Ciąg arytmetyczny — wzór ogólny, różnica i suma początkowych wyrazów w zadaniach maturalnych

C. −\(22\)

Różnica ciągu arytmetycznego to różnica dwóch kolejnych wyrazów, więc \(r=a_3-a_2=-6\). Ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\) otrzymujemy \[a_5=2+4\cdot(-6)=2-24=-22.\] **Odpowiedź.** **C.** \(a_5=-22\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.3) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu arytmetycznego.

Niech r będzie różnicą ciągu. Z równania \(7\) + (\(7\) + r) + (\(7\) + \(2r\)) + (\(7\) + \(3r\)) = \(54\) otrzymujemy \(28\) + \(6r\) = \(54\), więc r = \(\frac{13}{3}\). Zatem \(a_{2}\) = \(\frac{7 + 13}{3 = 34}\)/\(3\).

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu. Kolejne wyrazy to \(7\), \(7+r\), \(7+2r\) oraz \(7+3r\), więc warunek na sumę daje \[7+(7+r)+(7+2r)+(7+3r)=54,\qquad 28+6r=54,\qquad 6r=26,\qquad r=\frac{13}3.\] Drugi wyraz jest zatem równy \[a_2=7+\frac{13}3=\frac{21+13}{3}=\frac{34}3.\] **Odpowiedź.** \(a_2=\frac{34}3\)

1 pkt: zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą albo obliczenie a₃ = 47/3 lub a₄ = 20. 2 pkt: poprawna metoda i wynik a₂ = 34/3.

IV. Rozumowanie i argumentacja. VI.5) Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(-1\,026\,168\).

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu, a przez \(n\) liczbę jego wyrazów. Wyrazy drugi, trzeci i szósty to \(1+r\), \(1+2r\) oraz \(1+5r\). Tworzą one ciąg geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych: \[(1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r),\qquad 1+4r+4r^{2}=1+6r+5r^{2},\qquad r^{2}+2r=0.\] Stąd \(r=0\) albo \(r=-2\). Dla \(r=0\) wszystkie wyrazy byłyby równe \(1\), a ostatni ma być równy \(-2025\); ten przypadek odpada. Zostaje \(r=-2\). Liczbę wyrazów wyznaczamy z warunku na wyraz ostatni: \[a_n=1+(n-1)\cdot(-2)=-2025,\qquad (n-1)\cdot(-2)=-2026,\qquad n=1014.\] Wartość \(n=1014>6\) spełnia warunek z treści zadania. Sumę obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\): \[S_{1014}=\frac{(1-2025)\cdot1014}{2}=\frac{-2024\cdot1014}{2}=-1012\cdot1014=-1\,026\,168.\] **Odpowiedź.** \(S=-1\,026\,168\)

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((-1\,026\,168)\). **3 pkt** – obliczenie liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego: \(n=1014\). **2 pkt** – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(r\): \(r=0\) oraz \(r=-2\) ALBO – obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego \((a_n)\) spełniającej warunki zadania: \(r=-2\), ALBO – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(q\): \(q=1\) oraz \(q=3\), ALBO – obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego \((a_2,a_3,a_6)\) spełniającego warunki zadania: \(q=3\), ALBO – obliczenie/zapisanie, że ciąg \((a_2,a_3,a_6)\) nie jest stały i rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\): \(a_2=-1\), ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(n\), np. \[\left(1+2\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)^{2}=\left(1+\frac{-2026}{n-1}\right)\left(1+5\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)\] **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \((1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r)\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\), np. \(3q-3=q^{2}-q\), ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\), np. \(a_2=1+2a_2\) (dla sposobu III), ALBO – wyznaczenie różnicy ciągu \((a_n)\) w zależności od liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\): \(r=\frac{-2026}{n-1}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z ciągiem geometrycznym, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający stosuje błędny wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma wartość \(n\), która nie jest liczbą naturalną, to może otrzymać \(2\) punkty za całe rozwiązanie (traktujemy to jak obliczenie liczby wyrazów ciągu arytmetycznego z błędem rachunkowym). Zdający nie otrzymuje punktu za obliczenie sumy wyrazów ciągu arytmetycznego. 4. a) Jeżeli zdający przyjmie, że \(r=-2\) i sprawdzi rachunkiem, że ta wartość spełnia warunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyna wartość \(r\) spełniająca warunki zadania, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie \(n\) oraz za obliczenie sumy). b) Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że \(r=-2\) i na tym opiera swoje rozwiązanie, to otrzymuje \(0\) punktów.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.7) Zdający wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(-1\,026\,168\).

**Krok \(1\).** Metoda: warunek na trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego (kwadrat środkowego równy iloczynowi skrajnych) zapisujemy dla wyrazów ciągu arytmetycznego wyrażonych przez \(a_{1}=1\) i różnicę \(r\). **Krok \(2\).** Ze wzoru \(a_{n}=1+(n-1)r\): \[a_{2}=1+r,\qquad a_{3}=1+2r,\qquad a_{6}=1+5r.\] **Krok \(3\).** Warunek geometryczności: \[(1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r),\qquad 1+4r+4r^{2}=1+6r+5r^{2},\qquad r^{2}+2r=0.\] **Krok \(4\).** Stąd \(r(r+2)=0\), czyli \(r=0\) lub \(r=-2\). Dla \(r=0\) wszystkie wyrazy byłyby równe \(1\), a ostatni ma być równy \(-2025\) — sprzeczność. Zostaje \(r=-2\). **Krok \(5\).** Sprawdzamy: dla \(r=-2\) mamy \(a_{2}=-1\), \(a_{3}=-3\), \(a_{6}=-9\), a ciąg \((-1,-3,-9)\) jest geometryczny o ilorazie \(3\). **Krok \(6\).** Wyznaczamy liczbę wyrazów z warunku \(a_{n}=-2025\): \[-2025=1+(n-1)\cdot(-2),\qquad -2026=-2(n-1),\qquad n-1=1013,\qquad n=1014.\] Warunek \(n\gt 6\) jest spełniony. **Krok \(7\).** Suma ciągu arytmetycznego: \[S_{1014}=\frac{a_{1}+a_{1014}}{2}\cdot 1014=\frac{1+(-2025)}{2}\cdot 1014=-1012\cdot 1014.\] **Krok \(8\).** Obliczamy: \(1012\cdot 1014=1012\cdot 1000+1012\cdot 14=1\,012\,000+14\,168=1\,026\,168\). **Uwaga.** Wartość \(r=0\) formalnie spełnia równanie z Kroku \(3\) (ciąg stały jest geometryczny), ale przeczy warunkowi na ostatni wyraz — trzeba ją jawnie odrzucić. **Odpowiedź.** Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(-1\,026\,168\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \((1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r)\) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\), np. \(3q-3=q^{2}-q\), ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\), np. \(a_2=1+2a_2\) (dla sposobu III), ALBO wyznaczenie różnicy ciągu \((a_n)\) w zależności od liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\): \(r=\frac{-2026}{n-1}\). **2 pkt** – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(r\): \(r=0\) oraz \(r=-2\) ALBO obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego \((a_n)\) spełniającej warunki zadania: \(r=-2\), ALBO rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(q\): \(q=1\) oraz \(q=3\), ALBO obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego \((a_2,a_3,a_6)\) spełniającego warunki zadania: \(q=3\), ALBO obliczenie/zapisanie, że ciąg \((a_2,a_3,a_6)\) nie jest stały i rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\): \(a_2=-1\), ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(n\), np. \(\left(1+2\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)^{2}=\left(1+\frac{-2026}{n-1}\right)\left(1+5\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)\). **3 pkt** – obliczenie liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego: \(n=1014\). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((-1\,026\,168)\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z ciągiem geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający stosuje błędny wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma wartość \(n\), która nie jest liczbą naturalną, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie (traktujemy to jak obliczenie liczby wyrazów ciągu arytmetycznego z błędem rachunkowym). Zdający nie otrzymuje punktu za obliczenie sumy wyrazów ciągu arytmetycznego. 4. a) Jeżeli zdający przyjmie, że \(r=-2\) i sprawdzi rachunkiem, że ta wartość spełnia warunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyna wartość \(r\) spełniająca warunki zadania, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie \(n\) oraz za obliczenie sumy). 4. b) Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że \(r=-2\) i na tym opiera swoje rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów.

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; 5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

B. \(33\)

W ciągu arytmetycznym \(a_n=a_1+(n-1)r\). Z warunku \(a_5=17\) otrzymujemy \[1+4r=17,\qquad 4r=16,\qquad r=4.\] Zatem \(a_9=a_1+8r=1+8\cdot4=33\). **Odpowiedź.** **B.** \(a_9=33\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.5) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu arytmetycznego.

\[x=-3\quad\text{lub}\quad x=3.\]

Obliczamy \[a_5=\frac{3\cdot5+9}{5+1}=4.\] Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną skrajnych: \[2x^2=\frac{4+(3x^2+5)}{2}.\] Stąd \(4x^2=3x^2+9\), więc \(x^2=9\). Zatem \[x=-3\quad\text{lub}\quad x=3.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wynik: \(x=-3\) oraz \(x=3\) **2 pkt** – zapisanie poprawnego równania wynikającego z własności ciągu arytmetycznego **1 pkt** – obliczenie \(a_5=4\) **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** VI.1) Zdający oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. VI.7) Zdający wykorzystuje własności ciągów arytmetycznych do rozwiązywania zadań.

**C.** \(10\,400\)

Ciąg jest arytmetyczny: \(a_1=5\), \(r=2\), zatem \(a_{100}=203\). Stąd \[S_{100}=\frac{100(5+203)}2=10\,400.\] Poprawna jest odpowiedź **C**.

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** VI.4) Zdający rozpoznaje ciąg arytmetyczny. VI.5) Zdający stosuje wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. VI.7) Zdający wykorzystuje własności ciągów arytmetycznych.

Niech \(a_1\) będzie pierwszym, a \(a_{25}\) ostatnim wyrazem ciągu. Z warunku \(a_{25}=17a_1\) oraz wzoru na sumę otrzymujemy \[2025=S_{25}=\frac{25(a_1+a_{25})}{2}=\frac{25\cdot18a_1}{2}=225a_1.\] Stąd \(a_1=9\).

Oznaczmy pierwszy wyraz przez \(a_1\). Z warunku \(a_{25}=17a_1\) i ze wzoru na sumę \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\) otrzymujemy \[2025=S_{25}=\frac{(a_1+17a_1)\cdot25}{2}=\frac{18a_1\cdot25}{2}=225a_1.\] Stąd \[a_1=\frac{2025}{225}=9.\] **Odpowiedź.** \(a_1=9\)

1 pkt: zapisanie równania, np. 25(a₁+17a₁)/2=2025, albo równoważnego układu. 2 pkt: poprawna metoda i a₁=9.

Wymaganie ogólne: IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymaganie szczegółowe: 5.3) Stosuje wzór na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

**A.** \(a_{25}=a_1+24r\), więc \(2=52+24r\). Stąd \(r=-\frac{50}{24}=-\frac{25}{12}\).

Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{25}=a_1+24r\), więc \[2=52+24r,\qquad 24r=-50,\qquad r=-\frac{50}{24}=-\frac{25}{12}.\] **Odpowiedź.** **A.** \(r=-\frac{25}{12}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: VI.5) Stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

**A.** \[S_{25}=\frac{25(a_1+a_{25})}{2}=\frac{25(52+2)}{2}=675.\]

Sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\). Dla \(n=25\) otrzymujemy \[S_{25}=\frac{(52+2)\cdot25}{2}=\frac{54\cdot25}{2}=27\cdot25=675.\] **Odpowiedź.** **A.** \(S_{25}=675\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: VI.5) Stosuje wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=4\).

Dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\) mamy \[a_{n+1}=4(n+1)-9=4n-5.\] Obliczamy różnicę kolejnych wyrazów: \[a_{n+1}-a_n=(4n-5)-(4n-9)=4.\] Różnica jest stała i nie zależy od \(n\), więc ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=4\).

**2 pkt** – pełne rozumowanie wykazujące, że różnica kolejnych wyrazów jest stała i nie zależy od \(n\) **1 pkt** – zapisanie różnicy \(a_{n+1}-a_n=4(n+1)-9-(4n-9)\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań i podawanie argumentów uzasadniających ich poprawność. **Wymagania szczegółowe:** VI.4) Zdający sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny. VI.7) Wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych, do rozwiązywania zadań.

Warunek arytmetyczności daje \[2(m^{2}+3)=(2m+11)+(5-m),\] \[2m^{2}-m-10=0,\qquad (2m-5)(m+2)=0.\] Stąd \(m=\frac52\) lub \(m=-2\). Dla \(m=-2\) ciąg jest stały: \((7,7,7)\). Dla \(m=\frac52\) otrzymujemy ciąg malejący, więc \(m=\frac52\).

**Krok \(1\).** Zadanie stawia dwa warunki naraz: ciąg ma być arytmetyczny i ma być malejący. Zaczynamy od arytmetyczności, bo daje ona równanie, a warunek malejącości wykorzystamy na końcu do odsiania niepasujących wartości \(m\). **Krok \(2\).** W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiadów, czyli podwojony wyraz środkowy równa się sumie skrajnych: \[2\left(m^2+3\right)=(2m+11)+(5-m).\] **Krok \(3\).** Porządkujemy prawą stronę: \((2m+11)+(5-m)=m+16\). Zatem \[2m^2+6=m+16.\] **Krok \(4\).** Przenosimy wszystko na lewą stronę: \[2m^2-m-10=0.\] **Krok \(5\).** Obliczamy wyróżnik i pierwiastki: \[\Delta=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-10)=1+80=81,\qquad\sqrt{\Delta}=9,\] \[m=\frac{1-9}{4}=-2\qquad\text{lub}\qquad m=\frac{1+9}{4}=\frac52.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy pierwszą wartość. Dla \(m=-2\) wyrazy ciągu to \(2\cdot(-2)+11=7\), \((-2)^2+3=7\) oraz \(5-(-2)=7\), czyli ciąg \((7,7,7)\). Jest arytmetyczny (różnica \(0\)), ale stały, a więc nie jest malejący — tę wartość odrzucamy. **Krok \(7\).** Sprawdzamy drugą wartość. Dla \(m=\frac52\) wyrazy to \[2\cdot\tfrac52+11=16,\qquad \left(\tfrac52\right)^2+3=\tfrac{25}{4}+3=\tfrac{37}{4},\qquad 5-\tfrac52=\tfrac52.\] Różnica ciągu wynosi \(\frac{37}{4}-16=-\frac{27}{4}\) i tyle samo \(\frac52-\frac{37}{4}=-\frac{27}{4}\). Jest ujemna, więc ciąg \(\left(16,\ \frac{37}{4},\ \frac52\right)\) jest arytmetyczny i malejący. **Krok \(8\).** Ponieważ równanie z kroku \(4\) miało tylko dwa pierwiastki, a jeden odpadł, jedyną szukaną wartością jest \(m=\frac52\). **Uwaga.** Sam warunek arytmetyczności nie wystarcza — daje dwie wartości \(m\). Ciąg stały jest arytmetyczny, ale nie jest malejący (malejący wymaga różnicy ujemnej, a nie zerowej), dlatego \(m=-2\) trzeba wyraźnie odrzucić, pokazując wyrazy ciągu. **Odpowiedź.** \(m=\frac52\).

**3 pkt** – obliczenie i uzasadnienie, że jedyną wartością \(m\), dla której ciąg \((2m+11,\ m^2+3,\ 5-m)\) jest arytmetyczny i malejący jest \(\tfrac{5}{2}\). **2 pkt** – wyznaczenie wartości \(m\), dla których ciąg \((2m+11,\ m^2+3,\ 5-m)\) jest arytmetyczny: \(m=-2\) oraz \(m=\tfrac{5}{2}\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(m\), np.: \(\tfrac{2m+11+5-m}{2}\) […], \((m^2+3)-(2m+11)=(5-m)-(m^2+3)\), oraz rozwiązanie co najmniej jednej z trzech nierówności: \(2m+11>m^2+3\), \(2m+11>5-m\), […], ALBO – obliczenie wszystkich wartości \(r\), dla których ciąg \((2m+11,\ m^2+3,\ 5-m)\) jest arytmetyczny: \(r=-\tfrac{27}{4}\) lub \(r=0\), ALBO – obliczenie wartości \(r\), dla której ciąg \((2m+11,\ m^2+3,\ 5-m)\) jest arytmetyczny i malejący: \(r=-\tfrac{27}{4}\). **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(m\), np.: \(\tfrac{2m+11+5-m}{2}\) […], \((m^2+3)-(2m+11)=(5-m)-(m^2+3)\) ALBO – zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć \(m\) i \(r\), np. \(m^2+3=2m+11+r\) oraz \(5-m=2m+11+2r\), ALBO – rozwiązanie co najmniej jednej z trzech nierówności: \(2m+11>m^2+3\), \(2m+11>5-m\), […], \(m\in(-2,4)\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za rozwiązanie nierówności \(2m+11>m^2+3\)). 2. Jeżeli zdający nie uwzględnia istotnych nawiasów i rozwiązuje równanie postaci \((m^2+3)-2m+11=(5-m)-m^2+3\), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za rozwiązanie nierówności \(2m+11>m^2+3\)). 3. Jeżeli zdający zapisze tylko \(m=\tfrac{5}{2}\), to otrzymuje 0 punktów. Natomiast jeżeli zdający dodatkowo sprawdzi, zapisując odpowiednie obliczenia, że dla tej wartości \(m\) spełnione są warunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 4. Jeżeli zdający wyznaczy wartości \(m\), dla których ciąg \((2m+11,\ m^2+3,\ 5-m)\) jest arytmetyczny: \(m=-2\) oraz \(m=\tfrac{5}{2}\), i zapisze, że dla \(m=-2\) ciąg nie jest malejący, to otrzymuje 3 punkty. 5. Jeżeli zdający wyznaczy wartości \(m\), dla których ciąg \((2m+11,\ m^2+3,\ 5-m)\) jest arytmetyczny: \(m=-2\) oraz \(m=\tfrac{5}{2}\), a następnie obliczy dla każdej z tych wartości \(m\) wyrazy ciągu i nie wskaże, że \(m=\tfrac{5}{2}\) jest jedyną szukaną wartością, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.

**Wymaganie ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, równiež w sytuacjach nietypowych. **Wymaganie szczegółowe:** VI.7) wykorzystuje własności ciągów [. . ] arytmetycznych do rozwiązywania zadań

**B.** \(a_6=a_{10}-4r=-24-4(-4)=-8\).

Wyrazy \(a_6\) i \(a_{10}\) różnią się o cztery kroki, więc \(a_{10}=a_6+4r\), czyli \(a_6=a_{10}-4r\). Podstawiamy dane: \[a_6=-24-4\cdot(-4)=-24+16=-8.\] **Odpowiedź.** **B.** \(a_6=-8\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.5) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu arytmetycznego.

