Potęgi i pierwiastki — działania na potęgach, wykładnik wymierny i ujemny, usuwanie niewymierności z mianownika

**C.** \(\frac12\)

Pierwiastki nieparzystego stopnia są określone także dla liczb ujemnych, więc obliczamy je wprost z definicji: \[\sqrt[3]{-64}=-4,\qquad \sqrt[3]{27}=3,\qquad \sqrt[5]{-32}=-2,\] bo \((-4)^3=-64\), \(3^3=27\) oraz \((-2)^5=-32\). Zatem \[\frac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}=\frac{-4+3}{-2}=\frac{-1}{-2}=\frac12.\] **Odpowiedź.** **C.** \(\frac12\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymagania określone w podstawie programowej **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.3) Zdający posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach.

**C.** \(9^{14}\)

Dzielenie przez potęgę zamieniamy na mnożenie przez potęgę o przeciwnym wykładniku, a następnie sprowadzamy obie potęgi do wspólnej podstawy \(9=3^2\): \[\frac{9^{4}}{3^{-20}}=9^{4}\cdot3^{20}=9^{4}\cdot\left(3^{2}\right)^{10}=9^{4}\cdot9^{10}=9^{14}.\] **Odpowiedź.** **C.** \(9^{14}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.4) Zdający […] stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych.

C. \(3\)

Iloczyn pierwiastków tego samego stopnia zapisujemy jako pierwiastek z iloczynu: \[\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt2=\sqrt{\frac{25}{8}\cdot2}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac52.\] Ponadto \(2^{-1}=\frac12\). Zatem \[\frac52+\frac12=3.\] **Odpowiedź.** **C.** \(3\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymagania określone w podstawie programowej **Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.1) Zdający wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych; I.4) Zdający stosuje […] prawa działań na […] pierwiastkach.

**C.** \(5^{\frac34}\)

Pierwiastek zapisujemy jako potęgę o wykładniku wymiernym i korzystamy z prawa mnożenia potęg o tej samej podstawie: \[5\sqrt5=5^1\cdot5^{\frac12}=5^{\frac32}.\] Zatem \[\sqrt{5\sqrt5}=\left(5^{\frac32}\right)^{\frac12}=5^{\frac34}.\] **Odpowiedź.** **C.** \(5^{\frac34}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.4) Zdający stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach.

**P, P.**

Sprowadzamy liczbę do jednej potęgi dziesiątki: \[4^{12}\cdot5^{24}=\left(2^2\right)^{12}\cdot5^{24}=2^{24}\cdot5^{24}=(2\cdot5)^{24}=10^{24}.\] **Stwierdzenie 1.** \(10^{24}=20\cdot5\cdot10^{22}\), więc liczba jest podzielna przez \(20\) — stwierdzenie prawdziwe. **Stwierdzenie 2.** Liczba \(10^{24}\) to jedynka i \(24\) zera, czyli razem \(25\) cyfr — stwierdzenie prawdziwe. **Odpowiedź.** **P, P**

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych; I.4) Zdający stosuje […] prawa działań na potęgach […].

**B.** \(-5\)

\[\frac{\sqrt[3]{50}\cdot\sqrt[3]{-15}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{3}}=\sqrt[3]{\frac{50\cdot(-15)}{2\cdot3}}=\sqrt[3]{-125}=-5.\] Zatem poprawna jest odpowiedź **B**.

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** I.3) Zdający stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych.

**B.** \(3^5\)

**Krok \(1\).** W wyrażeniu występują trzy różne podstawy: \(3\), \(9\) i \(27\). Ponieważ \(9=3^{2}\) i \(27=3^{3}\), wszystko można sprowadzić do potęg trójki — dopiero wtedy wolno dodawać i odejmować wykładniki. **Krok \(2\).** Zamieniamy \(9^{20}\), korzystając ze wzoru \((a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}\): \[9^{20}=(3^{2})^{20}=3^{40}.\] **Krok \(3\).** Tak samo zamieniamy \(27^{15}\): \[27^{15}=(3^{3})^{15}=3^{45}.\] **Krok \(4\).** Mnożymy potęgi w liczniku (wykładniki dodajemy): \[3^{10}\cdot3^{40}=3^{10+40}=3^{50}.\] **Krok \(5\).** Dzielimy (wykładniki odejmujemy): \[\frac{3^{50}}{3^{45}}=3^{50-45}=3^{5}.\] **Uwaga.** Trzeba rozróżnić dwie operacje na wykładnikach: przy potęgowaniu potęgi wykładniki **mnożymy** (\((3^{2})^{20}=3^{40}\), a nie \(3^{22}\)), a przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie je **dodajemy**. **Odpowiedź.** B: \(3^{5}\)

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** I.4) Zdający stosuje prawa działań na potęgach.

**B.** \(256\cdot\sqrt[3]{8^{2}}=2^{8}\cdot\sqrt[3]{2^{6}}=2^{8}\cdot2^{2}=2^{10}\).

Sprowadzamy oba czynniki do potęg dwójki. Mamy \(256=2^8\) oraz \[\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{\left(2^3\right)^2}=\sqrt[3]{2^6}=2^{\frac63}=2^2.\] Zatem \[256\cdot\sqrt[3]{8^2}=2^8\cdot2^2=2^{10}.\] **Odpowiedź.** **B.** \(2^{10}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: 1.4) Oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach.

**B.** \(256\cdot\sqrt[3]{8^{2}}=2^{8}\cdot\sqrt[3]{2^{6}}=2^{8}\cdot2^{2}=2^{10}\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy cel: wszystkie odpowiedzi są potęgami liczby \(2\), więc oba czynniki trzeba zapisać jako potęgi dwójki, a pierwiastek zamienić na potęgę o wykładniku ułamkowym. **Krok \(2\).** Rozkładamy \(256\). Kolejne potęgi dwójki to \(2,4,8,16,32,64,128,256\), czyli \[256=2^{8}.\] **Krok \(3\).** Zajmujemy się liczbą pod pierwiastkiem. Skoro \(8=2^{3}\), to \[8^{2}=\left(2^{3}\right)^{2}=2^{3\cdot2}=2^{6}.\] **Krok \(4\).** Pierwiastek trzeciego stopnia to potęga o wykładniku \(\tfrac13\), więc wykładnik dzielimy przez \(3\): \[\sqrt[3]{2^{6}}=2^{\frac63}=2^{2}.\] **Krok \(5\).** Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, czyli dodajemy wykładniki: \[256\cdot\sqrt[3]{8^{2}}=2^{8}\cdot2^{2}=2^{8+2}=2^{10}.\] **Uwaga.** Przy pierwiastkowaniu wykładnik **dzielimy** przez stopień pierwiastka (\(6:3=2\)), a nie odejmujemy. Warto też sprawdzić rachunkiem kontrolnym: \(\sqrt[3]{8^{2}}=\sqrt[3]{64}=4\), więc \(256\cdot4=1024=2^{10}\). **Odpowiedź.** B: \(2^{10}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: I. Sprawność rachunkowa. Wymaganie szczegółowe: I.4) Stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem i prawa działań na potęgach i pierwiastkach.

**B.** \(f(-\frac{2}{3})=64^{-2/3}=(\sqrt[3]{64})^{-2}=4^{-2}=\frac{1}{16}\).

Korzystamy z definicji potęgi o wykładniku wymiernym ujemnym: \[64^{-\frac23}=\frac{1}{64^{\frac23}}=\frac{1}{\left(\sqrt[3]{64}\right)^{2}}.\] Ponieważ \(\sqrt[3]{64}=4\), otrzymujemy \[f\!\left(-\frac23\right)=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}.\] Ten sam wynik daje zapis \(64=2^6\): \[64^{-\frac23}=\left(2^6\right)^{-\frac23}=2^{-4}=\frac1{16}.\] **Odpowiedź.** B: \(\frac1{16}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: 4.2) Oblicza wartość funkcji; 4.15) posługuje się funkcją wykładniczą.

**C.** \(4\)

Wyłączamy czynnik \(\sqrt[3]{2}\): \[\sqrt[3]{250}=\sqrt[3]{125\cdot2}=5\sqrt[3]{2},\qquad \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=3\sqrt[3]{2}.\] Zatem \[\frac{5\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{2}}{5\sqrt[3]{2}-3\sqrt[3]{2}}=\frac{8\sqrt[3]{2}}{2\sqrt[3]{2}}=4.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - operowanie obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** I.3) Zdający stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia.

\[1.\]

Przekształcamy wyrażenie: \[\frac{ab}{\sqrt a+\sqrt b}:\frac{\sqrt a-\sqrt b}{a-b}=\frac{ab}{\sqrt a+\sqrt b}\cdot\frac{a-b}{\sqrt a-\sqrt b}.\] Ponieważ \(a-b=(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)\), otrzymujemy \[\frac{ab}{\sqrt a+\sqrt b}\cdot(\sqrt a+\sqrt b)=ab.\] Dalej \[ab=(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)=5-4=1.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(1\) **1 pkt** – przekształcenie całego wyrażenia do postaci \(ab\) albo wykazanie odpowiednich par liczb wzajemnie odwrotnych **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** I.1) Zdający wykonuje działania w zbiorze liczb rzeczywistych. II.1) Stosuje wzór na różnicę kwadratów.

**B** oraz **D**.

Rozwijamy kwadrat: \[x=a-(\sqrt3-\sqrt2)^2=a-(3-2\sqrt6+2)=a-5+2\sqrt6.\] Liczba \(x\) jest wymierna wtedy, gdy \(a=q-2\sqrt6\) dla pewnego \(q\in\mathbb{Q}\). W odpowiedzi **B** \[a=(\sqrt2-\sqrt3)^2+0{,}3=5-2\sqrt6+0{,}3=5{,}3-2\sqrt6,\] a odpowiedź **D** ma postać \[a=12{,}5-2\sqrt6.\] Tylko te dwie wartości spełniają warunek.

**2 pkt** – wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi: **B** i **D** **1 pkt** – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest poprawna: **B** albo **D** **0 pkt** – odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** II.1) Zdający stosuje wzory skróconego mnożenia.

**B.** Ponieważ \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), mamy \((\sqrt{32}-\sqrt{2})^{2}=(3\sqrt{2})^{2}=18\).

Najpierw upraszczamy pierwiastek: \(\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt2\). Zatem \[\left(\sqrt{32}-\sqrt2\right)^2=\left(4\sqrt2-\sqrt2\right)^2=\left(3\sqrt2\right)^2=9\cdot2=18.\] **Odpowiedź.** **B.** \(18\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymagania określone w podstawie programowej **Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.3) Zdający stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia […]; I.4) Zdający stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach.

**B.** Wyłączamy \(5^{12}\) przed nawias: \[\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}=1+5+25=31.\]

**Krok \(1\).** W liczniku jest suma trzech potęg o tej samej podstawie \(5\). Sumy potęg nie wolno skracać z mianownikiem wyraz po wyrazie ani dodawać wykładników. Właściwy ruch to wyłączenie przed nawias najmniejszej z potęg, czyli \(5^{12}\). **Krok \(2\).** Zapisujemy dwie większe potęgi przy pomocy \(5^{12}\), korzystając z tego, że przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki się dodają: \[5^{13}=5^{12}\cdot5,\qquad 5^{14}=5^{12}\cdot5^2.\] **Krok \(3\).** Wyłączamy \(5^{12}\) przed nawias: \[5^{12}+5^{13}+5^{14}=5^{12}\left(1+5+5^2\right).\] **Krok \(4\).** Wstawiamy to do ułamka i skracamy \(5^{12}\) (jest różne od zera): \[\frac{5^{12}\left(1+5+5^2\right)}{5^{12}}=1+5+5^2.\] **Krok \(5\).** Liczymy wartość nawiasu: \[1+5+25=31.\] **Uwaga.** Pierwszy składnik po wyłączeniu daje \(1\), a nie \(0\) — bo \(5^{12}=5^{12}\cdot1\). Pominięcie tej jedynki daje \(5+25=30\), czyli odpowiedź A. To najczęstszy błąd w tym zadaniu. **Odpowiedź.** B: \(31\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.4) Zdający stosuje […] prawa działań na potęgach […].

**C.** \(\sqrt[3]{24}=2\sqrt[3]{3}\) oraz \(\sqrt[3]{192}=4\sqrt[3]{3}\), więc suma jest równa \(6\sqrt[3]{3}\).

Z każdego pierwiastka wyłączamy sześcian największego dzielnika: \[\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\cdot3}=2\sqrt[3]{3},\qquad \sqrt[3]{192}=\sqrt[3]{64\cdot3}=4\sqrt[3]{3}.\] Oba składniki mają teraz ten sam czynnik \(\sqrt[3]{3}\), więc \[2\sqrt[3]{3}+4\sqrt[3]{3}=6\sqrt[3]{3}.\] Pierwiastków nie wolno dodawać pod jednym znakiem: \(\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{192}\neq\sqrt[3]{216}=6\), co daje błędny wariant **A**. **Odpowiedź.** **C.** \(6\sqrt[3]{3}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.3) Zdający stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia […].

**D.** \(25^{-2}=5^{-4}\) oraz \(125^{-4}=5^{-12}\), więc \(\frac{25^{-2}}{125^{-4}}=5^{-4-(-12)}=5^{8}\).

**Krok \(1\).** Podstawy \(25\) i \(125\) są różne, ale obie są potęgami piątki. Sprowadzamy więc licznik i mianownik do wspólnej podstawy \(5\) — dopiero wtedy będzie można skorzystać z reguły dzielenia potęg. **Krok \(2\).** Zamieniamy licznik. Ponieważ \(25=5^2\), a przy potędze z potęgi wykładniki się mnożą: \[25^{-2}=\left(5^2\right)^{-2}=5^{2\cdot(-2)}=5^{-4}.\] **Krok \(3\).** Tak samo mianownik. Ponieważ \(125=5^3\): \[125^{-4}=\left(5^3\right)^{-4}=5^{3\cdot(-4)}=5^{-12}.\] **Krok \(4\).** Dzielimy potęgi o tej samej podstawie, czyli odejmujemy wykładniki: \[\frac{5^{-4}}{5^{-12}}=5^{-4-(-12)}.\] **Krok \(5\).** Ostrożnie liczymy wykładnik — odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie: \[-4-(-12)=-4+12=8.\] **Krok \(6\).** Zatem wartość wyrażenia to \(5^8\). **Uwaga.** Największa pułapka to potraktowanie \(-4-(-12)\) jak \(-4-12=-16\), co daje odpowiedź A. Dwa minusy obok siebie dają plus. **Odpowiedź.** D: \(5^8\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.4) Zdający stosuje […] prawa działań na potęgach […].

**D.** \(4\)

Ponieważ \(32=2^5\), mamy \[2^{-1}\cdot32^{\frac35}=2^{-1}\cdot(2^5)^{\frac35}=2^{-1}\cdot2^3=2^2=4.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów. **Wymagania szczegółowe:** I.1) Zdający wykonuje działania, w tym potęgowanie, w zbiorze liczb rzeczywistych. I.4) Zdający stosuje prawa działań na potęgach.

**D.** \(42+8\sqrt5\)

Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy: \[\left(2\sqrt{10}+\sqrt2\right)^2=\left(2\sqrt{10}\right)^2+2\cdot2\sqrt{10}\cdot\sqrt2+\left(\sqrt2\right)^2=40+4\sqrt{20}+2.\] Upraszczamy pierwiastek: \(\sqrt{20}=2\sqrt5\), zatem \[42+4\cdot2\sqrt5=42+8\sqrt5.\] **Odpowiedź.** **D.** \(42+8\sqrt5\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.3) Zdający stosuje własności pierwiastków […]; II.1) Zdający stosuje wzory skróconego mnożenia na: \((a+b)^2\), \((a-b)^2\), \(a^2-b^2\).

**A.** \(5^4\)

Zapisujemy pierwiastek i ułamek jako potęgi liczby \(5\): \[\sqrt[5]{5}\cdot\frac15=5^{\frac15}\cdot5^{-1}=5^{-\frac45}.\] Zatem \[\left(5^{-\frac45}\right)^{-5}=5^4.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.4) Zdający stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach.

**B.** \(2^{16}\)

Sprowadzamy wszystkie liczby do potęg o podstawie \(2\): \[\left(\frac1{16}\right)^8\cdot8^{16}=(2^{-4})^8\cdot(2^3)^{16}=2^{-32}\cdot2^{48}=2^{16}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych i stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń. **Wymagania szczegółowe:** I.4) Zdający stosuje prawa działań na potęgach.

**C.** \(2{,}5\)

Ponieważ \(-0{,}5=-\frac12\), mamy \[\left(\frac4{25}\right)^{-0{,}5}=\left(\frac4{25}\right)^{-\frac12}=\frac1{\sqrt{\frac4{25}}}=\frac1{\frac25}=\frac52=2{,}5.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń oraz wykorzystywanie tych umiejętności w problemach teoretycznych i praktycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.1) Zdający wykonuje działania, w tym potęgowanie, w zbiorze liczb rzeczywistych.

**B.** \(6\)

Iloczyn jest różnicą kwadratów — czynniki różnią się tylko kolejnością składników i znakiem: \[\left(\sqrt8-\sqrt2\right)\left(\sqrt2+\sqrt8\right)=\left(\sqrt8\right)^2-\left(\sqrt2\right)^2=8-2=6.\] **Odpowiedź.** **B.** \(6\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.3) Zdający posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach. 2. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).

