Funkcja wykładnicza i logarytmiczna — wykresy, wzory i modele wzrostu

**A.** Rysunek \(1\).

Funkcja ma wartość \(N(0)=N_0\), jest dodatnia i malejąca, a po czasie \(T\) przyjmuje wartość \(N(T)=\frac12N_0\). Te własności przedstawia rysunek \(1\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie wykresu. **Wymagania szczegółowe:** V.14) Zdający posługuje się funkcją wykładniczą i jej wykresem do interpretacji zastosowań praktycznych.

Z warunków zadania \(10\,000\cdot k^{2}=15\,625\), więc \(k^{2}=\frac{25}{16}\). Ponieważ \(k>0\), mamy \(k=\frac{5}{4}=1{,}25\). Liczebność populacji wzrastała w każdej godzinie o \(25\%\).

**Krok \(1\).** Metoda: z danych wyznaczamy stałą \(k\), a potem pokazujemy, że iloraz liczebności po kolejnych godzinach jest stały i równy \(k\) — to on decyduje o procentowym przyroście. **Krok \(2\).** Z warunku \(N(0)=10\,000\) otrzymujemy \(N_{0}\cdot k^{0}=N_{0}=10\,000\). **Krok \(3\).** Z warunku \(N(2)=15\,625\) otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą: \[10\,000\cdot k^{2}=15\,625,\qquad k^{2}=\frac{15\,625}{10\,000}=\frac{25}{16}.\] **Krok \(4\).** Ponieważ \(k\) jest stałą dodatnią, mamy \[k=\frac{5}{4}=1{,}25.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy, o ile zmienia się liczebność w ciągu jednej godziny (dla każdego \(t\geqslant 0\)): \[\frac{N(t+1)}{N(t)}=\frac{N_{0}k^{t+1}}{N_{0}k^{t}}=k=1{,}25\qquad\text{dla }t\geqslant 0.\] **Krok \(6\).** Iloraz \(1{,}25=1+0{,}25\) oznacza, że w ciągu każdej godziny liczebność wzrastała o \(25\%\) w stosunku do stanu z początku tej godziny. **Uwaga.** Przyrost w ciągu dwóch godzin wyniósł \(56{,}25\%\), a nie \(2\cdot 25\%=50\%\) — wzrost wykładniczy się kumuluje, a nie sumuje. **Odpowiedź.** Liczebność populacji wzrastała w ciągu każdej godziny o \(25\%\).

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(25\%\). **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(k\), np. \(15\,625=10\,000\cdot k^2\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga. Jeżeli zdający odgadnie wynik i sprawdzi, że wartość \(25\%\) spełnia warunki zadania oraz uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie (np. powołując się na to, że funkcja wykładnicza jest rosnąca), to otrzymuje 2 punkty; natomiast jeżeli takiego uzasadnienia nie przedstawi, to otrzymuje 1 punkt.

Wymagania określone w podstawie programowej **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.14) Zdający posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną […] do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

\[t=120\ \text{s}.\]

Po osiągnięciu stanu równowagi masa związku A jest równa \(\frac19m_0\), zatem \[b=\lim_{t\to+\infty}m(t)=\frac19m_0.\] Z warunku początkowego \(m(0)=m_0\) otrzymujemy \[m_0=a+\frac19m_0,\qquad a=\frac89m_0.\] Po przereagowaniu \(87{,}5\%\) masy początkowej pozostaje \(12{,}5\%\), czyli \(\frac18m_0\). Rozwiązujemy więc równanie \[\frac18m_0=\frac89m_0\cdot2^{-0{,}05t}+\frac19m_0.\] Po podzieleniu przez \(m_0\) mamy \[\frac1{72}=\frac89\cdot2^{-0{,}05t},\qquad 2^{-6}=2^{-0{,}05t}.\] Stąd \(6=0{,}05t\), a więc \[t=120.\] Zatem po \(120\) sekundach przereaguje \(87{,}5\%\) masy początkowej związku A.

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(120\) sekund **1 pkt** – wyznaczenie współczynnika \(b=\frac19m_0\) albo zapisanie związku \(a+b=m_0\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji; I. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.13) Zdający posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

\[Q(5)=6\ \text{milikulombów}.\]

Z danych \(Q(4)=2\) oraz \(Q(6)=18\) otrzymujemy \[2=Q_0\beta^{-4},\qquad 18=Q_0\beta^{-6}.\] Dzieląc pierwsze równanie przez drugie, dostajemy \[\frac2{18}=\beta^2,\qquad \beta^2=\frac19.\] Ponieważ \(\beta>0\), mamy \[\beta=\frac13.\] Z równania \(2=Q_0(\frac13)^{-4}\) wynika \[Q_0=\frac2{81}.\] Zatem \[Q(5)=\frac2{81}\left(\frac13\right)^{-5}=\frac2{81}\cdot3^5=6.\] W chwili \(t=5\,\mathrm{s}\) ładunek wynosił \(6\) milikulombów.

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(6\) milikulombów **1 pkt** – obliczenie \(Q_0=\frac2{81}\); albo obliczenie \(\beta=\frac13\); albo zapisanie związku \([Q(5)]^2=Q(4)\cdot Q(6)\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym. **Wymagania szczegółowe:** V.14) Zdający posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

**\(1\). F, \(2\). P.**

Ponieważ \(6^2=36\), mamy \[f(36)=\log_6 36=2.\] Wartość nie jest równa \(6\), więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe. Podstawa logarytmu spełnia \(6>1\), zatem funkcja \[f(x)=\log_6x\] jest rosnąca. Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **FP** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.14) Zdający posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną.

\[T(15)\approx59\,{}^\circ\mathrm C.\]

Z warunków zadania \(T_p=80\), \(T_z=20\) oraz \(T(10)=65\). Zatem \[65=(80-20)k^{-10}+20,\] stąd \[k^{-10}=\frac{45}{60}=\frac34.\] Po piętnastu minutach temperatura kawy wynosi \[T(15)=60k^{-15}+20=60(k^{-10})^{\frac32}+20.\] Wobec tego \[T(15)=60\left(\frac34\right)^{\frac32}+20=\frac{45\sqrt3}{2}+20\approx58{,}97.\] Po zaokrągleniu do jedności temperatura kawy jest równa \(59\,{}^\circ\mathrm C\).

**2 pkt** – poprawna metoda obliczenia temperatury kawy po \(15\) minutach oraz poprawny wynik zaokrąglony do jedności: \(59\,{}^\circ\mathrm C\) **1 pkt** – obliczenie \(k^{-10}=\frac{45}{60}=\frac34\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji; 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.13) Zdający posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

**A.**

Między dawkami masa leku maleje wykładniczo o połowę w ciągu \(4\) dób. W chwili przyjęcia każdej kolejnej dawki całkowita masa gwałtownie wzrasta o \(100\text{ mg}\), po czym ponownie maleje. Taki przebieg przedstawia wykres **A**.

