Średnia arytmetyczna i ważona — zadania maturalne z rozwiązaniami

A. \(10\)

Średnich dwóch grup nie wolno uśredniać bez uwzględnienia ich liczebności — liczymy średnią ważoną. Niech \(n\) oznacza liczbę uczniów drugiej szkoły. Wtedy w pierwszej szkole jest \(3n\) uczniów. Łączny wiek uczniów obu szkół wynosi \[3n\cdot9+n\cdot13=27n+13n=40n,\] a wszystkich uczniów jest \(3n+n=4n\). Zatem \[\overline{x}=\frac{40n}{4n}=10.\] Wynik nie zależy od \(n\), a leży między \(9\) a \(13\) i bliżej \(9\) — zgodnie z tym, że uczniów młodszej szkoły jest trzy razy więcej. **Odpowiedź.** A. \(10\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 10.1) Zdający oblicza średnią ważoną […].

C. \(4\)

**Krok \(1\).** Średnia arytmetyczna to suma liczb podzielona przez ich ilość. Aby połączyć dwie grupy w jedną, trzeba wrócić do sum — z samych średnich nie da się nic policzyć, dopóki nie wiemy, ile liczb kryje się za każdą z nich. **Krok \(2\).** Zapisujemy pierwszy warunek. Trzy liczby o średniej \(2\): \[\frac{a+b+c}{3}=2.\] **Krok \(3\).** Mnożymy obie strony przez \(3\) i dostajemy sumę pierwszej grupy: \[a+b+c=3\cdot2=6.\] **Krok \(4\).** Tak samo z drugą grupą — cztery liczby o średniej \(5{,}5\): \[\frac{d+e+f+g}{4}=5{,}5,\qquad\text{więc}\qquad d+e+f+g=4\cdot5{,}5=22.\] **Krok \(5\).** Sumujemy obie grupy. Wszystkie siedem liczb daje razem \[6+22=28.\] **Krok \(6\).** Liczymy średnią siedmiu liczb: \[\frac{28}{7}=4.\] **Uwaga.** Kusi, żeby uśrednić same średnie: \(\frac{2+5{,}5}{2}=3{,}75\), czyli odpowiedź B. To błąd, bo grupy mają różną liczebność — druga grupa jest liczniejsza, więc jej średnia „waży” więcej i wynik przesuwa się w jej stronę. **Odpowiedź.** C: \(4\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** XII.2) Zdający oblicza średnią arytmetyczną […].

**C.** \(3{,}95\)

Suma ważona ocen wynosi \[2(4+4+3)+3(2+5)+4(5+4)=79.\] Suma wag wszystkich ocen to \(3\cdot2+2\cdot3+2\cdot4=20\). Średnia ważona: \[\frac{79}{20}=3{,}95.\] Poprawna jest odpowiedź **C**.

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** XII.2) Zdający oblicza średnią ważoną.

**C.** Z warunku \(\frac{a+b+c}{3}=12\) wynika \(a+b+c=36\). Szukana średnia jest równa \(\frac{2a+3a+2b+3b+2c+3c}{6}=\frac{5(a+b+c)}{6}=\frac{5\cdot36}{6}=30\).

Rozwiązanie C ZADANIA OTWARTE Uwagi ogólne: \(1\). Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. \(2\). Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym zapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną liczbę punktów. \(3\). Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może otrzymać co najwyżej (n − \(1\)) punktów (gdzie n jest maksymalną możliwą do uzyskania liczbą punktów za dane zadanie).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: G9.4) Wyznacza średnią arytmetyczną zestawu danych.

**C.** Z warunku \(\frac{a+b+c}{3}=12\) wynika \(a+b+c=36\). Szukana średnia jest równa \(\frac{5(a+b+c)}{6}=30\).

Z warunku o średniej trzech liczb \[\frac{a+b+c}{3}=12,\] skąd \[a+b+c=36.\] Sumę sześciu nowych liczb grupujemy według zmiennych: \[2a+3a+2b+3b+2c+3c=5a+5b+5c=5(a+b+c).\] Podstawiamy \(a+b+c=36\): \[5\cdot36=180.\] Nowych liczb jest \(6\), więc ich średnia wynosi \[\frac{180}{6}=30.\] **Odpowiedź.** C. \(30\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: XII.2) Oblicza średnią arytmetyczną.

Średnia wynosi \[\overline{x}=\frac{4\cdot0+2\cdot1+5\cdot2+5\cdot3+11\cdot4+5\cdot5}{32}=3.\] Wynik niższy niż \(3\) uzyskało \(4+2+5=11\) uczniów. W uporządkowanym szeregu \(16.\) wynik jest równy \(3\), a \(17.\) wynik jest równy \(4\), więc mediana wynosi \(\frac{3+4}{2}=3{,}5\). Najczęściej występuje wynik \(4\), zatem dominanta jest równa \(4\). Odpowiedzi: \(11\), \(3{,}5\), \(4\).

Dane są pogrupowane w tabelę liczebności; liczba wszystkich uczniów wynosi \[4+2+5+5+11+5=32,\] zgodnie z treścią zadania. **Zdanie 1.** Najpierw potrzebna jest średnia. Liczymy ją jako średnią ważoną, w której wagami są liczebności: \[\overline{x}=\frac{0\cdot4+1\cdot2+2\cdot5+3\cdot5+4\cdot11+5\cdot5}{32}=\frac{0+2+10+15+44+25}{32}=\frac{96}{32}=3.\] Wynik niższy od średniej to wynik ostro mniejszy od \(3\), czyli \(0\), \(1\) albo \(2\) punkty. Uczniów z takim wynikiem jest \[4+2+5=11.\] **Zdanie 2.** Liczba danych jest parzysta, więc mediana jest średnią arytmetyczną wyrazu \(16.\) i \(17.\) w zestawie uporządkowanym niemalejąco. Liczebności skumulowane wynoszą \(4\), \(6\), \(11\), \(16\), \(27\), \(32\), więc pozycje od \(12\) do \(16\) zajmuje wynik \(3\), a pozycje od \(17\) do \(27\) — wynik \(4\). Stąd \[\operatorname{Me}=\frac{3+4}{2}=3{,}5.\] **Zdanie 3.** Dominanta to wartość o największej liczebności. Największa liczebność w tabeli to \(11\) i występuje tylko raz — przy wyniku \(4\) — więc dominanta jest jednoznaczna i równa \(4\). **Odpowiedź.** Kolejno: \(11\), \(3{,}5\), \(4\).

