i \(-5\) pojawiłyby się dopiero przy \(x^{2}-25\). Na tym oparte są nieprawdziwe odpowiedzi A i B. **Odpowiedź.** C: dwa rozwiązania, \(x=0\) i \(x=3\)

Zadanie 10. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

D. \(3\)

**Krok \(1\).** Zadanie \(6\). (\(0\)—\(1\)) **Krok \(2\).** \(3\). Równania i nierówności. Zdający sprawdza, Wersja Wersja **Krok \(3\).** I. Wykorzystanie **Krok \(4\).** czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem **Krok \(5\).** i tworzenie informacji. **Krok \(6\).** równania lub nierówności (\(3\). l). **Krok \(7\).** Strona \(2\) z \(24\) **Odpowiedź.** D. \(3\)

**1 pkt** – Wersja: \(D\); Wersja: \(C\).

Zadanie 6. (0−1) Wersja Wersja 3. Równania i nierówności. Zdający sprawdza, I. Wykorzystanie I II czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem i tworzenie informacji. równania lub nierówności (3.1). D C

C. dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste

Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem: \[x=0\qquad\text{lub}\qquad x^{2}-4=0\qquad\text{lub}\qquad x^{2}+4=0.\] Z drugiego równania \(x=2\) lub \(x=-2\). Trzecie równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, bo \(x^{2}+4\ge4>0\) dla każdego \(x\). Rozwiązaniami są więc trzy liczby: \(-2\), \(0\) i \(2\). **Odpowiedź.** C

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 8. (0−1) Wersja Wersja 3. Równania i nierówności. Zdający korzysta I. Wykorzystanie I II z własności iloczynu przy rozwiązywaniu i tworzenie informacji. równań typu x(x + 1)(x – 7) = 0 (3.7). C A

\[x\in\left\{-\sqrt6,-\frac23,\sqrt6\right\}.\]

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru: \[x^2-6=0\qquad\text{lub}\qquad3x+2=0.\] Pierwsze równanie daje \(x=\pm\sqrt6\), a drugie \(x=-\frac23\). Zatem \[x\in\left\{-\sqrt6,-\frac23,\sqrt6\right\}.\]

**2 pkt** – bezbłędne wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \(x=-\sqrt6\), \(x=-\frac23\), \(x=\sqrt6\) **1 pkt** – zapisanie równań \(x^2-6=0\) lub \(3x+2=0\), wyznaczenie \(x=-\frac23\) albo wyznaczenie obu pierwiastków równania \(x^2-6=0\), a następnie zakończenie lub dalsze błędy **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Klasyfikacja CKE:** równania wielomianowe - zasada iloczynu równego zeru i różnica kwadratów.

C

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy postać równania: lewa strona jest już rozłożona na czynniki, a prawa to zero. Równanie \[(x-8)\left(x^{2}-4\right)\left(x^{2}+16\right)=0\] rozwiązujemy więc, przyrównując do zera **każdy** czynnik osobno — iloczyn jest zerem dokładnie wtedy, gdy któryś z czynników jest zerem. **Krok \(2\).** Pierwszy czynnik: \(x-8=0\), czyli \(x=8\). **Krok \(3\).** Drugi czynnik: \(x^{2}-4=0\), czyli \(x^{2}=4\). Stąd \(x=2\) lub \(x=-2\) (pamiętamy o obu znakach). **Krok \(4\).** Trzeci czynnik: \(x^{2}+16=0\), czyli \(x^{2}=-16\). Kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny, więc ten czynnik **nie daje żadnego rozwiązania**. **Krok \(5\).** Zbieramy wszystkie rozwiązania: \(x\in\{-2,\;2,\;8\}\). Największa z nich to \(8\), najmniejsza to \(-2\). **Krok \(6\).** Liczymy żądaną sumę: \[8+(-2)=6.\] **Uwaga.** Czynnika \(x^{2}+16\) nie wolno traktować jak różnicy kwadratów i dopisywać pierwiastków \(x=\pm4\); sprawdzenie: \(4^{2}+16=32\), a nie \(0\). Uważaj też, że najmniejszym rozwiązaniem jest \(-2\), a nie \(2\) — liczba ujemna jest mniejsza od dodatniej. **Odpowiedź.** C: \(6\)

Zadanie 7. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

**C.** \(2\)

Dla \(x=2\) lewa strona nierówności jest równa \[-2^5+2^3-2=-32+8-2=-26<-2.\]

**1 pkt** – odpowiedź C **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** nierówności - sprawdzanie, czy liczba spełnia nierówność wielomianową.

\[x\in\{-5,3,4\}.\]

Iloczyn jest równy zeru, gdy \[4-x=0\qquad\text{lub}\qquad x^2+2x-15=0.\] Ponieważ \(x^2+2x-15=(x+5)(x-3)\), otrzymujemy \(x=4\), \(x=-5\) lub \(x=3\).

**2 pkt** – bezbłędne wyznaczenie wszystkich rozwiązań \(-5,3,4\) **1 pkt** – zapisanie obu równań składowych, wyznaczenie \(x=4\) albo co najmniej jednego pierwiastka trójmianu **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.7 własność iloczynu przy rozwiązywaniu równań.

