Nierówności i tożsamości algebraiczne — zadania na dowodzenie z rozwiązaniami

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb{R}\).

**Krok \(1\).** Metoda: przekształcamy nierówność równoważnie tak, aby po jednej stronie została suma kwadratów. Suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna, co od razu kończy dowód. **Krok \(2\).** Mnożymy obie strony przez \(2\) (liczbę dodatnią, więc kierunek nierówności się nie zmienia): \[2xy+2x+2y\leqslant 2x^{2}+2y^{2}+2.\] **Krok \(3\).** Przenosimy wszystko na prawą stronę: \[0\leqslant 2x^{2}+2y^{2}+2-2xy-2x-2y.\] **Krok \(4\).** Rozbijamy prawą stronę na trzy grupy, tak by każda była kwadratem różnicy: \[2x^{2}+2y^{2}+2-2xy-2x-2y=\left(x^{2}-2xy+y^{2}\right)+\left(x^{2}-2x+1\right)+\left(y^{2}-2y+1\right).\] Sprawdzenie: po dodaniu otrzymujemy \(2x^{2}+2y^{2}-2xy-2x-2y+2\) — zgadza się. **Krok \(5\).** Zwijamy każdą grupę do kwadratu: \[0\leqslant (x-y)^{2}+(x-1)^{2}+(y-1)^{2}.\] **Krok \(6\).** Każdy składnik po prawej stronie jest kwadratem liczby rzeczywistej, więc jest nieujemny; suma liczb nieujemnych jest nieujemna. Nierówność z kroku \(5\) jest zatem prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb{R}\). **Krok \(7\).** Wszystkie przekształcenia w krokach \(2\)–\(5\) były równoważne, więc prawdziwa jest także nierówność wyjściowa \(xy+x+y\leqslant x^{2}+y^{2}+1\). To należało wykazać. **Uwaga.** Równość zachodzi tylko wtedy, gdy wszystkie trzy kwadraty są zerami, czyli dla \(x=y=1\). Mnożenie przez \(2\) na początku nie jest ozdobnikiem — bez niego wyrazy \(-2xy\), \(-2x\), \(-2y\) nie utworzą pełnych kwadratów. **Odpowiedź.** Nierówność \(xy+x+y\leqslant x^{2}+y^{2}+1\) jest prawdziwa dla każdej pary liczb rzeczywistych \(x,y\), bo jest równoważna nierówności \(0\leqslant (x-y)^{2}+(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – pomnożenie obu stron nierówności przez 2 i przekształcenie nierówności do postaci, w której występuje co najmniej jeden z następujących kwadratów: \((x-y)^{2}\) lub \((x-1)^{2}\), lub \((y-1)^{2}\), np. \((x-y)^{2}+x^{2}+y^{2}-2x-2y+2\geq 0\) (dla sposobu I) ALBO przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze względu na niewiadomą \(x\) (lub niewiadomą \(y\)) oraz wyznaczenie wyróżnika odpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. \(0\leq x^{2}-(y+1)x+(y^{2}-y+1)\) oraz \(\Delta=-3y^{2}+6y-3\) (dla sposobu II), ALBO przekształcenie nierówności do postaci \(0\leq\left[(x-1)-(y-1)\right]^{2}+(x-1)(y-1)\) (dla sposobu III). **2 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o prawdziwości nierówności, np. \(0\leq(x-y)^{2}+(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\) (dla sposobu I) ALBO przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze względu na niewiadomą \(x\) (lub niewiadomą \(y\)) oraz wyznaczenie i przeprowadzenie analizy znaku wyróżnika odpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. poprzez zapisanie wyróżnika w postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o jego znaku, lub poprzez naszkicowanie poprawnego wykresu trójmianu \(-3y^{2}+6y-3\) (dla sposobu II), ALBO przekształcenie nierówności do postaci \(0\leq(x-1)^{2}-(x-1)(y-1)+(y-1)^{2}\) (dla sposobu III). **3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** II.1) Zdający stosuje wzory skróconego mnożenia na: \((a+b)^2\), \((a-b)^2\), \(a^2-b^2\).

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb{R}\).

Różnicę prawej i lewej strony można zapisać jako sumę kwadratów: \[x^{2}+y^{2}+1-xy-x-y=\frac{1}{2}\left((x-y)^{2}+(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\right)\geq0.\] To dowodzi podanej nierówności.

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – pomnożenie obu stron nierówności przez 2 i przekształcenie nierówności do postaci, w której występuje co najmniej jeden z następujących kwadratów: \((x-y)^{2}\) lub \((x-1)^{2}\), lub \((y-1)^{2}\), np. \((x-y)^{2}+x^{2}+y^{2}-2x-2y+2\geq 0\) (dla sposobu I) ALBO przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze względu na niewiadomą \(x\) (lub niewiadomą \(y\)) oraz wyznaczenie wyróżnika odpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. \(0\leq x^{2}-(y+1)x+(y^{2}-y+1)\) oraz \(\Delta=-3y^{2}+6y-3\) (dla sposobu II), ALBO przekształcenie nierówności do postaci \(0\leq\left[(x-1)-(y-1)\right]^{2}+(x-1)(y-1)\) (dla sposobu III). **2 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o prawdziwości nierówności, np. \(0\leq(x-y)^{2}+(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\) (dla sposobu I) ALBO przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze względu na niewiadomą \(x\) (lub niewiadomą \(y\)) oraz wyznaczenie i przeprowadzenie analizy znaku wyróżnika odpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. poprzez zapisanie wyróżnika w postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o jego znaku, lub poprzez naszkicowanie poprawnego wykresu trójmianu \(-3y^{2}+6y-3\) (dla sposobu II), ALBO przekształcenie nierówności do postaci \(0\leq(x-1)^{2}-(x-1)(y-1)+(y-1)^{2}\) (dla sposobu III). **3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.

**Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 2.1) Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).

Nierówność została wykazana dla wszystkich \(x\neq2\) i \(y\in\mathbb{R}\).

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[x^{2}+y^{2}-4x-4y+8>0.\] Grupujemy wyrazy i uzupełniamy je do kwadratów: \[x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4=(x-2)^{2}+(y-2)^{2}.\] Z założenia \(x\neq2\), więc \(x-2\neq0\) i \((x-2)^{2}>0\). Dla dowolnego \(y\) zachodzi \((y-2)^{2}\ge0\). Suma liczby dodatniej i nieujemnej jest dodatnia, zatem \[(x-2)^{2}+(y-2)^{2}>0,\] co jest równoważne dowodzonej nierówności. **Odpowiedź.** \(x^{2}+y^{2}>4(x+y-2)\) dla każdego \(x\neq2\) i każdego \(y\), co należało wykazać.

1 pkt: przekształcenie nierówności do postaci (x−2)²+(y−2)²>0 albo równoważny istotny etap. 2 pkt: poprawne przekształcenie i pełne uzasadnienie z wykorzystaniem założenia x≠2.

Wymaganie ogólne: V. Rozumowanie i argumentacja. Wymaganie szczegółowe: 2.1) Używa wzorów skróconego mnożenia na (a±b)² oraz a²−b².

Po przeniesieniu prawej strony otrzymujemy \[(a+2b)^{3}-8a^{2}b-16ab^{2}=(a-2b)^{2}(a+2b).\] Ponieważ \(a>0\), \(b>0\), mamy \(a+2b>0\), a z warunku \(b\neq\frac{a}{2}\) wynika \((a-2b)^{2}>0\). Iloczyn jest więc dodatni, co dowodzi nierówności.

