Prosta w układzie współrzędnych — równanie prostej, współczynnik kierunkowy, równoległość i prostopadłość

**B.** \(y_B=5\)

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty jest równy ilorazowi przyrostów współrzędnych: \[a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{y_B-(-4)}{2-(-1)}=\frac{y_B+4}{3}.\] Z warunku \(a=3\) otrzymujemy \(y_B+4=9\), czyli \(y_B=5\). **Odpowiedź.** \(y_B=5\), czyli odpowiedź **B**.

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.1) Zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej).

\[P(a)=\frac{-a^{2}+4a-4}{2a}.\]

Prosta \(AB\) przechodzi przez punkt \(K=(1,2)\) i ma współczynnik kierunkowy \(a\), więc \[AB:\ y=a(x-1)+2=ax+(2-a).\] Wierzchołek \(B\) leży na dodatniej półosi \(Oy\), więc \(B=(0,2-a)\) i \(2-a>0\), czyli \(a<2\). Wierzchołek \(A\) leży na dodatniej półosi \(Ox\); z \(0=ax+2-a\) otrzymujemy \[A=\left(\frac{a-2}a,0\right),\qquad \frac{a-2}a>0.\] Warunki \(a<2\) i \(\frac{a-2}a>0\) są spełnione jednocześnie tylko dla \(a<0\). Kąt prosty jest przy wierzchołku \(C=(0,0)\), a przyprostokątne leżą na osiach układu, więc \[P=\frac12\cdot|CA|\cdot|CB|=\frac12\cdot\frac{a-2}a\cdot(2-a)=\frac{-(2-a)^{2}}{2a}=\frac{-a^{2}+4a-4}{2a}.\] **Odpowiedź.** \(P(a)=\frac{-a^{2}+4a-4}{2a}\) dla \(a<0\)

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie pierwszej współrzędnej \(x_A\) punktu \(A\) oraz drugiej współrzędnej \(y_B\) punktu \(B\) w zależności od współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\): \(x_A=\frac{a-2}{a}\) oraz \(y_B=2-a\). **2 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** IX.1) Zdający […] znajduje punkt wspólny dwóch prostych […]; IX.2) Zdający posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie […].

D. (\(0\), −\(\frac{4}{3}\))

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe, więc prosta \(l\) ma równanie \(y=-\tfrac13x+b\). Punkt \((2,-2)\) należy do \(l\), zatem \[-2=-\tfrac13\cdot2+b,\qquad b=-2+\tfrac23=-\tfrac43.\] Prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,b)\). **Odpowiedź.** \(\left(0,-\tfrac43\right)\), czyli odpowiedź **D**.

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** IX.2) Zdający posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej […], w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. […] równoległość do innej prostej); IX.1) Zdający […] znajduje wspólny punkt dwóch prostych […].

**D.** \(m=19\)

Proste są równoległe, gdy ich wektory normalne są proporcjonalne: \[\frac{m-1}{6}=\frac31.\] Stąd \(m-1=18\), czyli \(m=19\). Poprawna jest odpowiedź **D**.

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** IX.2) Zdający posługuje się równaniami prostych i wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach, w tym równoległej do innej prostej.

**C.** \(y=-x-4\)

Symetria względem osi \(Oy\) przekształca punkt \((x,y)\) na \((-x,y)\). Punkt \((x,y)\) należy do obrazu prostej \(k\) dokładnie wtedy, gdy punkt \((-x,y)\) należy do \(k\): \[y=(-x)-4=-x-4.\] **Odpowiedź.** \(y=-x-4\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: 8.7) Znajduje obraz prostej w symetrii osiowej względem osi układu.

\[p=\frac65.\]

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe, więc prosta \(l\) ma współczynnik \(5\). Przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\), zatem \[l:\ y=5x-4.\] Punkt \((p,2)\) należy do \(l\), więc \[2=5p-4\quad\Longrightarrow\quad p=\frac65.\] **Odpowiedź.** \(p=\frac65\)

1 pkt: zapisanie równania l: y=5x−4 albo równoważnego równania z p. 2 pkt: poprawna metoda i p=6/5.

Wymaganie ogólne: IV. Rozumowanie i argumentacja. Wymaganie szczegółowe: IX.2) Posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie.