1 pkt za każde poprawnie uzupełnione zdanie, maksymalnie 3 pkt. Nie akceptuje się zaokrągleń.

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wymaganie szczegółowe: XII.2) Oblicza średnią arytmetyczną, medianę i dominantę.

Średnia arytmetyczna jest równa \[\overline{x}=\frac{4\cdot0+2\cdot1+5\cdot2+5\cdot3+11\cdot4+5\cdot5}{32}=\frac{96}{32}=3.\] W uporządkowanym szeregu \(16.\) wynik jest równy \(3\), a \(17.\) wynik jest równy \(4\). Zatem mediana wynosi \[\operatorname{Me}=\frac{3+4}{2}=3{,}5.\]

Z tabeli odczytujemy liczebności. Uczniów jest \[4+2+5+5+11+5=32,\] zgodnie z treścią zadania. Średnią liczymy jako średnią ważoną, w której wagami są liczebności: \[\overline{x}=\frac{0\cdot4+1\cdot2+2\cdot5+3\cdot5+4\cdot11+5\cdot5}{32}=\frac{0+2+10+15+44+25}{32}=\frac{96}{32}=3.\] Liczba danych jest parzysta, więc mediana jest średnią arytmetyczną wyrazu \(16.\) i \(17.\) w zestawie uporządkowanym niemalejąco. Liczebności skumulowane wynoszą \(4\), \(6\), \(11\), \(16\), \(27\), \(32\), więc pozycja \(16.\) przypada na wynik \(3\), a pozycja \(17.\) — na wynik \(4\). Stąd \[\operatorname{Me}=\frac{3+4}{2}=3{,}5.\] **Odpowiedź.** Średnia jest równa \(3\), a mediana \(3{,}5\).

1 pkt: obliczenie średniej 3 albo mediany 3,5. 2 pkt: poprawna metoda i oba wyniki.

Wymaganie ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wymaganie szczegółowe: G9.4) Wyznacza średnią arytmetyczną i medianę zestawu danych.

Średnia wynosi \(4{,}48\) tys. zł.

Liczba pracowników wynosi \(75\), a suma ich zarobków odczytanych z rozkładu wynosi \(336\) tys. zł. Zatem \[\overline{x}=\frac{336}{75}=4{,}48\text{ tys. zł}.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(4{,}48\) tys. zł **1 pkt** – obliczenie sumy zarobków \(336\) tys. zł **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. I. Sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** XII.2) Zdający oblicza średnią arytmetyczną i ważoną.

**C.** Z równania \[\frac{1+2+3+4+5+x+y}{7}=3\] wynika \(15+x+y=21\), więc \(x+y=6\).

**Krok \(1\).** Korzystamy z definicji średniej arytmetycznej: to suma wszystkich liczb podzielona przez ich ilość. Liczb jest siedem, a średnia wynosi \(3\), więc zapiszemy to jako równanie. **Krok \(2\).** Zapisujemy równanie z treści: \[\frac{1+2+3+4+5+x+y}{7}=3.\] **Krok \(3\).** Sumujemy znane składniki: \[1+2+3+4+5=15,\] więc równanie przyjmuje postać \[\frac{15+x+y}{7}=3.\] **Krok \(4\).** Mnożymy obie strony przez \(7\): \[15+x+y=21.\] **Krok \(5\).** Odejmujemy \(15\) od obu stron: \[x+y=6.\] **Uwaga.** Nie da się wyznaczyć osobno \(x\) i \(y\) - jedno równanie z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań (np. \(x=1,\ y=5\) albo \(x=0,\ y=6\)). Ale pytanie dotyczy tylko sumy, a ta jest wyznaczona jednoznacznie. **Odpowiedź.** C: \(6\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** XII.2) Zdający oblicza średnią arytmetyczną […].

Liczba samochodów wynosi \(16+10+2+2+2=32\), a łączna liczba usterek \[16\cdot1+10\cdot2+2\cdot3+2\cdot4+2\cdot5=60.\] Średnia wynosi \(\frac{60}{32}=\frac{15}{8}=1{,}875\). W uporządkowanym szeregu \(16.\) wynik to \(1\), a \(17.\) wynik to \(2\), więc mediana jest równa \(\frac{1+2}{2}=1{,}5\).

Z diagramu odczytujemy liczby samochodów przypisane do kolejnych liczb usterek: \(1\) usterka — \(16\) samochodów, \(2\) — \(10\), \(3\) — \(2\), \(4\) — \(2\), \(5\) — \(2\). Samochodów jest zatem \[16+10+2+2+2=32,\] a łączna liczba usterek wynosi \[1\cdot16+2\cdot10+3\cdot2+4\cdot2+5\cdot2=16+20+6+8+10=60.\] Średnią liczymy jako średnią ważoną, w której wagami są liczebności: \[\overline{x}=\frac{60}{32}=\frac{15}{8}=1{,}875.\] Liczba danych jest parzysta, więc mediana jest średnią arytmetyczną wyrazu \(16.\) i \(17.\) w zestawie uporządkowanym niemalejąco. Liczebności skumulowane wynoszą \(16\), \(26\), \(28\), \(30\), \(32\), więc pozycje od \(1\) do \(16\) zajmuje wartość \(1\), a pozycje od \(17\) do \(26\) — wartość \(2\). Stąd \[\operatorname{Me}=\frac{1+2}{2}=1{,}5.\] **Odpowiedź.** Średnia jest równa \(1{,}875\), a mediana \(1{,}5\).

1 pkt: obliczenie średniej arytmetycznej 1,875 albo mediany 1,5. 2 pkt: poprawna metoda i oba wyniki: średnia 1,875 oraz mediana 1,5.

Wymaganie ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wymaganie szczegółowe: G9.4) Wyznacza średnią arytmetyczną i medianę zestawu danych.

**B.** \(3{,}12\)

Z diagramu odczytujemy liczby uczniów dla ocen od \(1\) do \(6\): odpowiednio \(2,9,5,3,5,1\). Liczba wszystkich uczniów wynosi \[2+9+5+3+5+1=25,\] a suma ich ocen \[1\cdot2+2\cdot9+3\cdot5+4\cdot3+5\cdot5+6\cdot1=78.\] Średnia arytmetyczna jest więc równa \[\frac{78}{25}=3{,}12.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych i wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów. **Wymagania szczegółowe:** XII.2) Zdający oblicza średnią arytmetyczną.