Najpierw \[a_6=\frac{32\cdot(-1)^6}{2^5}=1.\] Warunek arytmetyczności ciągu \((x,1,2x+10)\) daje \(2=x+(2x+10)\), więc \(x=-\frac83\). Różnica wynosi \[r=1-x=1+\frac83=\frac{11}{3}.\]

Najpierw wyznaczamy szósty wyraz ciągu \((a_n)\). Wykładnik \(6\) jest parzysty, więc \((-1)^{6}=1\): \[a_6=\frac{32\cdot(-1)^{6}}{2^{5}}=\frac{32}{32}=1.\] W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych, więc dla trójki \((x,1,2x+10)\) \[2\cdot1=x+(2x+10),\qquad 2=3x+10,\qquad 3x=-8,\qquad x=-\frac83.\] Różnica tego ciągu arytmetycznego wynosi \[r=1-x=1+\frac83=\frac{11}3.\] **Odpowiedź.** \(x=-\frac83\), \(r=\frac{11}3\)

1 pkt: obliczenie a₆ = 1 albo zapisanie poprawnej zależności wynikającej z arytmetyczności. 2 pkt: obliczenie a₆ = 1 i zapisanie równania, np. (x + 2x + 10)/2 = a₆. 3 pkt: obliczenie x = −8/3 albo r = 11/3. 4 pkt: poprawna metoda i oba wyniki: x = −8/3 oraz r = 11/3.

Wymaganie ogólne: IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymaganie szczegółowe: 5.1) Wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym; 5.3) stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

C. \(61\)

Różnica ciągu jest równa \(r=a_2-a_1=13-7=6\). Ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\) otrzymujemy \[a_{10}=7+9\cdot6=7+54=61.\] **Odpowiedź.** **C.** \(a_{10}=61\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu arytmetycznego.

B. x>\(0\) i y<\(0\)

Ciąg \((-1,2,x)\) jest arytmetyczny, więc wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych: \[2\cdot2=-1+x,\qquad x=5>0.\] Ciąg \((-1,2,y)\) jest geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych: \[2^{2}=(-1)\cdot y,\qquad y=-4<0.\] **Odpowiedź.** **B.** \(x>0\) i \(y<0\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.6) Zdający wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań […].

\[x=-2.\]

W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych, więc \[\frac{(4x^2-1)+(1-x)}{2}=2x^2+1.\] Stąd \[4x^2-x=4x^2+2,\] \[-x=2,\] \[x=-2.\]

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i otrzymanie wyniku \(x=-2\) **1 pkt** – zastosowanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie poprawnego równania, np. \(\frac{4x^2-1+1-x}{2}=2x^2+1\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.3) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

\[\left(32,4,\frac12\right).\]

Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu arytmetycznego \((a_n)\). Z warunku \[a_3+a_5=10\] otrzymujemy \[(a_1+2r)+(a_1+4r)=10,\] \[2a_1+6r=10,\qquad a_1=5-3r.\] Ponieważ \((2a_1+4,a_4-1,-\frac18a_7)\) jest ciągiem geometrycznym, zachodzi \[(a_4-1)^2=\left(2a_1+4\right)\left(-\frac18a_7\right).\] Mamy \[a_4=a_1+3r=5,\qquad a_7=a_1+6r=5+3r.\] Zatem \[4^2=-\frac18(5+3r)(14-6r),\] \[16=-\frac18(3r+5)(14-6r),\] \[18r^2-12r-198=0.\] Po rozwiązaniu równania: \[r=-3\quad\text{lub}\quad r=\frac{11}{3}.\] Ciąg arytmetyczny jest malejący, więc \(r<0\), a zatem \(r=-3\). Wtedy \[a_1=5-3(-3)=14,\qquad a_4=5,\qquad a_7=-4.\] Szukany ciąg geometryczny ma wyrazy \[\left(2a_1+4,a_4-1,-\frac18a_7\right)=\left(32,4,\frac12\right).\]

**5 pkt** – odrzucenie przypadku \(r=\frac{11}{3}\) z uwagi na malejący ciąg arytmetyczny i obliczenie wyrazów ciągu geometrycznego \((32,4,\frac12)\) **4 pkt** – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą: \(r=-3\) oraz \(r=\frac{11}{3}\); albo równoważnie \(a_1=14\) oraz \(a_1=-6\) **3 pkt** – zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą \(a_1\) lub \(r\) **2 pkt** – zapisanie układu dwóch równań z niewiadomymi \(a_1\), \(r\); albo zapisanie związku \(4^2=-\frac18a_7(2a_1+4)\) **1 pkt** – zastosowanie własności ciągu geometrycznego \((a_4-1)^2=-\frac18a_7(2a_1+4)\); albo zastosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego; albo obliczenie \(a_4=5\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.7) Zdający wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań.

**D.** \(4\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy warunek na trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego: wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiadów. Wygodniej zapisać to bez ułamka — podwojony wyraz środkowy równa się sumie wyrazów skrajnych. **Krok \(2\).** Zapisujemy ten warunek dla naszego ciągu \((5m,\ 4+2m,\ m)\): \[2(4+2m)=5m+m.\] **Krok \(3\).** Wykonujemy mnożenie po lewej stronie i redukcję po prawej: \[8+4m=6m.\] **Krok \(4\).** Przenosimy wyrazy z niewiadomą na jedną stronę: \[8=6m-4m,\qquad 8=2m.\] **Krok \(5\).** Stąd \[m=4.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy. Dla \(m=4\) ciąg to \((20,\ 12,\ 4)\), a różnice kolejnych wyrazów wynoszą \(12-20=-8\) oraz \(4-12=-8\) — są równe, więc ciąg jest arytmetyczny. **Uwaga.** Ujemna różnica niczego nie psuje: ciąg malejący również jest arytmetyczny. Warunek można też zapisać w postaci \(a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}\), czyli \((4+2m)-5m=m-(4+2m)\) — prowadzi to do tego samego równania. **Odpowiedź.** D. \(m=4\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.7) Zdający wykorzystuje własności ciągów arytmetycznych do rozwiązywania zadań.

r = −\(2\). Z równań \(a_{1}\) + \(2r\) = −\(1\) oraz \(a_{1}\) + \(7r\) = −\(11\) otrzymujemy \(5r\) = −\(10\).

**Krok \(1\).** Ciąg arytmetyczny jest w pełni opisany przez dwie liczby: pierwszy wyraz \(a_1\) i różnicę \(r\). W treści są dokładnie dwie informacje, więc plan jest jasny: zapisujemy je jako dwa równania z niewiadomymi \(a_1\) i \(r\) i rozwiązujemy układ. **Krok \(2\).** Pierwsza informacja dotyczy trzeciego wyrazu. Ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\) mamy \[a_3=a_1+2r=-1.\] **Krok \(3\).** Druga informacja dotyczy sumy piętnastu początkowych wyrazów. Ze wzoru \(S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\) dla \(n=15\): \[S_{15}=\frac{2a_1+14r}{2}\cdot 15=15\left(a_1+7r\right).\] **Krok \(4\).** Przyrównujemy do wartości z treści i dzielimy przez \(15\): \[15\left(a_1+7r\right)=-165,\qquad a_1+7r=-11.\] **Krok \(5\).** Mamy układ \[\begin{cases}a_1+2r=-1\\ a_1+7r=-11\end{cases}\] Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego, co eliminuje \(a_1\): \[5r=-10.\] **Krok \(6\).** Stąd \[r=-2.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie. Z pierwszego równania \(a_1=-1-2r=-1+4=3\), więc ciąg to \(3,1,-1,-3,\ldots\). Wtedy \(a_3=-1\), a \(a_1+7r=3-14=-11\), czyli \(S_{15}=15\cdot(-11)=-165\). Zgadza się. **Uwaga.** Liczba \(-165\) to suma piętnastu wyrazów, a nie piętnasty wyraz. Warto też zauważyć wygodny skrót: \(a_1+7r\) to po prostu \(a_8\), czyli środkowy z piętnastu wyrazów, więc \(S_{15}=15a_8\) i od razu \(a_8=-11\). Wtedy z różnicy \(a_8-a_3=5r=-11-(-1)=-10\) dostajemy \(r=-2\) w jednym rachunku. **Odpowiedź.** Różnica tego ciągu jest równa \(r=-2\).

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie różnicy ciągu: \(r=-2\). **1 pkt** – zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć \(r\), np.: \(-1=a_{1}+2r\) oraz \(-165=\frac{[\ldots]+14r}{2}\cdot 15\), \(-1=a_{1}+2r\) oraz \(a_{15}=a_{1}+14r\) oraz \(-165=\frac{[\ldots]}{2}\cdot 15\), \(a_{3}=-1\) oraz \(-165=\frac{(a_{3}-2r)+(a_{3}+12r)}{2}\cdot 15\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np.: \(\frac{2(-1-2r)+14r}{2}\cdot 15=-165\), \(\frac{(-1-2r)+(-1+12r)}{2}\cdot 15=-165\) ALBO – obliczenie ósmego wyrazu ciągu \((a_{n})\) z wykorzystaniem własności ciągu arytmetycznego: \(a_{8}=-11\) (dla sposobów IV oraz V) ALBO – zapisanie kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu \((a_{n})\): \(3\), \(1\), \(-1\), \(-3\), \(-5\), \(-7\), \(-9\), \(-11\), \(-13\), \(-15\), \(-17\), \(-19\), \(-21\), \(-23\), \(-25\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów. 2. Jeżeli zdający zapisze tylko \(r=-2\), to otrzymuje \(1\) punkt za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę \((-165)\) jako piętnasty wyraz ciągu, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie.

**Wymaganie ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach n początkowych wyrazów ciągu nietypowych. **Wymaganie szczegółowe:** VI.4) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę arytmetycznego.

**\(A_{2}\).** Ciąg jest rosnący oraz \(m=2\).

W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych, więc \[2\cdot4=(2m-5)+9.\] Stąd \[8=2m+4,\qquad 2m=4,\qquad m=2.\] Ciąg ma wtedy postać \[(-1,4,9),\] a więc jest rosnący. Poprawny zestaw odpowiedzi to **\(A_{2}\)**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A2** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.2) Zdający w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący. VI.6) Zdający wykorzystuje własności ciągów [...] arytmetycznych [...] do rozwiązywania zadań [...].

B. \(2\)

W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich, więc \[2\cdot4=(2m-5)+9,\qquad 8=2m+4,\qquad 2m=4,\qquad m=2.\] Sprawdzenie: dla \(m=2\) ciąg ma postać \((-1,4,9)\) i jego różnica jest równa \(5\). **Odpowiedź.** **B.** \(m=2\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu arytmetycznego.

**B.** \(7\)

Trzeci wyraz jest różnicą sum trzech i dwóch początkowych wyrazów: \[a_3=S_3-S_2.\] Obliczamy \[S_3=3^2+2\cdot3=15,\qquad S_2=2^2+2\cdot2=8.\] Zatem \[a_3=15-8=7.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.1) Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. 5.3) Zdający stosuje wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Niech r oznacza różnicę ciągu. Mamy \(a_{2}\)=\(a_{1}\)+r, \(a_{3}\)=\(a_{1}\)+\(2r\) i \(a_{4}\)=\(a_{1}\)+\(3r\). Z warunku \(a_{1}\)+\(a_{2}\)=\(a_{3}\)+\(a_{4}\)+\(12\) wynika −\(4r\)=\(12\), więc r=−\(3\).

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu. Wtedy \(a_2=a_1+r\), \(a_3=a_1+2r\) oraz \(a_4=a_1+3r\). Warunek zadania zapisujemy jako \[a_1+a_2=(a_3+a_4)+12.\] Po podstawieniu \[2a_1+r=2a_1+5r+12,\qquad -4r=12,\qquad r=-3.\] Pierwszy wyraz się skrócił, więc warunek wyznacza samą różnicę. **Odpowiedź.** \(r=-3\)

1 pkt: zapisanie równania, z którego można obliczyć różnicę ciągu. 2 pkt: poprawna metoda i r=−3.

Wymaganie ogólne: III. Modelowanie matematyczne. Wymaganie szczegółowe: 5.3) stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

C. \(2\)

W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich, więc \[2\cdot4=1+(a+5),\qquad 8=a+6,\qquad a=2.\] Sprawdzenie: ciąg \((1,4,7)\) ma różnicę \(3\). **Odpowiedź.** **C.** \(a=2\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

**A.** \(a_6=24\)

Różnica ciągu arytmetycznego wynosi \[r=a_3-a_2=9-4=5.\] Od wyrazu \(a_3\) do \(a_6\) wykonujemy trzy kroki, więc \[a_6=a_3+3r=9+3\cdot5=24.\]

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; dobieranie i tworzenie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.4 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=4\).

Obliczamy różnicę kolejnych wyrazów: \[a_{n+1}-a_n=\bigl(4(n+1)-9\bigr)-(4n-9)=4.\] Różnica jest stała i nie zależy od \(n\), więc ciąg jest arytmetyczny, a jego różnica wynosi \(r=4\).

**2 pkt** – pełne rozumowanie: obliczenie stałej różnicy kolejnych wyrazów albo sprawdzenie własności trzech kolejnych wyrazów **1 pkt** – zapisanie \(a_{n+1}-a_n=4(n+1)-9-(4n-9)\) albo odpowiedniego związku dla trzech kolejnych wyrazów **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.2 i IV.1 tworzenie obiektów pomocniczych i przeprowadzanie rozumowań. **Wymagania szczegółowe:** VI.4 i VI.7 sprawdzanie, czy ciąg jest arytmetyczny, oraz wykorzystywanie własności ciągów.

\(750\text{ zł}\)

Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=-30\), a ich suma wynosi \(S_{18}=8910\). Ze wzoru na sumę: \[\frac{2a_1+17\cdot(-30)}{2}\cdot18=8910.\] Po przekształceniu: \[9(2a_1-510)=8910,\qquad 2a_1=1500,\qquad a_1=750.\] Pierwsza rata była równa \(750\text{ zł}\).

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie pierwszej raty: \(750\text{ zł}\) **1 pkt** – zastosowanie wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisanie poprawnego równania z niewiadomą pierwszą lub ostatnią ratą albo innej poprawnej zależności prowadzącej do wyniku; także za podanie samego wyniku \(750\text{ zł}\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.4 zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

\(x=-4\)

Środkowy wyraz ciągu arytmetycznego jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich, więc \[x^2=\frac{(3x^2+5x)+(20-x^2)}{2}.\] Po pomnożeniu przez \(2\) otrzymujemy \[2x^2=2x^2+5x+20,\] a stąd \(5x=-20\), czyli \[x=-4.\]

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i wynik \(x=-4\) **1 pkt** – zastosowanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie równania \[\frac{3x^2+5x+20-x^2}{2}=x^2\] albo równoważnego **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi - wykorzystywanie własności ciągu arytmetycznego.

**D.** \(40\)

Od wyrazu \(a_4\) do wyrazu \(a_8\) wykonujemy cztery kroki o różnicy \(r=2\), więc \[a_4=a_8-4r=48-4\cdot2=40.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.3 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz i sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

**A.** \(x=4\) oraz \(y=\frac{15}{2}\)

**Krok \(1\).** W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie do poprzedniego tej samej liczby \(r\). Znamy dwa **sąsiednie** wyrazy (\(-3\) oraz \(\frac12\)), więc różnicę \(r\) wyliczymy od razu, a potem po prostu będziemy do kolejnych wyrazów dodawać \(r\). **Krok \(2\).** Obliczamy różnicę: \[r=a_2-a_1=\frac12-(-3)=\frac12+3=\frac12+\frac62=\frac72.\] **Krok \(3\).** Trzeci wyraz, czyli \(x\): \[x=a_2+r=\frac12+\frac72=\frac82=4.\] **Krok \(4\).** Czwarty wyraz, czyli \(y\): \[y=x+r=4+\frac72=\frac82+\frac72=\frac{15}{2}.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy piąty wyraz zgadza się z treścią: \[a_5=y+r=\frac{15}{2}+\frac72=\frac{22}{2}=11.\] Zgadza się, więc \(r\) i wszystkie wyrazy policzyliśmy dobrze. **Uwaga.** Różnica wyszła dodatnia, więc ciąg jest rosnący i wyrazy \(x\), \(y\) muszą leżeć między \(\frac12\) a \(11\) — odpowiedzi z liczbami ujemnymi (C i D) można odrzucić bez rachunków. Trzeba też pilnować kolejności: \(x\) jest trzecim wyrazem, a \(y\) czwartym, więc \(x \lt y\) (to wyklucza odpowiedź B). **Odpowiedź.** A: \(x=4\) oraz \(y=\dfrac{15}{2}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VI.4 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

A. −\(7\)

Wyrazy \(a_5\) i \(a_{10}\) dzieli pięć kroków, więc \(a_{10}=a_5+5r\): \[-66=-31+5r,\qquad 5r=-35,\qquad r=-7.\] **Odpowiedź.** **A.** \(r=-7\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2022** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3) Zdający stosuje wzór na \(n\)–ty wyraz […] ciągu arytmetycznego.

\(S_{100}=14750\). Z równania \(a_4=a_1+3r\), czyli \(8=-1+3r\), otrzymujemy \(r=3\), a następnie \(S_{100}=\dfrac{2a_1+99r}{2}\cdot100=(-2+297)\cdot50=14750\).

**Krok \(1\).** Aby policzyć sumę wyrazów ciągu arytmetycznego, potrzebujemy pierwszego wyrazu i różnicy. Pierwszy wyraz jest dany, a różnicę wyliczymy ze wzoru na wyraz ogólny, bo znamy \(a_4\). **Krok \(2\).** Wzór na wyraz ogólny: \(a_n=a_1+(n-1)r\), więc dla \(n=4\): \[a_4=a_1+3r.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy dane \(a_1=-1\) i \(a_4=8\): \[8=-1+3r\ \Longrightarrow\ 3r=9\ \Longrightarrow\ r=3.\] **Krok \(4\).** Wzór na sumę stu początkowych wyrazów: \[S_{100}=\frac{2a_1+99r}{2}\cdot100=\left(2a_1+99r\right)\cdot50.\] **Krok \(5\).** Liczymy nawias: \[2\cdot(-1)+99\cdot3=-2+297=295.\] **Krok \(6\).** Stąd \[S_{100}=295\cdot50=14750.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie inną drogą: \(a_{100}=-1+99\cdot3=296\), więc \(S_{100}=\dfrac{a_1+a_{100}}{2}\cdot100=\dfrac{-1+296}{2}\cdot100=\dfrac{295}{2}\cdot100=14750\). Wyniki się zgadzają. **Odpowiedź.** \(S_{100}=14750\).

