Wyrażenia wymierne — działania na ułamkach algebraicznych, dziedzina i skracanie

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x>0\) oraz \(y>0\).

Z założenia \(x>0\) i \(y>0\), więc \(x^{2}y^{2}>0\) i mnożenie obu stron nierówności przez tę liczbę nie zmienia jej kierunku. Otrzymujemy nierówność równoważną \[xy^{2}+yx^{2}\le x^{3}+y^{3}.\] Przenosimy wszystko na prawą stronę i grupujemy wyrazy: \[x^{3}+y^{3}-x^{2}y-xy^{2}=x^{2}(x-y)-y^{2}(x-y)=(x-y)\left(x^{2}-y^{2}\right)=(x-y)^{2}(x+y).\] Dla dowolnych liczb rzeczywistych \((x-y)^{2}\ge0\), a z założenia \(x+y>0\), więc iloczyn jest nieujemny. To dowodzi wyjściowej nierówności. Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(x=y\). **Odpowiedź.** Nierówność \(\dfrac1x+\dfrac1y\le\dfrac{x}{y^{2}}+\dfrac{y}{x^{2}}\) jest prawdziwa dla wszystkich \(x>0\), \(y>0\), co należało wykazać.

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \(W(x,y)\geq 0\) (lub do postaci \(\frac{W(x,y)}{x^{2}y^{2}}\geq 0\)), gdzie \(W\) jest wielomianem zmiennych \(x\) oraz \(y\), np.: \(x^{3}+y^{3}-xy^{2}-x^{2}y\geq 0\), \(x^{3}+y^{3}-xy(x+y)\geq 0\), \(\frac{x^{3}+y^{3}-xy^{2}-x^{2}y}{x^{2}y^{2}}\geq 0\) ALBO przekształcenie nierówności do postaci \(\frac{(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}{x^{2}y^{2}}\geq\frac{x+y}{xy}\), ALBO rozważenie funkcji \(f(x)=\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{x^{2}}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\) zmiennej dodatniej \(x\) z parametrem \(y>0\) oraz wyznaczenie pochodnej tej funkcji, np. \(f'(x)=\frac{1}{y^{2}}-\frac{2y}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}\). **2 pkt** – przekształcenie nierówności \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{x^{2}}\) do postaci \(x^{2}-2xy+y^{2}\geq 0\) (lub do postaci \(\frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\geq 0\)) ALBO przekształcenie nierówności \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{x^{2}}\) do postaci \((x+y)(x-y)^{2}\geq 0\) (lub do postaci \(\frac{(x+y)(x-y)^{2}}{x^{2}y^{2}}\geq 0\)), ALBO obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(f\): \(x=y\). **3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj.: • przekształcenie nierówności \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{x^{2}}\) do postaci \((x-y)^{2}\geq 0\) (lub do postaci \(\frac{(x-y)^{2}}{x^{2}y^{2}}\geq 0\)) i zapisanie, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny ALBO • przekształcenie nierówności \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{x^{2}}\) do postaci \((x+y)(x-y)^{2}\geq 0\) (lub do postaci \(\frac{(x+y)(x-y)^{2}}{x^{2}y^{2}}\geq 0\)) oraz uzasadnienie, że dla liczb dodatnich \(x\), \(y\) nierówność \((x+y)(x-y)^{2}\geq 0\) (lub nierówność \(\frac{(x+y)(x-y)^{2}}{x^{2}y^{2}}\geq 0\)) jest prawdziwa, ALBO • obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(f\) oraz uzasadnienie, że funkcja \(f\) osiąga wartość najmniejszą dla \(x=y\) i obliczenie \(f(y)\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości \(x\) i \(y\), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający przekształci nierówność do postaci \((x^{2}-y^{2})(x-y)\geq 0\), a następnie uzasadni prawdziwość tej nierówności w przypadku, gdy \(x>y\) oraz w przypadku, gdy \(x<y\), a pominie przypadek \(x=y\), to otrzymuje 2 punkty.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** II.R5) Zdający korzysta ze wzorów na: \(a^3+b^3\) […].

**C.** \(\frac{x+10}{x}\)

Dla \(x\neq-10\) i \(x\neq0\): \[\frac{(x+10)^2}{x^3}\cdot\frac{x^2}{x+10}=\frac{x+10}{x}.\] Zatem poprawna jest odpowiedź **C**.

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** II.4) Zdający mnoży i upraszcza wyrażenia wymierne.

**D.** \(2026\)

Obliczamy kolejno \[1-\frac1{2025}=\frac{2024}{2025},\qquad 1-\frac{2025}{2024}=-\frac1{2024}.\] Zatem \[2024:\frac{2024}{2025}-\left(-\frac1{2024}\right):\frac1{2024}=2025-(-1)=2026.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** I.1) Zdający wykonuje działania w zbiorze liczb rzeczywistych.

\[\frac{x+y}{x}=\frac{1+\sqrt5}{2}.\]

Z warunku \[\frac{x}{y}=\frac{1+\sqrt5}{2}\] wynika \[\frac{y}{x}=\frac{2}{1+\sqrt5}.\] Stąd \[\frac{x+y}{x}=1+\frac{y}{x}=1+\frac{2}{1+\sqrt5}=\frac{3+\sqrt5}{1+\sqrt5}.\] Usuwamy niewymierność z mianownika: \[\frac{3+\sqrt5}{1+\sqrt5}\cdot\frac{1-\sqrt5}{1-\sqrt5}=\frac{1+\sqrt5}{2}.\]

**2 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(\frac{1+\sqrt5}{2}\) **1 pkt** – otrzymanie \(1+\frac{2}{1+\sqrt5}\) albo \(\frac{3+\sqrt5}{1+\sqrt5}\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** I.1) Zdający wykonuje działania w zbiorze liczb rzeczywistych. II.1) Stosuje wzory skróconego mnożenia, w tym różnicę kwadratów.

