Równania i nierówności liniowe — pierwszy stopień z jedną niewiadomą

Niech \(x\) oznacza liczbę biletów ulgowych. Wpływy przed odliczeniem kosztów wyniosły \(4665:0{,}75=6220\) zł. Mamy \(25x+35(200-x)=6220\), stąd \(x=78\). Sprzedano \(78\) biletów ulgowych.

**Krok \(1\).** adanie \(11\). (\(0\)—\(2\)) **Krok \(2\).** Wymaganie ogólne **Krok \(3\).** III. Wykorzystanie i interpretowanie **Krok \(4\).** reprezentacji. **Krok \(5\).** \(2\). Dobieranie i tworzenie modeli **Krok \(6\).** matematycznych przy rozwiązywaniu **Krok \(7\).** problemów praktycznych i teoretycznych. **Krok \(8\).** Wymaganie szczegółowe **Odpowiedź.** Niech \(x\) oznacza liczbę biletów ulgowych. Wpływy przed odliczeniem kosztów wyniosły \(4665:0{,}75=6220\) zł. Mamy \(25x+35(200-x)=6220\), stąd \(x=78\). Sprzedano \(78\) biletów ulgowych.

adanie 11. (0—2) Wymaganie ogólne III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. Zasady oceniania Wymaganie szczegółowe Zdający: IV.2) stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych. 2 pkt — zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 78. 1 pkt — zapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć liczbę biletów ulgowych i liczbę biletów normalnych sprzedanych na przedstawienie, np. x+y= 200 oraz 0,75 (35x + 25y) = 4665 ALBO — zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę biletów ulgowych sprzedanych na przedstawienie, np. 4665 35(200 - y) + 25y = 0,75 ALBO — zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę biletów normalnych sprzedanych na przedstawienie, np. 4665 35x + 25(200 - x) = ALBO — zapisanie różnicy ALBO — zapisanie różnicy ALBO — zapisanie różnicy 0,75 4665 — 25 • 200 oraz zapisanie różnicy 35 — 0,75 4665 35 200 - oraz zapisanie różnicy 35 — 0,75 4665 25, 25, — (25 • 100 + 35 • 100) oraz zapisanie różnicy 35 — 25. 0,75 0 pkt — rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb x oraz y i wskaże właściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. CENTRALNA Przykładowe pełne rozwiązania Sposób I Oznaczmy: x — liczba biletów normalnych sprzedanych na przedstawienie, y — liczba biletów ulgowych sprzedanych na przedstawienie. Po uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy: x+y= 200 oraz 0,75 (35x +25y) = 4665 Z pierwszego z tych równań wyznaczamy x = 200 — y i podstawiamy w miejsce x do drugiego z równań, w wyniku czego otrzymujemy: 0,75 [35(200 - y) +25y] = 4665 /: 0,75 35(200 - y) + 25y = 6220 7000 - 35y + 25y = 6220 -10y = -780 Y = 78 Na przedstawienie sprzedano 78 biletów ulgowych. Sposób II Przychód organizatorów ze sprzedaży biletów jest równy: 4665 = 6220 0,75 Gdyby organizatorzy sprzedali wszystkie bilety po 35 złotych, to uzyskaliby przychód w wysokości 35 • 200 = 7000 złotych, a więc 0 7000 — 6220 = 780 złotych więcej niż w rzeczywistości. Bilet normalny kosztuje 0 10 złotych więcej niż bilet ulgowy. Zatem organizatorzy sprzedali 780 : 10 = 78 biletów ulgowych. Uwaga. Metodę zaprezentowaną w sposobie II można wykorzystać również dla dowolnej konfiguracji liczby biletów ulgowych i normalnych dających łącznie 200 biletów; np. gdyby organizatorzy sprzedali 30 biletów normalnych i 170 biletów ulgowych, to uzyskaliby przychód w wysokości 30 35 + 170 25 = 5300 złotych, a więco 6220 - 5300 = 920 złotych mniej niż w rzeczywistości. Bilet normalny kosztuje 0 10 złotych więcej niż bilet ulgowy. Zatem organizatorzy w rzeczywistości sprzedali 0 920 : 10 = 92 bilety ulgowe mniej — a więc sprzedali 170 — 92 = 78 biletów ulgowych

**Wymaganie ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymaganie szczegółowe:** IV.2) stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

**C.** Nierówność jest równoważna \(16-(1-2x)\geq6x\), czyli \(15\geq4x\). Stąd \(x\leq\frac{15}{4}\), więc największą całkowitą wartością jest \(3\).

**Krok \(1\).** Najpierw rozwiązujemy nierówność, a dopiero potem szukamy największej liczby całkowitej w otrzymanym zbiorze. Kłopotliwy jest ułamek, więc na start mnożymy obie strony przez \(2\). Mnożymy przez liczbę dodatnią, więc znak nierówności zostaje bez zmian. **Krok \(2\).** Mnożymy przez \(2\): \[16-(1-2x)\geq6x.\] **Krok \(3\).** Opuszczamy nawias poprzedzony minusem, zmieniając znaki obu wyrazów w środku: \[16-1+2x\geq6x,\qquad\text{czyli}\qquad 15+2x\geq6x.\] **Krok \(4\).** Przenosimy \(2x\) na prawą stronę: \[15\geq4x.\] **Krok \(5\).** Dzielimy przez \(4\) (liczba dodatnia, znak bez zmian): \[x\leq\frac{15}{4}=3{,}75.\] **Krok \(6\).** Największą liczbą całkowitą nie większą niż \(3{,}75\) jest \(3\). Sprawdzamy: dla \(x=3\) lewa strona wyjściowej nierówności wynosi \(8-\frac{1-6}{2}=8+2{,}5=10{,}5\), a prawa \(9\), więc nierówność jest spełniona. Dla \(x=4\) lewa strona to \(8+3{,}5=11{,}5\), a prawa \(12\) - nierówność nie zachodzi. **Uwaga.** Odpowiedzią nie jest \(3{,}75\), tylko największa liczba całkowita spełniająca nierówność. Pamiętajmy też, że gdybyśmy mnożyli lub dzielili obie strony przez liczbę ujemną, znak nierówności trzeba by odwrócić - tutaj taka sytuacja nie wystąpiła. **Odpowiedź.** C, czyli \(3\).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: 3.3) Rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

**C.** Nierówność jest równoważna \(16-(1-2x)\geq6x\), czyli \(15\geq4x\). Stąd \(x\leq\frac{15}{4}\), więc największą całkowitą wartością jest \(3\).