**B.** \(6^{101}\)

**Krok \(1\).** Najważniejsze jest zauważenie, co tu właściwie robimy: składniki są **dodawane**, a nie mnożone. Przy dodawaniu potęg nie stosujemy praw działań na potęgach — zamiast tego korzystamy z tego, że suma jednakowych składników to mnożenie. **Krok \(2\).** Składników jest sześć i każdy jest równy \(6^{100}\), więc \[6^{100}+6^{100}+6^{100}+6^{100}+6^{100}+6^{100}=6\cdot6^{100}.\] **Krok \(3\).** Dopiero teraz mamy mnożenie potęg o tej samej podstawie. Zapisujemy \(6=6^1\): \[6\cdot6^{100}=6^1\cdot6^{100}=6^{1+100}=6^{101}.\] **Krok \(4\).** Sprawdźmy regułę na małych liczbach, żeby mieć pewność: \[6^2+6^2+6^2+6^2+6^2+6^2=6\cdot36=216=6^3,\] a \(3=2+1\) — zgadza się z tym, co zrobiliśmy w kroku \(3\). **Krok \(5\).** Otrzymana wartość to \(6^{101}\), czyli wariant **B**. **Uwaga.** Warto zobaczyć, skąd biorą się dystraktory: \(6^{600}\) wyszłoby z \(\left(6^{100}\right)^6\), a \(36^{100}\) z iloczynu \(6^{100}\cdot6^{100}\). Oba działania to mnożenie, a w zadaniu mamy dodawanie. **Odpowiedź.** B: \(6^{101}\)

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** I.1 i I.4 wykonywanie działań w zbiorze liczb rzeczywistych oraz stosowanie praw działań na potęgach i pierwiastkach.

**C.** \(3^{30}\)

**Krok \(1\).** Mamy iloraz dwóch potęg o różnych podstawach i różnych wykładnikach, więc praw działań nie da się zastosować od razu. Ratunkiem jest spostrzeżenie, że \(30=2\cdot 15\) — możemy sprowadzić obie potęgi do tego samego wykładnika \(15\). **Krok \(2\).** Przekształcamy licznik, korzystając ze wzoru \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}\) czytanego od prawej do lewej: \[6^{30}=\left(6^{2}\right)^{15}=36^{15}.\] **Krok \(3\).** Teraz obie potęgi mają wykładnik \(15\), więc stosujemy wzór \(\frac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n}\): \[\frac{36^{15}}{4^{15}}=\left(\frac{36}{4}\right)^{15}=9^{15}.\] **Krok \(4\).** Zapisujemy \(9\) jako potęgę trójki: \[9^{15}=\left(3^{2}\right)^{15}=3^{30}.\] **Krok \(5\).** Odpowiedzi \((1{,}5)^{15}\) i \((1{,}5)^{2}\) są pułapką dla kogoś, kto podzieli same podstawy \(6:4=1{,}5\), nie zważając na różne wykładniki. Tak robić nie wolno — wzór \(\frac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n}\) wymaga równych wykładników, a te wyrównaliśmy dopiero w kroku \(2\). **Uwaga.** Kolejność jest tu istotna: najpierw wyrównujemy wykładniki, dopiero potem dzielimy podstawy. **Odpowiedź.** C. \(3^{30}\)

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Element podstawy programowej:** liczby rzeczywiste i potęgi; zdający stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach całkowitych.

**A.** \(x\)

Pierwiastki zapisujemy jako potęgi o wykładnikach wymiernych i dodajemy wykładniki: \[\sqrt x\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}=x^{\frac12}\cdot x^{\frac13}\cdot x^{\frac16}=x^{\frac12+\frac13+\frac16}.\] Sprowadzamy wykładniki do wspólnego mianownika: \[\frac36+\frac26+\frac16=\frac66=1,\] więc iloczyn jest równy \(x^1=x\). **Odpowiedź.** **A.** \(x\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.4) Zdający stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach.

**C.** \(\frac13\)

Zapisujemy \(-2{,}4=-\frac{12}{5}\) i korzystamy z praw działań na potęgach: \[\left(3^{-2{,}4}\cdot3^{\frac25}\right)^{\frac12}=\left(3^{-\frac{12}{5}+\frac25}\right)^{\frac12}=\left(3^{-2}\right)^{\frac12}=3^{-1}=\frac13.\]

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa; wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych i stosowanie praw działań. **Wymagania szczegółowe:** I.1 i I.4 wykonywanie działań, w tym potęgowania, w zbiorze liczb rzeczywistych oraz stosowanie związku pierwiastkowania z potęgowaniem i praw działań na potęgach i pierwiastkach.

\[\frac{x+y}{x}=\frac{1+\sqrt5}{2}.\]

Z warunku \(\frac{x}{y}=\frac{1+\sqrt5}{2}\) otrzymujemy \(\frac{y}{x}=\frac{2}{1+\sqrt5}\). Zatem \[\frac{x+y}{x}=1+\frac{y}{x}=1+\frac{2}{1+\sqrt5}=\frac{3+\sqrt5}{1+\sqrt5}.\] Usuwamy niewymierność z mianownika: \[\frac{3+\sqrt5}{1+\sqrt5}\cdot\frac{1-\sqrt5}{1-\sqrt5}=\frac{1+\sqrt5}{2}.\]

**2 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(\frac{1+\sqrt5}{2}\) **1 pkt** – uzyskanie postaci \(1+\frac{2}{1+\sqrt5}\) albo \(\frac{3+\sqrt5}{1+\sqrt5}\) **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** II.1 i II.8 stosowanie wzorów skróconego mnożenia oraz wykonywanie działań na wyrażeniach wymiernych.

\[1.\]

Ponieważ \(a-b=(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)\), mamy \[\frac{a b}{\sqrt a+\sqrt b}\div\frac{\sqrt a-\sqrt b}{a-b}=ab.\] Dalej \[ab=(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)=5-4=1.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(1\) **1 pkt** – przekształcenie całego wyrażenia do postaci \(a\cdot b\) albo wykazanie odpowiednich par liczb wzajemnie odwrotnych **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** I.1 wykonywanie działań, w tym pierwiastkowania, w zbiorze liczb rzeczywistych.

**C i E.**

Rozwijamy kwadrat: \[x=a-(\sqrt3-\sqrt2)^2=a-(5-2\sqrt6)=a-5+2\sqrt6.\] Liczba \(x\) jest wymierna, gdy \(a=q-2\sqrt6\) dla pewnej liczby wymiernej \(q\). Warunek ten spełniają \[a=(\sqrt2-\sqrt3)^2+0{,}3=5{,}3-2\sqrt6\] oraz \(a=12{,}5-2\sqrt6\), czyli odpowiedzi C i E.

**2 pkt** – wybranie odpowiedzi C i E **1 pkt** – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna: C albo E **0 pkt** – odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** II.1 stosowanie wzorów skróconego mnożenia.

**A.** \(-\frac32\)

**Krok \(1\).** Mamy iloczyn dwóch pierwiastków tego samego stopnia, więc możemy je połączyć w jeden pierwiastek: \(\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}\). Pierwiastek stopnia nieparzystego istnieje także dla liczb ujemnych, więc minus nam nie przeszkadza. **Krok \(2\).** Łączymy pierwiastki: \[\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{-\frac{27}{16}\cdot2}=\sqrt[3]{-\frac{54}{16}}.\] **Krok \(3\).** Skracamy ułamek przez \(2\): \[\frac{54}{16}=\frac{27}{8},\qquad\text{więc}\qquad \sqrt[3]{-\frac{54}{16}}=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}.\] **Krok \(4\).** Wyciągamy minus przed pierwiastek i liczymy pierwiastek z licznika i mianownika: \[\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=-\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}=-\frac{3}{2}.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy: \(\left(-\frac32\right)^{3}=-\frac{27}{8}\), czyli dokładnie liczba spod pierwiastka. **Uwaga.** Wynik musi być ujemny, bo sześcian liczby ujemnej jest ujemny. Od razu odpada więc \(\frac32\) i \(\frac23\). Warto też zauważyć, że skracanie do \(\frac{27}{8}\) nie jest przypadkiem: \(27\) i \(8\) to sześciany liczb \(3\) i \(2\). **Odpowiedź.** A, czyli \(-\frac32\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych i stosowanie praw działań. **Wymagania szczegółowe:** I.4 zdający stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach.

**D.** \(7\sqrt5\)

**Krok \(1\).** Mamy odjąć dwa pierwiastki o różnych liczbach podpierwiastkowych. Tak zapisanych pierwiastków nie da się odjąć bezpośrednio — najpierw trzeba je uprościć, wyłączając czynnik przed znak pierwiastka. Liczymy na to, że pod oboma zostanie ta sama liczba. **Krok \(2\).** Rozkładamy \(45\) tak, aby wyodrębnić kwadrat: \(45=9\cdot5\). Zatem \[\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=\sqrt9\cdot\sqrt5=3\sqrt5.\] **Krok \(3\).** Uwzględniamy trójkę stojącą przed pierwiastkiem: \[3\sqrt{45}=3\cdot3\sqrt5=9\sqrt5.\] **Krok \(4\).** Tak samo postępujemy z drugim pierwiastkiem: \(20=4\cdot5\), więc \[\sqrt{20}=\sqrt4\cdot\sqrt5=2\sqrt5.\] **Krok \(5\).** Teraz oba wyrazy zawierają \(\sqrt5\), więc traktujemy \(\sqrt5\) jak wspólny czynnik: \[9\sqrt5-2\sqrt5=(9-2)\sqrt5=7\sqrt5.\] **Uwaga.** Pierwiastek z różnicy to nie to samo co różnica pierwiastków: \(\sqrt{45}-\sqrt{20}\neq\sqrt{45-20}\). Odpowiedzi A i B biorą się właśnie z takich niedozwolonych skrótów, a odpowiedź C — z zapomnienia o \(\sqrt5\) na końcu. **Odpowiedź.** D: \(7\sqrt5\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste - działania na pierwiastkach.

A. \(\frac{1}{3}\)

**Krok \(1\).** W wyrażeniu \[\frac{3^{-1}}{\left(-\tfrac19\right)^{-2}}\cdot81\] występują wykładniki ujemne. Reguła jest jedna: \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\), czyli ujemny wykładnik oznacza przejście do odwrotności. Liczymy osobno licznik i mianownik, a dopiero potem wykonujemy dzielenie i mnożenie. **Krok \(2\).** Licznik: \[3^{-1}=\frac13.\] **Krok \(3\).** Mianownik. Najpierw odwrotność, potem kwadrat: \[\left(-\frac19\right)^{-2}=\frac{1}{\left(-\frac19\right)^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{81}}=81.\] Zauważmy, że wykładnik jest parzysty, więc minus znika. **Krok \(4\).** Wstawiamy do wyrażenia: \[\frac{\frac13}{81}\cdot81.\] **Krok \(5\).** Dzielenie przez \(81\) i mnożenie przez \(81\) znoszą się wzajemnie, więc zostaje \[\frac13.\] (Gdyby liczyć „na piechotę”: \(\frac{1}{3}:81=\frac{1}{243}\), a następnie \(\frac{1}{243}\cdot81=\frac{81}{243}=\frac13\).) **Uwaga.** Ujemny wykładnik sam w sobie nie robi liczby ujemnej — o znaku decyduje podstawa i parzystość wykładnika. Tutaj podstawa jest ujemna, ale wykładnik \(-2\) jest parzysty, więc wynik wychodzi dodatni i odpowiedzi ze znakiem minus odpadają. **Odpowiedź.** A: \(\frac13\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Zadanie 5. (0–1) Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

B. \(0\)

**Krok \(1\).** Zanim cokolwiek policzymy, przyjrzyjmy się nawiasom: \(2-\sqrt3\) oraz \(\sqrt3-2\). Różnią się tylko kolejnością odejmowania, czyli są liczbami przeciwnymi. To spostrzeżenie załatwia całe zadanie. **Krok \(2\).** Zapisujemy to formalnie: \[\sqrt3-2=-\left(2-\sqrt3\right).\] **Krok \(3\).** Kwadrat liczby przeciwnej jest taki sam jak kwadrat liczby wyjściowej, bo \((-t)^2=t^2\). Zatem \[\left(\sqrt3-2\right)^2=\left(2-\sqrt3\right)^2.\] **Krok \(4\).** Odejmujemy dwie równe liczby, więc wynik to zero: \[\left(2-\sqrt3\right)^2-\left(\sqrt3-2\right)^2=0.\] **Krok \(5\).** Kontrola przez wymnożenie obu kwadratów: \[\left(2-\sqrt3\right)^2=4-4\sqrt3+3=7-4\sqrt3,\qquad \left(\sqrt3-2\right)^2=3-4\sqrt3+4=7-4\sqrt3,\] a ich różnica rzeczywiście wynosi \(0\). **Uwaga.** Nie należy mylić tego zadania z poprzednim typem, w którym nawiasy różnią się znakiem tylko przy jednym składniku (np. \(1+\sqrt5\) i \(1-\sqrt5\)) — tam wynik nie jest zerem. Tutaj zmieniono znak przy **obu** składnikach naraz. **Odpowiedź.** B: \(0\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Zadanie 6. (0–1) Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**D.** \(2\sqrt2\)

Mamy \(\sqrt{128}=8\sqrt2\) oraz \(\sqrt[3]{64}=4\), więc \[\sqrt{128}:\sqrt[3]{64}=\frac{8\sqrt2}{4}=2\sqrt2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.3 posługiwanie się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosowanie praw działań na pierwiastkach.

**B.** \(3\)

**Krok \(1\).** W liczniku i mianowniku występują potęgi tych samych podstaw \(2\), \(3\) i \(4\). Nie wymnażamy niczego na siłę: dzielimy potęgi parami, korzystając ze wzoru \(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\). **Krok \(2\).** Podstawa \(2\): \[\frac{2^{-3}}{2^{-1}}=2^{-3-(-1)}=2^{-3+1}=2^{-2}=\frac14.\] **Krok \(3\).** Podstawa \(3\): \[\frac{3^{-3}}{3^{-4}}=3^{-3-(-4)}=3^{-3+4}=3^{1}=3.\] **Krok \(4\).** Podstawa \(4\): \[\frac{4^{0}}{4^{-1}}=4^{0-(-1)}=4^{1}=4.\] **Krok \(5\).** Mnożymy otrzymane wyniki: \[\frac14\cdot3\cdot4=\frac{12}{4}=3.\] **Uwaga.** Odejmowanie wykładnika ujemnego to dodawanie: \(-3-(-1)=-2\), a nie \(-4\). Warto też pamiętać, że \(4^{0}=1\), a nie \(0\). **Odpowiedź.** B, czyli \(3\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.4 obliczanie potęg o wykładnikach wymiernych i stosowanie praw działań na takich potęgach.

**C.** \(\sqrt5\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy: to działanie na potęgach o wykładnikach wymiernych, wszystko przy jednej podstawie \(5\). Plan: najpierw uprościć wyrażenie w nawiasie (iloczyn potęg o tej samej podstawie), potem zastosować wzór na potęgę potęgi, a na końcu zamienić wykładnik ułamkowy z powrotem na pierwiastek. **Krok \(2\).** Zapisujemy pierwszy czynnik z jawnym wykładnikiem: \(5=5^{1}\). Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki: \[5\cdot5^{\frac12}=5^{1+\frac12}=5^{\frac32}.\] **Krok \(3\).** Teraz potęgujemy nawias, stosując \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}\), czyli mnożąc wykładniki: \[\left(5^{\frac32}\right)^{\frac13}=5^{\frac32\cdot\frac13}=5^{\frac36}=5^{\frac12}.\] **Krok \(4\).** Wykładnik \(\tfrac12\) oznacza pierwiastek kwadratowy: \[5^{\frac12}=\sqrt5.\] **Uwaga.** Łatwo tu pomylić obie reguły: przy **mnożeniu** potęg wykładniki dodajemy (\(1+\tfrac12=\tfrac32\)), a przy **potęgowaniu potęgi** mnożymy (\(\tfrac32\cdot\tfrac13=\tfrac12\)). Zamiana tych działań miejscami prowadzi do odpowiedzi \(\sqrt[6]{5}\) lub \(\sqrt[3]{25}\). **Odpowiedź.** C: \(\sqrt5\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych i stosowanie praw działań matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.1 i I.4 wykonywanie działań, w tym mnożenia i potęgowania, w zbiorze liczb rzeczywistych oraz stosowanie związku pierwiastkowania z potęgowaniem i praw działań na potęgach i pierwiastkach.

**A.** \(2\)

Ponieważ \(\sqrt8=2\sqrt2\), mamy \[2\sqrt8-3\sqrt2=4\sqrt2-3\sqrt2=\sqrt2.\] Zatem \((2\sqrt8-3\sqrt2)^2=(\sqrt2)^2=2\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.3 posługiwanie się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosowanie praw działań na pierwiastkach.

**A.** \(3^2\cdot\sqrt[4]{3}\)

**Krok \(1\).** W wykładniku stoi suma \(2+\frac14\). Kluczowa własność potęg mówi, że sumie w wykładniku odpowiada **mnożenie** potęg: \[a^{m+n}=a^m\cdot a^n.\] **Krok \(2\).** Rozbijamy potęgę zgodnie z tym wzorem: \[3^{2+\frac14}=3^2\cdot 3^{\frac14}.\] **Krok \(3\).** Potęgę o wykładniku ułamkowym zamieniamy na pierwiastek, korzystając z \(a^{\frac1n}=\sqrt[n]{a}\): \[3^{\frac14}=\sqrt[4]{3}.\] **Krok \(4\).** Składamy wynik: \[3^{2+\frac14}=3^2\cdot\sqrt[4]{3}.\] **Uwaga.** Odpowiedzi C i D to typowa pułapka: sumie w wykładniku odpowiada iloczyn potęg, a nie suma. Zapis \(3^{2}+\sqrt[4]{3}\) byłby poprawny tylko wtedy, gdyby w treści stał plus między dwoma osobnymi potęgami. **Odpowiedź.** A: \(3^2\cdot\sqrt[4]{3}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.4 obliczanie potęg o wykładnikach wymiernych i stosowanie praw działań na takich potęgach.

