Badanie przebiegu funkcji — przedziały monotoniczności, ekstrema i wykres z pochodnej

**C.** Funkcja \(f\) ma jedno ekstremum lokalne dla \(x=1\).

Pochodna ma postać \[f'(x)=12x^{3}-12x^{2}=12x^{2}(x-1).\] Zeruje się dla \(x=0\) oraz \(x=1\), lecz zmienia znak wyłącznie przy \(x=1\). W tym punkcie funkcja ma minimum lokalne.

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 11.5R) Zdający znajduje ekstrema funkcji wielomianowych i wymiernych.

Prosta \(AB\) ma równanie \(y=-2x+4\).

**Krok \(1\).** Metoda: szukamy wartości najmniejszej funkcji \(P\) na przedziale \((-\infty,0)\), badając znak jej pochodnej. Znaleziona wartość \(a\) to współczynnik kierunkowy szukanej prostej, a prosta przechodzi przez punkt \(K=(1,2)\). **Krok \(2\).** Różniczkujemy \(P(a)=\frac{-a^{2}+4a-4}{2a}\) ze wzoru na pochodną ilorazu: \[P^{\prime}(a)=\frac{(-2a+4)\cdot 2a-\left(-a^{2}+4a-4\right)\cdot 2}{(2a)^{2}}=\frac{-4a^{2}+8a+2a^{2}-8a+8}{4a^{2}}=\frac{-2a^{2}+8}{4a^{2}}=\frac{4-a^{2}}{2a^{2}}.\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej. Mianownik jest dodatni, więc \[P^{\prime}(a)=0\iff 4-a^{2}=0\iff a=-2\ \text{lub}\ a=2.\] Wartość \(a=2\) odrzucamy, bo nie należy do dziedziny \((-\infty,0)\). **Krok \(4\).** Badamy znak pochodnej na \((-\infty,0)\). Dla \(a\lt -2\) mamy \(a^{2}\gt 4\), więc \(P^{\prime}(a)\lt 0\); dla \(-2\lt a\lt 0\) mamy \(a^{2}\lt 4\), więc \(P^{\prime}(a)\gt 0\). **Krok \(5\).** Zatem \(P\) maleje na \((-\infty,-2\rangle\) i rośnie na \(\langle -2,0)\), a więc dla \(a=-2\) osiąga wartość najmniejszą: \[P(-2)=\frac{-4-8-4}{-4}=4.\] Najmniejsze pole trójkąta jest równe \(4\). **Krok \(6\).** Prosta zawierająca przeciwprostokątną \(AB\) przechodzi przez punkt \(K=(1,2)\) i ma współczynnik kierunkowy \(a=-2\): \[y=-2(x-1)+2,\qquad\text{czyli}\qquad y=-2x+4.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie: taka prosta przecina osie w punktach \(A=(2,0)\) i \(B=(0,4)\), więc pole trójkąta \(ABC\) wynosi \(\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4\) — zgadza się z krokiem \(5\). **Uwaga.** Miejsce zerowe pochodnej samo w sobie nie dowodzi, że mamy minimum. Dopiero zmiana znaku pochodnej z ujemnego na dodatni w punkcie \(a=-2\) pozwala tak wnioskować. **Odpowiedź.** Najmniejsze pole ma trójkąt, którego przeciwprostokątna leży na prostej \(y=-2x+4\) (pole to jest równe \(4\)).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(P\), np. \(P'(a)=\frac{(-2a+4)\cdot 2a-(-a^{2}+4a-4)\cdot 2}{(2a)^{2}}\) ALBO zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb \(\left(-\frac{a}{2}\right)\) oraz \(\left(-\frac{2}{a}\right)\): \(\frac{\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)}{2}\geq\sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)\cdot\left(-\frac{2}{a}\right)}\). **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(P\): \(a=-2\) ALBO obliczenie wartości \(a\), dla której zachodzi równość średniej arytmetycznej i geometrycznej liczb dodatnich \(\left(-\frac{a}{2}\right)\) oraz \(\left(-\frac{2}{a}\right)\): \(a=-2\), ALBO przekształcenie nierówności \(\frac{\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)}{2}\geq\sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)\cdot\left(-\frac{2}{a}\right)}\) do postaci \(\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)+2\geq 4\). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(a=-2\) ALBO przekształcenie nierówności \(\frac{\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)}{2}\geq\sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)\cdot\left(-\frac{2}{a}\right)}\) do postaci \(\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)+2\geq 4\) oraz zapisanie, że równość zachodzi tylko wtedy, gdy liczby dodatnie \(\left(-\frac{a}{2}\right)\) oraz \(\left(-\frac{2}{a}\right)\) są równe. **4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(a=-2\) oraz wyznaczenie równania prostej zawierającej przeciwprostokątną \(AB\) tego z trójkątów, który ma najmniejsze pole, np. \(y=-2x+4\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji \((-a^{2}+4a-4)\) oraz \(2a\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale \((-\infty,0)\) co najmniej jedno miejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce/a zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji \(P\), za wyznaczenie równania prostej \(AB\) tego z trójkątów, który ma najmniejsze pole). Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji \((-a^{2}+4a-4)\) lub \(2a\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale \((-\infty,0)\) co najmniej jedno miejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji \(P\) oraz za wyznaczenie równania prostej \(AB\) tego z trójkątów, który ma najmniejsze pole). 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(a\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: – opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(P\) LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość, LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji, LUB – wyznaczy drugą pochodną funkcji \(P\) i dla wyznaczonej wartości \(a\) obliczy wartość tej drugiej pochodnej oraz zapisze, że funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „−”) znak pochodnej. 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej, 1 punkt za wyznaczenie równania prostej \(AB\), dla której pole trójkąta \(ABC\) jest najmniejsze). 5. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R4) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu […]; XIII.R5) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji; XIII.R6) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

**a)** \(\displaystyle P(x)=\frac{2x^{3}}{x^{2}-16}\). **b)** Minimum występuje dla \(x=4\sqrt{3}\), a najmniejsze pole jest równe \(12\sqrt{3}\,\mathrm{m}^{2}\).

**Krok \(1\).** Metoda w podpunkcie **a)**: korzystamy z dwóch faktów o trójkącie opisanym na okręgu — ze wzoru \(P=r\cdot p\) (gdzie \(p\) to połowa obwodu) oraz z twierdzenia Pitagorasa dla połowy trójkąta równoramiennego. Promień koła fontanny wynosi \(r=2\) (średnica ma \(4\) metry). **Krok \(2\).** Oznaczmy: \(x\) — długość podstawy, \(b\) — długość ramienia, \(h\) — wysokość opuszczona na podstawę. Połowa obwodu jest równa \(p=\frac{2b+x}{2}=b+\frac{x}{2}\). **Krok \(3\).** Pole zapisujemy na dwa sposoby: \[\frac{1}{2}xh=r\cdot p=2\left(b+\frac{x}{2}\right)=2b+x,\] skąd \[b=\frac{xh-2x}{4}=\frac{x(h-2)}{4}.\] **Krok \(4\).** Wysokość dzieli trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne, więc z twierdzenia Pitagorasa \[b^{2}=\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+h^{2}.\] **Krok \(5\).** Podstawiamy \(b\) z kroku \(3\): \[\frac{x^{2}(h-2)^{2}}{16}=\frac{x^{2}}{4}+h^{2},\qquad x^{2}\left(h^{2}-4h+4\right)=4x^{2}+16h^{2},\] \[x^{2}h^{2}-4x^{2}h=16h^{2}.\] **Krok \(6\).** Dzielimy obie strony przez \(h\gt 0\) i wyznaczamy \(h\): \[x^{2}h-4x^{2}=16h,\qquad h\left(x^{2}-16\right)=4x^{2},\qquad h=\frac{4x^{2}}{x^{2}-16}.\] (Dla istnienia takiego trójkąta konieczne jest \(x\gt 4\), czyli \(x^{2}-16\gt 0\).) **Krok \(7\).** Obliczamy pole: \[P=\frac{1}{2}xh=\frac{1}{2}x\cdot\frac{4x^{2}}{x^{2}-16}=\frac{2x^{3}}{x^{2}-16}.\] To należało wykazać. **Krok \(8\).** Metoda w podpunkcie **b)**: badamy znak pochodnej funkcji \(P\) na przedziale \((4,10\rangle\). **Krok \(9\).** Różniczkujemy: \[P^{\prime}(x)=\frac{6x^{2}\left(x^{2}-16\right)-2x^{3}\cdot 2x}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}=\frac{6x^{4}-96x^{2}-4x^{4}}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}=\frac{2x^{2}\left(x^{2}-48\right)}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}.\] **Krok \(10\).** Miejsca zerowe pochodnej: \(2x^{2}\left(x^{2}-48\right)=0\), czyli \(x=0\) lub \(x=\pm 4\sqrt3\). W przedziale \((4,10\rangle\) zostaje tylko \(x=4\sqrt3\approx 6{,}93\). **Krok \(11\).** Badamy znak pochodnej: dla \(x\in\left(4,4\sqrt3\right)\) jest \(x^{2}\lt 48\), więc \(P^{\prime}(x)\lt 0\); dla \(x\in\left(4\sqrt3,10\right\rangle\) jest \(P^{\prime}(x)\gt 0\). Funkcja \(P\) maleje na \(\left(4,4\sqrt3\right\rangle\) i rośnie na \(\left\langle 4\sqrt3,10\right\rangle\), więc dla \(x=4\sqrt3\) osiąga wartość najmniejszą. **Krok \(12\).** Obliczamy to pole. Mamy \(\left(4\sqrt3\right)^{3}=192\sqrt3\) oraz \(\left(4\sqrt3\right)^{2}-16=48-16=32\), więc \[P\left(4\sqrt3\right)=\frac{2\cdot 192\sqrt3}{32}=12\sqrt3.\] **Uwaga.** Znaleziona podstawa \(4\sqrt3\approx 6{,}93\) mieści się w narzuconym w zadaniu ograniczeniu \(x\leqslant 10\) — gdyby minimum wypadło poza tym przedziałem, trzeba by porównać wartości na jego krańcach. **Odpowiedź.** **a)** \(P(x)=\frac{2x^{3}}{x^{2}-16}\). **b)** Pole jest najmniejsze dla podstawy \(x=4\sqrt3\) metrów i wynosi wtedy \(12\sqrt3\ \mathrm{m}^{2}\).

**Część a)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie związku między \(h\) i \(x\) oraz jedną z wielkości: długością \(b\) ramienia, lub długością odcinka \(CE\), lub długością odcinka \(CS\), np.: \(b^{2}=\left(\frac{1}{2}x\right)^{2}+h^{2}\), \(\frac{r}{h-r}=\frac{\frac{1}{2}x}{b}\), \(\frac{1}{2}xh=r\cdot\left(\frac{1}{2}x+b\right)\), ALBO zapisanie związku \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{r}{\frac{1}{2}x}\) (dla sposobu II), ALBO zapisanie związku \(P=\left(b+\frac{x}{2}\right)\cdot r\) lub \(P=\sqrt{\left(b+\frac{1}{2}x\right)\left(b+\frac{1}{2}x-b\right)\left(b+\frac{1}{2}x-b\right)\left(b+\frac{1}{2}x-x\right)}\) (dla sposobu III), ALBO zapisanie związków \(P=\frac{1}{2}b^{2}\sin(2\beta)\) oraz \(\sin\beta=\frac{r}{h-r}\), ALBO zapisanie długości boków trójkąta \(ADC\) (lub trójkąta \(CES\)) w zależności od \(x\) i \(h\) (dla sposobu IV), ALBO zapisanie długości przyprostokątnych trójkątów \(ADC\) oraz \(CES\) w zależności od \(x\) i \(h\) (dla sposobu IV). **2 pkt** – spełnienie kryterium zapisanego w pierwszym myślniku w kategorii za 1 punkt oraz zapisanie układu co najwyżej trzech równań niezależnych, umożliwiającego wyznaczenie \(h\) w zależności od \(x\) ALBO wyznaczenie \(\operatorname{tg}(2\alpha)\) w zależności od \(x\), np. \(\operatorname{tg}(2\alpha)=\frac{4rx}{x^{2}-4r^{2}}\) (dla sposobu II), ALBO wyznaczenie zależności między \(P\) oraz \(x\), np. \(P^{2}=\frac../../{r}\cdot\left(\frac../../{r}-x\right)\cdot\frac{1}{4}x^{2}\) (dla sposobu III). **3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania. Uwaga: Kategorie za 1 punkt oraz za 2 punkty oceniamy w sytuacji, gdy zdający posługuje się symbolem \(r\) albo przyjmie \(r=2\) lub \(r=4\). Natomiast jeżeli zdający przyjmie promień inny niż \(2\) lub \(4\), to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie. **Część b)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(P\), np. \(P'(x)=\frac{6x^{2}\cdot(x^{2}-16)-2x^{3}\cdot 2x}{(x^{2}-16)^{2}}\). **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(P\): \(x=4\sqrt{3}\). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=4\sqrt{3}\). **4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=4\sqrt{3}\) (m), oraz obliczenie pola trójkątnego klombu o takiej podstawie: \(P(4\sqrt{3})=12\sqrt{3}\) (m\(^{2}\)). Uwagi: 1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. a) Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji \(2x^{3}\) oraz \(x^{2}-16\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(\frac{6x^{2}\cdot(x^{2}-16)-2x^{3}\cdot 2x}{(x^{2}-16)^{2}}\) lub \(\frac{B(x)}{(x^{2}-16)^{2}}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((4,10]\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(P\)). 2. b) Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji \(2x^{3}\) lub \(x^{2}-16\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(\frac{6x^{2}\cdot(x^{2}-16)-2x^{3}\cdot 2x}{(x^{2}-16)^{2}}\) lub \(\frac{B(x)}{(x^{2}-16)^{2}}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((4,10]\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji i za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(P\)). 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(x\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: – opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(P\) LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(x\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość, LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(x\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „−”) znak pochodnej. 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktu za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości). 5. Jeżeli zdający, uzasadniając najmniejszą wartość funkcji, rozpatruje funkcję w \(\mathbb{R}\) lub \(\mathbb{R}_{+}\), lub w \((4,+\infty)\), lub w \((0,10]\), to może uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pochodną i 1 punkt za miejsce zerowe pochodnej).

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 11.6R) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

Minimum występuje dla \(x=4\sqrt{3}\,\mathrm{m}\), a najmniejsze pole jest równe \(12\sqrt{3}\,\mathrm{m}^{2}\).