**A.** \(\frac52\)

W symetrii środkowej względem początku układu oba znaki współrzędnych zmieniają się na przeciwne, więc \[A_O=(-1,-2),\qquad B_O=(-3,-7).\] Współczynnik kierunkowy prostej \(A_OB_O\) wynosi \[a=\frac{-7-(-2)}{-3-(-1)}=\frac{-5}{-2}=\frac52.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** IX.2) Zdający wyznacza współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty. IX.5) Wyznacza obrazy figur w symetrii środkowej o środku w początku układu.

**B.** \(y=3x+6\)

Równanie prostej zawierającej bok \(AB\) zapisujemy w postaci kierunkowej: \[3x-y+10=0,\qquad y=3x+10.\] Bok \(CD\) jest równoległy do \(AB\), więc prosta zawierająca \(CD\) ma ten sam współczynnik kierunkowy \(3\): \[y=3x+b.\] Ponieważ przechodzi przez punkt \(C=(3,15)\), mamy \[15=3\cdot3+b,\qquad b=6.\] Zatem jej równanie to \(y=3x+6\).

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** IX.2) Zdający posługuje się równaniami prostych i wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach, w tym równoległej do innej prostej.

\[P=\left(\frac23,-\frac53\right).\]

Przekątna \(AC\) leży na prostej \(y=2x-3\), a przekątna \(BD\) na prostej \(y=-4x+1\). Punkt przecięcia spełnia więc \[2x-3=-4x+1,\] skąd \(6x=4\), czyli \(x=\frac23\). Wtedy \[y=2\cdot\frac23-3=-\frac53.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i punkt \(P=(\frac23,-\frac53)\) **2 pkt** – wyznaczenie obu równań: \(AC:y=2x-3\), \(BD:y=-4x+1\) **1 pkt** – wyznaczenie jednego z tych równań **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie strategii rozwiązywania zadań. **Wymagania szczegółowe:** IX.1) Zdający znajduje wspólny punkt dwóch prostych. IX.2) Wyznacza równania prostych przechodzących przez dwa dane punkty.

**B.** Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe: \(m-2=-4\). Stąd \(m=-2\).

**Krok \(1\).** Obie proste są zapisane w postaci kierunkowej \(y=ax+b\). W takim zapisie o kierunku prostej decyduje wyłącznie współczynnik \(a\) stojący przy \(x\), a wyraz wolny \(b\) przesuwa prostą w górę lub w dół. Dwie proste są równoległe dokładnie wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe. **Krok \(2\).** Odczytujemy współczynniki kierunkowe: dla prostej \(k\) jest to \(m-2\), dla prostej \(l\) jest to \(-4\). **Krok \(3\).** Zapisujemy warunek równoległości: \[m-2=-4.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy to równanie: \[m=-4+2=-2.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy, jak wyglądają wtedy obie proste. Dla \(m=-2\) mamy \[k:\ y=-4x+5,\qquad l:\ y=-4x+(-2+3)=-4x+1.\] Współczynniki kierunkowe są równe, a wyrazy wolne różne (\(5\ne1\)), więc to rzeczywiście dwie różne proste równoległe. **Uwaga.** Nie porównujemy wyrazów wolnych \(5\) i \(m+3\) — gdyby były równe przy równych współczynnikach kierunkowych, proste by się pokrywały. Warunek równoległości dotyczy tylko liczb przy \(x\). **Odpowiedź.** B: \(m=-2\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** IX.2) Zdający posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej […], w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. […] równoległość do innej prostej).

Proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe: \[3-m=m+3.\] Stąd \(m=0\).

Rozwiązanie Proste k oraz I są równoległe, gdy liczba m jest równa \(0\). **Odpowiedź.** Proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe: \[3-m=m+3.\] Stąd \(m=0\).

Zadanie 24. (0—1) Wymaganie ogólne III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1 . Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Zasady oceniania 1 pkt — poprawne uzupełnienie zdania. Wymaganie szczegółowe Zdający: IX.2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. równoległość do innej prostej). 0 pkt — brak spełnienia powyższego kryterium. Rozwiązanie Proste k oraz I są równoległe, gdy liczba m jest równa 0.