Przykładowe pełne rozwiązania Sposób I Przekształcamy równoważnie nierówność, korzystając ze wzoru na sześcian sumy: (a + \(2b\))\(3\) > \(8a2b\) + \(16ab2\) \(a_{3}\) + \(6a2b\) + \(12ab2\) + \(8b3\) − \(8a2b\) − \(16ab2\) > \(0\) \(a_{3}\) − \(2a2b\) − \(4ab2\) + \(8b3\) > \(0\) \(a_{2}\)(a − \(2b\)) − \(4b2\)(a − \(2b\)) > \(0\) (a − \(2b\))(\(a_{2}\) − \(4b2\)) > \(0\) (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) > \(0\) Z założenia a > \(0\) i b > \(0\), więc a + \(2b\) > \(0\). \(1\) Ponieważ b ≠ a, więc a − \(2b\) ≠ \(0\) i wtedy (a − \(2b\))\(2 > 0\) jako kwadrat liczby \(2\) rzeczywistej różnej od zera. Zatem (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) jest dodatnie jako iloczyn liczb dodatnich, więc nierówność (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) > \(0\) jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej a i każdej liczby \(1\) dodatniej b takich, że b ≠ a. To oznacza, że również nierówność \(2\) (a + \(2b\))\(3\) > \(8a2b\) + \(16ab2\) jest prawdziwa dla każdej dla każdej liczby dodatniej a \(1\) i każdej liczby dodatniej b takich, że b ≠ a. To należało wykazać. \(2\) Sposób II Przekształcamy równoważnie nierówność, korzystając ze wzorów na kwadrat sumy i różnicy: (a + \(2b\))\(3\) > \(8a2b\) + \(16ab2\) (a + \(2b\))\(3\) > \(8ab\)(a + \(2b\)) (a + \(2b\))\(3\) − \(8ab\)(a + \(2b\)) > \(0\) (a + \(2b\))[(a + \(2b\))\(2\) − \(8ab\)] > \(0\) (a + \(2b\))(\(a_{2}\) − \(4ab\) + \(4b2\)) > \(0\) (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) > \(0\) Z założenia a > \(0\) i b > \(0\), więc a + \(2b\) > \(0\). \(1\) Ponieważ b ≠ a, więc a − \(2b\) ≠ \(0\) i wtedy (a − \(2b\))\(2 > 0\) jako kwadrat liczby \(2\) rzeczywistej różnej od zera. Zatem (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) jest dodatnie jako iloczyn liczb dodatnich, więc nierówność (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) > \(0\) jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej a i każdej liczby \(1\) dodatniej b takich, że b ≠ a. To oznacza, że również nierówność \(2\) (a + \(2b\))\(3\) > \(8a2b\) + \(16ab2\) jest prawdziwa dla każdej dla każdej liczby dodatniej a \(1\) i każdej liczby dodatniej b takich, że b ≠ a. To należało wykazać. \(2\) Sposób III Niech \(f\) będzie funkcją określoną wzorem \(f\)(a) = (a + \(2b\))\(3\) − \(8a2b\) − \(16ab2\) dla każdego a ∈ (\(0\), +∞). Obliczamy pochodną funkcji \(f\) oraz jej miejsca zerowe: \(f\)′(a) = \(3\)(a + \(2b\))\(2\) − \(16ba\) − \(16b2\) \(3a2\) + \(12ab\) + \(12b2\) − \(16ba\) − \(16b2\) = \(0\) ∧ a > \(0\) \(3a2\) − \(4ba\) − \(4b2\) = \(0\) ∧ a > \(0\) \(2\) (a = − b ∨ a = \(2b\)) ∧ a > \(0\) \(3\) Gdy b > \(0\), to \(f\)′(a) > \(0\) dla a ∈ (\(2b\), +∞) oraz \(f\)′(a) < \(0\) dla a ∈ (\(0\), \(2b\)). Zatem przy b dodatnim funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale (\(0\), \(2b\)] oraz rosnąca w przedziale [\(2b\), +∞), czyli funkcja \(f\) osiąga wartość najmniejszą dla argumentu dodatniego a = \(2b\). Ta najmniejsza wartość jest równa \(f\)(\(2b\)) = (\(2b\) + \(2b\))\(3\) − \(8\) ⋅ (\(2b\))\(2\) ⋅ b − \(16\) ⋅ \(2b\) ⋅ \(b_{2}\) = \(0\). Zatem dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej a i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej b takich, że a ≠ \(2b\), prawdziwa jest nierówność (a + \(2b\))\(3\) − \(8a2b\) − \(16ab2\) > \(0\) To należało wykazać.

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zastosowanie wzoru na sześcian sumy i przekształcenie nierówności do postaci \(a^{2}(a-2b)-4b^{2}(a-2b)>0\) ALBO przekształcenie nierówności do postaci \((a+2b)\left[(a+2b)^{2}-8ab\right]>0\), ALBO przekształcenie nierówności do postaci \((a+2b)^{2}>8ab\), ALBO rozważenie funkcji \(f(a)=a^{3}-2ba^{2}-4b^{2}a+8b^{3}\) określonej dla \(a>0\) oraz obliczenie pochodnej tej funkcji i miejsca zerowego tej pochodnej: \(f'(a)=3a^{2}-4ba-4b^{2}\) oraz \(a=2b\). **2 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \((a-2b)^{2}(a+2b)>0\) ALBO przekształcenie nierówności do postaci \((a-2b)^{2}>0\), ALBO uzasadnienie, że funkcja \(f\) osiąga wartość najmniejszą dla \(a=2b\). **3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania (tj. spełnienie kryterium za 2 punkty oraz zapisanie, że \(a+2b>0\) oraz uzasadnienie, że dla liczb spełniających warunek \(b\neq\frac{1}{2}a\) zachodzi \((a-2b)^{2}>0\)). Uwaga. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości \(a\) i \(b\), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** II.R5) Zdający korzysta ze wzorów na: […] \((a+b)^n\) […].

\[x^2+49y^2>2(x+7y-1)\quad\text{dla każdego }x\neq1\text{ i }y\in\mathbb R.\]

Przekształcamy nierówność równoważnie: \[x^2+49y^2>2(x+7y-1),\] \[x^2-2x+1+49y^2-14y+1>0,\] \[(x-1)^2+(7y-1)^2>0.\] Z założenia \(x\neq1\), więc \((x-1)^2>0\). Jednocześnie \((7y-1)^2\geq0\) dla każdego \(y\in\mathbb R\). Suma tych składników jest zatem dodatnia, co kończy dowód.

**2 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \((x-1)^2+(7y-1)^2>0\) i uzasadnienie jej prawdziwości na podstawie założenia \(x\neq1\) **1 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \((x-1)^2+(7y-1)^2>0\) albo wykonanie innego poprawnego istotnego kroku prowadzącego do dowodu **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 2) Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb{R}\) spełniających \(x\neq2y\).

Przekształcamy nierówność równoważnie: \[x^2+4y^2-4>4xy-4,\] \[x^2-4xy+4y^2>0,\] \[(x-2y)^2>0.\] Z założenia \(x\neq2y\), więc \(x-2y\neq0\). Kwadrat każdej liczby rzeczywistej różnej od zera jest dodatni, zatem \((x-2y)^2>0\). To kończy dowód.

**2 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \((x-2y)^2>0\) oraz powołanie się na założenie i dodatniość kwadratu liczby różnej od zera **1 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \(x^2-4xy+4y^2>0\) albo wykonanie równoważnego istotnego kroku **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, sprawdzenie tylko wybranych wartości albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 2) Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(a,b\in\mathbb R\) spełniających \(b\neq a\).

Przekształcamy lewą stronę po przeniesieniu wszystkich wyrazów na jedną stronę: \[a^2+3b^2+4-2a-6b=(a-1)^2+3(b-1)^2.\] Oba składniki są nieujemne. Gdyby ich suma była równa zeru, musiałoby zachodzić jednocześnie \(a=1\) i \(b=1\), czyli \(a=b\), co przeczy założeniu \(b\neq a\). Co najmniej jeden składnik jest więc dodatni, zatem \[(a-1)^2+3(b-1)^2>0.\] To dowodzi podanej nierówności.