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II i III wykorzystanie i tworzenie informacji oraz dobieranie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.3 i V.13 odczytywanie i interpretowanie wartości funkcji z różnych reprezentacji oraz stosowanie funkcji wykładniczej w zagadnieniach praktycznych.

\(m(12)=200\cdot(0{,}6)^{3}=43{,}2\ \mathrm{mg}\)

**Krok \(1\).** Zadanie daje gotowy model wykładniczy \(m(t)=m_0\cdot(0{,}6)^{0{,}25t}\), gdzie \(m_0\) to masa leku przyjęta na początku, \(t\) to czas w godzinach, a \(m(t)\) to masa pozostała po czasie \(t\). Wystarczy odczytać dane z treści i podstawić je do wzoru. **Krok \(2\).** Chory przyjął \(200\ \mathrm{mg}\), więc \(m_0=200\), a wzór przyjmuje postać \[m(t)=200\cdot(0{,}6)^{0{,}25t}.\] **Krok \(3\).** Pytanie dotyczy chwili \(t=12\) (godzin), więc najpierw obliczamy wykładnik: \[0{,}25\cdot12=3.\] **Krok \(4\).** Podstawiamy obliczony wykładnik: \[m(12)=200\cdot(0{,}6)^3.\] **Krok \(5\).** Liczymy trzecią potęgę: \[(0{,}6)^3=0{,}6\cdot0{,}6\cdot0{,}6=0{,}36\cdot0{,}6=0{,}216.\] **Krok \(6\).** Mnożymy przez masę początkową: \[m(12)=200\cdot0{,}216=43{,}2.\] **Uwaga.** Wykładnikiem jest \(0{,}25t\), a nie samo \(t\). Kto podstawi \(12\) bezpośrednio jako wykładnik, policzy \(200\cdot(0{,}6)^{12}\), czyli wynik bliski zeru. Warto też pilnować jednostki: wynik jest w miligramach, bo w miligramach podano masę początkową. **Odpowiedź.** Po \(12\) godzinach w organizmie pozostanie \(m(12)=200\cdot(0{,}6)^3=43{,}2\ \mathrm{mg}\) leku.

1 pkt: poprawna metoda i 43,2 mg.

Zadanie 15.1. (0–1) Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.

**D.** \(61^\circ\mathrm C\)

Podstawiamy \(x=20\): \[T(20)=78\cdot2^{-0{,}05\cdot20}+22=78\cdot2^{-1}+22=39+22=61.\] Temperatura po \(20\) minutach wynosi \(61^\circ\mathrm C\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji w kontekście praktycznym. **Wymagania szczegółowe:** V.13 i V.2 stosowanie funkcji wykładniczej do opisu zagadnień praktycznych oraz obliczanie wartości funkcji zadanej wzorem algebraicznym.

**A. Rysunek \(1\).**

Funkcja \(N(t)=N_0(\frac12)^{t/T}\) jest malejącą funkcją wykładniczą. Jej wykres przechodzi przez \((0,N_0)\), dla \(t=T\) przyjmuje wartość \(N_0/2\) i zbliża się do osi czasu, nie przecinając jej. Te własności ma rysunek \(1\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II.1 interpretowanie informacji przedstawionych w tekście i na wykresie. **Wymagania szczegółowe:** V.14 posługiwanie się funkcją wykładniczą i jej wykresem w zastosowaniu praktycznym.

Znalezisko ma około \(22\,800\) lat.

Z warunku zadania \[\frac1{16}=\left(\frac12\right)^{t/T}.\] Ponieważ \(\frac1{16}=(\frac12)^4\), otrzymujemy \(t/T=4\). Dla \(T=5700\) lat \[t=4\cdot5700=22\,800\text{ lat}.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(22\,800\) lat **2 pkt** – zapisanie równania \(\frac1{16}=(\frac12)^{t/T}\) i wyznaczenie \(t/T=4\) **1 pkt** – poprawne zapisanie modelu \(\frac1{16}m_0=m_0(\frac12)^{t/T}\) albo pierwszego etapu połowicznego rozpadu **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II.1 i III.2 interpretowanie informacji oraz tworzenie modelu matematycznego. **Wymagania szczegółowe:** I.1 i V.14 potęgowanie oraz zastosowanie funkcji wykładniczej.

\[m(t)=4\cdot0{,}81^t\quad\text{dla}\quad t\in\mathbb Z_{\geq0}.\] Masa po raz pierwszy będzie mniejsza od \(1{,}5\) grama po **\(5\) dobach**.

Po każdej dobie pozostaje \(100\%-19\%=81\%\) masy z poprzedniej doby. Wartości \(m(0),m(1),m(2),\ldots\) tworzą więc ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(4\) i ilorazie \(0{,}81\). Zatem \[m(t)=4\cdot0{,}81^t.\] Ciąg jest malejący. Sprawdzamy kolejne całkowite wartości: \[m(4)=4\cdot0{,}81^4\approx1{,}72>1{,}5,\] \[m(5)=4\cdot0{,}81^5\approx1{,}39<1{,}5.\] Masa po raz pierwszy spada poniżej \(1{,}5\) grama po \(5\) pełnych dobach.

**2 pkt** – zapisanie \(m(t)=4\cdot0{,}81^t\) oraz obliczenie, że masa będzie mniejsza od \(1{,}5\) grama po \(5\) dobach **1 pkt** – zapisanie poprawnego wzoru funkcji \(m\) albo obliczenie liczby dób **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji; 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.13) Zdający posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

**C.** \((0,-1)\)

Dla \(x=0\) otrzymujemy \[f(0)=3^0-2=1-2=-1.\] Do wykresu należy więc punkt \((0,-1)\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.2 obliczanie wartości funkcji dla danego argumentu.

**D.** \(8\)

Podstawiamy \(x=-3\): \[f(-3)=\left(\frac12\right)^{-3}=2^3=8.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcja wykładnicza - obliczanie wartości funkcji dla danego argumentu.

\(a=3\), a zbiorem wartości funkcji \(g\) jest przedział \((-2,+\infty)\).

Punkt \(P=(2,9)\) należy do wykresu funkcji \(f(x)=a^x\), więc jego współrzędne spełniają wzór: \[a^2=9.\] Z założenia \(a>0\), zatem \(a=3\) (rozwiązanie \(a=-3\) odrzucamy) i \[f(x)=3^x.\] Funkcja wykładnicza o podstawie \(3\) przyjmuje wszystkie wartości dodatnie i tylko takie: \[ZW_f=(0,+\infty).\] Wykres funkcji \(g(x)=f(x)-2\) powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji \(f\) o dwie jednostki w dół, więc każda wartość maleje o \(2\): \[ZW_g=(0-2,+\infty)=(-2,+\infty).\] Kres dolny nie należy do zbioru wartości, bo \(3^x>0\) dla każdego \(x\), a więc \(g(x)>-2\) i równość nigdy nie zachodzi. **Odpowiedź.** \(a=3\), \(ZW_g=(-2,+\infty)\).