**A.** \(K=[-3,0]\cup[3,+\infty)\)

Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne: \[x(x^2-9)=x(x-3)(x+3)\geq0.\] Punkty zmiany znaku to \(-3\), \(0\) i \(3\). Analiza znaków daje \(x\in[-3,0]\cup[3,+\infty)\).

**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** liczby rzeczywiste i nierówności - dziedzina pierwiastka oraz analiza znaku wielomianu.

**D.** \(2\).

Z własności iloczynu otrzymujemy rozwiązania \[x=0,\quad x=-5,\quad x=\frac32,\quad x=\pm\sqrt7.\] Niewymierne są tylko \(\sqrt7\) i \(-\sqrt7\), zatem są dwa takie rozwiązania.

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności, własność iloczynu oraz liczby niewymierne.

\[x=0.\]

Z własności iloczynu mamy \(x=0\) albo \[x^2-2x+3=0.\] Dla drugiego równania \[\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot3=-8<0,\] więc nie ma ono rozwiązań rzeczywistych. Jedynym rozwiązaniem równania jest \(x=0\).

**1 pkt** – wskazanie rozwiązania \(x=0\) **2 pkt** – dodatkowe uzasadnienie, że trójmian \(x^2-2x+3\) nie ma pierwiastków rzeczywistych **0 pkt** – rozwiązanie bez poprawnego postępu

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności, równanie iloczynowe i równanie kwadratowe.

**C.** \(1\).

Z własności iloczynu pierwiastkami równania są \[x=-3,\qquad x=-7,\qquad x=11.\] Ich suma wynosi \(-3-7+11=1\).

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.7 zdający korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań.

**B.** \(x=-2\).

Po rozwinięciu lewej strony \[x^3+x^2=x^2-8.\] Odejmujemy \(x^2\) od obu stron i otrzymujemy \(x^3=-8\), zatem \(x=-2\).

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności, równanie wielomianowe.

**C.** \(-\frac12,2,5\)

Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się co najmniej jeden czynnik: \[x^3-8=0\quad\text{lub}\quad x-5=0\quad\text{lub}\quad 2x+1=0.\] Z pierwszego równania \(x^3=8\), a jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest \(x=2\). Z drugiego \(x=5\), z trzeciego \(x=-\frac12\). **Odpowiedź.** C. \(-\frac12,\,2,\,5\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 3.7, 3.6) Zdający korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań; korzysta z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu \(x^3=a\).

\[x\in\left\{-2,-\frac23,\frac23\right\}.\]

Grupujemy wyrazy: \[9x^3+18x^2-4x-8=9x^2(x+2)-4(x+2).\] Wyłączamy wspólny czynnik: \[(x+2)(9x^2-4)=0.\] Korzystając z różnicy kwadratów, otrzymujemy \[(x+2)(3x-2)(3x+2)=0.\] Zatem \[x=-2\quad\text{lub}\quad x=-\frac23\quad\text{lub}\quad x=\frac23.\]

**2 pkt** – wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \(-2,-\frac23,\frac23\) **1 pkt** – poprawny rozkład lewej strony na czynniki, np. \((x+2)(9x^2-4)\), bez pełnego poprawnego wyniku **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** Rozwiązywanie równań wielomianowych metodą rozkładu na czynniki (I.3.d).

\(x\in\{-\sqrt{11},\ \sqrt{11},\ 6\}\)

**Krok \(1\).** Mamy równanie wielomianowe stopnia trzeciego. Na poziomie podstawowym rozwiązuje się je przez rozkład na czynniki, a najczęściej działa metoda grupowania: łączymy wyrazy w pary tak, aby z każdej pary wyszedł ten sam nawias. Podpowiedzią jest to, że \(66=6\cdot 11\), a przy \(x^{2}\) stoi \(-6\). **Krok \(2\).** Grupujemy pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy: \[x^{3}-6x^{2}-11x+66=\left(x^{3}-6x^{2}\right)+\left(-11x+66\right).\] **Krok \(3\).** Z pierwszej pary wyłączamy \(x^{2}\), z drugiej \(-11\): \[x^{2}(x-6)-11(x-6).\] Pojawił się wspólny nawias \((x-6)\) — to znak, że grupowanie wykonaliśmy dobrze. **Krok \(4\).** Wyłączamy \((x-6)\) przed nawias i zapisujemy równanie w postaci iloczynowej: \[(x-6)\left(x^{2}-11\right)=0.\] **Krok \(5\).** Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy któryś z czynników jest zerem: \[x-6=0\qquad\text{lub}\qquad x^{2}-11=0.\] **Krok \(6\).** Z pierwszego równania \(x=6\). Drugie zapisujemy jako \(x^{2}=11\), skąd \[x=\sqrt{11}\qquad\text{lub}\qquad x=-\sqrt{11}.\] **Krok \(7\).** Zbieramy wszystkie rozwiązania: \(-\sqrt{11}\), \(\sqrt{11}\) oraz \(6\). **Uwaga.** Z równania \(x^{2}=11\) wychodzą dwa rozwiązania — najczęstszy błąd polega na zapisaniu tylko \(x=\sqrt{11}\) i zgubieniu liczby przeciwnej. Liczba \(\sqrt{11}\) nie upraszcza się i tak zostaje w odpowiedzi (dla orientacji \(\sqrt{11}\approx 3{,}32\)). **Odpowiedź.** \(x\in\{-\sqrt{11},\ \sqrt{11},\ 6\}\)

1 pkt: rozkład (x−6)(x²−11)=0. 2 pkt: wszystkie trzy rozwiązania.