**2 pkt** – pełne rozumowanie: sprowadzenie nierówności do sumy kwadratów i poprawny wniosek wykorzystujący założenie \(b\neq a\) **1 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \((a-1)^2+3(b-1)^2>0\) albo inny równoważny istotny krok wskazany w zasadach CKE **0 pkt** – rozwiązanie z niepoprawną metodą albo brak rozwiązania

**Element podstawy programowej:** wyrażenia algebraiczne i dowodzenie; zdający stosuje wzory skróconego mnożenia oraz własności kwadratów liczb rzeczywistych.

\[x=2,\qquad y=2.\]

Przenosimy wszystkie wyrazy nierówności na lewą stronę: \[x^3-x^2y-xy^2+y^3\leq0.\] Grupujemy wyrazy: \[(x-y)(x^2-y^2)\leq0.\] Ponieważ \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\), otrzymujemy \[(x+y)(x-y)^2\leq0.\] Z założenia \(x+y=4\), więc \[4(x-y)^2\leq0.\] Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem nierówność może zachodzić tylko wtedy, gdy \[(x-y)^2=0,\] czyli \(x=y\). W połączeniu z \(x+y=4\) daje to \[x=2,\qquad y=2.\]

**3 pkt** – pełne rozumowanie prowadzące do \(x=2\), \(y=2\) **2 pkt** – zapisanie \(4(x-y)^2\leq0\), albo postaci \((x-y)^2(x+y)\leq0\) z poprawnym określeniem znaku czynnika, albo równoważnego pełnego etapu **1 pkt** – wykorzystanie \(x+y=4\) i zapisanie nierówności z jedną niewiadomą, albo przekształcenie do \((x-y)(x^2-y^2)\leq0\), albo do \(xy\geq4\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja; 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** II.R3) Zdający korzysta ze wzorów na \((a+b)^3\), \((a-b)^3\), \(a^3+b^3\) i \(a^3-b^3\).

Nierówność jest równoważna \((x-y)(x^2-y^2)\leq0\), czyli \((x+y)(x-y)^2\leq0\). Ponieważ \(x+y=4\), mamy \(4(x-y)^2\leq0\), zatem \(x=y\). Stąd \(x=y=2\).

Przykładowe pełne rozwiązania Sposób I Ponieważ x + y = \(4\), więc y = \(4\) − x. Ponieważ ponadto x i y spełniają nierówność \(x^{3}\) − \(x2y\) ≤ \(xy2\) − \(y^{3}\), więc otrzymujemy \(x^{3}\) − \(x^{2}\)(\(4\) − x) ≤ x(\(4\) − x)\(2\) − (\(4\) − x)\(3\) Stosujemy wzór na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy i otrzymujemy \(x^{3}\) − \(4x2\) + \(x^{3}\) ≤ x(\(16\) − \(8x\) + \(x^{2}\)) − (\(64\) − \(48x\) + \(12x2\) − \(x^{3}\)) Przekształcamy nierówność i otrzymujemy kolejno \(x^{3}\) − \(4x2\) + \(x^{3}\) ≤ \(16x\) − \(8x2\) + \(x^{3}\) − \(64\) + \(48x\) − \(12x2\) + \(x^{3}\) \(16x2\) − \(64x\) + \(64 \leq 0\) (\(4x\) − \(8\))\(2 \leq 0\) Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc jedynym rozwiązaniem tej nierówności jest x = \(2\). Ponieważ y = \(4\) − x, więc y = \(2\). To należało wykazać. Sposób II Przekształcamy nierówność \(x^{3}\) − \(x2y\) ≤ \(xy2\) − \(y^{3}\) kolejno do postaci \(x^{3}\) − \(x2y\) − \(xy2\) + \(y^{3}\) ≤ \(0\) (x − y)(\(x^{2}\) − \(y^{2}\)) ≤ \(0\) (x + y)(x − y)\(2 \leq 0\) Ponieważ x + y = \(4\), więc otrzymujemy \(4\)(x − y)\(2 \leq 0\) Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc musi zachodzić (x − y)\(2 = 0\) Stąd x − y = \(0\), czyli x = y. Zatem \(2x\) = \(4\), czyli x = \(2\). Ponieważ y = \(4\) − x, więc y = \(2\). To należało wykazać.

**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. przekształcenie nierówności \(x^{3}-x^{2}y\le xy^{2}-y^{3}\) do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o równości liczb \(x\) i \(y\) (lub do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować, że jedna z liczb: \(x\), \(y\), jest równa \(2\)) oraz obliczenie tych liczb: \(x=2\) oraz \(y=2\). **2 pkt** – zastosowanie wzoru na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy, wykorzystanie założenia i zapisanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą \(x\) (lub \(y\)) w postaci \(ax^{2}+bx+c\ge 0\) lub \(ax^{2}+bx+c\le 0\), np. \(16x^{2}-64x+64\le 0\) ALBO – wykorzystanie założenia \(x+y=4\) i zapisanie nierówności w postaci \(4(x-y)^{2}\le 0\) (lub \(4(4-2y)^{2}\le 0\), lub \(4(2x-4)^{2}\le 0\)), ALBO – przekształcenie nierówności do postaci \((x-y)^{2}\cdot(x+y)\le 0\) oraz poprawne określenie znaku jednego z czynników iloczynu \((x-y)^{2}\cdot(x+y)\), ALBO – zastosowanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, zapisanie obu przypadków i przeprowadzenie poprawnego rozumowania dla jednego z tych przypadków. **1 pkt** – wykorzystanie zależności \(x+y=4\) i zapisanie nierówności z jedną niewiadomą, np. \(x^{3}-x^{2}(4-x)\le x(4-x)^{2}-(4-x)^{3}\) ALBO – przekształcenie nierówności \(x^{3}-x^{2}y\le xy^{2}-y^{3}\) do postaci \((x-y)(x^{2}-y^{2})\le 0\), ALBO – przekształcenie nierówności \(x^{3}-x^{2}y\le xy^{2}-y^{3}\) do postaci \(x\cdot y\ge 4\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwaga:** Jeżeli zdający podstawia do związków \(x+y=4\) oraz \(x^{3}-x^{2}y\le xy^{2}-y^{3}\) konkretne wartości liczbowe i na tym opiera swoją argumentację, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** R2.1) Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^3\) oraz \(a^3\pm b^3\).

\(x^2+3xy-10y^2=(x-2y)(x+5y)>0\)

Rozkładamy wyrażenie na czynniki: \[x^2+3xy-10y^2=x^2+5xy-2xy-10y^2=(x-2y)(x+5y).\] Z założenia \(x>2y\), więc \(x-2y>0\). Ponieważ \(x\) i \(y\) są dodatnie, również \(x+5y>0\). Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni, zatem \[x^2+3xy-10y^2>0.\]

**2 pkt** – pełne rozumowanie: zapis \((x-2y)(x+5y)>0\) oraz wykorzystanie założeń do uzasadnienia dodatniości obu czynników **1 pkt** – rozkład \(x^2+3xy-10y^2=(x-2y)(x+5y)\) albo równoważny istotny postęp wskazany w kluczu **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania. Samo sprawdzenie nierówności dla wybranych wartości \(x\) i \(y\) nie stanowi dowodu

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** wyrażenia algebraiczne - rozkład na czynniki i przeprowadzenie dowodu nierówności.

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\) spełniających \(x\ne y\).

Przenosimy prawą stronę na lewą i rozkładamy wyrażenie na czynniki: \[x^4+y^4-xy(x^2+y^2)=x^4-x^3y+y^4-xy^3\] \[=(x-y)(x^3-y^3)=(x-y)^2(x^2+xy+y^2).\] Z założenia \(x\ne y\), więc \((x-y)^2>0\). Ponadto \[x^2+xy+y^2=\left(x+\frac y2\right)^2+\frac34y^2\geq0,\] a równość zachodziłaby wyłącznie dla \(x=y=0\), co jest sprzeczne z \(x\ne y\). Zatem drugi czynnik także jest dodatni, więc cały iloczyn jest dodatni. To kończy dowód.

**3 pkt** – pełne poprawne rozumowanie **2 pkt** – sprowadzenie nierówności do \((x-y)^2(x^2+xy+y^2)>0\) albo poprawne rozpatrzenie znaków po uzyskaniu \((x-y)(x^3-y^3)>0\) **1 pkt** – sprowadzenie nierówności do \((x-y)(x^3-y^3)>0\) **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** V. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** R2.1 i R2.3 wzory skróconego mnożenia dla sześcianów oraz rozkładanie wielomianu na czynniki.

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\) spełniających \(x\ne y\).

Mnożymy obie strony przez \(25\) i przekształcamy nierówność równoważnie: \[(x+4y)^2<5x^2+20y^2,\] \[x^2+8xy+16y^2<5x^2+20y^2,\] \[0<4x^2-8xy+4y^2=4(x-y)^2.\] Z założenia \(x\ne y\), więc \((x-y)^2>0\), a zatem \(4(x-y)^2>0\). To dowodzi podanej nierówności.