**D.** \(2^{-130}\)

Korzystamy z równości \(8=2^3\): \[\frac{8^{-40}}{2^{10}}=\frac{(2^3)^{-40}}{2^{10}}=2^{-120-10}=2^{-130}.\]

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** I.1 stosowanie praw działań na potęgach o wykładnikach całkowitych.

**B.** \(\frac{4}{25}\)

Obliczamy wartość wyrażenia: \[\left(1+3\cdot2^{-1}\right)^{-2}=\left(1+3\cdot\frac12\right)^{-2}=\left(\frac52\right)^{-2}=\left(\frac25\right)^2=\frac4{25}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych. **Wymagania szczegółowe:** I.1 wykonywanie działań, w tym potęgowania, w zbiorze liczb rzeczywistych.

**D.** \(-1\)

**Krok \(1\).** Zanim zaczniemy wymnażać, przyglądamy się wyrażeniu: w obu składnikach powtarza się ten sam nawias \((\sqrt2-\sqrt3)\). To znak, żeby wyłączyć go przed nawias — rachunek zrobi się wtedy błyskawiczny. **Krok \(2\).** Wyłączamy wspólny czynnik: \[\sqrt2(\sqrt2-\sqrt3)+\sqrt3(\sqrt2-\sqrt3)=(\sqrt2-\sqrt3)(\sqrt2+\sqrt3).\] **Krok \(3\).** Powstał iloczyn sumy i różnicy tych samych liczb, czyli prawa strona wzoru na różnicę kwadratów: \[(u-v)(u+v)=u^2-v^2,\qquad u=\sqrt2,\ v=\sqrt3.\] **Krok \(4\).** Podstawiamy i korzystamy z tego, że kwadrat pierwiastka z liczby nieujemnej to ta liczba: \[(\sqrt2)^2-(\sqrt3)^2=2-3=-1.\] **Krok \(5\).** Sprawdzenie przez zwykłe wymnożenie nawiasów: \[\sqrt2\cdot\sqrt2-\sqrt2\cdot\sqrt3+\sqrt3\cdot\sqrt2-\sqrt3\cdot\sqrt3=2-\sqrt6+\sqrt6-3=-1.\] Środkowe wyrazy się znoszą, wynik ten sam. **Uwaga.** Odpowiedzi A i C zawierają \(2\sqrt6\) — powstają, gdy ktoś potraktuje wyrażenie jak kwadrat sumy albo różnicy i nie zauważy, że składniki z \(\sqrt6\) się skracają. **Odpowiedź.** D: \(-1\)

Zadanie 1. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

B. \(7\)

**Krok \(1\).** Całe wyrażenie \[\left(7^{\frac54}\cdot7^{\frac14}\right)^{\frac23}\] zbudowane jest z potęg o tej samej podstawie \(7\). Wystarczą dwa prawa: przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki **dodajemy**, a przy potęgowaniu potęgi — **mnożymy**. **Krok \(2\).** Zaczynamy od nawiasu (mnożenie): \[7^{\frac54}\cdot7^{\frac14}=7^{\frac54+\frac14}=7^{\frac64}=7^{\frac32}.\] **Krok \(3\).** Teraz potęgowanie potęgi: \[\left(7^{\frac32}\right)^{\frac23}=7^{\frac32\cdot\frac23}.\] **Krok \(4\).** Liczymy iloczyn wykładników: \[\frac32\cdot\frac23=\frac{6}{6}=1.\] **Krok \(5\).** Zatem całe wyrażenie jest równe \[7^1=7.\] **Uwaga.** Wykładniki \(\tfrac32\) i \(\tfrac23\) są wzajemnie odwrotne, więc ich iloczyn to \(1\) — nie wolno ich dodawać (dostalibyśmy \(\tfrac{13}{6}\), a takiej odpowiedzi nawet nie ma na liście). Kolejność też jest ważna: najpierw nawias, potem zewnętrzny wykładnik. **Odpowiedź.** B: \(7\)

Zadanie 2. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**B.** \(10^{16}\)

Zapisujemy obie liczby jako potęgi liczby \(10\): \[100^5=(10^2)^5=10^{10},\qquad (0{,}1)^{-6}=(10^{-1})^{-6}=10^6.\] Zatem \[100^5\cdot(0{,}1)^{-6}=10^{10}\cdot10^6=10^{16}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.4 obliczanie potęg o wykładnikach wymiernych i stosowanie praw działań na potęgach.

**A.** \(8-6\sqrt3\)

**Krok \(1\).** W wyrażeniu stoi kwadrat różnicy dwóch pierwiastków, więc pierwszym krokiem jest wzór skróconego mnożenia \[(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.\] Dopiero potem zajmiemy się odejmowaniem \(2\sqrt{3}\). **Krok \(2\).** Podstawiamy \(a=\sqrt{6}\) i \(b=\sqrt{2}\): \[\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)^{2}=\left(\sqrt{6}\right)^{2}-2\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}.\] **Krok \(3\).** Liczymy kwadraty pierwiastków: \(\left(\sqrt{6}\right)^{2}=6\) oraz \(\left(\sqrt{2}\right)^{2}=2\). **Krok \(4\).** Zajmujemy się środkowym składnikiem. Iloczyn pierwiastków to pierwiastek z iloczynu: \[\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3},\] więc \(2\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{3}\). **Krok \(5\).** Składamy wynik nawiasu: \[\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)^{2}=6+2-4\sqrt{3}=8-4\sqrt{3}.\] **Krok \(6\).** Odejmujemy \(2\sqrt{3}\). Wyrazy z \(\sqrt{3}\) traktujemy jak wyrazy podobne: \[8-4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=8-6\sqrt{3}.\] **Uwaga.** Dwa miejsca, w których najczęściej gubi się punkt: pominięcie podwojonego iloczynu (wtedy wychodzi \(8\) zamiast \(8-4\sqrt{3}\)) oraz nieuproszczenie \(\sqrt{12}\) do \(2\sqrt{3}\), przez co nie da się dodać wyrazów podobnych na końcu. **Odpowiedź.** A. \(8-6\sqrt{3}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.1 i 2.1 przedstawianie liczb z użyciem pierwiastków oraz stosowanie wzorów skróconego mnożenia.

**B.** \(b^{0{,}25}\)

Zapisujemy pierwiastki jako potęgi: \[\left(\sqrt b\cdot\sqrt[4]b\right)^{1/3}=\left(b^{1/2}b^{1/4}\right)^{1/3}=\left(b^{3/4}\right)^{1/3}=b^{1/4}=b^{0{,}25}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.4 obliczanie potęg o wykładnikach wymiernych i stosowanie praw działań na potęgach.

**D.** \(3^{-1}\)

Zapisujemy \(9\) jako potęgę liczby \(3\): \[9^{-10}\cdot3^{19}=(3^2)^{-10}\cdot3^{19}=3^{-20}\cdot3^{19}=3^{-1}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** 1.4 stosowanie praw działań na potęgach o wykładnikach całkowitych.

C. \(2^{30}\cdot 3^{20}\)

Podstawę mianownika rozkładamy na czynniki pierwsze: \(36=2^2\cdot3^2\), więc \[36^{10}=\left(2^2\cdot3^2\right)^{10}=2^{20}\cdot3^{20}.\] Korzystamy z prawa dzielenia potęg o tych samych podstawach: \[\frac{2^{50}\cdot3^{40}}{2^{20}\cdot3^{20}}=2^{50-20}\cdot3^{40-20}=2^{30}\cdot3^{20}.\] **Odpowiedź.** **C.** \(2^{30}\cdot3^{20}\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Poprawna odpowiedź: \(\mathrm{C}\)

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych (1.4).

**B.** \(\frac32\)

Podstawiamy \(x=\frac12\) do wzoru funkcji: \[f\left(\frac12\right)=4^{-1/2}+1=\frac1{\sqrt4}+1=\frac12+1=\frac32.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.2 obliczanie wartości funkcji dla danego argumentu.

**B.** \(\frac{2+\sqrt2-\sqrt6}{4}\)

Najpierw mnożymy licznik i mianownik przez \(\sqrt3+\sqrt2-1\): \[\frac1{\sqrt3+\sqrt2+1}=\frac{\sqrt3+\sqrt2-1}{(\sqrt3+\sqrt2)^2-1}=\frac{\sqrt3+\sqrt2-1}{4+2\sqrt6}.\] Następnie mnożymy przez \(\frac{\sqrt6-2}{\sqrt6-2}\). Mianownik jest równy \(4\), a licznik upraszcza się do \(2+\sqrt2-\sqrt6\). Ostatecznie \[\frac1{\sqrt3+\sqrt2+1}=\frac{2+\sqrt2-\sqrt6}{4}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** wykonywanie działań na pierwiastkach i usuwanie niewymierności z mianownika.

**A.** \(3^{\frac58}\)

Zapisujemy liczby pod pierwiastkiem jako potęgi liczby \(3\): \[9\cdot\sqrt3=3^2\cdot3^{\frac12}=3^{\frac52}.\] Zatem \[\sqrt[4]{9\cdot\sqrt3}=\left(3^{\frac52}\right)^{\frac14}=3^{\frac58}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste - potęgi o wykładnikach wymiernych i działania na potęgach.

**B.** \(15\) cyfr

Wydzielamy z liczby jak najwięcej par czynników \(2\cdot5\): \[n=2^{14}\cdot5^{15}=2^{14}\cdot5^{14}\cdot5=(2\cdot5)^{14}\cdot5=5\cdot10^{14}.\] Liczba \(5\cdot10^{14}\) to piątka i czternaście zer, czyli razem \(15\) cyfr. **Odpowiedź.** **B.** \(15\) cyfr

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 2. (0−1) 1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi Wersja Wersja II. Wykorzystanie o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa I II i interpretowanie działań na potęgach o wykładnikach reprezentacji. wymiernych (1.4). B C

**C.** \(125^{2/3}=25\)

Obliczamy wartości odpowiedzi: \[\left(\frac1{25}\right)^{-1/2}=5,\qquad 125^{1/3}=5,\] \[125^{2/3}=\left(\sqrt[3]{125}\right)^2=5^2=25.\] Natomiast \(\left(\frac1{25}\right)^{-1/5}=25^{1/5}<5\). Jedyną liczbą większą od \(5\) jest \(125^{2/3}\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje wyłącznie odpowiedzi. **Klasyfikacja rzeczowa:** potęgi o wykładnikach wymiernych i ujemnych.

**A.** \(1\)

Ponieważ \(\sqrt{u^2}=|u|\), mamy \[\sqrt{(1-\sqrt2)^2}+\sqrt{(2-\sqrt2)^2}=|1-\sqrt2|+|2-\sqrt2|.\] Z nierówności \(1<\sqrt2<2\) wynika \[|1-\sqrt2|=\sqrt2-1,\qquad |2-\sqrt2|=2-\sqrt2.\] Suma jest więc równa \(1\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje wyłącznie odpowiedzi. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste - pierwiastek z kwadratu, wartość bezwzględna i porównywanie liczb niewymiernych.

**B.** \(2^{20}-2\)

Sprowadzamy wszystkie potęgi do podstawy \(2\): \[8^{20}=2^{60},\qquad 4^{20}=2^{40},\qquad 2^{20}\cdot4^{10}=2^{40}.\] Stąd \[\frac{2^{60}-2\cdot2^{40}}{2^{40}}=2^{20}-2.\]

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje odpowiedzi bez osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** potęgi - prawa działań na potęgach o wykładnikach całkowitych i wyłączanie wspólnego czynnika.

**A.** \(k=a\)

**Krok \(1\).** Liczba \(k=2^{-\frac14}\) jest zapisana jako potęga dwójki o wykładniku wymiernym, a liczby \(a,b,c,d\) — za pomocą pierwiastka czwartego stopnia. Żeby je porównać, musimy sprowadzić wszystko do jednej postaci: potęgi o podstawie \(2\). **Krok \(2\).** Zamieniamy pierwiastek na potęgę. Korzystamy z tego, że \(8=2^3\) oraz \(\sqrt[n]{a}=a^{\frac1n}\): \[\sqrt[4]{8}=\left(2^3\right)^{\frac14}=2^{\frac34}.\] **Krok \(3\).** Przekształcamy liczbę \(a\), pamiętając, że \(2=2^1\), a przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie wykładniki odejmujemy: \[a=\frac{\sqrt[4]{8}}{2}=\frac{2^{\frac34}}{2^1}=2^{\frac34-1}=2^{-\frac14}.\] To jest dokładnie liczba \(k\). **Krok \(4\).** Dla pewności sprawdzamy pozostałe liczby: \[b=\frac{1}{2\sqrt[4]{8}}=\frac{1}{2^1\cdot2^{\frac34}}=\frac{1}{2^{\frac74}}=2^{-\frac74},\] \[c=\sqrt[4]{8}=2^{\frac34},\qquad d=\frac{2}{\sqrt[4]{8}}=\frac{2^1}{2^{\frac34}}=2^{\frac14}.\] **Krok \(5\).** Spośród wykładników \(-\frac14\), \(-\frac74\), \(\frac34\), \(\frac14\) tylko pierwszy jest równy \(-\frac14\), więc równość \(k=a\) jest jedyną prawdziwą. **Uwaga.** Wykładniki \(\frac14\) i \(-\frac14\) różnią się tylko znakiem, ale odpowiadające im liczby są odwrotnościami — dlatego \(d\ne k\). Znak wykładnika trzeba tu śledzić szczególnie uważnie. **Odpowiedź.** A: \(k=a\)

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.4 zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych.

**C.** \(\frac32\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy: mnożymy dwa pierwiastki **tego samego stopnia**, więc możemy zapisać je pod jednym pierwiastkiem, korzystając ze wzoru \[\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}.\] To zwykle najprostsza droga: pod jednym pierwiastkiem da się skrócić ułamki. **Krok \(2\).** Łączymy oba czynniki: \[\sqrt[3]{\frac73}\cdot\sqrt[3]{\frac{81}{56}}=\sqrt[3]{\frac{7}{3}\cdot\frac{81}{56}}=\sqrt[3]{\frac{7\cdot81}{3\cdot56}}.\] **Krok \(3\).** Skracamy **przed** wymnożeniem. Liczba \(7\) skraca się z \(56\), bo \(56=7\cdot8\), a \(81\) skraca się z \(3\), bo \(81=3\cdot27\): \[\frac{7\cdot81}{3\cdot56}=\frac{81}{3}\cdot\frac{7}{56}=27\cdot\frac18=\frac{27}{8}.\] **Krok \(4\).** Wyciągamy pierwiastek z ułamka, pierwiastkując osobno licznik i mianownik: \[\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{3}{2},\] bo \(3^{3}=27\) oraz \(2^{3}=8\). **Uwaga.** Skracanie przed mnożeniem jest tu kluczowe: gdyby wymnożyć na siłę, otrzymalibyśmy \(\sqrt[3]{\frac{567}{168}}\) i trudno byłoby dostrzec sześciany. Zauważ też, że wynik jest liczbą wymierną, choć oba czynniki wymierne nie były. **Odpowiedź.** C: \(\frac32\)

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne II.** **1.3:** zdający posługuje się pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach.

A

**Krok \(1\).** W zapisie treści zgubiły się znaki pierwiastków: chodzi o liczbę \(\sqrt[3]{\sqrt2}\), a warianty odpowiedzi to \(2^{\frac16}\), \(2^{\frac15}\), \(2^{\frac13}\), \(2^{\frac23}\). Mamy pierwiastek pod pierwiastkiem, a odpowiedzi są potęgami, więc metoda narzuca się sama: zamieniamy pierwiastki na potęgi o wykładnikach wymiernych. **Krok \(2\).** Pierwiastek kwadratowy zapisujemy jako potęgę: \[\sqrt2=2^{\frac12}.\] **Krok \(3\).** Pierwiastek stopnia trzeciego to potęga o wykładniku \(\frac13\): \[\sqrt[3]{\sqrt2}=\sqrt[3]{2^{\frac12}}=\left(2^{\frac12}\right)^{\frac13}.\] **Krok \(4\).** Przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożymy: \[\left(2^{\frac12}\right)^{\frac13}=2^{\frac12\cdot\frac13}=2^{\frac16}.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy: liczba \(2^{\frac16}\) podniesiona do potęgi szóstej daje \(2\). Rzeczywiście \[\left(\sqrt[3]{\sqrt2}\right)^{6}=\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt2}\right)^{3}\right)^{2}=\left(\sqrt2\right)^{2}=2.\] **Uwaga.** Przy pierwiastku w pierwiastku wykładniki się mnożą, a nie dodają. Dodanie dałoby błędny wynik \(2^{\frac12+\frac13}=2^{\frac56}\). **Odpowiedź.** A, czyli \(2^{\frac16}\).

Zadanie 2. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**D.** \(4^{49}\)

Ponieważ \(16^{24}=(4^2)^{24}=4^{48}\), suma czterech jednakowych składników wynosi \(4\cdot4^{48}=4^{49}\).