\(1\). \(6{,}38\) \(2\). \(6{,}5\)

Obliczamy średnią ważoną: \[\overline{x}=\frac{4\cdot5+5\cdot8+6\cdot12+7\cdot13+8\cdot12}{50}\] \[=\frac{20+40+72+91+96}{50}=\frac{319}{50}=6{,}38.\] W uporządkowanym zbiorze \(50\) wyników mediana jest średnią wartości na miejscach \(25\). i \(26\). Po \(5+8+12=25\) uczniach kończą się wyniki równe \(6\), a wyniki od miejsca \(26\). są równe \(7\). Zatem \[\operatorname{Me}=\frac{6+7}{2}=6{,}5.\]

**2 pkt** – zapisanie dokładnie dwóch poprawnych odpowiedzi: \(6{,}38\) oraz \(6{,}5\) **1 pkt** – zapisanie dokładnie jednej poprawnej odpowiedzi **0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów. CKE nie akceptuje zaokrągleń otrzymanych wyników

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, stosowanie praw działań matematycznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności w problemach rzeczywistych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XII.2) Zdający oblicza średnią arytmetyczną i znajduje medianę.

A. \(9\)

**Krok \(1\).** Zadanie dotyczy średniej arytmetycznej, czyli ilorazu sumy liczb przez ich liczbę. Warunek z treści zamieniamy na równanie i patrzymy, jak zmieni się suma oraz liczba składników w drugim zestawie. **Krok \(2\).** Z warunku dla trzech liczb: \[\frac{a+b+c}{3}=9.\] **Krok \(3\).** Mnożymy obie strony przez \(3\) i dostajemy sumę tych liczb: \[a+b+c=27.\] **Krok \(4\).** Liczymy sumę sześciu liczb \(a,a,b,b,c,c\). Każda występuje dwa razy, więc \[a+a+b+b+c+c=2(a+b+c)=2\cdot 27=54.\] **Krok \(5\).** Liczb jest teraz \(6\), zatem ich średnia to \[\frac{54}{6}=9.\] **Krok \(6\).** Widać stąd regułę ogólną: powtórzenie każdej liczby zestawu podwaja zarówno sumę, jak i liczbę składników, a iloraz się nie zmienia. Średnia zostaje taka sama. **Uwaga.** Odpowiedź \(18\) bierze się z podwojenia samej sumy przy zapomnieniu, że liczb także jest dwa razy więcej; odpowiedź \(4{,}5\) — z podzielenia średniej przez \(2\). Ani jedno, ani drugie nie jest poprawne. **Odpowiedź.** A. \(9\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności. **Wymagania szczegółowe:** XII.2) Zdający oblicza średnią arytmetyczną […].

**B.** \(3{,}25\).

Obliczamy średnią ważoną liczby punktów: \[\overline{x}=\frac{0\cdot2+1\cdot2+2\cdot5+3\cdot6+4\cdot11+5\cdot6}{32}.\] Licznik jest równy \[0+2+10+18+44+30=104,\] zatem \[\overline{x}=\frac{104}{32}=3{,}25.\] Poprawna jest odpowiedź **B**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XII.2) Zdający oblicza średnią arytmetyczną.

A. s+\(4\)

Niech \(x_1,x_2,\ldots,x_{100}\) będą danymi liczbami. Z założenia \[s=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_{100}}{100}.\] Po zwiększeniu każdej liczby o \(4\) suma rośnie o \(100\cdot4=400\), więc nowa średnia wynosi \[\frac{(x_1+4)+(x_2+4)+\cdots+(x_{100}+4)}{100}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_{100}+400}{100}=s+4.\] Średnia jest więc przesunięta o tę samą stałą co dane — wynik nie zależy od liczebności zestawu. **Odpowiedź.** A. \(s+4\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Zadanie 28. (0–1)

Średnie miesięczne wynagrodzenie netto wynosi \(4{,}48\) tys. zł.

Obliczamy średnią ważoną, w której wagami są liczby pracowników osiągających poszczególne zarobki. Suma wynagrodzeń wynosi \[1\cdot1{,}5+1\cdot2+4\cdot2{,}5+7\cdot3+10\cdot3{,}5+14\cdot4+13\cdot4{,}5+9\cdot5+6\cdot5{,}5\] \[{}+3\cdot6+2\cdot6{,}5+1\cdot7+1\cdot7{,}5+1\cdot8{,}5+2\cdot10=336\text{ tys. zł}.\] Ponieważ pracowników jest \(75\), \[\overline{x}=\frac{336}{75}=4{,}48\text{ tys. zł}.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(4{,}48\) tys. zł **1 pkt** – poprawne obliczenie sumy iloczynów wartości zarobków i liczby osób oraz podzielenie tej sumy przez liczbę pracowników **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II.1 i III.1 interpretowanie danych z wykresu i operowanie obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** XII.3 obliczanie średniej arytmetycznej i średniej ważonej.

**Mediana: C.** \(5{,}85\text{ zł}\); **średnia: A.** \(5{,}80\text{ zł}\).

Po uporządkowaniu cen ósma wartość wynosi \(5{,}70\), a dziewiąta \(6{,}00\), więc \[\operatorname{Me}=\frac{5{,}70+6{,}00}{2}=5{,}85\text{ zł}.\] Średnia cena jest równa \[\frac{2\cdot5{,}05+4\cdot5{,}60+2\cdot5{,}70+5\cdot6{,}00+3\cdot6{,}30}{16}=5{,}80\text{ zł}.\]

**2 pkt** – wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi **1 pkt** – wybranie jednej poprawnej odpowiedzi **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa; wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych i wykorzystywanie ich w kontekstach praktycznych. **Wymagania szczegółowe:** XII.2 zdający oblicza średnią arytmetyczną i znajduje medianę.

