Wielomiany — dzielenie wielomianów, rozkład na czynniki i pierwiastki wielomianu

A. x(x − \(1\))\(2\)

Wyłączamy \(x\) przed nawias, a następnie stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: \[x^{3}-2x^{2}+x=x\left(x^{2}-2x+1\right)=x(x-1)^{2}.\] **Odpowiedź.** A. \(x(x-1)^{2}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** G6.6) Zdający wyłącza wspólny czynnik z wyrazów sumy algebraicznej poza nawias. 2.1) Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).

**A.** \(2x^{3}-x+2\)

Najpierw wykonujemy mnożenie: \[V(x)\cdot H(x)=\left(x^{3}+1\right)(x-2)=x^{4}-2x^{3}+x-2.\] Następnie odejmujemy wielomiany: \[W(x)-V(x)H(x)=x^{4}-\left(x^{4}-2x^{3}+x-2\right)=2x^{3}-x+2.\] **Odpowiedź.** A. \(2x^{3}-x+2\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

I. Sprawność rachunkowa. II.2) Zdający dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych.

**B.** \(c=10\)

Rozwijamy kwadrat sumy trzech składników \(a=2\sqrt3x\), \(b=-x^{2}\), \(c=1\): \[\left(2\sqrt3x-x^{2}+1\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc.\] Wyrazy stopnia drugiego powstają z \(a^{2}\) oraz z \(2bc\): \[a^{2}=12x^{2},\qquad 2bc=2\cdot\left(-x^{2}\right)\cdot1=-2x^{2}.\] Zatem współczynnik przy \(x^{2}\) wynosi \(12-2=10\). **Odpowiedź.** B

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymagania określone w podstawie programowej1 **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 2.4R) Zdający dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany.

**A.** \(-5\)

Dla wielomianu \(x^{3}+ax^{2}+bx+c\) suma wszystkich jego pierwiastków jest równa \(-a\) (wzory Viète'a). Tutaj \(a=5\), więc suma pierwiastków wynosi \(-5\). Wielomian rzeczywiście ma trzy pierwiastki rzeczywiste: \(W(-1)=-1+5+7-11=0\), a po podzieleniu \[W(x)=(x+1)\left(x^{2}+4x-11\right),\] przy czym \(\Delta=16+44=60>0\). Pierwiastkami są \(-1\) oraz \(-2\pm\sqrt{15}\), a ich suma to \(-1-4=-5\). **Odpowiedź.** A

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymagania określone w podstawie programowej **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.5R) Zdający stosuje twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych.

\[a+b+c+d=1.\]

Suma współczynników wielomianu jest równa jego wartości dla \(x=1\): \[a+b+c+d=W(1).\] Ponieważ \(W(x)=F(x)G(x)\), mamy \[W(1)=(2-3\cdot1)^2(3\cdot1-2)=(-1)^2\cdot1=1.\]

**1 pkt** – wpisanie liczby \(1\) **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** II.2) Zdający mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych. V.2) Zdający oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym.

W kratki należy wpisać kolejno: \[4,\quad1,\quad1.\]

Z równości \[W(x)=(2x+3)(ax^2+bx+c)\] otrzymujemy po wymnożeniu \[W(x)=2ax^3+(2b+3a)x^2+(2c+3b)x+3c.\] Porównując współczynniki z wielomianem \(8x^3+14x^2+5x+3\), dostajemy \[2a=8,\qquad 2b+3a=14,\qquad 2c+3b=5,\qquad3c=3.\] Stąd \(a=4\), \(b=1\), \(c=1\).

**2 pkt** – odpowiedź całkowicie poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 2.2 R) Zdający dzieli wielomiany przez dwumian \(ax+b\).

**P, F.**

Wyłączamy wspólny czynnik: \[W(x)=3x^3+6x^2+9x=3x(x^2+2x+3)=F(x)G(x).\] Pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe. Sprawdzamy drugie stwierdzenie: \[W(-1)=3(-1)^3+6(-1)^2+9(-1)=-3+6-9=-6\neq0.\] Liczba \(-1\) nie jest rozwiązaniem równania \(W(x)=0\), więc drugie stwierdzenie jest fałszywe.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **PF** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** II.2) Zdający mnoży wielomiany. III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej przez wyłączenie wspólnego czynnika.

**B.** \(k=4\)

Ponieważ \(-2\) jest pierwiastkiem wielomianu, mamy \(W(-2)=0\): \[3(-2)^3+k(-2)^2-12(-2)-7k+12=0.\] Po uproszczeniu \[-24+4k+24-7k+12=0,\] czyli \(12-3k=0\), stąd \(k=4\).

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I i III sprawność rachunkowa oraz wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.2 obliczanie wartości funkcji zadanej wzorem algebraicznym.

**A.** \(-63\)

Z twierdzenia o reszcie reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez \(x+2\) jest równa \(W(-2)\): \[W(-2)=5(-2)^3-3(-2)^2+2(-2)-7\] \[=-40-12-4-7=-63.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Element podstawy programowej:** stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian \(x-a\). Klucz CKE dla tego arkusza w formule 2015 nie podaje osobnego kodu wymagania.

Po pomnożeniu przez \(a\gt 0\) nierówność jest równoważna \(a^{3}-12a+16\geq 0\), czyli \((a-2)^{2}(a+4)\geq 0\). Oba czynniki są nieujemne dla \(a\gt 0\), a równość zachodzi tylko dla \(a=2\).

**Krok \(1\).** Metoda: przekształcamy nierówność równoważnie, mnożąc przez dodatnią liczbę \(a\), i rozkładamy powstały wielomian na czynniki o oczywistym znaku. **Krok \(2\).** Z założenia \(a\gt 0\), więc mnożenie obu stron przez \(a\) nie zmienia kierunku nierówności: \[a^{2}+\frac{16}{a}\geq 12\quad\Longleftrightarrow\quad a^{3}+16\geq 12a\quad\Longleftrightarrow\quad a^{3}-12a+16\geq 0.\] **Krok \(3\).** Rozważmy wielomian \(W(a)=a^{3}-12a+16\). Sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego: \(W(2)=8-24+16=0\), więc \(a-2\) jest dzielnikiem \(W\). **Krok \(4\).** Dzielimy: \(W(a)=(a-2)\left(a^{2}+2a-8\right)\). Trójmian \(a^{2}+2a-8\) ma pierwiastki \(2\) i \(-4\), więc \[W(a)=(a-2)(a-2)(a+4)=(a-2)^{2}(a+4).\] **Krok \(5\).** Dla każdego \(a\gt 0\) mamy \((a-2)^{2}\geq 0\) oraz \(a+4\gt 0\), więc iloczyn \((a-2)^{2}(a+4)\) jest nieujemny. Zatem \(a^{3}-12a+16\geq 0\). **Krok \(6\).** Dzieląc tę nierówność stronami przez \(a\gt 0\), wracamy do postaci wyjściowej \(a^{2}+\frac{16}{a}\geq 12\). To należało wykazać. **Uwaga.** Kluczowe jest założenie \(a\gt 0\): tylko dzięki niemu mnożenie i dzielenie przez \(a\) zachowuje kierunek nierówności. Dla \(a\lt 0\) lewa strona jest ujemna albo mniejsza od \(12\), więc teza po prostu nie zachodzi. Zauważmy też, że równość ma miejsce dokładnie dla \(a=2\), bo tylko wtedy \((a-2)^{2}=0\). **Odpowiedź.** Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(a\) zachodzi \(a^{2}+\frac{16}{a}\geq 12\), przy czym równość zachodzi tylko dla \(a=2\).

**3 pkt** – spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty i uzasadnienie prawdziwości nierówności \(\frac{(a-2)^{2}(a+4)}{a}\ge 0\) lub \((a-2)^{2}(a+4)\ge 0\), lub \(a(a-2)^{2}(a+4)\ge 0\) z powołaniem się na założenie (dla sposobu I) ALBO – spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty i przekształcenie nierówności \(\frac{a^{2}+\frac{8}{a}+\frac{8}{a}}{3}\ge\sqrt[3]{a^{2}\cdot\frac{8}{a}\cdot\frac{8}{a}}\) do postaci tezy (dla sposobu II), ALBO – spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty oraz obliczenie \(f(2)\): \(f(2)=12\) (dla sposobu III). **2 pkt** – przekształcenie nierówności \(a^{2}+\frac{16}{a}\ge 12\) do postaci \(\frac{(a-2)^{2}(a+4)}{a}\ge 0\) lub \((a-2)^{2}(a+4)\ge 0\), lub \(a(a-2)^{2}(a+4)\ge 0\) (dla sposobu I) ALBO – spełnienie kryterium oceniania za 1 punkt oraz zapisanie wielomianu \(a^{3}-12a+16\) w postaci \((a-2)^{2}(a+4)\) (dla sposobu I), ALBO – zapisanie, że dla każdego \(a>0\) liczby \(a^{2}\), \(\frac{8}{a}\), \(\frac{8}{a}\) są dodatnie oraz zapisanie nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną liczb dodatnich \(a^{2}\), \(\frac{8}{a}\), \(\frac{8}{a}\): \(\frac{a^{2}+\frac{8}{a}+\frac{8}{a}}{3}\ge\sqrt[3]{a^{2}\cdot\frac{8}{a}\cdot\frac{8}{a}}\) (dla sposobu II), ALBO – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(f\) oraz wyznaczenie w przedziale \((0,\,+\infty)\) argumentu, dla którego funkcja osiąga w tym przedziale wartość najmniejszą (wraz z uzasadnieniem): \(a=2\) (dla sposobu III). **1 pkt** – przekształcenie nierówności \(a^{2}+\frac{16}{a}\ge 12\) do postaci \(\frac{a^{3}-12a+16}{a}\ge 0\) lub \(a^{3}-12a+16\ge 0\), lub \(a(a^{3}-12a+16)\ge 0\) (dla sposobu I) ALBO – zapisanie, że dla każdego \(a>0\) liczby \(a^{2}\), \(\frac{8}{a}\), \(\frac{8}{a}\) są dodatnie (dla sposobu II), ALBO – obliczenie pochodnej funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(a)=a^{2}+\frac{16}{a}\) dla \(a>0\) (lub w szerszym zakresie), np. \(f'(a)=2a-\frac{16}{a^{2}}\) (dla sposobu III). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania. **Uwaga:** Jeśli zdający opiera swoje rozwiązanie na nierówności między średnimi (sposób III) i stosuje nierówność między średnimi liczb \(a^{2}\), \(\frac{8}{a}\), \(\frac{8}{a}\) bez zapisania, że liczby te są dodatnie, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** II.R1) Zdający znajduje pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych. III.R1) Zdający rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: \(W(x)>0\), \(W(x)\ge 0\), \(W(x)<0\), \(W(x)\le 0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania.

**D.** \(k=3\)

Skoro \(W(x)\) ma czynnik \(x+1\), to \(-1\) jest jego pierwiastkiem. Zatem \[W(-1)=-3(-1)^3-(-1)^2+k(-1)+1=3-k.\] Warunek \(W(-1)=0\) daje \(3-k=0\), więc \(k=3\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.5 i V.2 rozwiązywanie równań wielomianowych doprowadzonych do postaci iloczynowej oraz obliczanie wartości funkcji zadanej wzorem algebraicznym.

\[Q(x)=3x^2+2x-1,\qquad x\in\left\{-2,-1,\frac13\right\}.\]

Ponieważ \(x+2\) jest czynnikiem \(W(x)\), mamy \(W(-2)=0\): \[3(-2)^3+m(-2)^2+3(-2)-2=0,\] \[-32+4m=0,\qquad m=8.\] Dzieląc \(3x^3+8x^2+3x-2\) przez \(x+2\), otrzymujemy \[Q(x)=3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1).\] Stąd \[W(x)=(x+2)(3x-1)(x+1),\] a jego pierwiastki to \(x=-2\), \(x=-1\) i \(x=\frac13\).