\(1\). **F** \(2\). **P**

Dziedzina wyrażenia wymaga \[x^2-4\neq0\quad\text{oraz}\quad x\neq0,\] czyli \(x\notin\{-2,0,2\}\). Pierwsze zdanie jest więc fałszywe. Dla argumentów z dziedziny \[W(x)=\frac{2x^2}{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{x-2}{x}=\frac{2x}{x+2}.\] Drugie zdanie jest prawdziwe.

**1 pkt** – obie odpowiedzi poprawne: **F**, **P** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. IV. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** II.1) Zdający stosuje wzór na różnicę kwadratów. II.4) Mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

**C.** Dla \(x\neq-2\) i \(x\neq0\): \[\frac{x^{2}+x}{x^{2}+4x+4}\cdot\frac{x+2}{x}=\frac{x(x+1)}{(x+2)^{2}}\cdot\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+2}.\]

**Krok \(1\).** Mnożymy przez siebie dwa wyrażenia wymierne. Nie wymnażamy nawiasów - przeciwnie, rozkładamy liczniki i mianowniki na czynniki, żeby móc skracać. **Krok \(2\).** Licznik pierwszego ułamka: wyłączamy \(x\) przed nawias: \[x^{2}+x=x(x+1).\] **Krok \(3\).** Mianownik pierwszego ułamka to kwadrat sumy (wzór skróconego mnożenia): \[x^{2}+4x+4=x^{2}+2\cdot2\cdot x+2^{2}=(x+2)^{2}.\] **Krok \(4\).** Zapisujemy cały iloczyn w postaci jednego ułamka: \[\frac{x(x+1)}{(x+2)^{2}}\cdot\frac{x+2}{x}=\frac{x(x+1)(x+2)}{(x+2)^{2}\cdot x}.\] **Krok \(5\).** Skracamy \(x\) oraz jeden czynnik \((x+2)\): \[\frac{x(x+1)(x+2)}{(x+2)^{2}\cdot x}=\frac{x+1}{x+2}.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy liczbowo dla \(x=1\): wyrażenie wyjściowe daje \(\frac{1+1}{1+4+4}\cdot\frac{3}{1}=\frac{2}{9}\cdot3=\frac23\), a otrzymany wynik \(\frac{1+1}{1+2}=\frac23\). Zgadza się. **Uwaga.** Skracanie jest dozwolone właśnie dzięki założeniom z treści: \(x\neq0\) i \(x\neq-2\). Bez nich dzielilibyśmy przez zero. **Odpowiedź.** C, czyli \(\frac{x+1}{x+2}\).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** II.4) Zdający mnoży […] wyrażenia wymierne.

Nierówność jest prawdziwa. Po wykorzystaniu warunku \(a+b=1\) sprowadza się ona do \[(2a-1)^2\geq0.\]

Z warunku \(b=1-a\), przy czym \(a\in(0,1)\). Wtedy \[2a+b=a+1,\qquad a+2b=2-a.\] Ponieważ mianowniki są dodatnie, mamy równoważnie \[\frac1{a+1}+\frac1{2-a}\geq\frac43\iff\frac3{(a+1)(2-a)}\geq\frac43.\] Po pomnożeniu przez dodatnie \(3(a+1)(2-a)\) otrzymujemy \[9\geq4(a+1)(2-a)\iff4a^2-4a+1\geq0\iff(2a-1)^2\geq0.\] Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdego rzeczywistego \(a\), co kończy dowód.

**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania **2 pkt** – wykorzystanie założenia \(a+b=1\) i przekształcenie tezy do nierówności \((2a-1)^2\geq0\) albo poprawne zastosowanie nierówności między odpowiednimi średnimi **1 pkt** – zapisanie równoważnej nierówności wymiernej lub wielomianowej, poprawne rozpoczęcie argumentu ze średnią harmoniczną albo zapisanie tezy w poprawnej postaci z jedną niewiadomą **0 pkt** – rozwiązanie z niepoprawną metodą albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 3. R7) Zdający rozwiązuje proste nierówności wymierne.

**B.** \(\frac{2x}{x-1}\)

Dla \(x\neq-1,0,1\) rozkładamy mianownik i skracamy wspólne czynniki: \[\frac{2x^2}{x^2-1}\cdot\frac{x+1}{x}=\frac{2x^2(x+1)}{(x-1)(x+1)x}=\frac{2x}{x-1}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** II.1) Zdający stosuje wzory skróconego mnożenia, w tym \(a^2-b^2\). II.5) Zdający mnoży wyrażenia wymierne.

**B.** \(\frac{1}{3x^2-3x}\)

Dzielenie przez ułamek zastępujemy mnożeniem przez jego odwrotność i rozkładamy mianownik na czynniki: \[\frac{x}{x^2-1}:\frac{3x^2}{x+1}=\frac{x}{(x-1)(x+1)}\cdot\frac{x+1}{3x^2}.\] Dla liczb spełniających założenia podane w zadaniu możemy skrócić \(x\) oraz \(x+1\): \[\frac{x}{(x-1)(x+1)}\cdot\frac{x+1}{3x^2}=\frac{1}{3x(x-1)}=\frac{1}{3x^2-3x}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** II.4) Zdający dzieli wyrażenia wymierne.