**A.** \(5690\text{ zł}\)

Z diagramu odczytujemy, ilu pracowników otrzymuje każdą ze stawek: \(4800\text{ zł}\) — \(10\) osób, \(5100\text{ zł}\) — \(36\) osób, \(5500\text{ zł}\) — \(5\) osób, \(5900\text{ zł}\) — \(25\) osób, \(6400\text{ zł}\) — \(18\) osób, \(7500\text{ zł}\) — \(4\) osoby, \(8600\text{ zł}\) — \(2\) osoby. Odczytane liczebności sumują się do \[10+36+5+25+18+4+2=100,\] czyli do liczby wszystkich pracowników podanej w treści — to sprawdzian poprawności odczytu. Dane są pogrupowane w tabelę liczebności, więc średnią liczymy jako średnią ważoną, w której wagami są liczebności: \[\overline{x}=\frac{\sum_i x_i n_i}{\sum_i n_i}.\] Podstawiamy odczytane wartości: \[\overline{x}=\frac{4800\cdot10+5100\cdot36+5500\cdot5+5900\cdot25+6400\cdot18+7500\cdot4+8600\cdot2}{100}.\] Licznik jest równy \[48\,000+183\,600+27\,500+147\,500+115\,200+30\,000+17\,200=569\,000,\] zatem \[\overline{x}=\frac{569\,000}{100}=5690.\] **Odpowiedź.** A. \(5690\text{ zł}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** prawdopodobieństwo i statystyka - obliczanie średniej arytmetycznej ważonej.

C. x = −\(6\)

Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B C B ZADANIA OTWARTE Uwagi ogólne: \(1\). Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. \(2\). Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym zapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną liczbę punktów. \(3\). Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może otrzymać co najwyżej (n − \(1\)) punktów (gdzie n jest maksymalną możliwą do uzyskania liczbą punktów za dane zadanie).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2022** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** G9.3) Zdający wyznacza średnią arytmetyczną i medianę zestawu danych.

**C.** \(25\)

Skoro średnia czterech liczb jest równa \(20\), to \(a+b+c+d=80\). W nowym zestawie suma zwiększa się o \(-10+30=20\), zatem nowa średnia wynosi \[\frac{80+20}{4}=25.\]

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** XII.1 obliczanie średniej arytmetycznej i interpretowanie jej własności.

**A.** \(4593{,}75\text{ zł}\)

Suma miesięcznych płac wszystkich pracowników wynosi \[75\cdot4000+50\cdot4800+20\cdot5000+10\cdot6000+5\cdot7000=735\,000.\] Średnia płaca jest więc równa \[\frac{735\,000}{160}=4593{,}75\text{ zł}.\]

**1 pkt** – rozwiązanie poprawne **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II i III wykorzystywanie i tworzenie informacji przedstawionych na wykresie oraz stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** XII.2 obliczanie średniej arytmetycznej i średniej ważonej.

**D.** \(x=2\)

**Krok \(1\).** W zadaniu podana jest średnia arytmetyczna czterech liczb, wśród których występuje niewiadoma \(x\). Metoda jest zawsze ta sama: zapisujemy definicję średniej (suma podzielona przez liczbę składników) i traktujemy ją jako równanie z niewiadomą \(x\). **Krok \(2\).** Liczb jest cztery, więc \[\frac{2+3x+(3x+2)+(3x+4)}{4}=\frac{13}{2}.\] **Krok \(3\).** Porządkujemy licznik, osobno sumując wyrazy z \(x\) i osobno liczby: \[3x+3x+3x=9x,\qquad 2+2+4=8,\] więc licznik jest równy \(9x+8\) i mamy \[\frac{9x+8}{4}=\frac{13}{2}.\] **Krok \(4\).** Mnożymy obie strony przez \(4\): \[9x+8=\frac{13}{2}\cdot4=26.\] **Krok \(5\).** Rozwiązujemy równanie liniowe: \[9x=26-8=18,\qquad x=2.\] **Krok \(6\).** Sprawdzenie: dla \(x=2\) nasze liczby to \(2\), \(6\), \(8\), \(10\); ich suma wynosi \(26\), a średnia \(\frac{26}{4}=6{,}5=\frac{13}{2}\) — zgadza się. **Uwaga.** Odpowiedź **B** to podana w treści wartość średniej, a nie \(x\) — łatwo je pomylić, jeśli równanie nie zostanie do końca rozwiązane. **Odpowiedź.** D: \(x=2\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** obliczanie średniej arytmetycznej i rozwiązywanie równania liniowego.

**B.** \(x=0\)

Zapisujemy równanie wynikające z definicji średniej arytmetycznej: \[\frac{(5x+6)+(6x+7)+(7x+8)+(8x+9)+(9x+10)}5=8.\] Po uporządkowaniu: \[\frac{35x+40}{5}=8,\qquad7x+8=8,\qquad x=0.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 10.1 obliczanie średniej arytmetycznej zestawu danych.

**A.** \(0{,}024\)

Dokładna średnia zestawu jest równa \[\frac{128\cdot4+122\cdot2}{250}=\frac{756}{250}=3{,}024.\] Błąd bezwzględny przybliżenia tej średniej liczbą \(3\) wynosi \[|3{,}024-3|=0{,}024.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** statystyka opisowa - średnia arytmetyczna oraz błąd bezwzględny przybliżenia.

**C.** \(2\)

Z tabeli odczytujemy liczby osób, które przeczytały odpowiednio \(0,1,2,3,4,5\) książek. Średnia arytmetyczna z danych pogrupowanych jest ilorazem łącznej liczby przeczytanych książek przez liczbę ankietowanych: \[\bar x=\frac{0\cdot23+1\cdot14+2\cdot28+3\cdot17+4\cdot11+5\cdot7}{100}.\] W liczniku otrzymujemy \(0+14+56+51+44+35=200\), a suma liczebności wynosi \(23+14+28+17+11+7=100\), co zgadza się z treścią zadania. Zatem \[\bar x=\frac{200}{100}=2.\] **Odpowiedź.** Średnia jest równa \(2\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści:** statystyka opisowa — średnia arytmetyczna danych pogrupowanych w tabeli liczebności.