**1 pkt** – gdy zdający obliczy \(a\): \(a=3\) albo zapisze zbiór wartości funkcji \(g\): \((-2,\,+\infty)\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – gdy zdający obliczy \(a\): \(a=3\) i zapisze zbiór wartości funkcji \(g\): \((-2,\,+\infty)\).

II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 4. Funkcje. Zdający szkicuje wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw (4.14) oraz przesuwa wykres y = f(x) do y = f(x) + a (4.4).

**C.** Punkt wspólny ma współrzędne \((0,1)\).

Mamy \(g(x)=3^{-x}\). Równość \(3^x=3^{-x}\) daje \(x=-x\), więc \(x=0\), a wtedy \(y=3^0=1\).

**1 pkt** – odpowiedź C **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** funkcje wykładnicze - przekształcenie argumentu i punkt przecięcia wykresów.

**D.** \(a=2\)

Punkt należy do wykresu funkcji, gdy jego współrzędne spełniają wzór funkcji. Podstawiamy \(x=1\) i \(f(x)=2\) do wzoru \(f(x)=a^x\): \[a^1=2,\qquad a=2.\] Warianty A i C można odrzucić od razu: podstawa funkcji wykładniczej musi być dodatnia. Wariant B odpada, bo dla \(a=\frac12\) funkcja byłaby malejąca, a z rysunku widać, że wykres rośnie. **Odpowiedź.** D: \(a=2\)

Zadanie 11. (0−1) **Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 4. Funkcje. Zdający szkicuje wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw (4.14).

**A.** \((2,+\infty)\)

Dla każdego \(x\in\mathbb R\) mamy \(5^{3-x}>0\), więc \(3+5^{3-x}>0\). Zatem \[f(x)=3+5^{3-x}-1=2+5^{3-x}>2.\] Wyrażenie \(5^{3-x}\) przyjmuje wszystkie wartości dodatnie, dlatego zbiorem wartości funkcji jest \((2,+\infty)\).

**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** funkcje wykładnicze - zbiór wartości i wartość bezwzględna.

**B.** \(1\)

Dla \(x>0\) rozważmy \(h(x)=-x+1-\log_2x\). Mamy \[h'(x)=-1-\frac{1}{x\ln2}<0,\] więc \(h\) jest ściśle malejąca. Ponadto \(h(x)\to+\infty\) dla \(x\to0^+\) oraz \(h(x)\to-\infty\) dla \(x\to+\infty\). Równanie \(h(x)=0\) ma zatem dokładnie jedno rozwiązanie.

**1 pkt** – odpowiedź B **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** funkcje - liczba punktów przecięcia wykresów funkcji liniowej i logarytmicznej.

**B.** Jeden.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) zachodzi \(3^{x-2}>0\), więc \[f(x)=3^{x-2}+3>3.\] Funkcja wykładnicza \(3^{x-2}\) przyjmuje wszystkie wartości dodatnie i jest rosnąca, zatem \(f\) jest ściśle rosnąca, a jej zbiorem wartości jest przedział \((3,+\infty)\). Prosta \(y=3\) jest asymptotą poziomą wykresu. Prosta \(l\colon y=3{,}3\) leży na poziomie \(3{,}3>3\), czyli wewnątrz zbioru wartości. Wartość \(3{,}3\) jest więc przyjmowana, a ponieważ funkcja jest różnowartościowa — dokładnie raz. **Odpowiedź.** B. Jeden.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 4.4, 4.3) Zdający na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\) szkicuje wykresy funkcji \(y=f(x+a)\), \(y=f(x)+a\), \(y=-f(x)\); odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, znak).

Najmniejsza szukana liczba dni to \(24\).

Po \(x\) okresach połowicznego rozpadu z \(1\,\mathrm{g}\) izotopu pozostaje \(\left(\frac12\right)^x\) grama. Warunek zadania zapisujemy nierównością \[\left(\frac12\right)^{x}\leq0{,}125.\] Prawą stronę zapisujemy jako potęgę tej samej podstawy: \(0{,}125=\frac18=\left(\frac12\right)^{3}\). Funkcja wykładnicza o podstawie \(\frac12<1\) jest **malejąca**, więc przy opuszczaniu potęg zwrot nierówności się odwraca: \[\left(\frac12\right)^{x}\leq\left(\frac12\right)^{3}\iff x\geq3.\] Najmniejsza liczba okresów to \(3\), a każdy okres trwa \(8\) dni, zatem \[3\cdot8=24\ \text{dni}.\] Sprawdzenie: po \(24\) dniach pozostaje dokładnie \(\left(\frac12\right)^3=0{,}125\,\mathrm{g}\), czyli tyle, ile dopuszcza warunek zadania. **Odpowiedź.** Po \(24\) dniach.

**Uwaga:** W arkuszach A6, A7 polecenie do zadania ma inne brzmienie: Wyznacz najmniejszą liczbę dni, po upływie których pozostanie z \(1\) g \(^{131}\mathrm{I}\) nie więcej niż \(0{,}125\) g tego pierwiastka. **Schemat oceniania** **1 pkt** – jeżeli poprawnie ustali ilość pierwiastka, jaka pozostanie po upływie \(16\) dni i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy, albo gdy poprawnie ustali liczbę okresów rozpadu połowicznego, po których pozostanie \(0{,}125\) g pierwiastka i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy, albo gdy zapisze nierówność […] i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy, albo gdy odczyta z wykresu funkcji \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\) zbiór argumentów, dla których wartości funkcji są nie większe (mniejsze) od […]. **2 pkt** – jeżeli obliczy najmniejszą liczbę dni, po upływie których pozostanie z \(1\) g \(^{131}\mathrm{I}\) nie więcej niż \(0{,}125\) g tego pierwiastka: \(24\).