• zapisze równania wynikające z zastosowania poprawnych wzorów na n—ty wyraz ciągu arytmetycznego i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, np. a4=a1+3r i = 100 ¯ž¯ lub ał+ałoo . 100 = ał + 3r i ałoo = ał + 99r i Słoo = ALBO • podałobliczy różnicę r ciągu arytmetycznego (an): r = 3 lub przyjmuje adanie 30. (0—2) Wymagania egzaminacyjne 2022 Zdający otrzymuje ..................................................................................................... 1 pkt 100 = 14 750 Wymaganie ogólne III. Modelowanie matematyczne. Zasady oceniania gdy: Wymaganie szczegółowe Zdający: 5.3) stosuje wzór na n—ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. w rozwiązaniu, że r = 3. Zdający otrzymuje ............................................ gdy obliczy sumę stu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (an): Słoo = Uwagi: 2 pkt 14 750. 1. Jeśli zdający błędnie obliczy r i konsekwentnie do otrzymanej wartości r obliczy sumę stu początkowych wyrazów ciągu (an), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 2. Jeśli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje O punktów za całe rozwiązanie. Przykładowe pełne rozwiązania Sposób 1. Korzystamy ze wzoru na n —ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na [14: Zatem 8 = —1 + 3r, więc r = 3. Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczamy Słoo: 2a1 + 1) r -2 + 297 S 100 2 CENTRALNA KOMISJA Sposób 2. 100 - 2 Korzystamy ze wzoru na n —ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na czwarty wyraz tego ciągu: gdzie r oznacza różnicę ciągu. Podstawiamy ał = —1 oraz = 8 i otrzymujemy równanie 8 = —1 + 3r, skąd r = 3 Sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego obliczymy ze wzoru 2 Obliczamy setny wyraz ciągu (an): ałoo = ał + 99 . r = _ I + 99 • 3 — - 296 Zatem suma stu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa S 100 -1 + 296 • 100 = 295 50 = 14 750 2

**Wymaganie ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymaganie szczegółowe:** 5.3) stosuje wzór na n—ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Wyrazy ciągu są równe \(-2\), \(2\), \(6\).

W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych, więc \[2(y-4)=x+y,\qquad y-x=8.\] Z warunku dotyczącego sumy: \[x+(y-4)+y=6,\qquad x+2y=10.\] Podstawiając \(y=x+8\), otrzymujemy \(3x+16=10\), czyli \(x=-2\) i \(y=6\). Szukany ciąg ma postać \[(-2,2,6).\]

**2 pkt** – poprawne wyznaczenie wszystkich wyrazów ciągu: \((-2,2,6)\) **1 pkt** – zapisanie poprawnego równania wynikającego z arytmetyczności ciągu lub z warunku jego sumy **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. tworzenie i stosowanie modelu matematycznego. **Wymagania szczegółowe:** V.2 i III.1 stosowanie własności ciągu arytmetycznego i rozwiązywanie układów równań liniowych.

**A.** \(n=6\)

Początkowe wyrazy ciągu to \[a_1=2,\quad a_2=5,\quad a_3=8,\quad a_4=11,\quad a_5=14,\quad a_6=17.\] Ich suma wynosi \[2+5+8+11+14+17=57.\] Zatem suma \(57\) obejmuje sześć początkowych wyrazów, czyli \(n=6\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VI.1, VI.3 i VI.4 obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym, rozpoznawanie ciągu arytmetycznego oraz stosowanie wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

\[r=-\frac{31}{105}.\]

Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu. Korzystamy ze wzoru na sumę \(20\) początkowych wyrazów: \[S_{20}=\frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot20.\] Ponieważ \[a_{20}=a_1+19r,\qquad a_{21}=a_1+20r,\] warunek z zadania daje \[\frac{a_1+(a_1+19r)}{2}\cdot20=20(a_1+20r)+62.\] Stąd \[20a_1+190r=20a_1+400r+62,\] \[-210r=62,\qquad r=-\frac{62}{210}=-\frac{31}{105}.\]

**2 pkt** – obliczenie różnicy \(r=-\frac{31}{105}\) **1 pkt** – poprawne użycie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego lub zapisanie \(a_{21}=a_1+20r\) i utworzenie równania prowadzącego do wyniku **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** stosowanie wzoru na wyraz ogólny i sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

B. \(29\)

W ciągu arytmetycznym wyraz \(a_4\) jest średnią arytmetyczną wyrazów \(a_3\) i \(a_5\), bo \(a_3=a_4-r\) oraz \(a_5=a_4+r\). Zatem \[a_3+a_5=2a_4=58,\qquad a_4=29.\] **Odpowiedź.** **B.** \(a_4=29\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.3) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

**C.** \(6\)

Korzystamy ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\): \[a_2=-3+5=2,\qquad a_4=-3+3\cdot5=12.\] Zatem \[\frac{a_4}{a_2}=\frac{12}{2}=6.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3 stosowanie wzoru na wyraz ciągu arytmetycznego.

\[(a,b,c,d)=(-36,144,324,504).\]

Niech \(r>0\) oznacza różnicę ciągu arytmetycznego. Wtedy \[b=a+r,\qquad c=a+2r,\qquad d=a+3r.\] Warunek dotyczący kwadratów daje \[(a+3r)^2=2\bigl(a^2+(a+r)^2+(a+2r)^2\bigr).\] Po uporządkowaniu: \[5a^2+6ar+r^2=0,\qquad(5a+r)(a+r)=0.\] Zatem \(a=-r\) albo \(a=-\frac15r\). Dla \(a=-r\) mamy \(b=0\), \(c=r\). Warunek geometryczności trójki \((a+100,b,c)\) daje \[0^2=(100-r)r.\] Ponieważ \(r>0\), musiałoby być \(r=100\), lecz trójka \((0,0,100)\) nie jest geometryczna. Ten przypadek odrzucamy. Dla \(a=-\frac15r\) mamy \[b=\frac45r,\qquad c=\frac95r,\qquad d=\frac{14}{5}r.\] Warunek geometryczności daje \[\left(\frac45r\right)^2=\left(100-\frac15r\right)\frac95r.\] Dla \(r>0\) równanie upraszcza się do \(r=180\). Stąd \[a=-36,\qquad b=144,\qquad c=324,\qquad d=504.\]

**5 pkt** – obliczenie wszystkich wyrazów: \((-36,144,324,504)\) **4 pkt** – wyznaczenie \(r=180\) i odrzucenie przypadków niespełniających warunków zadania **3 pkt** – wyrażenie jednego z wyrazów przez \(r\), np. \(a=-r\) lub \(a=-\frac15r\) **2 pkt** – zapisanie poprawnego równania po podstawieniu wzoru na wyraz ciągu arytmetycznego **1 pkt** – zapisanie \(d^2=2(a^2+b^2+c^2)\) albo \(b^2=(a+100)c\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 5.2, 5.3 i 5.4 badanie ciągów arytmetycznych i geometrycznych oraz stosowanie wzorów na ich wyrazy.

**B.** Ciąg \((b_n)\) jest arytmetyczny.

Dla ciągu \((b_n)\): \[b_{n+1}-b_n=[2(n+1)+13]-(2n+13)=2.\] Różnica kolejnych wyrazów jest stała, więc \((b_n)\) jest ciągiem arytmetycznym.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.2 badanie, czy dany ciąg jest arytmetyczny.

\[a_n=3n-7.\]

Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu arytmetycznego. Suma pięciu początkowych wyrazów jest pięciokrotnością wyrazu środkowego, zatem \[S_5=5a_3=10,\qquad a_3=2.\] Mamy więc \[a_5=a_3+2r=2+2r,\qquad a_{13}=a_3+10r=2+10r.\] Liczby \(a_3,a_5,a_{13}\) tworzą ciąg geometryczny, dlatego \[a_5^2=a_3a_{13}.\] Stąd \[(2+2r)^2=2(2+10r),\] \[4+8r+4r^2=4+20r,\] \[4r^2-12r=0,\qquad 4r(r-3)=0.\] Otrzymujemy \(r=0\) lub \(r=3\). Ciąg jest rosnący, więc \(r>0\), a zatem \(r=3\). Ponieważ \(a_3=a_1+2r\), mamy \[a_1=2-2\cdot3=-4.\] Wobec tego \[a_n=a_1+(n-1)r=-4+3(n-1)=3n-7.\]

**5 pkt** – wyznaczenie wzoru \(a_n=3n-7\) **4 pkt** – rozwiązanie równania i otrzymanie \(r=0\) lub \(r=3\) **3 pkt** – ułożenie równania jednej niewiadomej \((2+2r)^2=2(2+10r)\) **2 pkt** – wyznaczenie \(a_3=2\) oraz zapisanie warunku \(a_5^2=a_3a_{13}\) **1 pkt** – zapisanie \(S_5=5a_3\) albo warunku geometryczności trzech wskazanych wyrazów **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3 i 5.4 stosowanie wzoru na wyraz i sumę ciągu arytmetycznego oraz własności wyrazów ciągu geometrycznego.

**C.** \(a_{24}-a_6=36\)

Dla ciągu arytmetycznego o różnicy \(r=2\) mamy \[a_{24}=a_6+(24-6)r=a_6+18\cdot2=a_6+36.\] Zatem \[a_{24}-a_6=36.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.3 stosowanie wzoru na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego.

B. [(\(2+1000\))/\(2\)]·\(500\)

Dodatnie liczby całkowite parzyste mniejsze od \(1001\) to \(2,4,6,\ldots,1000\). Tworzą one ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(2\), różnicy \(2\) i ostatnim wyrazie \(1000\). Liczbę wyrazów wyznaczamy ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\): \[1000=2+(n-1)\cdot2,\qquad n-1=499,\qquad n=500.\] Sumę obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\): \[S_{500}=\frac{(2+1000)}{2}\cdot500.\] **Odpowiedź.** **B.** \(\left[\frac{2+1000}{2}\right]\cdot500\)

Zadanie 14. Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

C. −\(18\)

Z warunku \(a_4=a_1+3r\) wyznaczamy pierwszy wyraz: \[a_1=a_4-3r=3-3\cdot5=-12.\] Sumę czterech początkowych wyrazów obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\): \[S_4=\frac{(-12+3)\cdot4}{2}=2\cdot(-9)=-18.\] **Odpowiedź.** **C.** \(-18\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Poprawna odpowiedź: \(\mathrm{C}\)

**Wymaganie ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymaganie szczegółowe:** 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).

D. \(4040\)

W ciągu arytmetycznym \(a_2=a_4-2r\) oraz \(a_6=a_4+2r\), więc \[a_2+a_6=2a_4=2\cdot2020=4040.\] Różnica ciągu nie jest potrzebna — skraca się. **Odpowiedź.** **D.** \(4040\)

Zadanie 13. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

**A.** \(a_n=3n-1\)

**Krok \(1\).** Ciąg jest arytmetyczny, więc jego wyraz ogólny ma postać \[a_n=a_1+(n-1)r,\] gdzie \(r\) to różnica ciągu. Pierwszy wyraz znamy, więc brakuje nam tylko \(r\). **Krok \(2\).** W ciągu arytmetycznym różnica to odległość między dwoma kolejnymi wyrazami: \[r=a_2-a_1=5-2=3.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy \(a_1=2\) i \(r=3\) do wzoru ogólnego: \[a_n=2+(n-1)\cdot 3.\] **Krok \(4\).** Upraszczamy, wymnażając nawias: \[a_n=2+3n-3=3n-1.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy na danych z treści: \(a_1=3\cdot 1-1=2\) oraz \(a_2=3\cdot 2-1=5\). Oba wyrazy się zgadzają. **Uwaga.** Jeśli nie pamiętasz wzoru, wystarczy podstawić \(n=1\) i \(n=2\) do każdej z czterech odpowiedzi i sprawdzić, która daje \(2\) i \(5\). Uwaga na odpowiedź C: \(2\cdot 1+3=5\) - pasuje do drugiego wyrazu, ale nie do pierwszego, więc trzeba sprawdzić oba. **Odpowiedź.** A: \(a_n=3n-1\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi - wyznaczanie wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego.

B

W ciągu arytmetycznym sumy wyrazów o równych sumach wskaźników są równe: jeżeli \(i+j=k+l\), to \(a_i+a_j=a_k+a_l\). Wynika to ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\), bo \[a_i+a_j=2a_1+(i+j-2)r.\] Z warunku \(a_2+a_9=a_4+a_k\) otrzymujemy \(2+9=4+k\), czyli \(k=7\). **Odpowiedź.** **B.** \(k=7\)

Zadanie 9. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

A. −\(168\)

Korzystamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\) dla \(n=8\): \[S_8=\frac{(7+(-49))\cdot8}{2}=\frac{-42\cdot8}{2}=-168.\] **Odpowiedź.** **A.** \(S_8=-168\)

Zadanie 11. (0−1) Wersja Wersja 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz III. Modelowanie I II i na sumę n początkowych wyrazów ciągu matematyczne. arytmetycznego (5.3). A B

a) \(a_1=26\); b) \(k=27\). Ze średniej mamy \(S_6=96\), a ponieważ \(S_6=6a_1+15r\) i \(r=-4\), otrzymujemy \(6a_1-60=96\), czyli \(a_1=26\). Następnie z równania \(26-4(k-1)=-78\) wynika \(k=27\).

**Krok \(1\).** Dane są: różnica ciągu i średnia arytmetyczna sześciu pierwszych wyrazów. Średnia to suma podzielona przez liczbę wyrazów, więc informację o średniej zamieniamy na informację o sumie \(S_6\), a sumę wyrażamy wzorem na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Zostanie równanie z jedną niewiadomą \(a_1\). **Krok \(2\).** Ze średniej: \[\frac{S_6}{6}=16\ \Longrightarrow\ S_6=96.\] **Krok \(3\).** Wzór na sumę: \(S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\), więc dla \(n=6\): \[S_6=\frac{2a_1+5r}{2}\cdot6=3\left(2a_1+5r\right)=6a_1+15r.\] **Krok \(4\).** Podstawiamy \(r=-4\) i \(S_6=96\): \[6a_1+15\cdot(-4)=96\ \Longrightarrow\ 6a_1-60=96\ \Longrightarrow\ 6a_1=156.\] **Krok \(5\).** Stąd \(a_1=26\). To odpowiedź do podpunktu a). **Krok \(6\).** b) Korzystamy ze wzoru na wyraz ogólny \(a_k=a_1+(k-1)r\): \[a_k=26+(k-1)\cdot(-4)=26-4(k-1).\] **Krok \(7\).** Rozwiązujemy równanie \(a_k=-78\): \[26-4(k-1)=-78\ \Longrightarrow\ -4(k-1)=-104\ \Longrightarrow\ k-1=26\ \Longrightarrow\ k=27.\] **Krok \(8\).** Sprawdzenie: \(a_{27}=26-4\cdot26=26-104=-78\). Zgadza się, a \(k=27\) jest liczbą naturalną, więc wynik ma sens. **Uwaga.** We wzorze na \(a_k\) mnożymy różnicę przez \((k-1)\), a nie przez \(k\) — pierwszy wyraz osiągamy przy zerowej liczbie kroków. Pomyłka w tym miejscu daje \(k=26\). **Odpowiedź.** a) \(a_1=26\); b) \(k=27\).

**[…] pkt** – rozwiązanie pełne: zdający obliczy \(k\): \(k=27\). **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą \(k\), które wynika ze wzoru na k-ty wyraz ciągu arytmetycznego […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający obliczy pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego: \(a_1=26\) i na tym zakończy lub w dalszej części rozwiązania stosuje niepoprawny wzór na wyraz. **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający zapisze równanie […], albo wykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisze wszystkie wyrazy \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(a_5\), \(a_6\) w zależności od \(a_1\) i \(r\), albo zapisze, że \(S_6=6\cdot 16\), albo zastosuje wzór na sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i wyznaczy \(S_6\) w zależności od \(a_1\) i \(r\) […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.

III. Modelowanie matematyczne. 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).

B

Sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\). Podstawiamy \(a_1=-11\), \(a_9=5\), \(n=9\): \[S_9=\frac{(-11+5)\cdot9}{2}=\frac{-6\cdot9}{2}=-27.\] **Odpowiedź.** **B.** \(S_9=-27\)

Zadanie 11. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

\(a_{40}\)=\(10\)

Wyrazów o numerach parzystych i o numerach nieparzystych jest po \(20\), a każdy wyraz o numerze parzystym jest o \(r\) większy od poprzedzającego go wyrazu o numerze nieparzystym. Odjęcie sum stronami daje więc \[20r=1340-1400=-60,\qquad r=-3.\] Suma wszystkich czterdziestu wyrazów jest równa \(1340+1400=2740\), a ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\) \[2740=\frac{(a_1+a_{40})\cdot40}{2}=20(a_1+a_{40}),\qquad a_1+a_{40}=137.\] Ponadto \(a_{40}=a_1+39r=a_1-117\), więc \[2a_1-117=137,\qquad a_1=127,\qquad a_{40}=127-117=10.\] **Odpowiedź.** \(a_{40}=10\)

**1–3 pkt** – poprawne równania sum i wyznaczenie \(r=-3\), \(a_1=127\). **4 pkt** – \(a_{40}=10\)

Zadanie 32. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

B

Ciąg jest określony wzorem \(a_n=16-\tfrac12 n\). Różnica ciągu arytmetycznego to różnica dwóch kolejnych wyrazów: \[r=a_{n+1}-a_n=\left(16-\tfrac12(n+1)\right)-\left(16-\tfrac12 n\right)=-\tfrac12.\] **Odpowiedź.** B

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 14. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.

\(a_{1}\)=−\(\frac{3}{4}\), r=\(\frac{1}{4}\)

Z warunku \(a_6=2a_5\) oraz \(a_6=a_5+r\) otrzymujemy \(a_5+r=2a_5\), czyli \(r=a_5\). Ponieważ \(a_5=a_1+4r\), mamy \[r=a_1+4r,\qquad a_1=-3r.\] Sumę dziesięciu początkowych wyrazów zapisujemy wzorem \(S_{10}=\frac{(2a_1+9r)\cdot10}{2}=5(2a_1+9r)\) i podstawiamy \(a_1=-3r\): \[S_{10}=5(-6r+9r)=15r=\frac{15}4.\] Stąd \(r=\frac14\), a \(a_1=-3\cdot\frac14=-\frac34\). **Odpowiedź.** \(a_1=-\frac34\), \(r=\frac14\)

**1–3 pkt** – poprawne równania z warunków \(a_6=2a_5\) i \(S_{10}=\tfrac{15}{4}\). **4 pkt** – \(a_1=-\tfrac{3}{4}\), \(r=\tfrac{1}{4}\).

Zadanie 33. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

A. arytmetyczny, r = −\(\frac{1}{3}\)

Badamy różnicę i iloraz kolejnych wyrazów. Różnica: \[a_{n+1}-a_n=\frac{5-2(n+1)}{6}-\frac{5-2n}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac13.\] Jest stała, więc ciąg jest arytmetyczny o różnicy \(r=-\frac13\). Geometryczny nie jest: \(a_1=\frac12\), \(a_2=\frac16\), \(a_3=-\frac16\), a ilorazy kolejnych par są różne, bo \(\frac{a_2}{a_1}=\frac13\), natomiast \(\frac{a_3}{a_2}=-1\). **Odpowiedź.** **A.** ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=-\frac13\)

Zadanie 11. (0−1) Wersja Wersja III. Modelowanie 5. Ciągi. Zdający bada, czy dany ciąg jest I II matematyczne. arytmetyczny lub geometryczny (5.2). A B

A. \(a_{5}\) = \(4\)

W ciągu arytmetycznym \(a_4=a_5-r\) oraz \(a_6=a_5+r\), więc \[a_4+a_5+a_6=3a_5=12,\qquad a_5=4.\] **Odpowiedź.** **A.** \(a_5=4\)

Zadanie 12. (0−1) Wersja Wersja 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz III. Modelowanie I II i na sumę n początkowych wyrazów ciągu matematyczne. arytmetycznego (5.3). A C

\(a_{1}\) = −\(3\). Korzystamy ze wzoru \(S_{12}\) = \(12\)(\(a_{1}\) + \(a_{12}\))/\(2\). Zatem \(162 = 6\)(\(a_{1}\) + \(30\)), skąd \(a_{1}\) + \(30 = 27\) i \(a_{1}\) = −\(3\).

Korzystamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\), w którym znamy \(n=12\), \(a_{12}=30\) oraz \(S_{12}=162\): \[162=\frac{(a_1+30)\cdot12}{2}=6(a_1+30).\] Stąd \(a_1+30=27\), czyli \(a_1=-3\). **Odpowiedź.** \(a_1=-3\)

**1 pkt** – gdy zdający zapisze dwa równania z niewiadomymi \(a_1\) i \(r\) wynikające z zastosowania poprawnych wzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego […] albo zapisze równanie z jedną niewiadomą \(a_1\) wynikające z zastosowania poprawnego wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego bez wykorzystywania różnicy ciągu […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – gdy zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą \(a_1\) i obliczy pierwszy wyraz ciągu: \(a_1=-3\).

III. Modelowanie matematyczne. 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).

A

W ciągu arytmetycznym wyraz \(a_4\) jest średnią arytmetyczną wyrazów \(a_3\) i \(a_5\), zatem \[a_3+a_4+a_5=3a_4.\] Z warunku zadania \(3a_4=15\), czyli \(a_4=5\). **Odpowiedź.** A

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 13. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.

\(a_{1}\)=−\(2\), r=\(\frac{9}{2}\)

Zapisujemy dane za pomocą \(a_1\) i różnicy \(r\): \[a_9=a_1+8r=34,\qquad S_8=\frac{\left(2a_1+7r\right)\cdot8}{2}=4(2a_1+7r)=110.\] Z drugiego równania \(2a_1+7r=\frac{110}4=\frac{55}2\). Z pierwszego \(a_1=34-8r\); po podstawieniu \[2(34-8r)+7r=\frac{55}2,\qquad 68-9r=\frac{55}2,\qquad 9r=\frac{81}2,\qquad r=\frac92.\] Stąd \(a_1=34-8\cdot\frac92=34-36=-2\). **Odpowiedź.** \(a_1=-2\), \(r=\frac92\)

1 pkt: poprawny układ równań. 2 pkt: a₁=−2, r=9/2.

Zadanie 30. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

Ciąg arytmetyczny ma wzór an=\(3n\)+\(2\), a geometryczny bn=\(3\cdot 5\)^(n−\(1\)). Niech q będzie pierwszym wyrazem ciągu arytmetycznego i zarazem ilorazem ciągu geometrycznego, a r jego różnicą i zarazem pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego. Warunki dają r+rq=\(18\) oraz \(4\)(\(2q\)+\(7r\))=\(124\). Po rozwiązaniu i odrzuceniu pary niespełniającej całkowitości wyrazów otrzymujemy q=\(5\) i r=\(3\).

Oznaczmy przez \(q\) pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (jest on jednocześnie ilorazem ciągu geometrycznego), a przez \(r\) różnicę ciągu arytmetycznego (jest ona jednocześnie pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego). Kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego to \(q,\ q+r,\ q+2r,\ldots\), a ciągu geometrycznego \(r,\ rq,\ rq^{2},\ldots\) Z warunków zadania otrzymujemy układ równań: \[r+rq=18,\qquad \frac{2q+7r}{2}\cdot8=124.\] Drugie równanie to wzór na sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; upraszcza się do \(2q+7r=31\). Z niego \(q=\dfrac{31-7r}{2}\). Po podstawieniu do pierwszego równania \[r\left(1+\frac{31-7r}{2}\right)=18,\qquad r(33-7r)=36,\qquad 7r^{2}-33r+36=0.\] Wyróżnik \(\Delta=1089-1008=81\), \(\sqrt{\Delta}=9\), więc \[r=\frac{33-9}{14}=\frac{12}{7}\qquad\text{lub}\qquad r=\frac{33+9}{14}=3.\] Dla \(r=\tfrac{12}{7}\) otrzymujemy \(q=\tfrac{19}{2}\); wyrazy ciągu arytmetycznego nie są wtedy całkowite, więc tę parę odrzucamy. Dla \(r=3\) otrzymujemy \(q=\tfrac{31-21}{2}=5\). Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz \(5\) i różnicę \(3\), a ciąg geometryczny pierwszy wyraz \(3\) i iloraz \(5\): \[a_n=5+(n-1)\cdot3=3n+2,\qquad b_n=3\cdot5^{\,n-1}.\] Sprawdzenie: \(S_8=\frac{2\cdot5+7\cdot3}{2}\cdot8=124\) oraz \(b_1+b_2=3+15=18\). **Odpowiedź.** \(a_n=3n+2\) oraz \(b_n=3\cdot5^{\,n-1}\).

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający albo zapisze kolejne wyrazy ciągów arytmetycznego i geometrycznego za pomocą \(r\) i \(q\) (lub \(a_1\) i \(b_1\), lub \(a_1\) i \(r\), lub \(b_1\) i \(q\)), albo zapisze koniunkcję zależności […]. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności: zdający przekształci układ równań do równania kwadratowego z jedną niewiadomą \(r\) lub \(q\), np. \(7r^2-33r+36=0\) lub \(2q^2-29q+95=0\). **4 pkt** – rozwiązanie prawie pełne: zdający albo popełni błąd rachunkowy na etapie rozwiązywania układu równań i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, albo poda jako rozwiązanie dwie pary ciągów: ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(\tfrac{19}{2}\) i różnicy \(\tfrac{12}{7}\) oraz ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(\tfrac{12}{7}\) i ilorazie \(\tfrac{19}{2}\), oraz ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(5\) i różnicy \(3\) oraz ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(3\) i ilorazie \(5\). **5 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający albo wyznaczy wzory ogólne ciągów \(a_n=3n+2\) i \(b_n=3\cdot5^{n-1}\), albo wyznaczy ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(5\) i różnicy \(3\) oraz ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(3\) i ilorazie \(5\).

Klasyfikacja rzeczowa: wykorzystywanie wzorów na wyrazy i sumy ciągów arytmetycznych i geometrycznych oraz rozwiązywanie układu warunków.

B

Zapisujemy wyrazy za pomocą \(a_1\) i różnicy \(r\): \(a_2=a_1+r\), \(a_3=a_1+2r\). Warunek \(2a_3=a_2+a_1+1\) przyjmuje postać \[2a_1+4r=2a_1+r+1,\qquad 3r=1,\qquad r=\frac13.\] **Odpowiedź.** **B.** \(r=\frac13\)

Zadanie 13. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

r = \(2\)

Ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\) dla \(n=30\) otrzymujemy \[30=\frac{(a_1+30)\cdot30}{2}=15(a_1+30),\] skąd \(a_1+30=2\), czyli \(a_1=-28\). Teraz ze wzoru \(a_{30}=a_1+29r\): \[30=-28+29r,\qquad 29r=58,\qquad r=2.\] **Odpowiedź.** \(r=2\)

1 pkt: obliczenie a₁ = −28. 2 pkt: obliczenie różnicy r = 2.

III. Modelowanie matematyczne. 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).

B. \(a_{12}\) = \(71\)

Różnica ciągu jest równa \(r=a_2-a_1=11-5=6\), więc \[a_n=5+(n-1)\cdot6=6n-1.\] Z równania \(6n-1=71\) otrzymujemy \(6n=72\), czyli \(n=12\). Wyraz \(a_{12}\) jest równy \(71\). **Odpowiedź.** **B.** \(a_{12}=71\)

Zadanie 12. (0−1) Wersja Wersja 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz III. Modelowanie I II i na sumę n początkowych wyrazów ciągu matematyczne. arytmetycznego (5.3). B C

\(a_{16}\) − \(a_{13}\) = \(9\). Z \(a_{1}\) = \(8\) i \(S_{3}\) = \(33\) mamy \(3\)\(a_{1}\) + \(3r\) = \(33\), czyli \(24\) + \(3r\) = \(33\) i r = \(3\). Różnica wyrazów oddalonych o trzy miejsca jest równa \(3r\) = \(9\).

Sumę trzech początkowych wyrazów zapisujemy przez \(a_1\) i różnicę \(r\): \[S_3=a_1+(a_1+r)+(a_1+2r)=3a_1+3r=33.\] Po podstawieniu \(a_1=8\) otrzymujemy \(24+3r=33\), czyli \(r=3\). Wyrazy \(a_{16}\) i \(a_{13}\) dzielą trzy kroki, więc \[a_{16}-a_{13}=3r=9.\] **Odpowiedź.** \(a_{16}-a_{13}=9\)

**1 pkt** – gdy zdający obliczy różnicę ciągu \(r=3\) (lub \(3r=9\)), lub obliczy wartość \(a_1+r=11\), lub obliczy wartość \(a_2=11\), lub zapisze, że \(a_{16}-a_{13}\) […], lub obliczy \(a_{13}=14\), i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – gdy obliczy różnicę \(a_{16}-a_{13}=9\).

III. Modelowanie matematyczne. 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).

C

Różnica ciągu jest równa \(r=a_2-a_1=9-2=7\), więc \[a_n=2+(n-1)\cdot7=7n-5.\] Z równania \(7n-5=79\) otrzymujemy \(7n=84\), czyli \(n=12\). **Odpowiedź.** **C.** \(n=12\)

Zadanie 11. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

\(a_{25}\) + \(a_{26}\) = \(50\)

W ciągu arytmetycznym suma dwóch wyrazów zależy tylko od sumy ich numerów, bo \(a_i+a_j=2a_1+(i+j-2)r\). Numery w danym warunku łączymy w pary o jednakowej sumie: \[21+30=24+27=51,\] więc \(a_{21}+a_{30}=a_{24}+a_{27}\). Skoro suma czterech wyrazów wynosi \(100\), każda z tych par jest równa \(50\). Numery \(25\) i \(26\) także sumują się do \(51\), zatem \[a_{25}+a_{26}=50.\] **Odpowiedź.** \(a_{25}+a_{26}=50\)

1 pkt: poprawne przekształcenie warunku z użyciem różnicy ciągu. 2 pkt: wynik 50.

Zadanie 31. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

C

Ciąg \(a_n=6(n-16)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=6\), a jego skrajne wyrazy spośród dziesięciu początkowych to \[a_1=6\cdot(1-16)=-90,\qquad a_{10}=6\cdot(10-16)=-36.\] Ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\) otrzymujemy \[S_{10}=\frac{(-90-36)\cdot10}{2}=5\cdot(-126)=-630.\] **Odpowiedź.** **C.** \(S_{10}=-630\)

Zadanie 11. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

\(a_{1}\)=\(567\), r=−\(42\), najmniejszy dodatni wyraz \(a_{14}\)=\(21\)

Oba warunki zapisujemy przez \(a_1\) i różnicę \(r\). Suma czterech początkowych wyrazów: \[4a_1+6r=2016,\qquad\text{czyli}\qquad 2a_1+3r=1008.\] Suma ośmiu wyrazów od piątego do dwunastego: \[8a_1+(4+5+\ldots+11)r=8a_1+60r=2016,\qquad\text{czyli}\qquad 2a_1+15r=504.\] Odejmując równania stronami, otrzymujemy \(12r=-504\), czyli \(r=-42\), a następnie \[2a_1=1008-3\cdot(-42)=1134,\qquad a_1=567.\] Wzór ogólny to \(a_n=567-42(n-1)=609-42n\). Wyraz jest dodatni, gdy \(609-42n>0\), czyli \(n<14{,}5\); największe takie \(n\) to \(14\), a \[a_{14}=609-588=21.\] **Odpowiedź.** \(a_1=567\), \(r=-42\), najmniejszy dodatni wyraz to \(a_{14}=21\)

**1–4 pkt** – poprawne równania z sum, układ oraz \(a_{1}=567\) i \(r=-42\). **5 pkt** – także najmniejszy dodatni wyraz \(a_{14}=21\).

Zadanie 31. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

A. \(\frac{37}{2}\)

Wyrazy \(a_7\) i \(a_{14}\) dzieli siedem kroków, więc \(a_7=a_{14}-7r\): \[a_7=8-7\cdot\left(-\frac32\right)=8+\frac{21}2=\frac{37}2.\] **Odpowiedź.** **A.** \(a_7=\frac{37}2\)

Zadanie 14. (0−1) Wersja Wersja 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz III. Modelowanie I II i na sumę n początkowych wyrazów ciągu matematyczne. arytmetycznego (5.3). A B

C

Wyraz ciągu odtwarzamy z sum częściowych: \(a_2=S_2-S_1\). Podstawiamy dany wzór: \[S_1=2\cdot1^{2}+1=3,\qquad S_2=2\cdot2^{2}+2=10,\] więc \(a_2=10-3=7\). **Odpowiedź.** **C.** \(a_2=7\)

Zadanie 11. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

S = \(676368\)

Wyraz \(a_n=2016-3n\) jest dodatni, gdy \[2016-3n>0,\qquad n<672,\] czyli dla \(n\in\{1,2,\ldots,671\}\). Dodatnich wyrazów jest więc \(671\). Ciąg jest arytmetyczny o różnicy \(r=-3\), a \(a_1=2013\) oraz \(a_{671}=2016-2013=3\). Ze wzoru na sumę \[S_{671}=\frac{(a_1+a_{671})\cdot671}{2}=\frac{(2013+3)\cdot671}{2}=1008\cdot671=676\,368.\] **Odpowiedź.** \(S=676\,368\)

**1–3 pkt** – \(a_1=2013\), \(r=-3\) i ustalenie \(671\) dodatnich wyrazów. **4 pkt** – suma \(676368\).

Zadanie 31. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

**A.** \(13\).

Dla ciągu arytmetycznego \[a_1+a_6=a_1+(a_1+5r)=2a_1+5r.\] Jednocześnie \[a_3+a_4=(a_1+2r)+(a_1+3r)=2a_1+5r,\] więc obie sumy są równe \(13\).

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi, własności ciągu arytmetycznego.

\[a_n=4n-2.\]

Niech \(r\) będzie różnicą ciągu arytmetycznego. Z warunku \(a_5=18\) mamy \[a_1=18-4r,\quad a_3=18-2r,\quad a_{13}=18+8r.\] Ponieważ \(a_1,a_3,a_{13}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, zachodzi \[(18-2r)^2=(18-4r)(18+8r).\] Po uproszczeniu otrzymujemy \(36r(r-4)=0\), więc \(r=0\) albo \(r=4\). Ciąg jest rosnący, dlatego \(r=4\). Wtedy \(a_1=2\) i \[a_n=a_1+(n-1)r=2+4(n-1)=4n-2.\]

**1 pkt** – zapisanie wyrazów \(a_1,a_3,a_{13}\) za pomocą różnicy \(r\) **2 pkt** – ułożenie równania \(a_3^2=a_1a_{13}\) **3 pkt** – wyznaczenie \(r=4\) z odrzuceniem \(r=0\), ponieważ ciąg jest rosnący **4 pkt** – podanie wzoru \(a_n=4n-2\)

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi, zależności między ciągiem arytmetycznym i geometrycznym.

**B.** \(x=1\).

W ciągu arytmetycznym różnice kolejnych wyrazów są równe. Zatem \[4-(x-1)=8-4.\] Stąd \(5-x=4\), czyli \(x=1\).

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **B** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 5.3. Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

\[x=7.\]

Mamy \(a_1=2\) oraz \(a_2=x-3\), więc różnica ciągu wynosi \[r=a_2-a_1=x-5.\] Ponieważ \(a_4=8\), to \[8=a_1+3r=2+3(x-5).\] Stąd \(6=3(x-5)\), zatem \(x=7\).

**2 pkt** – poprawny wynik \(x=7\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie różnicy \(r=x-5\) i zapisanie równania \(8=2+3r\), lecz błąd w dalszych obliczeniach **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 5.3. Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

\[a_{15}=72.\]

Kolejne liczby naturalne dające przy dzieleniu przez \(5\) resztę \(2\) różnią się o \(5\), więc różnica ciągu wynosi \(r=5\). Między wyrazami \(a_3\) i \(a_{15}\) są \(15-3=12\) kroki. Zatem \[a_{15}=a_3+12r=12+12\cdot5=72.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawny wynik \(a_{15}=72\) **1 pkt** – poprawne ustalenie różnicy \(r=5\) i użycie wzoru na wyraz ciągu **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania. **Wymagania szczegółowe:** 5.3. Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Do przedziału \((0,200)\) należy \(40\) wyrazów ciągu.

Dla ciągu arytmetycznego \[a_3=a_1+2r=4,\qquad a_6=a_1+5r=19.\] Po odjęciu równań otrzymujemy \(3r=15\), więc \(r=5\), a następnie \(a_1=-6\). Stąd \[a_n=-6+5(n-1)=5n-11.\] Warunek \(a_n\in(0,200)\) ma postać \[0<5n-11<200,\] czyli \[\frac{11}{5}<n<\frac{211}{5}.\] Naturalne indeksy spełniające ten warunek to \(n=3,4,\ldots,42\). Ich liczba wynosi \[42-3+1=40.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawna liczba \(40\) z pełnym rozwiązaniem nierówności dla indeksów **3 pkt** – poprawny wzór \(a_n=5n-11\) i poprawny zakres indeksów z drobną usterką końcową **2 pkt** – wyznaczenie \(r=5\) i \(a_1=-6\) **1 pkt** – poprawne zapisanie równań dla \(a_3\) i \(a_6\) **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu. **Wymagania szczegółowe:** 5.3. Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Do przedziału \((0,200)\) należy \(40\) wyrazów ciągu.

Z danych otrzymujemy układ \[\begin{cases}a_1+2r=4,\\a_1+5r=19.\end{cases}\] Po odjęciu równań mamy \(3r=15\), więc \(r=5\), a następnie \(a_1=-6\). Zatem \[a_n=-6+5(n-1)=5n-11.\] Szukamy indeksów spełniających \[0<5n-11<200.\] Stąd \[\frac{11}{5}<n<\frac{211}{5}.\] Dla naturalnych \(n\) oznacza to \(3\leq n\leq42\). Liczba takich indeksów wynosi \[42-3+1=40.\]

**4 pkt** – poprawne wyznaczenie wzoru ciągu, zakresu \(3\leq n\leq42\) i odpowiedzi \(40\) **3 pkt** – poprawne wyznaczenie \(r=5\), \(a_1=-6\) oraz nierówności \(0<5n-11<200\), lecz błąd w zliczeniu indeksów **2 pkt** – poprawne wyznaczenie \(r=5\) i \(a_1=-6\) albo równoważnego wzoru \(a_n=5n-11\) **1 pkt** – poprawne ułożenie układu równań z danych \(a_3=4\), \(a_6=19\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu. **Wymagania szczegółowe:** 5.3. Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

\[k=11.\]

Niech \(r\) będzie różnicą ciągu. Ze wzoru na sumę \[S_{11}=\frac{11}{2}(2a_1+10r)=11(a_1+5r)=187,\] więc \(a_1+5r=17\). Warunek średniej daje \[\frac{a_1+a_3+a_9}{3}=a_1+\frac{10}{3}r=12.\] Rozwiązanie układu to \(r=3\), \(a_1=2\), zatem \(a_3=8\) i \(a_k=2+3(k-1)\). Ponieważ \(a_1,a_3,a_k\) tworzą ciąg geometryczny, \[a_3^2=a_1a_k.\] Stąd \(64=2[2+3(k-1)]\), czyli \(32=3k-1\) i \(k=11\).