D. x = \(13\)

Średnia arytmetyczna ośmiu liczb jest równa ich sumie podzielonej przez osiem, więc suma wszystkich liczb wynosi \(8\cdot11=88\). Suma liczb znanych to \[3+5+7+9+15+17+19=75.\] Zatem \(x=88-75=13\). **Odpowiedź.** **D.** \(x=13\)

Zadanie 24. (0−1) G9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do Wersja Wersja II. Wykorzystanie rachunku prawdopodobieństwa. Zdający I II i interpretowanie wyznacza średnią arytmetyczną i medianę reprezentacji. zestawu danych (G9.4). D B

D

Średnia czterech liczb jest ilorazem ich sumy przez \(4\): \[\frac{(x-1)+3x+(5x+1)+7x}{4}=72.\] Redukujemy licznik: \(x+3x+5x+7x=16x\), a wyrazy wolne \(-1\) i \(1\) się znoszą. Zatem \[\frac{16x}{4}=72,\qquad 4x=72,\qquad x=18.\] **Odpowiedź.** D. \(x=18\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 22. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.

A

Średnia czterech danych wynosi \(\frac{4+7+8+x}{4}=\frac{19+x}{4}\), a po dołączeniu liczby \(2\) mamy pięć danych o średniej \(\frac{21+x}{5}\). Warunek zadania mówi, że nowa średnia jest o \(2\) większa od poprzedniej: \[\frac{21+x}{5}=\frac{19+x}{4}+2.\] Mnożymy obie strony przez \(20\): \[4(21+x)=5(19+x)+40,\] \[84+4x=95+5x+40,\] \[84+4x=135+5x.\] Stąd \(x=-51\). **Odpowiedź.** A. \(x=-51\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 23. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.

**A.** \(x=49\).

Z definicji średniej \[n=\frac{21+x}{5},\qquad 2n=\frac{21+3x}{6}.\] Po podstawieniu pierwszej zależności do drugiej otrzymujemy \[\frac{2(21+x)}5=\frac{21+3x}{6}.\] Stąd \(12(21+x)=5(21+3x)\), czyli \(252+12x=105+15x\), a zatem \(x=49\).

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** statystyka opisowa, średnia arytmetyczna.

**D.** \(x=6\).

Średnia pierwszego zestawu wynosi \[\frac{2+4+7+8+9}{5}=\frac{30}{5}=6.\] Dodanie do zestawu liczby równej jego średniej nie zmienia średniej, zatem \(x=6\). Również bezpośrednio: \((30+x)/6=6\), więc \(x=6\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 10.1 zdający oblicza średnią zestawu danych.

**C.** \(50\) pkt

Średniej dwóch grup nie wolno uśredniać bez uwzględnienia ich liczebności — liczymy średnią ważoną, czyli iloraz łącznej sumy punktów przez łączną liczbę studentów. Pierwsza grupa: \(40\) studentów o średniej \(30\) punktów, więc jej suma punktów wynosi \[40\cdot30=1200.\] Druga grupa: \(20\) studentów i suma \(1800\) punktów. Łącznie studentów jest \(40+20=60\), a punktów \(1200+1800=3000\), zatem \[\overline{x}=\frac{3000}{60}=50.\] **Odpowiedź.** C. \(50\) pkt

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 15. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.

**C.** \(3{,}5\)

Z diagramu odczytujemy, ilu uczniów otrzymało poszczególne oceny: ocenę \(1\) — \(1\) uczeń, \(2\) — \(5\) uczniów, \(3\) — \(7\), \(4\) — \(8\), \(5\) — \(3\), \(6\) — \(2\). Uczniów jest zatem \[1+5+7+8+3+2=26,\] a suma ich ocen wynosi \[1\cdot1+2\cdot5+3\cdot7+4\cdot8+5\cdot3+6\cdot2=1+10+21+32+15+12=91.\] Średnią liczymy jako średnią ważoną, w której wagami są liczebności: \[\overline{x}=\frac{91}{26}=3{,}5.\] **Odpowiedź.** C. \(3{,}5\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 22. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.

x = \(3\)

Z tabeli odczytujemy liczebności ocen. Wszystkich ocen jest \[0+4+9+13+x+1=27+x,\] a ich suma wynosi \[1\cdot0+2\cdot4+3\cdot9+4\cdot13+5\cdot x+6\cdot1=8+27+52+6+5x=93+5x.\] Średnia arytmetyczna to iloraz sumy przez liczebność, więc z warunku zadania \[\frac{93+5x}{27+x}=3{,}6.\] Mnożymy obie strony przez \(27+x\): \[93+5x=3{,}6\cdot(27+x)=97{,}2+3{,}6x.\] Stąd \[1{,}4x=4{,}2,\qquad x=3.\] **Odpowiedź.** \(x=3\)

1 pkt: poprawne równanie średniej ważonej. 2 pkt: trzy oceny bardzo dobre.

Zadanie 29. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.

\(15\) studentów

Niech \(n\) oznacza liczbę studentów w grupie. Ze średniej wieku studentów wynika, że suma ich lat wynosi \(23n\). Po dołączeniu opiekuna osób jest \(n+1\), a suma lat rośnie o \(39\). Z warunku o nowej średniej \[\frac{23n+39}{n+1}=24.\] Mnożymy obie strony przez \(n+1\): \[23n+39=24n+24.\] Stąd \[n=15.\] Sprawdzenie: \(\frac{23\cdot15+39}{16}=\frac{345+39}{16}=\frac{384}{16}=24\). **Odpowiedź.** W grupie jest \(15\) studentów.

1 pkt: zapis średniej (23x+39)/(x+1). 2 pkt: x=15.