Zadanie 27. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

\(x=-1\), \(x=1\) lub \(x=\frac{4}{3}\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ równania: to równanie wielomianowe stopnia trzeciego zapisane jako suma czterech jednomianów. Nie ma tu wzoru na pierwiastki takiego równania, więc stosujemy standardową metodę dla czterech składników — **grupowanie wyrazów parami** i wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias. **Krok \(2\).** Grupujemy pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy: \[3x^{3}-4x^{2}-3x+4=\left(3x^{3}-4x^{2}\right)+\left(-3x+4\right).\] **Krok \(3\).** Z pierwszej pary wyłączamy \(x^{2}\): \[3x^{3}-4x^{2}=x^{2}(3x-4).\] **Krok \(4\).** Z drugiej pary chcemy dostać ten sam nawias \((3x-4)\), więc wyłączamy \(-1\): \[-3x+4=-(3x-4).\] **Krok \(5\).** Teraz wspólnym czynnikiem jest \((3x-4)\): \[x^{2}(3x-4)-(3x-4)=(3x-4)\left(x^{2}-1\right).\] **Krok \(6\).** Drugi nawias rozkładamy wzorem na różnicę kwadratów \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\): \[x^{2}-1=(x-1)(x+1).\] Równanie przyjmuje postać \[(3x-4)(x-1)(x+1)=0.\] **Krok \(7\).** Iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem: \[3x-4=0\quad\text{lub}\quad x-1=0\quad\text{lub}\quad x+1=0.\] **Krok \(8\).** Rozwiązujemy każde z tych równań: \(3x=4\), czyli \(x=\frac43\); dalej \(x=1\) oraz \(x=-1\). **Uwaga.** Nie wolno tu skracać ani dzielić przez \(x\) czy przez \((3x-4)\) — dzieląc przez wyrażenie z niewiadomą, gubi się część rozwiązań. Rozkład na czynniki i przyrównanie każdego z nich do zera daje komplet pierwiastków. **Odpowiedź.** \(x=-1\), \(x=1\) lub \(x=\frac43\)

1 pkt: rozkład (3x−4)(x²−1)=0. 2 pkt: wszystkie trzy rozwiązania.

Zadanie 27. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

C. \(2\)

Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się co najmniej jeden czynnik. Z \(x+1=0\) otrzymujemy \(x=-1\), z \(x+2=0\) otrzymujemy \(x=-2\). Czynnik \(x^{2}+3\) jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej, bo \(x^{2}\ge0\), więc nie ma pierwiastków rzeczywistych. **Odpowiedź.** Równanie ma \(2\) rozwiązania rzeczywiste, czyli odpowiedź **C**.

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Rozwiązanie równania wielomianowego (I.3.d).

\(x^{3}\) + \(2\)\(x^{2}\) − \(8x\) − \(16\) = \(x^{2}\)(x + \(2\)) − \(8\)(x + \(2\)) = (x + \(2\))(\(x^{2}\) − \(8\)). Stąd x = −\(2\) lub \(x^{2}\) = \(8\), czyli x ∈ {−\(2\), −\(2\sqrt{2}\), \(2\sqrt{2}\)}.

**Krok \(1\).** pkt: poprawne zapisanie lewej strony w postaci iloczynu, np. (x + \(2\))(\(x^{2}\) − \(8\)), lub poprawne podzielenie wielomianu przez x + \(2\). **Krok \(2\).** pkt: bezbłędne wyznaczenie wszystkich rozwiązań: −\(2\), −\(2\sqrt{2}\), \(2\sqrt{2}\). **Odpowiedź.** \(x^{3}\) + \(2\)\(x^{2}\) − \(8x\) − \(16\) = \(x^{2}\)(x + \(2\)) − \(8\)(x + \(2\)) = (x + \(2\))(\(x^{2}\) − \(8\)). Stąd x = −\(2\) lub \(x^{2}\) = \(8\), czyli x ∈ {−\(2\), −\(2\sqrt{2}\), \(2\sqrt{2}\)}.

1 pkt: poprawne zapisanie lewej strony w postaci iloczynu, np. (x + 2)(x² − 8), lub poprawne podzielenie wielomianu przez x + 2. 2 pkt: bezbłędne wyznaczenie wszystkich rozwiązań: −2, −2√2, 2√2.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Rozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu na czynniki (II.3.d).

\(x=-2\sqrt3\), \(x=2\sqrt3\) lub \(x=6\)