**2 pkt** – sprowadzenie nierówności do dodatniego kwadratu i uzasadnienie jej prawdziwości na podstawie założenia \(x\ne y\) **1 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \(c[W(x,y)]^2>0\) lub \(-c[W(x,y)]^2<0\), gdzie \(c>0\) **0 pkt** – brak poprawnego przekształcenia; sprawdzenie tylko wybranych wartości \(x\) i \(y\) nie jest dowodem

**Wymagania ogólne:** V. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 2.1 używanie wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\) spełniających \(x+y\geq1\).

Przenosimy prawą stronę nierówności na lewą i przekształcamy: \[x^3+y^3-xy(x+y)-x^2+2xy-y^2\geq0.\] Korzystamy ze wzoru \(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\): \[(x+y)(x^2-xy+y^2)-xy(x+y)-(x-y)^2\geq0,\] \[(x+y)(x-y)^2-(x-y)^2\geq0,\] \[(x+y-1)(x-y)^2\geq0.\] Z założenia \(x+y-1\geq0\), a kwadrat \((x-y)^2\) jest nieujemny. Ich iloczyn jest więc nieujemny, co dowodzi tezy.

**3 pkt** – pełny dowód: sprowadzenie nierówności do postaci \((x+y-1)(x-y)^2\geq0\) i uzasadnienie jej prawdziwości **2 pkt** – poprawne otrzymanie postaci \((x+y-1)(x-y)^2\geq0\) **1 pkt** – poprawne częściowe grupowanie z czynnikiem \(x+y\) albo \(x-y\), prowadzące do wymaganej postaci **0 pkt** – niepoprawne rozumowanie albo brak dowodu

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja, w tym przeprowadzanie rozumowań kilkuetapowych. **Wymagania szczegółowe:** II.R3 stosowanie wzorów na sumę i różnicę sześcianów oraz przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\) spełniających \(2x>y\).

Przenosimy prawą stronę na lewą i rozkładamy wyrażenie na czynniki: \[7x^3+4x^2y-y^3-2xy^2+x^3\] \[=8x^3+4x^2y-2xy^2-y^3=(2x-y)(2x+y)^2.\] Z założenia \(2x-y>0\), a dla wszystkich liczb rzeczywistych \((2x+y)^2\geq0\). Zatem \[(2x-y)(2x+y)^2\geq0,\] co kończy dowód.

**3 pkt** – pełne rozumowanie: rozkład na czynniki i uzasadnienie znaków obu czynników **2 pkt** – sprowadzenie nierówności do \((2x-y)(2x+y)^2\geq0\) **1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru skróconego mnożenia albo równoważny istotny krok prowadzący do rozkładu **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** V. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** R2.1 stosowanie wzorów skróconego mnożenia dla sześcianu sumy i różnicy oraz sumy i różnicy sześcianów.

Nierówność została wykazana dla wszystkich \(a,b\in\mathbb{R}\) takich, że \(b\neq a\).

Mnożymy obie strony nierówności przez \(4>0\), co nie zmienia jej kierunku: \[2\left(a^{2}+b^{2}\right)>(a+b)^{2}.\] Rozwijamy prawą stronę i przenosimy wszystko na lewą: \[2a^{2}+2b^{2}-a^{2}-2ab-b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}.\] Z założenia \(b\neq a\), więc \(a-b\neq0\), a kwadrat liczby różnej od zera jest dodatni: \[(a-b)^{2}>0.\] Wszystkie przekształcenia były równoważne, więc wyjściowa nierówność jest prawdziwa. **Odpowiedź.** \(\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}>\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{2}\) dla każdych \(a\neq b\), co należało wykazać.

**1 pkt** – gdy: • przekształci nierówność \(\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\;[\ldots]\) do postaci równoważnej \((a-b)^{2}>0\) lub \(a^{2}+b^{2}>2ab\) (dla sposobu 1.), o ile na tym zakończy lub z tej postaci wyciągnie wniosek ALBO • wykorzysta założenie \(a\ne b\) (lub równoważnie \((a-b)^{2}>0\)) i zapisze \(a^{2}+b^{2}>2ab\) (dla sposobu 2.), ALBO • wykorzysta założenie \(a\ne b\) oraz zapisze nierówność pomiędzy średnimi: kwadratową i arytmetyczną, dla liczb nieujemnych (dla sposobu 3.). **2 pkt** – gdy przeprowadzi pełne rozumowanie, tzn. • spełni kryterium określone w zasadach oceniania w pierwszej kropce za 1 pkt oraz sformułuje poprawny wniosek z powołaniem się na założenie ALBO • spełni kryterium określone w zasadach oceniania w drugiej kropce za 1 pkt oraz doprowadzi nierówność do postaci tezy, ALBO • w sposobie 3., opierając się na nierówności pomiędzy średnią kwadratową i średnią arytmetyczną, wykaże prawdziwość nierówności \(\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\;[\ldots]\) dla każdych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) takich, że \(a\ne b\). **Uwaga:** Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości \(a\) i \(b\), to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie.

**Wymaganie ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymaganie szczegółowe:** 2.1 ) używa wzorów skróconego mnożenia na (a ±

Dla \(a\neq0\) i \(b\neq0\) zachodzi \(2a^2-4ab+5b^2>0\).

Przekształcamy lewą stronę do sumy składników nieujemnych: \[2a^2-4ab+5b^2=2(a-b)^2+3b^2.\] Pierwszy składnik jest nieujemny. Ponieważ \(b\neq0\), mamy \(3b^2>0\). Stąd \[2(a-b)^2+3b^2>0,\] co kończy dowód.

**2 pkt** – pełne uzasadnienie dodatniości wyrażenia dla podanych założeń **1 pkt** – poprawne sprowadzenie wyrażenia do postaci \(2(a-b)^2+3b^2\) albo równoważne rozpoczęcie dowodu, np. przez wyróżnik **0 pkt** – niepoprawne rozumowanie albo brak dowodu

**Wymagania ogólne:** III i IV użycie obiektów matematycznych oraz przeprowadzenie rozumowania. **Wymagania szczegółowe:** I.3 stosowanie wzorów skróconego mnożenia i przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x>2\) i \(y\in\mathbb R\).

Przekształcamy lewą stronę: \[5x^2-6xy+3y^2-2x-4\] \[=3x^2-6xy+3y^2+2x^2-2x-4\] \[=3(x-y)^2+2(x+1)(x-2).\] Pierwszy składnik jest nieujemny dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\). Ponieważ \(x>2\), mamy również \(x+1>0\) oraz \(x-2>0\), zatem \[2(x+1)(x-2)>0.\] Suma liczby nieujemnej i dodatniej jest dodatnia, więc podana nierówność jest prawdziwa.

**3 pkt** – pełne poprawne rozumowanie prowadzące do wykazania nierówności **2 pkt** – zapisanie wyrażenia w postaci \(3(x-y)^2+2(x+1)(x-2)\) lub wyznaczenie miejsc zerowych trójmianu \(2x^2-2x-4\) **1 pkt** – zapisanie wyrażenia w postaci \(3(x-y)^2+2x^2-2x-4\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** V. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 2.1 i R2.6 stosowanie wzorów skróconego mnożenia oraz wykonywanie działań na wyrażeniach algebraicznych.

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(a,b\in\mathbb R\).

Przekształcamy lewą stronę nierówności: \[b(5b-4a)+a^2=5b^2-4ab+a^2.\] Wydzielamy sumę kwadratów: \[5b^2-4ab+a^2=b^2+(2b-a)^2.\] Dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) zachodzi \(b^2\geq0\) oraz \((2b-a)^2\geq0\), więc \[b^2+(2b-a)^2\geq0.\] To dowodzi podanej nierówności.