**Krok \(1\).** Metoda: szukamy wartości najmniejszej funkcji \(P\) na przedziale \((4,10\rangle\), badając znak jej pochodnej. **Krok \(2\).** Różniczkujemy \(P(x)=\frac{2x^{3}}{x^{2}-16}\), korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu: \[P^{\prime}(x)=\frac{6x^{2}\left(x^{2}-16\right)-2x^{3}\cdot 2x}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}=\frac{6x^{4}-96x^{2}-4x^{4}}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}=\frac{2x^{2}\left(x^{2}-48\right)}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}.\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej. Mianownik jest dodatni w całej dziedzinie, więc \[P^{\prime}(x)=0\iff 2x^{2}\left(x^{2}-48\right)=0\iff x=0\ \text{lub}\ x=-4\sqrt3\ \text{lub}\ x=4\sqrt3.\] W przedziale \((4,10\rangle\) zostaje jedynie \(x=4\sqrt3\approx 6{,}93\). **Krok \(4\).** Badamy znak pochodnej. Ponieważ \(2x^{2}\gt 0\) i mianownik jest dodatni, znak \(P^{\prime}(x)\) jest znakiem wyrażenia \(x^{2}-48\): \[x\in\left(4,4\sqrt3\right)\Rightarrow P^{\prime}(x)\lt 0,\qquad x\in\left(4\sqrt3,10\right\rangle\Rightarrow P^{\prime}(x)\gt 0.\] **Krok \(5\).** Zatem funkcja \(P\) maleje w przedziale \(\left(4,4\sqrt3\right\rangle\) i rośnie w przedziale \(\left\langle 4\sqrt3,10\right\rangle\), więc w punkcie \(x=4\sqrt3\) osiąga wartość najmniejszą. **Krok \(6\).** Obliczamy tę wartość. Mamy \(\left(4\sqrt3\right)^{3}=64\cdot 3\sqrt3=192\sqrt3\) oraz \(\left(4\sqrt3\right)^{2}-16=48-16=32\), więc \[P\left(4\sqrt3\right)=\frac{2\cdot 192\sqrt3}{32}=12\sqrt3.\] **Uwaga.** Wynik \(4\sqrt3\approx 6{,}93\) mieści się w dozwolonym przedziale \((4,10\rangle\), więc jest to rzeczywiście wartość najmniejsza w całej dziedzinie, a nie tylko lokalne minimum poza zakresem projektu. **Odpowiedź.** Pole kwietnika jest najmniejsze dla podstawy \(x=4\sqrt3\) metrów i wynosi wtedy \(12\sqrt3\ \mathrm{m}^{2}\).

**4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=4\sqrt{3}\) (m), oraz obliczenie pola trójkątnego klombu o takiej podstawie: \(P\left(4\sqrt{3}\right)=12\sqrt{3}\) (m\(^{2}\)). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=4\sqrt{3}\). **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(P\): \(x=4\sqrt{3}\). **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(P\), np. \(P'(x)=\frac{6x^{2}\cdot\left(x^{2}-16\right)-2x^{3}\cdot 2x}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie. 2. a) Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji \(2x^{3}\) oraz \(x^{2}-16\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(\frac{6x^{2}\cdot\left(x^{2}-16\right)-2x^{3}\cdot 2x}{\left(x^{2}-16\right)}\) lub \(\frac{B(x)}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((4,10]\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(P\)). b) Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji \(2x^{3}\) lub \(x^{2}-16\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(\frac{6x^{2}\cdot\left(x^{2}-16\right)-2x^{3}\cdot 2x}{\left(x^{2}-16\right)}\) lub \(\frac{B(x)}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((4,10]\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji i za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(P\)). 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(x\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: – opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(P\) LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(x\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość, LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(x\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „−”) znak pochodnej. 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktu za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości). 5. Jeżeli zdający, uzasadniając najmniejszą wartość funkcji, rozpatruje funkcję w \(\mathbb{R}\) lub \(\mathbb{R}_{+}\), lub w \((4,+\infty)\), lub w \((0,10]\), to może uzyskać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może uzyskać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (\(1\) punkt za pochodną i \(1\) punkt za miejsce zerowe pochodnej).

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R4) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu […]; XIII.R5) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji; XIII.R6) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

\(V'(a)=6-\frac{3a^{2}}{8}\). W przedziale \(a\in(0,4\sqrt{3})\) jedyny punkt krytyczny to \(a=4\); pochodna zmienia tam znak z dodatniego na ujemny. Największa objętość wynosi \(V(4)=24-8=16\).

**Krok \(1\).** Metoda: szukamy wartości największej funkcji \(V\) na przedziale \((0,4\sqrt3)\), badając znak jej pochodnej. Funkcja jest wielomianem, więc jest różniczkowalna w całej dziedzinie. **Krok \(2\).** Wyznaczamy pochodną funkcji \(V(a)=6a-\frac{1}{8}a^{3}\): \[V^{\prime}(a)=6-\frac{3}{8}a^{2}\qquad\text{dla}\ a\in\left(0,4\sqrt3\right).\] **Krok \(3\).** Obliczamy miejsca zerowe pochodnej: \[6-\frac{3}{8}a^{2}=0,\qquad a^{2}=16,\qquad a=-4\ \text{lub}\ a=4.\] Wartość \(a=-4\) odrzucamy, bo nie należy do dziedziny; zostaje \(a=4\in\left(0,4\sqrt3\right)\) (bo \(4\sqrt3\approx 6{,}93\)). **Krok \(4\).** Badamy znak pochodnej. Dla \(a\in(0,4)\) mamy \(a^{2}\lt 16\), więc \(V^{\prime}(a)\gt 0\); dla \(a\in\left(4,4\sqrt3\right)\) mamy \(a^{2}\gt 16\), więc \(V^{\prime}(a)\lt 0\). **Krok \(5\).** Zatem funkcja \(V\) rośnie w przedziale \((0,4\rangle\) i maleje w przedziale \(\langle 4,4\sqrt3)\), a więc w punkcie \(a=4\) osiąga wartość największą. **Krok \(6\).** Obliczamy tę wartość: \[V(4)=6\cdot 4-\frac{1}{8}\cdot 4^{3}=24-8=16.\] **Uwaga.** Samo wskazanie miejsca zerowego pochodnej nie wystarcza — trzeba zbadać jej znak po obu stronach punktu \(a=4\) i stąd wywnioskować, że to maksimum, a nie minimum. **Odpowiedź.** Objętość jest największa dla krawędzi podstawy \(a=4\) i wynosi wtedy \(V(4)=16\).

**4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(V\) przyjmuje wartość największą dla \(a=4\) oraz obliczenie \(V(4)=16\). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(V\) przyjmuje wartość największą dla \(a=4\). **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(V\): \(a=4\). **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(V\), np. \(V'(a)=6-\tfrac{3}{8}a^2\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość największą dla wyznaczonej wartości \(a\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(V\) LUB zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(V\) ma maksimum lokalne i jest to jednocześnie jej największa wartość, LUB zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(V\) ma maksimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „-”) znak pochodnej. 2. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej, 1 punkt za obliczenie długości krawędzi podstawy oraz objętości graniastosłupa o największej objętości). 3. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia największej wartości funkcji, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R4) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu […]; XIII.R5) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji; XIII.R6) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

Najmniejsza odległość od szczytu wynosi \(962{,}5\) m, a największa prędkość podczas ruchu pod górę wynosi \(270{,}75\,\mathrm{m/h}\).

Pochodna funkcji położenia wynosi \[s'(t)=-3t^2+33t+180.\] Jej miejsca zerowe spełniają \(t^2-11t-60=0\), więc w dziedzinie otrzymujemy \(t=15\). Funkcja \(s\) rośnie na \([0,15]\) i maleje na \([15,24]\), zatem \(s(15)=3037{,}5\) m. Najmniejsza odległość od szczytu to \[4000-3037{,}5=962{,}5\text{ m}.\] Prędkość jest równa \(v(t)=s'(t)=-3t^2+33t+180\). Parabola osiąga maksimum dla \(t=\frac{11}{2}\), a \[v\left(\frac{11}{2}\right)=270{,}75\,\mathrm{m/h}.\]

**4 pkt** – poprawne wyznaczenie najmniejszej odległości i największej prędkości wraz z wynikami. **3 pkt** – zapisanie \(v=s'\) i wyznaczenie ekstremum funkcji \(s'\). **2 pkt** – zbadanie monotoniczności \(s\) i wyznaczenie jej maksimum. **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(s'\). **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. 3R) Zdający […] podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej; 4R) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym […]; 5R) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji; 6R) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

Najkrótsza sieć ma długość \(300(1+\sqrt3)\) km. Węzły leżą na symetralnych przeciwległych boków i są oddalone o \(100\sqrt3\) km od każdej z dwóch sąsiednich miejscowości.

Węzły minimalnej sieci można umieścić na symetralnych boków \(AD\) i \(BC\). Niech ich odległości od tych boków wynoszą \(x\) i \(y\). Długość sieci ma postać \[d=2\sqrt{150^2+x^2}+2\sqrt{150^2+y^2}+300-x-y.\] Dla \(f(x)=2\sqrt{150^2+x^2}-x\) mamy \[f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{150^2+x^2}}-1.\] Równanie \(f'(x)=0\) daje \(x=50\sqrt3\); analogicznie \(y=50\sqrt3\). Wtedy \(f(50\sqrt3)=150\sqrt3\), więc \[d_{\min}=300\sqrt3+300=300(1+\sqrt3)\text{ km}.\] Każdy węzeł jest oddalony od dwóch sąsiednich miast o \(100\sqrt3\) km.

**6 pkt** – długość najkrótszej sieci i poprawna lokalizacja węzłów. **5 pkt** – obliczenie długości najkrótszej sieci. **4 pkt** – obliczenie minimum funkcji \(f\). **3 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(f'\). **2 pkt** – zapisanie długości sieci w zależności od \(x\) i \(y\). **1 pkt** – uzasadnienie położenia węzłów na symetralnych. **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. 4R) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej; 5R) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji; 6R) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

Najmniejsza wartość funkcji wynosi \(\frac1{54}\).

Obliczamy pochodną: \[f'(x)=4x^3+4(2x+1)^3=4(3x+1)(3x^2+3x+1).\] Trójmian \(3x^2+3x+1\) jest dodatni dla każdego \(x\in\mathbb{R}\), ponieważ jego wyróżnik wynosi \(-3\). Jedynym miejscem zerowym pochodnej jest więc \(x=-\frac13\). Pochodna jest ujemna dla \(x<-\frac13\) i dodatnia dla \(x>-\frac13\), zatem w tym punkcie funkcja osiąga minimum globalne. \[f\left(-\frac13\right)=\left(-\frac13\right)^4+\frac12\left(\frac13\right)^4=\frac1{81}+\frac1{162}=\frac1{54}.\]

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik **3 pkt** – uzasadnienie, że funkcja przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=-\frac13\) **2 pkt** – obliczenie miejsc zerowych pochodnej **1 pkt** – poprawne wyznaczenie pochodnej funkcji **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.4 R) Zdający oblicza pochodne, w tym pochodną funkcji złożonej. XIII.5 R) Stosuje pochodną do badania monotoniczności. XIII.6 R) Rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

Największy dochód firma osiąga przy produkcji \(25\,500\) sztuk.

Przychód wynosi \[R(Q)=Q\cdot P(Q)=90Q-0{,}1Q^2.\] Dochód \(Z=R-K\) jest więc opisany funkcją \[Z(Q)=-0{,}002Q^3-1{,}1Q^2+60{,}0015Q-50.\] Jej pochodna to \[Z'(Q)=-0{,}006Q^2-2{,}2Q+60{,}0015.\] W przedziale \([0,900]\) jedynym miejscem zerowym pochodnej jest \(Q=25{,}5\). Pochodna jest dodatnia przed tym punktem i ujemna po nim, więc \(Z\) osiąga tam maksimum. Ponieważ \(Q\) wyrażono w tysiącach sztuk, optymalna produkcja wynosi \(25\,500\) sztuk.

**4 pkt** – poprawna metoda wyznaczenia produkcji zapewniającej maksymalny dochód i poprawnie zaokrąglony wynik **3 pkt** – znalezienie ekstremum lokalnego funkcji dochodu **2 pkt** – zapisanie dochodu w zależności od \(Q\) **1 pkt** – zapisanie przychodu w zależności od \(Q\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - tworzenie modeli matematycznych. IV. Rozumowanie i argumentacja - tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** XIII.4 R) Zdający oblicza pochodne. XIII.5 R) Stosuje pochodną do badania monotoniczności. XIII.6 R) Rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

Najmniejsza objętość wynosi \(256\).

Obliczamy pochodną: \[V'(c)=3c^2-40c+128=3(c-8)\left(c-\frac{16}{3}\right).\] W przedziale \(\left[4,\frac{28}{3}\right]\) pochodna jest dodatnia dla \(c\in\left[4,\frac{16}{3}\right)\cup\left(8,\frac{28}{3}\right]\) i ujemna dla \(c\in\left(\frac{16}{3},8\right)\). Wystarczy porównać wartości w punktach mogących dać minimum: \[V(4)=256,\qquad V(8)=256,\qquad V\left(\frac{28}{3}\right)=\frac{7168}{27}>256.\] Najmniejsza możliwa objętość jest więc równa \(256\).

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik **3 pkt** – zbadanie znaku pochodnej i określenie monotoniczności \(V\) **2 pkt** – obliczenie miejsc zerowych pochodnej **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(V'\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** XIII.6 R) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

Pochodna funkcji \(V\) ma znak wyrażenia \(h^{2}-75\), więc funkcja maleje na \((5,5\sqrt{3})\) i rośnie na \((5\sqrt{3},+\infty)\). Minimum występuje dla \(h=5\sqrt{3}\), a jego wartość wynosi \(V_{\min}=\frac{125\sqrt{3}\pi}{2}\).

**Krok \(1\).** Metoda: szukamy wartości najmniejszej funkcji różniczkowalnej na przedziale otwartym, więc wyznaczamy pochodną (ze wzoru na pochodną ilorazu) i badamy jej znak. **Krok \(2\).** Zapisujemy wzór w wygodniejszej postaci, wyłączając stałą: \[V(h)=\frac{25\pi}{3}\cdot\frac{h^{3}}{h^{2}-25},\qquad h\in(5,+\infty).\] **Krok \(3\).** Różniczkujemy iloraz: \[\left(\frac{h^{3}}{h^{2}-25}\right)'=\frac{3h^{2}\left(h^{2}-25\right)-h^{3}\cdot 2h}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}=\frac{h^{4}-75h^{2}}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}=\frac{h^{2}\left(h^{2}-75\right)}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}.\] Zatem \[V'(h)=\frac{25\pi}{3}\cdot\frac{h^{2}\left(h^{2}-75\right)}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}.\] **Krok \(4\).** Dla \(h\gt 5\) czynniki \(\frac{25\pi}{3}\), \(h^{2}\) i \(\left(h^{2}-25\right)^{2}\) są dodatnie, więc znak pochodnej jest taki sam jak znak wyrażenia \(h^{2}-75\). **Krok \(5\).** Miejsca zerowe pochodnej: \(h^{2}=75\), czyli \(h=5\sqrt{3}\) (wartość \(-5\sqrt{3}\) nie należy do dziedziny, a \(h=0\) również nie). **Krok \(6\).** Znak: \(V'(h)\lt 0\) dla \(h\in\left(5,5\sqrt{3}\right)\) oraz \(V'(h)\gt 0\) dla \(h\in\left(5\sqrt{3},+\infty\right)\). Funkcja \(V\) maleje, a potem rośnie, więc w \(h=5\sqrt{3}\) osiąga minimum, a ponieważ jest to jedyne ekstremum, jest to zarazem wartość najmniejsza na całej dziedzinie. **Krok \(7\).** Obliczamy tę wartość. Mamy \(\left(5\sqrt{3}\right)^{3}=375\sqrt{3}\) oraz \(\left(5\sqrt{3}\right)^{2}-25=50\), więc \[V\left(5\sqrt{3}\right)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25\cdot 375\sqrt{3}}{50}=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{9375\sqrt{3}}{50}=\frac{125\sqrt{3}\,\pi}{2}.\] **Uwaga.** Dziedzina jest przedziałem otwartym, więc nie można powołać się na twierdzenie o wartościach największej i najmniejszej na przedziale domkniętym — uzasadnieniem musi być zmiana znaku pochodnej (funkcja dąży do \(+\infty\) zarówno przy \(h\to 5^{+}\), jak i przy \(h\to+\infty\)). **Odpowiedź.** Najmniejszą objętość ma stożek o wysokości \(h=5\sqrt{3}\), a objętość ta wynosi \(\frac{125\sqrt{3}\,\pi}{2}\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(V\) (lub funkcji \(\frac{3}{\pi}\cdot V\)), np. \[V'(h)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{75h^{2}\cdot(h^{2}-25)-25h^{3}\cdot 2h}{(h^{2}-25)^{2}}.\] **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(V\) (lub funkcji \(\frac{3}{\pi}\cdot V\)): \(h=5\sqrt{3}\). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(V\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(h=5\sqrt{3}\). **4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(V\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(h=5\sqrt{3}\) oraz obliczenie objętości stożka o takiej wysokości: \(V(5\sqrt{3})=\frac{125\sqrt{3}\pi}{2}\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji \(25h^{3}\) oraz \(h^{2}-25\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(a\cdot\frac{75h^{2}(h^{2}-25)-25h^{3}\cdot 2h}{(h^{2}-25)^{2}}\) (gdzie \(a\neq 0\)) lub \(\frac{B(h)}{(h^{2}-25)^{2}}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((5,+\infty)\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(V\)). Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji \(25h^{3}\) lub \(h^{2}-25\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(\frac{75h^{2}(h^{2}-25)-25h^{3}\cdot 2h}{(h^{2}-25)^{2}}\) lub \(\frac{B(h)}{(h^{2}-25)^{2}}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((5,+\infty)\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji i za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(V\)). 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(h\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: – opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(V\) LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(h\) funkcja \(V\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość, LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(h\) funkcja \(V\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „-”) znak pochodnej. 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktu za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości). 5. Jeżeli zdający, uzasadniając najmniejszą wartość funkcji, rozpatruje funkcję w \(\mathbb{R}\) lub \(\mathbb{R}_{+}\), to może uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pochodną i 1 punkt za miejsce zerowe pochodnej).