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: 8.2) Bada równoległość prostych na podstawie ich równań kierunkowych.

\[C=(24,0),\qquad D=\left(\frac{11}4,0\right),\qquad P_{ACD}=\frac{595}8.\]

Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) wynosi \[a=\frac{3-7}{12-(-4)}=-\frac14,\] więc \(y=-\frac14x+b\), a z warunku \(7=-\frac14\cdot(-4)+b\) otrzymujemy \(b=6\) i \(AB:\ y=-\frac14x+6\). Dla \(y=0\) mamy \(x=24\), czyli \(C=(24,0)\). Środek odcinka \(AB\) to \(M=(4,5)\). Symetralna jest prostopadła do \(AB\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(4\): \[y-5=4(x-4),\qquad\text{czyli}\qquad y=4x-11.\] Dla \(y=0\) otrzymujemy \(x=\frac{11}4\), czyli \(D=\left(\frac{11}4,0\right)\). Bok \(CD\) leży na osi \(Ox\), a wysokością trójkąta \(ACD\) opuszczoną na ten bok jest odległość punktu \(A\) od osi \(Ox\), równa \(7\): \[|CD|=24-\frac{11}4=\frac{85}4,\qquad P_{ACD}=\frac12\cdot\frac{85}4\cdot7=\frac{595}8.\] **Odpowiedź.** \(C=(24,0)\), \(D=\left(\frac{11}4,0\right)\), \(P_{ACD}=\frac{595}8\)

1 pkt: istotny poprawny etap, np. C = (24, 0), M = (4, 5) albo współczynnik kierunkowy AB równy −1/4. 2 pkt: C = (24, 0) i kolejny poprawny etap prowadzący do D albo równanie symetralnej y = 4x − 11. 3 pkt: C = (24, 0) i równanie symetralnej y = 4x − 11 albo D = (11/4, 0). 4 pkt: poprawne współrzędne C = (24, 0) oraz D = (11/4, 0). 5 pkt: poprawna metoda i wyniki C = (24, 0), D = (11/4, 0), P△ACD = 595/8.

Wymaganie ogólne: IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymaganie szczegółowe: 8.1) Wyznacza równanie prostej przez dwa punkty; 8.3) wyznacza prostą prostopadłą; 8.4) oblicza punkt przecięcia prostych; 8.6) oblicza odległość punktów.

**B.** \(m=-\frac53\)

**Krok \(1\).** Obie proste są dane w postaci kierunkowej \(y=ax+b\). Proste są równoległe dokładnie wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe, czyli równe liczby stojące przy \(x\). Wyraz wolny nie ma tu znaczenia. **Krok \(2\).** Odczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych: \[a_{k}=3m+1,\qquad a_{l}=-4.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy warunek równoległości: \[3m+1=-4.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy to równanie liniowe: \[3m=-4-1,\qquad 3m=-5,\qquad m=-\frac53.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy proste na pewno nie pokrywają się. Dla \(m=-\frac53\) wyraz wolny prostej \(l\) wynosi \[2\cdot\left(-\frac53\right)+5=-\frac{10}{3}+\frac{15}{3}=\frac53,\] a prosta \(k\) ma wyraz wolny \(2\). Wyrazy wolne są różne, więc proste są równoległe i różne. **Uwaga.** Wyrażenie \(2m+5\) jest wyrazem wolnym, a nie współczynnikiem kierunkowym — nie wolno przyrównywać go do \(2\). Do warunku równoległości wchodzą wyłącznie liczby stojące przy \(x\). **Odpowiedź.** B. \(m=-\frac53\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.2) Zdający bada równoległość prostych na podstawie ich równań kierunkowych.

**D.** \(y=-3x-1\)

W symetrii środkowej względem początku układu punkt \((x,y)\) przechodzi na \((-x,-y)\). Podstawiamy więc \(-x\) i \(-y\) do równania wyjściowego: \[-y=-3(-x)+1.\] Po przekształceniu otrzymujemy \[y=-3x-1.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.7) Zdający znajduje obrazy figur geometrycznych, w tym prostej, w symetrii środkowej względem początku układu.

**B.** \(-1\)

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe, więc prosta \(l\) ma postać \[y=-7x+b.\] Przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,6)\), zatem \(b=6\) i \[l:\ y=-7x+6.\] Dla punktu \((1,p)\): \[p=-7\cdot1+6=-1.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** IX.2) Zdający posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach, takich jak równoległość do innej prostej.