**2 pkt** – pełne rozumowanie: sprowadzenie wyrażenia do sumy kwadratów i uzasadnienie jej nieujemności dla wszystkich \(a,b\in\mathbb R\) **1 pkt** – poprawne przekształcenie do postaci \(b^2+(2b-a)^2\geq0\) albo równoważne uzasadnienie za pomocą wyróżnika trójmianu **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów, sprawdzenie tylko wybranych wartości albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** V. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** przeprowadzanie prostego dowodu algebraicznego z wykorzystaniem własności kwadratu liczby rzeczywistej.

\[a=2b.\]

Do obu stron równości z założenia dodajemy \(1\): \[a^2+2a+1=4b^2+4b+1.\] Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, otrzymujemy \[(a+1)^2=(2b+1)^2.\] Liczby \(a\) i \(b\) są dodatnie, więc \(a+1>0\) oraz \(2b+1>0\). Z równości kwadratów tych dodatnich liczb wynika \[a+1=2b+1,\] a stąd \(a=2b\), co należało wykazać.

**3 pkt** – zapisanie pełnego uzasadnienia, że \(a=2b\) **2 pkt** – otrzymanie wniosku \(a=2b\), ale bez pełnego uzasadnienia wykorzystującego dodatniość liczb **1 pkt** – przekształcenie warunku do postaci \((a+1)^2=(2b+1)^2\) albo równoważnego iloczynu \((a-2b)(a+2b+2)=0\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** V. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 2.1 stosowanie wzorów skróconego mnożenia dla kwadratu sumy i różnicy kwadratów.

\[a(a-2b)+2b^2>0\quad\text{dla}\quad a\neq b.\]

Przekształcamy lewą stronę nierówności: \[a(a-2b)+2b^2=a^2-2ab+2b^2=(a-b)^2+b^2.\] Ponieważ \(a\neq b\), mamy \((a-b)^2>0\). Ponadto \(b^2\geq0\). Zatem \[(a-b)^2+b^2>0,\] co kończy dowód.

**2 pkt** – przedstawienie pełnego uzasadnienia nierówności **1 pkt** – zapisanie wyrażenia w postaci \((a-b)^2+b^2\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** V. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 2.1 stosowanie wzorów skróconego mnożenia.

\[ab+16>4a+4b.\]

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i rozkładamy wyrażenie na czynniki: \[ab-4a-4b+16>0,\] \[(a-4)(b-4)>0.\] Z założeń \(a<4\) i \(b<4\) wynika, że \(a-4<0\) oraz \(b-4<0\). Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni, więc \[(a-4)(b-4)>0.\] To dowodzi nierówności \(ab+16>4a+4b\).

**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu **1 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \((a-4)(b-4)>0\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** V. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 2.1 stosowanie przekształceń algebraicznych i wzorów skróconego mnożenia.

\[a(a+b)+b^2>3ab\quad\text{dla}\quad a\ne b.\]

Przekształcamy różnicę stron nierówności: \[a(a+b)+b^2-3ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.\] Ponieważ \(a\ne b\), mamy \(a-b\ne0\), a zatem \[(a-b)^2>0.\] To dowodzi podanej nierówności.

**2 pkt** – zapisanie pełnego uzasadnienia wykorzystującego \(a\ne b\) **1 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \((a-b)^2>0\) albo równoważne wykazanie, że rozpatrywany trójmian ma wyróżnik równy zero **0 pkt** – sprawdzenie jedynie wybranych wartości albo brak poprawnego uzasadnienia

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** rozumowanie i argumentacja - dowód algebraiczny z użyciem wzoru skróconego mnożenia.

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(a,b\in\mathbb R\).

Przekształcamy lewą stronę: \[3a^2-2ab+3b^2=(a-b)^2+2a^2+2b^2.\] Każdy składnik po prawej stronie jest nieujemny dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\). Ich suma jest więc nieujemna, czyli \[3a^2-2ab+3b^2\geq0.\]

**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu wraz z uzasadnieniem nieujemności wszystkich składników **1 pkt** – zapisanie wyrażenia w postaci sumy wielokrotności kwadratów, np. \((a-b)^2+2a^2+2b^2\), bez pełnego komentarza kończącego dowód, albo wykonanie innego istotnego kroku wskazanego w kluczu CKE **0 pkt** – sprawdzenie jedynie wybranych wartości albo brak poprawnego uzasadnienia

**Wymagania ogólne:** V. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 2.1 używanie wzorów skróconego mnożenia na \((a+b)^2\) i \((a-b)^2\).

Nierówność została wykazana dla każdej liczby \(x>0\).

Z odczytu redakcyjnego treści dowodzona nierówność ma postać \[x+\frac{1-x}{x}\ge1.\] Z założenia \(x>0\), więc mnożenie obu stron przez \(x\) nie zmienia kierunku nierówności: \[x^{2}+1-x\ge x.\] Przenosimy wszystko na lewą stronę i stosujemy wzór skróconego mnożenia: \[x^{2}-2x+1\ge0,\qquad (x-1)^{2}\ge0.\] Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej, a wszystkie przekształcenia były równoważne przy \(x>0\). Równość zachodzi dokładnie dla \(x=1\). **Odpowiedź.** Nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej \(x\), co należało wykazać.

1 pkt: poprawne przekształcenie. 2 pkt: pełne uzasadnienie.

Zadanie 28. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\).

Przekształcamy lewą stronę: \[5x^2+y^2-4xy+6x+9=(2x-y)^2+(x+3)^2.\] Oba składniki są kwadratami liczb rzeczywistych, zatem są nieujemne. W konsekwencji \[(2x-y)^2+(x+3)^2\geq0\] dla każdych \(x,y\in\mathbb R\), co kończy dowód.

**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania **2 pkt** – zapisanie \((2x-y)^2+(x+3)^2\geq0\) bez uzasadnienia nieujemności **1 pkt** – zapisanie postaci \(4x^2-4xy+y^2+x^2+6x+9\geq0\), z której można utworzyć sumę kwadratów **0 pkt** – brak koniecznego postępu CKE dopuszcza też rozwiązanie z funkcją kwadratową i wykazaniem, że jej wyróżnik \(\Delta=-4(y+6)^2\leq0\).

**Klasyfikacja CKE:** dowodzenie nierówności - uzupełnianie do kwadratu albo badanie znaku funkcji kwadratowej z parametrem.

Nierówność zachodzi dla wszystkich różnych \(x,y\in\mathbb R\).

Przekształcamy lewą stronę: \[x^2y^2+2x^2+2y^2-8xy+4=(xy-2)^2+2(x-y)^2.\] Pierwszy składnik jest nieujemny. Ponieważ \(x\neq y\), drugi składnik jest dodatni, więc ich suma jest dodatnia.

**3 pkt** – pełne rozumowanie z wykorzystaniem założenia \(x\neq y\) **2 pkt** – zapisanie \((xy-2)^2+2(x-y)^2>0\) bez pełnego uzasadnienia **1 pkt** – istotny postęp prowadzący do sumy kwadratów **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** wzory skróconego mnożenia i przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Nierówność została wykazana dla każdej liczby \(x>0\).

Z odczytu redakcyjnego treści dowodzona nierówność ma postać \[4x+\frac1x\ge4.\] Z założenia \(x>0\), więc mnożenie obu stron przez \(x\) nie zmienia kierunku nierówności: \[4x^{2}+1\ge4x.\] Przenosimy wszystko na lewą stronę i stosujemy wzór skróconego mnożenia: \[4x^{2}-4x+1\ge0,\qquad (2x-1)^{2}\ge0.\] Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej, a wszystkie przekształcenia były równoważne przy \(x>0\). Równość zachodzi dokładnie dla \(x=\tfrac12\). **Odpowiedź.** Nierówność \(4x+\dfrac1x\ge4\) jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej \(x\), co należało udowodnić.

1 pkt: poprawne przekształcenie do nierówności kwadratowej. 2 pkt: pełny dowód z uwzględnieniem x > 0.

Zadanie 28. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

Nierówność została wykazana dla wszystkich \(x,y\in\mathbb{R}\).