Zadania 26. (0–2) Modelowanie matematyczne Zastosowanie definicję średniej arytmetycznej do wyznaczenia liczby elementów zbioru danych (III.10.a) I sposób rozwiązania Niech x oznacza liczbę studentów w danej grupie. Wtedy łączna liczba lat studentów w danej grupie wynosi 23x , zaś łączna liczba lat studentów i opiekuna to 23x  39 . Zatem średnia 23x  39 wieku studentów wraz z opiekunem jest równa: . x  1 23x  39 Otrzymujemy równanie  24 stąd 23x  39  24  x  1 , a więc x  15 . x  1 Odpowiedź: W tej grupie jest 15 studentów. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt 23x  39 gdy zapisze nową średnią wieku studentów wraz z opiekunem: i na tym x 1 poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy obliczy liczbę studentów w grupie: 15 osób. II sposób rozwiązania Zapisujemy zależności pomiędzy liczbą studentów danej grupy, a łączną liczbą lat wszystkich studentów. Niech x oznacza liczbę studentów w grupie, zaś S łączną liczbę lat studentów.  S  23   x Zapisujemy układ równań:  S  39   24  x  1 S  23x  Rozwiązujemy układ równań  23x  39  24   x  1 23x  39  24  x  1 x  15 Odpowiedź: W tej grupie jest 15 studentów. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt  S  23   x gdy zapisze układ równań opisujący średnie wieku, np.  S  39   24  x  1 gdzie x jest liczbą studentów w danej grupie, zaś S jest łączną liczbą lat studentów, i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy obliczy liczbę studentów w danej grupie: 15 studentów. Egzamin maturalny z matematyki 7 Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy III sposób rozwiązania Różnicę wieku opiekuna i średniej wieku studentów rozdzielamy między x studentów i jednego opiekuna.  Obliczamy różnicę wieku opiekuna i średniej wieku studentów 39  23  16 .  Ponieważ średnia wieku wzrosła o 1 rok, więc te 16 lat rozdzielamy pomiędzy studentów i opiekuna, każdemu dodając 1 rok.  Zatem 16  x 1  1 , stąd x  15 .  Zapisujemy odpowiedź: W tej grupie jest 15 studentów. Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy obliczy różnicę lat opiekuna i średniej wieku studentów 39  23  16 i słownie zapisze sposób rozumowania, np.: Ponieważ średnia lat wzrosła do 24 lat, więc każdemu studentowi z tych 16 lat dodajemy 1 rok oraz 1 rok dla opiekuna i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy obliczy liczbę studentów w danej grupie: 15 studentów.

D. \(700\) zł

Średnia sześciu cen jest ilorazem ich sumy przez \(6\), więc z warunku zadania łączna cena wszystkich sześciu akcji wynosi \[6\cdot500=3000\text{ zł}.\] Za pięć akcji zapłacono \(2300\) zł, zatem cena szóstej akcji to \[3000-2300=700\text{ zł}.\] **Odpowiedź.** D. \(700\) zł

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Obliczenie średniej arytmetycznej i interpretowanie tego parametru w kontekście praktycznym (II.10.a).

Nierówność została uzasadniona przy założeniu \(0<a<b<c\).

Mnożymy obie strony przez \(6>0\), co nie zmienia kierunku nierówności: \[2(a+b+c)>3(a+b).\] Po uporządkowaniu \[2a+2b+2c>3a+3b,\qquad 2c>a+b.\] Z założenia \(a<c\) oraz \(b<c\), więc po dodaniu tych nierówności stronami \[a+b<c+c=2c,\] czyli \(2c>a+b\). Wszystkie przekształcenia były równoważne, zatem wyjściowa nierówność jest prawdziwa. **Odpowiedź.** \(\dfrac{a+b+c}{3}>\dfrac{a+b}{2}\) dla \(0<a<b<c\), co należało uzasadnić.

1 pkt: przekształcenie tezy do równoważnej postaci 2c > a + b lub równoważny poprawny etap. 2 pkt: kompletny dowód wykorzystujący założenia a < c i b < c.

Rozumowanie i argumentacja. Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej (V.2.b).

D. x = \(7\)

Z tabeli odczytujemy: rodziny \(3\)-osobowe wskazało \(6\) uczniów, \(4\)-osobowe — \(12\) uczniów, a rodziny \(x\)-osobowe — \(2\) uczniów. Uczniów jest zatem \[6+12+2=20.\] Średnią liczymy jako średnią ważoną, w której wagami są liczby uczniów: \[\frac{3\cdot6+4\cdot12+x\cdot2}{20}=4.\] Mnożymy obie strony przez \(20\) i redukujemy licznik: \[18+48+2x=80,\qquad 66+2x=80,\qquad 2x=14.\] Stąd \(x=7\). **Odpowiedź.** D. \(x=7\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Obliczenie średniej arytmetycznej.

**C.** \(5\)

Średnia sześciu liczb jest ilorazem ich sumy przez \(6\), więc z warunku zadania suma wynosi \(6\cdot2=12\): \[3+1+1+0+x+2=12.\] Stąd \(7+x=12\), czyli \(x=5\). **Odpowiedź.** C. \(5\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Prawdopodobieństwo i statystyka – oblicza średnią arytmetyczną.

\(x=3\), a mediana tych pięciu ocen jest równa \(3\).

Średnia arytmetyczna pięciu ocen jest ilorazem ich sumy przez \(5\): \[\frac{5+3+6+x+3}{5}=4.\] Stąd \[17+x=20,\qquad x=3.\] Medianę wyznaczamy z zestawu uporządkowanego niemalejąco. Oceny to \(5,3,6,3,3\), po uporządkowaniu \[3,\ 3,\ 3,\ 5,\ 6.\] Liczba ocen jest nieparzysta, więc medianą jest wyraz środkowy, czyli trzeci — równy \(3\). **Odpowiedź.** \(x=3\), mediana jest równa \(3\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Zadanie oceniane w skali \(0\)–\(2\) pkt. Odpowiedź: \(x=3\), mediana równa \(3\).

Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.

**A.** \(1\)

Z diagramu odczytujemy częstości: wartość \(0\) ma częstość \(40\%\), wartość \(1\) — \(30\%\), wartość \(2\) — \(20\%\), wartość \(3\) — \(10\%\). Sumują się do \(100\%\), więc odczyt jest kompletny. Średnią liczymy jako średnią ważoną z wagami równymi częstościom: \[\overline{x}=0\cdot0{,}4+1\cdot0{,}3+2\cdot0{,}2+3\cdot0{,}1=0+0{,}3+0{,}4+0{,}3=1.\] **Odpowiedź.** A. \(1\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: A.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.

x = \(7\)

Średnia sześciu liczb jest ilorazem ich sumy przez \(6\), więc z warunku zadania suma wynosi \(6\cdot2=12\): \[3+1+1+0+x+0=12.\] Stąd \(5+x=12\), czyli \(x=7\). **Odpowiedź.** \(x=7\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(x=7\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.

\(0\),\(9\)

Z diagramu odczytujemy częstości: wartość \(0\) ma częstość \(45\%\), wartość \(1\) — \(30\%\), wartość \(2\) — \(15\%\), wartość \(3\) — \(10\%\). Częstości sumują się do \(100\%\), więc odczyt jest kompletny. Gdy dane są opisane częstościami, średnią liczymy jako średnią ważoną z wagami równymi tym częstościom: \[\overline{x}=\sum_i x_i\cdot w_i.\] Podstawiamy: \[\overline{x}=0\cdot0{,}45+1\cdot0{,}30+2\cdot0{,}15+3\cdot0{,}10=0+0{,}30+0{,}30+0{,}30=0{,}9.\] **Odpowiedź.** \(\overline{x}=0{,}9\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(0{,}9\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.