**A.** \(m=-\frac12\)

Współczynniki kierunkowe prostych są równe \(m+1\) oraz \(-2\). Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\): \[(m+1)\cdot(-2)=-1.\] Stąd \[m+1=\frac12,\qquad m=-\frac12.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** IX.2) Zdający posługuje się równaniem prostej na płaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym wyznacza równanie prostej prostopadłej do innej prostej.

\[B=(6,2).\]

Punkt \(A\) jest punktem wspólnym prostych zawierających boki \(AB\) i \(AD\). Rozwiązujemy układ \[\begin{cases}y=\frac12x-1,\\y=2x-4.\end{cases}\] Z równania \(2x-4=\frac12x-1\) otrzymujemy \(x=2\), a następnie \(y=0\). Zatem \[A=(2,0).\] Punkt \(S=(9,11)\) jest środkiem przekątnej \(AC\), więc \[\frac{2+x_C}{2}=9,\qquad \frac{0+y_C}{2}=11.\] Stąd \[C=(16,22).\] Prosta \(BC\) jest równoległa do \(AD\), więc ma współczynnik kierunkowy \(2\). Przechodzi przez \(C=(16,22)\), zatem \[y=2(x-16)+22=2x-10.\] Punkt \(B\) jest punktem wspólnym prostych \(AB\) i \(BC\): \[\begin{cases}y=\frac12x-1,\\y=2x-10.\end{cases}\] Stąd \(2x-10=\frac12x-1\), więc \(x=6\) i \(y=2\). Ostatecznie \[B=(6,2).\]

**4 pkt** – poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu \(B\) oraz wynik \(B=(6,2)\) **3 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(BC\): \(y=2x-10\); albo obliczenie \(D=(12,20)\); albo obliczenie \(A=(2,0)\) i środka \(M_{AB}=(4,1)\); albo obliczenie \(C=(16,22)\) i środka \(M_{BC}=(11,12)\); albo zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć jedną ze współrzędnych punktu \(B\) **2 pkt** – obliczenie \(C=(16,22)\); albo obliczenie \(M_{AB}=(4,1)\); albo obliczenie \(M_{BC}=(11,12)\); albo obliczenie \(A=(2,0)\) i wyznaczenie prostej \(SM_{AB}: y=2x-7\); albo obliczenie \(A=(2,0)\) i \(M_{AD}=(7,10)\); albo zapisanie zależności wynikających z tego, że \(S\) jest środkiem \(BD\), wraz z wyrażeniem współrzędnych \(B\) lub \(D\) przez jedną zmienną; albo wyrażenie współrzędnych obu punktów \(B\) i \(D\) przez po jednej zmiennej **1 pkt** – obliczenie \(A=(2,0)\); albo wyznaczenie prostej \(SM_{AB}: y=2x-7\); albo obliczenie \(M_{AD}=(7,10)\); albo zapisanie zależności \(\frac{x_B+x_D}{2}=9\), \(\frac{y_B+y_D}{2}=11\); albo zapisanie \(B=(x_B,\frac12x_B-1)\); albo zapisanie \(D=(x_D,2x_D-4)\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** IX.1) Zdający znajduje wspólny punkt dwóch prostych. IX.2) Zdający posługuje się równaniem prostej na płaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach, takich jak równoległość do innej prostej.

**D.** \(m=6\).

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe: \[3m-2=2m+4.\] Stąd \[m=6.\] Wyrazy wolne są różne, więc dla tej wartości otrzymujemy dwie różne proste równoległe. Poprawna jest odpowiedź **D**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** IX.2) Zdający posługuje się równaniem prostej na płaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach, takich jak równoległość do innej prostej.

**D.** \(m=6\)

Dwie różne proste w postaci kierunkowej są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Zatem \[3m-2=2m+4,\] więc \[m=6.\] Wyrazy wolne są różne, zatem dla tej wartości otrzymujemy dwie różne proste równoległe.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.2) Zdający bada równoległość prostych na podstawie ich równań kierunkowych.

**\(19\).\(1\). B; \(19\).\(2\). E**

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe. Prosta \(k\) ma współczynnik \(-3\), więc równoległa jest prosta **B**: \(y=-3x+2\). Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej spełnia \((-3)\cdot a=-1\), zatem \(a=\frac13\). Odpowiada temu prosta **E**: \(y=\frac13x+2\).

**2 pkt** – poprawne dokończenia obu zdań: **B** i **E** **1 pkt** – poprawne dokończenie jednego zdania **0 pkt** – odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** IX.2 posługiwanie się równaniem prostej w postaci kierunkowej oraz wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych.