**Krok \(1\).** To nierówność liniowa z ułamkiem. Postępujemy standardowo: mnożymy obie strony przez \(2\), żeby zniknął mianownik (mnożymy przez liczbę dodatnią, więc znak nierówności zostaje), następnie zbieramy \(x\)-y po jednej stronie, a na końcu z otrzymanego przedziału wybieramy właściwą liczbę całkowitą. **Krok \(2\).** Mnożymy nierówność \(8-\frac{1-2x}{2}\geq3x\) stronami przez \(2\), pamiętając, że mnożymy **każdy** składnik: \[16-(1-2x)\geq6x.\] **Krok \(3\).** Opuszczamy nawias, zmieniając znaki jego wyrazów: \[16-1+2x\geq6x,\qquad\text{czyli}\qquad 15+2x\geq6x.\] **Krok \(4\).** Przenosimy \(2x\) na prawą stronę: \[15\geq4x.\] **Krok \(5\).** Dzielimy przez \(4\) (liczba dodatnia, znak bez zmian): \[x\leq\frac{15}{4}.\] **Krok \(6\).** Zapisujemy \(\frac{15}{4}=3{,}75\). Szukamy największej liczby całkowitej nie większej niż \(3{,}75\) — to \(3\). **Krok \(7\).** Kontrola: dla \(x=3\) lewa strona to \(8-\frac{1-6}{2}=8+2{,}5=10{,}5\), a prawa \(9\); istotnie \(10{,}5\geq9\). Dla \(x=4\) mamy \(8-\frac{1-8}{2}=11{,}5\) oraz \(12\), a \(11{,}5\geq12\) jest fałszem. **Uwaga.** Ułamek stoi ze znakiem minus, więc po pomnożeniu przez \(2\) cały licznik musi trafić w nawias: \(-\frac{1-2x}{2}\cdot2=-(1-2x)\). Pominięcie nawiasu daje \(16-1-2x\) i błędny wynik. **Odpowiedź.** C: \(3\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: III.3) Rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą.

**B.** \([2,+\infty)\)

Mnożymy nierówność przez \(6\): \[3(2x-1)-2(x+2)\geq1.\] Stąd \[6x-3-2x-4\geq1,\qquad 4x\geq8,\qquad x\geq2.\] Zbiorem rozwiązań jest \([2,+\infty)\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** I.6) Zdający posługuje się pojęciem przedziału i zaznacza przedziały na osi. III.3) Rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą.

**D.** \[3-2(1-2x)\geq2x-17\iff1+4x\geq2x-17\iff x\geq-9.\] Zbiorem rozwiązań jest \([-9,+\infty)\).

**Krok \(1\).** To zwykła nierówność liniowa z nawiasem, tylko odpowiedź trzeba na końcu przełożyć na obrazek na osi liczbowej. Plan: opuszczamy nawias, zbieramy \(x\)-y po jednej stronie, liczby po drugiej, dzielimy przez współczynnik przy \(x\) (pilnując jego znaku) i rysujemy otrzymany zbiór. **Krok \(2\).** Opuszczamy nawias po lewej stronie. Uwaga na mnożenie przez \(-2\): \[3-2(1-2x)=3-2+4x=1+4x.\] **Krok \(3\).** Nierówność przyjmuje postać \[1+4x\geqslant2x-17.\] **Krok \(4\).** Odejmujemy \(2x\) od obu stron: \[1+2x\geqslant-17.\] **Krok \(5\).** Odejmujemy \(1\) od obu stron: \[2x\geqslant-18.\] **Krok \(6\).** Dzielimy przez \(2\). Jest to liczba dodatnia, więc znak nierówności pozostaje bez zmian: \[x\geqslant-9.\] **Krok \(7\).** Na osi liczbowej jest to półprosta biegnąca od \(-9\) w prawo, z kółkiem w punkcie \(-9\) **zamalowanym**, bo nierówność jest nieostra. Zbiór zapisujemy jako \([-9,+\infty)\). **Krok \(8\).** Sprawdzenie dwiema liczbami: dla \(x=0\) lewa strona to \(3-2\cdot1=1\), prawa \(-17\), i istotnie \(1\geqslant-17\); dla \(x=-10\) lewa strona to \(3-2\cdot21=-39\), prawa \(-37\), a \(-39\geqslant-37\) jest fałszem — czyli \(-10\) słusznie nie należy do zbioru rozwiązań. **Uwaga.** Dwa miejsca, w których najłatwiej się pomylić: znak przy opuszczaniu nawiasu (\(-2\cdot(-2x)=+4x\), a nie \(-4x\)) oraz rodzaj kółka na rysunku — przy \(\geqslant\) koniec przedziału należy do zbioru, więc kółko musi być zamalowane. **Odpowiedź.** D: \(x\in[-9,+\infty)\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** III.3) Zdający rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą. I.6) Zdający posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej.