Z odczytu redakcyjnego treści dowodzona nierówność ma postać \[x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}\ge2\left(x^{3}+y^{3}\right).\] Przenosimy wszystko na lewą stronę i grupujemy wyrazy zawierające \(x\) oraz wyrazy zawierające \(y\): \[\left(x^{4}-2x^{3}+x^{2}\right)+\left(y^{4}-2y^{3}+y^{2}\right).\] W każdym nawiasie wyłączamy kwadrat zmiennej i stosujemy wzór skróconego mnożenia: \[x^{2}\left(x^{2}-2x+1\right)+y^{2}\left(y^{2}-2y+1\right)=x^{2}(x-1)^{2}+y^{2}(y-1)^{2}.\] Każdy składnik jest iloczynem dwóch kwadratów liczb rzeczywistych, więc jest nieujemny; nieujemna jest zatem i ich suma. Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(x\in\{0,1\}\) i \(y\in\{0,1\}\). **Odpowiedź.** \(x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}\ge2\left(x^{3}+y^{3}\right)\) dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\), \(y\), co należało wykazać.

1 pkt: zapis lewej strony jako sumy odpowiednich kwadratów. 2 pkt: pełne uzasadnienie nieujemności.

Zadanie 28. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

Dla dodatnich \(x,y\) spełniających \(x^2+y^2=2\) zachodzi \(x+y\leq2\).

Punktem wyjścia jest nierówność prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych: \[(x-y)^2\geq0,\qquad\text{czyli}\qquad x^2+y^2\geq2xy.\] Z założenia \(x^2+y^2=2\), więc \(2\geq2xy\), a stąd \[xy\leq1.\] Rozwijamy kwadrat sumy i korzystamy z założenia oraz z otrzymanego ograniczenia: \[(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=2+2xy\leq2+2=4.\] Liczby \(x\) i \(y\) są dodatnie, więc \(x+y>0\); pierwiastkując nierówność \((x+y)^2\leq4\) stronami, otrzymujemy \[x+y\leq2,\] co należało wykazać. Równość zachodzi dokładnie dla \(x=y=1\). **Odpowiedź.** Nierówność \(x+y\leq2\) jest prawdziwa dla wszystkich dodatnich \(x\), \(y\) spełniających warunek \(x^2+y^2=2\).

V. Rozumowanie i argumentacja. 2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na (a±b)² oraz a²−b² (2.1).

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,m\in\mathbb R\).

Przenosimy prawą stronę na lewą i przekształcamy: \[20x^2-24mx+18m^2-4x-12m+5\] \[=(2x-1)^2+(3m-2)^2+(4x-3m)^2.\] Każdy składnik po prawej stronie jest kwadratem liczby rzeczywistej, więc suma jest nieujemna. Otrzymujemy zatem \[20x^2-24mx+18m^2\geq4x+12m-5\] dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) i \(m\).

**3 pkt** – pełny dowód przez zapisanie lewej strony jako sumy trzech kwadratów **2 pkt** – poprawna postać sumy kwadratów bez końcowego uzasadnienia **1 pkt** – poprawne przeniesienie wszystkich składników na jedną stronę i rozpoczęcie grupowania **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 3.2 R - równania i nierówności kwadratowe z parametrem.

\[3x^2+5y^2-4xy=(x-2y)^2+2x^2+y^2\geq0.\]

Przekształcamy lewą stronę do sumy kwadratów: \[3x^2+5y^2-4xy=(x-2y)^2+2x^2+y^2.\] Każdy składnik po prawej stronie jest nieujemny dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y\), zatem ich suma także jest nieujemna.

**1 pkt** – przedstawienie wyrażenia jako sumy kwadratów albo równoważne wykazanie niedodatniej delty **2 pkt** – pełne uzasadnienie nierówności dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\) **0 pkt** – rozwiązanie bez poprawnego postępu

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** wyrażenia algebraiczne, przekształcanie do sumy kwadratów.

\[ab\leq\frac14,\] przy czym równość zachodzi dla \(a=b=\frac12\).

Z założenia \(b=1-a\). Nierówność przekształcamy równoważnie: \[ab\leq\frac14\iff a(1-a)\leq\frac14\iff a^2-a+\frac14\geq0\iff\left(a-\frac12\right)^2\geq0.\] Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \(a\), więc teza zachodzi.

**Informator CKE podaje trzy rozwiązania wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – pełny poprawny dowód **1 pkt** – sprowadzenie tezy do \(\left(a-\frac12\right)^2\geq0\) albo poprawne użycie nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność. **Wymagania szczegółowe:** 2.1. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\).

Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) zachodzi \[(x-y)^2\geq0.\] Po rozwinięciu kwadratu otrzymujemy \[x^2-2xy+y^2\geq0,\] czyli \[x^2+y^2\geq2xy.\] To kończy dowód.

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – pełny dowód **1 pkt** – zapisanie \((x-y)^2\geq0\) i rozpoczęcie przekształcenia **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający prowadzi proste rozumowanie składające się z niewielkiej liczby kroków. **Wymagania szczegółowe:** 2.1. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).

Nierówność jest prawdziwa dla każdego \(x\in\mathbb R\).

Lewą stronę zapisujemy jako sumę składników nieujemnych i składnika dodatniego: \[x^4-x^2-2x+3=(x^2-1)^2+(x-1)^2+1.\] Dla każdego \(x\in\mathbb R\) mamy \((x^2-1)^2\geq0\) oraz \((x-1)^2\geq0\), natomiast \(1>0\). Zatem \[(x^2-1)^2+(x-1)^2+1>0,\] co kończy dowód.

**3 pkt** – pełny dowód dodatniości **2 pkt** – zapis \((x^2-1)^2+(x-1)^2+1>0\) bez pełnego uzasadnienia **1 pkt** – przekształcenie do \(x^4-2x^2+1+x^2-2x+1+1\) prowadzące do sumy kwadratów **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 2. Wyrażenia algebraiczne - działania na wyrażeniach i wzory skróconego mnożenia \((a\pm b)^2\), \(a^2-b^2\) (R2.6, R2.1) .

\[4x^2-8xy+5y^2=(2x-2y)^2+y^2\geq0.\]

Przekształcamy lewą stronę: \[4x^2-8xy+5y^2=(2x-2y)^2+y^2.\] Oba składniki są kwadratami liczb rzeczywistych, więc są nieujemne. Ich suma jest zatem nieujemna dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\), co kończy dowód.

**1 pkt** – zapisanie wyrażenia w postaci \((2x-2y)^2+y^2\) **2 pkt** – pełne uzasadnienie nierówności dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x,y\) **0 pkt** – rozwiązanie bez poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** V. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 2.1 zdający używa wzorów skróconego mnożenia.

\[x^3+y^3-x^2y-xy^2=(x-y)^2(x+y)\geq0.\]

Przenosimy prawą stronę na lewą i wyłączamy wspólne czynniki: \[x^3+y^3-x^2y-xy^2=x^2(x-y)-y^2(x-y)=(x-y)(x^2-y^2)=(x-y)^2(x+y).\] Dla \(x,y\geq0\) mamy \((x-y)^2\geq0\) oraz \(x+y\geq0\), więc ich iloczyn jest nieujemny. To dowodzi nierówności.

**2 pkt** – pełny dowód z uzasadnieniem nieujemności \((x-y)^2(x+y)\) **1 pkt** – poprawne sprowadzenie różnicy stron do postaci iloczynowej **0 pkt** – rozumowanie błędne albo brak rozumowania

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** wyrażenia algebraiczne i nierówności, rozkład wielomianu na czynniki.

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\).

Po przeniesieniu prawej strony na lewą otrzymujemy \[x^2+y^2-xy-x-y+1\geq0.\] Mnożymy lewą stronę przez \(2\) i grupujemy składniki: \[2(x^2+y^2-xy-x-y+1)=(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2.\] Każdy składnik po prawej stronie jest kwadratem liczby rzeczywistej, więc jest nieujemny. Zatem ich suma jest nieujemna, co dowodzi tezy.

**3 pkt** – pełny dowód wraz z uzasadnieniem nieujemności sumy kwadratów **2 pkt** – zapisanie nierówności w równoważnej postaci będącej sumą składników nieujemnych **1 pkt** – poprawne przeniesienie wszystkich składników na jedną stronę i rozpoczęcie przekształceń prowadzących do sumy kwadratów **0 pkt** – rozumowanie błędne albo brak dowodu

**Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność. **Wymagania szczegółowe:** Zdający wykorzystuje wzory skróconego mnożenia i nieujemność kwadratu liczby rzeczywistej do dowodzenia nierówności.

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(a,b\in\mathbb R\).