Zadanie 27. (0–2) Czas połowicznego rozpadu pierwiastka to okres, jaki jest potrzebny, by ze 100% pierwiastka pozostało 50% tego pierwiastka. Oznacza to, że ilość pierwiastka pozostała z każdego grama x  1  pierwiastka po x okresach rozpadu połowicznego wyraża się wzorem y    .  2  W przypadku izotopu jodu 131I czas połowicznego rozpadu jest równy 8 dni. Wyznacz najmniejszą liczbę dni, po upływie których pozostanie z 1 g 131I nie więcej niż 0,125 g tego pierwiastka. Uwaga: W arkuszach A6, A7 polecenie do zadania ma inne brzmienie: Wyznacz najmniejszą liczbę dni, po upływie których pozostanie z 1 g 131I nie więcej niż 0,125 g tego pierwiastka. 4.15. Zdający posługuje się funkcjami wykładniczymi do opisu V. Rozumowanie zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach i argumentacja. osadzonych w kontekście praktycznym. I sposób rozwiązania: Stwierdzamy, że po 8 dniach (czyli po pierwszym okresie połowicznego rozpadu) pozostanie: 1  1  1 y 1    0, 5 (g) pierwiastka.    2  2 I dalej, po 16 dniach (czyli po drugim okresie połowicznego rozpadu) pozostanie 2  1  1 y 2    0, 25 (g) pierwiastka.    2  4 Z kolei po 24 dniach (czyli po trzecim okresie połowicznego rozpadu) pozostanie 3  1  1 y 3    0,125 (g) pierwiastka.    2  8 Odpowiedź: Po 24 dniach pozostanie z 1 g 131I nie więcej niż 0,125 g tego pierwiastka. II sposób rozwiązania; Ustalamy po ilu okresach rozpadu połowicznego pozostanie 0,125 g pierwiastka. x x  1   1  Rozwiązujemy nierówność  0,125 (lub  0,125 ).      2   2  x 3 x 3  1   1   1   1   (lub  ).          2   2   2   2  x  3 (lub x  3 ). Potrzebne są 3 okresy połowicznego rozpadu, czyli 38  24 dni. Odpowiedź: Po 24 dniach pozostanie z 1 g 131I nie więcej niż 0,125 g tego pierwiastka. III sposób rozwiązania: x  1  Szkicujemy wykres funkcji y  .    2  y 1 1 2 1 4 1 8 x 0 1 2 3 y x x  1   1  Z wykresu odczytujemy, że  0,125 , gdy x  3 (lub że  0,125 , gdy x  3 ).      2   2  Najmniejszą potrzebną liczbą okresów rozpadu połowicznego jest: 3, zatem najmniejszą szukaną liczbą dni jest: 38  24 . Odpowiedź: Po 24 dniach pozostanie z 1 g 131I nie więcej niż 0,125 g tego pierwiastka. Schemat oceniania Zdający otrzymuje 1 pkt  jeżeli poprawnie ustali ilość pierwiastka, jaka pozostanie po upływie 16 dni i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy albo  gdy poprawnie ustali liczbę okresów rozpadu połowicznego, po których pozostanie 0,125 g pierwiastka i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy albo x 3 x x  1   1   1  1  1  1  gdy zapisze nierówność  (lub  , lub  , lub          2   2   2  2 3  2  8 x 3 x x  1   1   1  1  1  1  , lub  , lub  ) i na tym poprzestanie lub dalej          2   2   2  2 3  2  8 popełni błędy albo x  1   gdy odczyta z wykresu funkcji y  zbiór argumentów, dla których wartości    2  funkcji są nie większe (mniejsze) od 3. Zdający otrzymuje 2 pkt jeżeli obliczy najmniejszą liczbę dni, po upływie których pozostanie z 1 g 131I nie więcej niż 0,125 g tego pierwiastka: 24.

**B.** \(B=(2,-1)\)

Punkt należy do wykresu, gdy jego współrzędne spełniają wzór funkcji \(y=-2^{\,x-2}\). Sprawdzamy wariant **B**, czyli \(x=2\): \[y=-2^{\,2-2}=-2^{0}=-1,\] co zgadza się z drugą współrzędną punktu \(B\). Zauważmy, że minus stoi **przed** potęgą, więc funkcja przyjmuje wyłącznie wartości ujemne — wyklucza to warianty **C** i **D**. **Odpowiedź.** **B.** \(B=(2,-1)\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Obliczanie potęgi o wykładniku wymiernym (II.1.g).

a) \(p=-4\). b) Wykres \(y=|f(x)|\) powstaje z wykresu \(f\) przez odbicie względem osi \(Ox\) tej jego części, która leży pod osią; pozostała część nie zmienia się. c) \(m>2\).

**a)** Z rysunku odczytujemy, że wykres ma asymptotę pionową \(x=-4\) oraz przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,2)\). Asymptota funkcji \(f(x)=\log_2(x-p)\) ma równanie \(x=p\), więc już stąd \(p=-4\). Ten sam wynik daje odczyt \(f(0)=2\): \[\log_2(0-p)=2,\qquad -p=2^2=4,\qquad p=-4.\] Zatem \(f(x)=\log_2(x+4)\) i dziedziną jest \((-4,+\infty)\). **b)** Wykres \(y=|f(x)|\) otrzymujemy z wykresu \(f\): część leżącą **poniżej** osi \(Ox\) (czyli dla \(-4<x<-3\), bo miejscem zerowym \(f\) jest \(x=-3\)) odbijamy symetrycznie względem tej osi, a część leżącą nad osią zostawiamy bez zmian. **c)** Dla \(m>0\) równanie \(|f(x)|=m\) jest równoważne alternatywie \(\log_2(x+4)=m\) lub \(\log_2(x+4)=-m\), skąd \[x_1=2^{m}-4,\qquad x_2=2^{-m}-4.\] Dla \(m>0\) mamy \(2^{-m}<1\), więc \(x_2<-3<0\) — drugi pierwiastek jest zawsze ujemny. Rozwiązania mają przeciwne znaki dokładnie wtedy, gdy pierwszy jest dodatni: \[2^{m}-4>0,\qquad 2^{m}>2^{2},\qquad m>2.\] Dla \(m=2\) byłoby \(x_1=0\), a zero nie ma znaku, więc tej wartości nie przyjmujemy. **Odpowiedź.** a) \(p=-4\). b) Odbicie względem osi \(Ox\) części wykresu leżącej pod tą osią. c) \(m>2\).

**1 pkt** – zdający zapisze, że \(p=-4\); albo narysuje wykres funkcji o wzorze \(y=\lvert f(x)\rvert\); albo poda wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(\lvert f(x)\rvert=m\) ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków. **2 pkt** – zdający zapisze, że \(p=-4\), i narysuje wykres funkcji o wzorze \(y=\lvert f(x)\rvert\), i nie poda wartości parametru \(m\), dla których równanie ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków; albo nie poda wartości \(p\), narysuje wykres funkcji o wzorze \(y=\lvert f(x)\rvert\) i poda wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(\lvert f(x)\rvert=m\) ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków; albo zapisze, że \(p=-4\), nie narysuje wykresu funkcji o wzorze \(y=\lvert f(x)\rvert\) i poda wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(\lvert f(x)\rvert=m\) ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków. **3 pkt** – zdający poda wartość \(p=-4\), narysuje wykres funkcji o wzorze \(y=\lvert f(x)\rvert\) i poda wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(\lvert f(x)\rvert=m\) ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków: \(m>2\). Jeżeli zdający ustala wartości parametru \(m\) na podstawie błędnie narysowanego wykresu funkcji \(y=\lvert f(x)\rvert\), to nie otrzymuje punktu za wyznaczenie tych wartości.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Sporządzanie wykresu funkcji y=|f(x)| na podstawie danego wykresu funkcji logarytmicznej y=f(x); badanie liczby rozwiązań równania z parametrem. (IV.4.a.d i 4.a.e.R)

a) \(a=3\), czyli \(f(x)=3^{x}\). b) Wykres funkcji \(g(x)=|3^{x}-2|\) powstaje z wykresu \(f\) przez przesunięcie o \(2\) jednostki w dół i odbicie części leżącej pod osią \(Ox\); równanie \(g(x)=m\) ma dokładnie jedno rozwiązanie dla \(m\in\{0\}\cup\langle2,+\infty)\).