**A.** \((-\infty,1)\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy nierówność liniową z ułamkiem. Postępujemy jak przy równaniu — porządkujemy niewiadome po jednej stronie — z jednym zastrzeżeniem: przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną trzeba odwrócić znak nierówności. **Krok \(2\).** Pozbywamy się mianownika, mnożąc obie strony przez \(2\). Liczba \(2\) jest dodatnia, więc zwrot nierówności zostaje bez zmian: \[2(3-x)\gt 5x-1,\qquad 6-2x\gt 5x-1.\] **Krok \(3\).** Przenosimy wyrazy z niewiadomą na prawą stronę, a liczby na lewą: \[6+1\gt 5x+2x.\] **Krok \(4\).** Redukujemy: \[7\gt 7x.\] **Krok \(5\).** Dzielimy obie strony przez \(7\) (znów liczba dodatnia, znak zostaje): \[1\gt x,\qquad\text{czyli}\qquad x\lt 1.\] **Krok \(6\).** Zapisujemy zbiór rozwiązań jako przedział: \[x\in(-\infty,1).\] **Krok \(7\).** Sprawdzamy liczbą z wnętrza przedziału, np. \(x=0\): lewa strona \(3-0=3\), prawa \(\frac{5\cdot 0-1}{2}=-\frac12\), a \(3\gt-\frac12\) — zgadza się. **Uwaga.** Nierówność jest ostra, więc liczba \(1\) nie należy do zbioru rozwiązań (przedział jest otwarty). Warto też zauważyć, że nigdzie nie mnożyliśmy przez liczbę ujemną — dlatego zwrot nierówności ani razu się nie zmienił. **Odpowiedź.** A. \(x\in(-\infty,1)\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: 3.3) Rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

**A.** \[3-x\geq\frac{5x-1}{2}\iff6-2x\geq5x-1\iff x\leq1.\] Zbiorem rozwiązań jest \(( -\infty,1]\).

**Krok \(1\).** To nierówność liniowa z ułamkiem. Zaczynamy od pozbycia się mianownika: mnożymy obie strony przez \(2\). Mnożymy przez liczbę dodatnią, więc znak nierówności pozostaje bez zmian. **Krok \(2\).** Mnożymy stronami przez \(2\), obejmując lewą stronę nawiasem: \[2(3-x)\geq5x-1,\qquad\text{czyli}\qquad 6-2x\geq5x-1.\] **Krok \(3\).** Przenosimy wyrazy z \(x\) na prawą stronę, a liczby na lewą: \[6+1\geq5x+2x.\] **Krok \(4\).** Redukujemy: \[7\geq7x.\] **Krok \(5\).** Dzielimy obie strony przez \(7\) — dodatnie, więc znak zostaje: \[1\geq x,\qquad\text{czyli}\qquad x\leq1.\] **Krok \(6\).** Zbiór wszystkich liczb nie większych od \(1\) to przedział \((-\infty,1]\), domknięty od strony \(1\), bo nierówność jest nieostra. **Krok \(7\).** Kontrola: dla \(x=0\) mamy \(3\geq-\frac12\) (prawda, \(0\) należy), a dla \(x=2\) mamy \(1\geq\frac92\) (fałsz, \(2\) nie należy) — kierunek przedziału się zgadza. **Uwaga.** Warto sprawdzić kierunek nierówności przez podstawienie jednej liczby, bo przy przenoszeniu wyrazów łatwo o pomyłkę i wybór odpowiedzi C. Liczba \(\frac76\) w odpowiedziach B i D pochodzi z błędnego pomnożenia tylko jednego składnika lewej strony przez \(2\). **Odpowiedź.** A: \((-\infty,1]\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.3) Zdający rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą.

A. \(2\)

**Krok \(1\).** Najpierw rozwiązujemy nierówność (jest liniowa, tylko z ułamkami), a dopiero potem wybieramy z jej rozwiązań liczby całkowite dodatnie i je liczymy. **Krok \(2\).** Mnożymy obie strony przez \(12\). Liczba \(12\) jest dodatnia, więc zwrot nierówności zostaje bez zmian: \[3x-5\lt 12\cdot\frac13,\qquad 3x-5\lt 4.\] **Krok \(3\).** Przenosimy \(-5\) na prawą stronę: \[3x\lt 9.\] **Krok \(4\).** Dzielimy przez \(3\) (znów liczba dodatnia, zwrot bez zmian): \[x\lt 3.\] **Krok \(5\).** Wypisujemy liczby całkowite dodatnie spełniające \(x\lt 3\): są to \(1\) i \(2\). Liczba \(3\) nie spełnia nierówności ostrej, a \(0\) i liczby ujemne nie są dodatnie. **Krok \(6\).** Takich liczb są dwie. **Uwaga.** Pytanie dotyczy **ilu jest** rozwiązań, a nie jakie one są - odpowiedzią jest liczba \(2\), a nie liczba \(3\) ani zbiór \(\{1,2\}\). Zwróć też uwagę, że zero nie jest liczbą dodatnią. **Odpowiedź.** A: \(2\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.3) Zdający rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą.

**D.** \(\left(\frac23,+\infty\right)\)

Rozwiązujemy nierówność: \[1-\frac32x<\frac23-x,\] \[1-\frac23<\frac32x-x,\] \[\frac13<\frac12x.\] Po pomnożeniu obu stron przez \(6\) otrzymujemy \(2<3x\), czyli \[x>\frac23.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.3) Zdający rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą.

**D.** \([-11,+\infty)\)

Rozwiązujemy nierówność: \[\frac{3(6-x)}{17}\leq3.\] Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę \(17\) i dzielimy przez \(3\): \[6-x\leq17.\] Stąd \(-x\leq11\), a po pomnożeniu przez \(-1\) i zmianie zwrotu nierówności \[x\geq-11.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.3) Zdający rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą.

**C.** \([-4,+\infty)\)

Rozwiązujemy nierówność: \[-2(x+3)\leq\frac{2-x}{3}\iff-6x-18\leq2-x\iff-5x\leq20\iff x\geq-4.\] Zbiorem rozwiązań jest \([-4,+\infty)\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.3 zdający rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą.

**C.** \([\frac23,+\infty)\)

Mnożymy nierówność przez \(3\) i przekształcamy: \[-9(x-1)\leq5-3x\iff-9x+9\leq5-3x\iff4\leq6x\iff x\geq\frac23.\] Zbiorem rozwiązań jest \([\frac23,+\infty)\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności - rozwiązywanie nierówności liniowej z jedną niewiadomą.

**A.** \(6\)

Rozwiązujemy nierówność: \[2-\frac{x}{2}\geq\frac{x}{3}-3,\] \[5\geq\frac{5x}{6},\] \[x\leq6.\] Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest \(6\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.3 rozwiązywanie nierówności liniowych z jedną niewiadomą.