**3 pkt** – poprawna metoda wyznaczenia \(Q(x)\), postać \(Q(x)=3x^2+2x-1\) i wszystkie pierwiastki \(W\): \(-2,-1,\frac13\) **2 pkt** – poprawna metoda i prawidłowa postać \(Q(x)\), albo konsekwentna metoda wyznaczenia pierwiastków po błędzie rachunkowym w \(Q\) **1 pkt** – zapisanie \(W(-2)=0\) i obliczenie \(m=8\), albo rozpoczęcie porównywania współczynników w tożsamości \(3x^3+mx^2+3x-2=(x+2)(ax^2+bx+c)\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 i I operowanie wielomianami i sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** II.6 i III.6 dzielenie wielomianu przez dwumian \(x-a\) oraz rozwiązywanie równań wielomianowych w postaci iloczynowej.

Jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest \(x=\tfrac27\); w kratki należy wpisać \(2\), \(8\), \(5\).

Zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych każdy pierwiastek wymierny \(\tfrac pq\) (ułamek nieskracalny) spełnia: \(p\) dzieli wyraz wolny \(-2\), a \(q\) dzieli współczynnik wiodący \(7\). Kandydatami są więc \(\pm1,\ \pm2,\ \pm\tfrac17,\ \pm\tfrac27\). Sprawdzamy \(x=\tfrac27\): \[7\cdot\frac{8}{343}-9\cdot\frac{4}{49}+9\cdot\frac27-2=\frac{8}{49}-\frac{36}{49}+\frac{126}{49}-\frac{98}{49}=0.\] Zatem \(x=\tfrac27\) jest pierwiastkiem i \(7x-2\) dzieli wielomian: \[7x^{3}-9x^{2}+9x-2=(7x-2)\left(x^{2}-x+1\right).\] Trójmian \(x^{2}-x+1\) ma wyróżnik \(1-4=-3<0\), więc nie ma pierwiastków rzeczywistych — potwierdza to, że \(\tfrac27\) jest jedynym pierwiastkiem rzeczywistym. Rozwinięcie dziesiętne wyniku jest okresowe: \[\frac27=0{,}(285714),\] więc pierwsze trzy cyfry po przecinku to \(2\), \(8\), \(5\). **Odpowiedź.** W kratki należy wpisać kolejno \(2\), \(8\), \(5\).

2 pkt – odpowiedź całkowicie poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R3.5) Zdający stosuje twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych.

**B.** \(W(x)=(x-2)(x^2-3)\)

**Krok \(1\).** Wielomian ma cztery wyrazy i nie da się wyłączyć wspólnego czynnika ze wszystkich naraz. W takiej sytuacji standardową metodą jest **grupowanie**: łączymy wyrazy w pary i z każdej pary wyłączamy wspólny czynnik tak, aby w obu nawiasach powstało to samo. **Krok \(2\).** Grupujemy dwa pierwsze i dwa ostatnie wyrazy: \[W(x)=(x^3-2x^2)+(-3x+6).\] **Krok \(3\).** Z pierwszej pary wyłączamy \(x^2\): \[x^3-2x^2=x^2(x-2).\] **Krok \(4\).** Z drugiej pary wyłączamy \(-3\) (celowo z minusem, żeby w nawiasie powstało \(x-2\)): \[-3x+6=-3(x-2).\] **Krok \(5\).** Teraz oba składniki mają wspólny czynnik \((x-2)\), więc wyłączamy go przed nawias: \[W(x)=x^2(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x^2-3).\] **Krok \(6\).** Sprawdzenie: skoro w rozkładzie występuje \((x-2)\), to \(W(2)\) powinno być zerem: \[W(2)=8-8-6+6=0.\] Zgadza się. Dla porównania \(W(-2)=-8-8+6+6=-4\neq 0\), więc czynnik \((x+2)\) nie może występować - to eliminuje odpowiedzi A i C. **Uwaga.** Uwaga na znaki przy wyłączaniu: z \(-3x+6\) po wyłączeniu \(-3\) zostaje \(x-2\), a nie \(x+2\). Gdyby wyszły dwa różne nawiasy, to znak grupowania trzeba poprawić. **Odpowiedź.** B: \(W(x)=(x-2)(x^2-3)\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** II.4 rozkładanie wielomianów na czynniki przez wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias oraz grupowanie wyrazów.

\[m=3,\qquad x\in\left\langle-1,-\frac12\right\rangle\cup\left\langle3,+\infty\right).\]

Z twierdzenia o reszcie \[W(-2)=-30.\] Po podstawieniu otrzymujemy \[-32-24+2(5m+1)-2m=-30,\] czyli \(8m-54=-30\), a stąd \(m=3\). Dla tej wartości \[W(x)=4x^3-6x^2-16x-6=4(x+1)\left(x+\frac12\right)(x-3).\] Miejsca zerowe to \(-1\), \(-\frac12\) i \(3\). Z analizy znaków iloczynu \[W(x)\geq0\iff x\in\left\langle-1,-\frac12\right\rangle\cup\left\langle3,+\infty\right).\]

**4 pkt** – poprawne wyznaczenie \(m=3\) i pełnego zbioru rozwiązań nierówności **3 pkt** – poprawne wyznaczenie \(m\), rozkład wielomianu i drobna usterka w zapisie zbioru **2 pkt** – wyznaczenie \(m=3\) oraz co najmniej jednego istotnego kroku rozwiązania nierówności **1 pkt** – poprawne zastosowanie twierdzenia o reszcie albo poprawny rozkład wielomianu dla \(m=3\) **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R3.4 i R3.6 stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian oraz rozwiązywanie nierówności wielomianowych.

\[a=5,\qquad b=3,\qquad c=2.\]

Dzielimy wielomian przez \(x-2\), na przykład schematem Hornera. Dla współczynników \(5,-7,-4,-4\) otrzymujemy kolejno: \[5,\qquad -7+2\cdot5=3,\qquad -4+2\cdot3=2,\] a reszta wynosi \(-4+2\cdot2=0\). Iloraz ma postać \[5x^2+3x+2,\] więc \(a=5\), \(b=3\), \(c=2\).

**2 pkt** – podanie pełnej poprawnej odpowiedzi: \(5,3,2\) **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna, niepełna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** dzielenie wielomianu przez dwumian \(x-a\), w tym z zastosowaniem schematu Hornera.

**C.** \(x^2-3\sqrt2x+9\)

Przekształcamy wielomian przez uzupełnienie do różnicy kwadratów: \[x^4+81=(x^2+9)^2-18x^2\] \[=(x^2-3\sqrt2x+9)(x^2+3\sqrt2x+9).\] Jednym z dzielników jest więc \(x^2-3\sqrt2x+9\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R2.6 dzielenie i rozkładanie wyrażeń wymiernych oraz wielomianów na czynniki.

Reszta z dzielenia przez \(x-4\) jest równa \(0\).

Z twierdzenia o reszcie: \[W(2)=-8,\qquad W(3)=-18.\] Po podstawieniu do wzoru wielomianu otrzymujemy układ \[\begin{cases}16+8b+4c=-8,\\81+27b+9c=-18.\end{cases}\] Po uproszczeniu: \[\begin{cases}2b+c=-6,\\3b+c=-11.\end{cases}\] Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego: \(b=-5\), a następnie \(c=4\). Zatem \[W(x)=x^4-5x^3+4x^2.\] Reszta z dzielenia przez \(x-4\) jest równa \[W(4)=4^4-5\cdot4^3+4\cdot4^2=256-320+64=0.\]

**4 pkt** – obliczenie reszty \(W(4)=0\) **3 pkt** – wyznaczenie \(b=-5\) i \(c=4\) albo rozkładu \(x^2+bx+c+2=(x-2)(x-3)\) **2 pkt** – zapisanie poprawnego układu dwóch równań dla \(b\) i \(c\) **1 pkt** – zapisanie \(W(2)=-8\) i \(W(3)=-18\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R3.4 stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian \(x-a\).

**B.** Wielomian jest podzielny przez \(x+1\), a z dzielenia przez \(x-1\) daje resztę \(6\).

Z twierdzenia o reszcie sprawdzamy wartości wielomianu dla \(x=-1\) i \(x=1\): \[W(-1)=(-1)^{2019}-3(-1)^{2000}+2(-1)+6=-1-3-2+6=0,\] \[W(1)=1-3+2+6=6.\] Ponieważ \(W(-1)=0\), wielomian jest podzielny przez \(x+1\). Ponieważ \(W(1)=6\), reszta z dzielenia przez \(x-1\) jest równa \(6\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R3.4 stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian \(x-a\).

**D.** \(x-2\)

Z twierdzenia o reszcie wielomian jest podzielny przez \(x-a\), gdy \(W(a)=0\). Obliczamy \[W(2)=2^3-2^2-2-2=8-4-2-2=0.\] Zatem wielomian \(W\) jest podzielny bez reszty przez \(x-2\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R3.4 stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian \(x-a\).

**A.** \(\frac65\)

Podstawienie \(x=\frac65\) do wielomianu daje zero. Równoważnie można zauważyć rozkład \[15x^5-133x^4+383x^3-499x^2+146x+120\]\[=(5x-6)(3x^4-23x^3+49x^2-41x-20).\] Bezpośrednie sprawdzenie pozostałych trzech liczb ze zbioru pokazuje, że żadna z nich nie zeruje wielomianu.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla czerwca 2019 nie zawiera tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** wielomiany - sprawdzanie, czy liczba jest pierwiastkiem wielomianu.

\[m=1,\qquad x\in(-\infty,-3]\cup\left[-\frac12,2\right].\]

Z twierdzenia o reszcie i podzielności otrzymujemy \[W(2)=0\quad\Longrightarrow\quad4m^3-4m=0\] oraz \[W(-1)=6\quad\Longrightarrow\quad m^3-4m+3=0.\] Jedyną wartością spełniającą oba równania jest \(m=1\). Wtedy \[W(x)=2x^3+3x^2-11x-6=(x-2)(x+3)(2x+1).\] Miejsca zerowe to \(-3\), \(-\frac12\) i \(2\). Z tabeli znaków wielomianu trzeciego stopnia otrzymujemy \[W(x)\leq0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty,-3]\cup\left[-\frac12,2\right].\]

**6 pkt** – wyznaczenie \(m=1\) i pełnego zbioru rozwiązań nierówności **5 pkt** – poprawne wyznaczenie \(m=1\), rozkład wielomianu i rozwiązanie nierówności z jedną drobną usterką **4 pkt** – wykazanie, że jedyną dopuszczalną wartością jest \(m=1\) **3 pkt** – zapisanie obu równań wynikających z warunków \(W(2)=0\) i \(W(-1)=6\) oraz rozwiązanie jednego z nich albo rozpoczęcie eliminacji **2 pkt** – zapisanie obu równań dla parametru **1 pkt** – poprawne zapisanie jednego z tych równań. Po wyznaczeniu \(m=1\) **2 pkt** – za pełny zbiór rozwiązań nierówności albo **1 pkt** – za wyznaczenie jej trzech miejsc zerowych **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R3.4 stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian \(x-a\). R3.7 rozwiązywanie nierówności wielomianowych.

**B.** \((x^{3}-3)(x^{3}+1)\)

Podstawiamy \(t=x^{3}\). Wyrażenie przyjmuje postać trójmianu kwadratowego \[t^{2}-2t-3=(t-3)(t+1),\] bo \(3\cdot(-1)=-3\) oraz \(3+(-1)=2\). Wracając do zmiennej \(x\), \[x^{6}-2x^{3}-3=\left(x^{3}-3\right)\left(x^{3}+1\right).\] **Odpowiedź.** B

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 5. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

a=\(\frac{1}{8=0,125}\), więc należy wpisać cyfry \(1\), \(2\), \(5\). Z twierdzenia o reszcie W(\(2\))=\(1\), czyli \(8\)−\(8\)+\(2a\)+\(\frac{3}{4=1}\), skąd \(2a\)=\(\frac{1}{4}\).