**D.** \(\frac{x+1}{x-2}\)

Dla \(x\neq0\) i \(x\neq2\) możemy skracać czynniki: \[\frac{x^2+x}{(x-2)^2}\cdot\frac{x-2}{x}=\frac{x(x+1)}{(x-2)^2}\cdot\frac{x-2}{x}=\frac{x+1}{x-2}.\]

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** II.5 zdający mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

**C.** \(\frac{x}{2x+4}\)

Rozkładamy wielomiany na czynniki i skracamy przy założeniach \(x\neq-3\) oraz \(x\neq-2\): \[\frac{x+3}{(x+2)^2}\cdot\frac{x(x+2)}{2(x+3)}=\frac{x}{2(x+2)}=\frac{x}{2x+4}.\]

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** II.1 i II.5 stosowanie wzorów skróconego mnożenia oraz mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych.

**\(1\). F, \(2\). P.**

Mianowniki wymagają \(x\ne1\) oraz \(x\ne-1\), więc pierwsze zdanie jest fałszywe. Ponadto \[W(x)=\frac12\cdot\frac{(x+1)^2-(x-1)^2}{x^2-1}=\frac12\cdot\frac{4x}{x^2-1}=\frac{2x}{x^2-1},\] zatem drugie zdanie jest prawdziwe.

**1 pkt** – odpowiedź **FP** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV.3 i III.1 uzasadnianie poprawności przekształceń i operowanie obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** II.8 dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych.

**C.** \(\frac{1-2x^2}{2x}\)

**Krok \(1\).** Odejmujemy od ułamka wyrażenie, które ułamkiem nie jest. Żeby wykonać odejmowanie, trzeba sprowadzić oba składniki do wspólnego mianownika. Naturalnym wspólnym mianownikiem jest \(2x\). **Krok \(2\).** Zapisujemy \(x\) jako ułamek o mianowniku \(2x\), mnożąc licznik i mianownik przez \(2x\): \[x=\frac{x\cdot2x}{2x}=\frac{2x^{2}}{2x}.\] **Krok \(3\).** Wykonujemy odejmowanie: \[\frac{1}{2x}-\frac{2x^{2}}{2x}=\frac{1-2x^{2}}{2x}.\] **Krok \(4\).** Sprawdzamy liczbowo dla \(x=2\): wyrażenie wyjściowe daje \(\frac{1}{4}-2=-\frac{7}{4}\), a otrzymany wynik \(\frac{1-2\cdot4}{4}=\frac{-7}{4}\). Zgadza się. **Uwaga.** Podstawienie \(x=1\) nie rozstrzyga zadania, bo daje \(-\frac12\) zarówno dla wariantu C, jak i D. Dlatego do sprawdzenia lepiej wybrać inną liczbę, na przykład \(x=2\): wtedy wariant D daje \(\frac14-1=-\frac34\), czyli wartość inną niż wyrażenie wyjściowe. **Odpowiedź.** C, czyli \(\frac{1-2x^{2}}{2x}\).

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** wyrażenia algebraiczne - sprowadzanie wyrażeń wymiernych do wspólnego mianownika.

**C.** \(\frac{2x}{x^2-y^2}\)

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów: \[\frac1{x-y}+\frac1{x+y}=\frac{x+y+x-y}{(x-y)(x+y)}=\frac{2x}{x^2-y^2}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa - stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych. **Wymagania szczegółowe:** II.1 i II.6 stosowanie wzoru skróconego mnożenia \(a^2-b^2\) oraz dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych.

**B.** \(\frac{13}{6}\)

Z warunku \(2x=3y\) możemy przyjąć \(x=3t\) i \(y=2t\), gdzie \(t>0\). Wtedy \[\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{9t^2+4t^2}{6t^2}=\frac{13}{6}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** G1.6 obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych.

**B.** \(\frac{-5x+7}{x-1}\)

**Krok \(1\).** Mamy różnicę ułamka i liczby całkowitej, a wynik ma być jednym ułamkiem. Standardowe postępowanie: sprowadzamy oba wyrażenia do wspólnego mianownika. Mianownikiem jest \(x-1\), więc liczbę \(5\) zapisujemy jako ułamek o takim właśnie mianowniku. **Krok \(2\).** Zamieniamy \(5\) na ułamek: \[5=\frac{5(x-1)}{x-1}\qquad(\text{dla }x\neq1).\] **Krok \(3\).** Odejmujemy liczniki nad wspólnym mianownikiem: \[\frac{2}{x-1}-\frac{5(x-1)}{x-1}=\frac{2-5(x-1)}{x-1}.\] **Krok \(4\).** Porządkujemy licznik. Uwaga na minus przed nawiasem: \[2-5(x-1)=2-5x+5=-5x+7.\] **Krok \(5\).** Zatem \[\frac{2}{x-1}-5=\frac{-5x+7}{x-1}.\] **Krok \(6\).** Sprawdzenie liczbowe dla \(x=2\): lewa strona to \(\frac{2}{1}-5=-3\), prawa \(\frac{-10+7}{1}=-3\). Zgadza się. **Uwaga.** Cały ciężar zadania leży w kroku \(4\): \(-5(x-1)=-5x+5\), a nie \(-5x-5\). Odpowiedzi A, C i D to właśnie warianty tej pomyłki ze znakiem lub z pominięciem mnożenia przez \(5\). **Odpowiedź.** B: \(\frac{-5x+7}{x-1}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych, operowanie nimi i interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** II.6 dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych.

Ponieważ b > \(0\) i b + c > \(0\), można pomnożyć nierówność przez b(b + c) bez zmiany jej zwrotu. Otrzymujemy a(b + c) < b(a + c), czyli ab + ac < ab + bc, a więc ac < bc. Po podzieleniu przez dodatnie c dostajemy a < b, co jest założeniem.