**C.** \(\left(-\infty,\frac34\right)\)

Mnożymy nierówność przez \(15\): \[6-5x>3x.\] Stąd \(6>8x\), czyli \(x<\frac34\). Zbiorem rozwiązań jest więc \[\left(-\infty,\frac34\right).\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.3 rozwiązywanie nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

**C.** \(({-}\infty,-\frac3{16})\)

Mnożymy nierówność przez dodatnią liczbę \(4\): \[8x-3>24x,\qquad -3>16x,\qquad x<-\frac3{16}.\]

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.1 rozwiązywanie nierówności liniowych z jedną niewiadomą.

**C.** \(1000\) guzików.

Jedna maszyna w ciągu jednej godziny produkuje \[\frac{1200}{3\cdot2}=200\] guzików. Pięć maszyn wyprodukuje więc \(5\cdot200=1000\) guzików.

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. tworzenie prostego modelu matematycznego. **Wymagania szczegółowe:** I.7 stosowanie proporcjonalności prostej w obliczeniach praktycznych.

**B.** \([\frac54,\frac73)\)

Rozwiązujemy obie nierówności: \[0<7-3x\iff x<\frac73,\] \[7-3x\leq5x-3\iff10\leq8x\iff x\geq\frac54.\] Częścią wspólną jest \[\left[\frac54,\frac73\right),\] co przedstawia rysunek B.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** rozwiązywanie nierówności liniowych i przedstawianie ich rozwiązań na osi liczbowej.

**A.** \(10(2+\sqrt3)\)

**Krok \(1\).** To zwykłe równanie liniowe, tyle że przy niewiadomej stoi liczba niewymierna \(\sqrt3\). Postępujemy jak zawsze: wyrazy z \(x\) przenosimy na jedną stronę, liczby na drugą, a potem wyłączamy \(x\) przed nawias. **Krok \(2\).** Przenosimy \(2x\) na lewo, a \(2\) na prawo: \[x\sqrt3-2x=-8-2,\qquad\text{czyli}\qquad x\sqrt3-2x=-10.\] **Krok \(3\).** Wyłączamy \(x\) przed nawias: \[x\left(\sqrt3-2\right)=-10.\] **Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(\sqrt3-2\). Wolno tak zrobić, bo \(\sqrt3\approx1{,}73\), więc \(\sqrt3-2\neq0\): \[x=\frac{-10}{\sqrt3-2}=\frac{10}{2-\sqrt3}.\] W ostatnim przejściu zmieniliśmy znaki licznika i mianownika jednocześnie, więc wartość ułamka się nie zmieniła. **Krok \(5\).** Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez \(2+\sqrt3\): \[x=\frac{10\left(2+\sqrt3\right)}{\left(2-\sqrt3\right)\left(2+\sqrt3\right)}=\frac{10\left(2+\sqrt3\right)}{2^{2}-\left(\sqrt3\right)^{2}}=\frac{10\left(2+\sqrt3\right)}{4-3}=10\left(2+\sqrt3\right).\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy przybliżeniem: \(x\approx10\cdot3{,}73=37{,}3\). Lewa strona równania to \(37{,}3\cdot1{,}73+2\approx66{,}6\), prawa \(2\cdot37{,}3-8\approx66{,}6\). Zgadza się. **Uwaga.** Łatwo pomylić się przy znaku: \(\frac{-10}{\sqrt3-2}\) to \(\frac{10}{2-\sqrt3}\), a nie \(\frac{10}{\sqrt3-2}\). Ten drugi zapis prowadzi do błędnego wariantu z liczbą ujemną, bo \(\sqrt3-2\lt0\). **Odpowiedź.** A, czyli \(10\left(2+\sqrt3\right)\).

Zadanie 7. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

\[\frac{a+c}{2}<b.\]

Dodajemy stronami obie nierówności z założenia: \[\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}>c+a.\] Po uporządkowaniu otrzymujemy \[\frac{a+2b+c}{2}>a+c.\] Mnożymy przez \(2\): \[a+2b+c>2a+2c.\] Po odjęciu \(a+c\) od obu stron mamy \[2b>a+c,\] czyli \[b>\frac{a+c}{2}.\] To należało wykazać.

**2 pkt** – pełne poprawne rozumowanie prowadzące do tezy **1 pkt** – dodanie nierówności z założenia i zapisanie \(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}>c+a\) lub równoważnej nierówności **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo sprawdzenie tylko wybranych wartości

**Wymagania ogólne:** V. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** przeprowadzanie prostych dowodów algebraicznych z wykorzystaniem własności nierówności.

**B.** \(( -\infty,0]\)

Mnożymy nierówność przez dodatnią liczbę \(2\): \[2-x-4x\geq2.\] Stąd \[-5x\geq0,\qquad x\leq0.\] Zbiorem rozwiązań jest \(( -\infty,0]\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.3 rozwiązywanie nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

**D.** \((\frac38,+\infty)\)

Mnożymy nierówność przez dodatnią liczbę \(2\): \[12-5x<6-3x+14x.\] Po uporządkowaniu: \[6<16x,\qquad x>\frac6{16}=\frac38.\] Zbiorem rozwiązań jest \((\frac38,+\infty)\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.3 rozwiązywanie nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

**C.** \(( -\infty,7]\)

Mnożymy nierówność przez dodatnią liczbę \(4\): \[20-(2-6x)\geq8x+4.\] Stąd \[18+6x\geq8x+4,\qquad14\geq2x,\qquad x\leq7.\] Zbiorem rozwiązań jest \(( -\infty,7]\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.3 rozwiązywanie nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

**A.** \((-\frac53,+\infty)\)

Rozwiązujemy nierówność kolejno: \[3-3x>6x-2-12x,\] \[3-3x>-6x-2,\] \[3x>-5,\] \[x>-\frac53.\] Zbiorem rozwiązań jest \((-\frac53,+\infty)\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.3 rozwiązywanie nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