**1 pkt** – wykorzystanie warunku \(S_{11}=187\) **2 pkt** – zapisanie równania wynikającego ze średniej wyrazów \(a_1,a_3,a_9\) **3 pkt** – wyznaczenie \(a_1=2\) i \(r=3\) **4 pkt** – zastosowanie warunku \(a_3^2=a_1a_k\) **5 pkt** – obliczenie \(k=11\)

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 5.3 i 5.4 zdający stosuje wzory dla ciągu arytmetycznego i geometrycznego.

**C.** \(91\).

Pierwszym dwucyfrowym wielokrotnością \(7\) jest \(a_1=14\), a różnica ciągu wynosi \(r=7\). Zatem \[a_{12}=14+11\cdot7=91.\]

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi, wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego.

B

Wyrazy \(a_2\) i \(a_4\) dzielą dwa kroki, więc \(a_4=a_2+2r\): \[7=11+2r,\qquad r=-2,\] a stąd \(a_1=a_2-r=11+2=13\). Sumę czterech początkowych wyrazów obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\): \[S_4=\frac{(13+7)\cdot4}{2}=40.\] **Odpowiedź.** **B.** \(S_4=40\)

Zadanie 12. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

\[r=14.\]

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną skrajnych, więc \[2(2x+4)=6+(x+26).\] Stąd \[4x+8=x+32,\qquad x=8.\] Pierwsze trzy wyrazy mają zatem wartości \(6\), \(20\), \(34\), więc \[r=20-6=14.\]

**2 pkt** – poprawne wyznaczenie różnicy \(r=14\) **1 pkt** – poprawne równanie \(2(2x+4)=6+x+26\) i wyznaczenie \(x=8\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** Zdający wykorzystuje własność trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego i oblicza jego różnicę.

**B.** \(50\)

Długości boków kolejnych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny. Wyrażamy je w centymetrach: \[a_1=100,\qquad r=10,\qquad a_n=590.\] Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_n=a_1+(n-1)r\): \[590=100+(n-1)\cdot10,\] \[(n-1)\cdot10=490,\qquad n-1=49,\qquad n=50.\] **Odpowiedź.** B. \(50\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego w zadaniu osadzonym w kontekście praktycznym, wraz z uzgodnieniem jednostek Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

A. a_n = −\(3n\) + \(5\)

Różnica ciągu jest równa \(r=-1-2=-3\), a pierwszy wyraz \(a_1=2\). Ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\) otrzymujemy \[a_n=2+(n-1)\cdot(-3)=2-3n+3=-3n+5.\] Sprawdzenie: \(a_1=2\), \(a_2=-1\), \(a_3=-4\). **Odpowiedź.** **A.** \(a_n=-3n+5\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wyznaczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym (II.5.a).

B

Ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\) dla \(n=10\) otrzymujemy \[35=\frac{(3+a_{10})\cdot10}{2}=5(3+a_{10}),\] skąd \(3+a_{10}=7\), czyli \(a_{10}=4\). **Odpowiedź.** **B.** \(a_{10}=4\)

Zadanie 13. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

\(a_{1}\) = \(2\), r = \(5\)

Wyrazy \(a_5\) i \(a_{10}\) dzieli pięć kroków, więc \(a_{10}=a_5+5r\): \[47=22+5r,\qquad 5r=25,\qquad r=5.\] Z zależności \(a_5=a_1+4r\) otrzymujemy \(a_1=22-4\cdot5=2\). **Odpowiedź.** \(a_1=2\), \(r=5\)

1 pkt: układ a₁+4r=22, a₁+9r=47. 2 pkt: a₁=2 i r=5.

Zadanie 31. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

**C.** \(55\)

Ze wzoru \(a_{20}=a_1+19r\) otrzymujemy \[a_1=a_{20}-19r=17-19\cdot(-2)=17+38=55.\] **Odpowiedź.** **C.** \(a_1=55\)

Zadanie 20. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

Są dwie trójki: \((a,b,c)=(9,11,13)\) oraz \((a,b,c)=(33,11,-11)\). Z warunków \(a+c=2b\) i \(a+b+c=33\) wynika \(b=11\) i \(a+c=22\), a z warunku geometryczności \(16^2=(a-1)(c+19)\); po podstawieniu \(c=22-a\) otrzymujemy \(a^2-42a+297=0\), skąd \(a=9\) lub \(a=33\).

**Krok \(1\).** Mamy trzy niewiadome i trzy informacje: sumę, warunek arytmetyczności i warunek geometryczności. Kluczowe są dwie własności trzywyrazowych ciągów: w ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią sąsiadów, czyli \(2b=a+c\), a w ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi skrajnych. **Krok \(2\).** Z warunku arytmetyczności \(a+c=2b\) podstawiamy do równania \(a+b+c=33\): \[2b+b=33,\qquad 3b=33,\qquad b=11.\] **Krok \(3\).** Stąd również \(a+c=2b=22\), czyli \(c=22-a\). **Krok \(4\).** Ciąg geometryczny to \((a-1,\ b+5,\ c+19)=(a-1,\ 16,\ c+19)\). Warunek geometryczności: \[16^2=(a-1)(c+19).\] **Krok \(5\).** Podstawiamy \(c=22-a\), więc \(c+19=41-a\): \[256=(a-1)(41-a).\] **Krok \(6\).** Wymnażamy i porządkujemy: \[256=41a-a^2-41+a,\qquad 256=-a^2+42a-41,\qquad a^2-42a+297=0.\] **Krok \(7\).** Liczymy wyróżnik: \[\Delta=42^2-4\cdot297=1764-1188=576,\qquad\sqrt\Delta=24,\] \[a=\frac{42-24}{2}=9\qquad\text{lub}\qquad a=\frac{42+24}{2}=33.\] **Krok \(8\).** Dla \(a=9\) mamy \(c=22-9=13\). Sprawdzenie: ciąg \((9,11,13)\) jest arytmetyczny, a \((8,16,32)\) jest geometryczny o ilorazie \(2\). **Krok \(9\).** Dla \(a=33\) mamy \(c=22-33=-11\). Sprawdzenie: ciąg \((33,11,-11)\) jest arytmetyczny (różnica \(-22\)), a \((32,16,8)\) jest geometryczny o ilorazie \(\frac12\). **Uwaga.** Zadanie ma dwa rozwiązania — znalezienie tylko jednego to rozwiązanie niepełne. Warto sprawdzić, czy wyrazy ciągu geometrycznego są różne od zera (są), bo ciąg geometryczny nie może mieć wyrazu zerowego. **Odpowiedź.** \((a,b,c)=(9,11,13)\) albo \((a,b,c)=(33,11,-11)\).

**1 pkt** – zdający wykorzysta własności ciągu arytmetycznego (geometrycznego) i zapisze odpowiednie równanie, np. \(2b=a+c\) albo \((b+5)^{2}=[…]\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – zdający wykorzysta własności obu ciągów (arytmetycznego i geometrycznego) i zapisze układ równań umożliwiający obliczenie liczb \(a\), \(b\), \(c\), np. \(a+b+c=33\), \(a+c=2b\), \((b+5)^{2}=[…]\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – zdający przekształci układ równań do równania kwadratowego z niewiadomą \(a\) lub \(c\), np. \(a^{2}-42a+297=0\) lub \(c^{2}-2c-143=0\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **4 pkt** – zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, odrzuci jedno z rozwiązań i poprawnie wyznaczy drugą trójkę liczb; albo przekształci układ równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego z błędem rachunkowym, np. błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu, i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste). **5 pkt** – zdający wyznaczy szukane liczby: \(a=33\), \(b=11\), \(c=-11\) lub \(a=9\), \(b=11\), \(c=13\). Jeżeli zdający stosuje własności ciągu arytmetycznego przy rozważaniu ciągu geometrycznego (lub odwrotnie), to za całe rozwiązanie otrzymuje \(0\) punktów. Jeżeli zdający zapisze odpowiedź w postaci, z której nie można jednoznacznie stwierdzić, że są dwie trójki szukanych liczb, np. zapisze: \(a=33\) lub \(a=9\), \(b=11\), \(c=-11\) lub \(c=13\), to otrzymuje \(4\) punkty.

III. Modelowanie matematyczne. Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego oraz własności ciągu arytmetycznego. (III.5)

B. \(a_{1}\) = \(2\)

Różnica ciągu jest równa \(r=a_4-a_3=14-10=4\). Z zależności \(a_3=a_1+2r\) otrzymujemy \[a_1=10-2\cdot4=2.\] **Odpowiedź.** **B.** \(a_1=2\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego (II.5.c).

**C.** \(28\)

W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich, więc \[a=\frac{7+49}2=\frac{56}2=28.\] **Odpowiedź.** **C.** \(a=28\)

Zadanie 21. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

Największe n wynosi \(37\). Dla \(a_{1}\)=−\(2\) i r=\(3\) suma ma postać Sn=n(\(3n\)−\(7\))/\(2\). Warunek Sn<\(2012\) daje \(3\)\(n^{2}\)−\(7n\)−\(4024<0\); dodatni pierwiastek jest równy około \(37\),\(81\).

**Krok \(1\).** Suma \(a_1+a_2+\ldots+a_n\) to suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, którą oznaczamy \(S_n\). Mamy więc znaleźć największą liczbę naturalną \(n\), dla której \(S_n\lt 2012\). Plan: wyliczyć \(S_n\) ze wzoru, otrzymać nierówność kwadratową i wybrać z jej rozwiązania największą liczbę naturalną. **Krok \(2\).** Korzystamy ze wzoru \(S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\) i podstawiamy \(a_1=-2\), \(r=3\): \[S_n=\frac{2\cdot(-2)+(n-1)\cdot 3}{2}\cdot n=\frac{-4+3n-3}{2}\cdot n=\frac{n(3n-7)}{2}.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy warunek z zadania: \[\frac{n(3n-7)}{2}\lt 2012.\] Mnożymy obie strony przez \(2\) i porządkujemy: \[3n^2-7n\lt 4024,\qquad 3n^2-7n-4024\lt 0.\] **Krok \(4\).** Liczymy wyróżnik: \[\Delta=(-7)^2-4\cdot 3\cdot(-4024)=49+48\,288=48\,337.\] Ponieważ \(219^2=47\,961\) i \(220^2=48\,400\), mamy \(\sqrt{48\,337}\approx 219{,}86\). **Krok \(5\).** Współczynnik przy \(n^2\) jest dodatni, więc trójmian jest ujemny między pierwiastkami. Interesuje nas pierwiastek dodatni: \[n_2=\frac{7+\sqrt{48\,337}}{6}\approx\frac{7+219{,}86}{6}=\frac{226{,}86}{6}\approx 37{,}81.\] **Krok \(6\).** Numer wyrazu \(n\) jest liczbą naturalną dodatnią, a warunek to \(n\lt 37{,}81\). Największą taką liczbą naturalną jest \(n=37\). **Krok \(7\).** Sprawdzamy bez przybliżeń, żeby mieć pewność: \[S_{37}=\frac{37\cdot(3\cdot 37-7)}{2}=\frac{37\cdot 104}{2}=1924\lt 2012,\] \[S_{38}=\frac{38\cdot(3\cdot 38-7)}{2}=\frac{38\cdot 107}{2}=2033\gt 2012.\] Czyli \(n=37\) spełnia warunek, a \(n=38\) już nie. **Uwaga.** Pytamy o największe \(n\), a \(n\) musi być liczbą naturalną, więc wyniku \(37{,}81\) nie wolno zaokrąglić w górę do \(38\). Zawsze warto zamknąć takie zadanie sprawdzeniem dwóch sąsiednich wartości, jak w kroku \(7\), bo wtedy przybliżenie pierwiastka nie ma już wpływu na odpowiedź. **Odpowiedź.** Największe takie \(n\) to \(n=37\).

**1 pkt** – zapisanie nierówności (lub równania) z jedną niewiadomą: \(\frac{-2+(3n-5)}{2}\cdot n<2012\). **2 pkt** – doprowadzenie nierówności kwadratowej lub równania kwadratowego do postaci ogólnej: \(3n^{2}-7n-4024<0\) lub \(3n^{2}-7n-4024=0\). **3 pkt** – rozwiązanie nierówności \(3n^{2}-7n-4024<0\) lub równania \(3n^{2}-7n-4024=0\): \(\frac{7-\sqrt{48337}}{6}\) lub \(\frac{7+\sqrt{48337}}{6}\). **4 pkt** – rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe): poprawne rozwiązanie nierówności kwadratowej lub równania kwadratowego, a następnie błędy rachunkowe w oszacowaniu liczby \(\frac{7+\sqrt{48337}}{6}\) i konsekwentne do tych błędów podanie odpowiedzi; albo błędy rachunkowe podczas przekształcania nierówności i konsekwentne do tych błędów podanie odpowiedzi. **5 pkt** – zapisanie, że największą liczbą \(n\), dla której \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}<2012\), jest \(n=37\). Uwaga: jeżeli zdający, stosując metodę prób i błędów, sprawdzi, że liczba \(n=37\) spełnia tę nierówność, oraz sprawdzi, że liczba \(n=38\) nie spełnia tej nierówności, to otrzymuje \(5\) punktów.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Zastosowanie własności ciągu arytmetycznego i wzoru na sumę n początkowych wyrazów tego ciągu (IV.5.c).

an = \(2n\)−\(3\)

Wyraz ciągu odtwarzamy z sum częściowych: \(a_n=S_n-S_{n-1}\) dla \(n\geq2\). Podstawiamy dany wzór: \[a_n=\left(n^{2}-2n\right)-\left((n-1)^{2}-2(n-1)\right)=n^{2}-2n-\left(n^{2}-4n+3\right)=2n-3.\] Sprawdzamy pierwszy wyraz osobno: \(a_1=S_1=1-2=-1\), a wzór \(2n-3\) dla \(n=1\) również daje \(-1\), więc obowiązuje dla każdego \(n\geq1\). **Odpowiedź.** \(a_n=2n-3\)

1 pkt: wyznaczenie a₁=−1 i a₂=1. 2 pkt: wzór aₙ=2n−3.

Zadanie 30. (0–2) Modelowanie matematyczne Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz i sumę ciągu arytmetycznego (III.5.c) I sposób rozwiązania Obliczamy wartości sum częściowych: S  a  1 2  1 1 1 S  a  a  4  4  0 . 2 1 2 Zatem a  0   1  1 oraz r  a  a  1 1  2 . 2 2 1 Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i otrzymujemy: a  a   n 1 r  1 (n 1)  2  2n  3 n 1 Odpowiedź: n-ty wyraz ciągu a  wyraża się wzorem a  2n  3 . n n Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy obliczy wartości sum częściowych: S  a  1 2  1 1 1 S  a  a  4  4  0 2 1 2 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy bezbłędnie wyznaczy n-ty wyraz ciągu a  : a  2n  3 . n n Uwagi  a  1 1. Zdający może od razu zapisać układ  1 a  a  0  1 2 a  1 2. Jeżeli zdający zapisze układ  1 , to otrzymuje 0 punktów. a  0  2 II sposób rozwiązania Zauważamy, że dla n  1 mamy a  S  S . n n n1 S  n 12  2  n 1  n2  4n  3 n1 Obliczamy a  S  S  n2  2n   n2  4n  3   2n  3 oraz a  S  1. n n n1 1 1 Zauważamy ponadto, że wzór a  2n  3 dla n  1 daje otrzymaną wartość a  1 . n 1 Zatem dla każdego n  1 otrzymujemy a  2n  3 . n Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy zapisze, że a  S  S , wyznaczy S  n 12  2  n 1  n2  4n  3 i na tym n n n1 n1 poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy bezbłędnie wyznaczy n-ty wyraz ciągu: a  2n  3 . n 12 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy Uwaga Przyznajemy 2 punkty nawet wtedy, gdy zdający nie sprawdzi, czy a  1 . 1 III sposób rozwiązania a  a Zauważamy, że 1 n  n  n2  2n i wyznaczamy a  2n  4  a . 2 n 1 Obliczamy a  S  1 . Stąd otrzymujemy a  2n  4 1, czyli a  2n  3 . 1 1 n n Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt a  a gdy ze wzoru 1 n  n  n2  2n wyznaczy a  2n  4  a i na tym poprzestanie 2 n 1 lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy wyznaczy n-ty wyraz ciągu: a  2n  3 . n Uwagi 1. Zdający może od razu zapisać, że a  2n  4  a . n 1 a  a 2. Jeśli zdający zapisze, że 1 n  n  n2  2n , wyznaczy z błędem rachunkowym a np.: 2 n a  2n  2  a i z tym błędem doprowadzi rozwiązanie do końca, to otrzymuje 1 punkt. n 1

C. \(60\)°

Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta jest równa \(360^\circ\). Oznaczmy najmniejszy kąt przez \(a_1\); pozostałe to \(a_1+20^\circ\), \(a_1+40^\circ\), \(a_1+60^\circ\). Zatem \[4a_1+120^\circ=360^\circ,\qquad 4a_1=240^\circ,\qquad a_1=60^\circ.\] Kąty czworokąta mają miary \(60^\circ\), \(80^\circ\), \(100^\circ\), \(120^\circ\). **Odpowiedź.** **C.** \(60^\circ\)

Modelowanie matematyczne. Obliczenie wyrazów ciągu arytmetycznego (III.5.a).

\(S_{6}\) = \(78\)

Z zależności \(a_4=a_1+3r\) wyznaczamy różnicę: \[15=3+3r,\qquad 3r=12,\qquad r=4.\] Szósty wyraz jest równy \(a_6=3+5\cdot4=23\), a sumę obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\): \[S_6=\frac{(3+23)\cdot6}{2}=3\cdot26=78.\] **Odpowiedź.** \(S_6=78\)

1 pkt: różnica r=4 albo kolejny poprawny wyraz. 2 pkt: S₆=78.

Zadanie 28. (0–2) Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu. Wykorzystanie Oblicza sumę n początkowych wyrazów ciągu i interpretowanie reprezentacji arytmetycznego. Schemat oceniania Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt gdy:  obliczy różnicę ciągu arytmetycznego ( r  4 ) i na tym poprzestanie lub błędnie wyznaczy S 6 albo  obliczy lub zapisze poprawnie jeden z pozostałych wyrazów ciągu i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo  popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu r i konsekwentnie do tego błędu wyznaczy S . 6 Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt gdy obliczy S  78 . 6 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy Uwaga: Zdający otrzymuje 0 punktów, jeżeli:  błędnie zapisze związek między a , a i r, np. a  4r  15 i konsekwentnie do tego błędu 1 4 1 wyznaczy S , 6 2a  5r  zacytuje odpowiednie wzory, np. a  a  3r lub S  1  6 i na tym poprzestanie. 4 1 6 2

**C.** \(2\)

Różnicę odczytujemy bezpośrednio ze wzoru ogólnego: \[r=a_{n+1}-a_n=\left(2(n+1)-1\right)-(2n-1)=2.\] **Odpowiedź.** **C.** \(r=2\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Ciągi – wyznacza różnicę ciągu arytmetycznego.

\(x_1=1\). Z warunku \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=3^{\,x_{n+1}-x_n}=27=3^3\) wynika \(x_{n+1}-x_n=3\), więc \((x_n)\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy \(3\); z równania \(10x_1+45\cdot3=145\) otrzymujemy \(x_1=1\).