**Krok \(1\).** Mamy równanie stopnia trzeciego z czterema wyrazami. Na poziomie podstawowym nie ma gotowego wzoru na pierwiastki takiego równania, więc rozkładamy lewą stronę na czynniki. Cztery wyrazy to sygnał, żeby spróbować metody grupowania. **Krok \(2\).** Grupujemy wyrazy parami — dwa pierwsze i dwa ostatnie: \[(x^3-6x^2)+(-12x+72)=0.\] **Krok \(3\).** Z pierwszej pary wyłączamy przed nawias \(x^2\): \[x^3-6x^2=x^2(x-6).\] **Krok \(4\).** Z drugiej pary wyłączamy \(-12\) — tak dobieramy czynnik, aby w nawiasie powstało to samo, co poprzednio: \[-12x+72=-12(x-6).\] **Krok \(5\).** Teraz oba składniki mają wspólny nawias \((x-6)\), więc wyłączamy go przed nawias: \[x^2(x-6)-12(x-6)=(x-6)(x^2-12)=0.\] **Krok \(6\).** Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się któryś z czynników: \[x-6=0\quad\text{lub}\quad x^2-12=0.\] **Krok \(7\).** Z pierwszego równania \(x=6\). Z drugiego \(x^2=12\), czyli \(x=\sqrt{12}\) lub \(x=-\sqrt{12}\). **Krok \(8\).** Upraszczamy pierwiastek, wyłączając kwadrat spod znaku: \[\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt4\cdot\sqrt3=2\sqrt3.\] Zatem \(x=2\sqrt3\) lub \(x=-2\sqrt3\). **Uwaga.** Równanie \(x^2=12\) ma dwa rozwiązania — nie wolno zapomnieć o ujemnym. Pominięcie \(-2\sqrt3\) oznacza utratę punktu, mimo że rozkład na czynniki był poprawny. **Odpowiedź.** \(x=-2\sqrt3\), \(x=2\sqrt3\) lub \(x=6\)

1 pkt: rozkład (x−6)(x²−12)=0. 2 pkt: wszystkie trzy rozwiązania.

Zadanie 27. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

**A.** dwa rozwiązania: \(x=-5\), \(x=3\).

Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się co najmniej jeden czynnik. Z \(x+5=0\) otrzymujemy \(x=-5\), z \(x-3=0\) otrzymujemy \(x=3\). Czynnik \(x^{2}+1\) jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej, więc nie daje żadnego rozwiązania. **Odpowiedź.** Dwa rozwiązania: \(x=-5\) i \(x=3\), czyli odpowiedź **A**.

Zadanie 3. (0–1) Wykorzystanie Odczytanie z postaci iloczynowej i interpretowanie informacji równania wielomianowego jego A rozwiązań (I.3.d)

\[x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle1,+\infty).\]

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę: \[x^{4}+x^{2}-2x\ge0.\] Wyłączamy \(x\) przed nawias: \[x\left(x^{3}+x-2\right)\ge0.\] Liczba \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(x^{3}+x-2\), bo \(1+1-2=0\), więc \[x^{3}+x-2=(x-1)\left(x^{2}+x+2\right).\] Trójmian \(x^{2}+x+2\) ma wyróżnik \(\Delta=1-8=-7<0\) i dodatni współczynnik przy \(x^{2}\), więc jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej. Dzielenie przez niego nie zmienia znaku nierówności, która sprowadza się do \[x(x-1)\ge0.\] Parabola \(y=x(x-1)\) ma miejsca zerowe \(0\) i \(1\) oraz ramiona skierowane do góry, więc przyjmuje wartości nieujemne poza przedziałem między nimi. **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle1,+\infty)\).

*Schemat oceniania I sposobu rozwiązania* **1 pkt** – zapisanie wielomianu \(x^{4}+x^{2}-2x\) w postaci iloczynu, w którym jednym z czynników jest \(x\) lub \([\ldots]\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zapisanie nierówności w postaci iloczynu czynników stopnia co najwyżej drugiego, np. \(x(x-1)\left(x^{2}+x+2\right)\ge 0\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zauważenie, że rozwiązanie nierówności \(x^{4}+x^{2}\ge 2x\) jest jednocześnie rozwiązaniem nierówności kwadratowej \(x(x-1)\ge 0\); albo narysowanie i uzupełnienie tabeli znaków lub sporządzenie szkicu wykresu wielomianu z uwzględnieniem jego miejsc zerowych. **Rozwiązanie pełne** – zapisanie zbioru rozwiązań nierówności \(x^{4}+x^{2}\ge 2x\): \(x\in\left(-\infty,0\right\rangle\cup\left\langle 1,+\infty\right)\). Uwaga: jeśli zdający podzieli nierówność przez \(x\) lub \(x-1\), bez rozpatrzenia odpowiednich przypadków, to za całe rozwiązanie otrzymuje \(0\) punktów. *Schemat oceniania II sposobu rozwiązania* Zdający otrzymuje po \(1\) punkcie za rozwiązanie nierówności w każdym z trzech przedziałów. Czwarty punkt zdający otrzymuje za podanie odpowiedzi końcowej.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie nierówności wielomianowej. (IV.3.c.R)

W(x) = \(x^{3}\) + \(4\)\(x^{2}\) − \(9x\) − \(36\) = \(x^{2}\)(x + \(4\)) − \(9\)(x + \(4\)) = (x + \(4\))(\(x^{2}\) − \(9\)) = (x + \(4\))(x − \(3\))(x + \(3\)). Trzecim pierwiastkiem jest x = −\(3\).

**Krok \(1\).** pkt: poprawne zapisanie wielomianu w postaci iloczynu z podanymi pierwiastkami albo wykonanie poprawnego dzielenia; sama poprawna odpowiedź bez obliczeń także \(1\) pkt. **Krok \(2\).** pkt: bezbłędne obliczenie trzeciego pierwiastka x = −\(3\). **Odpowiedź.** W(x) = \(x^{3}\) + \(4\)\(x^{2}\) − \(9x\) − \(36\) = \(x^{2}\)(x + \(4\)) − \(9\)(x + \(4\)) = (x + \(4\))(\(x^{2}\) − \(9\)) = (x + \(4\))(x − \(3\))(x + \(3\)). Trzecim pierwiastkiem jest x = −\(3\).