**A.** \(-3\)

Mnożymy nierówność przez dodatnią liczbę \(6\): \[1-6x\geq4x+24.\] Stąd \[-10x\geq23,\qquad x\leq-\frac{23}{10}=-2{,}3.\] Największą liczbą całkowitą nie większą niż \(-2{,}3\) jest \(-3\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.3 rozwiązywanie nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

C. \(3\)

**Krok \(1\).** To nierówność liniowa z ułamkiem. Plan jest taki: najpierw pozbywamy się mianownika, mnożąc obie strony przez \(2\) (liczba dodatnia, więc znak nierówności zostaje bez zmian), potem zbieramy \(x\)-y po jednej stronie, a na końcu wybieramy z otrzymanego przedziału odpowiednią liczbę całkowitą. **Krok \(2\).** Nierówność \(\frac{5(4-x)}{2} \lt x\) mnożymy stronami przez \(2\): \[5(4-x) \lt 2x.\] **Krok \(3\).** Wymnażamy nawias: \[20-5x \lt 2x.\] **Krok \(4\).** Przenosimy \(-5x\) na prawą stronę (dodajemy \(5x\) do obu stron): \[20 \lt 7x.\] **Krok \(5\).** Dzielimy obie strony przez \(7\) — liczba dodatnia, więc znak się nie odwraca: \[x \gt \frac{20}{7}.\] **Krok \(6\).** Zamieniamy \(\frac{20}{7}\) na postać dziesiętną, żeby zobaczyć, gdzie ta liczba leży: \[\frac{20}{7}=2\frac{6}{7}\approx2{,}86.\] Szukamy najmniejszej liczby całkowitej **większej** od \(2{,}86\) — to \(3\). **Krok \(7\).** Kontrola: dla \(x=3\) lewa strona to \(\frac{5(4-3)}{2}=2{,}5\) i istotnie \(2{,}5 \lt 3\). Dla \(x=2\) lewa strona to \(\frac{5\cdot2}{2}=5\), a \(5 \lt 2\) jest fałszem — czyli \(2\) nie spełnia nierówności. **Uwaga.** Nierówność jest ostra, więc sama liczba \(\frac{20}{7}\) do rozwiązań nie należy; poza tym pytanie dotyczy liczby **najmniejszej**, a rozwiązaniem jest półprosta w prawo, więc bierzemy pierwszą całkowitą tuż za \(\frac{20}{7}\). **Odpowiedź.** C: \(3\)

Zadanie 4. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

**A.** \(x\in(-\infty,\frac16)\)

**Krok \(1\).** To nierówność liniowa z ułamkami. Standardowy pierwszy ruch: pomnożyć obie strony przez wspólny mianownik, żeby ułamki zniknęły. Mianowniki to \(2\) i \(3\), więc mnożymy przez \(6\). **Krok \(2\).** Liczba \(6\) jest dodatnia, więc znak nierówności pozostaje bez zmian: \[6\cdot\frac{1-2x}{2}\gt6\cdot\frac13.\] **Krok \(3\).** Skracamy po obu stronach: \[3(1-2x)\gt2.\] **Krok \(4\).** Wymnażamy nawias: \[3-6x\gt2.\] **Krok \(5\).** Przenosimy \(3\) na prawą stronę (ze zmianą znaku): \[-6x\gt2-3,\qquad\text{czyli}\qquad -6x\gt-1.\] **Krok \(6\).** Dzielimy obie strony przez \(-6\). To liczba ujemna, więc zwrot nierówności odwracamy: \[x\lt\frac{-1}{-6}=\frac16.\] **Krok \(7\).** Zapisujemy zbiór rozwiązań jako przedział: \[x\in\left(-\infty,\frac16\right).\] **Uwaga.** Odwrócenie znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną jest tu jedyną naprawdę groźną pułapką. Kto o nim zapomni, dostanie \(x\gt\frac16\), czyli odpowiedź C. Można się zabezpieczyć, sprawdzając jedną liczbę: dla \(x=0\) lewa strona to \(\frac12\), a \(\frac12\gt\frac13\), więc \(0\) należy do rozwiązań — i rzeczywiście \(0\lt\frac16\). **Odpowiedź.** A: \(x\in\left(-\infty,\frac16\right)\)

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **3.3:** zdający rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

**D.** \(x\leq-\frac23\)

**Krok \(1\).** Rysunki przedstawiają półproste, więc najpierw rozwiązujemy nierówność algebraicznie, a potem sprawdzamy dwie rzeczy na rysunku: w którą stronę idzie półprosta i czy jej koniec jest zamalowany. **Krok \(2\).** Przenosimy \(2\) na prawą stronę: \[2-3x\geq 4,\qquad -3x\geq 4-2,\qquad -3x\geq 2.\] **Krok \(3\).** Dzielimy obie strony przez \(-3\). Dzielenie przez liczbę **ujemną** odwraca zwrot nierówności: \[x\leq-\frac23.\] **Krok \(4\).** Odczytujemy, co to znaczy na osi: bierzemy punkt \(-\frac23\) i całą półprostą **w lewo** od niego. **Krok \(5\).** Nierówność jest nieostra (\(\leq\)), więc punkt \(-\frac23\) należy do zbioru rozwiązań - na rysunku koniec półprostej jest zamalowany (kółko pełne). **Uwaga.** To zadanie sprawdza dokładnie jedną rzecz: zmianę zwrotu nierówności przy dzieleniu przez liczbę ujemną. Kto o niej zapomni, dostanie \(x\geq-\frac23\) i wskaże złą półprostą. **Odpowiedź.** D: \(x\leq-\dfrac23\)

**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** nierówności liniowe - rozwiązanie nierówności i przedstawienie zbioru rozwiązań na osi liczbowej.