**Krok \(1\).** Informacja, że ciąg \((a_n)\) jest geometryczny, znaczy, że iloraz kolejnych wyrazów jest stały i równy \(27\). Skoro wyrazy są potęgami o tej samej podstawie \(3\), to iloraz zamieni się na potęgę o wykładniku będącym różnicą — i w ten sposób z ciągu geometrycznego \((a_n)\) zrobi się warunek na ciąg \((x_n)\). **Krok \(2\).** Zapisujemy iloraz dwóch kolejnych wyrazów: \[\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3^{x_{n+1}}}{3^{x_n}}=3^{\,x_{n+1}-x_n}=27=3^3.\] **Krok \(3\).** Potęgi o tej samej podstawie \(3\) są równe dokładnie wtedy, gdy równe są wykładniki, więc dla każdego \(n\geqslant1\) \[x_{n+1}-x_n=3.\] **Krok \(4\).** Różnica kolejnych wyrazów ciągu \((x_n)\) jest stała, a to jest właśnie definicja ciągu arytmetycznego. Zatem \((x_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=3\). **Krok \(5\).** Korzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego dla \(n=10\): \[S_{10}=\frac{2x_1+9r}{2}\cdot10=10x_1+45r.\] **Krok \(6\).** Podstawiamy \(r=3\) oraz \(S_{10}=145\): \[10x_1+45\cdot3=145,\qquad 10x_1+135=145.\] **Krok \(7\).** Stąd \(10x_1=10\), czyli \(x_1=1\). **Uwaga.** Nie należy mylić obu ciągów: geometryczny jest \((a_n)\), natomiast \((x_n)\) — czyli ciąg wykładników — jest arytmetyczny. We wzorze na sumę dziesięciu wyrazów pojawia się \(45r\), a nie \(9r\), bo \(\frac{9}{2}\cdot10=45\). **Odpowiedź.** \(x_1=1\).

Zadanie 5. (0—4) Użycie i tworzenie strategii Zastosowanie własności ciągu geometrycznego, wzorów na n-ty wyraz tego ciągu i na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego I sposób rozwiązania a Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równość: a Zatem 27 X Stąd xn+l —xn = 3 dla nžl Zauważamy, że jeśli dla dowolnej liczby naturalnej : xn+l — x n = 3, to ciąg (xn)je n arytmetyczny o różnicy r = 3 Z własności ciągu arytmetycznego zapisujemy układ równań + (XI + +9r) 145 +45—145 Doprowadzamy układ do postaci: i podstawiamy r = 3 do pierwsze{ równania. Otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą: IOXI +135 = 145 . Stąd XI = I Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełneg rozwiązania zadania 1 pl Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie odpowiedniego równania, np. 27=3 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp Zapisanie zależności między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu (xn) • X —xn— (wystarczy zapis, np. x2 — XI = 3). Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p] rozwiązania 1 pkt =3145 Zapisanie układu równań lub równania XI + (XI +3)+. np.: +135=145 Obliczenie XI : XI = 1 Uwaga = 145 lub . + (XI +27) Rozwiązanie pełne 2x1 + 9r .10=145 2 lub = 145 i przekształcenie do równania Jeżeli zdający pomyli własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego, +45r = 14: w postac to za ca rozwiązanie otrzymuje O punktów. Kryteria oceniania odpowiedzi II sposób rozwiązania =3145 Z warunków zadania zapisujemy równość: Zatem .3X2 .....3 =3145 Korzystając z tego, że ciąg (an ) jest geometryczny o ilorazie q = 27 otrzymujemy .27....3XI .279 =3145 Stąd 10-rł = 3145 3 .27 I Oxł .3345 =3145 3 +135 = 3145 3 +135=145 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego Wykorzystanie warunków zadania i zapłsanie równości: 3Xl+X2* Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ......................................................................2 pkt Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego .279 =3145 .27 • Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt Przekształcenie równania do postaci: I Oxł +135 = 145 Rozwiązanie pełne Obliczenie XI : XI = I i zapisanie równama: 4 pkt

IV. Użycie i tworzenie strategii. Zastosowanie własności ciągu geometrycznego, wzorów na n-ty wyraz tego ciągu i na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego.

C. \(a_{2}\) + \(a_{9}\) = \(a_{3}\) + \(a_{8}\)

Ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\) wynika, że \[a_i+a_j=2a_1+(i+j-2)r,\] czyli suma dwóch wyrazów zależy tylko od sumy ich wskaźników. Ponieważ \(2+9=3+8=11\), zachodzi \(a_2+a_9=a_3+a_8\). Pozostałe równości nie są prawdziwe dla każdego takiego ciągu: np. w \(a_4+a_6=a_3+a_8\) sumy wskaźników wynoszą \(10\) i \(11\). **Odpowiedź.** **C.** \(a_2+a_9=a_3+a_8\)

Użycie i tworzenie strategii. Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego zachodzi \(2y\) = x + \(19\). Razem z x + y = \(8\) otrzymujemy układ równań. Po podstawieniu x = \(8\) − y: \(2y\) = \(27\) − y, więc y = \(9\) i x = −\(1\).

W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich, więc \[2y=x+19.\] Razem z warunkiem \(x+y=8\) daje to układ równań. Podstawiamy \(x=8-y\): \[2y=8-y+19,\qquad 3y=27,\qquad y=9,\] a stąd \(x=8-9=-1\). Sprawdzenie: ciąg \((-1,9,19)\) ma różnicę \(10\), a \(x+y=-1+9=8\). **Odpowiedź.** \(x=-1\), \(y=9\)

1 pkt: wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego, np. zapisanie 2y = x + 19. 2 pkt: obliczenie x = −1 i y = 9.

Modelowanie matematyczne. Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego lub własności trzech kolejnych wyrazów ciągu.

x = \(\frac{1}{2}\)

W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich, więc \[2\cdot6=(2x+1)+(16x+2),\qquad 12=18x+3,\qquad 18x=9,\qquad x=\frac12.\] Sprawdzenie: dla \(x=\frac12\) ciąg ma postać \((2,6,10)\) i jego różnica jest równa \(4\). **Odpowiedź.** \(x=\frac12\)

1 pkt: równanie 2·6=(2x+1)+(16x+2). 2 pkt: x=1/2.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Ciągi – wykorzystuje własność trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.

**C.** \(16\)

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała: \[a_2-a_1=a_3-a_2.\] Podstawiamy \(a_1=1\), \(a_2=3\), \(a_3=x-11\): \[3-1=(x-11)-3,\qquad 2=x-14,\qquad x=16.\] **Odpowiedź.** C. \(16\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie warunku na trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

\(x=1\)

Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego dokładnie wtedy, gdy wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich: \[a_2=\frac{a_1+a_3}{2},\qquad\text{równoważnie}\qquad 2a_2=a_1+a_3.\] Podstawiamy \(a_1=x-2\), \(a_2=3\), \(a_3=x+6\): \[2\cdot3=(x-2)+(x+6),\] \[6=2x+4,\] \[2x=2,\qquad x=1.\] Sprawdzenie: dla \(x=1\) otrzymujemy wyrazy \(-1\), \(3\), \(7\) o stałej różnicy \(r=4\). **Odpowiedź.** \(x=1\)

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=1\) **Uwaga:** Centralna Komisja Egzaminacyjna nie opublikowała dla tego arkusza pokazowego schematu oceniania z progami cząstkowymi. Podana punktacja całkowita pochodzi z arkusza.

**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie warunku na trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.

**D.** \(100\)

Sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\): \[S_{20}=\frac{(3+7)\cdot20}{2}=10\cdot10=100.\] **Odpowiedź.** **D.** \(S_{20}=100\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Ciągi – oblicza sumę ciągu arytmetycznego.

an = \(2\) lub an = \(3n\) - \(7\)

Suma pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa pięciokrotności wyrazu środkowego, bo \(a_1+a_5=a_2+a_4=2a_3\). Zatem \[S_5=5a_3=10,\qquad a_3=2.\] Wyrazy \(a_3\), \(a_5\), \(a_{13}\) tworzą ciąg geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych: \[(a_3+2r)^{2}=a_3(a_3+10r),\qquad (2+2r)^{2}=2(2+10r).\] Stąd \(4+8r+4r^{2}=4+20r\), czyli \(4r^{2}-12r=0\) i \(4r(r-3)=0\). Otrzymujemy \(r=0\) albo \(r=3\); oba przypadki spełniają warunki zadania, bo dla \(r=0\) trójka \((2,2,2)\) też jest ciągiem geometrycznym. Dla \(r=0\) mamy \(a_n=2\). Dla \(r=3\) mamy \(a_1=a_3-2r=2-6=-4\), więc \(a_n=-4+(n-1)\cdot3=3n-7\). **Odpowiedź.** \(a_n=2\) albo \(a_n=3n-7\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(a_n=2\) lub \(a_n=3n-7\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Ciągi.

C. −\(13\)

Wyrazy \(a_3\) i \(a_5\) dzielą dwa kroki, więc \(a_5=a_3+2r\): \[39=13+2r,\qquad 2r=26,\qquad r=13.\] Z zależności \(a_3=a_1+2r\) otrzymujemy \(a_1=13-26=-13\). **Odpowiedź.** **C.** \(a_1=-13\)

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wyznaczanie wyrazów ciągu arytmetycznego.

**B.** \(14\)

Wyrazy \(a_2\) i \(a_4\) dzielą dwa kroki, więc \(a_4=a_2+2r\): \[11=5+2r,\qquad r=3.\] Zatem \(a_5=a_4+r=11+3=14\). **Odpowiedź.** **B.** \(a_5=14\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Ciągi – wyznacza wyraz ciągu arytmetycznego.

\(a_{1}\) = \(2\)

Suma pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa pięciokrotności wyrazu środkowego, bo \(a_1+a_5=a_2+a_4=2a_3\). Zatem \[S_5=5a_3=70,\qquad a_3=14.\] Wyrazy \(a_3\) i \(a_5\) dzielą dwa kroki, więc \(a_5=a_3+2r\): \[26=14+2r,\qquad r=6.\] Stąd \(a_1=a_3-2r=14-12=2\). **Odpowiedź.** \(a_1=2\)

1 pkt: zapis zależności dla a₅ i S₅. 2 pkt: a₁=2.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Ciągi – wyznacza pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego z sumy.

**B.** \(r=\frac52\)

Wyrazy \(a_3\) i \(a_{11}\) dzieli osiem kroków, więc \(a_{11}=a_3+8r\): \[34=14+8r,\qquad 8r=20,\qquad r=\frac{20}8=\frac52.\] **Odpowiedź.** **B.** \(r=\frac52\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: \(\mathrm{B}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Ciąg jest arytmetyczny dla każdego \(m\); jego różnica wynosi \(r=\frac{3-m}{12}\).

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny dokładnie wtedy, gdy różnice kolejnych wyrazów są równe, czyli gdy \(a_2-a_1=a_3-a_2\). Obliczamy obie różnice, sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika \(12\): \[a_2-a_1=\frac{m+3}{6}-\frac{m+1}{4}=\frac{2(m+3)-3(m+1)}{12}=\frac{3-m}{12},\] \[a_3-a_2=\frac{m+9}{12}-\frac{m+3}{6}=\frac{(m+9)-2(m+3)}{12}=\frac{3-m}{12}.\] Obie różnice są równe \(\frac{3-m}{12}\) niezależnie od wartości \(m\), więc dany ciąg jest arytmetyczny dla każdego \(m\), a jego różnica wynosi \(r=\frac{3-m}{12}\). Równoważnie: wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych, bo \[\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{\frac{m+1}{4}+\frac{m+9}{12}}{2}=\frac{\frac{3(m+1)+(m+9)}{12}}{2}=\frac{4m+12}{24}=\frac{m+3}{6}=a_2.\]

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **I sposób rozwiązania:** Wystarczy sprawdzić, że zachodzi następujący związek między sąsiednimi wyrazami ciągu: \(a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\). Mamy \(a_{1}=\frac{m+1}{4}\), \(a_{2}=\frac{m+3}{6}\), \(a_{3}=\frac{m+9}{12}\). Zatem \(\frac{a_{1}+a_{3}}{2}=\frac{\frac{m+1}{4}+\frac{m+9}{12}}{2}=\frac{3m+3+m+9}{24}=\frac{4m+12}{24}=\frac{m+3}{6}=a_{2}\). Stąd wynika, że ciąg \(\left(\frac{m+1}{4},\frac{m+3}{6},\frac{m+9}{12}\right)\) jest arytmetyczny dla każdego \(m\). **II sposób rozwiązania:** Mamy \(a_{1}=\frac{m+1}{4}\), \(a_{2}=\frac{m+3}{6}\), \(a_{3}=\frac{m+9}{12}\). Wystarczy sprawdzić, że \(a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}\). Obliczamy: \[\frac{m+3}{6}-\frac{m+1}{4}=\frac{m+9}{12}-\frac{m+3}{6}\]\[\frac{2m+6-3m-3}{12}=\frac{m+9-2m-6}{12}\]\[\frac{-m+3}{12}=\frac{-m+3}{12}\]

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Najmniejsza liczba początkowa to \(k=170\) monet; przy tej wartości najmniej monet, dokładnie \(1\), było w skarbcu w dniu \(n=13\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy model. Liczby monet dokładanych w kolejne poranki: \(25\), \(27\), \(29\), \(\ldots\) — każdego dnia o \(2\) więcej, czyli jest to ciąg arytmetyczny o \(a_1=25\) i różnicy \(r=2\). Stan skarbca po \(n\)-tym dniu to liczba początkowa plus wszystko, co dołożono przez \(n\) dni, minus wszystko, co zabrano. Ponieważ suma ciągu arytmetycznego jest funkcją kwadratową zmiennej \(n\), całość sprowadzi się do badania funkcji kwadratowej. **Krok \(2\).** Liczymy, ile monet dołożono łącznie przez \(n\) dni. Wyraz ogólny to \(a_n=25+(n-1)\cdot 2=2n+23\), więc \[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{25+2n+23}{2}\cdot n=\frac{2n+48}{2}\cdot n=n^2+24n.\] **Krok \(3\).** Król zabiera \(50\) monet dziennie, czyli przez \(n\) dni łącznie \(50n\). Stan skarbca po południu \(n\)-tego dnia: \[M(n)=k+\left(n^2+24n\right)-50n=n^2-26n+k.\] **Krok \(4\).** Zapisujemy warunek z treści. „W każdym dniu była co najmniej jedna moneta” oznacza \[M(n)\geqslant 1\qquad\text{dla każdego }n=1,2,3,\ldots\] Wystarczy więc, aby najmniejsza z liczb \(M(n)\) była co najmniej równa \(1\). **Krok \(5\).** Szukamy tej najmniejszej wartości. Doprowadzamy \(M\) do postaci kanonicznej — odcięta wierzchołka to \(n_w=\frac{-b}{2a}=\frac{26}{2}=13\), więc \[M(n)=(n-13)^2+k-169.\] **Krok \(6\).** Ponieważ \(13\) jest liczbą naturalną, wierzchołek naprawdę jest osiągany i najmniejszy stan skarbca to \[M(13)=k-169.\] **Krok \(7\).** Wstawiamy do warunku: \[k-169\geqslant 1,\qquad k\geqslant 170.\] Najmniejszą liczbą \(k\) spełniającą warunek jest \(k=170\). **Krok \(8\).** Dla \(k=170\) mamy \(M(n)=(n-13)^2+1\), więc najmniejsza liczba monet, równa \(1\), pojawia się dokładnie dla \(n=13\), czyli trzynastego dnia. (Sprawdzenie: \(M(12)=M(14)=2\), \(M(1)=145\).) **Uwaga.** Pułapką jest to, że \(n\) przebiega tylko liczby NATURALNE. Tutaj odcięta wierzchołka \(n_w=13\) sama jest liczbą naturalną, więc minimum funkcji kwadratowej jest jednocześnie minimum ciągu. Gdyby wierzchołek wypadł na przykład w \(n_w=13{,}5\), trzeba by porównać \(M(13)\) i \(M(14)\). Zwróć też uwagę, że warunek to \(M(n)\geqslant 1\) (co najmniej jedna moneta), a nie \(M(n)\gt 0\) w sensie rzeczywistym — dla liczb całkowitych daje to ten sam wynik. **Odpowiedź.** Najmniejsza liczba początkowa to \(k=170\) monet; przy tej wartości najmniej monet, dokładnie \(1\), było w skarbcu w dniu \(n=13\).

**1 pkt** – jeśli rozpozna, że ciąg liczb monet wkładanych do skarbca przez kolejne dni przez skarbnika jest arytmetyczny. Poprawna odpowiedź: Liczby monet wkładanych przez kolejne dni przez skarbnika tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie równym \(25\) i różnicy równej \(2\). **1 pkt** – jeśli zapisze wzór na \(M(n)\) – liczbę monet w \(n\)-tym dniu po południu. Poprawna odpowiedź: \(M(n)=k+\frac{25+\left(25+(n-1)\cdot 2\right)}{2}\cdot n-50n=n^{2}-26n+k\) **2 pkt** – jeśli zapisze warunek wystarczający na to, aby w skarbcu zawsze były monety i wyznaczy najmniejszą liczbę \(k\). Poprawna odpowiedź: np. \(M(n)=(n-13)^{2}+k-169>0\), więc najmniejszą liczbą \(k\) jest \(170\), albo \(\Delta<0\) (bo \(n\in N\)), czyli \(26^{2}-4k<0\), stąd \(k>169\), więc najmniejszą liczbą \(k\) jest \(170\). **1 pkt** – jeśli zapisze tylko warunek wystarczający na to, aby w skarbcu zawsze były monety i na tym zakończy rozwiązanie lub popełni błędy przy wyznaczaniu najmniejszej liczby \(k\). Poprawna odpowiedź: np. \(M(n)=(n-13)^{2}+k-169>0\) lub \(\Delta<0\), bo \(n\in N\), stąd \(26^{2}-4k<0\). **1 pkt** – jeśli obliczy, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet. Poprawna odpowiedź: \(n=13\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a_1=-11\), \(r=2\); b) tak, ciąg \((1,3,9)\) jest geometryczny o ilorazie \(3\); c) suma jest najmniejsza dla \(n=6\) i wynosi \(-36\).