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R4) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu […]; XIII.R5) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji; XIII.R6) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

\[R=4,\qquad V_{\max}=8\sqrt3.\]

Dla \(R\in(0,6)\) obliczamy pochodną funkcji objętości: \[V'(R)=\frac{\sqrt3}{4}(12R-3R^2)=\frac{3\sqrt3}{4}R(4-R).\] Jedynym miejscem zerowym pochodnej należącym do dziedziny jest \(R=4\). Ponadto \[V'(R)>0\quad\text{dla }R\in(0,4),\qquad V'(R)<0\quad\text{dla }R\in(4,6).\] Funkcja \(V\) jest więc rosnąca w przedziale \((0,4]\) i malejąca w przedziale \([4,6)\), a zatem przyjmuje największą wartość dla \(R=4\). Wtedy \[V(4)=\frac{\sqrt3}{4}(6\cdot4^2-4^3)=8\sqrt3.\]

**4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(V\) przyjmuje wartość największą dla \(R=4\), i obliczenie wartości największej \(V=8\sqrt3\) **3 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(V\) przyjmuje wartość największą dla \(R=4\), albo poprawne przeprowadzenie rozwiązania metodą nierówności między średnimi do warunku równości **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(V\), \(R=4\), albo poprawne wyznaczenie warunku równości w metodzie nierówności między średnimi **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(V'(R)=\frac{\sqrt3}{4}(12R-3R^2)\) albo zapisanie odpowiedniej nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R3) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. XIII.R4) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji. XIII.R5) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

\[C=\left(8-2\sqrt2,\ 12-3\sqrt2\right).\]

Dla \(x\in(0,7)\) pole jest opisane funkcją \[P(x)=\frac{21}{4}\cdot\frac{x^2-56}{x-8}.\] Wyznaczamy jej pochodną: \[P'(x)=\frac{21}{4}\cdot\frac{2x(x-8)-(x^2-56)}{(x-8)^2}=\frac{21}{4}\cdot\frac{x^2-16x+56}{(x-8)^2}.\] Miejsca zerowe pochodnej spełniają równanie \[x^2-16x+56=0,\] stąd \[x=8-2\sqrt2\quad\text{lub}\quad x=8+2\sqrt2.\] Do przedziału \((0,7)\) należy tylko \(x=8-2\sqrt2\). Ponieważ mianownik pochodnej jest dodatni, a trójmian \(x^2-16x+56\) jest dodatni dla \(x<8-2\sqrt2\) i ujemny dla \(8-2\sqrt2<x<7\), funkcja \(P\) najpierw rośnie, a następnie maleje. Zatem osiąga wartość największą dla \[x_C=8-2\sqrt2.\] Druga współrzędna punktu \(C\) jest równa \[y_C=f(8-2\sqrt2)=\frac{12(8-2\sqrt2)-84}{8-2\sqrt2-8}=12-3\sqrt2.\] Ostatecznie \[C=\left(8-2\sqrt2,12-3\sqrt2\right).\]

**4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(P\) przyjmuje wartość największą dla \(x=8-2\sqrt2\), i obliczenie współrzędnych punktu \(C=(8-2\sqrt2,12-3\sqrt2)\) **3 pkt** – uzasadnienie, na przykład przez badanie monotoniczności funkcji, że \(P\) przyjmuje wartość największą dla \(x=8-2\sqrt2\) **2 pkt** – obliczenie należącego do dziedziny miejsca zerowego pochodnej: \(x=8-2\sqrt2\) **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(P\), na przykład \(P'(x)=\frac{21}{4}\cdot\frac{2x(x-8)-(x^2-56)}{(x-8)^2}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R4) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. XIII.R5) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji. XIII.R6) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

\[a=8\sqrt3,\qquad P_{\min}=1728+96\sqrt3.\]

Dla \(a\in(0,8\sqrt3\rangle\) pochodna ma postać \[P'(a)=a\sqrt3-\frac{13824\sqrt3}{a^2}.\] Równanie \(P'(a)=0\) daje \(a^3=13824=24^3\), czyli \(a=24\), ale \(24\notin(0,8\sqrt3\rangle\). Dla całej dziedziny zachodzi \(a<24\), więc \(P'(a)<0\). Funkcja \(P\) jest zatem malejąca i przyjmuje najmniejszą wartość dla \[a=8\sqrt3.\] Wtedy \[P(8\sqrt3)=\frac{(8\sqrt3)^2\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{8\sqrt3}=96\sqrt3+1728.\]

**4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(a=8\sqrt3\), i obliczenie \(P_{\min}=1728+96\sqrt3\) **3 pkt** – poprawne uzasadnienie monotoniczności prowadzące do \(a=8\sqrt3\) albo poprawne wskazanie końca przedziału i obliczenie wartości **2 pkt** – poprawne rozwiązanie równania \(P'(a)=0\), dającego \(a=24\) **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(P'(a)=a\sqrt3-\frac{13824\sqrt3}{a^2}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R5) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

\[K=\left(\frac32,\frac72\right),\qquad |PK|=\frac{5\sqrt2}{2}.\]

Najpierw wyznaczamy punkty przecięcia wykresów \(f\) i \(g\): \[x^2=-\frac12\left(x-\frac12\right)^2+4,\] \[12x^2-4x-31=0.\] Ich pierwsze współrzędne są równe \[x_A=\frac{1-\sqrt{94}}6,\qquad x_B=\frac{1+\sqrt{94}}6.\] Każdy punkt fragmentu wykresu \(f\) między punktami przecięcia jest nie dalej od \(P\) niż punkt \(B\), który należy również do wykresu \(g\). Wystarczy więc szukać końca toru na fragmencie wykresu \(g\). Maksymalizujemy kwadrat odległości: \[k(x)=\frac14x^4-\frac12x^3-\frac{13}{8}x^2+\frac{39}{8}x+\frac{593}{64}\] dla \[x\in\left[\frac{1-\sqrt{94}}6,\frac{1+\sqrt{94}}6\right].\] Pochodna wynosi \[k'(x)=x^3-\frac32x^2-\frac{13}{4}x+\frac{39}{8}.\] Równanie \(k'(x)=0\) jest równoważne \[(4x^2-13)(2x-3)=0.\] Spośród liczb \(-\frac{\sqrt{13}}2\), \(\frac{\sqrt{13}}2\), \(\frac32\) tylko \(\frac32\) należy do dziedziny. Pochodna jest dodatnia przed \(\frac32\) i ujemna po \(\frac32\), zatem maksimum jest osiągane dla \[x=\frac32.\] Obliczamy drugą współrzędną: \[g\left(\frac32\right)=-\frac12\left(\frac32-\frac12\right)^2+4=\frac72.\] Stąd \[K=\left(\frac32,\frac72\right).\] Długość toru wynosi \[|PK|=\sqrt{\left(\frac32+1\right)^2+\left(\frac72-1\right)^2}=\frac{5\sqrt2}{2}.\]

**6 pkt** – uzasadnienie wyboru wykresu funkcji \(g\), pełna analiza maksimum oraz wyniki \(K=\left(\frac32,\frac72\right)\), \(|PK|=\frac{5\sqrt2}{2}\) **5 pkt** – uzasadnienie wyboru wykresu \(g\) i maksimum dla \(x=\frac32\), albo pełne uzasadnienie maksimum oraz obliczenie współrzędnych punktu i długości **4 pkt** – uzasadnienie wyboru wykresu \(g\) i wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej \(x=\frac32\), albo uzasadnienie maksimum funkcji pomocniczej dla tego argumentu **3 pkt** – uzasadnienie wyboru wykresu \(g\) i wyznaczenie pochodnej funkcji pomocniczej albo poprawne obliczenie jej miejsc zerowych **2 pkt** – uzasadnienie wyboru wykresu \(g\) i określenie dziedziny optymalizacji albo wyznaczenie poprawnej pochodnej **1 pkt** – uzasadnienie, że punkt \(K\) musi należeć do wykresu funkcji \(g\), albo poprawne określenie dziedziny **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R3) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej. XIII.R4) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji. XIII.R5) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

**a)** \[V(h)=2(d^2-h^2)h,\qquad h\in(0,d).\] **b)** \[h=\frac{d}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}d.\]

Oznaczmy długość krawędzi podstawy przez \(a\). Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ODH\): \[|OD|=\sqrt{d^2-h^2}.\] Ponieważ \(|OD|=\frac{a\sqrt2}{2}\), otrzymujemy \[a=\sqrt2\sqrt{d^2-h^2}.\] Pole podstawy wynosi \[P_p=a^2=2(d^2-h^2),\] a objętość \[V(h)=2(d^2-h^2)h=2(d^2h-h^3),\qquad 0<h<d.\] Pochodna jest równa \[V'(h)=2(d^2-3h^2).\] Jej jedyne miejsce zerowe w dziedzinie to \[h=\frac{d}{\sqrt3}.\] Pochodna zmienia tam znak z dodatniego na ujemny, więc największą objętość ma graniastosłup o wysokości \[h=\frac{d}{\sqrt3}.\]

**6 pkt** – poprawny wzór \(V(h)\), dziedzina oraz wysokość maksymalizująca objętość wraz z uzasadnieniem **5 pkt** – obliczenie \(h=\frac{\sqrt3}{3}d\) **4 pkt** – wyznaczenie \(V'(h)=2(d^2-3h^2)\) **3 pkt** – wyznaczenie dziedziny \(h\in(0,d)\) **2 pkt** – wyznaczenie \(V(h)=2(d^2-h^2)h\) **1 pkt** – wyznaczenie \(a=\sqrt2\sqrt{d^2-h^2}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja; 3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R5) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

**a)** \[V(h)=2(d^2-h^2)h,\qquad h\in(0,d).\] **b)** \[h=\frac{d}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}d.\]

Oznaczmy długość krawędzi podstawy przez \(a\). Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ODH\): \[d^2=h^2+|OD|^2,\qquad |OD|=\sqrt{d^2-h^2}.\] Ponieważ \(|OD|=\frac{a\sqrt2}{2}\), otrzymujemy \[a=\sqrt2\sqrt{d^2-h^2}.\] Pole podstawy jest więc równe \[P_p=a^2=2(d^2-h^2),\] a objętość \[V(h)=2(d^2-h^2)h=2(d^2h-h^3),\qquad 0<h<d.\] Liczymy pochodną: \[V'(h)=2(d^2-3h^2).\] Jej jedyne miejsce zerowe w dziedzinie to \[h=\frac{d}{\sqrt3}.\] Dla \(0<h<\frac{d}{\sqrt3}\) pochodna jest dodatnia, a dla \(\frac{d}{\sqrt3}<h<d\) ujemna. Zatem największą objętość ma graniastosłup o wysokości \[h=\frac{d}{\sqrt3}.\]

**6 pkt** – poprawny wzór \(V(h)\), dziedzina i wysokość maksymalizująca objętość wraz z uzasadnieniem **5 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej: \(h=\frac{\sqrt3}{3}d\) **4 pkt** – wyznaczenie \(V'(h)=2(d^2-3h^2)\) **3 pkt** – wyznaczenie dziedziny \(h\in(0,d)\) **2 pkt** – wyznaczenie \(V(h)=2(d^2-h^2)h\) **1 pkt** – wyznaczenie \(a=\sqrt2\sqrt{d^2-h^2}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Element podstawy programowej:** geometria przestrzenna, wyznaczanie objętości graniastosłupa jako funkcji oraz optymalizacja z użyciem pochodnej. Klucz CKE dla tego arkusza w formule 2015 nie podaje osobnego kodu wymagania.

Najmniejsza odległość od szczytu wynosi \(962{,}5\,\mathrm m\), a maksymalna prędkość \(270{,}75\,\mathrm{m/h}\).

Obliczamy pochodną funkcji położenia: \[x'(t)=-3t^2+33t+180.\] W przedziale \([0,24]\) jedynym miejscem zerowym pochodnej jest \(t=15\). Pochodna jest dodatnia dla \(t\in[0,15)\) i ujemna dla \(t\in(15,24]\), więc największe położenie Syzyf osiąga dla \(t=15\): \[x(15)=3037{,}5\,\mathrm m.\] Ponieważ początkowa odległość od szczytu wynosi \(4000\,\mathrm m\), najmniejsza odległość jest równa \[4000-3037{,}5=962{,}5\,\mathrm m.\] Prędkość wynosi \(v(t)=x'(t)=-3t^2+33t+180\). Ta funkcja kwadratowa osiąga maksimum dla \[t=-\frac{33}{2\cdot(-3)}=\frac{11}{2},\] a więc \[v_{\max}=v(5{,}5)=270{,}75\,\mathrm{m/h}.\]

**4 pkt** – poprawne wyznaczenie najmniejszej odległości od szczytu i największej prędkości wraz z prawidłowymi wynikami **3 pkt** – zapisanie, że prędkość jest pochodną funkcji położenia, i znalezienie ekstremum funkcji \(x'\) **2 pkt** – zbadanie monotoniczności funkcji \(x\) i znalezienie jej ekstremum **1 pkt** – obliczenie pochodnej funkcji \(x\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 stosowanie obiektów matematycznych i interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.3R-XIII.6R fizyczna interpretacja pochodnej, obliczanie pochodnych, badanie monotoniczności oraz rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych.

Najmniejsza odległość od szczytu wynosi \(962{,}5\,\mathrm m\), a maksymalna prędkość pod górę wynosi \(270{,}75\,\mathrm{m/h}\).