**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** potęgi - działania na potęgach o tej samej podstawie.

B

**Krok \(1\).** Mamy obliczyć wartość wyrażenia \((b-a)^2\) dla \(a=2\sqrt3\) oraz \(b=\sqrt{75}\). Zanim cokolwiek podniesiemy do kwadratu, warto uprościć pierwiastek w \(b\) — jeśli obie liczby będą wielokrotnościami tego samego pierwiastka, odejmowanie stanie się bardzo proste. **Krok \(2\).** Wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka. Szukamy w liczbie \(75\) największego kwadratu: \(75=25\cdot3\), więc \[\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=\sqrt{25}\cdot\sqrt3=5\sqrt3.\] **Krok \(3\).** Teraz obie liczby są wielokrotnościami \(\sqrt3\), więc odejmujemy je tak jak wyrazy podobne: \[b-a=5\sqrt3-2\sqrt3=(5-2)\sqrt3=3\sqrt3.\] **Krok \(4\).** Podnosimy wynik do kwadratu, pamiętając, że kwadrat iloczynu to iloczyn kwadratów: \[(3\sqrt3)^2=3^2\cdot(\sqrt3)^2=9\cdot3=27.\] **Krok \(5\).** Kontrola drugim sposobem, ze wzoru skróconego mnożenia: \[(b-a)^2=b^2-2ab+a^2=75-2\cdot5\sqrt3\cdot2\sqrt3+12=75-60+12=27.\] Wynik jest ten sam. **Uwaga.** Nie wolno zamieniać \((b-a)^2\) na \(b^2-a^2\). Tu dałoby to \(75-12=63\), czyli błędną odpowiedź C — a właśnie na tę pomyłkę zadanie zastawia pułapkę. **Odpowiedź.** B: \(27\)

Zadanie 6. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

(\(1\),\(5\))\(1^{00}\) < \(6^{25}\), ponieważ (\(1\),\(5\))\(\frac{4 = 81}{16 < 6}\).

**Krok \(1\).** pkt: sprowadzenie nierówności do porównania (\(1\),\(5\))\(4\) z \(6\) albo równoważnego porównania potęg. \(2\) pkt: pełne poprawne uzasadnienie. **Odpowiedź.** (\(1\),\(5\))\(1^{00}\) < \(6^{25}\), ponieważ (\(1\),\(5\))\(\frac{4 = 81}{16 < 6}\).

1 pkt: sprowadzenie nierówności do porównania (1,5)⁴ z 6 albo równoważnego porównania potęg. 2 pkt: pełne poprawne uzasadnienie.

V. Rozumowanie i argumentacja. 1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje podstawowe własności potęg (1.5).

**A.** \(2\)

**Krok \(1\).** Mamy kwadrat różnicy dwóch pierwiastków. Nie liczymy przybliżeń — stosujemy wzór \((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\). Opłaca się to dlatego, że kwadraty usuwają zewnętrzne pierwiastki, a iloczyn \(ab\) schodzi pod jeden pierwiastek, w którym pojawi się różnica kwadratów. **Krok \(2\).** Oznaczamy \(a=\sqrt{2-\sqrt3}\) oraz \(b=\sqrt{2+\sqrt3}\). Ponieważ \(\sqrt3\approx1{,}73 \lt 2\), obie liczby pod pierwiastkami są dodatnie, więc \(a\) i \(b\) istnieją. **Krok \(3\).** Kwadraty: \(a^{2}=2-\sqrt3\), \(b^{2}=2+\sqrt3\), zatem \[a^{2}+b^{2}=(2-\sqrt3)+(2+\sqrt3)=4.\] **Krok \(4\).** Iloczyn: korzystamy z \(\sqrt{m}\cdot\sqrt{n}=\sqrt{mn}\) oraz ze wzoru na różnicę kwadratów pod pierwiastkiem: \[ab=\sqrt{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}=\sqrt{2^{2}-(\sqrt3)^{2}}=\sqrt{4-3}=\sqrt1=1.\] **Krok \(5\).** Składamy wszystko razem: \[\left(\sqrt{2-\sqrt3}-\sqrt{2+\sqrt3}\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=4-2\cdot1=2.\] **Uwaga.** Wynik musi wyjść dodatni, mimo że sama różnica \(a-b\) jest ujemna (\(2-\sqrt3 \lt 2+\sqrt3\)) — podnoszenie do kwadratu likwiduje znak. Nie wolno też skracać pierwiastka z sumy: \(\sqrt{2-\sqrt3}\) nie jest równe \(\sqrt2-\sqrt[4]{3}\). **Odpowiedź.** A: \(2\)

**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** wyrażenia algebraiczne - wzory skróconego mnożenia i działania na pierwiastkach.

**A.** \(\left(\frac52\right)^8\)

Zapisujemy \(16^{-2}=(2^4)^{-2}=2^{-8}\). Zatem \[5^8\cdot16^{-2}=5^8\cdot2^{-8}=\left(\frac52\right)^8.\]

**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** potęgi - działania na potęgach o wykładnikach całkowitych.

**C.** \(2\sqrt[3]{2}\)

Z pierwszego pierwiastka wyłączamy sześcian: \[\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=3\sqrt[3]{2}.\] Oba składniki mają teraz wspólny czynnik \(\sqrt[3]{2}\), więc \[3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}.\] Pierwiastków nie wolno odejmować pod jednym znakiem — wariant **A** (\(\sqrt[3]{52}\)) powstaje właśnie z tego błędu. **Odpowiedź.** **C.** \(2\sqrt[3]{2}\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 2. (0−1) 1. Liczby rzeczywiste. Zdający posługuje Wersja Wersja II. Wykorzystanie się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego I II i interpretowanie stopnia i stosuje prawa działań na reprezentacji. pierwiastkach (1.3). C D

**C.** Równość jest prawdziwa dla \(x=-1\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy strukturę: po obu stronach stoją kwadraty. Kwadraty dwóch liczb są równe dokładnie wtedy, gdy same liczby są równe albo przeciwne: \[a^{2}=b^{2}\iff a=b\ \text{ lub }\ a=-b.\] Dzięki temu nie musimy niczego wymnażać — wystarczy rozpatrzyć dwa proste przypadki. **Krok \(2\).** Tutaj \(a=x\sqrt2-2\) oraz \(b=2+\sqrt2\). Pierwszy przypadek: \[x\sqrt2-2=2+\sqrt2\ \Longrightarrow\ x\sqrt2=4+\sqrt2\ \Longrightarrow\ x=\frac{4+\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{4}{\sqrt2}+1=2\sqrt2+1.\] Takiej liczby nie ma wśród odpowiedzi. **Krok \(3\).** Drugi przypadek — liczby przeciwne: \[x\sqrt2-2=-(2+\sqrt2)=-2-\sqrt2.\] Dodajemy \(2\) do obu stron: \[x\sqrt2=-\sqrt2.\] **Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(\sqrt2\) (to liczba różna od zera): \[x=-1.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy bezpośrednio. Dla \(x=-1\) lewa strona to \[\left(-\sqrt2-2\right)^{2}=\left(-(\sqrt2+2)\right)^{2}=\left(2+\sqrt2\right)^{2},\] czyli dokładnie prawa strona. Równość jest prawdziwa. **Krok \(6\).** Odrzucamy pozostałe możliwości. Prawa strona ma stałą wartość \(\left(2+\sqrt2\right)^{2}=4+4\sqrt2+2=6+4\sqrt2\approx11{,}66\). Dla \(x=\sqrt2\) lewa strona to \(\left(\sqrt2\cdot\sqrt2-2\right)^{2}=(2-2)^{2}=0\), a dla \(x=-\sqrt2\) jest to \((-2-2)^{2}=16\) — w obu wypadkach inaczej niż \(6+4\sqrt2\). Skoro znaleźliśmy \(x\), przy którym równość zachodzi, odpada też odpowiedź D. **Uwaga.** Z równości kwadratów **nie** wynika równość podstaw: z \(a^{2}=b^{2}\) dostajemy \(a=b\) **lub** \(a=-b\). Pominięcie drugiego przypadku gubi tu jedyne rozwiązanie z listy odpowiedzi. **Odpowiedź.** C: równość jest prawdziwa dla \(x=-1\)

Zadanie 5. (0−1) Wersja Wersja II. Wykorzystanie 3. Równania i nierówności. Zdający I II i interpretowanie rozwiązuje równania kwadratowe z jedną reprezentacji. niewiadomą (3.4). C D

**C.** \(-\frac{73}{9}\)

Podstawiamy \(a=-2\) i \(b=3\): \[a^b-b^a=(-2)^3-3^{-2}=-8-\frac19=-\frac{73}{9}.\]

**1 pkt** – odpowiedź C **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** potęgi - potęga o wykładniku naturalnym i całkowitym ujemnym.

**C.** \(9^{13}\)

Ponieważ \(81=9^2\), mamy \[9^9\cdot81^2=9^9\cdot(9^2)^2=9^9\cdot9^4=9^{13}.\]

**1 pkt** – odpowiedź C **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** potęgi - potęgowanie potęgi i mnożenie potęg o tej samej podstawie.

**C.** \(6\)

Ponieważ \(42=7\cdot6\), mamy \[\frac{7^6\cdot6^7}{42^6}=\frac{7^6\cdot6^7}{7^6\cdot6^6}=6.\]

**1 pkt** – odpowiedź C **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** potęgi - działania na potęgach o wykładnikach całkowitych.

D

**Krok \(1\).** W zapisie treści zgubiły się znaki pierwiastków: chodzi o liczbę \(\sqrt[3]{3\sqrt3}\), a warianty odpowiedzi to kolejno \(\sqrt[6]{3}\), \(\sqrt[4]{3}\), \(\sqrt[3]{3}\) oraz \(\sqrt3\). Mamy więc pierwiastek pod pierwiastkiem. Standardowa metoda: zamieniamy wszystkie pierwiastki na potęgi o wykładnikach wymiernych, bo na potęgach liczy się prościej. **Krok \(2\).** Zapisujemy pierwiastek wewnętrzny jako potęgę: \[\sqrt3=3^{\frac12}.\] **Krok \(3\).** Wyrażenie pod pierwiastkiem sześciennym jest iloczynem potęg o tej samej podstawie, więc dodajemy wykładniki: \[3\cdot\sqrt3=3^{1}\cdot3^{\frac12}=3^{1+\frac12}=3^{\frac32}.\] **Krok \(4\).** Pierwiastek stopnia trzeciego to potęga o wykładniku \(\frac13\), a przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożymy: \[\sqrt[3]{3^{\frac32}}=\left(3^{\frac32}\right)^{\frac13}=3^{\frac32\cdot\frac13}=3^{\frac12}=\sqrt3.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy, podnosząc wynik do sześcianu: \(\left(\sqrt3\right)^{3}=\sqrt3\cdot\sqrt3\cdot\sqrt3=3\sqrt3\), czyli dokładnie liczba spod pierwiastka. Wynik jest poprawny. **Uwaga.** Najczęstszy błąd to pominięcie czynnika \(3\) stojącego przed pierwiastkiem wewnętrznym i policzenie \(\sqrt[3]{\sqrt3}=3^{\frac16}=\sqrt[6]{3}\). Czynnik stojący przed pierwiastkiem trzeba najpierw wciągnąć pod pierwiastek, zapisując go jako \(3^{1}\). **Odpowiedź.** D, czyli \(\sqrt3\).

Zadanie 3. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(a,b,c,d>0\).

Obie strony nierówności są dodatnie, więc możemy podnieść je do kwadratu. Otrzymujemy kolejno \[(a+b)(c+d)\geq ac+bd+2\sqrt{abcd},\] \[ad+bc\geq2\sqrt{abcd}.\] Ostatnia nierówność jest równoważna \[\left(\sqrt{ad}-\sqrt{bc}\right)^2\geq0,\] a więc jest prawdziwa. To kończy dowód.

**4 pkt** – pełny dowód **3 pkt** – sprowadzenie nierówności do postaci \(ad+bc\geq2\sqrt{abcd}\) **2 pkt** – zapisanie \((a+b)(c+d)\geq ac+bd+2\sqrt{abcd}\) **1 pkt** – zauważenie, że obie strony są dodatnie i nierówność można obustronnie podnieść do kwadratu **0 pkt** – brak koniecznego postępu; w szczególności błędne pominięcie składnika \(2\sqrt{abcd}\) przy podnoszeniu prawej strony do kwadratu

**Wymagania ogólne:** CKE V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** przekształcanie nierówności, wzory skróconego mnożenia i nieujemność kwadratu.

**B.** \(10^{7}\)

**Krok \(1\).** Pytanie o to, ile razy jedna wielkość jest większa od drugiej, oznacza dzielenie: masa słonia podzielona przez masę mrówki. Zanim jednak podzielimy, obie masy muszą być wyrażone **w tej samej jednostce** — wybieramy gramy, bo w gramach podano masę mrówki. **Krok \(2\).** Zamieniamy tony na gramy: \(1\) tona to \(1000\) kg, a \(1\) kg to \(1000\) g, więc \(1\) tona to \(1000\cdot1000=10^6\) gramów. Zatem \[5\ \text{ton}=5\cdot10^{6}\ \text{g}.\] **Krok \(3\).** Masę mrówki też zapisujemy jako potęgę dziesiątki: \[0{,}5\ \text{g}=\frac{5}{10}\ \text{g}=5\cdot10^{-1}\ \text{g}.\] **Krok \(4\).** Dzielimy, rozdzielając czynniki liczbowe i potęgi dziesiątki: \[\frac{5\cdot10^{6}}{5\cdot10^{-1}}=\frac{5}{5}\cdot10^{6-(-1)}=1\cdot10^{7}=10^{7}.\] **Krok \(5\).** Odczytujemy wynik: słoń jest \(10^{7}\) razy cięższy od mrówki, czyli dziesięć milionów razy. **Uwaga.** Najgroźniejsza pułapka to jednostki: pominięcie jednego przeliczenia (tylko tony na kilogramy) daje \(10^{4}\), a odejmowanie wykładnika ujemnego to **dodawanie**: \(6-(-1)=7\). **Odpowiedź.** B: \(10^{7}\)

Zadanie 15. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**A.** \(a^{-3{,}9}\)

Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki: \[\frac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}}=a^{-2{,}6-1{,}3}=a^{-3{,}9}.\] Wzór obowiązuje dla \(a>0\), co zapewnia treść zadania. **Odpowiedź.** **A.** \(a^{-3{,}9}\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 1. (0−1) Poprawna Wymagania ogólne Wymagania szczegółowe odp. (1 p.) 1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi Wersja Wersja II. Wykorzystanie o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa I II i interpretowanie działań na potęgach o wykładnikach reprezentacji. wymiernych (1.4). A D

**D.** \(4\)

**Krok \(1\).** W liczniku stoją potęgi \(4^{5}\cdot 5^{4}\), a w mianowniku \(20^{4}\). Nie obliczamy tych potęg — zauważamy, że \(20=4\cdot 5\), więc mianownik da się zapisać przez te same podstawy co licznik i wszystko się skróci. **Krok \(2\).** Korzystamy ze wzoru \((a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\): \[20^{4}=(4\cdot 5)^{4}=4^{4}\cdot 5^{4}.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy całe wyrażenie w jednej postaci: \[\frac{4^{5}\cdot 5^{4}}{20^{4}}=\frac{4^{5}\cdot 5^{4}}{4^{4}\cdot 5^{4}}.\] **Krok \(4\).** Skracamy \(5^{4}\), bo ten sam czynnik stoi w liczniku i w mianowniku, a potem korzystamy z prawa \(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\): \[\frac{4^{5}}{4^{4}}=4^{5-4}=4^{1}=4.\] **Krok \(5\).** Kontrola rachunkiem: \(4^{5}=1024\), \(5^{4}=625\), \(20^{4}=160\,000\), a \[\frac{1024\cdot 625}{160\,000}=\frac{640\,000}{160\,000}=4.\] **Uwaga.** Nie wolno skracać osobno podstaw ani osobno wykładników. Skracamy dopiero wtedy, gdy licznik i mianownik są zapisane jako iloczyny potęg o tych samych podstawach. **Odpowiedź.** D. \(4\)

Zadanie 3. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**D.** \(4+2\sqrt3\).

**Krok \(1\).** Wyrażenie to kwadrat ułamka z niewymiernym mianownikiem. Najwygodniej najpierw uprościć sam ułamek (pozbyć się pierwiastka z mianownika), a dopiero potem podnieść wynik do kwadratu. **Krok \(2\).** Rozdzielamy ułamek na dwa składniki - wolno tak zrobić, bo suma jest w liczniku: \[\frac{3+\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{3}{\sqrt3}+\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{3}{\sqrt3}+1.\] **Krok \(3\).** Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez \(\sqrt3\): \[\frac{3}{\sqrt3}=\frac{3\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\frac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3.\] Zatem cały nawias jest równy \(\sqrt3+1\). **Krok \(4\).** Podnosimy do kwadratu, korzystając ze wzoru \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\): \[(\sqrt3+1)^2=(\sqrt3)^2+2\cdot\sqrt3\cdot 1+1^2=3+2\sqrt3+1=4+2\sqrt3.\] **Krok \(5\).** Kontrola drugą drogą: kwadrat ułamka to kwadrat licznika przez kwadrat mianownika, \[\frac{(3+\sqrt3)^2}{(\sqrt3)^2}=\frac{9+6\sqrt3+3}{3}=\frac{12+6\sqrt3}{3}=4+2\sqrt3.\] Wynik ten sam. **Uwaga.** Nie skracamy \(3\) z \(\sqrt3\) w wyjściowym ułamku - w liczniku stoi suma, a skracać wolno tylko czynniki. Nie wolno też pisać \((\sqrt3+1)^2=3+1\); potrzebny jest pełny wzór skróconego mnożenia z wyrazem środkowym. **Odpowiedź.** D: \(4+2\sqrt3\)

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** potęgi i pierwiastki, działania na wyrażeniach z pierwiastkami.

**C.** \(3^{2015}\).

Sprowadzamy wszystkie czynniki do potęg o podstawie \(3\): \[27^{665}=3^{1995},\qquad \sqrt[3]{3^{-92}}=3^{-92/3},\qquad \left(\frac13\right)^{152/3}=3^{-152/3}.\] Zatem wykładnik wyniku jest równy \[1995-\frac{92}{3}+\frac{152}{3}=1995+20=2015.\]

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 1.4 potęgi o wykładnikach wymiernych i prawa działań na potęgach.