**Krok \(1\).** adanie \(30\). (\(0\)—\(2\)) **Krok \(2\).** Wymagania egzaminacyjne \(2021\) **Krok \(3\).** Wymaganie ogólne **Krok \(4\).** V. Rozumowanie i argumentacja. **Krok \(5\).** gdy: **Krok \(6\).** Wymagania szczegółowe **Krok \(7\).** Zdający: **Krok \(8\).** \(G_{6}\).\(4\)) dodaje i odejmuje sumy **Odpowiedź.** Ponieważ b > \(0\) i b + c > \(0\), można pomnożyć nierówność przez b(b + c) bez zmiany jej zwrotu. Otrzymujemy a(b + c) < b(a + c), czyli ab + ac < ab + bc, a więc ac < bc. Po podzieleniu przez dodatnie c dostajemy a < b, co jest założeniem.

**1 pkt** – gdy: • przekształci nierówność \(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}\) do postaci równoważnej, z której można przeprowadzić bezpośrednie wnioskowanie o prawdziwości tezy, np. 1) \(\frac{c(a-b)}{b(b+c)}<0\) lub 2) \(c(a-b)<0\) lub 3) \(ca<cb\) lub 4) \(\frac{a-b}{b}\;[\ldots]\;\frac{a-b}{b+c}\) ALBO • przekształci nierówność \(a<b\) do postaci równoważnej \(a(b+c)<b(a+c)\) ALBO • przeprowadzając dowód nie wprost, przekształci nierówność \(\frac{a}{b}\;[\ldots]\;\frac{a+c}{b+c}\) (która jest zaprzeczeniem tezy) do postaci \(ac\;[\ldots]\;bc\) **2 pkt** – gdy przeprowadzi pełne rozumowanie – zdający musi spełnić warunki określone w zasadach oceniania za 1 punkt oraz: • wykorzystać założenie \(a<b\) w sytuacjach 1), 2), 3) określonych w pierwszym punktorze zasad oceniania za 1 punkt ALBO • wykorzystać założenie \(a<b\) i porównać ułamki w sytuacji określonej jako 4) w pierwszym punktorze zasad oceniania za 1 punkt ALBO • przeprowadzając dowód wprost, doprowadzić nierówność \(a<b\) do tezy ALBO • przeprowadzając dowód nie wprost, doprowadzić nierówność \(\frac{a}{b}\;[\ldots]\;\frac{a+c}{b+c}\) do postaci \(a\;[\ldots]\;b\) i stwierdzić sprzeczność z założeniem \(a<b\). **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający zapisze błędne założenia, z których korzysta (np. gdy dzieli nierówność obustronnie przez \(c\), przy zapisie \(c\;[\ldots]\;0\)), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej \(1\) punkt. 2. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy jedynie dla wybranych wartości \(a\), \(b\), \(c\), to za całe rozwiązanie otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie.

Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli: przekształci nierówność \(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}\) do postaci \(\frac{a(b+c)}{b}<a+c\) lub \(a<\frac{b(a+c)}{b+c}\).

Nierówność została wykazana dla wszystkich \(a>0\) i \(b>0\).

Z odczytu redakcyjnego treści dowodzona nierówność ma postać \[\frac1a+\frac1b\ge\frac{4}{a+b}.\] Z założenia \(a>0\) i \(b>0\), więc \(ab>0\) oraz \(a+b>0\), a zatem iloczyn \(ab(a+b)\) jest dodatni i mnożenie przez niego nie zmienia kierunku nierówności: \[b(a+b)+a(a+b)\ge4ab,\qquad (a+b)^{2}\ge4ab.\] Przenosimy wszystko na lewą stronę i stosujemy wzór skróconego mnożenia: \[a^{2}+2ab+b^{2}-4ab=a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}\ge0.\] Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych, a wszystkie przekształcenia były równoważne. Równość zachodzi dokładnie dla \(a=b\). **Odpowiedź.** Nierówność \(\dfrac1a+\dfrac1b\ge\dfrac{4}{a+b}\) jest prawdziwa dla wszystkich \(a>0\), \(b>0\), co należało wykazać.

1 pkt: sprowadzenie do a²−2ab+b²≥0. 2 pkt: pełne uzasadnienie.

Zadanie 29. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y,a>0\) spełniających \(x<y\).

Przenosimy \(2\) na lewą stronę i sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika: \[\frac{x+a}{y+a}+\frac yx-2=\frac{x(x+a)+y(y+a)-2x(y+a)}{x(y+a)}\] \[=\frac{x^2-2xy+y^2+ay-ax}{x(y+a)}=\frac{(x-y)^2+a(y-x)}{x(y+a)}.\] Mianownik jest dodatni, ponieważ \(x>0\) i \(y+a>0\). Licznik także jest dodatni: \((x-y)^2>0\) oraz \(a(y-x)>0\), gdyż \(x<y\) i \(a>0\). Zatem cały ułamek jest dodatni, co dowodzi nierówności.

**3 pkt** – pełny dowód nierówności **2 pkt** – sprowadzenie nierówności do równoważnej postaci \((x-y)^2+a(y-x)>0\) albo zapisanie dodatniego ułamka \(\frac{(x-y)^2+a(y-x)}{x(y+a)}>0\) **1 pkt** – poprawne sprowadzenie lewej strony po odjęciu \(2\) do wspólnego mianownika i otrzymanie licznika \(x^2-2xy+y^2+ay-ax\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** V. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** R2.6 wykonywanie działań na wyrażeniach wymiernych.

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(a>0\) i \(b>0\).