D. x = \(5\)

Średnia dziesięciu liczb jest ilorazem ich sumy przez \(10\), więc z warunku zadania suma wynosi \(10\cdot3=30\): \[x+3+1+4+1+5+1+4+1+5=30.\] Sumujemy znane składniki: \(3+1+4+1+5+1+4+1+5=25\), zatem \[x+25=30,\qquad x=5.\] **Odpowiedź.** D. \(x=5\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Sprawdzane umiejętności: obliczanie średniej arytmetycznej. […] Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Obliczanie średniej arytmetycznej.

**D.** \(x=5\)

Średnia arytmetyczna pięciu liczb jest równa ich sumie podzielonej przez pięć, więc suma wszystkich liczb wynosi \(5\cdot3=15\). Suma liczb znanych to \[5+1+3+1=10.\] Zatem \(x=15-10=5\). **Odpowiedź.** **D.** \(x=5\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: \(\mathrm{D}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Średnia wynosi \(\frac{57}{30}=1{,}9\), czyli w zaokrągleniu do całości \(2\) błędy. b) \(P=\frac{63}{145}\).

**Krok \(1\).** Punkt a) to średnia z danych zapisanych w tabeli liczebności: każdą liczbę błędów mnożymy przez liczbę osób, które tyle błędów popełniły, sumujemy i dzielimy przez liczbę wszystkich zdających. Punkt b) to klasyczny schemat „losujemy dwie osoby z grupy podzielonej na dwie kategorie” — najwygodniej użyć kombinacji: wszystkich losowań jest \(\binom{30}{2}\), a sprzyjających tyle, ile jest par złożonych z jednej osoby z wynikiem pozytywnym i jednej z negatywnym. **Krok \(2\).** Liczymy, ilu było zdających — sumujemy drugi wiersz tabeli: \[8+5+8+5+2+1+0+0+1=30.\] **Krok \(3\).** Liczymy łączną liczbę popełnionych błędów — każdą liczbę błędów mnożymy przez liczbę osób: \[0\cdot8+1\cdot5+2\cdot8+3\cdot5+4\cdot2+5\cdot1+6\cdot0+7\cdot0+8\cdot1=0+5+16+15+8+5+0+0+8=57.\] **Krok \(4\).** Średnia arytmetyczna: \[\bar{x}=\frac{57}{30}=1{,}9\approx2.\] **Krok \(5\).** Przechodzimy do b). Wynik pozytywny to „co najwyżej dwa błędy”, czyli \(0\), \(1\) albo \(2\) błędy. Takich osób jest \[8+5+8=21,\] a pozostałych, czyli z wynikiem negatywnym, \(30-21=9\). **Krok \(6\).** Wybieramy dwie osoby spośród trzydziestu, a kolejność wyboru nie ma znaczenia, więc \[\left|\Omega\right|=\binom{30}{2}=\frac{30\cdot29}{2}=435.\] **Krok \(7\).** Niech \(A\) będzie zdarzeniem: dokładnie jedna z wylosowanych osób ma wynik pozytywny (a więc druga ma negatywny). Taką parę tworzymy, wybierając jedną osobę spośród \(21\) i jedną spośród \(9\): \[\left|A\right|=21\cdot9=189.\] **Krok \(8\).** Liczymy prawdopodobieństwo z klasycznej definicji i skracamy ułamek przez \(3\): \[P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{189}{435}=\frac{63}{145}.\] Ułamek \(\frac{63}{145}\) jest nieskracalny, bo \(63=3^2\cdot7\), a \(145=5\cdot29\) — nie mają wspólnego dzielnika większego od \(1\). **Uwaga.** Sformułowanie „co najwyżej dwa błędy” obejmuje także \(0\) i \(1\) błąd; pominięcie kolumny z zerem błędów to tu najczęstszy błąd. Uważaj też na zwrot „tylko jeden uzyskał wynik pozytywny” — znaczy on: dokładnie jeden, więc drugi musi mieć wynik negatywny. Nie liczymy par, w których obie osoby zdały. **Odpowiedź.** a) Średnia wynosi \(\frac{57}{30}=1{,}9\), czyli w zaokrągleniu do całości \(2\) błędy. b) \(P=\frac{63}{145}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Klucz CKE dołączony w tym miejscu przez ekstrakcję pochodzi z arkusza **rozszerzonego** z tej samej sesji i nie dotyczy tego zadania — opisuje inny problem i prowadzi do innego wyniku. Został usunięty, bo klucz od cudzego zadania jest gorszy niż jego brak: uczeń sprawdzający się nim uznałby poprawne rozwiązanie za błędne. Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym. Odpowiedź i rozwiązanie w panelach powyżej zostały wyznaczone rachunkiem z treści zadania.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Klasa I A: \(5{,}6\) pkt; klasa I B: \(6{,}08\) pkt. b) \(48\%\). c) Mediana klasy I A: \(5{,}5\).

Wyniki klasy I A odczytujemy z wykresu słupkowego, a wyniki klasy I B z tabeli. **a)** Klasa I A liczy \[1+2+4+2+2+4+2+2+4+4+3=30\] uczniów, a suma ich punktów jest równa \[0\cdot1+1\cdot2+2\cdot4+3\cdot2+4\cdot2+5\cdot4+6\cdot2+7\cdot2+8\cdot4+9\cdot4+10\cdot3=168,\] więc średnia wynosi \(\frac{168}{30}=5{,}6\). Klasa I B liczy \[1+2+1+2+1+2+4+4+1+2+5=25\] uczniów, a suma punktów jest równa \[0+2+2+6+4+10+24+28+8+18+50=152,\] więc średnia wynosi \(\frac{152}{25}=6{,}08\). **b)** Wynik wyższy niż \(6{,}08\) uzyskali uczniowie z \(7\), \(8\), \(9\) i \(10\) punktami — łącznie \[4+1+2+5=12\] osób. Stanowi to \[\frac{12}{25}=0{,}48=48\%\] uczniów klasy I B. **c)** Klasa I A liczy \(30\) uczniów, czyli parzyście wielu, więc medianą jest średnia arytmetyczna \(15\).\ i \(16\).\ wyniku w kolejności niemalejącej. Liczności skumulowane to \(1,3,7,9,11,15,17,\ldots\), zatem piętnastym wynikiem jest \(5\), a szesnastym \(6\). Mediana wynosi \[\frac{5+6}{2}=5{,}5.\] **Odpowiedź.** a) Średnie: I A — \(5{,}6\), I B — \(6{,}08\). b) \(48\%\). c) Mediana klasy I A jest równa \(5{,}5\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **9.1. (2 pkt)** – […] średnia w klasie I A \(=5{,}6\), średnia w klasie I B \(=6{,}08\). Po 1 punkcie za każdy poprawny wynik. **9.2. (1 pkt)** – Podanie odpowiedzi: \(48\%\). **9.3. (1 pkt)** – Wyznaczenie mediany dla klasy I A: mediana \(=5{,}5\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(s_3=4{,}38\), a średnia ważona wynosi \(3{,}382>3\), więc właściciel zdecyduje się na sprzedaż nowej kawy.