**B.** \(9\sqrt[4]{3}\).

**Krok \(1\).** Wykładnik jest ułamkiem niewłaściwym, a odpowiedzi mają postać: liczba całkowita razy pierwiastek. To podpowiada metodę: rozbić wykładnik na część całkowitą i ułamkową, bo \(a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\). **Krok \(2\).** Rozbijamy ułamek \(\frac94\): \[\frac94=\frac{8+1}{4}=2+\frac14.\] **Krok \(3\).** Korzystamy ze wzoru na potęgę sumy wykładników: \[3^{\frac94}=3^{2+\frac14}=3^{2}\cdot3^{\frac14}.\] **Krok \(4\).** Zamieniamy każdy czynnik na prostszą postać: \(3^{2}=9\), a wykładnik \(\frac14\) oznacza pierwiastek czwartego stopnia, czyli \(3^{\frac14}=\sqrt[4]{3}\). Zatem \[3^{\frac94}=9\sqrt[4]{3}.\] **Krok \(5\).** Kontrola drugą drogą, przez wzór \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\): \[3^{\frac94}=\sqrt[4]{3^{9}}=\sqrt[4]{3^{8}\cdot3}=\sqrt[4]{3^{8}}\cdot\sqrt[4]{3}=3^{2}\sqrt[4]{3}=9\sqrt[4]{3}.\] Wynik ten sam. **Uwaga.** Odpowiedź D, czyli \(3^{9}\cdot3^{\frac14}\), to \(3^{9+\frac14}\), a więc zupełnie inna liczba — przy mnożeniu potęg wykładniki się **dodają**, a nie mnożą. **Odpowiedź.** B: \(9\sqrt[4]{3}\)

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** potęgi o wykładniku wymiernym i pierwiastki.

**D.** \(\sqrt[3]{-256}=-\sqrt[3]{256}\).

Pierwiastek nieparzystego stopnia zachowuje znak liczby, dlatego \(\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}\). Pozostałe równości są fałszywe: \(-256^2<0\), \((-256)^2>0\), a \(\sqrt{(-256)^2}=256\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** potęgi i pierwiastki, własności pierwiastków nieparzystego stopnia.

**D.** \(2^{3/2}\).

**Krok \(1\).** Pierwiastków \(\sqrt{18}\) i \(\sqrt{32}\) nie da się odjąć wprost, bo pod pierwiastkami stoją różne liczby. Standardowy ruch to wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka, tak aby w obu składnikach został ten sam \(\sqrt2\). **Krok \(2\).** Rozkładamy \(18\) na czynnik będący kwadratem i resztę: \[\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt9\cdot\sqrt2=3\sqrt2,\] zatem \[2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt2=6\sqrt2.\] **Krok \(3\).** Tak samo dla \(32\): \[\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=\sqrt{16}\cdot\sqrt2=4\sqrt2.\] **Krok \(4\).** Teraz oba wyrazy mają wspólny czynnik \(\sqrt2\), więc odejmujemy je jak wyrazy podobne: \[6\sqrt2-4\sqrt2=2\sqrt2.\] **Krok \(5\).** W odpowiedziach występują potęgi dwójki, więc zamieniamy \(2\sqrt2\) na potęgę. Korzystamy z \(\sqrt2=2^{1/2}\): \[2\sqrt2=2^{1}\cdot 2^{1/2}=2^{1+\frac12}=2^{3/2}.\] **Uwaga.** Nie wolno pisać \(\sqrt{18}-\sqrt{32}=\sqrt{18-32}\) - pierwiastek nie jest addytywny. Legalne są tylko działania na iloczynie i ilorazie pod pierwiastkiem. **Odpowiedź.** D: \(2^{3/2}\)

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste, upraszczanie pierwiastków i potęgi o wykładniku wymiernym.

**D.** \(-1\).

Ponieważ \(\sqrt[5]{-32}=-2\), mamy \[\frac{-2\cdot2^{-1}}4\cdot2^2=\frac{-1}{4}\cdot4=-1.\]

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste, pierwiastki nieparzystego stopnia i działania na potęgach.

**C.** \(3^4\).

Sprowadzamy wszystkie czynniki do potęg o podstawie \(3\): \[\sqrt[3]{9^2}=\sqrt[3]{(3^2)^2}=3^{\frac43}.\] Zatem \[3^{\frac83}\cdot3^{\frac43}=3^{\frac{12}{3}}=3^4.\]

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **C** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 1.4. Zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych.

Wykazano, że \(\sqrt{2^{50}+1}+\sqrt{2^{50}-1}<2^{26}\).

Oznaczmy \[a=\sqrt{2^{50}+1},\qquad b=\sqrt{2^{50}-1}.\] Ponieważ \(a\neq b\), mamy \((a-b)^2>0\), a stąd \[a^2+b^2>2ab.\] Zatem \[\begin{aligned}(a+b)^2&=a^2+b^2+2ab\\&<a^2+b^2+a^2+b^2\\&=2(a^2+b^2)\\&=2\left(2^{50}+1+2^{50}-1\right)\\&=2^{52}.\end{aligned}\] Obie strony są dodatnie, więc \[a+b<\sqrt{2^{52}}=2^{26}.\] Po powrocie do oznaczeń otrzymujemy tezę \[\sqrt{2^{50}+1}+\sqrt{2^{50}-1}<2^{26}.\]

**Informator CKE podaje dwa rozwiązania wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 3 pkt** – pełny poprawny dowód nierówności **2 pkt** – poprawne uzyskanie \((a+b)^2<2^{52}\) albo równoważnego oszacowania, z drobną usterką końcową **1 pkt** – wprowadzenie \(a=\sqrt{2^{50}+1}\), \(b=\sqrt{2^{50}-1}\) i wykorzystanie \((a-b)^2>0\) **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozumowanie błędne

**Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający prowadzi proste rozumowanie, składające się z niewielkiej liczby kroków. **Wymagania szczegółowe:** 2.1. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).

**B.** \(m=4\).

Mnożymy obie strony przez \(5-\sqrt5\): \[m=\frac{(5+\sqrt5)(5-\sqrt5)}5=\frac{25-5}{5}=4.\]

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 2.1 zdający używa wzorów skróconego mnożenia, w szczególności \(a^2-b^2\).

**D.** \(5^4\).

Ponieważ \(45=9\cdot5\), mamy \[\frac{9^5\cdot5^9}{45^5}=\frac{9^5\cdot5^9}{9^5\cdot5^5}=5^{9-5}=5^4.\]

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste i działania na potęgach.

**B.** \(\frac{16}{3\sqrt7}\).

Upraszczamy oba pierwiastki: \[\sqrt{\frac97}=\frac3{\sqrt7},\qquad \sqrt{\frac79}=\frac{\sqrt7}{3}.\] Zatem \[\frac3{\sqrt7}+\frac{\sqrt7}{3}=\frac9{3\sqrt7}+\frac7{3\sqrt7}=\frac{16}{3\sqrt7}.\]

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste i działania na pierwiastkach.

**A.** \(2-4\sqrt2\).

Podstawiamy \(x=\sqrt2\): \[f(\sqrt2)=\frac{2\sqrt2-8}{\sqrt2}=2-\frac8{\sqrt2}=2-4\sqrt2.\]

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje, obliczanie wartości funkcji i działania na pierwiastkach.

**B.** \(3\)

**Krok \(1\).** W liczniku i w mianowniku stoją **sumy** potęg o tej samej podstawie. Przez składniki sumy nie wolno skracać, więc najpierw w każdej sumie wyłączamy wspólny czynnik — potęgę o najmniejszym wykładniku. **Krok \(2\).** Licznik: najmniejszy wykładnik to \(26\), a \(3^{27}=3^{26}\cdot3\), zatem \[3^{27}+3^{26}=3^{26}\cdot3+3^{26}\cdot1=3^{26}(3+1)=4\cdot3^{26}.\] **Krok \(3\).** Mianownik: najmniejszy wykładnik to \(25\), a \(3^{26}=3^{25}\cdot3\), zatem \[3^{26}+3^{25}=3^{25}(3+1)=4\cdot3^{25}.\] **Krok \(4\).** Dzielimy i skracamy czynnik \(4\): \[\frac{4\cdot3^{26}}{4\cdot3^{25}}=\frac{3^{26}}{3^{25}}.\] **Krok \(5\).** Korzystamy ze wzoru \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\): \[\frac{3^{26}}{3^{25}}=3^{26-25}=3^1=3.\] **Uwaga.** Nie wolno skracać osobno \(\frac{3^{27}}{3^{26}}\) i \(\frac{3^{26}}{3^{25}}\), bo skraca się tylko czynniki, a nie składniki sumy. Tutaj taki skrót przypadkiem prowadzi do prawidłowej liczby, ale w innych zadaniach da wynik błędny. **Odpowiedź.** B: \(3\)

Zadanie 8. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**B.** \(2^{57}\)

Suma czterech jednakowych składników to poczwórny składnik: \[4^{28}+4^{28}+4^{28}+4^{28}=4\cdot4^{28}=4^{29}.\] Zapisujemy potęgę przy podstawie \(2\), korzystając z \(4=2^2\): \[4^{29}=\left(2^2\right)^{29}=2^{58}.\] Połowa tej liczby to \[\frac{2^{58}}{2}=2^{57}.\] **Odpowiedź.** B. \(2^{57}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 1.4) Zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych.

C. \(2\)

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów: \[\left(\sqrt3-1\right)\left(\sqrt3+1\right)=3-1=2.\] Zatem \[\frac{2}{\sqrt3-1}-\frac{2}{\sqrt3+1}=\frac{2\left(\sqrt3+1\right)-2\left(\sqrt3-1\right)}{2}=\frac{4}{2}=2.\] **Odpowiedź.** C. \(2\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Posługiwanie się wzorami skróconego mnożenia (II.2.a).

**C.** \(1\)

Wystarczy zauważyć, że podstawa potęgi o wykładniku zero jest różna od zera: \[\sqrt[3]{729}+\sqrt[4]{256}+2=9+4+2=15\neq0,\] więc \(15^{0}=1\). Wyrażenie przyjmuje postać \[\left(\frac11\right)^{-2}=1^{-2}=1.\] **Odpowiedź.** **C.** \(1\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Obliczanie potęgi o wykładniku wymiernym oraz stosowanie praw działań na potęgach o wykładnikach wymiernych (II.1.g).

**A.** \(2^{2013}\)

**Krok \(1\).** W odpowiedziach występują potęgi dwójki, więc cały iloczyn trzeba zapisać jako jedną potęgę o podstawie \(2\). Zaczynamy od zamiany ułamka \(\frac12\) na potęgę dwójki. **Krok \(2\).** Korzystamy z definicji potęgi o wykładniku ujemnym: \[\frac12=\frac{1}{2^{1}}=2^{-1}.\] **Krok \(3\).** Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki: \[\frac12\cdot2^{2014}=2^{-1}\cdot2^{2014}=2^{-1+2014}=2^{2013}.\] **Krok \(4\).** Sprawdzamy sens wyniku na małych liczbach: \(\frac12\cdot2^{4}=\frac{16}{2}=8=2^{3}\), czyli wykładnik zmniejszył się o \(1\). Dokładnie to samo dzieje się przy \(2^{2014}\). **Uwaga.** Podzielenie przez \(2\) zmniejsza wykładnik o \(1\), a nie dzieli go na pół. Dlatego wariant \(2^{1007}\) jest błędny. Błędny jest też \(1^{2014}=1\). **Odpowiedź.** A, czyli \(2^{2013}\).

Zadanie 2. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**B.** \(8\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy strukturę: mamy kwadrat różnicy dwóch pierwiastków, więc stosujemy wzór skróconego mnożenia \[(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2},\] przyjmując \(a=\sqrt5\) i \(b=\sqrt3\). **Krok \(2\).** Liczymy kwadraty. Dla liczby nieujemnej \(\left(\sqrt{t}\right)^{2}=t\), więc \[\left(\sqrt5\right)^{2}=5,\qquad\left(\sqrt3\right)^{2}=3.\] **Krok \(3\).** Liczymy wyraz środkowy, korzystając z tego, że \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\): \[2\cdot\sqrt5\cdot\sqrt3=2\sqrt{15}.\] **Krok \(4\).** Składamy kwadrat różnicy: \[\left(\sqrt5-\sqrt3\right)^{2}=5-2\sqrt{15}+3=8-2\sqrt{15}.\] **Krok \(5\).** Dodajemy drugi składnik z treści zadania: \[\left(\sqrt5-\sqrt3\right)^{2}+2\sqrt{15}=8-2\sqrt{15}+2\sqrt{15}=8.\] **Uwaga.** Nie wolno napisać \(\left(\sqrt5-\sqrt3\right)^{2}=5-3\) — kwadrat różnicy to nie różnica kwadratów. To właśnie wyraz środkowy \(-2\sqrt{15}\) redukuje się z \(+2\sqrt{15}\) i dlatego wynik jest liczbą całkowitą. **Odpowiedź.** B: \(8\)

Zadanie 4. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**B.** \(4^{-4}\)

**Krok \(1\).** Wszystkie odpowiedzi są potęgami liczby \(4\), więc całe wyrażenie trzeba doprowadzić do jednej potęgi o podstawie \(4\). Potrzebne będą trzy prawa działań na potęgach: \(\sqrt[3]{a}=a^{\frac13}\), \(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\) oraz \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}\). **Krok \(2\).** Zamieniamy pierwiastek na potęgę o wykładniku ułamkowym, a podstawę \(16\) na podstawę \(4\): \[\sqrt[3]{16}=16^{\frac13}=\left(4^{2}\right)^{\frac13}=4^{\frac23}.\] **Krok \(3\).** Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, czyli dodajemy wykładniki: \[4^{\frac23}\cdot 4^{-2}=4^{\frac23-2}=4^{-\frac43}.\] **Krok \(4\).** Podnosimy do trzeciej potęgi, czyli mnożymy wykładniki: \[\left(4^{-\frac43}\right)^{3}=4^{-\frac43\cdot 3}=4^{-4}.\] **Krok \(5\).** Sposób bez ułamków: podnosimy do sześcianu każdy czynnik osobno. Wtedy \(\left(\sqrt[3]{16}\right)^{3}=16=4^{2}\) oraz \(\left(4^{-2}\right)^{3}=4^{-6}\), więc \[4^{2}\cdot 4^{-6}=4^{2-6}=4^{-4}.\] **Uwaga.** Ujemny wykładnik nie oznacza, że liczba jest ujemna: \(4^{-4}=\frac{1}{4^{4}}=\frac{1}{256}\) jest liczbą dodatnią, tylko bardzo małą. **Odpowiedź.** B. \(4^{-4}\)

Zadanie 1. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

Oznaczmy lewą stronę przez x i podnieśmy równość do trzeciej potęgi. Ponieważ (\(9\)+√\(80\))(\(9\)−√\(80\))=\(1\), otrzymujemy \(x^{3}\)=\(18\)+\(3x\), czyli (x−\(3\))(\(x^{2}\)+\(3x\)+\(6\))=\(0\). Trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc x=\(3\).

**Krok \(1\).** Pojedynczych pierwiastków sześciennych \(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\) i \(\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\) nie da się wprost uprościć. Standardowy chwyt w takich dowodach: oznaczamy całą lewą stronę jedną literą i podnosimy równość do trzeciej potęgi, bo wtedy pierwiastki sześcienne znikną. **Krok \(2\).** Niech \[x=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}.\] Oznaczmy dla wygody \(p=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\) oraz \(q=\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\), czyli \(x=p+q\). **Krok \(3\).** Korzystamy ze wzoru na sześcian sumy w postaci \[(p+q)^3=p^3+q^3+3pq(p+q).\] Ta postać jest tu kluczowa, bo pozwoli nam wykorzystać to, że \(p+q\) to właśnie \(x\). **Krok \(4\).** Liczymy \(p^3+q^3\). Sześcian znosi pierwiastek sześcienny, więc \[p^3+q^3=\left(9+\sqrt{80}\right)+\left(9-\sqrt{80}\right)=18.\] **Krok \(5\).** Liczymy \(pq\). Iloczyn pierwiastków tego samego stopnia to pierwiastek z iloczynu, a pod pierwiastkiem mamy różnicę kwadratów: \[pq=\sqrt[3]{\left(9+\sqrt{80}\right)\left(9-\sqrt{80}\right)}=\sqrt[3]{81-80}=\sqrt[3]{1}=1.\] **Krok \(6\).** Wstawiamy obie wartości do wzoru z kroku \(3\): \[x^3=18+3\cdot 1\cdot x,\qquad\text{czyli}\qquad x^3-3x-18=0.\] **Krok \(7\).** Sprawdzamy, że \(x=3\) jest pierwiastkiem: \(27-9-18=0\). Dzielimy wielomian przez \(x-3\) i otrzymujemy rozkład \[x^3-3x-18=(x-3)\left(x^2+3x+6\right).\] **Krok \(8\).** Trójmian \(x^2+3x+6\) ma wyróżnik \[\Delta=9-24=-15\lt 0,\] więc nie ma pierwiastków rzeczywistych. Zatem jedyną liczbą rzeczywistą spełniającą równanie \(x^3-3x-18=0\) jest \(x=3\). **Krok \(9\).** Liczba \(x\) z kroku \(2\) jest oczywiście rzeczywista (to suma dwóch pierwiastków sześciennych z liczb rzeczywistych), a spełnia to równanie, więc musi być równa \(3\). To kończy dowód. **Uwaga.** Samo pokazanie, że \(x=3\) spełnia równanie \(x^3-3x-18=0\), to za mało. Trzeba jeszcze uzasadnić, że innych rozwiązań rzeczywistych nie ma, bo inaczej nie wiadomo, które z nich jest naszą sumą. Właśnie temu służy rozkład na czynniki i ujemny wyróżnik w kroku \(8\). **Odpowiedź.** \(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3\).