**D.** \(x\in\langle 9,11\rangle\) — odcinek od \(9\) do \(11\) z zamalowanymi końcami.

**Krok \(1\).** Warunek \(11\leqslant2x-7\leqslant15\) to nierówność podwójna. Nie trzeba jej rozbijać na dwie osobne — wystarczy wykonywać te same działania na wszystkich trzech częściach jednocześnie, tak aby w środku został sam \(x\). **Krok \(2\).** Pozbywamy się \(-7\), dodając \(7\) do każdej z trzech części: \[11+7\leqslant2x-7+7\leqslant15+7,\] czyli \[18\leqslant2x\leqslant22.\] **Krok \(3\).** Dzielimy wszystkie trzy części przez \(2\). Dwójka jest liczbą dodatnią, więc zwroty nierówności pozostają bez zmian: \[9\leqslant x\leqslant11.\] **Krok \(4\).** Otrzymany zbiór to przedział domknięty \(\langle9,11\rangle\). Na osi liczbowej rysujemy odcinek między \(9\) a \(11\). **Krok \(5\).** Ustalamy rodzaj kółek na końcach. Nierówności są nieostre (\(\leqslant\)), więc liczby \(9\) i \(11\) należą do zbioru rozwiązań i zaznaczamy je kółkami zamalowanymi. Rysunkiem spełniającym wszystkie te warunki jest rysunek D. **Uwaga.** Na rysunku trzeba sprawdzić dwie rzeczy naraz: znak liczb i rodzaj kółek. Końce przedziału są dodatnie (\(9\) i \(11\)), więc rysunki z \(-11\) i \(-9\) odpadają od razu, a nieostre nierówności wykluczają kółka puste. **Odpowiedź.** D: \(x\in\langle9,11\rangle\)

Zadanie 6. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

**A.** \(41\frac23\) metra

Suma części stosunku wynosi \(3+4+5=12\). Najdłuższa część stanowi \(\frac5{12}\) całej liny, zatem ma długość \[100\cdot\frac5{12}=\frac{125}{3}=41\frac23\text{ m}.\]

**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** proporcjonalność - podział wielkości w zadanym stosunku.

B. \(a=18\)

**Krok \(1\).** Treść opisuje słowami ciąg działań wykonanych na nieznanej liczbie \(a\). Metoda jest jedna: tłumaczymy zdanie po zdaniu na język symboli i układamy jedno równanie. **Krok \(2\).** Tłumaczymy kolejne fragmenty: - „do liczby \(a\) dodano \(54\)” to \(a+54\), - „otrzymaną sumę podzielono przez \(2\)” to \(\dfrac{a+54}{2}\), - „liczba dwa razy większa od liczby \(a\)” to \(2a\). **Krok \(3\).** Zdanie „w wyniku tego działania otrzymano” znaczy, że te dwie wielkości są równe: \[\frac{a+54}{2}=2a.\] **Krok \(4\).** Pozbywamy się ułamka — mnożymy obie strony przez \(2\): \[a+54=4a.\] **Krok \(5\).** Przenosimy \(a\) na prawą stronę: \[54=3a,\qquad a=18.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy z treścią: \(18+54=72\), następnie \(72:2=36\), a \(36=2\cdot18\) — otrzymana liczba jest istotnie dwa razy większa od \(a\). Zgadza się. **Uwaga.** Dzielimy przez \(2\) całą sumę, więc kreska ułamkowa obejmuje \(a+54\); zapis \(a+\frac{54}{2}\) opisywałby inne działanie i dałby błędny wynik. **Odpowiedź.** B: \(a=18\)

Zadanie 19. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

A

**Krok \(1\).** Mamy pięć kolejnych liczb całkowitych, czyli takich, w których każda następna jest o \(1\) większa od poprzedniej. Zamiast pięciu niewiadomych wprowadzamy jedną literę. Najwygodniej oznaczyć liczbę środkową, bo wtedy suma ładnie się uprości. **Krok \(2\).** Niech \(n\) oznacza liczbę środkową. Wtedy pięć kolejnych liczb to \[n-2,\quad n-1,\quad n,\quad n+1,\quad n+2.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy warunek z treści zadania — suma tych liczb wynosi \(195\): \[(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=195.\] **Krok \(4\).** Redukujemy wyrazy podobne. Składniki \(-2\) i \(+2\) oraz \(-1\) i \(+1\) się znoszą, zostaje pięć razy \(n\): \[5n=195.\] **Krok \(5\).** Dzielimy obie strony przez \(5\): \[n=\frac{195}{5}=39.\] **Krok \(6\).** Liczba środkowa to \(39\), więc najmniejsza z pięciu liczb jest równa \[n-2=39-2=37.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie: \(37+38+39+40+41=195\) — zgadza się. **Uwaga.** Zadanie pyta o liczbę najmniejszą, a nie o środkową. Liczba \(39\), która wychodzi w rachunku jako pierwsza, jest jedną z odpowiedzi (C) — to celowa pułapka. Po obliczeniu \(n\) trzeba jeszcze cofnąć się o dwa. **Odpowiedź.** A: \(37\)