**D.** \(\dfrac{4}{7}\)

**Krok \(1\).** Znamy dwa punkty prostej, a pytanie dotyczy współczynnika kierunkowego \(a\). Mówi on, o ile zmienia się \(y\), gdy \(x\) rośnie o \(1\), więc obliczamy go jako iloraz przyrostów: \[a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.\] Nie trzeba układać układu równań. **Krok \(2\).** Wypisujemy współrzędne: \(A=(-3,-1)\), czyli \(x_A=-3\), \(y_A=-1\); \(B=(4,3)\), czyli \(x_B=4\), \(y_B=3\). **Krok \(3\).** Licznik (przyrost \(y\)): \[y_B-y_A=3-(-1)=3+1=4.\] **Krok \(4\).** Mianownik (przyrost \(x\)): \[x_B-x_A=4-(-3)=4+3=7.\] **Krok \(5\).** Dzielimy: \[a=\frac{4}{7}.\] **Krok \(6\).** Kontrola sensu wyniku: przechodząc od \(A\) do \(B\), zarówno \(x\), jak i \(y\) rosną, więc prosta jest rosnąca i współczynnik \(a\) musi być dodatni. Odpowiedzi A i B (ujemne) odpadają od razu. **Uwaga.** Odejmowanie współrzędnych ujemnych zamienia się w dodawanie. Ważne też, by w liczniku i w mianowniku odejmować w tej samej kolejności (od \(B\) do \(A\) albo od \(A\) do \(B\)) — zamiana kolejności tylko w jednym miejscu daje błędny znak. **Odpowiedź.** D: \(\dfrac{4}{7}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.6) Zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach.

**D.** \(y=-\frac23x+4\)

Współczynnik kierunkowy prostej \(l\) wynosi \(\frac32\), więc współczynnik prostej prostopadłej wynosi \(-\frac23\). Zapisujemy \(k:y=-\frac23x+b\). Ponieważ \(P=(6,0)\) leży na prostej \(k\), mamy \[0=-\frac23\cdot6+b=-4+b,\] stąd \(b=4\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** IX.2 posługiwanie się równaniem prostej w postaci kierunkowej i wyznaczanie równania prostej prostopadłej do danej.

**B.** \(m=\frac14\)

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe, więc \[2m-1=-\frac12.\] Stąd \(2m=\frac12\), a zatem \(m=\frac14\).

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** IX.2 posługiwanie się równaniem prostej w postaci kierunkowej i wyznaczanie warunku równoległości prostych.

\[m\in(1-\sqrt3,1].\]

Rozwiązanie układu równań prostych daje \[x_P=m+1,\qquad y_P=2(m+1).\] Warunki \(x_P>0\) i \(y_P>0\) są równoważne \(m>-1\). Następnie \[y_P\ge x_P^2\iff2(m+1)\ge(m+1)^2\iff m\in[-1,1].\] Dla \(m>-1\) ostatni warunek ma postać \[2(m+1)<-\frac2{m+1}+8.\] Po przeniesieniu składników i pomnożeniu przez dodatnie \(m+1\) otrzymujemy \[2m^2-4m-4<0,\] czyli \[m\in(1-\sqrt3,1+\sqrt3).\] Część wspólna wszystkich otrzymanych zbiorów to \(m\in(1-\sqrt3,1]\).

**5 pkt** – uwzględnienie wszystkich warunków i poprawny wynik **4 pkt** – rozwiązanie obu nierówności po podstawieniu \(x_P=m+1\) i \(y_P=2(m+1)\) **3 pkt** – rozwiązanie jednej z nierówności \(2(m+1)\ge(m+1)^2\) lub \(2(m+1)<-\frac2{m+1}+8\) **2 pkt** – wyznaczenie wartości \(m\), dla których punkt \(P\) leży w pierwszej ćwiartce **1 pkt** – wyznaczenie współrzędnych punktu \(P\) w zależności od \(m\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV.4 stosowanie i tworzenie strategii również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** IV.1 rozwiązywanie układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi i ich interpretacja geometryczna.

**\(A_{2}\).** Proste są prostopadłe i przecinają się w punkcie \((6,4)\).

Iloczyn współczynników kierunkowych wynosi \[\frac23\cdot\left(-\frac32\right)=-1,\] więc proste są prostopadłe. Punkt przecięcia spełnia \[\frac23x=-\frac32x+13.\] Stąd \(\frac{13}{6}x=13\), zatem \(x=6\), a \(y=\frac23\cdot6=4\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja; dobieranie argumentów i tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** IX.1 zdający rozpoznaje wzajemne położenie prostych na podstawie ich równań i znajduje ich wspólny punkt.