Z twierdzenia o reszcie reszta z dzielenia wielomianu \(W\) przez dwumian \(x-2\) jest równa \(W(2)\). Warunek zadania daje więc \[W(2)=2^{3}-2\cdot2^{2}+2a+\tfrac34=8-8+2a+\tfrac34=2a+\tfrac34=1.\] Stąd \[2a=\tfrac14,\qquad a=\tfrac18=0{,}125.\] Rozwinięcie dziesiętne wyniku to \(0{,}125\), więc pierwsze trzy cyfry po przecinku to \(1\), \(2\), \(5\). **Odpowiedź.** W kratki należy wpisać kolejno \(1\), \(2\), \(5\).

II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 3. Równania i nierówności. Zdający stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x−a (R3.4).

**A.** \(-9x^5+4x\)

**Krok \(1\).** Mamy iloczyn dwóch nawiasów, z których każdy jest dwumianem. Metoda jest jedna: mnożymy każdy wyraz pierwszego nawiasu przez każdy wyraz drugiego, a potem redukujemy wyrazy podobne. Trzeba uważać na znaki, bo oba wyrazy drugiego nawiasu są ujemne. **Krok \(2\).** Pierwszy iloczyn: \(3x^3\cdot\left(-3x^2\right)\). Mnożymy współczynniki: \(3\cdot(-3)=-9\), a przy potęgach o tej samej podstawie **dodajemy** wykładniki: \(x^3\cdot x^2=x^{3+2}=x^5\). Otrzymujemy \(-9x^5\). **Krok \(3\).** Drugi iloczyn: \(3x^3\cdot(-2)=-6x^3\). **Krok \(4\).** Trzeci iloczyn: \((-2x)\cdot\left(-3x^2\right)=6x^3\), bo minus razy minus daje plus. **Krok \(5\).** Czwarty iloczyn: \((-2x)\cdot(-2)=4x\). **Krok \(6\).** Dodajemy wszystkie cztery iloczyny i redukujemy wyrazy podobne: \[\left(3x^3-2x\right)\left(-3x^2-2\right)=-9x^5-6x^3+6x^3+4x=-9x^5+4x,\] ponieważ \(-6x^3+6x^3=0\). **Uwaga.** Odpowiedzi **B** i **D** zawierają \(x^6\) — taki wykładnik powstaje, gdy zamiast dodać wykładniki, ktoś je pomnoży (\(3\cdot2=6\)). Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki zawsze dodajemy. **Odpowiedź.** A: \(-9x^5+4x\)

**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** wielomiany - mnożenie wielomianów i redukcja wyrazów podobnych.

**D.** \(p=-4\)

Z twierdzenia o reszcie wielomian jest podzielny przez \(x-1\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(W(1)=0\). Zatem \[6+3-5+p=0,\qquad 4+p=0,\qquad p=-4.\]

**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** wielomiany - twierdzenie o reszcie i podzielność przez dwumian.

\[p=\frac76=1{,}1666\ldots\] Należy zakodować cyfry \(1,6,6\).

Z twierdzenia o reszcie wynika, że podzielność przez \(x-1\) jest równoważna warunkowi \(W(1)=0\). Mamy \[W(1)=1+2-5-6p+9=7-6p.\] Stąd \(7-6p=0\), więc \(p=\frac76=1{,}1666\ldots\). Kodujemy cyfry rozwinięcia otrzymanego wyniku, bez zaokrąglania: \(166\).

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawna wartość \(p=\frac76\) i kod \(166\) **1 pkt** – poprawne zapisanie warunku \(W(1)=0\) i równania \(7-6p=0\) **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** 3.4. R. Zdający stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian \(x-a\).

\[(a,b,c)=(-12,39,-28),\quad(-3,-6,8),\quad(6,3,-10).\]

Suma współczynników jest równa \(W(1)\), więc z warunku \(1+a+b+c=0\) wynika, że \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu. Ponieważ trzy pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(3\), możliwe są dokładnie trzy zestawy: \[(1,4,7),\qquad(-2,1,4),\qquad(-5,-2,1).\] Dla pierwszego: \[W(x)=(x-1)(x-4)(x-7)=x^3-12x^2+39x-28.\] Dla drugiego: \[W(x)=(x+2)(x-1)(x-4)=x^3-3x^2-6x+8.\] Dla trzeciego: \[W(x)=(x+5)(x+2)(x-1)=x^3+6x^2+3x-10.\] Otrzymujemy zatem trzy trójki współczynników podane w odpowiedzi.

**6 pkt** – trzy poprawne trójki współczynników **5 pkt** – poprawna metoda i dwie pełne trójki, z drobnym błędem w trzecim przypadku **4 pkt** – wskazanie trzech możliwych zestawów pierwiastków i poprawne rozwinięcie co najmniej jednego iloczynu **3 pkt** – wyznaczenie trzech możliwych zestawów pierwiastków **2 pkt** – zauważenie, że \(W(1)=0\), oraz zapisanie ogólnej postaci ciągu pierwiastków **1 pkt** – stwierdzenie, że \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 5. Ciągi - ciąg arytmetyczny (5.3) 3. Równania i nierówności - własność iloczynu i postać iloczynowa wielomianu (3.7).

C

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, w którą stronę pracować: w odpowiedziach stoją iloczyny dwóch nawiasów, a w treści suma czterech składników. Trzeba więc **rozłożyć wyrażenie na czynniki**, a przy czterech składnikach służy do tego grupowanie wyrazów parami. **Krok \(2\).** Grupujemy tak, aby w każdej parze dało się coś wyłączyć: \[ab+a-b-1=(ab+a)+(-b-1).\] **Krok \(3\).** Z pierwszej pary wyłączamy \(a\): \[ab+a=a(b+1).\] **Krok \(4\).** Z drugiej pary wyłączamy \(-1\), aby otrzymać ten sam nawias: \[-b-1=-(b+1).\] **Krok \(5\).** Wspólnym czynnikiem jest \((b+1)\): \[a(b+1)-(b+1)=(b+1)(a-1)=(a-1)(b+1).\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy, wymnażając z powrotem: \[(a-1)(b+1)=ab+a-b-1,\] czyli dokładnie wyjściowe wyrażenie. **Uwaga.** Gdyby pogrupować inaczej, wynik jest ten sam: \((ab-b)+(a-1)=b(a-1)+(a-1)=(a-1)(b+1)\). Warto szybko odrzucić błędne odpowiedzi, podstawiając np. \(a=0\), \(b=0\): wyjściowe wyrażenie daje \(-1\), a jedynie \((0-1)(0+1)=-1\) się zgadza. **Odpowiedź.** C: \((a-1)(b+1)\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 3. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

\[m=1,\qquad x\in\left\{-1,-\frac13,\frac12\right\}.\]

Z twierdzenia o reszcie \(W(m)=8\). Otrzymujemy \[6m^3+(m+4)m^2-2m-1=8,\] czyli \[7m^3+4m^2-2m-9=0.\] Ponieważ \(m=1\) jest pierwiastkiem, rozkładamy wielomian: \[7m^3+4m^2-2m-9=(m-1)(7m^2+11m+9).\] Wyróżnik trójmianu \(7m^2+11m+9\) jest równy \(-131\), więc nie ma on pierwiastków rzeczywistych. Zatem \(m=1\). Wtedy \[W(x)=6x^3+5x^2-2x-1.\] Liczba \(-1\) jest pierwiastkiem, a dalszy rozkład daje \[W(x)=(x+1)(6x^2-x-1)=(x+1)(2x-1)(3x+1).\] Pierwiastkami są więc \(-1\), \(-\frac13\) i \(\frac12\).

**5 pkt** – poprawne wyznaczenie \(m=1\) i wszystkich trzech pierwiastków wielomianu **4 pkt** – poprawne wyznaczenie \(m=1\), wskazanie jednego pierwiastka \(W\) i podzielenie przez odpowiadający mu dwumian **3 pkt** – poprawne rozwiązanie równania dla parametru: \(m=1\) **2 pkt** – uporządkowanie równania \(7m^3+4m^2-2m-9=0\) i wykazanie, że \(m=1\) jest jego pierwiastkiem **1 pkt** – poprawne zastosowanie twierdzenia o reszcie i zapisanie równania \(W(m)=8\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię wynikającą z treści zadania. **Wymagania szczegółowe:** Zdający stosuje twierdzenie o reszcie i twierdzenie Bézouta oraz rozkłada wielomian na czynniki w celu wyznaczenia pierwiastków.

C

Stopień iloczynu wielomianów jest sumą ich stopni. Wielomian \(W\) ma stopień \(2\), wielomian \(P\) stopień \(3\), a \(Q(x)=(1-x)(x+1)=1-x^{2}\) stopień \(2\). Zatem stopień iloczynu wynosi \[2+3+2=7.\] **Odpowiedź.** C

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 9. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

**A.** \(b=-3\)

Z twierdzenia Bézouta wielomian \(W\) jest podzielny przez dwumian \(x-a\) dokładnie wtedy, gdy \(W(a)=0\). Dla dwumianu \(x+1\) mamy \(a=-1\), więc warunkiem jest \(W(-1)=0\): \[W(-1)=2\cdot(-1)^3-b\cdot(-1)^2-1=-2-b-1=-3-b.\] Z równania \(-3-b=0\) otrzymujemy \(b=-3\). **Odpowiedź.** A. \(b=-3\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** R3.4) Zdający stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian \(x-a\).

\[m=6,\qquad x\in\left\{-2,\tfrac14,3\right\}.\]

Z twierdzenia o reszcie reszta z dzielenia \(W\) przez \(x+1\) jest równa \(W(-1)\): \[W(-1)=4(-1)^{3}-5(-1)^{2}-23(-1)+m=-4-5+23+m=14+m.\] Z warunku \(14+m=20\) otrzymujemy \(m=6\). Zatem \(W(x)=4x^{3}-5x^{2}-23x+6\). Zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych szukamy ich wśród ułamków \(\tfrac pq\), gdzie \(p\) dzieli \(6\), a \(q\) dzieli \(4\). Sprawdzamy \(x=3\): \[W(3)=108-45-69+6=0,\] więc \(x-3\) jest dzielnikiem wielomianu. Po podzieleniu \[W(x)=(x-3)\left(4x^{2}+7x-2\right).\] Trójmian \(4x^{2}+7x-2\) ma wyróżnik \(\Delta=49+32=81\), więc jego pierwiastki to \[x=\frac{-7\pm9}{8},\qquad x=\tfrac14\ \lor\ x=-2.\] **Odpowiedź.** \(m=6\); pierwiastkami wielomianu są \(-2\), \(\tfrac14\) oraz \(3\).

**1 pkt** – zdający zapisze równanie z niewiadomą \(m\), np. […]. **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zdający obliczy wartość współczynnika \(m\): \(m=6\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zdający poda jeden z pierwiastków wielomianu, np. \(3\), podzieli wielomian przez dwumian \((x-3)\) i otrzyma iloraz \(4x^{2}+7x-2\), lub poda pierwiastek \(-2\), podzieli wielomian przez dwumian \((x+2)\) i otrzyma iloraz \(4x^{2}-13x+3\); albo zapisze wielomian \(W\) w postaci iloczynowej, np.: \(W(x)=4(x+[…])\). **Rozwiązanie pełne** – zdający wyznaczy wszystkie pierwiastki wielomianu \(W\): \(-2\), \(\tfrac{1}{4}\), \(3\).