Obliczamy pochodną położenia: \[s'(t)=-3t^2+33t+180=-3(t-15)(t+4).\] W przedziale \([0,24]\) funkcja \(s\) rośnie do \(t=15\), a następnie maleje, więc maksimum położenia wynosi \[s(15)=-15^3+16{,}5\cdot15^2+180\cdot15=3037{,}5\,\mathrm m.\] Szczyt jest oddalony od punktu startu o \(4000\,\mathrm m\), zatem najmniejsza odległość od szczytu to \[4000-3037{,}5=962{,}5\,\mathrm m.\] Prędkość jest równa \(v(t)=s'(t)=-3t^2+33t+180\). Ta funkcja kwadratowa osiąga maksimum w wierzchołku dla \[t=-\frac{33}{2\cdot(-3)}=\frac{11}{2}.\] Stąd \[v\left(\frac{11}{2}\right)=270{,}75\,\mathrm{m/h}.\]

**4 pkt** – poprawne metody i oba wyniki: \(962{,}5\,\mathrm m\) oraz \(270{,}75\,\mathrm{m/h}\) **3 pkt** – zapisanie \(v=s'\) i wyznaczenie ekstremów funkcji \(s'\) **2 pkt** – zbadanie monotoniczności \(s\) i wyznaczenie jej maksimum **1 pkt** – poprawne obliczenie pochodnej \(s'\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; operowanie obiektami matematycznymi i interpretowanie pojęć. **Wymagania szczegółowe:** XIII.3R-XIII.6R fizyczna interpretacja pochodnej, obliczanie pochodnej funkcji potęgowej, badanie monotoniczności i rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych z zastosowaniem pochodnej.

Najkrótsza sieć ma długość \(300(1+\sqrt3)\,\mathrm{km}\). Węzły leżą na symetralnych odpowiednio boków \(AD\) i \(BC\), w odległości \(50\sqrt3\,\mathrm{km}\) od tych boków; każdy jest oddalony o \(100\sqrt3\,\mathrm{km}\) od dwóch najbliższych miast.

W optymalnej konfiguracji lewy węzeł \(K\) leży na symetralnej \(AD\), a prawy węzeł \(L\) na symetralnej \(BC\). Oznaczmy ich odległości od odpowiednich boków przez \(x\) i \(y\). Długość sieci wynosi \[d=2\sqrt{150^2+x^2}+2\sqrt{150^2+y^2}+300-x-y.\] Wystarczy zminimalizować funkcję \[f(x)=2\sqrt{150^2+x^2}-x.\] Jej pochodna to \[f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{150^2+x^2}}-1.\] Równanie \(f'(x)=0\) daje \[4x^2=x^2+150^2,\qquad x=50\sqrt3.\] Funkcja maleje przed tym punktem i rośnie po nim, więc jest to minimum. Analogicznie \(y=50\sqrt3\). Ponieważ \(f(50\sqrt3)=150\sqrt3\), otrzymujemy \[d_{\min}=2\cdot150\sqrt3+300=300(1+\sqrt3)\,\mathrm{km}.\] Odległość każdego węzła od dwóch przypisanych mu miast wynosi \[\sqrt{150^2+(50\sqrt3)^2}=100\sqrt3\,\mathrm{km}.\]

**6 pkt** – długość najkrótszej sieci i poprawna lokalizacja obu węzłów **5 pkt** – obliczenie długości \(300(1+\sqrt3)\,\mathrm{km}\) **4 pkt** – obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\) **3 pkt** – poprawne obliczenie pochodnej \(f'\) **2 pkt** – wyrażenie długości sieci przez odległości węzłów od prostych \(AD\) i \(BC\) **1 pkt** – uzasadnienie, że węzły leżą na symetralnych boków \(AD\) i \(BC\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja; stosowanie i tworzenie strategii również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.4R-XIII.6R obliczanie pochodnych, badanie monotoniczności oraz rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych z zastosowaniem pochodnej.

Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(\frac1{54}\).

Obliczamy pochodną: \[f'(x)=4x^3+4(2x+1)^3=4(3x+1)(3x^2+3x+1).\] Trójmian \(3x^2+3x+1\) jest dodatni dla każdego \(x\in\mathbb R\), ponieważ jego wyróżnik jest równy \(-3\). Jedynym miejscem zerowym pochodnej jest więc \(x=-\frac13\). Pochodna jest ujemna dla \(x<-\frac13\) i dodatnia dla \(x>-\frac13\), zatem funkcja osiąga w tym punkcie minimum globalne. Jego wartość wynosi \[f\!\left(-\frac13\right)=\left(-\frac13\right)^4+\frac12\left(2\cdot-\frac13+1\right)^4=\frac1{81}+\frac1{162}=\frac1{54}.\]

**4 pkt** – obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\), równej \(\frac1{54}\) **3 pkt** – uzasadnienie, na przykład przez badanie monotoniczności, że funkcja przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=-\frac13\) **2 pkt** – obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji \(f\) **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(f\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania CKE dopuszcza również rozwiązanie za pomocą nierówności między średnią kwadratową i arytmetyczną albo przez odpowiednie przekształcenie algebraiczne.

**Wymagania ogólne:** IV.4 stosowanie i tworzenie strategii również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.4R-XIII.6R obliczanie pochodnej funkcji złożonej, badanie monotoniczności i rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych.

Największy dochód firma osiąga przy produkcji \(25\,500\) sztuk.

Przychód w tysiącach złotych wynosi \[R(Q)=Q\cdot P(Q)=90Q-0{,}1Q^2.\] Dochód jest różnicą przychodu i kosztów: \[Z(Q)=R(Q)-K(Q)=-0{,}002Q^3-1{,}1Q^2+60{,}0015Q-50.\] Obliczamy pochodną \[Z'(Q)=-0{,}006Q^2-2{,}2Q+60{,}0015.\] W przedziale \([0,900]\) równanie \(Z'(Q)=0\) ma jedno rozwiązanie dodatnie, \(Q=25{,}5\). Pochodna jest dodatnia przed tym punktem i ujemna po nim, więc \(Z\) osiąga tam maksimum globalne. Ponieważ \(Q\) podano w tysiącach sztuk, optymalna wielkość produkcji to \(25{,}5\cdot1000=25\,500\) sztuk, już z żądaną dokładnością.

**4 pkt** – prawidłowa metoda wyznaczenia wielkości produkcji gwarantującej maksymalny dochód i poprawny wynik zaokrąglony do setek sztuk **3 pkt** – znalezienie ekstremum lokalnego funkcji dochodu \(Z(Q)\) **2 pkt** – zapisanie dochodu w zależności od \(Q\) **1 pkt** – zapisanie przychodu w zależności od \(Q\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II.1, III.2 i IV.4 interpretowanie danych tekstowych, tworzenie modelu matematycznego i dobieranie strategii w zadaniu praktycznym. **Wymagania szczegółowe:** XIII.4R-XIII.6R obliczanie pochodnych, badanie monotoniczności i optymalizacja z zastosowaniem pochodnej.

Najmniejsza możliwa objętość prostopadłościanu jest równa \(256\).

Badamy funkcję \[V(c)=c^3-20c^2+128c,\qquad c\in\left[4,\frac{28}{3}\right].\] Jej pochodna wynosi \[V'(c)=3c^2-40c+128=3(c-8)\left(c-\frac{16}{3}\right).\] Funkcja \(V\) rośnie na \([4,\frac{16}{3}]\), maleje na \([\frac{16}{3},8]\) i ponownie rośnie na \([8,\frac{28}{3}]\). Porównujemy wartości w punktach istotnych dla minimum globalnego: \[V(4)=256,\qquad V(8)=256,\qquad V\!\left(\frac{28}{3}\right)=\frac{7168}{27}\approx265{,}48.\] Najmniejsza możliwa objętość jest zatem równa \(256\).

**3 pkt** – obliczenie najmniejszej możliwej objętości prostopadłościanu **2 pkt** – wyznaczenie argumentów, dla których funkcja \(V\) może osiągać minimum globalne, i poprawne porównanie wartości **1 pkt** – obliczenie pochodnej funkcji \(V\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 stosowanie obiektów matematycznych, operowanie nimi i interpretowanie pojęć. **Wymagania szczegółowe:** XIII.6R rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych z zastosowaniem pochodnej.

**a)** \(\displaystyle C=\left(\frac{m}{4-m},\frac{2m}{m-4}\right)\), więc dla \(m>4\) pole wynosi \(\displaystyle P(m)=\frac{m^2}{m-4}\). **b)** \(\displaystyle P'(m)=\frac{m(m-8)}{(m-4)^2}\), stąd minimum występuje dla \(m=8\) i ma wartość \(16\). Prosta \(BC\) ma równanie \(\displaystyle y=-\frac25x+\frac{16}{5}\).

**Krok \(1\).** Metoda w podpunkcie **a)**: wierzchołek \(C\) to punkt przecięcia prostej \(BD\) (bo \(D\) leży na boku \(BC\)) z prostą \(y=-2x\). Pole liczymy jako połowę iloczynu podstawy \(AB\) leżącej na osi \(Ox\) i wysokości równej odległości \(C\) od tej osi. **Krok \(2\).** Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej \(BD\) dla \(B=(m,0)\) i \(D=(3,2)\): \[a_{BD}=\frac{2-0}{3-m}=\frac{2}{3-m},\qquad\text{zatem}\qquad BD\colon y=\frac{2}{3-m}(x-m).\] Zauważmy, że \(m\gt 4\), więc \(3-m\neq 0\). **Krok \(3\).** Szukamy przecięcia z prostą \(y=-2x\): \[\frac{2}{3-m}\left(x_{C}-m\right)=-2x_{C}\ \Big/\cdot\frac{3-m}{2},\] \[x_{C}-m=-x_{C}(3-m),\qquad x_{C}(1+3-m)=m,\qquad x_{C}(4-m)=m.\] **Krok \(4\).** Stąd \[x_{C}=\frac{m}{4-m},\qquad y_{C}=-2x_{C}=\frac{2m}{m-4},\qquad\text{czyli}\qquad C=\left(\frac{m}{4-m},\ \frac{2m}{m-4}\right).\] **Krok \(5\).** Podstawa \(AB\) leży na osi \(Ox\) i ma długość \(m\) (bo \(m\gt 4\gt 0\)). Wysokość z \(C\) jest równa \(\lvert y_{C}\rvert=\frac{2m}{m-4}\) (dla \(m\gt 4\) liczba ta jest dodatnia). Zatem \[P(m)=\frac{1}{2}\cdot m\cdot\frac{2m}{m-4}=\frac{m^{2}}{m-4}.\] To należało wykazać. **Krok \(6\).** Metoda w podpunkcie **b)**: szukamy najmniejszej wartości funkcji \(P\) na przedziale \((4,+\infty)\), badając znak jej pochodnej. **Krok \(7\).** Liczymy pochodną ilorazu: \[P^{\prime}(m)=\frac{2m(m-4)-m^{2}\cdot 1}{(m-4)^{2}}=\frac{m^{2}-8m}{(m-4)^{2}}=\frac{m(m-8)}{(m-4)^{2}}.\] **Krok \(8\).** Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej w dziedzinie: mianownik jest dodatni, więc \[P^{\prime}(m)=0\iff m(m-8)=0\iff m=0\ \text{lub}\ m=8,\] a w przedziale \((4,+\infty)\) zostaje tylko \(m=8\). **Krok \(9\).** Badamy znak pochodnej. Dla \(m\in(4,8)\) mamy \(m\gt 0\) i \(m-8\lt 0\), więc \(P^{\prime}(m)\lt 0\); dla \(m\in(8,+\infty)\) mamy \(P^{\prime}(m)\gt 0\). Zatem \(P\) maleje na \((4,8\rangle\) i rośnie na \(\langle 8,+\infty)\), więc w punkcie \(m=8\) osiąga wartość najmniejszą \[P(8)=\frac{64}{8-4}=16.\] **Krok \(10\).** Dla \(m=8\) mamy \(B=(8,0)\), a prosta \(BC\) przechodzi przez \(B\) i \(D=(3,2)\): \[a_{BC}=\frac{2-0}{3-8}=-\frac{2}{5},\qquad y=-\frac{2}{5}(x-8),\qquad\text{czyli}\qquad y=-\frac{2}{5}x+\frac{16}{5}.\] **Uwaga.** Miejsce zerowe pochodnej to dopiero kandydat na minimum — o tym, że jest to wartość najmniejsza, przesądza dopiero zbadanie znaku pochodnej po obu stronach punktu \(m=8\). **Odpowiedź.** **a)** \(P(m)=\frac{m^{2}}{m-4}\). **b)** Pole jest najmniejsze dla \(m=8\) i wynosi wtedy \(16\); prosta \(BC\) ma równanie \(y=-\frac{2}{5}x+\frac{16}{5}\).

**Część a)** **3 pkt** – wyznaczenie pola \(P\) trójkąta \(ABC\) jako funkcji zmiennej \(m\): \(P(m)=\frac{m^{2}}{m-4}\). **2 pkt** – wyznaczenie pierwszej (lub drugiej) współrzędnej punktu \(C\): \(x_{C}=\frac{m}{4-m}\) (lub \(y_{C}=\frac{2m}{m-4}\)). **1 pkt** – wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(BD\): \(\frac{2}{3-m}\) ALBO – zapisanie równania prostej \(BD\) w postaci ogólnej, np. \(2x+(m-3)y-2m=0\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Część b)** **4 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(BC\) w przypadku, gdy pole trójkąta \(ABC\) jest najmniejsze, np. \(y=-\frac{2}{5}x+\frac{16}{5}\). **3 pkt** – zbadanie znaku pochodnej funkcji \(P\): \(P'(m)>0\) dla \(m\in(8,\,+\infty)\) oraz \(P'(m)<0\) dla \(m\in(4,\,8)\), oraz wyznaczenie (z uzasadnieniem) wartości zmiennej \(m\), dla której funkcja \(P\) osiąga wartość najmniejszą, np. funkcja \(P\) zmiennej \(m\) (określona na przedziale \((4,\,+\infty)\)) jest rosnąca w przedziale \(\langle 8,\,+\infty)\) oraz malejąca w przedziale \((4,\,8\rangle\), więc w punkcie \(m=8\) osiąga najmniejszą wartość ALBO – uzasadnienie, że dla \(m=8\) funkcja \(P\) osiąga wartość najmniejszą (przy metodzie średnich liczbowych). **2 pkt** – obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji \(P\): \(m=8\) ALBO – obliczenie wartości \(m\), dla której zachodzi równość średniej arytmetycznej i geometrycznej liczb dodatnich \(m-4\) oraz \(\frac{16}{m-4}\): \(m=8\). **1 pkt** – wyznaczenie wzoru pochodnej funkcji \(P\), np. \(P'(m)=\frac{2m(m-4)-m^{2}\cdot 1}{(m-4)^{2}}\) ALBO – zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb \(m-4\) oraz \(\frac{16}{m-4}\): \(\frac{m-4+\frac{16}{m-4}}{2}\ge\sqrt{(m-4)\cdot\frac{16}{m-4}}\) ALBO – zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb \(m-4\), \(4\) oraz \(\frac{16}{m-4}\): \(\frac{m-4+4+\frac{16}{m-4}}{3}\ge\sqrt[3]{(m-4)\cdot 4\cdot\frac{16}{m-4}}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi do części b):** 1. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak i zaznaczając na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej. 2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(m\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający: – opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(P\) lub – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(m\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość. Jeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za część b) może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty. 3. Jeżeli zdający, przy uzasadnieniu, że funkcja \(P\) przyjmuje najmniejszą wartość dla \(m=8\), nie ogranicza się do przedziału \((4,\,+\infty)\), to za część b) może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty. 4. Akceptujemy przedziały monotoniczności \((4,\,8)\), \((8,\,+\infty)\). 5. Jeżeli zdający wyznaczy minimum lokalne i nie zapisze, że jest to wartość najmniejsza, to otrzymuje co najwyżej \(3\) punkty za część b).

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R11.6) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \[-4\] i jest osiągana dla \(x=1\).