**1 pkt** – zdający zapisze równanie z niewiadomą \(x\): \(\sqrt[3]{9+[…]}+\sqrt[3]{9-[…]}=x\), podniesie obie strony równania do potęgi trzeciej i zapisze równanie w postaci, np.: […], lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – zdający wykorzysta wzory skróconego mnożenia i przekształci równanie do postaci, np.: […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – zdający zapisze równanie z niewiadomą \(x\) w postaci: \(x^{3}-3x-18=0\). **4 pkt** – zdający rozwiąże równanie i wyciągnie wnioski. Jeżeli zdający wyznaczy liczbę \(x=3\) i nie sprawdzi, że jest ona jedynym rozwiązaniem równania \(x^{3}-3x-18=0\), to otrzymuje \(3\) punkty.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: przekształcanie wyrażeń z pierwiastkami sześciennymi i dowód równości.

**B.** \(2\)

Upraszczamy pierwiastki w liczniku: \[\sqrt{50}=5\sqrt2,\qquad \sqrt{18}=3\sqrt2.\] Zatem \[\frac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt2}=\frac{5\sqrt2-3\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{2\sqrt2}{\sqrt2}=2.\] **Odpowiedź.** **B.** \(2\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, w tym obliczeń na pierwiastkach (I.1.a).

**B.** \(5^4\sqrt5\)

**Krok \(1\).** W wyrażeniu występują tylko liczby będące potęgami piątki: \(5^3\), \(25\) i \(\sqrt5\). Wystarczy więc zapisać wszystko jako potęgę o podstawie \(5\) i zastosować prawa działań na potęgach. **Krok \(2\).** Zamieniamy poszczególne czynniki: \[25=5^2,\qquad \sqrt5=5^{\frac12}.\] **Krok \(3\).** Licznik (mnożenie potęg o tej samej podstawie — wykładniki dodajemy): \[5^3\cdot25=5^3\cdot5^2=5^{3+2}=5^5.\] **Krok \(4\).** Dzielenie potęg o tej samej podstawie — wykładniki odejmujemy: \[\frac{5^5}{5^{\frac12}}=5^{5-\frac12}=5^{\frac92}.\] **Krok \(5\).** Rozbijamy wykładnik tak, aby wyłączyć pierwiastek: \[5^{\frac92}=5^{4+\frac12}=5^4\cdot5^{\frac12}=5^4\sqrt5.\] **Krok \(6\).** Gdyby ktoś wolał uniknąć wykładników ułamkowych, można usunąć niewymierność z mianownika: \[\frac{5^5}{\sqrt5}=\frac{5^5\cdot\sqrt5}{\sqrt5\cdot\sqrt5}=\frac{5^5\sqrt5}{5}=5^4\sqrt5.\] Wynik ten sam. **Uwaga.** Pierwiastek kwadratowy to wykładnik \(\tfrac12\), a nie \(2\). Zapisanie \(\sqrt5=5^2\) prowadzi do odpowiedzi C, a pomnożenie wykładników zamiast ich dodania — do odpowiedzi D. **Odpowiedź.** B: \(5^4\sqrt5\)

Zadanie 3. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**D.** \(9+4\sqrt5\)

Mianownik \(\sqrt5-2\) usuwamy, mnożąc licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone \(\sqrt5+2\). Iloczyn mianowników jest różnicą kwadratów: \[(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)=5-4=1.\] Zatem \[\frac{\sqrt5+2}{\sqrt5-2}=\frac{(\sqrt5+2)^2}{1}=5+4\sqrt5+4=9+4\sqrt5.\] **Odpowiedź.** **D.** \(9+4\sqrt5\)

**Obszar standardów:** Wykorzystanie i interpretowanie informacji. **Opis wymagań:** Usuwanie niewymierności z mianownika (I.1.a).

**B.** \(-4\)

Pierwiastek trzeciego stopnia jest określony także dla liczb ujemnych: \[\sqrt[3]{(-8)^{-1}}=\sqrt[3]{-\tfrac18}=-\frac12.\] Drugi czynnik zapisujemy jako potęgę dwójki: \[16^{\frac34}=\left(2^4\right)^{\frac34}=2^{3}=8.\] Zatem \[-\frac12\cdot8=-4.\] **Odpowiedź.** **B.** \(-4\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zastosowanie praw działań na potęgach o wykładnikach wymiernych; obliczenie potęgi o wykładniku wymiernym (II.1.g).

A. \(19\) − \(10\sqrt{2}\)

Rozwijamy kwadrat różnicy i wykonujemy mnożenie: \[\left(3-\sqrt2\right)^{2}=9-6\sqrt2+2=11-6\sqrt2,\qquad 4\left(2-\sqrt2\right)=8-4\sqrt2.\] Po dodaniu \[11-6\sqrt2+8-4\sqrt2=19-10\sqrt2.\] **Odpowiedź.** A. \(19-10\sqrt2\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykonanie obliczeń na liczbach rzeczywistych z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia (II.1.a, 1.g, 2.a).

**D.** \(4\sqrt2\)

Wyłączamy z pierwiastka największy kwadrat będący dzielnikiem liczby \(32\): \[\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=\sqrt{16}\cdot\sqrt2=4\sqrt2.\] Wariant C, czyli \(4\sqrt8\), jest równy \(8\sqrt2\), a więc nie jest poprawny. **Odpowiedź.** D. \(4\sqrt2\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka kwadratowego Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**B.** \(\left(\frac xy\right)^{-5}\)

Korzystamy z własności potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym: \(\left(\frac pq\right)^{-n}=\left(\frac qp\right)^{n}\) dla \(p,q\ne0\). Zatem \[\left(\frac yx\right)^5=\left(\frac xy\right)^{-5}.\] **Odpowiedź.** B. \(\left(\frac xy\right)^{-5}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie praw działań na potęgach o wykładniku całkowitym ujemnym Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**C.** \(9^{-1}\)

**Krok \(1\).** Mnożymy dwie potęgi, ale o różnych podstawach (\(9\) i \(3\)), więc wykładników nie można od razu dodać. Zauważamy jednak, że \(9=3^2\) — sprowadzamy wszystko do jednej podstawy \(3\). **Krok \(2\).** Zamieniamy pierwszą potęgę. Korzystamy ze wzoru \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\): \[9^{-5}=(3^2)^{-5}=3^{2\cdot(-5)}=3^{-10}.\] **Krok \(3\).** Teraz obie potęgi mają podstawę \(3\), więc przy mnożeniu wykładniki dodajemy: \[3^{-10}\cdot3^{8}=3^{-10+8}=3^{-2}.\] **Krok \(4\).** Wśród odpowiedzi nie ma \(3^{-2}\), więc wracamy do podstawy \(9\). Ponieważ \(3^{-2}=(3^2)^{-1}\), a \(3^2=9\), otrzymujemy \[3^{-2}=9^{-1}.\] **Krok \(5\).** Dla pewności sprawdzamy liczbowo: \(3^{-2}=\frac{1}{9}\) oraz \(9^{-1}=\frac19\) — zgadza się. **Uwaga.** Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy, a przy podnoszeniu potęgi do potęgi — mnożymy. Pomylenie tych dwóch reguł albo potraktowanie \(9^{-5}\) tak, jakby to było \(3^{-5}\), prowadzi prosto do błędnych odpowiedzi. **Odpowiedź.** C: \(9^{-1}\)

Zadanie 2. (0–1) Wykorzystanie Stosuje prawa działań na potęgach i interpretowanie reprezentacji o wykładnikach wymiernych; oblicza C potęgi o wykładniku wymiernym.

**D.** \(22-12\sqrt2\)

Stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: \[\left(2-3\sqrt2\right)^{2}=2^{2}-2\cdot2\cdot3\sqrt2+\left(3\sqrt2\right)^{2}=4-12\sqrt2+18=22-12\sqrt2.\] **Odpowiedź.** D

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** Zdający wykonuje obliczenia z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.

**D.** \(2\sqrt5\)

**Krok \(1\).** Wszystkie odpowiedzi mają postać liczba razy pierwiastek, więc zadanie sprowadza się do wyłączenia czynnika przed znak pierwiastka. Metoda: rozkładamy liczbę podpierwiastkową na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem liczby naturalnej. **Krok \(2\).** Szukamy największego kwadratu, który dzieli \(20\). Kwadraty to \(1,4,9,16,\ldots\); liczbę \(20\) dzieli \(4\), bo \(20=4\cdot5\). **Krok \(3\).** Korzystamy ze wzoru \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) dla liczb nieujemnych: \[\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{5}=2\sqrt{5}.\] **Krok \(4\).** Sprawdzamy przybliżeniem: \(\sqrt{20}\approx4{,}47\), a \(2\sqrt{5}\approx2\cdot2{,}236=4{,}47\). Pozostałe warianty dają \(5\sqrt{2}\approx7{,}07\), \(5\sqrt{4}=10\) oraz \(4\sqrt{5}\approx8{,}94\), więc żaden nie pasuje. **Uwaga.** Przed pierwiastek wychodzi pierwiastek z kwadratu, a nie sam kwadrat: z rozkładu \(20=4\cdot5\) otrzymujemy \(2\sqrt5\), a nie \(4\sqrt5\). **Odpowiedź.** D, czyli \(2\sqrt5\).

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – upraszcza pierwiastki kwadratowe.

**B.** \(\left(\dfrac ba\right)^5\)

Korzystamy z definicji potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym: dla \(t\neq0\) zachodzi \(t^{-n}=\left(\tfrac1t\right)^{n}\). Ponieważ \(a\neq0\) i \(b\neq0\), ułamek \(\tfrac ab\) jest różny od zera i \[\left(\frac ab\right)^{-5}=\left(\frac ba\right)^{5}.\] **Odpowiedź.** B

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Wyrażenia algebraiczne – stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach całkowitych.

**B.** \(4^{50}\)

Sprowadzamy oba czynniki do wspólnej podstawy \(2\), korzystając z \(4=2^2\): \[2^{20}\cdot4^{40}=2^{20}\cdot\left(2^2\right)^{40}=2^{20}\cdot2^{80}=2^{100}.\] Porównujemy z wariantami: \(4^{50}=\left(2^2\right)^{50}=2^{100}\), natomiast \(2^{60}\), \(8^{60}=2^{180}\) oraz \(8^{800}=2^{2400}\) są różne od \(2^{100}\). **Odpowiedź.** B. \(4^{50}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** sprowadzanie potęg do wspólnej podstawy i stosowanie praw działań na potęgach Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**B.** \(7^3\)

Zapisujemy pierwiastek jako potęgę o wykładniku wymiernym: \[\sqrt[3]{7^5}=7^{\frac53}.\] Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki: \[7^{\frac43}\cdot7^{\frac53}=7^{\frac43+\frac53}=7^{\frac93}=7^3.\] **Odpowiedź.** B. \(7^3\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** zapisywanie pierwiastka jako potęgi o wykładniku wymiernym i stosowanie praw działań na potęgach Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** \(4^{40}\)

Sprowadzamy oba czynniki do wspólnej podstawy \(2\), korzystając z \(4=2^2\): \[2^{40}\cdot4^{20}=2^{40}\cdot2^{40}=2^{80}.\] Zapisujemy wynik przy podstawie \(4\): \[2^{80}=\left(2^2\right)^{40}=4^{40}.\] **Odpowiedź.** A. \(4^{40}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** sprowadzanie potęg do wspólnej podstawy i stosowanie praw działań na potęgach Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** \(x=7^2\)

**Krok \(1\).** W wyrażeniu \(x=63^2\cdot\left(\frac13\right)^4\) mamy potęgi o dwóch różnych podstawach: \(63\) i \(3\). Takich potęg nie da się od razu porównać, dlatego pierwszym ruchem jest rozłożenie liczby \(63\) na czynniki pierwsze, żeby po obu stronach pojawiła się ta sama podstawa \(3\). **Krok \(2\).** Rozkładamy: \(63=9\cdot7=3^2\cdot7\). **Krok \(3\).** Podnosimy do kwadratu, korzystając ze wzorów \((ab)^n=a^n b^n\) oraz \(\left(a^m\right)^n=a^{mn}\): \[63^2=\left(3^2\cdot7\right)^2=\left(3^2\right)^2\cdot7^2=3^4\cdot7^2.\] **Krok \(4\).** Drugi czynnik zapisujemy jako potęgę o podstawie \(3\): \[\left(\frac13\right)^4=\frac{1}{3^4}=3^{-4}.\] **Krok \(5\).** Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki: \[x=3^4\cdot7^2\cdot3^{-4}=3^{4-4}\cdot7^2=3^0\cdot7^2=7^2.\] **Uwaga.** Widać tu, że \(3^4=81\) skraca się z \(\left(\frac13\right)^4=\frac1{81}\) — właśnie dlatego z wyniku znika podstawa \(3\) i nie może być poprawna odpowiedź **C**, w której trójka występuje. **Odpowiedź.** A: \(x=7^2\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – stosuje prawa działań na potęgach.

**A.** \(3^{210}\)

**Krok \(1\).** Iloczyn \(3^{30}\cdot9^{90}\) ma dwie różne podstawy, więc praw działań na potęgach nie da się zastosować od razu. Kluczowe spostrzeżenie: liczba \(9\) sama jest potęgą trójki, więc wszystko sprowadzimy do wspólnej podstawy \(3\). **Krok \(2\).** Zapisujemy \(9=3^2\) i korzystamy z reguły potęgowania potęgi (wykładniki mnożymy): \[9^{90}=\left(3^2\right)^{90}=3^{2\cdot90}=3^{180}.\] **Krok \(3\).** Teraz mamy iloczyn potęg o tej samej podstawie, więc wykładniki dodajemy: \[3^{30}\cdot3^{180}=3^{30+180}=3^{210}.\] **Krok \(4\).** Otrzymany wynik to \(3^{210}\), czyli wariant **A**. **Krok \(5\).** Sprawdźmy przy okazji odpowiedź C, bo wygląda podobnie: \[9^{120}=\left(3^2\right)^{120}=3^{240}\neq3^{210}.\] Nie jest to więc ta sama liczba. **Uwaga.** Dwie reguły łatwo pomylić: przy potęgowaniu potęgi wykładniki **mnożymy** (\(\left(3^2\right)^{90}=3^{180}\)), a przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie — **dodajemy** (\(3^{30}\cdot3^{180}=3^{210}\)). Wykładniki \(30\) i \(180\) na pewno nie mnożymy. **Odpowiedź.** A: \(3^{210}\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: A.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Liczby rzeczywiste.

Nierówność \(\sqrt{2^{50}+1}+\sqrt{2^{50}-1}\lt2^{26}\) jest prawdziwa (dowód).

**Krok \(1\).** Po obu stronach nierówności stoją liczby dodatnie: suma pierwiastków po lewej i potęga \(2^{26}\) po prawej. Dla liczb dodatnich nierówność \(L\lt P\) jest równoważna nierówności \(L^2\lt P^2\), bo funkcja podnoszenia do kwadratu jest rosnąca na liczbach dodatnich. To pozwala pozbyć się pierwiastków — podnosimy obie strony do kwadratu. **Krok \(2\).** Oznaczmy \[L=\sqrt{2^{50}+1}+\sqrt{2^{50}-1},\qquad P=2^{26}.\] Zauważmy, że wyrażenie \(2^{50}-1\) jest dodatnie, więc oba pierwiastki istnieją. **Krok \(3\).** Podnosimy lewą stronę do kwadratu wzorem \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\): \[L^2=\left(2^{50}+1\right)+2\sqrt{\left(2^{50}+1\right)\left(2^{50}-1\right)}+\left(2^{50}-1\right).\] **Krok \(4\).** Iloczyn pod pierwiastkiem to różnica kwadratów: \[\left(2^{50}+1\right)\left(2^{50}-1\right)=\left(2^{50}\right)^2-1^2=2^{100}-1,\] a suma wyrazów poza pierwiastkiem wynosi \(2\cdot2^{50}=2^{51}\). Zatem \[L^2=2^{51}+2\sqrt{2^{100}-1}.\] **Krok \(5\).** Prawa strona po podniesieniu do kwadratu: \[P^2=\left(2^{26}\right)^2=2^{52}.\] **Krok \(6\).** Trzeba więc wykazać, że \[2^{51}+2\sqrt{2^{100}-1}\lt2^{52}.\] Ponieważ \(2^{52}=2\cdot2^{51}=2^{51}+2^{51}\), po odjęciu \(2^{51}\) od obu stron sprowadza się to do nierówności \[2\sqrt{2^{100}-1}\lt2^{51},\qquad\text{czyli}\qquad \sqrt{2^{100}-1}\lt2^{50}.\] **Krok \(7\).** Ta ostatnia nierówność jest oczywista: mamy \(2^{100}-1\lt2^{100}=\left(2^{50}\right)^2\), a pierwiastkowanie zachowuje nierówność między liczbami nieujemnymi, więc \[\sqrt{2^{100}-1}\lt\sqrt{\left(2^{50}\right)^2}=2^{50}.\] **Krok \(8\).** Cofamy się po kolejnych równoważnościach: skoro \(\sqrt{2^{100}-1}\lt2^{50}\), to \(L^2\lt P^2\), a ponieważ \(L\gt0\) i \(P\gt0\), otrzymujemy \(L\lt P\), czyli \[\sqrt{2^{50}+1}+\sqrt{2^{50}-1}\lt2^{26},\] co należało wykazać. **Uwaga.** Podnoszenie nierówności do kwadratu jest przekształceniem równoważnym **tylko wtedy**, gdy obie strony są nieujemne — dlatego w kroku \(1\) trzeba było to wyraźnie sprawdzić. Pomocne było też dostrzeżenie, że \(2^{26}=\sqrt{2^{52}}\), czyli że prawa strona po podniesieniu do kwadratu jest ładną potęgą dwójki. **Odpowiedź.** Nierówność \(\sqrt{2^{50}+1}+\sqrt{2^{50}-1}\lt2^{26}\) jest prawdziwa.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: dowód

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Równania i nierówności.