**D.** \(a=-\frac13\) i \(b=6\)

Prosta równoległa ma ten sam współczynnik kierunkowy, więc \(a=-\frac13\). Ponieważ przechodzi przez punkt \(P=(3,5)\), mamy \[5=-\frac13\cdot3+b=-1+b,\] skąd \(b=6\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** IX.2 zdający posługuje się równaniem prostej w postaci kierunkowej i wyznacza równanie prostej równoległej do danej prostej.

**B.** \(y=\frac34x-10\)

Prosta równoległa do \(k\) ma ten sam współczynnik kierunkowy \(\frac34\), więc ma postać \(y=\frac34x+b\). Z warunku przechodzenia przez \(P=(12,-1)\) \[-1=\frac34\cdot12+b\quad\Longrightarrow\quad b=-10.\] **Odpowiedź.** \(y=\frac34x-10\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 25. (0–1) Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**\(B_{2}\).** Trójkąt prostokątny, ponieważ dwie z prostych są prostopadłe.

Współczynniki kierunkowe prostych \(y=\sqrt3x+6\) i \(y=-\frac{x}{\sqrt3}-2\) są równe odpowiednio \(\sqrt3\) oraz \(-\frac1{\sqrt3}\). Ich iloczyn wynosi \[\sqrt3\cdot\left(-\frac1{\sqrt3}\right)=-1.\] Proste są więc prostopadłe, a wyznaczony przez nie trójkąt jest prostokątny.

**1 pkt** – odpowiedź **B2** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna - warunek prostopadłości prostych.

**D.** \(m=3\)

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy \(-1\), zatem \[-\frac54\cdot\frac4{2m-1}=-1.\] Stąd \(-\frac5{2m-1}=-1\), więc \(2m-1=5\) i \(m=3\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.2 badanie równoległości i prostopadłości prostych na podstawie ich równań kierunkowych.

**B.** Proste \(k\) i \(l\) są prostopadłe.

**Krok \(1\).** Oba równania są podane w postaci kierunkowej \(y=ax+b\). O wzajemnym położeniu dwóch prostych decydują ich współczynniki kierunkowe, czyli liczby stojące przy \(x\) — od nich zaczynamy. **Krok \(2\).** Odczytujemy współczynniki kierunkowe: \[a_k=\frac13,\qquad a_l=-3.\] **Krok \(3\).** Sprawdzamy odpowiedzi A i D. Proste są równoległe (nie mają punktów wspólnych) albo pokrywają się tylko wtedy, gdy \(a_k=a_l\). Tu \(\frac13\neq-3\), więc proste przecinają się w dokładnie jednym punkcie — obie te odpowiedzi odpadają. **Krok \(4\).** Sprawdzamy prostopadłość. Dwie proste nierównoległe do osi są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\): \[a_k\cdot a_l=\frac13\cdot(-3)=-1.\] Warunek jest spełniony, więc proste są prostopadłe. **Krok \(5\).** Dla pewności sprawdzamy jeszcze odpowiedź C, wyznaczając rzeczywisty punkt przecięcia. Porównujemy prawe strony obu równań: \[\frac13x-1=-3x+6.\] **Krok \(6\).** Przenosimy niewiadome na lewo, liczby na prawo: \[\frac13x+3x=7,\qquad \frac{10}{3}x=7,\qquad x=\frac{21}{10}=2{,}1.\] **Krok \(7\).** Obliczamy \(y\), podstawiając do równania prostej \(l\): \[y=-3\cdot2{,}1+6=-6{,}3+6=-0{,}3.\] Punkt wspólny to \((2{,}1;\,-0{,}3)\), a nie \((0,-1)\), więc odpowiedź C jest błędna. **Uwaga.** Punkt \((0,-1)\) leży na prostej \(k\) (to jej wyraz wolny), ale nie leży na \(l\), bo \(-3\cdot0+6=6\neq-1\). Sam fakt, że punkt należy do jednej z prostych, nie czyni go punktem wspólnym. **Odpowiedź.** B: proste \(k\) i \(l\) są prostopadłe.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** IX.1 rozpoznawanie wzajemnego położenia prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań.