II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zastosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x−a i twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu. (II.2.b.c.R)

**C.** \((a-1)(b+1)\)

**Krok \(1\).** Wszystkie odpowiedzi są iloczynami dwóch nawiasów, więc wyrażenie \(a-b+ab-1\) trzeba rozłożyć na czynniki. Metoda, która tu działa, to grupowanie wyrazów: łączymy je w pary tak, aby w każdej parze dało się wyłączyć wspólny czynnik. **Krok \(2\).** Przestawiamy wyrazy tak, by w parach pojawiły się wspólne czynniki: \[a-b+ab-1=(a-1)+(ab-b).\] **Krok \(3\).** Z drugiej pary wyłączamy \(b\) przed nawias: \[ab-b=b(a-1).\] **Krok \(4\).** Teraz obie części mają ten sam nawias \((a-1)\), więc wyłączamy go: \[(a-1)+b(a-1)=(a-1)(1+b)=(a-1)(b+1).\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy na konkretnych liczbach, na przykład \(a=2\) i \(b=3\). Wyrażenie wyjściowe daje \(2-3+2\cdot3-1=4\), a otrzymany iloczyn \((2-1)(3+1)=4\). Wyniki są zgodne. **Uwaga.** Tym samym podstawieniem odrzucamy pozostałe warianty: A daje \(3\cdot2=6\), B daje \((-2)\cdot3=-6\), D daje \(5\cdot3=15\), a żadna z tych liczb nie jest równa \(4\). **Odpowiedź.** C, czyli \((a-1)(b+1)\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 8. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

\[(a,b)=(-8,22)\qquad\text{albo}\qquad(a,b)=(8,10).\]

Rozwijamy kwadrat trójmianu: \[\left(x^{2}+cx+d\right)^{2}=x^{4}+2cx^{3}+\left(c^{2}+2d\right)x^{2}+2cd\,x+d^{2}.\] Porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach z wielomianem \(W\): \[2c=a,\qquad c^{2}+2d=b,\qquad 2cd=-24,\qquad d^{2}=9.\] Z ostatniego równania \(d=3\) lub \(d=-3\). Dla \(d=3\): z \(2c\cdot3=-24\) mamy \(c=-4\), więc \(a=2c=-8\) oraz \(b=c^{2}+2d=16+6=22\). Dla \(d=-3\): z \(2c\cdot(-3)=-24\) mamy \(c=4\), więc \(a=8\) oraz \(b=16-6=10\). Oba przypadki spełniają wszystkie równania, więc oba są rozwiązaniami. **Odpowiedź.** \((a,b)=(-8,22)\) albo \((a,b)=(8,10)\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. Wykorzystanie twierdzenia o równości wielomianów (IV.2.a.R).

**B.** \((x^3-1)(x^3+2)\)

Podstawiamy \(t=x^{3}\); wyrażenie przyjmuje postać trójmianu kwadratowego \[t^{2}+t-2=(t-1)(t+2),\] bo \(1\cdot(-2)=-2\) oraz \(-1+2=1\). Wracając do zmiennej \(x\), \[x^{6}+x^{3}-2=\left(x^{3}-1\right)\left(x^{3}+2\right).\] **Odpowiedź.** B

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** Zdający rozkłada wielomian na czynniki, stosując podstawienie i grupowanie wyrazów.

\[a=-1,\qquad b=1.\]

Wykonujemy mnożenie \(W(x)\cdot Q(x)\): \[(ax+b)\left(2x^{2}-x-1\right)=2ax^{3}+(2b-a)x^{2}+(-a-b)x-b.\] Wielomiany są równe, gdy mają równe współczynniki przy tych samych potęgach. Porównujemy z \(P(x)=-2x^{3}+3x^{2}+0\cdot x-1\): \[2a=-2,\qquad 2b-a=3,\qquad -a-b=0,\qquad -b=-1.\] Z pierwszego równania \(a=-1\), z ostatniego \(b=1\). Sprawdzamy pozostałe dwa: \[2\cdot1-(-1)=3\ \checkmark,\qquad -(-1)-1=0\ \checkmark.\] **Odpowiedź.** \(a=-1\), \(b=1\).

1 pkt: porównanie wybranych współczynników iloczynu. 2 pkt: a=−1 i b=1.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Wyrażenia algebraiczne – porównuje współczynniki wielomianów i ich iloczynu.

B. \(5a\)(a − \(2b\) + \(3\))

Wszystkie trzy składniki mają wspólny czynnik \(5a\), który wyłączamy przed nawias: \[5a^{2}-10ab+15a=5a\cdot a-5a\cdot2b+5a\cdot3=5a\left(a-2b+3\right).\] **Odpowiedź.** B. \(5a(a-2b+3)\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Rozłożenie wielomianu na czynniki przez wyłączenie wspólnego czynnika poza nawias.

**B.** \(1\)

Odejmujemy wielomiany wyraz po wyrazie: \[W(x)-V(x)=\left(x^{3}+3x^{2}+x-11\right)-\left(x^{3}+3x^{2}+1\right)=x-12.\] Wyrazy stopnia trzeciego i drugiego się redukują, zostaje wielomian stopnia pierwszego. **Odpowiedź.** B

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Wyrażenia algebraiczne – wykonuje działania na wielomianach i określa ich stopień.

**D.** \(-4\)

Liczba \(2\) jest pierwiastkiem wielomianu, więc \(W(2)=0\): \[2^{3}+a\cdot2^{2}+6\cdot2-4=8+4a+12-4=4a+16=0.\] Stąd \(a=-4\). **Odpowiedź.** D

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Wyrażenia algebraiczne – wyznacza parametr wielomianu z jego pierwiastka.

**B.** \(5\)

Stopień iloczynu wielomianów jest sumą ich stopni. Wielomian \(W(x)=3x^{3}-2x\) ma stopień \(3\), a \(V(x)=2x^{2}+3x\) stopień \(2\). Współczynniki przy najwyższych potęgach są różne od zera, więc ich iloczyn \(3\cdot2=6\) też, i wyraz \(6x^{5}\) nie znika. Zatem stopień iloczynu wynosi \(3+2=5\). **Odpowiedź.** B

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: B.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

\[a=1,\qquad b=1.\]

Rozkładamy wielomian \(V\) na czynniki: wyłączamy \(x\) przed nawias i stosujemy wzór na kwadrat sumy: \[V(x)=x^{3}+2x^{2}+x=x\left(x^{2}+2x+1\right)=x(x+1)^{2}.\] Wielomiany \(W\) i \(V\) są równe, gdy mają identyczną postać: \[ax(x+b)^{2}=x(x+1)^{2}.\] Porównanie współczynnika przy najwyższej potędze daje \(a=1\), a porównanie miejsc zerowych (podwójny pierwiastek \(-b\) musi być równy \(-1\)) daje \(b=1\). Sprawdzenie: \(1\cdot x(x+1)^{2}=x^{3}+2x^{2}+x=V(x)\). **Odpowiedź.** \(a=1\), \(b=1\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(a=1\), \(b=1\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

a=−\(5\) i b=\(9\). Z W(\(2\))=\(7\) oraz twierdzenia o reszcie, czyli W(\(3\))=\(10\), otrzymujemy układ \(8\)+\(4a\)+\(2b\)+\(1=7\) i \(27\)+\(9a\)+\(3b\)+\(1=10\).

Z twierdzenia o reszcie reszta z dzielenia \(W\) przez \(x-3\) jest równa \(W(3)\), więc dane prowadzą do układu równań \[\begin{cases}W(2)=8+4a+2b+1=7,\\ W(3)=27+9a+3b+1=10.\end{cases}\] Po uporządkowaniu \[\begin{cases}4a+2b=-2,\\ 9a+3b=-18,\end{cases}\qquad\text{czyli}\qquad \begin{cases}2a+b=-1,\\ 3a+b=-6.\end{cases}\] Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego: \[a=-5,\qquad b=-1-2a=-1+10=9.\] Sprawdzenie: \(W(x)=x^{3}-5x^{2}+9x+1\), więc \(W(2)=8-20+18+1=7\) oraz \(W(3)=27-45+27+1=10\). **Odpowiedź.** \(a=-5\), \(b=9\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. Stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianów przez dwumian.

**A.** \(5x^{2}+12x-3\)

Dodajemy wielomiany wyraz po wyrazie: \[W(x)+P(x)=\left(-2x^{3}+5x^{2}-3\right)+\left(2x^{3}+12x\right)=5x^{2}+12x-3.\] Wyrazy stopnia trzeciego się redukują. **Odpowiedź.** A. \(5x^{2}+12x-3\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wykonanie dodawania wielomianów.

**B.** \(2x^{6}-6x^{4}+2x^{3}\)

Mnożymy każdy wyraz wielomianu \(W\) przez \(2x^{3}\): \[\left(x^{3}-3x+1\right)\cdot2x^{3}=2x^{6}-6x^{4}+2x^{3}.\] Zauważmy, że stopień iloczynu musi być równy \(3+3=6\), co od razu wyklucza warianty A, C i D. **Odpowiedź.** B

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: B.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(W(x)=8x^{3}-4x^{2}-18x+9=(2x-1)(2x-3)(2x+3)\), więc pierwiastkami są \(x=-\dfrac32\), \(x=\dfrac12\), \(x=\dfrac32\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, co jest dane: iloraz i reszta z dzielenia. Korzystamy z twierdzenia o dzieleniu z resztą — jeśli wielomian \(W(x)\) dzielimy przez \(P(x)\) i otrzymujemy iloraz \(Q(x)\) oraz resztę \(R(x)\), to \[W(x)=P(x)\cdot Q(x)+R(x).\] Znamy wszystkie trzy elementy prawej strony, więc możemy ODTWORZYĆ wielomian \(W(x)\), a dopiero potem szukać jego pierwiastków. **Krok \(2\).** Zapisujemy wzór dla naszych danych: \[W(x)=(x-1)\left(8x^2+4x-14\right)-5.\] **Krok \(3\).** Wymnażamy i porządkujemy: \[x\cdot(8x^2+4x-14)=8x^3+4x^2-14x,\] \[-1\cdot(8x^2+4x-14)=-8x^2-4x+14,\] \[W(x)=8x^3+4x^2-14x-8x^2-4x+14-5=8x^3-4x^2-18x+9.\] **Krok \(4\).** Szukamy pierwiastków. Wielomian ma cztery wyrazy, więc próbujemy grupowania — pierwsze dwa i ostatnie dwa: \[W(x)=4x^2(2x-1)-9(2x-1)=(2x-1)(4x^2-9).\] **Krok \(5\).** Drugi czynnik to różnica kwadratów: \(4x^2-9=(2x)^2-3^2=(2x-3)(2x+3)\). Zatem \[W(x)=(2x-1)(2x-3)(2x+3).\] **Krok \(6\).** Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem: \[2x-1=0\ \Rightarrow\ x=\tfrac12,\qquad 2x-3=0\ \Rightarrow\ x=\tfrac32,\qquad 2x+3=0\ \Rightarrow\ x=-\tfrac32.\] **Uwaga.** Warto zwrócić uwagę, że reszta \(R(x)=-5\) jest liczbą stałą — tak być musi, bo dzielimy przez dwumian stopnia pierwszego, a reszta zawsze ma stopień mniejszy od dzielnika. Częsty błąd rachunkowy to zapomnienie o odjęciu \(5\) po wymnożeniu nawiasów albo mnożenie \(Q(x)\) przez \((x+1)\) zamiast przez \((x-1)\). **Odpowiedź.** \(W(x)=8x^{3}-4x^{2}-18x+9=(2x-1)(2x-3)(2x+3)\), więc pierwiastkami są \(x=-\dfrac32\), \(x=\dfrac12\), \(x=\dfrac32\).

**1 pkt** – jeśli zapisze wielomian \(W(x)\) w postaci wynikającej z warunków zadania. Poprawna odpowiedź: \(W(x)=(x-1)(8x^{2}+4x-14)-5\) **1 pkt** – jeśli uporządkuje wielomian \(W(x)\). Poprawna odpowiedź: \(W(x)=8x^{3}-4x^{2}-18x+9\). **2 pkt** – jeśli obliczy pierwiastki wielomianu \(W(x)\). Poprawna odpowiedź: \(x_{1}=-1{,}5\), \(x_{2}=0{,}5\), \(x_{3}=1{,}5\). **1 pkt** – jeśli zapisze wielomian \(W(x)\) w postaci iloczynu czynnika stopnia pierwszego i czynnika stopnia drugiego, np. \(W(x)=(2x-1)(4x^{2}-9)\), i na tym zakończy rozwiązanie lub popełni błędy w wyznaczaniu pierwiastków wielomianu.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a=-3\), \(b=-1\), \(c=0\). b) \(W(x)=x(x+4)(x-1)\).