Zadanie 1. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

B

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie dwuetapowe. Najpierw rozwiązujemy nierówność liniową \[\frac{x}{5}+\sqrt7\gt0,\] czyli wyznaczamy cały zbiór liczb ją spełniających, a dopiero potem szukamy w tym zbiorze najmniejszej liczby całkowitej. Liczba \(\sqrt7\) jest tu zwykłą stałą — traktujemy ją jak każdą inną liczbę. **Krok \(2\).** Przenosimy \(\sqrt7\) na drugą stronę: \[\frac{x}{5}\gt-\sqrt7.\] **Krok \(3\).** Mnożymy obie strony przez \(5\). Mnożymy przez liczbę **dodatnią**, więc zwrot nierówności się nie zmienia: \[x\gt-5\sqrt7.\] **Krok \(4\).** Szacujemy liczbę \(-5\sqrt7\), żeby wiedzieć, między którymi liczbami całkowitymi leży. Wygodnie wciągnąć \(5\) pod pierwiastek: \[5\sqrt7=\sqrt{25\cdot7}=\sqrt{175}.\] Ponieważ \(13^{2}=169\) oraz \(13{,}5^{2}=182{,}25\), mamy \(169\lt175\lt182{,}25\), czyli \[13\lt\sqrt{175}\lt13{,}5.\] **Krok \(5\).** Po zmianie znaku nierówności odwracają się: \[-13{,}5\lt-5\sqrt7\lt-13.\] Zbiorem rozwiązań jest więc przedział liczb większych od pewnej liczby leżącej między \(-13{,}5\) a \(-13\). **Krok \(6\).** Sprawdzamy kandydatów z odpowiedzi. Liczba \(-13\) spełnia nierówność, bo \(-13\gt-5\sqrt7\) (wiemy z kroku \(5\), że \(-5\sqrt7\lt-13\)). Liczba \(-14\) nie spełnia, bo \(-14\lt-13{,}5\lt-5\sqrt7\). **Krok \(7\).** Każda liczba całkowita mniejsza od \(-13\), czyli \(-14,-15,-16,\dots\), jest mniejsza od \(-5\sqrt7\) i nierówności nie spełnia. Zatem najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest \(-13\). **Uwaga.** Pytanie dotyczy liczby **najmniejszej**, a zbiór rozwiązań jest przedziałem nieograniczonym z prawej strony — liczy się więc wyłącznie jego lewy koniec. Bierzemy pierwszą liczbę całkowitą na prawo od \(-5\sqrt7\), a nie na lewo. Sprawdzenie bezpośrednie: dla \(x=-13\) mamy \(\frac{-13}{5}+\sqrt7=-2{,}6+\sqrt7\), a \(\sqrt7\gt2{,}6\) (bo \(2{,}6^{2}=6{,}76\lt7\)), więc wynik jest dodatni. **Odpowiedź.** B: \(-13\)

Zadanie 5. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

**D.** \(\left(\frac12,+\infty\right)\).

Mnożymy nierówność przez dodatnią liczbę \(6\): \[2(2-x)-3(2x-1)<6x.\] Po uproszczeniu \(7-8x<6x\), zatem \(7<14x\), czyli \(x>\frac12\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności, nierówność liniowa z ułamkami.

Ola wyprzedziła Alę o godzinie \(7{:}20\).

Oznaczmy całą drogę przez \(s\), a przez \(t\) liczbę minut od godziny \(7{:}00\) do chwili spotkania. Ala jedzie z prędkością \(\frac{s}{40}\), a Ola z prędkością \(\frac{s}{20}\) i jedzie o \(10\) minut krócej. Równość przebytych dróg daje \[\frac{s}{40}t=\frac{s}{20}(t-10).\] Po skróceniu przez \(s\) otrzymujemy \(t=2(t-10)\), zatem \(t=20\). Spotkanie nastąpiło \(20\) minut po godzinie \(7{:}00\), czyli o \(7{:}20\).

**4 pkt** – poprawna godzina \(7{:}20\) z pełnym uzasadnieniem **3 pkt** – poprawne wyznaczenie \(t=20\), lecz brak lub błąd w podaniu godziny **2 pkt** – ułożenie poprawnego równania opisującego równość przebytych dróg **1 pkt** – poprawne porównanie prędkości lub czasów obu osób, stanowiące istotny postęp **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

Klucz CKE publikuje rozwiązanie i punktację. **Klasyfikacja rzeczowa:** zadania tekstowe, droga, prędkość i czas.

**C.** \([-3,5]\).

Dodajemy \(1\) do każdej części nierówności: \[-4\leq x-1\leq4\quad\Longleftrightarrow\quad-3\leq x\leq5.\] Zbiorem rozwiązań jest przedział domknięty \([-3,5]\).

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.8 zdający posługuje się pojęciem przedziału liczbowego i zaznacza przedziały na osi liczbowej.

**A.** \(14\).

Mnożymy nierówność przez dodatnią liczbę \(14\): \[4<x<\frac{56}{3}.\] Liczby całkowite spełniające warunek to \(5,6,\ldots,18\). Jest ich \[18-5+1=14.\]

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.3 zdający rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

**C.** \(0\).

Rozwiązujemy nierówność: \[2x-4\leq4x-3\quad\Longleftrightarrow\quad-1\leq2x\quad\Longleftrightarrow\quad x\geq-\frac12.\] Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą warunek jest \(0\).

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności, nierówność liniowa.

B. −\(1\)

Mnożymy obie strony przez \(12>0\) (znak nierówności się nie zmienia): \[6x\leq8x+3,\qquad -2x\leq3.\] Dzielimy przez \(-2\); dzielenie przez liczbę **ujemną** odwraca znak: \[x\geq-\tfrac32.\] Najmniejszą liczbą całkowitą nie mniejszą od \(-1{,}5\) jest \(-1\). **Odpowiedź.** \(-1\), czyli odpowiedź **B**.

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Rozwiązanie nierówności liniowej i wskazanie najmniejszej liczby spełniającej tę nierówność (I.3).

**D.** \(( -\infty,2)\)

Opuszczamy nawias i porządkujemy: \[6-2x>x,\qquad 6>3x,\qquad x<2.\] Nierówność jest ostra, więc liczba \(2\) do zbioru rozwiązań nie należy — na osi jej koniec zaznaczamy kółkiem pustym. **Odpowiedź.** \((-\infty,2)\), czyli odpowiedź **D**.

Zadanie 1. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

**A.** \(-5\)

Przekształcamy nierówność, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia: \[(4+x)^2<(x-4)(x+4),\] \[16+8x+x^2<x^2-16.\] Wyrazy \(x^2\) redukują się, zostaje nierówność liniowa \[8x<-32,\qquad x<-4.\] Największą liczbą całkowitą mniejszą od \(-4\) jest \(-5\) (liczba \(-4\) warunku nie spełnia, bo nierówność jest ostra). **Odpowiedź.** A. \(-5\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** rozwiązywanie nierówności z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia i wskazywanie największej liczby całkowitej w zbiorze rozwiązań Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

D. (\(2\), +∞)

Wykonujemy mnożenia po obu stronach: \[x^{2}+3x-49=x^{2}-4x.\] Wyrazy \(x^{2}\) redukują się, więc równanie jest równoważne liniowemu: \[3x-49=-4x,\qquad 7x=49,\qquad x=7.\] Spośród podanych przedziałów liczba \(7\) należy tylko do \((2,+\infty)\): nie należy do \((-\infty,3)\), do \((10,+\infty)\) ani do \((-5,-1)\). **Odpowiedź.** \((2,+\infty)\), czyli odpowiedź **D**.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Rozwiązanie równania liniowego i sprawdzenie, czy rozwiązanie należy do danego przedziału.