Dla \(x>0\) rozważamy funkcję \[f(x)=x^4+x^2-6x.\] Jej pochodna jest równa \[f'(x)=4x^3+2x-6.\] Rozkładamy wielomian na czynniki: \[4x^3+2x-6=4(x^3-1)+2(x-1)=(x-1)(4x^2+4x+6).\] Ponieważ \(4x^2+4x+6>0\) dla każdego \(x>0\), jedynym miejscem zerowym pochodnej w dziedzinie jest \(x=1\). Mamy \[f'(x)<0\quad\text{dla}\quad x\in(0,1),\] \[f'(x)>0\quad\text{dla}\quad x\in(1,+\infty).\] Funkcja \(f\) maleje więc w \((0,1]\) i rośnie w \([1,+\infty)\). Osiąga wartość najmniejszą dla \(x=1\): \[f(1)=1^4+1^2-6\cdot1=-4.\]

**4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(f\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=1\), i obliczenie wartości najmniejszej \(-4\) **3 pkt** – uzasadnienie, np. przez badanie monotoniczności, że funkcja \(f\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=1\) **2 pkt** – poprawne rozwiązanie równania \(4x^3+2x-6=0\): \(x=1\) **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(f'(x)=4x^3+2x-6\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R3) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. XIII.R4) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji.

**a)** \(P(x)=(x+1)\sqrt{1-x^2}\) **b)** \(D_P=(0,1)\) **c)** \(x=\frac12\), a największe pole jest równe \(\frac{3\sqrt3}{4}\).

**a)** Połowa podstawy trójkąta ma długość \[\frac{|AB|}{2}=\sqrt{1-x^2},\] a wysokość opuszczona z wierzchołka \(C\) jest równa \(x+1\). Zatem \[P(x)=\frac12\cdot2\sqrt{1-x^2}\cdot(x+1)=(x+1)\sqrt{1-x^2}.\] **b)** Dla rozpatrywanych trójkątów ostrokątnych środek okręgu leży wewnątrz trójkąta, a podstawa nie jest średnicą ani punktem, dlatego \[x\in(0,1).\] **c)** Dla \(x\in(0,1)\) mamy \[P'(x)=\frac{1-x-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{(2x-1)(x+1)}{\sqrt{1-x^2}}.\] Pochodna jest dodatnia dla \(0<x<\frac12\) i ujemna dla \(\frac12<x<1\), więc maksimum występuje dla \(x=\frac12\). Wtedy \[P\left(\frac12\right)=\frac32\sqrt{1-\frac14}=\frac{3\sqrt3}{4}.\]

**7 pkt** – poprawne rozwiązanie wszystkich podpunktów **Podpunkt a): 2 pkt** – poprawne wyznaczenie długości podstawy i wysokości oraz otrzymanie wzoru na \(P(x)\) **Podpunkt b): 1 pkt** – poprawna dziedzina \(D_P=(0,1)\) **Podpunkt c): 4 pkt** – poprawne zastosowanie pochodnej, wykazanie maksimum dla \(x=\frac12\) i obliczenie pola \(\frac{3\sqrt3}{4}\) **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R11.6 stosowanie pochodnych do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

Olejarnia powinna produkować \(495\) litrów dziennie, a najmniejszy przeciętny koszt wynosi \(38{,}50\) zł za litr.

Obliczamy pochodną funkcji \(K\): \[K'(x)=\frac{(44x-621{,}5)(480+x)-(22x^2-621{,}5x+23\,430)}{(480+x)^2}.\] Po uproszczeniu licznika warunek \(K'(x)=0\) prowadzi do równania \[x^2+960x-14\,625=0,\] którego pierwiastki to \(-975\) i \(15\). W dziedzinie \([0,50]\) leży tylko \(x=15\). Pochodna jest ujemna na \([0,15)\) i dodatnia na \((15,50]\), więc funkcja osiąga minimum dla \(x=15\). Odpowiada to produkcji \[480+15=495\] litrów dziennie. Najmniejszy koszt wynosi \[K(15)=\frac{22\cdot15^2-621{,}5\cdot15+23\,430}{495}=38{,}50\ \text{zł}.\]

**4 pkt** – wyznaczenie produkcji \(495\) litrów i kosztu \(38{,}50\) zł **3 pkt** – zbadanie znaku pochodnej i uzasadnienie minimum dla \(x=15\) **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej \(x=15\) należącego do dziedziny **1 pkt** – poprawne wyznaczenie pochodnej funkcji \(K\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I i IV sprawność rachunkowa oraz dobieranie argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R3 i XIII.R5 obliczanie pochodnej ilorazu oraz rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych z zastosowaniem pochodnej.

**a)** \(P(b)=\frac{(18-2b)\sqrt{18b-81}}2\) **b)** \(D_P=\left(\frac92,9\right)\) **c)** Największe pole ma trójkąt o bokach \(6,6,6\); jego pole wynosi \(9\sqrt3\).

**a)** Podstawa trójkąta ma długość \(18-2b\), a połowa podstawy \(9-b\). Z twierdzenia Pitagorasa wysokość jest równa \[h=\sqrt{b^2-(9-b)^2}=\sqrt{18b-81}.\] Zatem \[P(b)=\frac12(18-2b)\sqrt{18b-81}.\] **b)** Nierówność trójkąta daje \(2b>18-2b\), czyli \(b>\frac92\), a dodatnia podstawa wymaga \(b<9\). Stąd \(D_P=(\frac92,9)\). **c)** Ponieważ \(P(b)>0\) w dziedzinie, maksymalizujemy \[Q(b)=P(b)^2=(9-b)^2(18b-81).\] Mamy \[Q'(b)=54(9-b)(6-b).\] Funkcja rośnie dla \(b<6\) i maleje dla \(b>6\), zatem maksimum występuje dla \(b=6\). Podstawa ma wtedy długość \(18-2b=6\), więc trójkąt jest równoboczny, a jego pole wynosi \(9\sqrt3\).

**7 pkt** – poprawne rozwiązanie wszystkich podpunktów **Podpunkt a): 2 pkt** – wyznaczenie podstawy i wysokości oraz otrzymanie wzoru na \(P(b)\) **Podpunkt b): 1 pkt** – poprawna dziedzina \((\frac92,9)\) **Podpunkt c): 4 pkt** – poprawna optymalizacja, wartość \(b=6\) i boki \(6,6,6\) **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R11.6 stosowanie pochodnych do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

**a)** \(P(x)=\frac{x(4-2x)}{4-x}\). **b)** \(D_P=(0,2)\). **c)** Największe pole ma trójkąt o bokach \(4-2\sqrt2\), \(4-2\sqrt2\) i \(4\sqrt2-4\). Pole to wynosi \(4(3-2\sqrt2)\).

Oznaczmy \(b=|BC|\) i \(c=|AB|\). Z obwodu \(x+b+c=4\), więc \(c=4-x-b\). Twierdzenie Pitagorasa daje \[(4-x-b)^2=x^2+b^2.\] Po uproszczeniu \[b(4-x)=8-4x,\qquad b=\frac{8-4x}{4-x}.\] Zatem \[P(x)=\frac12xb=\frac{x(4-2x)}{4-x}.\] Warunki \(x>0\), \(b>0\) i \(c>0\) prowadzą do dziedziny \[D_P=(0,2).\] Dla \(x\in(0,2)\): \[P'(x)=\frac{2x^2-16x+16}{(4-x)^2}.\] Jedynym miejscem zerowym pochodnej w dziedzinie jest \[x=4-2\sqrt2.\] Pochodna jest dodatnia na \((0,4-2\sqrt2)\) i ujemna na \((4-2\sqrt2,2)\), więc w tym punkcie funkcja osiąga największą wartość. Wówczas \[b=4-2\sqrt2,\qquad c=x\sqrt2=4\sqrt2-4,\] a największe pole wynosi \[P_{\max}=\frac12(4-2\sqrt2)^2=4(3-2\sqrt2).\]

**7 pkt łącznie:** \(2\) pkt za podpunkt a), \(1\) pkt za podpunkt b) i \(4\) pkt za podpunkt c). **Podpunkt a): 2 pkt** – pełne wyprowadzenie wzoru \(P(x)=\frac{x(4-2x)}{4-x}\) **1 pkt** – poprawne użycie obwodu i twierdzenia Pitagorasa **Podpunkt b): 1 pkt** – dziedzina \((0,2)\) **Podpunkt c): 4 pkt** – poprawne uzasadnienie maksimum, długości boków \(4-2\sqrt2\), \(4-2\sqrt2\), \(4\sqrt2-4\) oraz pole \(4(3-2\sqrt2)\) **3 pkt** – zbadanie znaku pochodnej i uzasadnienie maksimum dla \(x=4-2\sqrt2\) **2 pkt** – wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej w dziedzinie **1 pkt** – poprawna pochodna \(P'(x)=\frac{2x^2-16x+16}{(4-x)^2}\)

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja - modelowanie problemu geometrycznego funkcją i przeprowadzenie optymalizacji. **Wymagania szczegółowe:** stosowanie twierdzenia Pitagorasa, wyznaczanie dziedziny funkcji, obliczanie pochodnej funkcji wymiernej, badanie monotoniczności i rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych.

Zbiornik ma wymiary \(6\ \mathrm{m}\times 6\ \mathrm{m}\times 4\ \mathrm{m}\). Dla boku podstawy \(x\) wysokość wynosi \(h=\frac{144}{x^{2}}\), a koszt \(f(x)=100x^{2}+\frac{43200}{x}\) na dziedzinie \(x\in[4,9]\). Pochodna \(f'(x)=200x-\frac{43200}{x^{2}}\) zeruje się dla \(x=6\) i zmienia znak z ujemnego na dodatni; wtedy \(h=4\).

**Krok \(1\).** Metoda: zadanie optymalizacyjne — budujemy funkcję kosztu jednej zmiennej, ustalamy jej dziedzinę, a następnie szukamy wartości najmniejszej za pomocą pochodnej. **Krok \(2\).** Oznaczamy przez \(x\) długość krawędzi kwadratowego dna, a przez \(h\) wysokość zbiornika (w metrach). Z warunku na pojemność \(x^{2}h=144\), skąd \[h=\frac{144}{x^{2}}.\] **Krok \(3\).** Zbiornik jest otwarty od góry, więc koszt to koszt dna \(100x^{2}\) plus koszt czterech ścian bocznych \(75\cdot 4xh\). Zatem \[f(x)=100x^{2}+300x\cdot\frac{144}{x^{2}}=100x^{2}+\frac{43200}{x}.\] **Krok \(4\).** Ustalamy dziedzinę. Żaden wymiar nie przekracza \(9\), więc \(x\leq 9\) oraz \(h=\frac{144}{x^{2}}\leq 9\), czyli \(x^{2}\geq 16\), a stąd \(x\geq 4\). Zatem \(x\in[4,9]\). **Krok \(5\).** Obliczamy pochodną: \[f'(x)=200x-\frac{43200}{x^{2}}=\frac{200\left(x^{3}-216\right)}{x^{2}}.\] **Krok \(6\).** Miejsce zerowe pochodnej: \(x^{3}=216\), czyli \(x=6\), i \(6\in[4,9]\). **Krok \(7\).** Badamy znak: dla \(x\in(4,6)\) mamy \(x^{3}\lt 216\), więc \(f'(x)\lt 0\); dla \(x\in(6,9)\) mamy \(f'(x)\gt 0\). Funkcja \(f\) maleje na \([4,6]\) i rośnie na \([6,9]\), więc w punkcie \(x=6\) przyjmuje wartość najmniejszą. **Krok \(8\).** Dla \(x=6\) wysokość wynosi \(h=\frac{144}{36}=4\), a koszt \(f(6)=3600+7200=10800\) zł. Oba wymiary spełniają ograniczenie \(9\) m. **Uwaga.** Ograniczenie na wymiary działa w obie strony: górne \(x\leq 9\) i — poprzez wysokość — dolne \(x\geq 4\). Pominięcie dziedziny nie zmienia tu wyniku, ale bez niej nie da się poprawnie uzasadnić, że znaleziona wartość jest najmniejsza w rozważanym zakresie. **Odpowiedź.** Zbiornik o najmniejszym koszcie wykonania ma wymiary \(6\ \mathrm{m}\times 6\ \mathrm{m}\times 4\ \mathrm{m}\).

Rozwiązanie zadania optymalizacyjnego składa się z trzech etapów: - zbudowanie modelu opisującego sytuację podaną w zadaniu - zbadanie modelu i jego własności - przeprowadzenie końcowych obliczeń. Pierwszy etap składa się z trzech kroków. Krok pierwszy: przyjęcie jednego z wymiarów zbiornika (\(x\) – długość krawędzi podstawy zbiornika, \(h\) – wysokość zbiornika) za zmienną badanej funkcji i obliczenie drugiego wymiaru zbiornika: \(h=\frac{144}{x^{2}}\) lub \(x=\sqrt{\frac{144}{h}}\). Krok drugi: zapisanie funkcji kosztu wykonania \(f\) zbiornika za pomocą jednej zmiennej: \(f(x)=100x^{2}+4x\cdot\frac{144}{x^{2}}\cdot 75\) lub \(f(h)=100\cdot\frac{144}{h}+4\cdot\sqrt{\frac{144}{h}}\cdot h\cdot 75\). Krok trzeci: ustalenie dziedziny funkcji \(f\): \(D_{x}=[4,\,9]\) lub \(D_{h}=\left[\frac{16}{9},\,9\right]\). Drugi etap składa się z trzech kroków. Za poprawne wykonanie każdego z tych kroków zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednie kroki też były wykonane poprawnie. **1 pkt** – Krok pierwszy: wyznaczenie pochodnej funkcji \(f\): \(f'(x)=200x-\frac{43200}{x^{2}}=200\left(x-\frac{216}{x^{2}}\right)\) lub \(f'(h)=-\frac{14400}{h^{2}}+\frac{1800}{\sqrt{h}}\). **1 pkt** – Krok drugi: zastosowanie warunku koniecznego istnienia ekstremum funkcji \(f\) – obliczenie miejsc zerowych pochodnej: \(x=6\) (lub \(h=4\)). **1 pkt** – Krok trzeci: zbadanie znaku pochodnej funkcji \(f\): \(f'(x)>0\) dla \(x\in(6,\,9)\), \(f'(x)<0\) dla \(x\in(4,\,6)\) lub \(f'(h)>0\) dla \(h\in(4,\,9)\), \(f'(h)<0\) dla \(h\in\left(\frac{16}{9},\,4\right)\) oraz wyznaczenie (z uzasadnieniem) wartości zmiennej \(x\) (lub zmiennej \(h\)), dla której funkcja \(f\) przyjmuje wartość najmniejszą, np.: funkcja \(f\) zmiennej \(x\) (określona na przedziale \([4,\,9]\)) jest malejąca w przedziale \([4,\,6]\) oraz rosnąca w przedziale \([6,\,9]\), więc w punkcie \(x=6\) funkcja \(f\) osiąga najmniejszą wartość. LUB funkcja \(f\) zmiennej \(h\) (określona na przedziale \(\left[\frac{16}{9},\,9\right]\)) jest malejąca w przedziale \(\left[\frac{16}{9},\,4\right]\) oraz rosnąca w przedziale \([4,\,9]\), więc w punkcie \(h=4\) funkcja \(f\) osiąga najmniejszą wartość. **1 pkt** – Etap trzeci polega na obliczeniu wymiarów zbiornika, przy których koszt wykonania zbiornika jest najmniejszy: \(x=6\), \(h=4\). Za poprawne wykonanie trzeciego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. **Uwagi:** 1. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak. 2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(x\) (czy też \(h\)), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuacje, gdy zdający: a) opisuje słownie lub graficznie (np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(f\); LUB b) zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(x\) (czy też \(h\)) funkcja \(f\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość. Jeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za II etap może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty. 3. Jeżeli zdający wyznacza metodą prób i błędów wymiary zbiornika, przy których koszt wykonania zbiornika będzie najmniejszy, to otrzymuje \(0\) punktów za II i III etap. 4. Jeżeli zdający rozpatruje funkcję kosztów postaci \(f(x)=ax^{2}+\frac{b}{x}\) (gdzie \(a>0\), \(b>0\)), nie uwzględniając wszystkich ścian bocznych lub uwzględniając dwie podstawy, to może otrzymać co najwyżej \(5\) punktów za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktów za drugi krok pierwszego etapu oraz za trzeci etap). 5. Jeżeli zdający rozpatruje funkcję pola zamiast funkcji kosztów, to może otrzymać co najwyżej \(5\) punktów za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktów za drugi krok pierwszego etapu oraz za trzeci etap). Jeżeli zdający rozpatruje funkcję pola postaci \(f(x)=ax^{2}+\frac{b}{x}\) (gdzie \(a>0\), \(b>0\)), nie uwzględniając wszystkich ścian bocznych lub uwzględniając dwie podstawy, to może otrzymać co najwyżej \(4\) punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktów za drugi krok pierwszego etapu, trzeci krok drugiego etapu oraz za trzeci etap). 6. Jeżeli zdający uzasadnia istnienie najmniejszej wartości funkcji kosztów w zbiorze \(R\setminus\{0\}\), to nie otrzymuje punktu za trzeci krok drugiego etapu.