Przenosimy prawą stronę na lewą i sprowadzamy do wspólnego mianownika: \[\frac1{2a}+\frac1{2b}-\frac2{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2ab(a+b)}.\] Licznik jest nieujemny, a mianownik dodatni dla \(a,b>0\), więc cała różnica jest nieujemna. To kończy dowód.

**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu **1 pkt** – sprowadzenie nierówności do \((a+b)^2\geq4ab\), \((a-b)^2\geq0\) albo równoważnej postaci, bez pełnego uzasadnienia **0 pkt** – sprawdzenie tylko przykładów lub brak istotnego postępu

**Wymagania ogólne:** V. rozumowanie i argumentacja. **2.1:** zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).

Nierówność została wykazana dla wszystkich \(a>0\) i \(b>0\).

Z odczytu redakcyjnego treści dowodzona nierówność ma postać \[(a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge4.\] Z założenia \(a>0\) i \(b>0\), więc oba ułamki są określone, a \(ab>0\). Przekształcamy lewą stronę: \[(a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)=(a+b)\cdot\frac{a+b}{ab}=\frac{(a+b)^{2}}{ab}.\] Odejmujemy \(4\) i sprowadzamy do wspólnego mianownika: \[\frac{(a+b)^{2}}{ab}-4=\frac{(a+b)^{2}-4ab}{ab}=\frac{(a-b)^{2}}{ab}.\] Licznik jest nieujemny jako kwadrat liczby rzeczywistej, a mianownik dodatni, więc cała różnica jest nieujemna. Równość zachodzi dokładnie dla \(a=b\). **Odpowiedź.** \((a+b)\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)\ge4\) dla wszystkich \(a>0\), \(b>0\), co należało wykazać.

1 pkt: poprawne przekształcenie. 2 pkt: pełne uzasadnienie dla a,b>0.

Zadanie 29. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

Równość została wykazana przy założeniu \(abc=1\).

Z odczytu redakcyjnego treści dowodzona równość ma postać \[a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc.\] Z warunku \(abc=1\) wynika, że żadna z liczb \(a,b,c\) nie jest zerem, więc wszystkie odwrotności istnieją. Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika: \[\frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac{bc+ac+ab}{abc}.\] Ponieważ \(abc=1\), mianownik jest równy \(1\), a zatem \[\frac1a+\frac1b+\frac1c=ab+ac+bc.\] **Odpowiedź.** Przy założeniu \(abc=1\) zachodzi \(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc\), co należało wykazać.

1 pkt: użycie definicji potęgi o wykładniku −1 lub warunku abc=1. 2 pkt: pełne uzasadnienie.

Zadanie 28. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

**C.** \(\frac67\).

Podstawiamy \(a=\frac32\) i \(b=2\): \[\frac{a b}{a+b}=\frac{\frac32\cdot2}{\frac32+2}=\frac3{\frac72}=\frac67.\]

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste i działania na ułamkach.

Dla \(a>b\geq1\) zachodzi \(\frac{a}{2+a^3}<\frac{b}{2+b^3}\).

Dla \(a>b\geq1\) oba mianowniki \(2+a^3\) i \(2+b^3\) są dodatnie, więc nierówność można pomnożyć stronami przez ich iloczyn bez zmiany zwrotu: \[a\left(2+b^3\right)<b\left(2+a^3\right),\] \[2a+ab^3<2b+a^3b,\] \[2(a-b)<a^3b-ab^3=ab\left(a^2-b^2\right)=ab(a-b)(a+b).\] Ponieważ \(a>b\), liczba \(a-b\) jest dodatnia i wolno przez nią podzielić obie strony: \[2<ab(a+b).\] Pozostaje sprawdzić tę nierówność. Z założeń \(a>b\geq1\) wynika \(a>1\), więc \(ab>1\); ponadto \(a+b>2\). Iloczyn dwóch liczb dodatnich, z których jedna jest większa od \(1\), a druga od \(2\), jest większy od \(2\): \[ab(a+b)>1\cdot2=2.\] Wszystkie przekształcenia były równoważne, co kończy dowód. **Odpowiedź.** Nierówność \(\frac{a}{2+a^3}<\frac{b}{2+b^3}\) jest prawdziwa dla wszystkich \(a>b\geq1\).

**Schemat oceniania I sposobu rozwiązania** **1 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zapisanie nierówności […] w postaci \(ab(a-b)\) […]. **2 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: stwierdzenie, że dla \(a>b\) […] \(1\) nierówność […] jest równoważna nierówności \(2<ab(a+b)\). **Uwaga:** Zdający zamiast podzielić obie strony nierówności przez \(a-b>0\), może zapisać nierówność w postaci równoważnej \((a-b)\left(ab(a+b)-2\right)>0\). **3 pkt** – rozwiązanie pełne: przeprowadzenie pełnego dowodu. **Schemat oceniania II sposobu rozwiązania** **1 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: określenie funkcji \(f(x)=\) […] i obliczenie jej pochodnej. **2 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: określenie znaku pochodnej funkcji \(f\) w przedziale \((1,+\infty)\): \(f'(x)=\frac{2(1-x^3)}{[…]}<0\) dla \(x\in(1,+\infty)\). **3 pkt** – rozwiązanie pełne: stwierdzenie, że w przedziale \((1,+\infty)\) funkcja \(f\) jest malejąca i wywnioskowanie prawdziwości tezy.