**Krok \(1\).** W podpunkcie a) znamy postać wzoru \(f(x)=a^x\) i jeden konkretny punkt wykresu — wystarczy podstawić jego współrzędne do wzoru i wyliczyć \(a\). W podpunkcie b) wykres funkcji \(g(x)=|f(x)-2|\) powstaje z wykresu \(f\) w dwóch krokach: najpierw przesunięcie o \(2\) jednostki w dół, potem odbicie części leżącej pod osią \(Ox\) na drugą stronę tej osi. Liczbę rozwiązań równania \(g(x)=m\) odczytamy jako liczbę punktów wspólnych tego wykresu z poziomą prostą \(y=m\). **Krok \(2\).** Podpunkt a). Z rysunku odczytujemy zaznaczony punkt wykresu: wartość \(3\) funkcja przyjmuje dla argumentu \(1\), czyli \(f(1)=3\). **Krok \(3\).** Podstawiamy do wzoru: \[a^1=3,\qquad a=3.\] Warunki \(a\gt0\) i \(a\neq1\) są spełnione, więc \(f(x)=3^x\). Sprawdzenie: \(f(0)=3^0=1\), a wykres rzeczywiście przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,1)\). **Krok \(4\).** Podpunkt b), etap pierwszy. Wykres funkcji \(y=3^x-2\) to wykres \(y=3^x\) przesunięty o \(2\) jednostki w dół. Funkcja ta jest rosnąca, jej asymptotą poziomą jest teraz prosta \(y=-2\), a oś \(Ox\) przecina tam, gdzie \(3^x=2\), czyli dla \(x=\log_3 2\). **Krok \(5\).** Etap drugi: nakładamy moduł. Część wykresu leżącą poniżej osi \(Ox\) (czyli dla \(x\lt\log_3 2\)) odbijamy symetrycznie względem tej osi, resztę zostawiamy. Otrzymujemy wykres funkcji \(g(x)=\left|3^x-2\right|\). **Krok \(6\).** Opisujemy dokładnie, jak przebiega wykres \(g\). Dla \(x\leqslant\log_3 2\) mamy \(g(x)=2-3^x\): funkcja maleje i jej wartości maleją od \(2\) (do której zbliża się, gdy \(x\to-\infty\), ale nigdy jej nie osiąga, bo \(3^x\gt0\)) aż do \(0\) w punkcie \(x=\log_3 2\). Dla \(x\geqslant\log_3 2\) mamy \(g(x)=3^x-2\): funkcja rośnie od \(0\) do \(+\infty\). **Krok \(7\).** Prowadzimy poziomą prostą \(y=m\) i liczymy punkty wspólne z wykresem: - \(m\lt0\) — brak punktów wspólnych, bo \(g(x)\geqslant0\); - \(m=0\) — dokładnie jeden punkt wspólny (\(x=\log_3 2\)); - \(0\lt m\lt2\) — dwa punkty wspólne (jeden na gałęzi malejącej, jeden na rosnącej); - \(m\geqslant2\) — jeden punkt wspólny, bo gałąź malejąca przyjmuje wyłącznie wartości mniejsze od \(2\), więc prosta trafia tylko w gałąź rosnącą. **Krok \(8\).** Dokładnie jedno rozwiązanie otrzymujemy zatem dla \[m\in\{0\}\cup\langle2,+\infty).\] **Uwaga.** Najważniejszy i najczęściej mylony jest przypadek \(m=2\). Lewa gałąź wykresu ma asymptotę poziomą \(y=2\) — zbliża się do niej dowolnie blisko, ale nigdy jej nie dotyka. Dlatego prosta \(y=2\) przecina wykres tylko raz i wartość \(m=2\) należy do odpowiedzi (nawias domknięty), a nie jest z niej wykluczona. **Odpowiedź.** a) \(a=3\), czyli \(f(x)=3^{x}\). b) Wykres funkcji \(g(x)=|3^{x}-2|\) powstaje z wykresu \(f\) przez przesunięcie o \(2\) jednostki w dół i odbicie części leżącej pod osią \(Ox\); równanie \(g(x)=m\) ma dokładnie jedno rozwiązanie dla \(m\in\{0\}\cup\langle2,+\infty)\).

a) **1 pkt** – jeśli obliczy wartość podstawy \(a\). Poprawna odpowiedź: \(a=3\). b) **2 pkt** – jeśli narysuje wykres funkcji \(g(x)=\lvert f(x)-2\rvert\). Poprawna odpowiedź: […] **1 pkt** – jeśli narysuje tylko wykres funkcji \(y=f(x)-2\) i na tym poprzestanie lub popełni błędy przy dalszym przekształcaniu wykresu. **1 pkt** – jeśli poda wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(g(x)=m\) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Poprawna odpowiedź: \(m\in\{0\}\cup\langle 2,+\infty)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[D_f=\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right).\]

Zapisujemy warunki, przy których wyrażenie \(\log_{2\cos x}(9-x^2)\) ma sens: argument musi być dodatni, a podstawa dodatnia i różna od jedynki: \[9-x^2>0,\qquad 2\cos x>0,\qquad 2\cos x\neq1.\] Pierwszy warunek: \(x^2<9\), czyli \(x\in(-3,3)\). Drugi warunek: \(\cos x>0\). W przedziale \((-3,3)\) cosinus jest dodatni dokładnie na \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) — a ponieważ \(\frac{\pi}{2}\approx1{,}571<3\), cały ten przedział mieści się w \((-3,3)\), poza nim zaś w \((-3,3)\) cosinus jest ujemny. Trzeci warunek: \(\cos x\neq\frac12\), czyli \(x\neq-\frac{\pi}{3}\) i \(x\neq\frac{\pi}{3}\) (to jedyne takie punkty w rozważanym przedziale). Częścią wspólną wszystkich warunków jest \[D_f=\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right).\] **Odpowiedź.** Dziedziną funkcji jest suma trzech przedziałów otwartych: \(\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)\).