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R11.6) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

\[A=\left(3,\frac19\right),\qquad B=\left(-3,\frac19\right),\qquad P_{\min}=\frac43.\]

Niech \(A=(a,\frac9{a^4})\), gdzie \(a>0\). Z symetrii względem osi \(Oy\): \[B=\left(-a,\frac9{a^4}\right).\] Podstawa \(AB\) ma długość \(2a\), a wysokość opuszczona z punktu \(C=(0,-\frac13)\) jest równa \(\frac9{a^4}+\frac13\). Pole trójkąta wynosi więc \[P(a)=\frac12\cdot2a\left(\frac9{a^4}+\frac13\right)=\frac9{a^3}+\frac a3,\qquad a>0.\] Obliczamy pochodną: \[P'(a)=-\frac{27}{a^4}+\frac13=\frac{a^4-81}{3a^4}.\] Dla \(a>0\) jedynym miejscem zerowym pochodnej jest \(a=3\). Pochodna jest ujemna w \((0,3)\) i dodatnia w \((3,+\infty)\), zatem funkcja \(P\) osiąga minimum dla \(a=3\). Wtedy \[A=\left(3,\frac19\right),\qquad B=\left(-3,\frac19\right),\] \[P_{\min}=P(3)=\frac9{27}+1=\frac43.\]

**6 pkt** – wyznaczenie \(A=(3,\frac19)\), \(B=(-3,\frac19)\) i \(P_{\min}=\frac43\) **5 pkt** – uzasadnienie, że funkcja pola osiąga minimum dla \(a=3\) **4 pkt** – obliczenie jedynego dodatniego miejsca zerowego pochodnej: \(a=3\) **3 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(P'(a)=-\frac{27}{a^4}+\frac13\) **2 pkt** – zapisanie \(P(a)=\frac9{a^3}+\frac a3\) wraz z dziedziną \(a>0\) **1 pkt** – poprawne zapisanie wzoru na pole albo dziedziny funkcji pola **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** R11.6 stosowanie pochodnych do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

Ekran powinien mieć wymiary \[10\,\mathrm{cm}\times6\,\mathrm{cm}.\]

Wszystkie długości zapisujemy w milimetrach. Niech \(x\) i \(y\) oznaczają wymiary ekranu, przy czym \(xy=6000\). Stąd \[y=\frac{6000}{x}.\] Wymiary ekranu z obramowaniem wynoszą \(x+10\) oraz \(y+6\), więc jego pole jest równe \[P(x)=(x+10)\left(\frac{6000}{x}+6\right)=6x+\frac{60000}{x}+6060.\] Ponieważ ekran ma dodatnie wymiary i krótszy bok nie jest dłuższy od dłuższego, możemy rozpatrywać \(x\in\langle2\sqrt{1500},+\infty)\). Pochodna ma postać \[P'(x)=6-\frac{60000}{x^2}=\frac{6(x^2-10000)}{x^2}.\] Dla \(x>0\) pochodna zeruje się w punkcie \(x=100\). Jest ujemna dla \(0<x<100\) i dodatnia dla \(x>100\), zatem \(P\) osiąga minimum dla \(x=100\). Wtedy \[y=\frac{6000}{100}=60.\] Zatem optymalne wymiary ekranu to \(100\,\mathrm{mm}\times60\,\mathrm{mm}\), czyli \(10\,\mathrm{cm}\times6\,\mathrm{cm}\).

**7 pkt** – wyznaczenie wymiarów \(100\,\mathrm{mm}\times60\,\mathrm{mm}\) i uzasadnienie, że dają najmniejszą powierzchnię **6 pkt** – poprawne zbadanie znaku pochodnej i wskazanie minimum, bez końcowego podania obu wymiarów **5 pkt** – wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej \(x=100\) **4 pkt** – obliczenie pochodnej \(P'(x)=6-\frac{60000}{x^2}\) **3 pkt** – zapisanie funkcji \(P(x)=6x+\frac{60000}{x}+6060\) wraz z właściwą dziedziną **2 pkt** – zapisanie funkcji pola jednej zmiennej po podstawieniu \(y=\frac{6000}{x}\) **1 pkt** – przyjęcie wymiarów \(x,y\) i zapisanie \(xy=6000\) albo \(P=(x+10)(y+6)\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R11.6 stosowanie pochodnych do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

\[P(x)=\sqrt{108x^2(6-x)},\qquad x\in(0,6).\] Największe pole jest osiągane dla \(x=4\). Wtedy boki trójkąta mają długości \(14,10,12\), a pole wynosi \[P_{\max}=24\sqrt6.\]

Ze styczności okręgów otrzymujemy długości boków trójkąta: \[|SS_1|=18-x,\qquad |SS_2|=18-2x,\qquad |S_1S_2|=3x.\] Ich suma jest równa \(36\), więc połowa obwodu wynosi \(p=18\). Ze wzoru Herona \[P(x)=\sqrt{18\cdot x\cdot2x\cdot(18-3x)}=\sqrt{108x^2(6-x)}.\] Warunki istnienia niezdegenerowanego trójkąta prowadzą do dziedziny \(x\in(0,6)\). Ponieważ pierwiastek jest funkcją rosnącą, maksymalizujemy \[f(x)=x^2(6-x)=-x^3+6x^2.\] Pochodna jest równa \[f'(x)=-3x^2+12x=-3x(x-4).\] W przedziale \((0,4)\) jest dodatnia, a w \((4,6)\) ujemna, więc maksimum jest dla \(x=4\). Wtedy \[|SS_1|=14,\qquad |SS_2|=10,\qquad |S_1S_2|=12,\] a największe pole wynosi \[P(4)=\sqrt{108\cdot16\cdot2}=24\sqrt6.\]

**7 pkt** – pełne rozwiązanie: poprawna funkcja i dziedzina, uzasadnione maksimum dla \(x=4\), boki \(14,10,12\) oraz pole \(24\sqrt6\) **6 pkt** – wykonanie obu pierwszych etapów klucza CKE, bez pełnego zakończenia obliczeń boków i pola **4: 5 pkt** – poprawne wyznaczenie funkcji i dziedziny oraz częściowe lub pełne badanie jej maksimum **1: 3 pkt** – po jednym punkcie za: długości boków wynikające ze styczności, wzór \(P(x)=\sqrt{108x^2(6-x)}\), dziedzinę \(0<x<6\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

Klucz CKE dla czerwca 2019 nie zawiera tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria i optymalizacja - styczność okręgów, wzór Herona, dziedzina funkcji i badanie maksimum za pomocą pochodnej.

Krawędź podstawy ma długość \(a=2\), a wysokość graniastosłupa \[h=\frac{2\sqrt3}{3}.\] Najmniejsze pole powierzchni całkowitej wynosi \[P_{\min}=6\sqrt3.\]

Niech \(a>0\) oznacza długość krawędzi podstawy, a \(h>0\) wysokość graniastosłupa. Z warunku objętości \[\frac{a^2\sqrt3}{4}h=2\]\nwynika \[h=\frac8{a^2\sqrt3}.\] Pole powierzchni całkowitej jest równe \[P(a)=2\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}+3ah=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{8\sqrt3}{a},\qquad a>0.\] Pochodna ma postać \[P'(a)=\sqrt3a-\frac{8\sqrt3}{a^2}=\frac{\sqrt3(a^3-8)}{a^2}.\] Jedyny punkt krytyczny w dziedzinie to \(a=2\). Pochodna jest ujemna dla \(0<a<2\) i dodatnia dla \(a>2\), więc funkcja osiąga tam minimum. Wówczas \[h=\frac8{4\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}\]\noraz \[P(2)=\frac{4\sqrt3}{2}+\frac{8\sqrt3}{2}=6\sqrt3.\]

**7 pkt** – wyznaczenie \(a=2\), \(h=\frac{2\sqrt3}{3}\) i \(P_{\min}=6\sqrt3\) wraz z uzasadnieniem minimum **6 pkt** – poprawne wyznaczenie minimum funkcji pola i prawie pełne zakończenie obliczeń **4: 5 pkt** – poprawna funkcja pola z dziedziną oraz częściowe lub pełne badanie jej minimum **3 pkt** – wyznaczenie \(h=\frac8{a^2\sqrt3}\), zapisanie \(P(a)=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{8\sqrt3}{a}\) i dziedziny \(a>0\) **2 pkt** – zapisanie poprawnej funkcji pola po eliminacji jednej zmiennej **1 pkt** – poprawne wykorzystanie warunku objętości albo zapisanie wzoru na pole powierzchni **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 11 zastosowanie pochodnej do badania monotoniczności i wyznaczania ekstremów funkcji w zadaniach optymalizacyjnych.

\[V(x)=8x^2(11-3x),\qquad D_V=\left(0,\frac52\right].\] Największa objętość występuje dla \[x=\frac{22}{9}\] i wynosi \[V_{\max}=\frac{42592}{243}=175\frac{67}{243}.\]

Szkielet składa się z dwunastu listewek. Cztery mają długość \(6-2x\), cztery długość \(10-3x\), a cztery długość \(6-x\). Każda ma pole przekroju \(x^2\), zatem \[V(x)=4x^2(6-2x)+4x^2(10-3x)+4x^2(6-x)=8x^2(11-3x).\] Z warunków geometrycznych otrzymujemy \(x>0\), \(6\geq2x\) i \(10-2x\geq2x\), więc \[D_V=\left(0,\frac52\right].\] Liczymy pochodną: \[V'(x)=8x(22-9x).\] W dziedzinie funkcja rośnie dla \(0<x<\frac{22}{9}\) i maleje dla \(\frac{22}{9}<x\leq\frac52\). Maksimum osiąga zatem dla \[x=\frac{22}{9}.\] Jego wartość jest równa \[V\left(\frac{22}{9}\right)=8\left(\frac{22}{9}\right)^2\left(11-3\cdot\frac{22}{9}\right)=\frac{42592}{243}=175\frac{67}{243}.\]

**7 pkt** – wyznaczenie funkcji i jej dziedziny, pełna analiza maksimum oraz obliczenie \(V_{\max}=\frac{42592}{243}\) **6 pkt** – poprawne ustalenie \(x=\frac{22}{9}\), bez poprawnego obliczenia największej objętości **5 pkt** – uzasadnienie znakiem pochodnej, że maksimum występuje dla \(x=\frac{22}{9}\) **4 pkt** – obliczenie miejsc zerowych pochodnej: \(0\) i \(\frac{22}{9}\) **3 pkt** – zapisanie długości trzech rodzajów listewek, funkcji \(V(x)=8x^2(11-3x)\) oraz dziedziny \(D_V=(0,\frac52]\) **2 pkt** – poprawne zapisanie funkcji objętości, nawet przy pominięciu lub błędzie w dziedzinie **1 pkt** – poprawne zapisanie długości listewek: \(6-2x\), \(10-3x\), \(6-x\) **0 pkt** – brak istotnego postępu Klucz CKE dopuszcza również zapis dziedziny \((0,\frac52)\).

Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** optymalizacja - modelowanie objętości bryły funkcją wielomianową, warunki geometryczne dziedziny, pochodna i badanie największej wartości funkcji.

Dla krawędzi x, \(2x\) i \(\frac{4}{x^{2}}\) pole powierzchni całkowitej ma postać P(x)=\(4\)\(x^{2}\)+\(24\)/x, a warunek sumy krawędzi daje dziedzinę x∈(\(1\),\(2\)). Pochodna P′(x)=\(8x\)−\(\frac{24}{x^{2}}\) zeruje się dla x=∛\(3\) i zmienia znak z ujemnego na dodatni. Najmniejsze pole ma prostopadłościan o wymiarach ∛\(3\), \(2\)∛\(3\) i \(4\)∛\(\frac{3}{3}\).

**Krok \(1\).** To zadanie optymalizacyjne z pochodną. Plan: wprowadzić jedną zmienną \(x\), wyrazić przez nią wszystkie trzy krawędzie (objętość jest dana, więc trzecia krawędź się wyznaczy), z warunku o sumie krawędzi odczytać dziedzinę, zapisać pole całkowite jako funkcję \(x\) i zbadać jej pochodną. **Krok \(2\).** Niech \(x\) będzie krótszą z dwóch krawędzi o stosunku \(1:2\); druga ma wtedy długość \(2x\). Trzecią krawędź \(z\) wyliczamy z objętości: \[x\cdot2x\cdot z=8,\qquad 2x^2z=8,\qquad z=\frac{4}{x^2}.\] **Krok \(3\).** Prostopadłościan ma \(12\) krawędzi — po cztery każdej długości, więc ich suma to \[4\left(x+2x+\frac4{x^2}\right)=4\left(3x+\frac4{x^2}\right)\lt28,\qquad 3x+\frac4{x^2}\lt7.\] **Krok \(4\).** Mnożymy stronami przez \(x^2\gt0\) i przenosimy wszystko na jedną stronę: \[3x^3+4\lt7x^2,\qquad 3x^3-7x^2+4\lt0.\] **Krok \(5\).** Zauważamy, że \(x=1\) jest pierwiastkiem (\(3-7+4=0\)), więc dzielimy przez \((x-1)\): \[3x^3-7x^2+4=(x-1)\left(3x^2-4x-4\right)=(x-1)(3x+2)(x-2).\] **Krok \(6\).** Dla \(x\gt0\) czynnik \(3x+2\) jest dodatni, więc nierówność sprowadza się do \((x-1)(x-2)\lt0\), czyli \(x\in(1,2)\). To jest dziedzina rozważanej funkcji. **Krok \(7\).** Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach \(x\), \(2x\), \(z\): \[P=2\left(x\cdot2x+x\cdot z+2x\cdot z\right)=2\left(2x^2+3xz\right)=4x^2+6xz=4x^2+6x\cdot\frac{4}{x^2}=4x^2+\frac{24}{x}.\] **Krok \(8\).** Liczymy pochodną (korzystamy z \(\left(\frac{24}{x}\right)^{\prime}=-\frac{24}{x^2}\)): \[P^{\prime}(x)=8x-\frac{24}{x^2}=\frac{8x^3-24}{x^2}.\] **Krok \(9\).** Mianownik jest dodatni, więc znak pochodnej to znak licznika. \(P^{\prime}(x)=0\) dla \(8x^3=24\), czyli \(x^3=3\), a stąd \(x=\sqrt[3]{3}\approx1{,}44\), co należy do przedziału \((1,2)\). **Krok \(10\).** Dla \(x\lt\sqrt[3]3\) licznik jest ujemny (funkcja maleje), a dla \(x\gt\sqrt[3]3\) dodatni (funkcja rośnie), więc w punkcie \(x=\sqrt[3]3\) funkcja \(P\) osiąga minimum, i jest to zarazem jej najmniejsza wartość w dziedzinie. **Krok \(11\).** Wyznaczamy wymiary: \(x=\sqrt[3]3\), \(2x=2\sqrt[3]3\) oraz \[z=\frac{4}{\left(\sqrt[3]3\right)^2}=\frac{4}{3^{2/3}}=\frac{4\sqrt[3]3}{3}.\] **Uwaga.** Dziedziny nie wolno pominąć: bez warunku o sumie krawędzi zbiorem dopuszczalnych \(x\) byłoby całe \((0,+\infty)\). Trzeba też sprawdzić, że znaleziony punkt \(\sqrt[3]3\) rzeczywiście leży w \((1,2)\). **Odpowiedź.** \(P(x)=4x^2+\dfrac{24}{x}\) dla \(x\in(1,2)\); najmniejsze pole powierzchni całkowitej ma prostopadłościan o wymiarach \(\sqrt[3]3\), \(2\sqrt[3]3\), \(\dfrac{4\sqrt[3]3}{3}\).