**A.** \(x=7^2\)

Rozkładamy podstawę potęgi na czynniki pierwsze: \(63=9\cdot7=3^2\cdot7\). Stąd \[63^2=\left(3^2\cdot7\right)^2=3^4\cdot7^2.\] Drugi czynnik zapisujemy jako potęgę o wykładniku ujemnym: \(\left(\frac13\right)^4=3^{-4}\). Zatem \[x=3^4\cdot7^2\cdot3^{-4}=7^2.\] **Odpowiedź.** A. \(x=7^2\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie praw działań na potęgach po rozłożeniu podstawy na czynniki pierwsze Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** \(1\)

Wyrażenie w nawiasie jest podniesione do potęgi zerowej. Wystarczy sprawdzić, że podstawa jest różna od zera: \[\frac{2^{-2}\cdot3^{-1}}{2^{-1}\cdot3^{-2}}=2^{-2-(-1)}\cdot3^{-1-(-2)}=2^{-1}\cdot3^{1}=\frac32\neq0.\] Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje \(1\). **Odpowiedź.** **A.** \(1\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykorzystanie w obliczeniach praw działań na potęgach.

**C.** \(3^{16}\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, czego wymaga zadanie: wszystkie odpowiedzi są potęgami liczby \(3\), więc czynniki \(81\) i \(9\) trzeba najpierw zapisać jako potęgi trójki, a potem skorzystać z praw działań na potęgach. **Krok \(2\).** Rozkładamy podstawy: \[81=3\cdot3\cdot3\cdot3=3^{4},\qquad 9=3\cdot3=3^{2}.\] **Krok \(3\).** Przekształcamy pierwszy czynnik wzorem na potęgę potęgi \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}\): \[81^{2}=\left(3^{4}\right)^{2}=3^{4\cdot2}=3^{8}.\] **Krok \(4\).** Tak samo drugi czynnik: \[9^{4}=\left(3^{2}\right)^{4}=3^{2\cdot4}=3^{8}.\] **Krok \(5\).** Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, czyli dodajemy wykładniki: \[81^{2}\cdot9^{4}=3^{8}\cdot3^{8}=3^{8+8}=3^{16}.\] **Uwaga.** Przy mnożeniu potęg o wspólnej podstawie wykładniki **dodajemy**, a przy potęgowaniu potęgi **mnożymy**. Pomylenie tych dwóch reguł daje tu \(3^{64}\) albo \(3^{4}\), czyli odpowiedzi spoza sensu zadania. **Odpowiedź.** C: \(3^{16}\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – stosuje prawa działań na potęgach.

Obie strony są nieujemne, więc nierówność można równoważnie podnieść do czwartej potęgi. Otrzymujemy \(\frac{a^{4}+b^{4}}{2}\geqslant\frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{4}\), co po pomnożeniu przez \(4\) i przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę daje \(\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}\geqslant 0\). Ta nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(a,b\in\mathbb{R}\), więc prawdziwa jest też nierówność wyjściowa.

**Krok \(1\).** Metoda: obie strony nierówności są nieujemne, a funkcja \(t\mapsto t^{4}\) jest rosnąca dla \(t\geqslant 0\). Dlatego podniesienie obu stron do czwartej potęgi jest przekształceniem równoważnym. **Krok \(2\).** Sprawdzamy założenie. Lewa strona \(\sqrt[4]{\frac{a^{4}+b^{4}}{2}}\) jest nieujemna, bo pierwiastek czwartego stopnia z liczby nieujemnej jest nieujemny (a \(a^{4}+b^{4}\geqslant 0\)). Prawa strona \(\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\) też jest nieujemna. Obie strony są więc dobrze określone dla wszystkich \(a,b\in\mathbb{R}\). **Krok \(3\).** Podnosimy obie strony do czwartej potęgi. Otrzymujemy nierówność równoważną \[\frac{a^{4}+b^{4}}{2}\geqslant\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\right)^{2}=\frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{4}.\] **Krok \(4\).** Mnożymy obie strony przez \(4\) (liczbę dodatnią, więc znak nierówności się nie zmienia): \[2\left(a^{4}+b^{4}\right)\geqslant\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}.\] **Krok \(5\).** Rozwijamy prawą stronę i przenosimy wszystko na jedną stronę: \[2a^{4}+2b^{4}-a^{4}-2a^{2}b^{2}-b^{4}\geqslant 0,\] czyli \[a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}\geqslant 0.\] **Krok \(6\).** Lewa strona jest kwadratem: \[\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}\geqslant 0.\] Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc ta nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(a,b\in\mathbb{R}\). **Krok \(7\).** Wszystkie przekształcenia w krokach \(3\)–\(6\) były równoważne, więc prawdziwa jest także nierówność wyjściowa. **Uwaga.** Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(a^{2}=b^{2}\), czyli gdy \(|a|=|b|\). Nierówność ta jest szczególnym przypadkiem ogólnego faktu: średnia potęgowa stopnia \(4\) jest nie mniejsza od średniej potęgowej stopnia \(2\). **Odpowiedź.** Nierówność \(\sqrt[4]{\frac{a^{4}+b^{4}}{2}}\geqslant\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\) jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\).

Schemat oceniania **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – doprowadzenie nierówności do postaci \(\frac{a^{4}+b^{4}}{2}\ge\frac{a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}}{4}\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – doprowadzenie nierówności \(\frac{a^{4}+b^{4}}{2}\ge\frac{a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}}{4}\) do postaci, z której […] wywnioskować, że jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste. **Rozwiązanie bezbłędne** – […] **4 pkt** – mogą być rozwiązania, w których zdający od razu napisze, że średnia potęgowa stopnia \(4\) jest niemniejsza od średniej kwadratowej (średniej potęgowej stopnia \(2\)), bo im wyższy stopień, tym większa średnia. Należy wtedy przyznać 4 pkt.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: dowód nierówności algebraicznej przez przekształcenie do kwadratu liczby rzeczywistej.

**A.** \(7-4\sqrt3\)

**Krok \(1\).** Mamy podnieść do kwadratu różnicę dwóch liczb, z których jedna jest pierwiastkiem. Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\] i podstawiamy \(a=2\), \(b=\sqrt3\). **Krok \(2\).** Liczymy pierwszy składnik: \(a^2=2^2=4\). **Krok \(3\).** Liczymy podwojony iloczyn: \[2ab=2\cdot2\cdot\sqrt3=4\sqrt3.\] **Krok \(4\).** Liczymy trzeci składnik. Kwadrat i pierwiastek kwadratowy znoszą się (dla liczby nieujemnej): \[b^2=(\sqrt3)^2=3.\] **Krok \(5\).** Składamy wszystko razem: \[(2-\sqrt3)^2=4-4\sqrt3+3=7-4\sqrt3.\] **Uwaga.** Nie wolno podnosić do kwadratu każdego składnika osobno: \((2-\sqrt3)^2\neq2^2-(\sqrt3)^2\). Środkowy wyraz \(-4\sqrt3\) jest nieodłączną częścią wzoru i to on odróżnia poprawną odpowiedź A od błędnej D (\(7\)) oraz od B, w której zgubiono znak minus. **Odpowiedź.** A: \(7-4\sqrt3\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – podnosi wyrażenie z pierwiastkiem do kwadratu.

**B.** \(2^{-3}\)

Obie liczby zapisujemy jako potęgi dwójki: \[32^{-3}=\left(2^5\right)^{-3}=2^{-15},\qquad \left(\tfrac18\right)^{4}=\left(2^{-3}\right)^{4}=2^{-12}.\] Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki: \[2^{-15}:2^{-12}=2^{-15-(-12)}=2^{-3}.\] **Odpowiedź.** **B.** \(2^{-3}\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: B.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Teza wynika ze sprowadzenia wszystkich potęg do podstawy \(3\): \(243^{11}-81^{14}+7\cdot 3^{54}=3^{55}-3^{56}+7\cdot 3^{54}=3^{54}(3-9+7)=3^{54}=9^{27}\), więc liczba \(3^{54}\) spełnia to równanie (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy strukturę zadania. Polecenie brzmi „wykaż, że liczba \(3^{54}\) jest rozwiązaniem” — nie musimy więc rozwiązywać równania, wystarczy wstawić tę liczbę w miejsce \(x\) i sprawdzić, że lewa strona zrówna się z prawą. Kluczowa obserwacja: liczby \(243\), \(81\) i \(9\) to potęgi trójki, więc wszystko sprowadzimy do wspólnej podstawy \(3\). **Krok \(2\).** Zapisujemy podstawy jako potęgi trójki: \[243=3^5,\qquad 81=3^4,\qquad 9=3^2.\] **Krok \(3\).** Korzystamy ze wzoru \((a^m)^n=a^{mn}\): \[243^{11}=\left(3^5\right)^{11}=3^{55},\qquad 81^{14}=\left(3^4\right)^{14}=3^{56},\qquad 9^{27}=\left(3^2\right)^{27}=3^{54}.\] **Krok \(4\).** Wstawiamy \(x=3^{54}\) do lewej strony równania: \[L=243^{11}-81^{14}+7\cdot 3^{54}=3^{55}-3^{56}+7\cdot 3^{54}.\] **Krok \(5\).** Wyłączamy wspólny czynnik \(3^{54}\). Ponieważ \(3^{55}=3^{54}\cdot 3\) oraz \(3^{56}=3^{54}\cdot 3^2=3^{54}\cdot 9\), mamy \[L=3^{54}\cdot 3-3^{54}\cdot 9+3^{54}\cdot 7=3^{54}\left(3-9+7\right).\] **Krok \(6\).** Liczymy nawias: \(3-9+7=1\), więc \[L=3^{54}\cdot 1=3^{54}.\] **Krok \(7\).** Prawa strona to \(P=9^{27}=3^{54}\). Zatem \(L=P\), czyli liczba \(3^{54}\) rzeczywiście spełnia dane równanie, co należało wykazać. **Uwaga.** Nie daj się skusić na rozwiązywanie równania „od zera” (czyli wyznaczanie \(x=\frac{9^{27}-243^{11}+81^{14}}{7}\)) — to droższa droga, a i tak trzeba by sprowadzić wszystko do podstawy \(3\). Przy zadaniach typu „wykaż, że liczba jest rozwiązaniem” wystarczy podstawienie i sprawdzenie równości. Uważaj też przy wyłączaniu czynnika: \(3^{56}\) to \(3^{54}\cdot 9\), a nie \(3^{54}\cdot 2\). **Odpowiedź.** Teza wynika ze sprowadzenia wszystkich potęg do podstawy \(3\): \(243^{11}-81^{14}+7\cdot 3^{54}=3^{55}-3^{56}+7\cdot 3^{54}=3^{54}(3-9+7)=3^{54}=9^{27}\), więc liczba \(3^{54}\) spełnia to równanie (dowód w rozwiązaniu).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Teza wynika z równości \(9\sqrt{A}=3^{2}\cdot\left(3^{4\sqrt2+2}\right)^{\frac12}=3^{2}\cdot3^{2\sqrt2+1}=3^{2\sqrt2+3}=B\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy sytuację: obie liczby \(A\) i \(B\) są potęgami o tej samej podstawie \(3\), a w tezie pojawia się jeszcze pierwiastek kwadratowy i mnożenie przez \(9\). Ponieważ \(9=3^{2}\), a pierwiastek kwadratowy to potęga o wykładniku \(\tfrac12\), całą prawą stronę tezy da się zapisać jako jedną potęgę trójki. Wtedy wystarczy porównać wykładniki. Przekształcamy więc prawą stronę \(9\sqrt{A}\) i doprowadzamy ją do postaci \(B\). **Krok \(2\).** Zapisujemy pierwiastek jako potęgę: \[\sqrt{A}=A^{\frac12}.\] Wolno tak zrobić, bo \(A=3^{4\sqrt2+2}\) jest liczbą dodatnią (potęga liczby dodatniej jest dodatnia), więc pierwiastek istnieje. **Krok \(3\).** Podstawiamy wzór na \(A\): \[\sqrt{A}=\left(3^{4\sqrt2+2}\right)^{\frac12}.\] **Krok \(4\).** Stosujemy wzór na potęgę potęgi \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}\). Wykładnik mnożymy przez \(\tfrac12\), czyli dzielimy przez \(2\) każdy jego składnik: \[\left(3^{4\sqrt2+2}\right)^{\frac12}=3^{(4\sqrt2+2)\cdot\frac12}=3^{2\sqrt2+1}.\] **Krok \(5\).** Liczbę \(9\) zapisujemy jako potęgę trójki: \(9=3^{2}\). Stąd \[9\sqrt{A}=3^{2}\cdot3^{2\sqrt2+1}.\] **Krok \(6\).** Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki: \[3^{2}\cdot3^{2\sqrt2+1}=3^{2+2\sqrt2+1}=3^{2\sqrt2+3}.\] **Krok \(7\).** Z założenia \(B=3^{2\sqrt2+3}\), a więc otrzymaliśmy dokładnie liczbę \(B\): \[9\sqrt{A}=3^{2\sqrt2+3}=B,\] co należało wykazać. **Uwaga.** Najczęstszy błąd w tym rachunku to podzielenie przez \(2\) tylko jednego składnika wykładnika. Poprawnie: \(\frac{4\sqrt2+2}{2}=\frac{4\sqrt2}{2}+\frac{2}{2}=2\sqrt2+1\). Zauważ też, że wynik nie zależy od tego, czy umiemy oszacować \(\sqrt2\) — cały dowód opiera się wyłącznie na prawach działań na potęgach. **Odpowiedź.** \(9\sqrt{A}=3^{2}\cdot3^{2\sqrt2+1}=3^{2\sqrt2+3}=B\), zatem równość \(B=9\sqrt{A}\) jest prawdziwa.

**3 pkt** – jeśli wykaże równość \(B=9A\). **2 pkt** – jeśli poprawnie zastosuje wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach i wzór na potęgę potęgi i na tym zakończy. Poprawna odpowiedź: […], o ile dowód równości jest prowadzony od jej lewej strony do prawej, albo […], o ile dowód równości jest prowadzony od jej prawej strony do lewej. **1 pkt** – jeśli poprawnie zastosuje jedynie wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach albo tylko wzór na potęgę potęgi i na tym zakończy. Poprawna odpowiedź: […], o ile dowód równości jest prowadzony od jej lewej strony do prawej, albo […], o ile dowód równości jest prowadzony od jej prawej strony do lewej.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(a=6\), \(b=9\) oraz \(a^{b}>b^{a}\).