**a)** Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współczynniki przy odpowiadających sobie potęgach zmiennej. Porównujemy współczynniki wielomianów \[W(x)=x^3+ax^2-4x+b,\qquad P(x)=x^3+(2a+3)x^2+(a+b+c)x-1.\] Przy \(x^2\): \(a=2a+3\), więc \(a=-3\). Przy wyrazie wolnym: \(b=-1\). Przy \(x\): \(-4=a+b+c=-3-1+c\), zatem \(c=0\). **b)** Dla \(a=3\) i \(b=0\) mamy \(W(x)=x^3+3x^2-4x\). Wyłączamy \(x\) przed nawias i rozkładamy trójmian: \[W(x)=x\left(x^2+3x-4\right)=x(x+4)(x-1).\] Sprawdzenie: \(x(x+4)(x-1)=x(x^2+3x-4)=x^3+3x^2-4x\). **Odpowiedź.** a) \(a=-3\), \(b=-1\), \(c=0\). b) \(W(x)=x(x+4)(x-1)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Model odpowiedzi CKE dla arkusza podstawowego maj 2009 nie jest dostępny w tym wydaniu bazy, dlatego progów punktowych nie podajemy.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

**a)** \(c=9\), \(d=-14\). **b)** \(W(x)\le0\) dla \(x\in(-\infty,3\rangle\).

**a)** Z twierdzenia o reszcie podzielność przez \(x+2\) oznacza \(W(-2)=0\), a reszta \(3\) z dzielenia przez \(x-1\) oznacza \(W(1)=3\): \[W(-2)=-8+4c-14+d=0,\qquad W(1)=1+c+7+d=3.\] Otrzymujemy układ \[\begin{cases}4c+d=22,\\ c+d=-5.\end{cases}\] Odejmując stronami, \(3c=27\), czyli \(c=9\) oraz \(d=-14\). Sprawdzenie: \(W(x)=x^{3}+9x^{2}+7x-14\), więc \(W(-2)=-8+36-14-14=0\) i \(W(1)=1+9+7-14=3\). **b)** Dla \(c=-5\) i \(d=-3\) mamy \(W(x)=x^{3}-5x^{2}+7x-3\). Zauważamy, że \(W(1)=1-5+7-3=0\), więc \(x-1\) jest dzielnikiem: \[W(x)=(x-1)\left(x^{2}-4x+3\right)=(x-1)(x-1)(x-3)=(x-1)^{2}(x-3).\] Czynnik \((x-1)^{2}\) jest nieujemny i zeruje się tylko dla \(x=1\), więc znak iloczynu wyznacza czynnik \(x-3\): \[W(x)\le0\iff x-3\le0\ \text{lub}\ x=1\iff x\le3.\] **Odpowiedź.** a) \(c=9\), \(d=-14\); b) \(x\in(-\infty,3\rangle\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: D.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Z wykresu \(f(x)=(x+6)(x+5)(x+3)=x^3+14x^2+63x+90\), skąd \(-f(-x)=x^3-14x^2+63x-90=g(x)\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

Z rysunku odczytujemy, że wykres wielomianu \(f\) przecina oś \(Ox\) w punktach o odciętych \(-6\), \(-5\) i \(-3\), przy każdym z nich zmieniając znak. Wielomian stopnia trzeciego o takich miejscach zerowych ma postać iloczynową \[f(x)=a(x+6)(x+5)(x+3).\] Współczynnik \(a\) wyznaczamy z podanego warunku \(f(0)=90\): \[a\cdot(0+6)(0+5)(0+3)=90,\qquad 90a=90,\qquad a=1.\] Zatem \[f(x)=(x+6)(x+5)(x+3)=x^3+14x^2+63x+90.\] Obliczamy teraz \(f(-x)\), a następnie \(-f(-x)\): \[f(-x)=(-x)^3+14(-x)^2+63(-x)+90=-x^3+14x^2-63x+90,\] \[-f(-x)=-\left(-x^3+14x^2-63x+90\right)=x^3-14x^2+63x-90.\] Otrzymane wyrażenie jest dokładnie wzorem wielomianu \(g\). Przekształcenia były wykonane dla dowolnej liczby rzeczywistej \(x\), zatem \[g(x)=-f(-x)\quad\text{dla każdego }x\in\mathbb{R},\] co należało wykazać. **Odpowiedź.** Równość \(g(x)=-f(-x)\) zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Z rysunku odczytuję miejsca zerowe funkcji \(f\) i zapisuję jej wzór w postaci iloczynowej \(f(x)=a(x+6)(x+5)(x+3)\). Funkcja spełnia warunek \(f(0)=90\), czyli \(a(0+6)(0+5)(0+3)=90\). Obliczam współczynnik \(a\): \(a=1\) i zapisuję wzór funkcji \(f\): \(f(x)=(x+6)(x+5)(x+3)\). Wzór funkcji \(f\) zapisuję w postaci: \(f(x)=x^{3}+14x^{2}+63x+90\). \[-f(-x)=-\left[(-x)^{3}+14(-x)^{2}+63(-x)+90\right]=\] \[=-\left[-x^{3}+14x^{2}-63x+90\right]=\] \[=x^{3}-14x^{2}+63x-90=g(x)\] Zatem \(-f(-x)=g(x)\) dla \(x\in R\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Punkt \(A=(1,30)\) nie należy do wykresu, bo \(W(1)=32\ne30\). b) \(W(x)=(x+3)(x-3)(x-5)\)

**a)** Punkt należy do wykresu wielomianu wtedy, gdy jego współrzędne spełniają wzór. Obliczamy wartość wielomianu dla \(x=1\): \[W(1)=1^3-5\cdot1^2-9\cdot1+45=1-5-9+45=32.\] Ponieważ \(32\ne30\), punkt \(A=(1,30)\) nie należy do wykresu wielomianu \(W\). **b)** Wielomian rozkładamy na czynniki metodą grupowania wyrazów: \[W(x)=x^3-5x^2-9x+45=x^2(x-5)-9(x-5)=(x-5)(x^2-9).\] Drugi czynnik jest różnicą kwadratów: \[x^2-9=(x-3)(x+3).\] Otrzymujemy zatem iloczyn trzech wielomianów stopnia pierwszego: \[W(x)=(x+3)(x-3)(x-5).\] **Odpowiedź.** a) Punkt \(A\) nie należy do wykresu wielomianu \(W\). b) \(W(x)=(x+3)(x-3)(x-5)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* a) Obliczam \(W(1)\): \[W(1)=1^{3}-5\cdot 1^{2}-9\cdot 1+45=32\] \[W(1)\neq 30\] Otrzymany wynik oznacza, że punkt \(A\) nie należy do wykresu wielomianu \(W\). b) Rozkładam wielomian na czynniki: \[W(x)=x^{3}-5x^{2}-9x+45=\] \[=x^{3}-9x-5x^{2}+45=\] \[=x\left(x^{2}-9\right)-5\left(x^{2}-9\right)=\] \[=\left(x^{2}-9\right)(x-5)=\] \[=(x+3)(x-3)(x-5).\] Odpowiedź: \(W(x)=(x+3)(x-3)(x-5)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(x=-3\), \(x=-2\), \(x=3\). b) Tak, wielomiany są równe, bo \(P(x)=(x+2)(x^2-9)=W(x)\). c) Teza wynika z rozkładu \(W(x)=(x+2)(x+3)(x-3)\): dla \(x>\sqrt{10}>3\) każdy z czynników jest dodatni, więc \(W(x)>0\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Wielomian \(W(x)=x^3+2x^2-9x-18\) ma cztery wyrazy, a współczynniki podpowiadają grupowanie: z pierwszych dwóch da się wyłączyć \(x^2\), z ostatnich dwóch liczbę \(9\), i w obu przypadkach zostanie ten sam nawias. To najszybsza droga do pierwiastków. **Krok \(2\).** Grupujemy i wyłączamy wspólne czynniki: \[W(x)=x^2(x+2)-9(x+2)=(x+2)\left(x^2-9\right).\] **Krok \(3\).** Nawias \(x^2-9\) to różnica kwadratów, więc \[W(x)=(x+2)(x-3)(x+3).\] Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się któryś z czynników, więc pierwiastkami są \[x=-2,\qquad x=3,\qquad x=-3.\] **Krok \(4\).** Przechodzimy do części b). Nie warto rozwijać całego \(P(x)\). W obu składnikach występuje ten sam czynnik \(x+2\), więc wyłączamy go przed nawias: \[P(x)=(x+2)\left[\left(x^2-2x+4\right)+(2x-13)\right].\] **Krok \(5\).** Redukujemy wyrazy w nawiasie kwadratowym: \(-2x\) i \(+2x\) się znoszą, a \(4-13=-9\): \[P(x)=(x+2)\left(x^2-9\right).\] **Krok \(6\).** Porównujemy z krokiem \(2\): otrzymaliśmy dokładnie ten sam iloczyn, więc \(P(x)=W(x)\) dla każdego \(x\). Wielomiany są równe. **Krok \(7\).** Przechodzimy do części c). Korzystamy z rozkładu \(W(x)=(x+2)(x+3)(x-3)\). Najpierw oszacujmy \(\sqrt{10}\): ponieważ \(10\gt 9\), mamy \(\sqrt{10}\gt\sqrt9=3\). **Krok \(8\).** Niech \(x\gt\sqrt{10}\). Wtedy tym bardziej \(x\gt 3\), a stąd \[x-3\gt 0,\qquad x+3\gt 6\gt 0,\qquad x+2\gt 5\gt 0.\] **Krok \(9\).** Iloczyn trzech liczb dodatnich jest dodatni, więc \[x^3+2x^2-9x-18=(x+2)(x+3)(x-3)\gt 0,\] co należało uzasadnić. **Uwaga.** W części c) wystarczy oszacowanie \(\sqrt{10}\gt 3\) i nie ma potrzeby sięgać po przybliżenie dziesiętne \(\sqrt{10}\approx 3{,}16\). Cała trudność polega na tym, żeby najpierw rozłożyć wielomian na czynniki, a dopiero potem badać znak; bez rozkładu znak sumy czterech wyrazów jest nieczytelny. **Odpowiedź.** a) Pierwiastkami są \(x=-3\), \(x=-2\), \(x=3\). b) Tak, wielomiany są równe, bo \(P(x)=(x+2)\left(x^2-9\right)=W(x)\). c) Dla \(x\gt\sqrt{10}\gt 3\) wszystkie trzy czynniki rozkładu \(W(x)=(x+2)(x+3)(x-3)\) są dodatnie, więc \(W(x)\gt 0\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **2.1. (1 pkt)** – […] występuje ten sam czynnik, np: \(W(x)=x^{2}(x+2)-9(x+2)\). **2.2. (1 pkt)** – zapisanie wielomianu w postaci \(W(x)=(x-3)(x+3)(x+2)\) i podanie wszystkich jego pierwiastków: \(x=-3\), \(x=-2\), \(x=3\). **2.3. (1 pkt)** – zapisanie wielomianu \(P(x)\) w postaci rozwiniętej: \(P(x)=x^{3}+2x^{2}-9x-18\). **2.4. (1 pkt)** – wyciągnięcie wniosku dotyczącego równości wielomianów: Wielomiany \(W(x)\) i \(P(x)\) są równe. Punkt przyznajemy za wniosek konsekwentny do uzyskanej postaci wielomianu \(P(x)\). **2.5. (1 pkt)** – podanie metody pozwalającej ustalić znak wielomianu \(W(x)\) dla \(x>10\), np. poprzez analizę znaków czynników występujących w rozkładzie wielomianu. Akceptujemy uzasadnienie poprzez rozwiązanie nierówności. **2.6. (1 pkt)** – wykazanie nierówności, np. \(x^{3}+2x^{2}-9x-18>0\), \(x\in(-3,-2)\cup(3,\infty)\) i zapisanie, że \(10>3\). **II sposób rozwiązania (czynność 2.1, 2.2):** **2.1. (1 pkt)** – znalezienie jednego z pierwiastków i wykonanie dzielenia, np. \(\left(x^{3}+2x^{2}-9x-18\right):(x-3)=x^{2}+5x+6\). **2.2. (1 pkt)** – wyznaczenie pozostałych pierwiastków: \(x=-3\), \(x=-2\). Wyznaczanie pierwiastków wielomianu może się odbywać dowolną, znaną zdającemu metodą, np. zastosowanie twierdzenia Bezouta, schematu Hornera.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(d=4\); b) dla \(d=2\): \(Q(x)=(x+1)(2x-1)(x-2)\).