**a)** W ciągu arytmetycznym \(a_{11}-a_7=4r\), więc \[9-1=4r,\qquad r=2.\] Dalej \(a_1=a_7-6r=1-12=-11\). **b)** Obliczamy \(a_8=a_7+r=3\). Ciąg \((a_7,a_8,a_{11})=(1,3,9)\) jest geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy \(a_8^{2}=a_7\cdot a_{11}\): \[3^{2}=1\cdot9.\] Równość zachodzi, a żaden wyraz nie jest zerem, więc ciąg jest geometryczny o ilorazie \(3\). **c)** Wyraz ogólny: \(a_n=-11+(n-1)\cdot2=2n-13\). Suma \(S_n\) maleje dopóty, dopóki dokładane wyrazy są ujemne: \[2n-13<0\iff n\leq6.\] Wyraz \(a_7=1\) jest już dodatni, więc \(S_n\) jest najmniejsza dla \(n=6\): \[S_6=\frac{a_1+a_6}{2}\cdot6=\frac{-11+(-1)}{2}\cdot6=-36.\] **Odpowiedź.** \(a_1=-11\), \(r=2\); ciąg \((1,3,9)\) jest geometryczny; suma jest najmniejsza dla \(n=6\) i równa \(-36\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[r=\frac97.\]

Sumę siedmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego liczymy ze wzoru \(S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}\) dla \(b_1=\frac34\) i \(q=-2\): \[S_7^{(b)}=\frac34\cdot\frac{1-(-2)^7}{1-(-2)}=\frac34\cdot\frac{1+128}{3}=\frac34\cdot43=\frac{129}{4}.\] Ciąg arytmetyczny ma ten sam wyraz pierwszy \(a_1=\frac34\), więc \[S_7^{(a)}=\frac{2a_1+6r}{2}\cdot7=\frac{\frac32+6r}{2}\cdot7.\] Porównujemy obie sumy: \[\frac{\frac32+6r}{2}\cdot7=\frac{129}{4},\qquad \frac32+6r=\frac{129}{14},\] \[6r=\frac{129}{14}-\frac{21}{14}=\frac{108}{14}=\frac{54}{7},\qquad r=\frac97.\] **Odpowiedź.** Różnica ciągu arytmetycznego jest równa \(\frac97\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **4.1. (1 pkt)** – […]: \(S_{7}=\frac{1}{4}\left(1+2^{7}\right)=\frac{129}{4}\). […] występować, np. jako jedna ze stron równania w czynności 4.3). Zdający nie musi obliczyć wartości sumy \(S_{7}\). **4.2. (1 pkt)** – zapisanie sumy \(7\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego w zależności od \(r\): \(S_{7}=\frac{2\cdot\frac{3}{4}+6r}{2}\cdot 7\). Nie musi to być oddzielny zapis, może występować, np. jako jedna ze stron równania w czynności 4.3. **4.3. (1 pkt)** – ułożenie równania z niewiadomą \(r\): \(\frac{2\cdot\frac{3}{4}+6r}{2}\cdot 7=\frac{1}{4}\left(1+2^{7}\right)\). Może też być: \(\frac{2\cdot\frac{3}{4}+6r}{2}\cdot 7=\frac{129}{4}\). **4.4. (1 pkt)** – rozwiązanie równania: \(r=\frac{9}{7}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Teza wynika z układu warunków \(2b=a+c\) oraz \(b^{2}=ac\), z którego otrzymujemy \((a-c)^{2}=0\), czyli \(a=c\), a następnie \(b=c\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ zadania: to dowód. Nie wolno zacząć od tezy \(a=b=c\) — zaczynamy od ZAŁOŻEŃ i przekształcamy je aż do tezy. Założenia trzeba najpierw zapisać wzorami, korzystając z warunków na trzy kolejne wyrazy: w ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów, a w geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiadów. **Krok \(2\).** Zapisujemy oba warunki jako układ: \[\begin{cases}b=\dfrac{a+c}{2}\\ b^2=a\cdot c\end{cases}\] **Krok \(3\).** Z pierwszego równania podstawiamy \(b=\frac{a+c}{2}\) do drugiego: \[\left(\frac{a+c}{2}\right)^2=ac.\] **Krok \(4\).** Podnosimy do kwadratu licznik i mnożymy obie strony przez \(4\): \[\frac{a^2+2ac+c^2}{4}=ac,\qquad a^2+2ac+c^2=4ac.\] **Krok \(5\).** Przenosimy wszystko na jedną stronę: \[a^2-2ac+c^2=0.\] Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia: \[(a-c)^2=0.\] **Krok \(6\).** Kwadrat liczby rzeczywistej jest zerem tylko wtedy, gdy sama liczba jest zerem, więc \(a-c=0\), czyli \[a=c.\] **Krok \(7\).** Wracamy do pierwszego równania układu i wstawiamy \(a=c\): \[b=\frac{c+c}{2}=\frac{2c}{2}=c.\] **Krok \(8\).** Zebrane razem: \(a=c\) oraz \(b=c\), a zatem \(a=b=c\), co należało udowodnić. **Uwaga.** Sercem dowodu jest rozpoznanie w wyrażeniu \(a^2-2ac+c^2\) kwadratu różnicy — bez tego nie ruszymy dalej. Warto też pamiętać, że w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem, więc \(a,b,c\neq 0\); tutaj nie było to potrzebne, ale to standardowe założenie, o którym warto wspomnieć. Nie wolno natomiast dzielić przez \((a-c)\) ani zakładać czegokolwiek o tezie. **Odpowiedź.** Teza wynika z układu warunków \(2b=a+c\) oraz \(b^{2}=ac\), z którego otrzymujemy \((a-c)^{2}=0\), czyli \(a=c\), a następnie \(b=c\) (dowód w rozwiązaniu).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Stosuję związki między sąsiednimi wyrazami ciągów arytmetycznego i geometrycznego do zbudowania układu równań: \[\begin{cases}\frac{a+c}{2}=b\\ a\cdot c=b^{2}\end{cases}\] Podstawiam do drugiego równania w miejsce \(b\) wyrażenie \(\frac{a+c}{2}\) i otrzymuję równanie: \(ac=\left(\frac{a+c}{2}\right)^{2}\) Wykonuję równoważne przekształcenia: \[4ac=a^{2}+2ac+c^{2}\] \[a^{2}-2ac+c^{2}=0\] \[(a-c)^{2}=0\] a stąd otrzymuję równość \(a=c\). Korzystając z równości \(a=c\) i z pierwszego równania układu otrzymuję: \(\frac{2\cdot c}{2}=b\), stąd otrzymuję równość \(c=b\). Ponieważ zachodzi \(a=c\) i \(b=c\), więc \(a=b=c\), co należało udowodnić.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Liczba \(37\frac34\) jest pięćdziesiątym wyrazem ciągu, czyli \(a_{50}\). b) Wyrazów całkowitych jest \(13\) (są to \(a_1=1,\ a_5=4,\ \ldots,\ a_{49}=37\)), a ich suma wynosi \(247\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dwie różne sprawy. Podpunkt a) to zwykłe równanie: pytamy, dla jakiego \(n\) wyraz \(a_n\) równa się danej liczbie. Podpunkt b) jest ciekawszy — wyrazy całkowite pojawiają się REGULARNIE (co pewną stałą liczbę kroków), więc same tworzą ciąg arytmetyczny, a ich sumę policzymy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. **Krok \(2\).** Podpunkt a): zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: \(37\tfrac34=\dfrac{151}{4}\). Zapisujemy równanie: \[\frac{1}{4}(3n+1)=\frac{151}{4}.\] **Krok \(3\).** Mnożymy obie strony przez \(4\): \[3n+1=151\quad\Longrightarrow\quad 3n=150\quad\Longrightarrow\quad n=50.\] Liczba \(37\tfrac34\) jest więc pięćdziesiątym wyrazem ciągu. **Krok \(4\).** Podpunkt b): wyraz \(a_n=\dfrac{3n+1}{4}\) jest liczbą całkowitą dokładnie wtedy, gdy licznik \(3n+1\) dzieli się przez \(4\). Sprawdzamy kilka pierwszych wyrazów: \[a_1=\tfrac44=1,\quad a_2=\tfrac74,\quad a_3=\tfrac{10}{4},\quad a_4=\tfrac{13}{4},\quad a_5=\tfrac{16}{4}=4.\] Widać, że całkowite są wyrazy o numerach \(1, 5, 9, \ldots\), czyli co czwarty. **Krok \(5\).** Uzasadniamy tę regularność: zwiększenie \(n\) o \(4\) zwiększa licznik \(3n+1\) o \(12\), czyli o wielokrotność \(4\) — reszta z dzielenia przez \(4\) się nie zmienia. Natomiast zwiększenie \(n\) o \(1\), \(2\) lub \(3\) zmienia licznik o \(3\), \(6\) lub \(9\), co daje inną resztę. Numery wyrazów całkowitych to więc dokładnie \(n=1,5,9,13,\ldots\), czyli \(n=1+4k\). **Krok \(6\).** Zliczamy te numery wśród pięćdziesięciu początkowych wyrazów: \[1+4k\leqslant50\quad\Longrightarrow\quad 4k\leqslant49\quad\Longrightarrow\quad k\leqslant12{,}25,\] czyli \(k=0,1,\ldots,12\) — razem \(13\) wyrazów. Ostatni z nich ma numer \(n=1+4\cdot12=49\), a jego wartość to \[a_{49}=\frac{3\cdot49+1}{4}=\frac{148}{4}=37.\] **Krok \(7\).** Same te wyrazy \(1, 4, 7, \ldots, 37\) tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(3\) (bo przeskok o cztery wyrazy ciągu o różnicy \(\tfrac34\) daje przyrost \(4\cdot\tfrac34=3\)). Stosujemy wzór na sumę: \[S=\frac{a_{\text{pierwszy}}+a_{\text{ostatni}}}{2}\cdot(\text{liczba wyrazów})=\frac{1+37}{2}\cdot13=19\cdot13=247.\] **Uwaga.** Ograniczenie „wśród pięćdziesięciu początkowych wyrazów” jest istotne — kolejny wyraz całkowity miałby numer \(53\) i już się nie liczy. Warto też zauważyć, że sam wyraz \(a_{50}=\tfrac{151}{4}=37\tfrac34\) z podpunktu a) NIE jest liczbą całkowitą, więc granica \(n\leqslant50\) w praktyce wypada na \(n=49\). Uwaga na liczbę składników: między \(1\) a \(49\) co cztery kroki jest \(13\), a nie \(12\) wyrazów (\(\tfrac{49-1}{4}+1=13\)). **Odpowiedź.** a) Liczba \(37\frac34\) jest pięćdziesiątym wyrazem ciągu, czyli \(a_{50}\). b) Wyrazów całkowitych jest \(13\) (są to \(a_1=1,\ a_5=4,\ \ldots,\ a_{49}=37\)), a ich suma wynosi \(247\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **8.1. (1 pkt)** – zapisanie równania: \(\frac{3n+1}{4}=37\frac{3}{4}\). **8.2. (1 pkt)** – rozwiązanie równania: \(n=50\). **8.3. (1 pkt)** – zauważenie, że wartości wyrazów \(a_{1}\), \(a_{5}\), \(a_{9}\), \(a_{13}\), \(a_{17}\), \(a_{21}\), \(a_{25}\),… są liczbami całkowitymi tworzącymi ciąg arytmetyczny lub obliczenie pierwszego wyrazu ciągu \(a_{1}=1\) i zapisanie, że kolejny składnik szukanej sumy jest większy od poprzedniego o \(3\). Wystarczy, że zdający zapisze sumę \(1+4+7+10+\ldots\) bez jej ostatniego składnika. Obliczenie różnicy ciągu nie jest konieczne. **8.4. (1 pkt)** – obliczenie ostatniego składnika szukanej sumy: \(a_{49}=37\). **8.5. (1 pkt)** – obliczenie liczby wyrazów ciągu, które są liczbami całkowitymi: \(13\). **8.6. (1 pkt)** – obliczenie sumy: \(S_{13}=\frac{a_{1}+a_{49}}{2}\cdot 13=\frac{1+37}{2}\cdot 13=247\). Jeżeli zdający od razu zapisze \(\frac{1+37}{2}\cdot 13\), to otrzymuje punkty w czynnościach 8.3, 8.4 i 8.5.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a_n=14-2n\). b) \(a_{2007}=-4000\). c) \(a_n=0\) dla \(n=7\).

**a)** Wyraz ciągu odtwarzamy z sum częściowych: \(a_n=S_n-S_{n-1}\) dla \(n\geq2\). \[a_n=\left(-n^{2}+13n\right)-\left(-(n-1)^{2}+13(n-1)\right)=-2n+14.\] Dla \(n=1\) mamy \(a_1=S_1=-1+13=12\), a wzór \(-2n+14\) też daje \(12\), więc obowiązuje dla każdego \(n\geq1\). **b)** \(a_{2007}=-2\cdot2007+14=-4014+14=-4000.\) **c)** Z równania \(-2n+14=0\) otrzymujemy \(n=7\). **Odpowiedź.** \(a_n=14-2n\); \(a_{2007}=-4000\); \(a_n=0\) dla \(n=7\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 5.** (\(5\) pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), gdzie \(n\ge 1\). Wiadomo, że dla każdego \(n\ge 1\) suma \(n\) początkowych wyrazów \(S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\) wyraża się wzorem: \(S_{n}=-n^{2}+13n\). a) Wyznacz wzór na \(n\)–ty wyraz ciągu \((a_{n})\). b) Oblicz \(a_{2007}\). c) Wyznacz liczbę \(n\), dla której \(a_{n}=0\). a) Do wyznaczenia wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_{n})\) stosuję własność sum częściowych: \(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\). \(a_{n}=\left(-n^{2}+13n\right)-\left[-(n-1)^{2}+13(n-1)\right]\), stąd \(a_{n}=-2n+14\). b) Obliczam \(a_{2007}\): \(a_{2007}=-2\cdot 2007+14=-4000\). c) Obliczam, który wyraz ciągu przyjmuje wartość zero: \(-2n+14=0\), \(n=7\). Odpowiedź: \(a_{n}=0\) gdy \(n=7\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a_2+a_4+\ldots+a_{100}=10\,150\). b) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{3n^{2}-2}=\frac23\).

Najpierw wyznaczamy wzór ogólny: \(a_n=S_n-S_{n-1}\) dla \(n\geq2\), a więc \[a_n=\left(2n^{2}+n\right)-\left(2(n-1)^{2}+(n-1)\right)=4n-1.\] Dla \(n=1\) mamy \(a_1=S_1=3=4\cdot1-1\), więc wzór obowiązuje od początku. **a)** Wyrazy o numerach parzystych to \(a_{2k}=8k-1\) dla \(k=1,2,\ldots,50\); tworzą one ciąg arytmetyczny o różnicy \(8\), pierwszym wyrazie \(a_2=7\) i ostatnim \(a_{100}=399\). Zatem \[a_2+a_4+\ldots+a_{100}=\frac{(7+399)\cdot50}{2}=406\cdot25=10\,150.\] **b)** W granicy ilorazu wielomianów tego samego stopnia decydują współczynniki przy najwyższej potędze: \[\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{2}+n}{3n^{2}-2}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac1n}{3-\frac2{n^{2}}}=\frac23.\] **Odpowiedź.** a) \(10\,150\); b) \(\frac23\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* a) Wyznaczam wzór ogólny ciągu \((a_{n})\), korzystając z własności sum częściowych ciągów: \(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\), \(a_{n}=2n^{2}+n-2(n-1)^{2}-n+1=4n-1\). Wyznaczam wartość wyrazu \(a_{2}=7\) i różnicy ciągu \((a_{2},a_{4},\ldots,a_{100})\), \(r=8\). Obliczam sumę \(n=50\) początkowych wyrazów ciągu o numerach parzystych: \(S_{50}=\frac{2\cdot 7+(50-1)\cdot 8}{2}\cdot 50=10150\). b) Obliczam granicę ciągu \(\frac{S_{n}}{3n^{2}-2}\): \(\lim_{n\to\infty}\frac{S_{n}}{3n^{2}-2}=\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{2}+n}{3n^{2}-2}=\frac{2}{3}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Ciąg jest arytmetyczny o różnicy \(r=2-p^{2}\), niezależnie od \(p\). b) \(a_{20}+a_{21}+\ldots+a_{40}=-1134\). c) \(p=1\) lub \(p=-2\).

**a)** Dla każdego \(n\geq1\) \[a_{n+1}-a_n=\left((n+1)-3\right)\left(2-p^{2}\right)-(n-3)\left(2-p^{2}\right)=2-p^{2}.\] Różnica nie zależy od \(n\), więc dla każdej wartości \(p\) ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=2-p^{2}\). **b)** Dla \(p=2\) mamy \(2-p^{2}=-2\), czyli \(a_n=-2(n-3)\). Sumujemy \(21\) wyrazów od \(a_{20}\) do \(a_{40}\), przy czym \(a_{20}=-34\) i \(a_{40}=-74\): \[S=\frac{(-34-74)\cdot21}{2}=\frac{-108\cdot21}{2}=-1134.\] **c)** Przekształcamy wzór ciągu \((b_n)\): \[b_n=a_n-pn=(n-3)\left(2-p^{2}\right)-pn=n\left(2-p^{2}-p\right)-3\left(2-p^{2}\right).\] Ciąg jest stały dokładnie wtedy, gdy współczynnik przy \(n\) jest zerem: \[2-p^{2}-p=0,\qquad p^{2}+p-2=0,\qquad (p+2)(p-1)=0.\] Stąd \(p=1\) albo \(p=-2\). **Odpowiedź.** b) \(-1134\); c) \(p=1\) lub \(p=-2\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **10.1. (1 pkt)** – […] \(a_{n+1}-a_{n}=2-p^{2}\) i stwierdzenie, że ciąg \((a_{n})\) jest arytmetyczny. **10.2. (2 pkt)** – Obliczenie żądanej sumy dwudziestu jeden wyrazów danego ciągu: \(S_{40}-S_{19}=-1400+266=-1134\) lub \(\frac{a_{20}+a_{40}}{2}\cdot 21=-1134\). 1 pkt za przedstawienie metody, 1 pkt za wykonanie obliczeń. **10.3. (1 pkt)** – Zapisanie warunku na to aby ciąg \((b_{n})\) był stały: \(p^{2}+p-2=0\). **10.4. (1 pkt)** – Wyznaczenie wszystkich wartości \(p\), dla których ciąg \((b_{n})\) jest stały: \(p=1\) lub \(p=-2\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Teza wynika z tego, że \(1+2+\ldots+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}\), więc prawa strona równa się \(2\cdot\dfrac{n(n-1)}{2}+n=n^{2}-n+n=n^{2}\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Przyjrzyjmy się prawej stronie równości: liczby rosną od \(1\) do \(n\), a potem maleją z powrotem do \(1\). Występuje tam więc dwa razy suma \(1+2+\ldots+(n-1)\) oraz jeden raz środkowy wyraz \(n\). Wystarczy obliczyć tę sumę wzorem na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i sprawdzić, że całość daje \(n^2\). **Krok \(2\).** Oznaczmy \[S=1+2+3+\ldots+(n-1).\] Jest to suma wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym \(a_1=1\), różnica \(r=1\), ostatni wyraz to \(n-1\), a liczba wyrazów wynosi \(n-1\). **Krok \(3\).** Stosujemy wzór na sumę \(k\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \(S_k=\frac{a_1+a_k}{2}\cdot k\), przyjmując \(k=n-1\) oraz \(a_k=n-1\): \[S=\frac{1+(n-1)}{2}\cdot(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}.\] **Krok \(4\).** Zapisujemy prawą stronę dowodzonej równości przy pomocy \(S\). Rosnąca część to \(1+2+\ldots+(n-1)=S\), potem stoi wyraz \(n\), a malejąca część \((n-1)+\ldots+2+1\) to znowu \(S\) (te same składniki, tylko w odwrotnej kolejności). Zatem \[P=S+n+S=2S+n.\] **Krok \(5\).** Wstawiamy obliczone \(S\): \[P=2\cdot\frac{n(n-1)}{2}+n=n(n-1)+n=n^2-n+n=n^2.\] **Krok \(6\).** Otrzymaliśmy \(P=n^2\), czyli dokładnie lewą stronę dowodzonej równości. To kończy uzasadnienie. **Uwaga.** Najczęstszy błąd to przyjęcie, że w sumie \(1+2+\ldots+(n-1)\) jest \(n\) wyrazów. Wyrazów jest \(n-1\), bo ciąg kończy się na \(n-1\) — i to właśnie ta liczba wchodzi do wzoru na sumę. Warto też zauważyć, że w dowodzie trzeba przekształcać prawą stronę aż do postaci \(n^2\), a nie zakładać z góry, że równość zachodzi. **Odpowiedź.** Teza wynika z tego, że \(1+2+\ldots+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}\), więc prawa strona równa się \(2\cdot\dfrac{n(n-1)}{2}+n=n^{2}-n+n=n^{2}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **5.1. (2 pkt)** – […] równości w postaci np. \(n^{2}=2\cdot S_{n-1}+n\). **5.2. (1 pkt)** – doprowadzenie prawej strony równości do postaci \(n^{2}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) tak, ciąg jest arytmetyczny, bo \(a_{n+1}-a_{n}=-\frac{3}{7}\) dla każdego \(n\); b) \(x=0\), bo wtedy \(-1,\ 2,\ -4\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie \(-2\).

Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: x = \(0\). \(7\).\(6\). \(1\) **Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **7.1. (1 pkt)** – zapisanie wyrazu \(a_{n+1}\): \(a_{n+1}=\) […] lub \(a_{n+1}=\) […]. **7.2. (1 pkt)** – wyznaczenie różnicy ciągu: \(a_{n+1}-a_{n}=-\frac{3}{7}\) oraz zapisanie wniosku: ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem arytmetycznym. **7.3. (1 pkt)** – wyznaczenie wyrazów ciągu \((a_{n})\): \(a_{4}=-1\); \(a_{11}=-4\). **7.4. (1 pkt)** – wykorzystanie definicji lub własności ciągu geometrycznego do zapisania warunków zadania. **7.5. (1 pkt)** – zapisanie równania (alternatywy równań) z jedną niewiadomą \(x\). **7.6. (1 pkt)** – rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: \(x=0\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Na widowni jest \(2552\) miejsca.

Liczby miejsc w kolejnych rzędach jednego sektora tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(a_1=8\) i różnicy \(r=2\). Rzędów jest \(22\), więc ostatni z nich liczy \[a_{22}=8+21\cdot2=50\] miejsc. Liczbę miejsc w jednym sektorze obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\): \[S_{22}=\frac{(8+50)\cdot22}{2}=58\cdot11=638.\] Sektory są cztery i każdy ma taki sam układ miejsc, więc na całej widowni jest \[4\cdot638=2552\] miejsc. **Odpowiedź.** Na widowni jest \(2552\) miejsca.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **(1 pkt)** – zapisanie, że liczba miejsc w kolejnych rzędach sektora to wyrazy ciągu arytmetycznego, np. \((a_{n})\), gdzie \(a_{1}=8\), \(r=2\). **(1 pkt)** – obliczenie \(a_{22}=50\). **(1 pkt)** – obliczenie \(S_{22}=638\). **(1 pkt)** – obliczenie liczby wszystkich miejsc na widowni: \(2552\).

Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Pierwsza rata: \(a_{1}=1000\ \text{zł}\); ostatnia rata: \(a_{12}=450\ \text{zł}\).

**Krok \(1\).** Każda kolejna rata jest mniejsza od poprzedniej o stałą kwotę \(50\) zł, więc raty tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=-50\). Jest ich \(12\), a ich suma to cała pożyczka, czyli \(8700\) zł. Wystarczy więc zastosować wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i wyznaczyć \(a_1\). **Krok \(2\).** Wzór na sumę: \(S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\). Dla \(n=12\): \[S_{12}=\frac{2a_1+11r}{2}\cdot12=6\left(2a_1+11r\right).\] **Krok \(3\).** Podstawiamy \(r=-50\) i \(S_{12}=8700\): \[6\left(2a_1-550\right)=8700.\] **Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(6\): \[2a_1-550=1450.\] **Krok \(5\).** Stąd \(2a_1=2000\), czyli \[a_1=1000.\] **Krok \(6\).** Ostatnia rata to dwunasty wyraz ciągu: \[a_{12}=a_1+11r=1000-550=450.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie: suma ciągu arytmetycznego to średnia wyrazu pierwszego i ostatniego pomnożona przez ich liczbę: \[\frac{1000+450}{2}\cdot12=725\cdot12=8700.\] Zgadza się z treścią. **Uwaga.** Różnica ciągu jest ujemna, bo raty maleją. Wstawienie \(r=50\) daje bezsensowny wynik (raty rosnące), więc znak trzeba ustalić już na starcie. **Odpowiedź.** Pierwsza rata wynosi \(1000\) zł, a ostatnia \(450\) zł.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **2.1. (1 pkt)** – […] daną sytuację: \(S_{12}=8700\). **2.2. (1 pkt)** – zapisanie równania z wykorzystaniem wzoru na sumę \(12\) wyrazów ciągu arytmetycznego: \((2x-550)\cdot 6=8700\). **2.3. (2 pkt)** – rozwiązanie równania i wyznaczenie pierwszej i ostatniej raty (w tym \(1\) p. za metodę oraz \(1\) p. za obliczenia): \(a_{1}=1000\), \(a_{12}=450\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Najmniejsza wartość wyrażenia wynosi \(-8\) i jest przyjmowana dla różnicy ciągu \(r=\dfrac{3}{10}\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie optymalizacyjne o ciągu arytmetycznym. Mamy jeden konkretny wyraz (\(a_{51}=1\)) i nieznaną różnicę \(r\). Pomysł: wszystkie potrzebne wyrazy wyrazimy przez \(r\), badane wyrażenie stanie się funkcją jednej zmiennej, a najmniejszej wartości poszukamy przy pomocy pochodnej. **Krok \(2\).** Korzystamy z zależności \(a_n=a_{51}+(n-51)r\), czyli \(a_n=1+(n-51)r\). Stąd \[a_1=1-50r,\qquad a_{49}=1-2r,\qquad a_{50}=1-r.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy badane wyrażenie jako funkcję \(r\): \[f(r)=\frac{a_1\cdot a_{49}}{a_{50}}=\frac{(1-50r)(1-2r)}{1-r}.\] Z treści wiemy, że \(r\lt1\); przy tym założeniu \(1-r\gt0\), więc mianownik nigdy się nie zeruje i dziedziną jest przedział \((-\infty,1)\). **Krok \(4\).** Rozwijamy licznik: \[(1-50r)(1-2r)=1-2r-50r+100r^2=100r^2-52r+1,\] więc \(f(r)=\dfrac{100r^2-52r+1}{1-r}\). **Krok \(5\).** Liczymy pochodną ze wzoru na pochodną ilorazu, pamiętając, że pochodna mianownika to \(-1\): \[f'(r)=\frac{(200r-52)(1-r)-\bigl(100r^2-52r+1\bigr)\cdot(-1)}{(1-r)^2}.\] Licznik to \[-200r^2+252r-52+100r^2-52r+1=-100r^2+200r-51,\] zatem \(f'(r)=\dfrac{-100r^2+200r-51}{(1-r)^2}\). **Krok \(6\).** Szukamy miejsc zerowych pochodnej. Mianownik jest dodatni, więc rozwiązujemy \(100r^2-200r+51=0\): \(\Delta=40\,000-20\,400=19\,600\), \(\sqrt{\Delta}=140\), \[r=\frac{200-140}{200}=\frac{3}{10}\qquad\text{lub}\qquad r=\frac{200+140}{200}=\frac{17}{10}.\] Drugi pierwiastek odrzucamy, bo \(1{,}7\gt1\), czyli leży poza dziedziną. **Krok \(7\).** Badamy znak pochodnej. Licznik można zapisać jako \(-100\left(r-\frac{3}{10}\right)\left(r-\frac{17}{10}\right)\). Dla \(r\lt\frac{3}{10}\) oba nawiasy są ujemne, ich iloczyn dodatni, więc po pomnożeniu przez \(-100\) licznik jest ujemny i funkcja maleje. Dla \(\frac{3}{10}\lt r\lt1\) pierwszy nawias jest dodatni, drugi ujemny, iloczyn ujemny, więc licznik jest dodatni i funkcja rośnie. W punkcie \(r=\frac{3}{10}\) funkcja ma zatem minimum. **Krok \(8\).** Obliczamy wartość najmniejszą: \[f\!\left(\tfrac{3}{10}\right)=\frac{\bigl(1-50\cdot0{,}3\bigr)\bigl(1-2\cdot0{,}3\bigr)}{1-0{,}3}=\frac{(-14)\cdot0{,}4}{0{,}7}=\frac{-5{,}6}{0{,}7}=-8.\] **Uwaga.** Warunek z treści, że różnica jest mniejsza od \(1\), pełni tu podwójną rolę: wyznacza dziedzinę \((-\infty,1)\) i jednocześnie gwarantuje, że \(a_{50}=1-r\neq0\), więc dzielenie jest wykonalne. Bez tego warunku drugie miejsce zerowe pochodnej, \(r=1{,}7\), byłoby kandydatem i zadanie miałoby inną odpowiedź. Pamiętaj też, że pytanie dotyczy najmniejszej wartości wyrażenia (\(-8\)), a nie różnicy ciągu, przy której ta wartość jest przyjmowana. **Odpowiedź.** Najmniejsza wartość wyrażenia wynosi \(-8\) i jest przyjmowana dla różnicy ciągu \(r=\dfrac{3}{10}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **20.1. (1 pkt)** – […] oznaczeń: \(a_{1}=1-50x\). **20.2. (1 pkt)** – wyznaczenie \(a_{49}\), \(a_{50}\) w zależności od \(x\): \(a_{49}=1-2x\), \(a_{50}=1-x\). **20.3. (1 pkt)** – zapisanie wyrażenia \(\frac{a_{1}\cdot a_{49}}{a_{50}}\) jako funkcji jednej zmiennej i podanie jej dziedziny: \(f(x)=\frac{(1-50x)(1-2x)}{1-x}\), \(x\in(-\infty;1)\). **20.4. (1 pkt)** – obliczenie pochodnej funkcji \(f\): \(f'(x)=\frac{-100x^{2}+200x-51}{(1-x)^{2}}\), \(x\in(-\infty;1)\). **20.5. (1 pkt)** – rozwiązanie równania \(f'(x)=0\): \(x=\frac{3}{10}\). **20.6. (1 pkt)** – uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji \(f\) (zbadanie monotoniczności funkcji \(f\) w przedziale \((-\infty;1)\)): Funkcja \(f\): maleje dla \(x\in\left(-\infty;\frac{3}{10}\right)\), rośnie dla \(x\in\left(\frac{3}{10};1\right)\), dla \(x=\frac{3}{10}\) przyjmuje najmniejszą wartość. **20.7. (1 pkt)** – wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\): \(f\left(\frac{3}{10}\right)=-8\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(a_n=3n+99\) oraz \(a_{81}=342\).

Kolejne wyrazy różnią się o \(3\), więc ciąg jest arytmetyczny o \(a_1=102\) i \(r=3\). Ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\) otrzymujemy \[a_n=102+3(n-1)=3n+99.\] Podstawiamy \(n=81\): \[a_{81}=3\cdot81+99=243+99=342.\] **Odpowiedź.** \(a_n=3n+99\), \(a_{81}=342\)

**1. (2 pkt)** – zapisanie wzoru na wyraz ogólny ciągu \((a_{n})\): \(a_{n}=102+3(n-1)=3n+99\), \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\). Podanie wyrazu pierwszego i różnicy ciągu – \(1\) punkt. **2. (1 pkt)** – obliczenie wyrazu \(a_{81}\). Odp. \(a_{81}=342\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a_n=12+(n-1)\cdot6=6n+6\). b) Ciąg ma \(15\) wyrazów. c) \(S_{15}=810\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy strukturę. Liczby dwucyfrowe podzielne przez \(6\) ustawione rosnąco różnią się o \(6\) (kolejna wielokrotność szóstki), więc tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=6\). Do wzoru ogólnego potrzebujemy jeszcze pierwszego wyrazu, a do policzenia liczby wyrazów — ostatniego. **Krok \(2\).** Znajdujemy pierwszy wyraz. Najmniejsza liczba dwucyfrowa to \(10\), ale \(10\) nie dzieli się przez \(6\); pierwszą taką liczbą jest \(12=6\cdot 2\). Zatem \(a_1=12\). **Krok \(3\).** Podpunkt a). Wstawiamy do wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego: \[a_n=a_1+(n-1)r=12+(n-1)\cdot 6=12+6n-6=6n+6.\] **Krok \(4\).** Znajdujemy ostatni wyraz. Największa liczba dwucyfrowa to \(99\); szukamy największej wielokrotności \(6\), która jej nie przekracza: \(96=6\cdot 16\) (kolejna, \(102\), jest już trzycyfrowa). Zatem ostatnim wyrazem jest \(96\). **Krok \(5\).** Podpunkt b). Sprawdzamy, którym z kolei wyrazem jest \(96\): \[6n+6=96,\qquad 6n=90,\qquad n=15.\] Ciąg ma więc \(15\) wyrazów. **Krok \(6\).** Podpunkt c). Skoro ciąg ma \(15\) wyrazów, to suma piętnastu początkowych wyrazów jest sumą wszystkich. Korzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego: \[S_{15}=\frac{a_1+a_{15}}{2}\cdot 15.\] **Krok \(7\).** Podstawiamy \(a_1=12\) i \(a_{15}=96\): \[S_{15}=\frac{12+96}{2}\cdot 15=\frac{108}{2}\cdot 15=54\cdot 15=810.\] **Uwaga.** Uważaj przy szukaniu skrajnych wyrazów: pierwsza dwucyfrowa wielokrotność \(6\) to \(12\), a nie \(10\) czy \(6\); ostatnia to \(96\), a nie \(99\). Zauważ też, że nie trzeba dzielić \(96\) przez \(6\) i „coś dodawać” — bezpieczniej wstawić \(96\) do wzoru \(a_n=6n+6\) i rozwiązać równanie. **Odpowiedź.** a) \(a_n=12+(n-1)\cdot6=6n+6\). b) Ciąg ma \(15\) wyrazów. c) \(S_{15}=810\).

**[…] ([…] pkt)** – […] \(a_n=12+(n-1)\cdot 6=6n+6\). **38. (1 pkt)** – wyznaczenie największej liczby dwucyfrowej podzielnej przez \(6\): \(96\). **39. (1 pkt)** – rozwiązanie równania liniowego: \(6n+6=96\Rightarrow n=15\). **40. (1 pkt)** – obliczenie sumy: \(S_{15}=\frac{12+96}{2}\cdot 15=810\). Uwaga: Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem) od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(a_n=2n+2\); różnica \(a_{n+1}-a_n=2\) jest stała, więc ciąg jest arytmetyczny (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy narzędzie. Znamy sumę \(n\) początkowych wyrazów, a szukamy wzoru na pojedynczy wyraz. Służy do tego zależność: suma \(n\) wyrazów minus suma \(n-1\) wyrazów zostawia dokładnie \(n\)-ty wyraz, czyli \[a_n=S_n-S_{n-1}\qquad\text{dla }n\geqslant 2,\] a pierwszy wyraz liczymy osobno jako \(a_1=S_1\). **Krok \(2\).** Liczymy pierwszy wyraz: \[a_1=S_1=1^2+3\cdot 1=4.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy \(S_{n-1}\), wstawiając \(n-1\) w miejsce \(n\): \[S_{n-1}=(n-1)^2+3(n-1)=n^2-2n+1+3n-3=n^2+n-2.\] **Krok \(4\).** Odejmujemy: \[a_n=S_n-S_{n-1}=\left(n^2+3n\right)-\left(n^2+n-2\right)=n^2+3n-n^2-n+2=2n+2.\] Wzór ten wyprowadziliśmy dla \(n\geqslant 2\). **Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy działa też dla \(n=1\): \(2\cdot 1+2=4=a_1\) — zgadza się, więc wzór \[a_n=2n+2\] obowiązuje dla wszystkich \(n\in\mathbb{N}^{+}\). **Krok \(6\).** Przechodzimy do dowodu. Ciąg jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy różnica dwóch dowolnych kolejnych wyrazów jest stała (nie zależy od \(n\)). Zapisujemy więc \(a_{n+1}-a_n\). **Krok \(7\).** Liczymy \(a_{n+1}\), wstawiając \(n+1\) w miejsce \(n\): \[a_{n+1}=2(n+1)+2=2n+4.\] **Krok \(8\).** Odejmujemy: \[a_{n+1}-a_n=(2n+4)-(2n+2)=2.\] Otrzymana różnica jest liczbą stałą, niezależną od \(n\), więc ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=2\), co należało wykazać. **Uwaga.** Najczęstszy błąd to zastosowanie wzoru \(a_n=S_n-S_{n-1}\) już dla \(n=1\) — wtedy pojawia się \(S_0\), które nie jest zdefiniowane. Dlatego wzór wyprowadzamy dla \(n\geqslant 2\), a przypadek \(a_1\) sprawdzamy osobno. W dowodzie arytmetyczności nie wystarczy sprawdzić kilku pierwszych wyrazów — trzeba policzyć różnicę \(a_{n+1}-a_n\) dla dowolnego \(n\) i pokazać, że nie zależy ona od \(n\). **Odpowiedź.** \(a_n=2n+2\); różnica \(a_{n+1}-a_n=2\) jest stała, więc ciąg jest arytmetyczny (dowód w rozwiązaniu).

**13. (1 pkt)** – obliczenie \(n\)-tego wyrazu ciągu: \(a_{n}=2n+2\). **14. (1 pkt)** – zapisanie różnicy dwóch dowolnych, kolejnych wyrazów tego ciągu: \(r=a_{n+1}-a_{n}\). **15. (1 pkt)** – obliczenie różnicy ciągu i stwierdzenie, że jest to ciąg arytmetyczny.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Książka miała \(572\) strony.

Liczby stron czytanych w kolejnych dniach tworzą ciąg arytmetyczny \((a_n)\) o różnicy \(r\), przy czym \(a_3=28\) i \(a_{13}=68\). Z wzoru na wyraz ogólny \[a_{13}-a_3=10r,\qquad 68-28=10r,\qquad r=4.\] Stąd \[a_1=a_3-2r=28-8=20.\] Liczba stron książki to suma trzynastu pierwszych wyrazów: \[S_{13}=\frac{a_1+a_{13}}{2}\cdot13=\frac{20+68}{2}\cdot13=44\cdot13=572.\] **Odpowiedź.** Książka miała \(572\) strony.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **5.1. (1 pkt)** – zauważenie, że liczby stron przeczytanych w kolejnych dniach to wyrazy ciągu arytmetycznego i przyjęcie oznaczeń: np. \(a_{1}\) – liczba stron przeczytanych w pierwszym dniu, \(r\) – różnica liczby stron przeczytanych w kolejnych dniach **5.2. (1 pkt)** – ułożenie układu równań (1) pozwalającego wyznaczyć \(a_{1}\) i \(r\): \((1)\quad\begin{cases}a_{1}+2r=28\\ a_{1}+12r=68\end{cases}\) **5.3. (1 pkt)** – rozwiązanie układu równań (1): \(\begin{cases}a_{1}=20\\ r=4\end{cases}\) **5.4. (1 pkt)** – obliczenie liczby stron książki: \(572\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.