Z diagramu kołowego odczytujemy rozkład ocen w kategorii \(W\): ocenę \(3\) wystawiło \(12\%\) osób, ocenę \(4\) — \(38\%\), a ocenę \(5\) — \(50\%\). Udziały sumują się do \(100\%\), więc odczyt jest kompletny. Średnią \(s_3\) liczymy jako średnią ważoną, w której wagami są częstości: \[s_3=3\cdot0{,}12+4\cdot0{,}38+5\cdot0{,}50=0{,}36+1{,}52+2{,}50=4{,}38.\] Teraz liczymy średnią ważoną trzech kategorii z wagami \(5\), \(3\) i \(2\): \[s=\frac{5s_1+3s_2+2s_3}{5+3+2}.\] Podstawiamy \(s_1=2{,}42\), \(s_2=4{,}32\) oraz \(s_3=4{,}38\): \[s=\frac{5\cdot2{,}42+3\cdot4{,}32+2\cdot4{,}38}{10}=\frac{12{,}10+12{,}96+8{,}76}{10}=\frac{33{,}82}{10}=3{,}382.\] Ponieważ \(3{,}382>3\), spełniony jest warunek podjęcia sprzedaży. **Odpowiedź.** \(s_3=4{,}38\), średnia ważona wynosi \(3{,}382\), więc nowa kawa będzie sprzedawana w tym sklepie.

**1. ([…] pkt)** – […] ważonej: \(s=\frac{5\cdot 2{,}42+3\cdot 4{,}32+2\cdot 4{,}38}{10}\) **2. (1 pkt)** – Obliczenie średniej ważonej i podanie odpowiedzi: \(s=3{,}382\). Nowa kawa będzie sprzedawana w tym sklepie.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Średni wzrost wynosi \(167{,}4\ \mathrm{cm}\). b) Wzrost wyższy od średniego ma \(7\) chłopców.

Z diagramu odczytujemy liczby chłopców o poszczególnym wzroście: \(164\ \mathrm{cm}\) — \(2\), \(166\ \mathrm{cm}\) — \(4\), \(167\ \mathrm{cm}\) — \(2\), \(168\ \mathrm{cm}\) — \(3\), \(169\ \mathrm{cm}\) — \(1\), \(170\ \mathrm{cm}\) — \(2\), \(172\ \mathrm{cm}\) — \(1\). Przy pozostałych wartościach słupków nie ma. Łącznie w klasie jest \[2+4+2+3+1+2+1=15\] chłopców. **a)** Średnia ważona liczebnościami: \[\bar x=\frac{164\cdot2+166\cdot4+167\cdot2+168\cdot3+169\cdot1+170\cdot2+172\cdot1}{15}=\frac{2511}{15}=167{,}4\ \mathrm{cm}.\] **b)** Wzrost wyższy od \(167{,}4\ \mathrm{cm}\) mają chłopcy o wzroście \(168\), \(169\), \(170\) i \(172\ \mathrm{cm}\), czyli \[3+1+2+1=7\] chłopców. **Odpowiedź.** Średni wzrost wynosi \(167{,}4\ \mathrm{cm}\); wyższych od średniej jest \(7\) chłopców.

Zadanie 3. L. p. Wykonana czynność L. punktów Wyznaczenie liczby chłopców z klasy II B. 1. 1 Odp. 15. Obliczenie średniego wzrostu. 2 ⋅164 + 4 ⋅166 + 2 ⋅167 + 3⋅168 + 169 + 2 ⋅170 + 172 15 1 Odp. 167,4 cm. 1 1 punkt za poprawne odczytanie danych; 1 punkt za wyznaczenie średniej arytmetycznej. Podanie liczby chłopców z klasy II B, którzy mają 3. wzrost wyższy od średniej. 1 Odp. 7.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Diagram słupkowy dla liczebności: \(10\), \(30\), \(80\), \(30\), \(25\), \(5\); b) średnia: \(3\),\(25\); c) \(60\) uczniów.

**a)** Diagram słupkowy tworzymy, odkładając na osi poziomej oceny od \(1\) do \(6\), a na osi pionowej liczbę uczniów. Wysokości słupków to kolejno \(10\), \(30\), \(80\), \(30\), \(25\) i \(5\). **b)** Wszystkich uczniów jest \[10+30+80+30+25+5=180.\] Średnia ważona liczebnościami: \[\bar x=\frac{1\cdot10+2\cdot30+3\cdot80+4\cdot30+5\cdot25+6\cdot5}{180}=\frac{585}{180}=3{,}25.\] **c)** Ocenę wyższą od \(3{,}25\) mają uczniowie z ocenami \(4\), \(5\) i \(6\), czyli \[30+25+5=60\] uczniów. **Odpowiedź.** Średnia ocen wynosi \(3{,}25\); ocenę wyższą od średniej uzyskało \(60\) uczniów.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **4.1. (1 pkt)** – wybór i wyskalowanie osi **4.2. (1 pkt)** – sporządzenie diagramu **4.3. (1 pkt)** – wyznaczenie liczby wszystkich uczniów: \(180\) **4.4. (1 pkt)** – wyznaczenie średniej: \(3{,}25\) **4.5. (1 pkt)** – obliczenie liczby uczniów, którzy uzyskali ocenę powyżej średniej: \(60\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.