*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.* **Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.** **Pierwszy etap: po 1 pkt za każdą z trzech części** – a) zapisanie długości krawędzi prostopadłościanu w zależności od zmiennej \(x\); b) zapisanie pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcji zmiennej \(x\): \(P_C(x)=4x^2+\tfrac{24}{x}\); c) określenie dziedziny funkcji \(P\): \((1,2)\). Jeśli zdający od razu zapisze pole powierzchni całkowitej w zależności od zmiennej \(x\), to otrzymuje 1 pkt za część a) i 1 pkt za część b). **Drugi etap: po 1 pkt za każdą z trzech części** – a) wyznaczenie pochodnej funkcji wymiernej […]; b) obliczenie miejsca zerowego pochodnej: \(x=\) […]; c) uzasadnienie, że dla tego miejsca zerowego funkcja \(P_C\) osiąga najmniejszą wartość, np. zapisanie, że w przedziale […] funkcja \(P_C\) jest malejąca, w przedziale […] jest rosnąca, a w punkcie osiąga minimum lokalne, które jest najmniejszą wartością tej funkcji. Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 pkt, o ile poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie. **Trzeci etap: 1 pkt** – obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu o najmniejszym polu powierzchni całkowitej.

Klasyfikacja rzeczowa: modelowanie pola powierzchni prostopadłościanu funkcją jednej zmiennej, wyznaczanie dziedziny i optymalizacja z użyciem pochodnej.

\[x=10\,\text{cm},\qquad V_{\max}=18000\,\text{cm}^3.\]

Niech \(x\) oznacza długość boku wycinanego kwadratu. Wymiary pudełka są równe \(80-2x\), \(50-2x\) oraz \(x\), przy czym \(0<x<25\). Zatem \[V(x)=x(80-2x)(50-2x)=4x^3-260x^2+4000x.\] Pochodna wynosi \[V'(x)=12x^2-520x+4000=4(3x^2-130x+1000).\] Równanie \(V'(x)=0\) ma rozwiązania \[x=10\qquad\text{oraz}\qquad x=\frac{100}{3}.\] Tylko \(x=10\) należy do dziedziny. Pochodna zmienia tam znak z dodatniego na ujemny, więc objętość jest największa. Wynosi ona \[V(10)=10\cdot60\cdot30=18000\,\text{cm}^3.\]

**7 pkt** – poprawne \(x=10\,\text{cm}\) i \(V_{\max}=18000\,\text{cm}^3\) **6 pkt** – poprawne uzasadnienie maksimum i drobny błąd w obliczeniu objętości **5 pkt** – wyznaczenie punktów krytycznych i odrzucenie \(\frac{100}{3}\) **4 pkt** – poprawna pochodna funkcji objętości **3 pkt** – poprawny model \(V(x)=x(80-2x)(50-2x)\) i dziedzina \(0<x<25\) **2 pkt** – poprawne wymiary pudełka i wzór na objętość bez dziedziny **1 pkt** – oznaczenie boku naroża przez \(x\) i ustalenie co najmniej dwóch wymiarów pudełka **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 11.6 R - stosowanie pochodnych w zagadnieniach optymalizacyjnych.

**C.** \(f(x)=\frac13x^3+2x\)

Dla funkcji z odpowiedzi C \[f'(x)=x^2+2>0\] dla każdego \(x\in\mathbb R\). Funkcja jest więc ściśle rosnąca i nie ma ani minimum lokalnego, ani maksimum lokalnego.

**1 pkt** – odpowiedź C **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** rachunek różniczkowy - badanie monotoniczności i ekstremów funkcji za pomocą pochodnej.

Bok naroża ma długość \(10\,\text{cm}\), a największa objętość wynosi \[18\,000\,\text{cm}^3.\]

Niech \(x\) oznacza długość boku wycinanego kwadratu. Wymiary podstawy pudełka to \(80-2x\) i \(50-2x\), a wysokość wynosi \(x\). Zatem \[V(x)=x(80-2x)(50-2x),\qquad 0<x<25.\] Po rozwinięciu \[V(x)=4x^3-260x^2+4000x,\] więc \[V'(x)=12x^2-520x+4000=4(3x^2-130x+1000).\] Miejsca zerowe pochodnej spełniają \[3x^2-130x+1000=0,\] czyli \[x_1=10,\qquad x_2=\frac{100}{3}.\] Tylko \(x=10\) należy do dziedziny \((0,25)\). Pochodna jest dodatnia na \((0,10)\) i ujemna na \((10,25)\), więc dla \(x=10\) objętość jest największa. Wtedy \[V(10)=10\cdot60\cdot30=18\,000\,\text{cm}^3.\]

**Oficjalny schemat CKE (\(7\) pkt łącznie):** **Etap 1 — \(3\) pkt:** **2 pkt** – wybór zmiennej, wyznaczenie wymiarów podstawy i zapisanie \(V(x)=x(80-2x)(50-2x)\) **1 pkt** – zapisanie poprawnej dziedziny \(0<x<25\) **Etap 2 — \(3\) pkt:** **1 pkt** – wyznaczenie poprawnej pochodnej **1 pkt** – obliczenie miejsc zerowych pochodnej: \(10\) oraz \(\frac{100}{3}\) **1 pkt** – uzasadnienie, że dla \(x=10\) objętość jest największa **Etap 3 — \(1\) pkt:** **1 pkt** – obliczenie największej objętości: \(18\,000\,\text{cm}^3\) **Uwaga redakcyjna:** w wyciągu z informatora, na którym opiera się to opracowanie, kolumna z punktacją rozjechała się względem opisów czynności — część progów była pusta. Powyższy podział odtworzono z sum etapowych podanych w źródle (\(3+3+1=7\)) oraz z liczby i kolejności wymienionych tam czynności; nie pochodzi on z osobnej publikacji CKE.

Informator CKE nie przypisuje temu przykładowi osobnego numeru wymagania. Wymaganie ustalono na podstawie treści i rozwiązania: **optymalizacja**, modelowanie objętości prostopadłościanu oraz zastosowanie pochodnej do wyznaczenia maksimum.

Bok naroża ma długość \(10\,\text{cm}\), a największa objętość wynosi \[18\,000\,\text{cm}^3.\]

Niech \(x\) oznacza długość boku wycinanego kwadratu. Wymiary podstawy pudełka to \(80-2x\) i \(50-2x\), a wysokość wynosi \(x\). Zatem \[V(x)=x(80-2x)(50-2x),\qquad 0<x<25.\] Po rozwinięciu \[V(x)=4x^3-260x^2+4000x,\] więc \[V'(x)=12x^2-520x+4000=4(3x^2-130x+1000).\] Miejsca zerowe pochodnej spełniają \[3x^2-130x+1000=0,\] czyli \[x_1=10,\qquad x_2=\frac{100}{3}.\] Tylko \(x=10\) należy do dziedziny \((0,25)\). Pochodna jest dodatnia na \((0,10)\) i ujemna na \((10,25)\), więc dla \(x=10\) objętość jest największa. Wtedy \[V(10)=10\cdot60\cdot30=18\,000\,\text{cm}^3.\]

**Oficjalny schemat CKE (\(7\) pkt łącznie):** **Etap 1 — \(3\) pkt:** **2 pkt** – wybór zmiennej, wyznaczenie wymiarów podstawy i zapisanie \(V(x)=x(80-2x)(50-2x)\) **1 pkt** – zapisanie poprawnej dziedziny \(0<x<25\) **Etap 2 — \(3\) pkt:** **1 pkt** – wyznaczenie poprawnej pochodnej **1 pkt** – obliczenie miejsc zerowych pochodnej: \(10\) oraz \(\frac{100}{3}\) **1 pkt** – uzasadnienie, że dla \(x=10\) objętość jest największa **Etap 3 — \(1\) pkt:** **1 pkt** – obliczenie największej objętości: \(18\,000\,\text{cm}^3\) **Uwaga redakcyjna:** w wyciągu z informatora, na którym opiera się to opracowanie, kolumna z punktacją rozjechała się względem opisów czynności — część progów była pusta. Powyższy podział odtworzono z sum etapowych podanych w źródle (\(3+3+1=7\)) oraz z liczby i kolejności wymienionych tam czynności; nie pochodzi on z osobnej publikacji CKE.

Informator CKE nie przypisuje temu przykładowi osobnego numeru wymagania. Wymaganie ustalono na podstawie treści i rozwiązania: **optymalizacja**, modelowanie objętości prostopadłościanu oraz zastosowanie pochodnej do wyznaczenia maksimum.

**D.** nie ma minimum lokalnego.

Minimum lokalne może wystąpić tylko tam, gdzie pochodna zeruje się i zmienia znak z ujemnego na dodatni. Obliczamy pochodną: \[f'(x)=5x^4+5=5\left(x^4+1\right).\] Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) mamy \(x^4\geq0\), więc \(x^4+1\geq1>0\), a zatem \(f'(x)>0\) na całej dziedzinie. Pochodna nie ma miejsc zerowych, więc warunek konieczny istnienia ekstremum nie jest spełniony w żadnym punkcie. Funkcja jest ściśle rosnąca i nie ma ekstremów lokalnych. **Odpowiedź.** D. nie ma minimum lokalnego.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** R11.4) Zdający korzysta z własności pochodnej do wyznaczenia przedziałów monotoniczności funkcji.

a) Błędny jest znak pochodnej w przedziale \((2,3)\) — powinien tam być znak \((+)\). b) Nie. Po poprawieniu tabeli funkcja \(f\) może mieć \(2\), \(3\) albo \(4\) miejsca zerowe.

**a)** Z tabeli odczytujemy \(f(2)=-1\) oraz \(f(3)=1\), więc na przedziale \(\langle2,3\rangle\) wartość funkcji wzrasta. Funkcja różniczkowalna, która na przedziale rośnie, nie może mieć tam ujemnej pochodnej. Wpisany w przedziale \((2,3)\) znak \((-)\) jest zatem błędny — powinien tam stać znak \((+)\). Pozostałe wpisy są zgodne z danymi: na \((-\infty,-1)\) funkcja rośnie do \(f(-1)=2\), na \((-1,2)\) maleje od \(2\) do \(-1\), a na \((3,+\infty)\) maleje od \(f(3)=1\). **b)** Po poprawce przebieg funkcji jest następujący: rośnie na \((-\infty,-1\rangle\), maleje na \(\langle-1,2\rangle\), rośnie na \(\langle2,3\rangle\) i maleje na \(\langle3,+\infty)\). Liczbę miejsc zerowych rozpatrujemy w każdym z tych przedziałów osobno. Na \(\langle-1,2\rangle\) funkcja maleje w sposób ciągły od \(2\) do \(-1\), więc ma tam dokładnie jedno miejsce zerowe. Na \(\langle2,3\rangle\) rośnie od \(-1\) do \(1\), więc również ma tam dokładnie jedno miejsce zerowe. Na \((-\infty,-1\rangle\) funkcja rośnie do wartości \(2\), ale tabela nie mówi nic o jej wartościach dla argumentów bardzo małych: mogą być stale dodatnie (wtedy miejsc zerowych nie ma) albo przyjmować wartości ujemne (wtedy jest tam jedno miejsce zerowe). Tak samo na \(\langle3,+\infty)\) funkcja maleje od wartości \(1\) i może pozostać dodatnia albo zejść poniżej zera — \(0\) lub \(1\) miejsce zerowe. Łącznie funkcja \(f\) może mieć \(2\), \(3\) albo \(4\) miejsca zerowe, więc dane z tabeli nie pozwalają określić ich dokładnej liczby. **Odpowiedź.** a) Poprawić należy znak w przedziale \((2,3)\) na \((+)\). b) Nie — miejsc zerowych może być \(2\), \(3\) albo \(4\).

8.1 Zaznaczenie w przedziale ( 2,3) poprawnego znaku pochodnej: (+). 1 1 pkt jeśli zdający poda odpowiedź – nie pozwala, 2 pkt jeśli poda odpowiedź – nie pozwala, bo może mieć 2 lub 3 lub 4 miejsca zerowe Zapisanie, że mimo poprawienia błędu w tej tabeli umieszczone (poprawnie wskazuje dwie różne liczby miejsc w niej dane nie pozwalają stwierdzić dokładnie ile miejsc zerowych zerowych, ale nie pokazuje, jak wygląda wykres 8.2 3 ma funkcja f: mogą być 2, 3 albo 4 miejsca zerowe funkcji). (zdający sporządza rysunki lub przedstawia słowne uzasadnienie). 3 pkt jeśli poda odpowiedź i narysuje dwa wykresy lub pokazuje, że np. w przedziale (3, +∞) funkcja może mieć 0 miejsc zerowych lub 1 miejsce zerowe. 14 Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony [Dalsza część schematu, doklejona przez ekstrakcję, należy do kolejnego zadania z arkusza i została usunięta.]