1 pkt: poprawne zapisanie wielomianu w postaci iloczynu z podanymi pierwiastkami albo wykonanie poprawnego dzielenia; sama poprawna odpowiedź bez obliczeń także 1 pkt. 2 pkt: bezbłędne obliczenie trzeciego pierwiastka x = −3.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Rozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu na czynniki (II.3.d).

\(x\in\{-3,\ 3,\ 6\}\)

**Krok \(1\).** To równanie wielomianowe trzeciego stopnia — nie ma na nie gotowego wzoru w tablicach. Standardowa metoda w takiej sytuacji to rozkład lewej strony na czynniki przez grupowanie wyrazów. **Krok \(2\).** Grupujemy wyrazy dwójkami: \[\left(x^3-6x^2\right)+\left(-9x+54\right)=0.\] **Krok \(3\).** Z pierwszej pary wyłączamy \(x^2\), z drugiej \(-9\): \[x^2(x-6)-9(x-6)=0.\] Zwróć uwagę, że z drugiej pary wyłączamy \(-9\), a nie \(9\) — tylko wtedy w nawiasie zostanie \(x-6\), czyli to samo co w pierwszej parze. **Krok \(4\).** Teraz wspólnym czynnikiem jest \(x-6\), więc wyłączamy go przed nawias: \[(x-6)\left(x^2-9\right)=0.\] **Krok \(5\).** Drugi nawias to różnica kwadratów: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Otrzymujemy \[(x-6)(x-3)(x+3)=0.\] **Krok \(6\).** Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem: \[x-6=0\qquad\text{lub}\qquad x-3=0\qquad\text{lub}\qquad x+3=0,\] czyli \(x=6\) lub \(x=3\) lub \(x=-3\). **Krok \(7\).** Sprawdzenie dla \(x=-3\): \[(-3)^3-6\cdot(-3)^2-9\cdot(-3)+54=-27-54+27+54=0.\] **Uwaga.** Z rozkładu \(x^2-9\) wychodzą **dwa** rozwiązania: \(3\) i \(-3\). Zatrzymanie się na \(x^2=9\) i zapisanie tylko \(x=3\) gubi jedno rozwiązanie. **Odpowiedź.** \(x=-3\) lub \(x=3\) lub \(x=6\).

1 pkt: rozkład (x−3)(x+3)(x−6)=0. 2 pkt: wszystkie trzy rozwiązania.

Zadanie 27. (0–2) Rozwiąż równanie x3  6x2  9x  54  0 . Wykorzystanie Rozwiązuje równanie wielomianowe. i interpretowanie reprezentacji Schemat oceniania Zdający otrzymuje ..............................................................................................................1 pkt gdy:  przedstawi lewą stronę równania w postaci iloczynu  x2  9   x  6 lub  x  3  x  3  x  6 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy albo  sprawdzi, że liczba 3 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian x3  6x2  9x  54 przez dwumian  x  3 i otrzyma  x2  9x  18  i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo  sprawdzi, że liczba 3 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian x3  6x2  9x  54 przez dwumian  x  3 i otrzyma  x2  3x 18  i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo  sprawdzi, że liczba 6 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian x3  6x2  9x  54 przez dwumian  x  6 i otrzyma  x2  9  i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje ..............................................................................................................2 pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x  3, x  3, x  6 .

\[x=-\sqrt3,\qquad x=\sqrt3,\qquad x=4.\]

Grupujemy wyrazy wielomianu i wyłączamy wspólne czynniki: \[x^3-4x^2-3x+12=x^{2}(x-4)-3(x-4)=(x-4)\left(x^{2}-3\right).\] Drugi czynnik rozkładamy jako różnicę kwadratów: \[x^{2}-3=\left(x-\sqrt3\right)\left(x+\sqrt3\right).\] Zatem \[(x-4)\left(x-\sqrt3\right)\left(x+\sqrt3\right)=0.\] Iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy zeruje się jeden z czynników, więc \[x=4\quad\text{lub}\quad x=\sqrt3\quad\text{lub}\quad x=-\sqrt3.\] **Odpowiedź.** \(x=-\sqrt3\), \(x=\sqrt3\), \(x=4\)

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i podanie wszystkich trzech rozwiązań: \(-\sqrt3\), \(\sqrt3\), \(4\) **Uwaga:** Centralna Komisja Egzaminacyjna nie opublikowała dla tego arkusza pokazowego schematu oceniania z progami cząstkowymi. Podana punktacja całkowita pochodzi z arkusza.

**Sprawdzana umiejętność:** rozwiązywanie równania wielomianowego przez grupowanie wyrazów i rozkład na czynniki, w tym z wykorzystaniem wzoru na różnicę kwadratów.

\(x=12\)

Grupujemy wyrazy wielomianu i wyłączamy wspólne czynniki: \[x^3-12x^2+x-12=x^{2}(x-12)+(x-12)=(x-12)\left(x^{2}+1\right).\] Iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy zeruje się jeden z czynników. Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) mamy \(x^{2}\geq0\), więc \[x^{2}+1\geq1>0\] i drugi czynnik nigdy się nie zeruje. Pozostaje \[x-12=0,\qquad x=12.\] **Odpowiedź.** \(x=12\)

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody, poprawny wynik \(x=12\) oraz uzasadnienie, że czynnik \(x^{2}+1\) nie ma pierwiastków rzeczywistych **Uwaga:** Centralna Komisja Egzaminacyjna nie opublikowała dla tego arkusza pokazowego schematu oceniania z progami cząstkowymi. Podana punktacja całkowita pochodzi z arkusza.