Obliczamy różnicę prawej i lewej strony: \[\frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{2a^2+2b^2-(a^2+2ab+b^2)}4=\frac{(a-b)^2}{4}.\] Ponieważ \((a-b)^2\geq0\), otrzymana różnica jest nieujemna. Stąd \[\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq\frac{a^2+b^2}{2}.\]

**2 pkt** – pełny dowód przez sprowadzenie różnicy stron do \(\frac{(a-b)^2}{4}\geq0\) **1 pkt** – poprawne przekształcenie nierówności do postaci równoważnej \((a-b)^2\geq0\) **0 pkt** – rozumowanie błędne albo brak dowodu

**Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** Zdający wykorzystuje wzory skróconego mnożenia i nieujemność kwadratu liczby rzeczywistej do dowodzenia nierówności.

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x>0\) i \(y>0\).

Ponieważ \(xy>0\), możemy pomnożyć nierówność przez \(xy\) bez zmiany jej zwrotu. Otrzymujemy nierówność równoważną \[x^3+x^2+y^3+y^2>2xy.\] Po przeniesieniu prawej strony na lewą: \[x^3+y^3+(x-y)^2>0.\] Dla \(x>0\) i \(y>0\) mamy \(x^3+y^3>0\), a ponadto \((x-y)^2\geq0\). Ich suma jest więc dodatnia, co kończy dowód.

**3 pkt** – pełny dowód z wykorzystaniem dodatniości \(xy\) i postaci \(x^3+y^3+(x-y)^2>0\) **2 pkt** – sprowadzenie nierówności do sumy składników dodatnich lub nieujemnych **1 pkt** – poprawne pomnożenie przez \(xy\) i otrzymanie nierówności wielomianowej **0 pkt** – rozumowanie błędne albo brak dowodu

**Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** Zdający przekształca wyrażenia wymierne i wykorzystuje dodatniość liczb oraz nieujemność kwadratu do przeprowadzenia dowodu.

Nierówność została uzasadniona przy założeniu \(2a+b\ge0\).

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[2a^{3}-3a^{2}b+b^{3}\ge0.\] Rozkładamy lewą stronę na czynniki. Zauważamy, że dla \(a=b\) wyrażenie się zeruje, więc \(a-b\) jest jego dzielnikiem: \[2a^{3}-3a^{2}b+b^{3}=2a^{2}(a-b)-a^{2}b+b^{3}=2a^{2}(a-b)-b\left(a^{2}-b^{2}\right),\] \[=2a^{2}(a-b)-b(a-b)(a+b)=(a-b)\left(2a^{2}-ab-b^{2}\right).\] Drugi czynnik rozkładamy dalej: \[2a^{2}-ab-b^{2}=2a^{2}-2ab+ab-b^{2}=2a(a-b)+b(a-b)=(a-b)(2a+b).\] Zatem \[2a^{3}-3a^{2}b+b^{3}=(a-b)^{2}(2a+b).\] Pierwszy czynnik jest nieujemny jako kwadrat liczby rzeczywistej, a drugi jest nieujemny z założenia. Iloczyn liczb nieujemnych jest nieujemny, co kończy dowód. **Odpowiedź.** Jeżeli \(2a+b\ge0\), to \(2a^{3}+b^{3}\ge3a^{2}b\), co należało uzasadnić.

Zadanie 5. (3 pkt) Uzasadnij, że jeżeli 2a+bžO, to 2a3 +113 3a2b . Rozwiązanie Przekształcamy nierówność w sposób równoważny: 2a3 -3a2b+b3 žo, 2a3 —2a2b—a2b+b3 O, 2a2 —122) O, 2a2 (a —b) O , (a —b) (2a2 — ab—b2) , (a — b) (2a2 —2ab + ab —b2) O , (2a+b) O . Ostatnia nierówność jest prawdziwa, gdyż jej lewa strona jest iloczynem dwóch liczb nieujemnych: nierówność 0 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b, a z założenia 2a+b O. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp . 1 pkt Zapisanie lewej strony nierówności 2a3 —3a2b+b3 > O w postaci iloczynu, np. Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt Zapisanie lewej strony nierówności w postaci iloczynowej, Rozwiązanie pełne Przeprowadzenie pełnego dowodu. 3pkt

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: dowód nierówności algebraicznej przez rozkład na czynniki.

Nierówność została udowodniona przy założeniu \(x+y+z=0\).

Z założenia \(x+y+z=0\), więc także \((x+y+z)^{2}=0\). Korzystamy z podanej tożsamości: \[0=(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz.\] Stąd \[2\left(xy+xz+yz\right)=-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right),\qquad xy+xz+yz=-\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}.\] Suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna, więc prawa strona jest niedodatnia: \[xy+yz+zx\le0.\] Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(x=y=z=0\). **Odpowiedź.** \(xy+yz+zx\le0\) dla wszystkich \(x,y,z\) spełniających \(x+y+z=0\), co należało udowodnić.

1 pkt: doprowadzenie do zależności xy + xz + yz = −(x² + y² + z²)/2 bez pełnego uzasadnienia znaku albo równoważny istotny etap. 2 pkt: pełne uzasadnienie nierówności.

Rozumowanie i argumentacja. Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej (V.2.b).

\[a^{2}+\frac1{a^{2}}=7.\]

Z założenia \(a\neq0\), więc wyrażenie \(a+\tfrac1a\) jest określone. Podnosimy je do kwadratu: \[\left(a+\frac1a\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot\frac1a+\frac1{a^{2}}=a^{2}+\frac1{a^{2}}+2.\] Z warunku zadania lewa strona jest równa \(3^{2}=9\), zatem \[a^{2}+\frac1{a^{2}}=9-2=7.\] **Odpowiedź.** \(a^{2}+\dfrac1{a^{2}}=7\), co należało uzasadnić.

1 pkt: podniesienie danej równości do kwadratu. 2 pkt: pełne uzasadnienie wyniku 7.

Zadanie 30. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

Obie strony są dodatnie, więc po podniesieniu do kwadratu wystarczy wykazać \((ac+bd)^2\leqslant(a^2+b^2)(c^2+d^2)\). Po rozwinięciu i redukcji jest to równoważne nierówności \((ad-bc)^2\geqslant0\), prawdziwej dla wszystkich liczb rzeczywistych. Równość zachodzi dla \(ad=bc\).

**Krok \(1\).** To zadanie na dowód. Po prawej stronie są pierwiastki, więc naturalnym pomysłem jest podniesienie obu stron do kwadratu. Wolno tak zrobić tylko wtedy, gdy obie strony są nieujemne — dlatego najpierw to sprawdzamy. **Krok \(2\).** Liczby \(a,b,c,d\) są dodatnie, więc lewa strona \(ac+bd\) jest dodatnia, a prawa strona jako iloczyn pierwiastków także jest dodatnia. Dla liczb nieujemnych nierówność \(L\leqslant P\) jest równoważna nierówności \(L^2\leqslant P^2\), więc możemy pisać przekształcenia równoważne. **Krok \(3\).** Podnosimy obie strony do kwadratu. Prawa strona to \(\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2\left(\sqrt{c^2+d^2}\right)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\), więc mamy wykazać \[(ac+bd)^2\leqslant(a^2+b^2)(c^2+d^2).\] **Krok \(4\).** Rozwijamy obie strony. Lewa: \[(ac+bd)^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2.\] Prawa: \[(a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2.\] **Krok \(5\).** Redukujemy wyrazy \(a^2c^2\) i \(b^2d^2\), które występują po obu stronach. Zostaje nierówność \[2abcd\leqslant a^2d^2+b^2c^2.\] **Krok \(6\).** Przenosimy wszystko na jedną stronę: \[a^2d^2-2abcd+b^2c^2\geqslant0.\] **Krok \(7\).** Lewa strona to kwadrat różnicy — rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \(u^2-2uv+v^2=(u-v)^2\) dla \(u=ad\), \(v=bc\): \[(ad-bc)^2\geqslant0.\] **Krok \(8\).** Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc ostatnia nierówność jest prawdziwa. Ponieważ wszystkie przekształcenia były równoważne, prawdziwa jest także nierówność wyjściowa, co kończy dowód. **Uwaga.** Podnoszenie nierówności do kwadratu jest równoważne tylko dla stron nieujemnych — tutaj gwarantuje to założenie, że \(a,b,c,d\) są dodatnie, i dlatego trzeba je wyraźnie powołać. Z ostatniego kroku widać też, kiedy zachodzi równość: dokładnie wtedy, gdy \(ad=bc\). **Odpowiedź.** Nierówność \(ac+bd\leqslant\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{c^2+d^2}\) jest prawdziwa dla wszystkich dodatnich \(a,b,c,d\), ponieważ jest równoważna nierówności \((ad-bc)^2\geqslant0\).