Obliczamy \(a\), korzystając ze wzoru na kwadrat sumy: \[a=\left[(2-\sqrt3)^{\frac12}+(2+\sqrt3)^{\frac12}\right]^{2} =(2-\sqrt3)+2\sqrt{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}+(2+\sqrt3).\] Ponieważ \((2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=4-3=1\), otrzymujemy \(a=4+2=6\). Obliczamy \(b\), sprowadzając wszystko do potęgi liczby \(3\): \[81^{-1}=3^{-4},\quad \sqrt3=3^{\frac12},\quad 27^{-2}=3^{-6},\quad \sqrt[4]{9}=3^{\frac12},\] więc \[b=\frac{3^{-4}\cdot3^{\frac12}}{3^{-6}\cdot3^{\frac12}}=3^{-4+6}=3^{2}=9.\] Porównujemy \(a^{b}=6^{9}\) z \(b^{a}=9^{6}\): \[6^{9}=2^{9}\cdot3^{9},\qquad 9^{6}=3^{12}.\] Dzielimy obie liczby przez \(3^{9}>0\) — to nie zmienia kierunku nierówności: \[2^{9}=512\qquad\text{oraz}\qquad 3^{3}=27.\] Ponieważ \(512>27\), mamy \(a^{b}>b^{a}\). **Odpowiedź.** \(a=6\), \(b=9\), a liczba \(a^{b}\) jest większa od \(b^{a}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (1 pkt)** – […] lub \(2-\sqrt{3}+2\cdot\left(2-\sqrt{3}\right)\cdot\left(2+\sqrt{3}\right)+2+\sqrt{3}\). **6.2. (1 pkt)** – obliczenie liczby \(a\): \(a=6\). **6.3. (1 pkt)** – obliczenie liczby \(b\): \(b=9\). **6.4. (1 pkt)** – zapisanie wniosku wraz z uzasadnieniem: \(a^{b}>b^{a}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x=8=2^{3}\), czyli \(k=3\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, że wszystkie liczby w równaniu (\(4\), \(32\), \(16\)) są potęgami dwójki, a niewiadoma \(x\) stoi jako zwykły mnożnik. To wskazówka: zapiszmy każdą liczbę w postaci potęgi o podstawie \(2\), a równanie stanie się liniowe. **Krok \(2\).** Zamieniamy podstawy po lewej stronie, korzystając ze wzoru \((a^m)^n=a^{mn}\): \[4^{23}=(2^2)^{23}=2^{46},\qquad 32^{9}=(2^5)^{9}=2^{45}.\] **Krok \(3\).** Zamieniamy podstawy po prawej stronie: \[16^4=(2^4)^4=2^{16},\qquad (4^4)^4=4^{16}=(2^2)^{16}=2^{32},\] więc prawa strona to \(2^{16}\cdot2^{32}=2^{16+32}=2^{48}\). **Krok \(4\).** Równanie przyjmuje postać \[2^{46}x-2^{45}x=2^{48}.\] Po lewej stronie wyłączamy przed nawias niższą potęgę, czyli \(2^{45}x\): \[2^{45}x\,(2-1)=2^{45}x.\] **Krok \(5\).** Zostaje \(2^{45}x=2^{48}\). Dzielimy obie strony przez \(2^{45}\) (liczbę dodatnią): \[x=\frac{2^{48}}{2^{45}}=2^{48-45}=2^{3}=8.\] **Krok \(6\).** Zapisujemy wynik w żądanej postaci \(2^k\): \(x=2^3\), czyli \(k=3\). **Uwaga.** Najczęstszy błąd polega na potraktowaniu \(x\) jak części wykładnika i pisaniu \(4^{23x}\). W treści \(x\) jest czynnikiem stojącym obok potęgi, więc równanie jest liniowe względem \(x\) — całą pracę wykonuje sprowadzenie liczb do wspólnej podstawy i wyłączenie \(2^{45}\) przed nawias. **Odpowiedź.** \(x=8=2^{3}\), czyli \(k=3\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Wszystkie liczby występujące w równaniu zapisuję w postaci potęgi o podstawie \(2\): \(2^{46}x-2^{45}x=2^{16}\cdot 2^{32}\) Po lewej stronie równania wyłączam wspólny czynnik przed nawias, a po prawej stronie wykonuję mnożenie: \[2^{45}x(2-1)=2^{48}\] \[2^{45}x=2^{48}\] dzielę obie strony równania przez \(2^{45}\) i otrzymuję: \(x=2^{48}:2^{45}=2^{3}\) Rozwiązaniem równania jest liczba \(2^{3}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Nierówność sprowadza się do \(x\gt-32\); najmniejsza liczba całkowita, która ją spełnia, to \(-31\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy nierówność liniową o dość strasznie wyglądających współczynnikach. Wszystkie liczby są potęgami dwójki, a licznik ułamka ma postać różnicy kwadratów — to podpowiedź, by zastosować wzór \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) i skrócić ułamek zamiast liczyć cokolwiek na kalkulatorze. **Krok \(2\).** Przekształcamy licznik. Zauważmy, że \(2^{32}=\left(2^{16}\right)^2\), więc przy oznaczeniach \(a=2^{16}\) i \(b=32\) mamy \[2^{32}-32^2=\left(2^{16}\right)^2-32^2=\left(2^{16}-32\right)\left(2^{16}+32\right).\] **Krok \(3\).** Skracamy ułamek przez \(2^{16}+32\) (liczbę dodatnią, więc różną od zera): \[\frac{2^{32}-32^2}{2^{16}+32}=\frac{\left(2^{16}-32\right)\left(2^{16}+32\right)}{2^{16}+32}=2^{16}-32.\] Lewa strona nierówności to zatem \(\left(2^{16}-32\right)x\). **Krok \(4\).** Przekształcamy prawą stronę, wyłączając wspólny czynnik \(2^5=32\): \[2^{10}-2^{21}=2^5\cdot2^5-2^5\cdot2^{16}=2^5\left(2^5-2^{16}\right)=-32\left(2^{16}-2^5\right)=-32\left(2^{16}-32\right).\] **Krok \(5\).** Nierówność przyjmuje postać \[\left(2^{16}-32\right)x\gt-32\left(2^{16}-32\right).\] Liczba \(2^{16}-32=65\,536-32=65\,504\) jest dodatnia, więc dzieląc obie strony przez nią, nie zmieniamy znaku nierówności: \[x\gt-32.\] **Krok \(6\).** Szukamy najmniejszej liczby całkowitej spełniającej \(x\gt-32\). Sama liczba \(-32\) nie spełnia nierówności (jest ostra), więc bierzemy kolejną liczbę całkowitą w górę, czyli \(-31\). **Uwaga.** Dwa miejsca decydują o poprawności. Po pierwsze, dzielenie przez \(2^{16}-32\) wolno wykonać bez odwracania znaku nierówności tylko dlatego, że ta liczba jest dodatnia — warto to zapisać wprost. Po drugie, pytanie dotyczy najmniejszej liczby całkowitej: przy nierówności ostrej odpowiedzią jest \(-31\), a nie \(-32\). Gdyby w treści była nierówność nieostra, poprawną odpowiedzią byłoby \(-32\). **Odpowiedź.** Nierówność sprowadza się do \(x\gt-32\); najmniejsza liczba całkowita, która ją spełnia, to \(-31\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (1 pkt)** – […] nierówności w postaci: \(\frac{\left(2^{16}-32\right)\left(2^{16}+32\right)}{2^{16}+32}\cdot x\). **6.2. (1 pkt)** – włączenie przed nawias wspólnego czynnika \(2^{5}\) i zapisanie prawej strony nierówności w postaci: \(2^{5}\left(2^{5}-2^{16}\right)=-2^{5}\left(2^{16}-2^{5}\right)\). **6.3. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności: \(x>-32\). **6.4. (1 pkt)** – zapisanie najmniejszej liczby całkowitej spełniającej daną nierówność: \((-31)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a=2-\sqrt3\); b) \(b=3^{\frac12}\), czyli \(3^{0{,}5}\); c) \(c=2{,}5\).

**Krok \(1\).** \(1\).\(1\). Przedstawienie liczby a w postaci x + y \(3\) : a = \(2\) − \(3\) . \(1\) **Krok \(2\).** \(1\). \(1\).\(2\). Zapisanie liczby b w postaci potęgi liczby \(3\): b = \(3\) \(0\),\(5\) . \(1\) **Krok \(3\).** Wyznaczenie liczby c , której \(80\)% jest równe sumie liczb **Krok \(4\).** \(1\).\(3\). \(1\) **Krok \(5\).** a i b : c =\(2\),\(5\). **Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **1.1. (1 pkt)** – przedstawienie liczby \(a\) w postaci \(x+y\sqrt{3}\): \(a=2-\sqrt{3}\). **1.2. (1 pkt)** – zapisanie liczby \(b\) w postaci potęgi liczby \(3\): \(b=3^{0{,}5}\). **1.3. (1 pkt)** – wyznaczenie liczby \(c\), której \(80\%\) jest równe sumie liczb \(a\) i \(b\): \(c=2{,}5\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Teza wynika z tego, że dla \(a=\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}\) zachodzi \(a^{3}=14-3a\), a równanie \(a^{3}+3a-14=(a-2)(a^{2}+2a+7)=0\) ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty \(a=2\); zatem badane wyrażenie jest równe \(2\), czyli jest liczbą całkowitą (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Metoda: oznaczamy badane wyrażenie jedną literą i podnosimy je do sześcianu. Wynika to z tożsamości \((u-v)^{3}=u^{3}-v^{3}-3uv(u-v)\), która pozwoli zastąpić uciążliwe pierwiastki sześcienne prostym równaniem. **Krok \(2\).** Wprowadzamy oznaczenia \[u=\sqrt[3]{5\sqrt2+7},\qquad v=\sqrt[3]{5\sqrt2-7},\qquad a=u-v.\] Liczby \(u\) i \(v\) są rzeczywiste (pierwiastek sześcienny istnieje dla każdej liczby rzeczywistej), więc \(a\) jest liczbą rzeczywistą. **Krok \(3\).** Obliczamy różnicę sześcianów: \[u^{3}-v^{3}=\left(5\sqrt2+7\right)-\left(5\sqrt2-7\right)=14.\] **Krok \(4\).** Obliczamy iloczyn \(uv\), korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów: \[uv=\sqrt[3]{\left(5\sqrt2+7\right)\left(5\sqrt2-7\right)}=\sqrt[3]{50-49}=\sqrt[3]{1}=1.\] To jest sedno zadania: pod pierwiastkiem zostaje liczba \(1\). **Krok \(5\).** Podstawiamy oba wyniki do tożsamości z kroku \(1\): \[a^{3}=u^{3}-v^{3}-3uv(u-v)=14-3\cdot 1\cdot a,\] czyli \(a\) spełnia równanie \[a^{3}+3a-14=0.\] **Krok \(6\).** Zauważamy, że \(a=2\) spełnia to równanie, bo \(8+6-14=0\). Dzielimy więc wielomian przez dwumian \(a-2\): \[a^{3}+3a-14=(a-2)\left(a^{2}+2a+7\right).\] **Krok \(7\).** Badamy drugi czynnik. Dla trójmianu \(a^{2}+2a+7\) mamy \[\Delta=2^{2}-4\cdot 1\cdot 7=4-28=-24\lt 0,\] więc \(a^{2}+2a+7\) nie ma pierwiastków rzeczywistych i dla każdego rzeczywistego \(a\) jest dodatni. **Krok \(8\).** Zatem równanie \(a^{3}+3a-14=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie jeden pierwiastek: \(a=2\). Ponieważ nasza liczba \(a\) jest rzeczywista i spełnia to równanie, musi być równa \(2\). **Uwaga.** Samo sprawdzenie, że liczba \(2\) spełnia równanie \(a^{3}=14-3a\), jeszcze nie kończy dowodu: trzeba wykazać, że innych pierwiastków rzeczywistych nie ma. Właśnie temu służy rozkład na czynniki i ujemny wyróżnik. **Odpowiedź.** \(\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}=2\), a więc badane wyrażenie jest liczbą całkowitą.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **17.1. (1 pkt)** – […] lub \(a=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\) i \(a^{3}=\left(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\right)^{3}\) **17.2. (1 pkt)** – skorzystanie z tożsamości: \((x-y)^{3}=x^{3}-y^{3}-3xy(x-y)\) **17.3. (2 pkt)** – wykorzystanie tożsamości i oznaczeń do uzyskania równania z niewiadomą \(a\) (w tym 1 p. za metodę oraz 1 p. za obliczenia): \(a^{3}=14-3a\) (*) **17.4. (1 pkt)** – wyznaczenie całkowitego pierwiastka równania (*): \(a=2\) **17.5. (1 pkt)** – zapisanie równania (*) w postaci iloczynowej: \((a-2)(a^{2}+2a+7)=0\) lub stwierdzenie, że równanie (*) ma jeden pierwiastek **17.6. (1 pkt)** – wykazanie, że \(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\) jest liczbą całkowitą – sprawdzenie warunku \(\Delta<0\) i uzasadnienie, że \(a=2\) jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem równania (*)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Zdanie \(p\) jest fałszywe (\(-3^{2}=-9\)), zdanie \(q\) jest fałszywe (\(\sqrt{81+64}=\sqrt{145}\neq 17\)), zdanie \(r\) jest prawdziwe (\(\sqrt[3]{27^{4}}=3^{4}=81=\left(\frac19\right)^{-2}\)). Zdanie \((p\land q)\Rightarrow r\) jest prawdziwe, bo koniunkcja \(p\land q\) jest fałszywa, a implikacja o fałszywym poprzedniku jest prawdziwa.

**Krok \(1\).** Zadanie ma dwie warstwy: rachunkową (ocenić prawdziwość trzech zdań \(p\), \(q\), \(r\)) i logiczną (na tej podstawie ocenić implikację). Zaczynamy od rachunków, a na końcu korzystamy z definicji koniunkcji i implikacji. **Krok \(2\).** Zdanie \(p\): \(-3^2=9\). Trzeba pamiętać o kolejności działań: potęgowanie wykonujemy przed zmianą znaku, więc \[-3^2=-\left(3^2\right)=-9.\] Ponieważ \(-9\ne 9\), zdanie \(p\) jest fałszywe. **Krok \(3\).** Zdanie \(q\): \(\sqrt{81+64}=17\). Najpierw dodajemy pod pierwiastkiem: \[\sqrt{81+64}=\sqrt{145}.\] Ponieważ \(12^2=144\) i \(13^2=169\), liczba \(\sqrt{145}\) leży między \(12\) a \(13\), czyli na pewno nie jest równa \(17\). Zdanie \(q\) jest fałszywe. **Krok \(4\).** Zdanie \(r\): \(\sqrt[3]{27^4}=\left(\frac19\right)^{-2}\). Lewa strona: \[\sqrt[3]{27^4}=\sqrt[3]{\left(3^3\right)^4}=\sqrt[3]{3^{12}}=3^{4}=81.\] Prawa strona (ujemny wykładnik oznacza odwrotność): \[\left(\frac19\right)^{-2}=9^{2}=81.\] Obie strony są równe, więc zdanie \(r\) jest prawdziwe. **Krok \(5\).** Koniunkcja \(p\land q\) jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania są prawdziwe. Tutaj oba są fałszywe, więc \(p\land q\) jest fałszywa. **Krok \(6\).** Implikacja jest fałszywa tylko w jednym przypadku: gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy. U nas poprzednik \(p\land q\) jest fałszywy, więc implikacja \((p\land q)\Rightarrow r\) jest prawdziwa, niezależnie od wartości \(r\). **Uwaga.** Dwie klasyczne pułapki rachunkowe. Pierwsza: \(-3^2\) to \(-9\), a \((-3)^2\) to \(9\), i to nawiasy o tym decydują. Druga: \(\sqrt{81+64}\ne\sqrt{81}+\sqrt{64}\), bo pierwiastek nie rozdziela się względem dodawania; gdyby tak było, wyszłoby \(9+8=17\) i błędnie uznalibyśmy \(q\) za prawdziwe. **Odpowiedź.** Zdania \(p\) i \(q\) są fałszywe, zdanie \(r\) jest prawdziwe, a zdanie \((p\land q)\Rightarrow r\) jest prawdziwe, ponieważ jego poprzednik \(p\land q\) jest fałszywy.

1 Odp. Np. Zdanie ( p ∧ q) ⇒ r jest prawdziwe, gdyż koniunkcja p ∧ q jest fałszywa, a implikacja o fałszywym poprzedniku jest prawdziwa 1 punkt przyznajemy za prawidłową odpowiedź, 1 punkt za 2 uzasadnienie na podstawie własności koniunkcji i implikacji (punkty przyznajemy także, gdy zdający źle ocenił wartość logiczną zdań p, q lub r i konsekwentnie ocenia wartość logiczną zdania ( p ∧ q ) ⇒ r ) [Dalsza część schematu, doklejona przez ekstrakcję, należy do kolejnego zadania z arkusza i została usunięta.]

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Tak — równość zachodzi, \(\frac{a-b}{a\cdot b}=20\). b) \(\left|\frac ab\right|=7-4\sqrt3\).

**a)** Obliczamy osobno licznik i mianownik. Różnica: \[a-b=\frac{\sqrt3-2}{5}-\frac{\sqrt3+2}{5}=\frac{-4}{5}.\] Iloczyn liczymy ze wzoru na różnicę kwadratów: \[a\cdot b=\frac{(\sqrt3-2)(\sqrt3+2)}{25}=\frac{3-4}{25}=-\frac1{25}.\] Zatem \[\frac{a-b}{a\cdot b}=\frac{-\frac45}{-\frac1{25}}=-\frac45\cdot(-25)=20,\] czyli podana równość jest prawdziwa. **b)** Usuwamy niewymierność z mianownika ilorazu: \[\frac ab=\frac{\sqrt3-2}{\sqrt3+2}=\frac{(\sqrt3-2)^2}{(\sqrt3+2)(\sqrt3-2)}=\frac{7-4\sqrt3}{-1}=4\sqrt3-7.\] Zanim zastosujemy definicję wartości bezwzględnej, badamy znak tej liczby. Ponieważ \(4\sqrt3=\sqrt{48}<\sqrt{49}=7\), mamy \(4\sqrt3-7<0\), a zatem \[\left|\frac ab\right|=-(4\sqrt3-7)=7-4\sqrt3.\] **Odpowiedź.** a) Równość zachodzi. b) \(\left|\frac ab\right|=7-4\sqrt3\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **(1 pkt)** – obliczenie \(a-b=-\frac{4}{5}\). **(1 pkt)** – obliczenie \(a\cdot b=-\frac{1}{25}\). **(1 pkt)** – sprawdzenie, że \(\frac{a-b}{a\cdot b}=20\). **(1 pkt)** – obliczenie \(\frac{a}{b}=4\sqrt{3}-7\). **(1 pkt)** – zbadanie znaku wyrażenia: \(4\sqrt{3}-7<0\). **(1 pkt)** – zastosowanie definicji wartości bezwzględnej: \(\left\lvert\frac{a}{b}\right\rvert=7-4\sqrt{3}\).

Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(\sqrt{11+6\sqrt{2}}=3+\sqrt{2}\)

**Krok \(1\).** Szukamy zapisu liczby \(11+6\sqrt{2}\) w postaci kwadratu sumy \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Wyraz \(6\sqrt{2}\) ma odpowiadać podwojonemu iloczynowi \(2ab\). **Krok \(2\).** Rozbijamy \(11\) na dwa składniki tak, aby jeden był kwadratem liczby wymiernej, a drugi kwadratem wielokrotności \(\sqrt{2}\): \[11+6\sqrt{2}=9+6\sqrt{2}+2.\] **Krok \(3\).** Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia. Tu \(a=3\), \(b=\sqrt{2}\), bo \(3^2=9\), \((\sqrt{2})^2=2\) oraz \(2\cdot 3\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}\): \[9+6\sqrt{2}+2=3^{2}+2\cdot 3\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}=(3+\sqrt{2})^{2}.\] **Krok \(4\).** Wyciągamy pierwiastek. Ponieważ \(3+\sqrt{2}>0\), zachodzi \(\sqrt{(3+\sqrt{2})^{2}}=3+\sqrt{2}\): \[\sqrt{11+6\sqrt{2}}=\sqrt{(3+\sqrt{2})^{2}}=3+\sqrt{2}.\] **Uwaga.** Sprawdzenie zajmuje chwilę: \((3+\sqrt{2})^{2}=9+6\sqrt{2}+2=11+6\sqrt{2}\). Warto je wykonać, bo błędny rozkład \(11\) na składniki daje wynik, który wygląda poprawnie. **Odpowiedź.** \(\sqrt{11+6\sqrt{2}}=3+\sqrt{2}\)

**9. (1 pkt)** – zapisanie liczby \(9+6\sqrt{2}+2\) w postaci \((3)^{2}+2\cdot 3\cdot\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\). **10. (1 pkt)** – zapisanie liczby \((3)^{2}+2\cdot 3\cdot\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\) w postaci \(\left(3+\sqrt{2}\right)^{2}\), a w konsekwencji w postaci uproszczonej: \(3+\sqrt{2}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.