**1 pkt** – jeśli wykorzysta definicję logarytmu i zapisze wszystkie warunki określające dziedzinę funkcji \(f\). Poprawna odpowiedź: \(9-x^{2}>0\), \(2\cos x>0\), \(2\cos x\neq 1\). **1 pkt** – jeśli rozwiąże nierówność kwadratową. Poprawna odpowiedź: \(x\in(-3,3)\). **2 pkt** – jeśli poda zbiór rozwiązań nierówności \(\cos x>0\) i \(\cos x\neq\frac{1}{2}\) w przedziale \((-3,3)\). Poprawna odpowiedź: \(x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) i \(x\neq-\frac{\pi}{3}\) i \(x\neq\frac{\pi}{3}\). **1 pkt** – jeśli poda zbiór rozwiązań tylko jednej z nierówności. **1 pkt** – jeśli zapisze dziedzinę funkcji \(f\). Poprawna odpowiedź: \(D_{f}=\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Dziedzina: \(x\in(0,8)\). Najmniejsza wartość funkcji jest równa \(-8\).

Argument logarytmu musi być dodatni, więc dziedzinę wyznacza nierówność \[8x-x^2>0,\qquad x(8-x)>0,\] skąd \(x\in(0,8)\). Podstawa logarytmu jest równa \(\frac{\sqrt2}{2}=2^{-\frac12}\) i jest mniejsza od \(1\), więc funkcja logarytmiczna o tej podstawie jest **malejąca**. Wobec tego \(f\) przyjmuje wartość najmniejszą dla **największej** wartości argumentu. Wyrażenie \(8x-x^2\) jest funkcją kwadratową o ujemnym współczynniku przy \(x^2\), więc największą wartość osiąga w wierzchołku: \[x=\frac{0+8}{2}=4,\qquad 8\cdot4-4^2=16.\] Punkt \(x=4\) należy do dziedziny, zatem najmniejsza wartość funkcji wynosi \[f(4)=\log_{2^{-\frac12}}16=\frac{\log_2 16}{\log_2 2^{-\frac12}}=\frac{4}{-\frac12}=-8.\] **Odpowiedź.** Dziedziną jest przedział \((0,8)\), a najmniejsza wartość funkcji jest równa \(-8\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Korzystam z faktu, że funkcja logarytmiczna dla podstawy równej \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) jest malejąca. Oznacza to, że funkcja \(f\) przyjmuje najmniejszą wartość dla największego argumentu. Wyznaczam dziedzinę funkcji \(f\): \[8x-x^{2}>0\] \[x\cdot(8-x)>0\] \[x\in(0,8)\] Wyrażenie \(8x-x^{2}\) osiąga największą wartość dla \(x=4\) i jest ona równa \(16\). Najmniejszą wartością funkcji \(f(x)=\log_{\frac{\sqrt{2}}{2}}\left(8x-x^{2}\right)\) jest liczba \(\log_{\frac{\sqrt{2}}{2}}(16)\). Obliczam wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(16\), korzystając z definicji logarytmu: \[\log_{\frac{\sqrt{2}}{2}}(16)=y\] \[\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{y}=16\] \[\left(2^{-\frac{1}{2}}\right)^{y}=2^{4}\] \[\frac{-y}{2}=4,\ \text{więc}\ y=-8\] Odpowiedź: Liczba \((-8)\) jest najmniejszą wartością funkcji \(f\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) wykres funkcji \(f\) przesunięty o wektor \(\vec{u}=[2,-1]\) (asymptota pozioma \(y=-1\)); b) \(a=\frac12\), czyli \(f(x)=\left(\frac12\right)^{x}\) oraz \(g(x)=\left(\frac12\right)^{x-2}-1\); c) \(x\in(-\infty,2)\).

**Krok \(1\).** Metoda: korzystamy z reguły przesuwania wykresu — przesunięcie o wektor \(\vec{u}=[p,q]\) zamienia wykres funkcji \(y=f(x)\) na wykres \(y=f(x-p)+q\). Najpierw jednak trzeba odczytać podstawę \(a\). **Krok \(2\).** Wykres funkcji \(f(x)=a^{x}\) zawsze przechodzi przez punkt \((0,1)\). Z rysunku odczytujemy drugi punkt wykresu: \(\left(1,\frac{1}{2}\right)\). Stąd \(a^{1}=\frac{1}{2}\), czyli \(a=\frac{1}{2}\) i \[f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}.\] Podstawa należy do przedziału \((0,1)\), więc funkcja jest malejąca — zgodnie z kształtem wykresu. **Krok \(3\).** Część a). Przesuwamy każdy punkt wykresu o \(2\) jednostki w prawo i \(1\) jednostkę w dół. Charakterystyczne punkty: \((0,1)\mapsto(2,0)\), \(\left(1,\frac{1}{2}\right)\mapsto\left(3,-\frac{1}{2}\right)\), \((-1,2)\mapsto(1,1)\). **Krok \(4\).** Asymptota pozioma wykresu \(f\), czyli prosta \(y=0\), przechodzi na prostą \(y=-1\). Nowy wykres jest malejący, leży nad prostą \(y=-1\) i przecina oś \(Ox\) w punkcie \((2,0)\). **Krok \(5\).** Część b). Ze wzoru na przesunięcie z \(p=2\) i \(q=-1\): \[g(x)=f(x-2)-1=\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}-1.\] **Krok \(6\).** Część c). Rozwiązujemy nierówność \(g(x)\gt 0\): \[\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}-1\gt 0,\qquad \left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}\gt 1=\left(\frac{1}{2}\right)^{0}.\] **Krok \(7\).** Podstawa \(\frac{1}{2}\) należy do \((0,1)\), więc funkcja wykładnicza jest malejąca i przy porównywaniu wykładników zwrot nierówności się odwraca: \[x-2\lt 0,\qquad x\lt 2.\] Ten sam wynik odczytujemy z wykresu: nad osią \(Ox\) leży ta część wykresu \(g\), dla której \(x\lt 2\). **Uwaga.** Dwie rzeczy warto zapamiętać. Po pierwsze, przesunięcie w prawo o \(2\) daje we wzorze \(x-2\), a nie \(x+2\). Po drugie, przy podstawie mniejszej od \(1\) porównanie wykładników odwraca znak nierówności. Zauważmy też, że \(g(x)\gt -1\) dla każdego \(x\), bo \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}\gt 0\) — prosta \(y=-1\) jest asymptotą, której wykres nigdy nie osiąga. **Odpowiedź.** a) wykres funkcji \(f\) przesunięty o \(2\) w prawo i \(1\) w dół, o asymptocie poziomej \(y=-1\) i miejscu zerowym \(x=2\); b) \(a=\frac{1}{2}\), czyli \(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) oraz \(g(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}-1\); c) \(x\in(-\infty,2)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **2.1. (1 pkt)** – […] (rysunek: oś \(x\): \(-9,\ -8,\ -7,\ -6,\ -5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\); oś \(y\): \(-1,\ -2,\ -3,\ -4,\ -5,\ -6,\ -7\)) **2.2. (1 pkt)** – zapisanie podstawy \(a\) lub wzoru funkcji \(f\): \(a=\frac{1}{2}\) lub \(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\). **2.3. (1 pkt)** – zapisanie wzoru funkcji \(g\): \(g(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}-1\). **2.4. (1 pkt)** – podanie wszystkich argumentów, dla których \(g(x)>0\): \(x\in(-\infty,\,2)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(p=2\). b) \(f(0{,}125)=-3\). c) Wykres \(g\) to wykres \(f\) przesunięty o \(4\) w prawo, z częścią pod osią \(Ox\) odbitą względem tej osi. d) Miejsce zerowe: \(x=5\).