**Krok \(1\).** ⋅\(13\) − \(3⋅12\) − \(3⋅1\)+ d = \(0\) . zapisze Q (\(1\)) = \(0\) . **Krok \(2\).** Obliczenie wartości współczynnika d, gdy liczba \(1\) jest pierwiastkiem **Krok \(3\).** wielomianu: d = \(4\) . **Krok \(4\).** Zapisanie wielomianu Q dla d = \(2\) w postaci sumy iloczynów, z których **Krok \(5\).** będzie wynikał wspólny czynnik: Q ( x) = \(2\) ( \(x^{3}\) +\(1\) ) − \(3x\) ( x +\(1\)) . \(1\) **Krok \(6\).** Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów i zapisanie **Krok \(7\).** wielomianu Q w postaci: Q ( x) = \(2\) ( x +\(1\)) ( \(x^{2}\) − x +\(1\) ) − \(3x\) ( x +\(1\)) . \(1\) **Krok \(8\).** Zapisanie wielomianu Q w postaci iloczynu dwóch wielomianów: **Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **5.1. (1 pkt)** – […]: \(2\cdot 1^{3}-3\cdot 1^{2}-3\cdot 1+d=0\). […] zapisze \(Q(1)=0\). **5.2. (1 pkt)** – obliczenie wartości współczynnika \(d\), gdy liczba \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu: \(d=4\). **5.3. (1 pkt)** – zapisanie wielomianu \(Q\) dla \(d=2\) w postaci sumy iloczynów, z których będzie wynikał wspólny czynnik: \(Q(x)=2\left(x^{3}+1\right)-3x(x+1)\). **5.4. (1 pkt)** – zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów i zapisanie wielomianu \(Q\) w postaci: \(Q(x)=2(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)-3x(x+1)\). **5.5. (1 pkt)** – zapisanie wielomianu \(Q\) w postaci iloczynu dwóch wielomianów: \(Q(x)=(x+1)\left(2x^{2}-5x+2\right)\). **5.6. (1 pkt)** – zapisanie wielomianu \(Q\) w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego: \(Q(x)=(x+1)(2x-1)(x-2)\) lub \(Q(x)=2(x+1)\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-2)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Teza wynika z zapisu \(W(x)=x^2(x-1)^2+(x-3)^2\), czyli sumy dwóch składników nieujemnych, które nie zerują się jednocześnie, więc \(W(x)>0\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ dowodu: mamy wykazać, że wielomian NIE MA pierwiastków rzeczywistych, czyli że \(W(x)\neq0\) dla każdego \(x\). Wielomian jest stopnia czwartego, więc nie ma tu wzorów na pierwiastki. Standardowa metoda w takiej sytuacji to zapisanie \(W(x)\) jako SUMY WYRAŻEŃ NIEUJEMNYCH (najczęściej kwadratów) i pokazanie, że nie mogą one zerować się jednocześnie — wtedy suma jest zawsze dodatnia. **Krok \(2\).** Szukamy pełnego kwadratu w początkowych wyrazach. Zauważamy, że \[x^4-2x^3+x^2=x^2\left(x^2-2x+1\right)=x^2(x-1)^2=\left(x^2-x\right)^2.\] Aby taki fragment wydzielić, rozbijamy \(2x^2\) na \(x^2+x^2\). **Krok \(3\).** Zapisujemy: \[W(x)=\underbrace{\left(x^4-2x^3+x^2\right)}_{=\,x^2(x-1)^2}+\underbrace{\left(x^2-6x+9\right)}_{=\,(x-3)^2}.\] **Krok \(4\).** Otrzymujemy więc rozkład \[W(x)=x^2(x-1)^2+(x-3)^2.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy poprawność przez rozwinięcie: \(x^2(x-1)^2=x^4-2x^3+x^2\) oraz \((x-3)^2=x^2-6x+9\); po dodaniu \[x^4-2x^3+x^2+x^2-6x+9=x^4-2x^3+2x^2-6x+9,\] czyli dokładnie \(W(x)\). **Krok \(6\).** Oba składniki są nieujemne: \(x^2(x-1)^2=\left[x(x-1)\right]^2\geqslant0\) oraz \((x-3)^2\geqslant0\) jako kwadraty liczb rzeczywistych. Sprawdzamy, kiedy się zerują: \[x^2(x-1)^2=0\iff x=0\ \text{lub}\ x=1,\qquad (x-3)^2=0\iff x=3.\] Nie ma liczby, która należałaby jednocześnie do obu tych zbiorów. **Krok \(7\).** Wniosek: dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) co najmniej jeden ze składników jest dodatni, a drugi nieujemny, więc ich suma jest dodatnia: \[W(x)=x^2(x-1)^2+(x-3)^2\gt0\quad\text{dla każdego }x\in\mathbb{R}.\] W szczególności \(W(x)\neq0\), czyli wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych. To kończy dowód. **Uwaga.** Nie wystarczy stwierdzić, że suma kwadratów jest NIEUJEMNA — to dopuszczałoby \(W(x)=0\), a właśnie tego mamy dowieść, że nie zachodzi. Konieczny jest krok \(6\): pokazanie, że oba składniki nie zerują się dla tego samego \(x\). Rozbicie \(2x^2=x^2+x^2\) jest tu kluczowym pomysłem — trzeba „pożyczyć” jeden \(x^2\) do pierwszej grupy, a drugi zostawić do zbudowania \((x-3)^2\). **Odpowiedź.** Teza wynika z zapisu \(W(x)=x^2(x-1)^2+(x-3)^2\), czyli sumy dwóch składników nieujemnych, które nie zerują się jednocześnie, więc \(W(x)\gt0\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) (dowód w rozwiązaniu).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (1 pkt)** – zapisanie wielomianu w postaci: \(W(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}+x^{2}-6x+9\). **6.2. (1 pkt)** – zapisanie wielomianu w postaci sumy dwóch składników nieujemnych: np. \(W(x)=x^{2}(x-1)^{2}+(x-3)^{2}\) lub \(W(x)=\left(x^{2}-x\right)^{2}+(x-3)^{2}\). **6.3. (1 pkt)** – uzasadnienie, że oba składniki są nieujemne i nie mogą być jednocześnie równe \(0\), więc wielomian \(W(x)\) nie ma pierwiastków rzeczywistych. **II metoda rozwiązania:** **6.1. (1 pkt)** – obliczenie pochodnej wielomianu \(W(x)\) i jej miejsca zerowego: \(W'(x)=2(2x-3)\left(x^{2}+1\right)\), \(x=\frac{3}{2}\). **6.2. (1 pkt)** – uzasadnienie, że w punkcie \(x=\frac{3}{2}\) wielomian \(W(x)\) osiąga lokalne minimum. **6.3. (1 pkt)** – obliczenie wartości wielomianu \(W(x)\) dla \(x=\frac{3}{2}\) albo jej oszacowanie z dołu przez liczbę dodatnią i uzasadnienie, że wielomian \(W(x)\) nie ma pierwiastków rzeczywistych: \(W\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{45}{16}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(x=-\sqrt7\), \(x=0\), \(x=\sqrt7\). b) \(a=0\), \(b=12\), czyli \(W(x)=2x^3-14x+12\).