Zadanie 13. (0–3) a b Wykaż, że jeżeli a  b  1, to  . 2  a3 2  b3 R2.6. Zdający dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia V. Rozumowanie wymierne; rozszerza i (w łatwych przypadkach) skraca i argumentacja wyrażenia wymierne. Rozwiązanie (I sposób): a b Przekształcamy nierówność  równoważnie. 2  a3 2  b3 2a  ab3  2b  a3b , 2a  b  ab  a2  b2  , 2a  b  ab a  b a  b . Ponieważ a  b , więc możemy obie strony tej nierówności podzielić przez a  b  0 . Otrzymujemy 2  ab a  b . Ponieważ a  b  1, to ab  1 oraz a  b  2 , zatem ab a  b  1 2  2 . To kończy dowód. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp – 1 p. Zapisanie nierówności a  b w postaci 2a  b  ab  a2  b2  2  a3 2  b3 Pokonanie zasadniczych trudności zadania – 2 p. a b Stwierdzenie, że dla a  b  1 nierówność  jest równoważna nierówności 2  a3 2  b3 2  ab a  b Uwaga: Zdający zamiast podzielić obie strony nierówności przez a  b  0 , może zapisać nierówność w postaci równoważnej a  b ab a  b  2   0 Rozwiązanie pełne – 3 p. Przeprowadzenie pełnego dowodu. Rozwiązanie (II sposób): x Definiujemy funkcję f określoną wzorem f (x)  dla każdej liczby rzeczywistej 2  x3 x  3 2 . 2  1 x3  Obliczamy pochodną funkcji f: f (x)   2  x3 2 Stwierdzamy, że f (x)  0 dla x 1,  . Wynika stąd, że w przedziale 1,   funkcja f jest malejąca. Zatem dla dowolnych dwóch argumentów a  b z tego przedziału prawdziwa a b jest nierówność f a  f b , czyli  , co należało udowodnić. 2  a3 2  b3 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp – 1 p. 2  1 x3  x Określenie funkcji f (x)  i obliczenie jej pochodnej f (x)  2  x3  2  x3 2 Pokonanie zasadniczych trudności zadania – 2 p. Określenie znaku pochodnej funkcji f w przedziale 1,  : f (x)  0 dla x 1,  Rozwiązanie pełne – 3 p. Stwierdzenie, że w przedziale 1,   funkcja f jest malejąca i wywnioskowanie prawdziwości tezy.

Prędkość średnia na całej trasie wynosi \(48\,\mathrm{km/h}\).

Prędkość średnia to iloraz **całej** drogi przez **cały** czas — nie średnia arytmetyczna prędkości na odcinkach. To jest sedno tego zadania. Niech \(s\) oznacza długość całej trasy z \(A\) do \(C\); odcinki \(AB\) i \(BC\) mają wtedy po \(\frac s2\). Czasy przejazdu wynoszą \[t_1=\frac{\frac s2}{40}=\frac{s}{80},\qquad t_2=\frac{\frac s2}{60}=\frac{s}{120}.\] Łączny czas to \[t_1+t_2=\frac{s}{80}+\frac{s}{120}=\frac{3s+2s}{240}=\frac{5s}{240}=\frac{s}{48}.\] Zatem \[v_{\text{śr}}=\frac{s}{t_1+t_2}=\frac{s}{\frac{s}{48}}=48.\] Wynik jest mniejszy od średniej arytmetycznej \(\frac{40+60}{2}=50\), bo na wolniejszym odcinku samochód spędza więcej czasu. **Odpowiedź.** Prędkość średnia na trasie z \(A\) do \(C\) wynosi \(48\,\mathrm{km/h}\).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – jeżeli zapisze zależność między średnią prędkością na trasie z \(A\) do \(C\) a długością drogi \(s\) między \(A\) i \(C\), np. \(v=\frac{s}{\frac{s}{80}+\frac{s}{120}}\), albo przedstawi sposób wyznaczania wartości średniej prędkości na trasie z \(A\) do \(C\) przy poprawnie przyjętych konkretnych wartościach liczbowych dla drogi i czasu przejazdu na poszczególnych częściach trasy, np. \(v=\frac{120}{1{,}5+1}\). **2 pkt** – jeżeli obliczy wartość średniej prędkości na trasie z \(A\) do \(C\): \(48\) km/h. **Uwaga:** Zdający może posłużyć się znaną zależnością między prędkościami średnimi na odcinkach drogi a prędkością średnią na całej drodze i wyznaczyć wartość średniej prędkości przez podstawienie do odpowiedniego wzoru, np. może wykorzystać średnią harmoniczną.

Zadanie 29. (0–2) Wartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta. Samochód przejechał z miejscowości A do miejscowości C przez miejscowość B, która znajduje się w połowie drogi z A do C. Wartość prędkości średniej samochodu na trasie z A do B była równa 40 km/h, a na trasie z B do C – 60 km/h. Oblicz wartość prędkości średniej samochodu na całej trasie z A do C. G6.1., G6.7. Zdający opisuje za pomocą wyrażeń V. Rozumowanie algebraicznych związki między różnymi wielkościami, i argumentacja. wyznacza wskazaną wielkość z podanych wzorów, w tym geometrycznych i fizycznych. I sposób rozwiązania: Oznaczamy przez s drogę z A do C, przez t czas przejazdu z A do B, a przez t czas 1 2 przejazdu z B do C. s s 2 2 Z warunków zadania otrzymujemy równania: 40  oraz 60  . t t 1 2 s s Po przekształceniach wyznaczamy t i t : t  oraz t  . 1 2 1 2 80 120 Możemy wyznaczyć średnią prędkość samochodu na drodze z A do C: s s s 240s v      48 . t  t s s 3s  2s 5s 1 2  80 120 240 Odpowiedź: Wartość średniej prędkości na trasie z A do C jest równa 48 km/h. II sposób rozwiązania: Przy podanych średnich prędkościach na dwóch odcinkach drogi, składających się na całą drogę, prędkość średnia na całej drodze jest określona jednoznacznie. Bez straty ogólności możemy założyć, że trasa z A do C ma długość 120 km, wówczas przejazd z A do B trwałby 1,5 h, zaś przejazd z B do C trwałby 1 h. Możemy wyznaczyć średnią prędkość samochodu na drodze z A do C: 120 120 1200 v     48 . 1, 5 1 2, 5 25 Odpowiedź: Wartość średniej prędkości na trasie z A do C jest równa 48 km/h. Schemat oceniania Zdający otrzymuje 1 pkt jeżeli:  zapisze zależność między średnią prędkością na trasie z A do C a długością drogi s między A i C, np. v  . s s  80 120 albo  przedstawi sposób wyznaczania wartości średniej prędkości na trasie z A do C przy poprawnie przyjętych konkretnych wartościach liczbowych dla drogi i czasu przejazdu 120 na poszczególnych częściach trasy, np. v  . 1, 5 1 Zdający otrzymuje 2 pkt jeżeli obliczy wartość średniej prędkości na trasie z A do C: 48 km/h. Uwaga: Zdający może posłużyć się znaną zależnością między prędkościami średnimi na odcinkach drogi a prędkością średnią na całej drodze i wyznaczyć wartość średniej prędkości przez podstawienie do odpowiedniego wzoru, np. może wykorzystać średnią harmoniczną.