**Sprawdzana umiejętność:** rozwiązywanie równania wielomianowego przez grupowanie wyrazów oraz uzasadnianie, że czynnik kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych.

x ∈ {−\(2\), −√\(5\), √\(5\)}

Wyjaśnienie: Krok \(1\). Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej. \[x^3+2x^2-5x-10=0 \\ x^2(x+2)-5(x-2)=0 \\ (x+2)(x^2-5)=0\] Krok \(2\). Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej. Korzystając z postaci iloczynowej szukamy rozwiązań tej równości, przyrównując wartości w nawiasach do zera. Pamiętaj, że z równanie \(x^2-5=0\) będzie mieć dwa rozwiązania - jedno dodatnie, a drugie ujemne. \[x+2=0 \quad\lor\quad x^2-5=0 \\ x=-2 \quad\lor\quad x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5}\]

Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie: 0 pkt • Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania. 1 pkt • Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.). 2 pkt • Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje równanie wielomianowe przez rozkład na czynniki.

**B.** \(2\)

**Krok \(1\).** W równaniu występuje tylko jedna potęga niewiadomej, i to parzysta. Takie równanie rozwiązujemy, wyznaczając najpierw \(x^{4}\), a potem pamiętając, że parzysta potęga daje parę liczb przeciwnych. **Krok \(2\).** Przenosimy wyraz wolny i dzielimy przez \(5\): \[5x^{4}=13,\qquad x^{4}=\frac{13}{5}.\] **Krok \(3\).** Po prawej stronie stoi liczba dodatnia, więc rozwiązania istnieją. Gdyby wyszła liczba ujemna, równanie nie miałoby rozwiązań rzeczywistych, bo czwarta potęga liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemna. **Krok \(4\).** Rozwiązujemy \(x^{4}=\frac{13}{5}\). Liczby przeciwne mają równe czwarte potęgi, więc otrzymujemy dwie liczby: \[x=\sqrt[4]{\frac{13}{5}}\qquad\text{lub}\qquad x=-\sqrt[4]{\frac{13}{5}}.\] **Krok \(5\).** Można to zobaczyć też przez podstawienie \(t=x^{2}\): równanie \(5t^{2}=13\) daje \(t^{2}=\frac{13}{5}\), a ponieważ \(t=x^{2}\geqslant 0\), zostaje jedno dopuszczalne \(t=\sqrt{\frac{13}{5}}\). Z równania \(x^{2}=\sqrt{\frac{13}{5}}\) wychodzą dokładnie dwie liczby przeciwne. **Krok \(6\).** Rozwiązań rzeczywistych jest zatem dwa. **Uwaga.** Nie trzeba obliczać wartości pierwiastka — pytanie dotyczy liczby rozwiązań, a nie ich wartości. Warto natomiast zapamiętać schemat: dla \(a\gt 0\) równanie \(x^{4}=a\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste, dla \(a=0\) jedno, a dla \(a\lt 0\) nie ma żadnego. **Odpowiedź.** B. \(2\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: B.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Równania i nierówności.

\(x=\frac12\) lub \(x=-\sqrt3\), lub \(x=\sqrt3\).

Lewa strona rozkłada się na czynniki przez grupowanie: \[2x^3-x^2-6x+3=x^2(2x-1)-3(2x-1)=(2x-1)(x^2-3).\] Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się jeden z czynników: \[2x-1=0\quad\text{lub}\quad x^2-3=0,\] czyli \(x=\frac12\) albo \(x=-\sqrt3\), albo \(x=\sqrt3\). Sprawdzenie dla \(x=\sqrt3\): \(2\cdot3\sqrt3-3-6\sqrt3+3=6\sqrt3-6\sqrt3=0\). **Odpowiedź.** \(x=\frac12\) lub \(x=-\sqrt3\), lub \(x=\sqrt3\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(x=\frac12\) lub \(x=-\sqrt3\), lub \(x=\sqrt3\). Uwaga redakcyjna: w zastanym zapisie pierwiastki podano jako \(3\) i \(-3\) — ekstrakcja PDF zgubiła symbol \(\sqrt{\ }\). Liczba \(3\) nie spełnia równania, bo \(2\cdot27-9-18+3=30\neq0\).

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Równania i nierówności.

\(x=-2\) lub \(x=-\sqrt5\), lub \(x=\sqrt5\).