**a)** Z rysunku odczytujemy punkty należące do wykresu, np. \((2,1)\) — a także \((4,2)\) i \((8,3)\). Podstawiając do wzoru \(f(x)=\log_p x\), otrzymujemy \(\log_p 2=1\), czyli \(p^1=2\). Zatem \[p=2,\qquad f(x)=\log_2 x.\] **b)** Ponieważ \(0{,}125=\frac18=2^{-3}\), \[f(0{,}125)=\log_2 2^{-3}=-3.\] **c)** Wykres \(g(x)=|f(x-4)|\) powstaje w dwóch krokach: najpierw przesuwamy wykres \(f\) o \(4\) jednostki w prawo (dostajemy \(y=\log_2(x-4)\) z asymptotą \(x=4\)), a następnie część leżącą pod osią \(Ox\) odbijamy symetrycznie względem tej osi. **d)** Miejsce zerowe \(g\) spełnia \(|\log_2(x-4)|=0\), czyli \(\log_2(x-4)=0\), skąd \(x-4=1\) i \[x=5.\] **Odpowiedź.** a) \(p=2\). b) \(f(0{,}125)=-3\). c) Przesunięcie o \(4\) w prawo i odbicie części ujemnej. d) \(x=5\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **3.1. (1 pkt)** – zapisanie podstawy logarytmu: \(p=2\). **3.2. (1 pkt)** – obliczenie wartości funkcji \(f\) dla argumentu \(x=0{,}125\): \(f(0{,}125)=-3\). **3.3. (1 pkt)** – narysowanie wykresu funkcji \(y=f(x-4)\). **3.4. (1 pkt)** – narysowanie wykresu funkcji \(g\). (wykres: oś \(x\): \(-8,\ -7,\ -6,\ -5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13\); oś \(y\): \(7,\ 6,\ 5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ -1,\ -2,\ -3,\ -4,\ -5,\ -6\); wykresy \(y=\log_{2}(x-4)\) i \(y=\log_{2}x\)) W tej czynności oceniamy poprawność wykonania przekształcenia \(y=\lvert f(x)\rvert\). Punkt przyznajemy również wtedy, gdy zdający niepoprawnie wykona przesunięcie, ale poprawnie wykona przekształcenie \(y=\lvert f(x)\rvert\). Jeśli zdający od razu narysuje wykres funkcji \(g\), to przyznajemy punkt w czynnościach 3.3 i 3.4. **3.5. (1 pkt)** – podanie miejsca zerowego funkcji \(g\): \(x=5\). Czynność 3.5 oceniamy konsekwentnie do uzyskanej przez zdającego funkcji \(g\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[x=\frac1{16}\quad\text{lub}\quad x=16.\]

Najpierw odczytujemy z rysunku wzór funkcji. Wykres przechodzi przez \((1,0)\) i \((4,-2)\), a funkcja jest logarytmiczna, więc \(f(x)=\log_b x\) dla pewnej podstawy \(b>0\), \(b\neq1\). Z warunku \(f(4)=-2\): \[b^{-2}=4,\qquad b^2=\frac14,\qquad b=\frac12,\] bo podstawa musi być dodatnia. Zatem \(f(x)=\log_{\frac12}x\) i dziedziną równania jest \((0,+\infty)\). Zgadza się to z rysunkiem: wykres maleje, co odpowiada podstawie mniejszej od \(1\). Równanie zapisujemy jako różnicę kwadratów: \[\bigl(f(x)\bigr)^2-16=0,\qquad \bigl(f(x)-4\bigr)\bigl(f(x)+4\bigr)=0,\] czyli \(f(x)=4\) lub \(f(x)=-4\). Stąd \[\log_{\frac12}x=4\Rightarrow x=\left(\tfrac12\right)^4=\frac1{16},\qquad \log_{\frac12}x=-4\Rightarrow x=\left(\tfrac12\right)^{-4}=16.\] Obie liczby są dodatnie, więc należą do dziedziny. **Odpowiedź.** \(x=\frac1{16}\) lub \(x=16\).

3.1 Zapisanie wzoru funkcji f : f x = log x . 2 1 pkt za wyznaczenie podstawy logarytmu . 1 2 Za bezpośrednie podanie wzoru funkcji przyznajemy 2 pkt. 3. Rozwiązanie równania ( f ( x )) 2 − 16 = 0 : Zdający może od razu zapisać alternatywę równań : 3.2 1 log x = −4 lub log x = 4 . f ( x) = 4 lub f ( x) = −4 z niewiadomą f ( x) . 1 1 2 2 Podanie rozwiązań równania ( f ( x )) 2 − 16 = 0 3.3 1 1 z niewiadomą x: x = lub x =16 . 16 4 Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony [Dalsza część schematu, doklejona przez ekstrakcję, należy do kolejnego zadania z arkusza i została usunięta.]

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[D_f=(-4,-2)\cup(-2,-\sqrt3\,)\cup(\sqrt3,2)\cup(2,+\infty).\]