**A.** \(\dfrac{x^2+15x+1}{(x-2)(x+3)}\)

Wyrażenie jest określone dla \(x\neq2\) i \(x\neq-3\); dla takich \(x\) sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika \((x-2)(x+3)\): \[\frac{3x+1}{x-2}-\frac{2x-1}{x+3}=\frac{(3x+1)(x+3)-(2x-1)(x-2)}{(x-2)(x+3)}.\] Rozwijamy licznik: \[(3x+1)(x+3)=3x^{2}+10x+3,\qquad (2x-1)(x-2)=2x^{2}-5x+2,\] \[3x^{2}+10x+3-\left(2x^{2}-5x+2\right)=x^{2}+15x+1.\] Zatem wyrażenie jest równe \(\dfrac{x^{2}+15x+1}{(x-2)(x+3)}\). **Odpowiedź.** A

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** Zdający oblicza różnicę wyrażeń wymiernych i zapisuje ją w postaci jednego ułamka (II.2.f).

Równość została uzasadniona przy założeniach \(a\neq c\), \(b\neq c\) oraz \(a+b=2c\).

Z założeń \(a\neq c\) i \(b\neq c\), więc \(a-c\neq0\) i \(b-c\neq0\) — oba ułamki są określone, a mnożenie przez \((a-c)(b-c)\neq0\) jest przekształceniem równoważnym. Po pomnożeniu obu stron przez \((a-c)(b-c)\) otrzymujemy \[a(b-c)+b(a-c)=2(a-c)(b-c),\] \[ab-ac+ab-bc=2\left(ab-ac-bc+c^{2}\right),\] \[2ab-ac-bc=2ab-2ac-2bc+2c^{2}.\] Po redukcji \(2ab\) i uporządkowaniu \[ac+bc-2c^{2}=0,\qquad c\left(a+b-2c\right)=0.\] Z założenia \(a+b=2c\), więc nawias jest równy zeru i cała równość zachodzi. Ponieważ wszystkie przekształcenia były równoważne, dowodzona równość jest prawdziwa. **Odpowiedź.** \(\dfrac{a}{a-c}+\dfrac{b}{b-c}=2\) przy podanych założeniach, co należało uzasadnić.

Zadanie 2. (0—4) Rozumowanie i argumentacja Przekształcenie równoważne wyrażenia wymiernego I sposób rozwiązania Przekształcamy tezę w sposób równoważny. b a = 2 przez (a , otrzymując. Mnożymy obie strony równości a—c b—c a (b —c) + —c) = — c), czyli ab — ac + ab —bc = 2ab — 2ac— 2bc + 2c2 Stąd otrzymujemy 2c2 —ac —bc = O , czyli —b) = O Ta ostatnia równość jest prawdziwa, bo z założenia 2c—a—b = O. Zatem teza też jest prawdziwa. Kryteria oceniania odpowiedzi Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki ..................................................................1 pkt Sprowadzenie lewej strony równości do wspólnego mianownika: Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp .... 2 pkt b a Przekształcenie równości = 2 do postaci a—c b—c Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt Wykonanie działań i doprowadzenie równości do postaci np.: 2c2 — ac — bc O Rozwiązanie pełne 4 pkt Uzasadnienie, że c(2c — a — b) = O i wnioskowanie o prawdziwości równości b a a—c b—c II sposób rozwiązania Z równania a + b = 2c wyznaczamy b = 2c — a i wstawiamy do wyrażenia: 2c—a a—(2c—a) b 2c — a a a a a — c b—c a—c 2c—a—c a—c c—a a—c Uwaga Z równania a + b = 2c można także wyznaczyć zmienną a lub c. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki ... .. ................1 pkt Sprowadzenie lewej strony równości do wspólnego mianownika: Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp .....................................................................2 pkt Wyznaczenie z założenia a + b = 2c , np. b i doprowadzenie wyrażenia do postaci b 2c — a a a a a — c b—c a—c 2c—a—c a—c c—a Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt Wykonanie działań i doprowadzenie wyrażenia do postaci np.: Rozwiązanie pełne ...............4 pkt b a Przekształcenie wyrażenia do postaci a—c b—c a—c III sposób rozwiązania Z równania a + b = 2c arytmetycznym. b = a + 2r Wstawiamy do wyrażenia otrzymujemy a — c = c — b , więc ciąg jest ciągiem b a a—c b—c Uwaga a a + 2r a+2r—(a+r) a a + 2r Kryteria oceniania odpowiedzi Zdający może zauważyć, że = i przekształcić wyrażenie bez wprowadzania r, b b a-b 2c-b-b 2c-2b a a np. a—c b—c c—b b—c c—b Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki............................. Zapisanie, że liczby a, c, b tworzą ciąg arytmetyczny. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp a + 2r a Doprowadzenie wyrażenia do postaci, np. a+2r —(a+r) Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p] a a + 2r Wykonanie działań i doprowadzenie wyrażenia do postaci + Rozwiązanie pełne 4 p] . —a+a+2r 2r Przekształcenie wyrażenia do postaci