**Krok \(1\).** Mamy równanie z wielomianem trzeciego stopnia. Nie ma tu prostego wzoru na pierwiastki, więc trzeba rozłożyć lewą stronę na czynniki. Wskazówką jest układ współczynników: \(1\) i \(2\) w pierwszej parze wyrazów oraz \(-5\) i \(-10\) w drugiej są w tej samej proporcji, co zapowiada skuteczne grupowanie wyrazów. **Krok \(2\).** Grupujemy pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy: \[x^3+2x^2-5x-10=\left(x^3+2x^2\right)-\left(5x+10\right).\] **Krok \(3\).** Z każdej grupy wyłączamy wspólny czynnik: \[x^2(x+2)-5(x+2).\] **Krok \(4\).** Teraz wspólnym czynnikiem jest \((x+2)\): \[(x+2)\left(x^2-5\right)=0.\] **Krok \(5\).** Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem: \[x+2=0\qquad\text{lub}\qquad x^2-5=0.\] **Krok \(6\).** Z pierwszego równania \(x=-2\). Z drugiego \(x^2=5\), czyli \[x=\sqrt5\qquad\text{lub}\qquad x=-\sqrt5.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie dla \(x=-2\): \((-2)^3+2\cdot(-2)^2-5\cdot(-2)-10=-8+8+10-10=0\). Zgadza się. **Uwaga.** Równanie \(x^2=5\) ma dwa rozwiązania, a nie jedno — łatwo zapomnieć o \(-\sqrt5\). Warto też zauważyć, że \(-\sqrt5\approx-2{,}24\), więc wszystkie trzy pierwiastki są różne. **Odpowiedź.** \(x=-\sqrt5\), \(x=-2\) lub \(x=\sqrt5\).

Zadanie 27. (2 pkt) Rozwiąż równanie x 3 + 212 —51—10 = O I sposób rozwiązania (metoda grupowania) Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej stosując metodę grupowania wyrazów Stąd x = —2 lub x = —43 lub x Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt gdy: • poda poprawną postać iloczynową wielomianu po lewej stronie równania (x + —5) = O lub = O i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo • zapisze postać iloczynową z błędem (o ile otrzymany wielomian jest stopnia trzeciego i ma trzy różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu poda rozwiązania równania. Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania: —4Š —2, «./Š II sposób rozwiązania (metoda dzielenia) Stwierdzamy, że liczba —2 jest pierwiastkiem wielomianu. Dzielimy wielomian + 2x2 —51 10 przez dwumłan x +2 i otrzymujemy x2 —5. Zapisujemy równanie w postaci Stąd x = —2 lub x lub x =N/Š Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje gdy ...1 pkt • podzieli wielomian + 2x2 —51 10 przez dwumian x +2 otrzymując x2 —5 ina tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo • podzieli wielomian z błędem (o ile otrzymany iloraz jest stopnia drugiego i ma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu poda rozwiązanie równama. Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania: —43 —2 Uwaga: l. Jeżeli zdający zapisze x(x2 —5) 2(x2 (brak znaku przed liczbą 2) lub x2 (x+ 2) (brak znaku przed liczbą 5) i na tym zakończy, to otrzymuje O punktów. Jeżeli natomiast kontynuuje rozwiązanie i zapisze (x — 5) = 0, to oceniamy to rozwiązanie tak, jakby ten błąd nie wystąpił. 2. Jeśli zdający wykonał dzielenie przez dwumian x — p nie zapisując, że p jest jednym z rozwiązań równania x3 + 2x2 —51—10 = O i w końcowej odpowiedzi pominie pierwiastek p podając tylko pierwiastki trójmianu kwadratowego, to przyznajemy 2 punkty.

Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.

\[x\in\{-2,2,7\}.\]

Grupujemy wyrazy parami i wyłączamy wspólne czynniki: \[x^{3}-7x^{2}-4x+28=x^{2}(x-7)-4(x-7)=(x-7)\left(x^{2}-4\right).\] Do drugiego czynnika stosujemy wzór na różnicę kwadratów: \[(x-7)(x-2)(x+2)=0.\] Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się jeden z czynników, więc \[x=7\quad\text{lub}\quad x=2\quad\text{lub}\quad x=-2.\] **Odpowiedź.** \(x\in\{-2,2,7\}\).

1 pkt: pogrupowanie wyrazów do postaci prowadzącej do rozkładu na czynniki albo poprawne podzielenie wielomianu przez jeden z dwumianów x − 2, x + 2 lub x − 7. 2 pkt: wyznaczenie wszystkich rozwiązań: −2, 2 i 7.

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Rozwiązanie równania wielomianowego.

x = \(3\)

**Krok \(1\).** Mamy równanie wielomianowe stopnia trzeciego. Nie ma wzoru na pierwiastki takiego równania, więc jedyna droga to rozłożyć lewą stronę na czynniki. Cztery wyrazy o parami wspólnych czynnikach to sygnał, że zadziała metoda grupowania wyrazów. **Krok \(2\).** Grupujemy wyrazy dwójkami — pierwszy z drugim, trzeci z czwartym: \[(x^3-3x^2)+(2x-6)=0.\] **Krok \(3\).** Z każdej pary wyłączamy wspólny czynnik: \[x^2(x-3)+2(x-3)=0.\] W obu składnikach pojawił się ten sam nawias \((x-3)\) — to znak, że grupowanie było dobrane trafnie. **Krok \(4\).** Wyłączamy \((x-3)\) przed nawias: \[(x-3)\left(x^2+2\right)=0.\] **Krok \(5\).** Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy któryś z czynników jest zerem: \[x-3=0\qquad\text{lub}\qquad x^2+2=0.\] **Krok \(6\).** Pierwsze równanie daje \(x=3\). Drugie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, bo \(x^2\geqslant0\) dla każdego \(x\), więc \(x^2+2\geqslant2\gt0\) — to wyrażenie nigdy nie jest zerem. **Krok \(7\).** Sprawdzamy otrzymany pierwiastek: \(3^3-3\cdot3^2+2\cdot3-6=27-27+6-6=0\). Zgadza się. **Uwaga.** Czynnik \(x^2+2\) trzeba wyraźnie skomentować, a nie po cichu pominąć — dopiero stwierdzenie, że nie ma on pierwiastków rzeczywistych, uzasadnia, że \(x=3\) jest jedynym rozwiązaniem. **Odpowiedź.** \(x=3\).