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Szkic wykresu: na \(\langle-8,-3\rangle\) funkcja maleje od \(f(-8)=0\) do minimum lokalnego \(f(-3)=-2\); na \(\langle-3,-1\rangle\) rośnie do maksimum lokalnego \(f(-1)=1\), przecinając oś \(Ox\) w punkcie \(x=-2\); na \(\langle-1,0\rangle\) maleje do \(f(0)=0\). Część dla \(x\in\langle0,8\rangle\) otrzymujemy przez symetrię względem początku układu współrzędnych (funkcja nieparzysta): maleje do minimum \(f(1)=-1\), rośnie do maksimum \(f(3)=2\) z miejscem zerowym \(x=2\), a następnie maleje do \(f(8)=0\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy strategię. Wszystkie podane informacje o pochodnej i wartościach dotyczą wyłącznie przedziału \(\langle-8,0\rangle\), a naszkicować mamy wykres na \(\langle-8,8\rangle\). To znaczy, że najpierw rysujemy lewą połowę wprost z danych, a prawą połowę dorysowujemy, korzystając z nieparzystości funkcji. Znak pochodnej mówi o monotoniczności: \(f^{\prime}\lt 0\) — funkcja maleje, \(f^{\prime}\gt 0\) — funkcja rośnie. **Krok \(2\).** Odczytujemy monotoniczność lewej połowy: \[\text{maleje na }\langle-8,-3\rangle,\qquad\text{rośnie na }\langle-3,-1\rangle,\qquad\text{maleje na }\langle-1,0\rangle.\] **Krok \(3\).** Zaznaczamy podane punkty: \((-8,0)\), \((-3,-2)\), \((-2,0)\), \((-1,1)\). Z monotoniczności wynika, że \((-3,-2)\) to minimum lokalne, a \((-1,1)\) to maksimum lokalne. **Krok \(4\).** Dokładamy wartość w zerze. Funkcja nieparzysta spełnia \(f(-x)=-f(x)\); dla \(x=0\) daje to \(f(0)=-f(0)\), czyli \(2f(0)=0\), a więc \(f(0)=0\). Wykres przechodzi przez początek układu współrzędnych. **Krok \(5\).** Rysujemy lewą połowę: gładka krzywa startuje w \((-8,0)\), opada do minimum \((-3,-2)\), rośnie przecinając oś \(Ox\) w \((-2,0)\) aż do maksimum \((-1,1)\), a następnie opada do \((0,0)\). **Krok \(6\).** Wykorzystujemy nieparzystość do dorysowania prawej połowy. Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem POCZĄTKU układu współrzędnych (symetria środkowa), a więc punktowi \((x,y)\) odpowiada punkt \((-x,-y)\). **Krok \(7\).** Odbijamy charakterystyczne punkty: \[(-8,0)\mapsto(8,0),\quad(-3,-2)\mapsto(3,2),\quad(-2,0)\mapsto(2,0),\quad(-1,1)\mapsto(1,-1).\] **Krok \(8\).** Ustalamy monotoniczność prawej połowy. Symetria środkowa zmienia znak zarówno \(x\), jak i \(y\), więc RODZAJ monotoniczności się nie zmienia: skoro na \(\langle-1,0\rangle\) funkcja maleje, to na \(\langle0,1\rangle\) też maleje; skoro na \(\langle-3,-1\rangle\) rośnie, to na \(\langle1,3\rangle\) rośnie; skoro na \(\langle-8,-3\rangle\) maleje, to na \(\langle3,8\rangle\) maleje. **Krok \(9\).** Rysujemy prawą połowę: z \((0,0)\) krzywa opada do minimum lokalnego \((1,-1)\), rośnie przecinając oś \(Ox\) w \((2,0)\) do maksimum lokalnego \((3,2)\), po czym opada do \((8,0)\). Ponieważ funkcja jest ciągła, obie połowy łączą się w \((0,0)\) w jedną krzywą. **Uwaga.** Częsty błąd to potraktowanie symetrii środkowej tak, jakby odwracała monotoniczność (czyli narysowanie prawej połowy jako lustrzanego odbicia w osi \(Oy\) — to byłoby dobre dla funkcji PARZYSTEJ). Przy funkcji nieparzystej odbijamy przez punkt \((0,0)\) i przedział, na którym funkcja malała, przechodzi na przedział, na którym też maleje. **Odpowiedź.** Szkic wykresu: na \(\langle-8,-3\rangle\) funkcja maleje od \(f(-8)=0\) do minimum lokalnego \(f(-3)=-2\); na \(\langle-3,-1\rangle\) rośnie do maksimum lokalnego \(f(-1)=1\), przecinając oś \(Ox\) w punkcie \(x=-2\); na \(\langle-1,0\rangle\) maleje do \(f(0)=0\). Część dla \(x\in\langle0,8\rangle\) otrzymujemy przez symetrię względem początku układu współrzędnych (funkcja nieparzysta): maleje do minimum \(f(1)=-1\), rośnie do maksimum \(f(3)=2\) z miejscem zerowym \(x=2\), a następnie maleje do \(f(8)=0\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 21.** (\(5\) pkt) W trakcie badania przebiegu zmienności funkcji ustalono, że funkcja \(f\) ma następujące własności: – jej dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, – \(f\) jest funkcją nieparzystą, – \(f\) jest funkcją ciągłą oraz: \(f'(x)<0\) dla \(x\in(-8,-3)\), \(f'(x)>0\) dla \(x\in(-3,-1)\), \(f'(x)<0\) dla \(x\in(-1,0)\), \(f'(-3)=f'(-1)=0\), \(f(-8)=0\), \(f(-3)=-2\), \(f(-2)=0\), \(f(-1)=1\). W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie naszkicuj wykres funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-8,8\rangle\), wykorzystując podane powyżej informacje o jej własnościach. (wykres funkcji \(f\)) | Nr czynności | 21.1. | 21.2. | 21.3. | |---|---:|---:|---:| | Maks. liczba pkt | \(1\) | \(2\) | \(2\) |

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Funkcja \(f\) maleje w przedziałach \((-\infty,-4\rangle\) oraz \(\langle0,4\rangle\). b) Maksimum lokalne dla \(x=0\), bo \(f'(0)=0\) i pochodna zmienia w tym punkcie znak z dodatniego na ujemny. c) \(y=-2x+4\).

**Krok \(1\).** Najważniejsze jest to, co przedstawia rysunek: jest to wykres pochodnej \(f'\), a nie samej funkcji \(f\). Wszystkie odpowiedzi odczytujemy więc pośrednio — o monotoniczności \(f\) decyduje znak \(f'\), o ekstremach lokalnych decydują miejsca, w których \(f'\) zeruje się i zmienia znak, a współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu \(f\) jest wartość \(f'\) w punkcie styczności. **Krok \(2\).** Odczytujemy z wykresu miejsca zerowe pochodnej: \(f'(x)=0\) dla \(x=-4\), \(x=0\) oraz \(x=4\). Między nimi pochodna ma stały znak: jest ujemna dla \(x\lt-4\), dodatnia na przedziale \((-4,0)\), ujemna na \((0,4)\) i znów dodatnia dla \(x\gt4\). **Krok \(3\).** a) Funkcja \(f\) jest malejąca dokładnie tam, gdzie \(f'\lt0\); końce takich przedziałów, w których pochodna zeruje się tylko w pojedynczym punkcie, dołączamy, bo funkcja pozostaje tam malejąca. Z kroku \(2\) otrzymujemy maksymalne przedziały \[(-\infty,-4\rangle\qquad\text{oraz}\qquad\langle0,4\rangle.\] **Krok \(4\).** b) Maksimum lokalne funkcja przyjmuje w punkcie, w którym pochodna się zeruje i zmienia znak z dodatniego na ujemny — wtedy funkcja przestaje rosnąć i zaczyna maleć. Sprawdzamy kolejno trzy miejsca zerowe: w \(x=-4\) pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni (to minimum lokalne), w \(x=4\) tak samo z ujemnego na dodatni (znowu minimum lokalne), a w \(x=0\) z dodatniego na ujemny. **Krok \(5\).** Zatem funkcja \(f\) osiąga maksimum lokalne dla \(x=0\): spełniony jest warunek konieczny \(f'(0)=0\) oraz warunek wystarczający, czyli zmiana znaku pochodnej z dodatniego na ujemny. **Krok \(6\).** c) Styczna do wykresu \(f\) w punkcie \(A=(x_0,y_0)\) ma równanie \[y=f'(x_0)(x-x_0)+y_0.\] Tutaj \(x_0=1\) oraz \(y_0=2\), więc potrzebujemy jeszcze wartości \(f'(1)\). **Krok \(7\).** Z wykresu pochodnej odczytujemy \(f'(1)=-2\). Jest to współczynnik kierunkowy szukanej stycznej. **Krok \(8\).** Podstawiamy do wzoru: \[y=-2(x-1)+2=-2x+2+2=-2x+4.\] Sprawdzenie: dla \(x=1\) otrzymujemy \(y=-2+4=2\), więc styczna faktycznie przechodzi przez punkt \(A=(1,2)\). **Uwaga.** Najgroźniejszy błąd w tym zadaniu to potraktowanie narysowanej krzywej jak wykresu \(f\) — wtedy jako odpowiedź do b) podaje się miejsce maksimum widocznej krzywej (około \(x=-2{,}3\)), co jest błędem. Zapamiętaj: na rysunku jest \(f'\), więc maksimum lokalne funkcji \(f\) leży tam, gdzie narysowana krzywa przecina oś \(Ox\), schodząc z góry na dół. **Odpowiedź.** a) Funkcja \(f\) maleje w przedziałach \((-\infty,-4\rangle\) oraz \(\langle0,4\rangle\). b) Maksimum lokalne dla \(x=0\), bo \(f'(0)=0\) i pochodna zmienia w tym punkcie znak z dodatniego na ujemny. c) \(y=-2x+4\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **17.1. (1 pkt)** – […] malejąca: \((-\infty;\,-4\rangle\), \(\langle 0;\,4\rangle\). **17.2. (2 pkt)** – stwierdzenie, że funkcja osiąga maksimum dla \(x=0\), podanie warunku koniecznego i warunku wystarczającego istnienia maksimum. **17.3. (2 pkt)** – napisanie równania kierunkowego stycznej w punkcie \(A\): \(y=-2x+4\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(c=8\), więc \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+8\); w przedziale \(\langle-1,3\rangle\) wartość największa to \(f(0)=8\), a najmniejsza to \(f(3)=-19\). b) Funkcja rośnie w przedziale \((-\infty,0\rangle\) oraz w przedziale \(\langle4,+\infty)\), a maleje w przedziale \(\langle0,4\rangle\).

**Krok \(1\).** Z warunku \(f(0)=8\) mam \(0^{3}-6\cdot0^{2}+c=8\), czyli \(c=8\). Zatem \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+8\). **Krok \(2\).** Obliczam pochodną: \[f'(x)=3x^{2}-12x=3x(x-4).\] Miejsca zerowe pochodnej to \(x=0\) oraz \(x=4\). **Krok \(3\).** W przedziale \(\langle-1,3\rangle\) leży tylko jedno miejsce zerowe pochodnej: \(x=0\). Wartość największą i najmniejszą wybieram spośród wartości funkcji na końcach przedziału oraz w tym punkcie. **Krok \(4\).** Obliczam: \(f(-1)=-1-6+8=1\), \(f(0)=8\), \(f(3)=27-54+8=-19\). **Krok \(5\).** Największą wartością funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-1,3\rangle\) jest \(8\) (dla \(x=0\)), a najmniejszą \(-19\) (dla \(x=3\)). **Krok \(6\).** Badam znak pochodnej w całym zbiorze \(\mathbb{R}\): \(f'(x)\gt0\) dla \(x\in(-\infty,0)\cup(4,+\infty)\) oraz \(f'(x)\lt0\) dla \(x\in(0,4)\). **Odpowiedź.** \(c=8\); w przedziale \(\langle-1,3\rangle\) wartość największa wynosi \(f(0)=8\), a najmniejsza \(f(3)=-19\). Funkcja \(f\) rośnie w przedziale \((-\infty,0\rangle\) oraz w przedziale \(\langle4,+\infty)\), a maleje w przedziale \(\langle0,4\rangle\).

**1. (1 pkt)** – Badanie znaku pochodnej: \(f'(x)>0\Leftrightarrow x\in(-\infty,0)\cup(4,\infty)\), \(f'(x)<0\Leftrightarrow x\in(0,4)\) (wystarczy gdy zdający poda zbiór, w którym pochodna jest dodatnia albo ujemna). **2. (1 pkt)** – Podanie przedziałów monotoniczności funkcji: funkcja rośnie w przedziale \((-\infty,0)\) oraz w przedziale \((4,\infty)\), funkcja maleje w przedziale \((0,4)\). (nie przyznajemy punktu w przypadku stwierdzenia, że funkcja rośnie w sumie przedziałów).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Styczna ma równanie \(y=\frac58\). b) Funkcja \(f\) osiąga minimum dla \(x=3\) i \(f_{\min}=f(3)=-1\). c) Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(-1\).

**Krok \(1\).** Zadanie łączy dwa źródła informacji: tabelę z trzema wartościami funkcji \(f\) i wykres jej pochodnej. Kluczowa myśl jest taka, że wykres pochodnej nie mówi nam nic o wartościach \(f\) — te bierzemy wyłącznie z tabeli — natomiast mówi wszystko o nachyleniu wykresu \(f\) i o monotoniczności. **Krok \(2\).** Podpunkt a). Styczna do wykresu funkcji \(f\) w punkcie o odciętej \(x_0\) ma równanie \[y=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0).\] Potrzebujemy więc dwóch liczb: \(f(0)\) oraz \(f^{\prime}(0)\). **Krok \(3\).** Wartość \(f(0)=\frac58\) odczytujemy z tabeli. Wartość \(f^{\prime}(0)\) odczytujemy z wykresu pochodnej: dla \(x=0\) wykres pochodnej przechodzi przez oś \(Ox\), czyli \(f^{\prime}(0)=0\). **Krok \(4\).** Podstawiamy do wzoru na styczną: \[y=\tfrac58+0\cdot(x-0)=\tfrac58.\] Styczna jest prostą poziomą — to naturalne, skoro nachylenie wykresu w tym punkcie jest zerowe. **Krok \(5\).** Podpunkt b). Funkcja ma ekstremum tam, gdzie jej pochodna zmienia znak. Patrzymy więc na wykres pochodnej i szukamy miejsc, w których przechodzi ona z jednej strony osi \(Ox\) na drugą. **Krok \(6\).** Z wykresu widać, że \(f^{\prime}(x)\leqslant0\) dla \(x\in(-3,3)\) oraz \(f^{\prime}(x)\gt0\) dla \(x\in(3,4)\). Pochodna zmienia znak z minusa na plus tylko w punkcie \(x=3\), więc \(f\) ma tam minimum lokalne (i jest to jedyne ekstremum tej funkcji). **Krok \(7\).** Wartości minimum nie odczytamy z wykresu pochodnej — bierzemy ją z tabeli: \(f(3)=-1\). Zatem \(f_{\min}=f(3)=-1\) dla argumentu \(x=3\). **Krok \(8\).** Podpunkt c). Skoro \(f^{\prime}(x)\leqslant0\) na \((-3,3\rangle\), to funkcja jest tam malejąca, a skoro \(f^{\prime}(x)\gt0\) na \(\langle3,4)\), to dalej rośnie. Najmniejszą wartość przyjmuje więc dokładnie w punkcie zwrotnym, czyli w \(x=3\), i jest ona równa \(-1\). **Uwaga.** To, że \(f^{\prime}(0)=0\), nie oznacza jeszcze ekstremum w zerze. Warunek \(f^{\prime}(x_0)=0\) jest tylko konieczny — potrzebna jest jeszcze zmiana znaku pochodnej. Tutaj pochodna dotyka osi w \(x=0\), ale znaku nie zmienia (podobnie jak dla funkcji \(y=x^3\) w zerze), więc funkcja cały czas maleje i ekstremum tam nie ma. **Odpowiedź.** a) \(y=\frac58\). b) Minimum \(f_{\min}=f(3)=-1\) dla \(x=3\). c) Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(-1\).

**1. (2 pkt)** – wykonanie polecenia a). Odp. \(y=\frac{5}{8}\). Za podanie współczynnika kierunkowego stycznej lub wartości pochodnej funkcji \(f\) dla \(x=0\) przyznajemy \(1\) punkt. **2. (1 pkt)** – podanie argumentu, dla którego funkcja \(f\) osiąga minimum. Odp. \(x=3\) **3. (1 pkt)** – podanie minimum funkcji \(f\). Odp. \(f_{\min}(3)=-1\) **4. (1 pkt)** – wykonanie polecenia c). Odp. Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(-1\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.