**1 pkt** – gdy przekształci nierówność do postaci równoważnej \(\left(ac+bd\right)^{2}\le\left(a^{2}+b^{2}\right)\cdot\left(c^{2}+d^{2}\right)\) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – gdy doprowadzi nierówność do postaci \(2abcd\le a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}\) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.

V. Rozumowanie i argumentacja. Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej (V.2.b).

Nierówność została udowodniona przy założeniu \(a+b\ge0\).

Przenosimy prawą stronę na lewą: \[a^{3}+b^{3}-a^{2}b-ab^{2}\ge0.\] Grupujemy wyrazy i wyłączamy wspólne czynniki: \[a^{2}(a-b)-b^{2}(a-b)=(a-b)\left(a^{2}-b^{2}\right)=(a-b)^{2}(a+b).\] Czynnik \((a-b)^{2}\) jest nieujemny jako kwadrat liczby rzeczywistej, a czynnik \(a+b\) jest nieujemny z założenia. Iloczyn liczb nieujemnych jest nieujemny, więc \[(a-b)^{2}(a+b)\ge0,\] co jest równoważne dowodzonej nierówności. Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(a=b\) albo \(a+b=0\). **Odpowiedź.** Jeżeli \(a+b\ge0\), to \(a^{3}+b^{3}\ge a^{2}b+ab^{2}\), co należało udowodnić.

**2 pkt** – zapisanie nierówności w postaci iloczynowej \((a-b)\left(a^{2}-b^{2}\right)\ge 0\) lub \((a-b)^{2}(a+b)\ge 0\), lub […]. **3 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu. W przypadku gdy zdający podzieli nierówność przez \(a+b>0\) i nie rozpatrzy przypadku \(a+b=0\), to przyznajemy \(2\) punkty.

V. Rozumowanie i argumentacja. Przeprowadzenie dowodu algebraicznego. (V.2.b)

\[a^{4}+b^{4}=31.\]

Podnosimy pierwszy warunek do kwadratu: \[(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=1.\] Po podstawieniu \(a^{2}+b^{2}=7\) otrzymujemy \[7+2ab=1,\qquad ab=-3,\qquad a^{2}b^{2}=9.\] Następnie podnosimy do kwadratu drugi warunek: \[\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}=a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}=49.\] Stąd \[a^{4}+b^{4}=49-2\cdot9=31.\] **Odpowiedź.** \(a^{4}+b^{4}=31\), co należało uzasadnić.

1 pkt: obliczenie ab = −3 albo przekształcenie tezy do równoważnej postaci a²b² = 9. 2 pkt: pełne uzasadnienie równości a⁴ + b⁴ = 31.

Rozumowanie i argumentacja. Uzasadnienie zależności arytmetycznej z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia.

Teza została uzasadniona: \(ad=bc\).

Rozwijamy obie strony danej równości: \[\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2},\] \[(ac+bd)^{2}=a^{2}c^{2}+2abcd+b^{2}d^{2}.\] Po porównaniu i redukcji wyrazów \(a^{2}c^{2}\) oraz \(b^{2}d^{2}\) otrzymujemy \[a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}=2abcd,\qquad a^{2}d^{2}-2abcd+b^{2}c^{2}=0.\] Lewa strona jest kwadratem różnicy: \[(ad-bc)^{2}=0.\] Kwadrat liczby rzeczywistej jest zerem tylko wtedy, gdy sama liczba jest zerem, więc \(ad-bc=0\), czyli \(ad=bc\). **Odpowiedź.** \(ad=bc\), co należało uzasadnić.

**2 pkt** – gdy przeprowadzi pełny dowód twierdzenia. Uwagi: **1 pkt** – jeżeli zdający przeprowadzi rozumowanie pomijając niektóre przypadki, np. rozważy tylko dodatnie wartości iloczynów \(ad\) i \(bc\). **0 pkt** – jeżeli zdający sprawdzi prawdziwość twierdzenia dla konkretnych wartości \(a\), \(b\), \(c\), \(d\).

Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.

dowód

**Krok \(1\).** W obu podpunktach dowodzimy nierówności, więc stosujemy standardowy sposób: przenosimy wszystko na jedną stronę i próbujemy rozpoznać wyrażenie, o którym wiadomo, że jest nieujemne - najczęściej kwadrat. Podpunkt b) rozwiążemy, korzystając z gotowej już nierówności z podpunktu a). **Krok \(2\).** Podpunkt a). Nierówność \(x^{2}+y^{2}\geq2xy\) przekształcamy równoważnie, odejmując \(2xy\) od obu stron: \[x^{2}-2xy+y^{2}\geq0.\] **Krok \(3\).** Lewa strona to kwadrat różnicy (wzór skróconego mnożenia): \[x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}.\] Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc \((x-y)^{2}\geq0\) zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\). Ponieważ wszystkie przekształcenia były równoważne, wyjściowa nierówność też jest prawdziwa. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy \(x=y\). **Krok \(4\).** Podpunkt b). Mamy warunek dotyczący sumy \(x+y+z=1\), a tezę dotyczącą sumy kwadratów. Naturalnym pomysłem jest podniesienie warunku do kwadratu, bo wtedy pojawią się i kwadraty, i iloczyny: \[1=(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx.\] **Krok \(5\).** Iloczyny szacujemy nierównością z podpunktu a), stosowaną trzykrotnie do różnych par zmiennych: \[2xy\leq x^{2}+y^{2},\qquad 2yz\leq y^{2}+z^{2},\qquad 2zx\leq z^{2}+x^{2}.\] **Krok \(6\).** Dodajemy te trzy nierówności stronami. Po prawej stronie każda ze zmiennych pojawia się dwa razy: \[2xy+2yz+2zx\leq2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right).\] **Krok \(7\).** Wstawiamy to oszacowanie do równości z kroku \(4\): \[1=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\left(2xy+2yz+2zx\right)\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right).\] **Krok \(8\).** Dzielimy obie strony przez \(3\) (liczba dodatnia, więc znak nierówności zostaje): \[x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq\frac13,\] co należało wykazać. **Uwaga.** W kroku \(7\) korzystamy z tego, że zastąpienie sumy iloczynów większym wyrażeniem może tylko powiększyć prawą stronę - dlatego nierówność jest zachowana. Równość w b) zachodzi wyłącznie dla \(x=y=z=\frac13\), bo tylko wtedy wszystkie trzy nierówności z kroku \(5\) stają się równościami. **Odpowiedź.** Obie nierówności są udowodnione: w a) sprowadzamy tezę do \((x-y)^{2}\geq0\), a w b) sumujemy trzy takie nierówności i korzystamy z \((x+y+z)^{2}=1\), otrzymując \(x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq\frac13\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: dowód

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Równania i nierówności.

Teza została wykazana: \(a=b\) albo \(a+b=1\).

Z założenia \(a>0\) i \(b>0\), więc obie strony równości są nieujemne i podniesienie ich do kwadratu jest przekształceniem równoważnym: \[a^{2}+b=a+b^{2}.\] Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i grupujemy: \[a^{2}-b^{2}-(a-b)=0.\] Do pierwszej różnicy stosujemy wzór skróconego mnożenia i wyłączamy wspólny czynnik: \[(a-b)(a+b)-(a-b)=(a-b)\left(a+b-1\right)=0.\] Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się jeden z czynników, czyli \[a=b\qquad\text{albo}\qquad a+b=1.\] **Odpowiedź.** \(a=b\) albo \(a+b=1\), co należało wykazać.

1 pkt: przekształcenie do (a−b)(a+b−1)=0. 2 pkt: oba przypadki.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Wyrażenia algebraiczne – dowodzi alternatywy przez rozkład wyrażenia na czynniki.