**Krok \(1\).** Zadanie składa się z dwóch niezależnych części. W a) mamy równanie trzeciego stopnia bez wyrazu wolnego — wtedy zawsze wyłączamy \(x\) przed nawias i korzystamy z tego, że iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem. W b) korzystamy z twierdzenia o podzielności wielomianu przez dwumian: \(W(x)\) dzieli się przez \(x-r\) dokładnie wtedy, gdy \(W(r)=0\). **Krok \(2\).** Część a). Wyłączamy wspólny czynnik: \[2x^3-14x=2x\left(x^2-7\right)=0.\] **Krok \(3\).** Czynnik \(x^2-7\) rozkładamy według wzoru na różnicę kwadratów, bo \(7=\left(\sqrt7\right)^2\): \[2x\left(x-\sqrt7\right)\left(x+\sqrt7\right)=0.\] **Krok \(4\).** Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników, więc \(x=0\) lub \(x=\sqrt7\), lub \(x=-\sqrt7\). **Krok \(5\).** Część b). Podzielność przez \(x-2\) daje warunek \(W(2)=0\), a podzielność przez \(x+3=x-(-3)\) daje warunek \(W(-3)=0\). Mamy więc dwa równania z niewiadomymi \(a\) i \(b\). **Krok \(6\).** Liczymy \(W(2)\) dla \(W(x)=2x^3+ax^2-14x+b\): \[2\cdot8+a\cdot4-14\cdot2+b=16+4a-28+b=0,\qquad\text{czyli}\qquad 4a+b=12.\] **Krok \(7\).** Liczymy \(W(-3)\): \[2\cdot(-27)+a\cdot9-14\cdot(-3)+b=-54+9a+42+b=0,\qquad\text{czyli}\qquad 9a+b=12.\] **Krok \(8\).** Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego: \(5a=0\), więc \(a=0\), a stąd \(b=12\). Sprawdzenie dla \(W(x)=2x^3-14x+12\): \(W(2)=16-28+12=0\) oraz \(W(-3)=-54+42+12=0\). **Uwaga.** W punkcie b) do dwumianu \(x+3\) podstawiamy \(x=-3\) (bo \(x+3=x-(-3)\)), a nie \(x=3\). W punkcie a) nie wolno skracać równania przez \(x\), bo stracilibyśmy pierwiastek \(x=0\). **Odpowiedź.** a) \(x=-\sqrt7\), \(x=0\), \(x=\sqrt7\). b) \(a=0\) i \(b=12\), czyli \(W(x)=2x^3-14x+12\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 6.** (\(4\) pkt) Dany jest wielomian \(W(x)=2x^{3}+ax^{2}-14x+b\). a) Dla \(a=0\) i \(b=0\) otrzymamy wielomian \(W(x)=2x^{3}-14x\). Rozwiąż równanie \(2x^{3}-14x=0\). b) Dobierz wartości \(a\) i \(b\) tak, aby wielomian \(W(x)\) był podzielny jednocześnie przez \(x-2\) oraz przez \(x+3\). a) Rozwiązuję równanie: \(2x^{3}-14x=0\) \(2x\left(x^{2}-7\right)=0\) \(2x\left(x-\sqrt{7}\right)\left(x+\sqrt{7}\right)=0\) z zapisanej postaci iloczynowej odczytuję rozwiązania równania: \(x_{1}=0\), \(x_{2}=\sqrt{7}\), \(x_{3}=-\sqrt{7}\). b) Aby znaleźć wartość współczynników \(a\) i \(b\) korzystam z twierdzenia o podzielności wielomianu przez dwumian, z którego wynika, że: \(W(2)=0\) oraz \(W(-3)=0\). Otrzymuję układ równań: \(\begin{cases}16+4a-28+b=0\\ -54+9a+42+b=0\end{cases}\), z którego wyznaczam \(a\) i \(b\). \(\begin{cases}4a+b=12\\ 9a+b=12\end{cases}\) Rozwiązanie układu równań są liczby: \(a=0\), \(b=12\). Wielomian przyjmuje postać: \(W(x)=2x^{3}-14x+12\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(W(x)=\left(x^{2}+x-1\right)\left(x^{2}-3x+1\right)\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie: mamy rozłożyć wielomian stopnia czwartego na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych o współczynniku \(1\) przy \(x^2\). Wielomian nie ma pierwiastków wymiernych, których łatwo się domyślić, więc zamiast szukać pierwiastków stosujemy sztuczkę: doprowadzamy \(W(x)\) do RÓŻNICY KWADRATÓW, którą potem rozkładamy wzorem \(p^2-q^2=(p-q)(p+q)\). Podpowiedzią jest początek wielomianu: \(x^4-2x^3\) to dokładnie początek rozwinięcia \((x^2-x)^2\). **Krok \(2\).** Sprawdzamy, ile brakuje do pełnego kwadratu: \[(x^2-x)^2=x^4-2x^3+x^2.\] W naszym wielomianie przy \(x^2\) stoi \(-3\), więc zapisujemy \(-3x^2=x^2-4x^2\) i grupujemy: \[W(x)=\underbrace{x^4-2x^3+x^2}_{(x^2-x)^2}-4x^2+4x-1.\] **Krok \(3\).** Zostałą część też zwijamy do kwadratu: \[-4x^2+4x-1=-(4x^2-4x+1)=-(2x-1)^2.\] **Krok \(4\).** Otrzymujemy różnicę kwadratów: \[W(x)=(x^2-x)^2-(2x-1)^2.\] **Krok \(5\).** Stosujemy wzór \(p^2-q^2=(p+q)(p-q)\) dla \(p=x^2-x\) i \(q=2x-1\): \[W(x)=\big(x^2-x+2x-1\big)\cdot\big(x^2-x-(2x-1)\big)=(x^2+x-1)(x^2-3x+1).\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy przez wymnożenie: \[(x^2+x-1)(x^2-3x+1)=x^4-3x^3+x^2+x^3-3x^2+x-x^2+3x-1=x^4-2x^3-3x^2+4x-1.\] Zgadza się z \(W(x)\). Oba czynniki są stopnia drugiego, mają współczynnik \(1\) przy \(x^2\) i wszystkie współczynniki całkowite — warunki zadania są spełnione. **Uwaga.** Jeśli nie widzimy sztuczki z różnicą kwadratów, można użyć metody współczynników nieoznaczonych: zakładamy \(W(x)=(x^2+px+q)(x^2+rx+s)\) z całkowitymi \(p,q,r,s\), wymnażamy i porównujemy współczynniki. Z wyrazu wolnego \(qs=-1\), więc przy założeniu całkowitości \(\{q,s\}=\{1,-1\}\) — to od razu mocno ogranicza poszukiwania i prowadzi do tego samego rozkładu. Trzeba jednak pamiętać, że sam warunek „stopnia drugiego” nie wystarcza — treść żąda dodatkowo współczynników CAŁKOWITYCH i jedynek przy \(x^2\). **Odpowiedź.** \(W(x)=\left(x^{2}+x-1\right)\left(x^{2}-3x+1\right)\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Dany wielomian \(W(x)=x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+4x-1\) przedstawiam w takiej postaci, aby można było zastosować wzory skróconego mnożenia: \(W(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-4x^{2}+4x-1\). Grupuję wyrazy i przedstawiam wyrażenie w postaci różnicy kwadratów dwóch wyrażeń: \(W(x)=\left(x^{2}-x\right)^{2}-(2x-1)^{2}\). Wykorzystuję wzory skróconego mnożenia do rozkładu wielomianu na iloczyn dwóch wielomianów stopnia drugiego: \[W(x)=\left(x^{2}-x\right)^{2}-(2x-1)^{2}=\left(x^{2}-x+2x-1\right)\cdot\left(x^{2}-x-2x+1\right)=\left(x^{2}+x-1\right)\cdot\left(x^{2}-3x+1\right).\]

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x=-\sqrt3\), \(x=-\frac12\), \(x=\sqrt3\), \(x=3\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy strategię. Znamy już jeden dzielnik wielomianu, czyli \((2x+1)\), a to od razu daje jeden pierwiastek: \(2x+1=0\), czyli \(x=-\tfrac12\). Pozostałych pierwiastków szukamy w ILORAZIE z dzielenia \(W(x)\) przez \(2x+1\) — będzie to wielomian stopnia trzeciego, który rozłożymy na czynniki. **Krok \(2\).** Wykonujemy dzielenie pisemne \((-2x^4+5x^3+9x^2-15x-9):(2x+1)\): \[-2x^4:2x=-x^3,\qquad -x^3(2x+1)=-2x^4-x^3,\qquad\text{reszta: } 6x^3+9x^2-15x-9,\] \[6x^3:2x=3x^2,\qquad 3x^2(2x+1)=6x^3+3x^2,\qquad\text{reszta: } 6x^2-15x-9,\] \[6x^2:2x=3x,\qquad 3x(2x+1)=6x^2+3x,\qquad\text{reszta: } -18x-9,\] \[-18x:2x=-9,\qquad -9(2x+1)=-18x-9,\qquad\text{reszta: } 0.\] Iloraz to \(-x^3+3x^2+3x-9\), a reszta wynosi \(0\) — potwierdza to podzielność podaną w treści. **Krok \(3\).** Rozkładamy iloraz metodą grupowania (cztery wyrazy, więc grupujemy po dwa): \[-x^3+3x^2+3x-9=-x^2(x-3)+3(x-3)=(x-3)\left(-x^2+3\right)=(x-3)(3-x^2).\] **Krok \(4\).** Zbieramy cały rozkład: \[W(x)=(2x+1)(x-3)(3-x^2).\] **Krok \(5\).** Przyrównujemy każdy czynnik do zera: \[2x+1=0\ \Rightarrow\ x=-\tfrac12,\qquad x-3=0\ \Rightarrow\ x=3,\] \[3-x^2=0\ \Rightarrow\ x^2=3\ \Rightarrow\ x=-\sqrt3\ \text{lub}\ x=\sqrt3.\] **Krok \(6\).** Wielomian ma zatem cztery pierwiastki: \(-\sqrt3\), \(-\tfrac12\), \(\sqrt3\) i \(3\) — tyle, ile maksymalnie może mieć wielomian stopnia czwartego. **Uwaga.** Dwie łatwe do przeoczenia rzeczy. Po pierwsze, pierwiastek \(x=-\tfrac12\) pochodzi z podanego w treści dzielnika i nie pojawi się już w ilorazie — trzeba go dopisać samodzielnie. Po drugie, równanie \(x^2=3\) ma DWA rozwiązania, \(\sqrt3\) i \(-\sqrt3\); są one niewymierne, więc zostawiamy je w postaci pierwiastków, nie zaokrąglając. **Odpowiedź.** \(x=-\sqrt3\), \(x=-\frac12\), \(x=\sqrt3\), \(x=3\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **4.1. (1 pkt)** – […] Zdający może wyłączyć \((-1)\) przed nawias i też otrzyma inny wynik częściowy: \(-\left(2x^{4}-5x^{3}-9x^{2}+15x+9\right):(2x+1)=-\left(x^{3}-3x^{2}-3x+9\right)\). **4.2. (1 pkt)** – Rozłożenie wielomianu \(W(x)\) na czynniki: \(-x^{3}+3x^{2}+3x-9=(x-3)\cdot\left(3-x^{2}\right)\). **4.3. (1 pkt)** – Podanie pierwiastków wielomianu: \(-\sqrt{3}\), \(-\frac{1}{2}\), \(\sqrt{3}\), \(3\). **II sposób rozwiązania.** **4.2. (1 pkt)** – Znalezienie drugiego pierwiastka \(x=3\) i wykonanie dzielenia: \(\left(-x^{3}+3x^{2}+3x-9\right):(x-3)=\left(3-x^{2}\right)\). **4.3. (1 pkt)** – Rozwiązanie równania \(3-x^{2}=0\) i podanie pierwiastków: \(-\sqrt{3}\), \(-\frac{1}{2}\), \(\sqrt{3}\), \(3\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a=-14\), \(b=14\). b) Trzeci pierwiastek: \(x=5\).

**Krok \(1\).** Zdanie liczba \(c\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W\) znaczy dokładnie tyle, że \(W(c)=0\). Mamy dwa pierwiastki, więc dostaniemy dwa równania z niewiadomymi \(a\) i \(b\), czyli układ równań. To jest cała idea podpunktu a). **Krok \(2\).** Obliczamy \(W(3)\) i przyrównujemy do zera: \[W(3)=2\cdot3^3+a\cdot3^2+b\cdot3+30=54+9a+3b+30=9a+3b+84.\] Zatem \(9a+3b+84=0\), a po podzieleniu przez \(3\): \[3a+b+28=0.\] **Krok \(3\).** Obliczamy \(W(-1)\) i przyrównujemy do zera: \[W(-1)=2\cdot(-1)^3+a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+30=-2+a-b+30=a-b+28.\] Zatem \[a-b+28=0.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy układ \[\begin{cases}3a+b+28=0,\\a-b+28=0.\end{cases}\] Dodajemy równania stronami — niewiadoma \(b\) się redukuje: \[4a+56=0,\qquad a=-14.\] Z drugiego równania \(b=a+28=-14+28=14\). **Krok \(5\).** Sprawdzenie: dla \(a=-14\), \(b=14\) pierwsze równanie daje \(3\cdot(-14)+14+28=-42+42=0\) — zgadza się. Wielomian ma więc postać \[W(x)=2x^3-14x^2+14x+30.\] **Krok \(6\).** Przechodzimy do podpunktu b). Skoro \(3\) i \(-1\) są pierwiastkami, to \(W(x)\) dzieli się bez reszty przez \((x-3)\) i przez \((x+1)\), a więc także przez ich iloczyn: \[(x-3)(x+1)=x^2-2x-3.\] **Krok \(7\).** Wykonujemy dzielenie \(\left(2x^3-14x^2+14x+30\right):\left(x^2-2x-3\right)\). Pierwszy wyraz ilorazu to \(2x^3:x^2=2x\); mnożymy \(2x\cdot\left(x^2-2x-3\right)=2x^3-4x^2-6x\) i odejmujemy: \[\left(2x^3-14x^2+14x+30\right)-\left(2x^3-4x^2-6x\right)=-10x^2+20x+30.\] Kolejny wyraz ilorazu to \(-10x^2:x^2=-10\); mnożymy \(-10\cdot\left(x^2-2x-3\right)=-10x^2+20x+30\) i odejmujemy — reszta wynosi \(0\). Zatem \[W(x)=\left(x^2-2x-3\right)(2x-10).\] **Krok \(8\).** Trzeci pierwiastek pochodzi z czynnika \(2x-10\): \[2x-10=0,\qquad x=5.\] Sprawdzenie: \(W(5)=2\cdot125-14\cdot25+14\cdot5+30=250-350+70+30=0\) — zgadza się. **Uwaga.** Współczynniki \(a\) i \(b\) trzeba wyznaczyć z układu, a nie zgadywać z ostatniego wyrazu. Zwróć też uwagę na znaki przy podstawianiu \(x=-1\): \((-1)^3=-1\), ale \((-1)^2=1\), więc \(a\) wchodzi z plusem, a \(b\) z minusem. Wielomian stopnia trzeciego ma co najwyżej trzy pierwiastki — dwa znamy, więc trzeci jest już jedyny. **Odpowiedź.** a) \(a=-14\), \(b=14\). b) Trzeci pierwiastek: \(x=5\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 10.** (\(6\) pkt) Liczby \(3\) i \(-1\) są pierwiastkami wielomianu \(W(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx+30\). a) Wyznacz wartości współczynników \(a\) i \(b\). b) Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu. Do rozwiązania zadania wykorzystuję twierdzenie Bézouta. \(W(3)=0\Leftrightarrow 9a+3b+84=0\), \(W(-1)=0\Leftrightarrow a-b+28=0\). Rozwiązuję układ równań: \(\begin{cases}9a+3b+84=0\\ a-b+28=0\end{cases}\) \(a=-14\), \(b=14\). Podstawiam obliczone wartości współczynników \(a\), \(b\) i zapisuję wielomian \(W(x)=2x^{3}-14x^{2}+14x+30\). Wielomian \(W(x)\) dzielę przez \((x-3)(x+1)=x^{2}-2x-3\): \(\left(2x^{3}-14x^{2}+14x+30\right):\left(x^{2}-2x-3\right)=2x-10\). Obliczam trzeci pierwiastek: \(2x-10=0\), \(x=5\). | Nr czynności | 10.1. | 10.2. | 10.3. | 10.4. | 10.5. | 10.6. | |---|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