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy funkcję logarytmiczną, w której od \(x\) zależy zarówno podstawa, jak i liczba logarytmowana. Dziedzinę wyrażenia \(\log_{p}q\) wyznaczają trzy warunki, które muszą być spełnione jednocześnie: \(p\gt0\), \(p\ne1\) oraz \(q\gt0\). Rozwiązujemy je osobno, a na końcu bierzemy część wspólną. **Krok \(2\).** Warunek \(p\gt0\), czyli \(x^2-3\gt0\): \[x^2\gt3\iff |x|\gt\sqrt3\iff x\lt-\sqrt3\ \text{ lub }\ x\gt\sqrt3.\] **Krok \(3\).** Warunek \(p\ne1\), czyli \(x^2-3\ne1\): \[x^2\ne4\iff x\ne-2\ \text{ i }\ x\ne2.\] Po połączeniu z krokiem \(2\) dostajemy \[x\in(-\infty,-2)\cup(-2,-\sqrt3\,)\cup(\sqrt3,2)\cup(2,+\infty).\] **Krok \(4\).** Warunek \(q\gt0\), czyli \(x^3+4x^2-x-4\gt0\). Wielomian rozkładamy przez grupowanie wyrazów: \[x^3+4x^2-x-4=x^2(x+4)-(x+4)=(x+4)\left(x^2-1\right)=(x+4)(x-1)(x+1).\] **Krok \(5\).** Miejsca zerowe to \(-4\), \(-1\) i \(1\); wszystkie są pojedyncze, a współczynnik przy \(x^3\) jest dodatni. Wykres wielomianu stopnia trzeciego biegnie więc z dołu w górę, zmieniając znak przy każdym z tych miejsc: znak \(-\) na \((-\infty,-4)\), \(+\) na \((-4,-1)\), \(-\) na \((-1,1)\) oraz \(+\) na \((1,+\infty)\). Zatem \[x\in(-4,-1)\cup(1,+\infty).\] **Krok \(6\).** Bierzemy część wspólną zbiorów z kroków \(3\) i \(5\). Pomocne oszacowania: \(-\sqrt3\approx-1{,}73\) oraz \(\sqrt3\approx1{,}73\), więc \(-\sqrt3\) leży wewnątrz przedziału \((-4,-1)\), a \(\sqrt3\) wewnątrz \((1,+\infty)\). Przedział \((-4,-1)\) po przecięciu ze zbiorem z kroku \(3\) daje \((-4,-2)\cup(-2,-\sqrt3\,)\) — punkt \(-2\) trzeba wyrzucić. Przedział \((1,+\infty)\) po przecięciu ze zbiorem z kroku \(3\) daje \((\sqrt3,2)\cup(2,+\infty)\). **Krok \(7\).** Sprawdzenie kontrolne na kilku liczbach: dla \(x=-3\) podstawa wynosi \(6\gt0\), a liczba logarytmowana \(8\gt0\) — punkt należy do dziedziny; dla \(x=-1{,}5\) podstawa to \(-0{,}75\lt0\) — nie należy; dla \(x=1{,}5\) podstawa jest ujemna — nie należy; dla \(x=1{,}8\) podstawa to \(0{,}24\gt0\), a liczba logarytmowana jest dodatnia — należy. Zgadza się z wyznaczonym zbiorem. **Uwaga.** Najczęstszy błąd to pominięcie warunku \(x^2-3\ne1\), czyli niewyrzucenie punktów \(-2\) i \(2\) — same nierówności dają wtedy przedziały bez dziur. Drugi błąd to zapomnienie o lewym końcu \(-4\): dla \(x\leqslant-4\) podstawa jest poprawna, ale liczba logarytmowana nie jest dodatnia. **Odpowiedź.** \[D_f=(-4,-2)\cup(-2,-\sqrt3\,)\cup(\sqrt3,2)\cup(2,+\infty).\]

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **11.1. (1 pkt)** – […]mowana jest dodatnia: \(x\in(-4;-1)\cup(1;+\infty)\) **11.2. (1 pkt)** – wyznaczenie zbioru argumentów, dla których podstawa logarytmu jest dodatnia i różna od \(1\): \(x\in(-\infty;-2)\cup\left(-2;-\sqrt{3}\right)\cup\left(\sqrt{3};2\right)\cup(2;+\infty)\) **11.3. (1 pkt)** – wyznaczenie dziedziny funkcji: \(x\in(-4;-2)\cup\left(-2;-\sqrt{3}\right)\cup\left(\sqrt{3};2\right)\cup(2;+\infty)\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Dla \(m\leqslant0\) równanie nie ma rozwiązań, a dla \(m\gt 0\) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Uzasadnienie: funkcja \(g(x)=f(x-1)\) jest różnowartościowa, a jej zbiorem wartości jest przedział \((0,+\infty)\).

**Krok \(1\).** Pytanie o liczbę rozwiązań równania \(f(x-1)=m\) w zależności od \(m\) to pytanie o liczbę punktów wspólnych wykresu funkcji \(g(x)=f(x-1)\) z poziomą prostą \(y=m\). Wystarczy więc znać dwie rzeczy o funkcji \(g\): jej zbiór wartości i to, czy jest różnowartościowa. **Krok \(2\).** Funkcja wykładnicza ma wzór \(f(x)=a^x\), gdzie \(a\gt 0\) i \(a\neq1\). Dwie jej własności są tu kluczowe: przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie (jej zbiorem wartości jest \((0,+\infty)\)) i jest różnowartościowa, bo jest ściśle monotoniczna (rosnąca dla \(a\gt 1\), malejąca dla \(0\lt a\lt 1\)). **Krok \(3\).** Wykres funkcji \(g(x)=f(x-1)\) powstaje z wykresu \(f\) przez przesunięcie o wektor \([1,0]\), czyli o jedną jednostkę w prawo. Przesunięcie poziome nie zmienia ani zbioru wartości, ani monotoniczności, więc \(g\) też ma zbiór wartości \((0,+\infty)\) i też jest różnowartościowa. **Krok \(4\).** Niech \(m\leqslant0\). Wtedy prosta \(y=m\) leży na osi \(OX\) lub pod nią, a cały wykres funkcji \(g\) leży nad osią \(OX\). Nie ma żadnego punktu wspólnego, więc równanie nie ma rozwiązań. **Krok \(5\).** Niech \(m\gt 0\). Liczba \(m\) należy do zbioru wartości funkcji \(g\), więc rozwiązanie istnieje. Ponieważ \(g\) jest różnowartościowa, żadna wartość nie jest przyjmowana dwa razy, więc to rozwiązanie jest dokładnie jedno. **Krok \(6\).** Można to samo pokazać rachunkiem: równanie \(a^{x-1}=m\) dla \(m\gt 0\) jest równoważne \(x-1=\log_a m\), czyli \(x=1+\log_a m\) i jest to jedna liczba. **Uwaga.** Granicznym przypadkiem jest \(m=0\). Kusi, żeby dopisać go do przypadku z jednym rozwiązaniem, bo oś \(OX\) jest asymptotą wykresu. Asymptota to jednak prosta, do której wykres się zbliża, ale jej nie dotyka, więc dla \(m=0\) rozwiązań nie ma. **Odpowiedź.** Dla \(m\leqslant0\) równanie \(f(x-1)=m\) nie ma rozwiązań, a dla \(m\gt 0\) ma dokładnie jedno rozwiązanie.

**1. (2 pkt)** – wykonanie polecenia zadania. Odp. Równanie nie ma rozwiązań dla \(m\in(-\infty,\,0\rangle\); równanie ma \(1\) rozwiązanie dla \(m\in(0,\,+\infty)\). Po \(1\) punkcie za każdy z rozważonych przypadków. **2. (2 pkt)** – uzasadnienie odpowiedzi. Odp. Funkcja \(g\) określona wzorem \(g(x)=f(x-1)\) jest funkcją różnowartościową. Zbiorem wartości funkcji \(g\) jest przedział \((0,\,+\infty)\). Po \(1\) punkcie za każdy element uzasadnienia.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.