V. Rozumowanie i argumentacja. Przekształcenie równoważne wyrażenia wymiernego.

\[\frac{3}{x-3}-\frac{x}{x+1}=\frac{-x^{2}+6x+3}{(x-3)(x+1)}.\]

Wyrażenie jest określone dla \(x\neq3\) i \(x\neq-1\); dla takich \(x\) wspólnym mianownikiem jest \((x-3)(x+1)\): \[\frac{3}{x-3}-\frac{x}{x+1}=\frac{3(x+1)-x(x-3)}{(x-3)(x+1)}.\] Rozwijamy licznik: \[3x+3-\left(x^{2}-3x\right)=-x^{2}+6x+3.\] Zatem wyrażenie zapisane jako iloraz dwóch wielomianów ma postać \[\frac{-x^{2}+6x+3}{(x-3)(x+1)}=\frac{-x^{2}+6x+3}{x^{2}-2x-3}.\] **Odpowiedź.** \(\dfrac{-x^{2}+6x+3}{(x-3)(x+1)}\) dla \(x\neq3\) i \(x\neq-1\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(\frac{-x^{2}+6x+3}{(x-3)(x+1)}\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

Ponieważ a > \(0\), mamy \(2\)(a + \(1\)) > \(0\). Różnica stron nierówności jest równa (\(a^{2}\) + \(1\))/(a + \(1\)) − (a + \(1\))/\(2\) = (a − \(1\))\(2\)/[\(2\)(a + \(1\))] ≥ \(0\). To dowodzi nierówności.

**Krok \(1\).** pkt: sprowadzenie nierówności do \(a^{2}\) − \(2a\) + \(1 \geq 0\) albo (\(a^{2}\) − \(2a\) + \(1\))/[\(2\)(a + \(1\))] ≥ \(0\), ewentualnie analogiczny poprawny etap dowodu nie wprost. **Krok \(2\).** pkt: pełne uzasadnienie, że otrzymana nierówność zachodzi dla każdego a > \(0\). **Odpowiedź.** Ponieważ a > \(0\), mamy \(2\)(a + \(1\)) > \(0\). Różnica stron nierówności jest równa (\(a^{2}\) + \(1\))/(a + \(1\)) − (a + \(1\))/\(2\) = (a − \(1\))\(2\)/[\(2\)(a + \(1\))] ≥ \(0\). To dowodzi nierówności.

1 pkt: sprowadzenie nierówności do a² − 2a + 1 ≥ 0 albo (a² − 2a + 1)/[2(a + 1)] ≥ 0, ewentualnie analogiczny poprawny etap dowodu nie wprost. 2 pkt: pełne uzasadnienie, że otrzymana nierówność zachodzi dla każdego a > 0.

Rozumowanie i argumentacja. Wykazanie prawdziwości nierówności.

\[S=\frac{306}{307}.\]

Zadanie podaje w treści gotowy schemat rachunku; poniżej odtwarzamy go z uzasadnieniem każdego przejścia. **a) Zamiana liczników.** Mianowniki kolejnych składników są iloczynami wyrazów ciągu arytmetycznego \(1,4,7,10,\ldots,307\) o różnicy \(3\). Ponieważ różnica ta wynosi dokładnie \(3\), a licznik każdego składnika jest równy \(3\), można zapisać \[3=4-1=7-4=10-7=\ldots=307-304.\] Dzięki temu każdy składnik przyjmuje postać \(\frac{q-p}{q\cdot p}\), gdzie \(p\) i \(q\) są sąsiednimi wyrazami tego ciągu. **b) Rozbicie na różnicę ułamków.** Dla dowolnych \(p,q\ne0\) \[\frac{q-p}{q\cdot p}=\frac{q}{q\cdot p}-\frac{p}{q\cdot p}=\frac1p-\frac1q.\] Stosując to do każdego składnika, otrzymujemy \[S=\left(1-\frac14\right)+\left(\frac14-\frac17\right)+\left(\frac17-\frac1{10}\right)+\ldots+\left(\frac1{304}-\frac1{307}\right).\] **c) Redukcja.** Każdy ułamek poza pierwszym i ostatnim występuje dwa razy: raz ze znakiem minus i raz ze znakiem plus, więc pary te się znoszą. Zostaje \[S=1-\frac1{307}=\frac{307-1}{307}=\frac{306}{307}.\] **Odpowiedź.** \(S=\frac{306}{307}\)

**Schemat CKE (\(3\) pkt łącznie):** **1 pkt** – zapisanie licznika każdego składnika jako różnicy sąsiednich wyrazów ciągu mianowników **1 pkt** – rozbicie składników na różnice ułamków postaci \(\frac1p-\frac1q\) **1 pkt** – wykonanie redukcji i obliczenie sumy: \(S=\frac{306}{307}\)

**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie podanego w treści schematu rachunkowego (sumy teleskopowej) oraz wykonywanie działań na ułamkach zwykłych.