**a)** \(W(x)=2(x+2)(x-1)^{2}\). **b)** \(y=48x-104\).

**a)** Z rysunku odczytujemy, że wykres przecina oś \(Ox\) w punkcie \(-2\), a w punkcie \(1\) jedynie jej dotyka (jest tam minimum lokalne). Wielomian stopnia trzeciego o dokładnie dwóch miejscach zerowych ma więc jedno z nich podwójne: \[W(x)=a(x+2)(x-1)^{2},\qquad a\neq0.\] Obliczamy pochodną, korzystając z rozkładu: \[W'(x)=a\left[(x-1)^{2}+(x+2)\cdot2(x-1)\right]=a(x-1)\left[(x-1)+2(x+2)\right]=3a(x-1)(x+1).\] Z warunku \(W'(-2)=18\): \[3a(-3)(-1)=9a=18,\qquad a=2.\] Zatem \(W(x)=2(x+2)(x-1)^{2}=2x^{3}-6x+4\). **b)** Dla \(x=3\) \[W(3)=2\cdot5\cdot4=40,\qquad W'(3)=3\cdot2\cdot2\cdot4=48.\] Styczna w punkcie \((3,40)\) ma równanie \[y-40=48(x-3),\qquad y=48x-104.\] **Odpowiedź.** a) \(W(x)=2(x+2)(x-1)^{2}\); b) \(y=48x-104\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **12.1. (1 pkt)** – Zapisanie wielomianu w postaci \(W(x)=a(x+2)(x-1)^{2}\), gdzie \(a\neq 0\). **12.2. (2 pkt)** – Obliczenie współczynnika \(a\), w tym: • 1 punkt, za obliczenie pochodnej \(W'(x)=a\cdot(x-1)^{2}+2a\cdot(x-1)\cdot(x+2)\), • 1 punkt, za rozwiązanie równania \(W'(-2)=18\) z niewiadomą \(a\): \(a=2\). **12.3. (2 pkt)** – Wyznaczenie równania szukanej stycznej: \(y=48x-104\), w tym: • 1 punkt, za obliczenie \(W(3)=40\), • 1 punkt, za obliczenie \(W'(3)=48\) i zapisanie równania stycznej.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(k=3\); b) \(W(x)=(x-1)(x+2)^{2}\), pierwiastki: \(x=1\) oraz \(x=-2\) (pierwiastek podwójny).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy sytuację: mowa o podzielności wielomianu przez dwumian. Kluczem jest twierdzenie Bézouta — wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-p\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(W(p)=0\). Nasz dwumian to \(x+2=x-(-2)\), więc \(p=-2\) i warunek zadania brzmi po prostu \(W(-2)=0\). To daje jedno równanie z jedną niewiadomą \(k\). **Krok \(2\).** Podstawiamy \(x=-2\) do wzoru \(W(x)=x^3+kx^2-4\): \[W(-2)=(-2)^3+k\cdot(-2)^2-4=-8+4k-4=4k-12.\] **Krok \(3\).** Przyrównujemy do zera: \[4k-12=0\quad\Longrightarrow\quad k=3.\] Zatem \(W(x)=x^3+3x^2-4\). **Krok \(4\).** Podpunkt b): skoro \(W(x)\) dzieli się przez \(x+2\), wykonujemy to dzielenie. Dopisujemy brakującą potęgę: \(x^3+3x^2+0\cdot x-4\). \[x^3:x=x^2,\qquad x^2(x+2)=x^3+2x^2,\qquad \text{reszta: } x^2+0\cdot x-4,\] \[x^2:x=x,\qquad x(x+2)=x^2+2x,\qquad \text{reszta: } -2x-4,\] \[-2x:x=-2,\qquad -2(x+2)=-2x-4,\qquad \text{reszta: } 0.\] Iloraz to \(x^2+x-2\), czyli \(W(x)=(x+2)(x^2+x-2)\). **Krok \(5\).** Rozkładamy jeszcze trójmian \(x^2+x-2\). Wyróżnik: \(\Delta=1^2-4\cdot1\cdot(-2)=9\), \(\sqrt{\Delta}=3\), więc \[x_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{-1+3}{2}=1,\] czyli \(x^2+x-2=(x+2)(x-1)\). **Krok \(6\).** Łączymy oba rozkłady: \[W(x)=(x+2)\cdot(x+2)(x-1)=(x-1)(x+2)^2.\] Iloczyn jest równy zeru, gdy któryś czynnik jest zerem, więc pierwiastkami są \(x=1\) oraz \(x=-2\). **Uwaga.** Wielomian jest stopnia trzeciego, ale ma tylko dwa RÓŻNE pierwiastki: liczba \(-2\) jest pierwiastkiem podwójnym (czynnik \((x+2)\) występuje w kwadracie). W praktyce oznacza to, że wykres w punkcie \(x=-2\) tylko dotyka osi \(OX\), zamiast ją przecinać. **Odpowiedź.** a) \(k=3\); b) \(W(x)=(x-1)(x+2)^{2}\), pierwiastki: \(x=1\) oraz \(x=-2\) (pierwiastek podwójny).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **3.1. (1 pkt)** – […] np. \(W(-2)=0\) lub podzielenie wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \(x+2\) **3.2. (1 pkt)** – wyznaczenie \(k\): \(k=3\) **3.3. (1 pkt)** – rozłożenie wielomianu na czynniki: \(W(x)=(x-1)(x+2)^{2}\) **3.4. (1 pkt)** – podanie pierwiastków wielomianu: \(x_{1}=x_{2}=-2,\; x_{3}=1\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[m=-8,\qquad n=-23.\]

Obliczamy wielomian \(Q(x)-2P(x)\): \[2P(x)=4x^{3}-18x^{2}+14x+12,\] \[Q(x)-2P(x)=x^{4}-8x^{3}+22x^{2}-24x+9-\left(4x^{3}-18x^{2}+14x+12\right),\] \[Q(x)-2P(x)=x^{4}-12x^{3}+40x^{2}-38x-3.\] Wielomiany są równe, gdy mają równe współczynniki przy tych samych potęgach. Porównujemy: \[m-4=-12\quad\Longrightarrow\quad m=-8,\] \[-(2n+6)=40\quad\Longrightarrow\quad 2n+6=-40\quad\Longrightarrow\quad n=-23.\] Współczynniki przy \(x^{4}\), \(x\) i wyraz wolny zgadzają się bez dodatkowych warunków. **Odpowiedź.** \(m=-8\), \(n=-23\).

**1. ([…] pkt)** – […]: \(Q(x)-2P(x)=x^{[\ldots]}-12x^{[\ldots]}+40x^{[\ldots]}-38x-3\) **2. (1 pkt)** – Porównanie odpowiednich współczynników wielomianów: \(m-4=-12\), \(-(2n+6)=40\) **3. (1 pkt)** – Wyznaczenie wartości \(m\) i \(n\): \(m=-8\), \(n=-23\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(Q(2)=6\neq 0\), więc liczba \(2\) nie jest pierwiastkiem wielomianu \(Q\); b) \(P(x)=x^{3}-3x^{2}-2x+6=(x-3)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)\).

**Krok \(1\).** Punkt a) sprawdzamy wprost z definicji pierwiastka wielomianu: liczba \(c\) jest pierwiastkiem wielomianu \(Q\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(Q(c)=0\). Wystarczy więc podstawić i policzyć. Punkt b) to dodanie wielomianów, a następnie rozkład na czynniki liniowe — w takiej sytuacji najpierw szukamy wspólnego czynnika przez grupowanie wyrazów. **Krok \(2\).** a) Podstawiamy \(x=2\) do wzoru \(Q(x)=x^3-x^2+2\): \[Q(2)=2^3-2^2+2=8-4+2=6.\] **Krok \(3\).** Ponieważ \(Q(2)=6\ne0\), liczba \(2\) nie jest pierwiastkiem wielomianu \(Q\). **Krok \(4\).** b) Dodajemy wielomiany, łącząc wyrazy tego samego stopnia: \[P(x)=\left(x^3-x^2+2\right)+\left(-2x^2-2x+4\right)=x^3+(-1-2)x^2-2x+(2+4)=x^3-3x^2-2x+6.\] **Krok \(5\).** Rozkładamy przez grupowanie: w pierwszych dwóch wyrazach wspólnym czynnikiem jest \(x^2\), w dwóch ostatnich \(-2\): \[P(x)=x^2(x-3)-2(x-3)=(x-3)\left(x^2-2\right).\] **Krok \(6\).** Czynnik \(x^2-2\) rozkładamy wzorem na różnicę kwadratów, bo \(2=\left(\sqrt2\right)^2\): \[x^2-2=\left(x-\sqrt2\right)\left(x+\sqrt2\right).\] **Krok \(7\).** Ostatecznie \[P(x)=(x-3)\left(x-\sqrt2\right)\left(x+\sqrt2\right).\] Sprawdzenie wyrazu wolnego: iloczyn wyrazów wolnych czynników to \((-3)\cdot\left(-\sqrt2\right)\cdot\sqrt2=(-3)\cdot(-2)=6\), a taki właśnie wyraz wolny ma \(P(x)\). Zgadza się. **Uwaga.** Polecenie mówi o czynnikach liniowych, więc nie wolno poprzestać na zapisie \((x-3)\left(x^2-2\right)\) — trójmian \(x^2-2\) ma pierwiastki niewymierne \(\pm\sqrt2\) i trzeba go rozłożyć do końca. Zwróć też uwagę, że rachunek w punkcie a) dotyczy wielomianu \(Q\), a nie \(P\). **Odpowiedź.** a) \(Q(2)=6\neq 0\), więc liczba \(2\) nie jest pierwiastkiem wielomianu \(Q\); b) \(P(x)=x^{3}-3x^{2}-2x+6=(x-3)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **(1 pkt)** – obliczenie \(Q(2)=6\). **(1 pkt)** – sformułowanie odpowiedzi: liczba \(2\) nie jest pierwiastkiem wielomianu \(Q\). **(1 pkt)** – wykonanie dodawania wielomianów: \(P(x)=x^{3}-3x^{2}-2x+6\). **(1 pkt)** – zapisanie \(P(x)=(x-3)\left(x^{2}-2\right)\). **(1 pkt)** – zapisanie \(P(x)=(x-3)\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)\).

Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(a=\frac{1}{2}\).

Wielomian trzeciego stopnia o miejscach zerowych \(-2\), \(1\), \(2\) zapisujemy w postaci iloczynowej \[W(x)=a(x+2)(x-1)(x-2).\] Wykorzystujemy warunek \(W(-1)=3\): \[3=a(-1+2)(-1-1)(-1-2)=a\cdot1\cdot(-2)\cdot(-3)=6a.\] Stąd \[a=\frac36=\frac12.\] **Odpowiedź.** \(a=\dfrac12\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (1 pkt)** – […] iloczynowej **6.2. (1 pkt)** – wykorzystanie warunku \(W(-1)=3\) do ułożenia równania (2) **6.3. (1 pkt)** – rozwiązanie równania (2): \(a=\frac{1}{2}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.