B. \(2\)

Mnożymy obie strony przez \(24>0\) (znak nierówności bez zmian): \[9+4x<10x,\qquad 9<6x,\qquad x>\tfrac32.\] Najmniejszą liczbą całkowitą większą od \(1{,}5\) jest \(2\). **Odpowiedź.** \(2\), czyli odpowiedź **B**.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Sprawdzenie, które z podanych liczb spełniają nierówność, i wybranie najmniejszej.

**A.** \(x=1\)

Opuszczamy nawias: \[6-9x=x-4.\] Przenosimy niewiadome na jedną stronę, liczby na drugą: \[10=10x,\qquad x=1.\] Sprawdzenie: \(3(2-3)= -3\) oraz \(1-4=-3\). **Odpowiedź.** \(x=1\), czyli odpowiedź **A**.

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje równanie liniowe.

**B.** \(6\ \mathrm{m}\)

Oznaczmy długości części przez \(2k\), \(3k\) i \(4k\), gdzie \(k>0\). Z warunku na łączną długość \[2k+3k+4k=27,\qquad 9k=27,\qquad k=3.\] Najkrótsza część ma długość \(2k=6\ \mathrm{m}\). **Odpowiedź.** B. \(6\ \mathrm{m}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** podział wielkości w danym stosunku Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**D.** \((2,+\infty)\)

Mnożymy obie strony nierówności przez \(12\) — liczbę dodatnią, więc znak nierówności się nie zmienia: \[\frac x4+\frac16<\frac x3,\] \[3x+2<4x.\] Stąd \(2<x\), czyli \(x\in(2,+\infty)\). **Odpowiedź.** D. \((2,+\infty)\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** rozwiązywanie nierówności liniowej z ułamkami Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**C.** \(\frac47\)

Opuszczamy nawiasy po obu stronach równania: \[2(x-1)+x=x-3(2-3x),\] \[2x-2+x=x-6+9x,\] \[3x-2=10x-6.\] Porządkujemy: \[-7x=-4,\qquad x=\frac47.\] **Odpowiedź.** C. \(\frac47\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** rozwiązywanie równania liniowego z nawiasami Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

a) Oferta firmy Alfa jest korzystniejsza dla grup liczących co najwyżej \(35\) uczestników (bo \(n\lt\tfrac{1400}{39}=35\tfrac{35}{39}\)); b) na jednego uczestnika przypada około \(322\ \text{zł}\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy model. Koszt każdej z ofert to funkcja LINIOWA liczby uczestników: opłata stała plus stawka pomnożona przez liczbę osób. Pytanie „przy jakiej liczbie uczestników korzystniejsza jest oferta Alfy” oznacza „kiedy koszt Alfy jest MNIEJSZY od kosztu Bety” — czyli prowadzi do nierówności. Podpunkt b) to zwykły rachunek: koszt całkowity podzielony przez liczbę osób. **Krok \(2\).** Wprowadzamy oznaczenia. Niech \(n\) oznacza liczbę uczestników wycieczki (\(n\) jest liczbą naturalną dodatnią). Wtedy \[A(n)=3000+245n\ \text{(firma „Alfa”)},\qquad B(n)=4400+206n\ \text{(firma „Beta”)}.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy warunek „Alfa jest korzystniejsza”, czyli tańsza: \[3000+245n\lt4400+206n.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy nierówność. Przenosimy niewiadome na jedną stronę, liczby na drugą: \[245n-206n\lt4400-3000,\] \[39n\lt1400,\] \[n\lt\frac{1400}{39}=35\frac{35}{39}\approx35{,}9.\] **Krok \(5\).** Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną, spełnione są przypadki \(n=1,2,\ldots,35\). Zatem oferta firmy „Alfa” jest korzystniejsza dla grup liczących co najwyżej \(35\) uczestników. (Sprawdzenie dla \(n=36\): Alfa kosztuje \(3000+8820=11820\) zł, a Beta \(4400+7416=11816\) zł — istotnie, przy \(36\) osobach tańsza jest już Beta.) **Krok \(6\).** Podpunkt b): obliczamy koszt całkowity wycieczki dla \(38\) osób w firmie „Beta”: \[B(38)=4400+206\cdot38=4400+7828=12228\ \text{zł}.\] **Krok \(7\).** Dzielimy przez liczbę uczestników: \[\frac{12228}{38}=321{,}789\ldots\approx322\ \text{zł}.\] **Uwaga.** Pułapką jest zaokrąglenie w kroku \(5\): liczba \(\frac{1400}{39}\) nie jest całkowita, a nierówność jest OSTRA, więc największym dobrym \(n\) jest \(35\) — zaokrąglamy W DÓŁ, a nie do najbliższej liczby całkowitej (\(36\) już nie działa). W podpunkcie b) trzeba pamiętać, że opłata stała \(4400\) zł też rozkłada się na uczestników, i że wynik zaokrąglamy do pełnych złotych, jak żąda treść. **Odpowiedź.** a) Oferta firmy Alfa jest korzystniejsza dla grup liczących co najwyżej \(35\) uczestników (bo \(n\lt\tfrac{1400}{39}=35\tfrac{35}{39}\)); b) na jednego uczestnika przypada około \(322\ \text{zł}\).

**1. (1 pkt)** – Rozwiązanie nierówności wraz z podaniem właściwej odpowiedzi a): \(n<35\frac{35}{39}\), czyli oferta firmy „Alfa” jest korzystniejsza dla grup liczących co najwyżej \(35\) osób. **2. (2 pkt)** – Obliczenie kosztów przypadających na jednego uczestnika (1 punkt przyznajemy za prawidłową metodę, 1 punkt za prawidłowe obliczenia i zaokrąglenie wyniku): \(322\) zł

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.