1 pkt: rozkład (x²+2)(x−3)=0. 2 pkt: jedyne rzeczywiste rozwiązanie x=3.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje równanie wielomianowe przez grupowanie.

\(x=7\).

Lewą stronę rozkładamy na czynniki metodą grupowania: \[x^{3}-7x^{2}+2x-14=x^{2}(x-7)+2(x-7)=(x^{2}+2)(x-7).\] Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się jeden z czynników. Czynnik \(x^{2}+2\) jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej, więc pozostaje \(x-7=0\). **Odpowiedź.** \(x=7\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Stosuję metodę grupowania, by przedstawić lewą stronę równania w postaci iloczynowej: \[x^{3}-7x^{2}+2x-14=x^{2}(x-7)+2(x-7)=\left(x^{2}+2\right)(x-7).\] Z równania \(\left(x^{2}+2\right)(x-7)=0\) otrzymujemy, że \(x^{2}+2=0\) lub \(x-7=0\). Równanie \(x^{2}+2=0\) nie ma rozwiązań. Rozwiązaniem równania \(x-7=0\) jest liczba \(7\). Odpowiedź: Jedynym rozwiązaniem jest \(x=7\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Zbiór rozwiązań nierówności: \(x\in(0,4)\). Jedynym pierwiastkiem równania należącym do tego zbioru jest \(x=2\).

Nierówność przekształcamy do postaci iloczynowej: \[(x-2)^2-4<0,\qquad x^2-4x<0,\qquad x(x-4)<0.\] Ramiona odpowiadającej paraboli są skierowane w górę, a miejsca zerowe to \(0\) i \(4\), więc wartości ujemne przyjmuje ona **między** nimi: \[x\in(0,4).\] Przedział jest otwarty, bo nierówność jest ostra. Równanie rozkładamy przez grupowanie: \[x^3+6x^2-4x-24=x^2(x+6)-4(x+6)=(x+6)\left(x^2-4\right)=(x+6)(x-2)(x+2)=0,\] skąd \(x=-6\), \(x=-2\) lub \(x=2\). Do przedziału \((0,4)\) należy tylko \(x=2\). **Odpowiedź.** Zbiorem rozwiązań nierówności jest \((0,4)\); jedynym pierwiastkiem równania należącym do tego zbioru jest \(x=2\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **5.1. (1 pkt)** – przekształcenie nierówności do postaci: \(x(x-4)<0\). […] nierówności w postaci: \(\lvert x-2\rvert<2\) lub narysowanie wykresu funkcji \(y=(x-2)^{2}-4\), itp. **5.2. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności: \(x\in(0,4)\). Dopuszczamy przedstawienie zbioru rozwiązań na osi liczbowej, o ile zdający wyraźnie zaznaczy przedział otwarty. **5.3. (1 pkt)** – przedstawienie równania w postaci, np. \(x^{2}(x+6)-4(x+6)=0\). Lewa strona równania musi mieć postać sumy iloczynów, w których występuje ten sam czynnik. **5.4. (1 pkt)** – przedstawienie równania w postaci iloczynu czynników liniowych, np. \((x+6)(x+2)(x-2)=0\). **5.5. (1 pkt)** – wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania: \(x=-6\), \(x=-2\), \(x=2\). Przyznajemy punkty w czynności 5.3, 5.4 i 5.5, gdy zdający podaje wszystkie pierwiastki wielomianu \(W(x)=x^{3}+6x^{2}-4x-24\) bez jakichkolwiek obliczeń (np. przez zastosowanie tw. o pierwiastkach wymiernych wielomianu). **5.6. (1 pkt)** – podanie odpowiedzi: \(x=2\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(m=-2\), a pozostałe pierwiastki to \(x=-\dfrac12\) oraz \(x=-2\).

**Krok \(1\).** Wykorzystanie twierdzenia Bezout’a i wykonanie dzielenia przez **Krok \(2\).** dwumian (x+\(1\)) (\(1\) punkt przyznajemy za metodę, \(1punkt\) za obliczenia), \(2\) **Krok \(3\).** wynik dzielenia: \(2x\) \(2\) + \(5x\) + \(2 = 0\) **Krok \(4\).** Obliczenie pozostałych pierwiastków tego równania: x = − , x = −\(2\) \(1\) **Krok \(5\).** Wyznaczenie sinusa kąta przy wierzchołku C: sin γ = **Krok \(6\).** Wyznaczenie cosinusa kąta przy wierzchołku C: cos γ = − \(1\) **Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.

**1. (2 pkt)** – Wykorzystanie twierdzenia Bezout’a i wykonanie dzielenia przez dwumian \((x+1)\) (1 punkt przyznajemy za metodę, 1 punkt za obliczenia), wynik dzielenia: \(2x^{2}+5x+2=0\) **2. (1 pkt)** – Obliczenie pozostałych pierwiastków tego równania: \(x_{1}=-\frac{1}{2}\), \(x_{2}=-2\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.