**B.** \(m=1\)

Współczynnik kierunkowy prostej \(k\) jest równy \(-1\). Współczynnik prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\) wynosi \[a_{AB}=\frac{m-2}{2m-1}.\] Warunek równoległości daje \[\frac{m-2}{2m-1}=-1,\] \[m-2=-2m+1,\qquad 3m=3,\qquad m=1.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** IX.2 posługiwanie się równaniem prostej w postaci kierunkowej i wyznaczanie prostej o zadanych własnościach, w tym równoległej do innej prostej.

B. b = −\(9\)

Prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, więc ma równanie \(y=ax\). Punkt \(A=(-2,6)\) na niej leży, zatem \(6=-2a\), czyli \(a=-3\). Dla punktu \(B=(3,b)\) otrzymujemy \(b=-3\cdot3=-9\). **Odpowiedź.** \(b=-9\), czyli odpowiedź **B**.

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2022** **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.1) Zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty […].

C. proste l oraz m

Proste o współczynnikach kierunkowych \(a_1\) i \(a_2\) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy \(a_1a_2=-1\). Współczynniki danych prostych to kolejno \[a_k=-1,\qquad a_l=\tfrac23,\qquad a_m=-\tfrac32,\qquad a_n=-\tfrac23.\] Sprawdzamy iloczyny: \(a_ka_n=\tfrac23\), \(a_la_m=\tfrac23\cdot\left(-\tfrac32\right)=-1\), \(a_ma_n=1\). **Odpowiedź.** Prostopadłe są proste \(l\) oraz \(m\), czyli odpowiedź **C**.

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2022** **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.2) Zdający bada […] prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych.

**B.** \(m=-\frac14\)

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy \(-1\): \[\frac23(2m-1)=-1.\] Stąd \(2m-1=-\frac32\), czyli \(2m=-\frac12\) i \(m=-\frac14\).

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VIII.4 posługiwanie się równaniami prostych oraz warunkiem prostopadłości.

**B.** \(y=-2x-5\)

Symetria względem osi \(Ox\) zmienia każdą wartość \(y\) na \(-y\). Dlatego \[y=-(2x+5)=-2x-5.\]

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** VIII.4 wyznaczanie obrazu prostej w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych.

**C.** Proste \(k\) i \(l\) są prostopadłe.

Prosta \(k\) ma współczynnik kierunkowy \(a_k=\frac12\). Równanie drugiej prostej zapisujemy jako \[y=-2x+1,\] więc \(a_l=-2\). Ponieważ \[a_k a_l=\frac12\cdot(-2)=-1,\] proste są prostopadłe.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** IX.2 posługiwanie się równaniem prostej w postaci kierunkowej oraz rozpoznawanie równoległości i prostopadłości prostych.

**B.** \(y=\frac23x+\frac53\)

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty: \[a=\frac{5-(-1)}{5-(-4)}=\frac69=\frac23.\] Wyraz wolny wyznaczamy, podstawiając punkt \((5,5)\): \[5=\frac23\cdot5+b\quad\Longrightarrow\quad b=5-\frac{10}3=\frac53.\] **Odpowiedź.** \(y=\frac23x+\frac53\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 21. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**B.** \(m=-1\)

Proste są równoległe dokładnie wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe: \[-\frac1{m-2}=\frac13\quad\Longrightarrow\quad m-2=-3\quad\Longrightarrow\quad m=-1.\] Założenie \(m\ne2\) jest spełnione, a wyrazy wolne \(-1\) i \(1\) są różne, więc proste są równoległe i różne. **Odpowiedź.** \(m=-1\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 22. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**C.** \(x+2y-3=0\)

Symetria względem osi \(Oy\) zastępuje współrzędną \(x\) przez \(-x\). W równaniu obrazu mamy więc \[-x-2y+3=0.\] Po pomnożeniu przez \(-1\) otrzymujemy \[x+2y-3=0.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** wyznaczanie obrazu prostej w symetrii osiowej w układzie współrzędnych.

**B.** \(a=-\frac16\)

Współczynniki kierunkowe prostych są równe \(3a\) i \(2\). Proste są prostopadłe, gdy ich iloczyn wynosi \(-1\): \[3a\cdot2=-1.\] Stąd \(6a=-1\), czyli \(a=-\frac16\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.2 badanie prostopadłości prostych na podstawie ich współczynników kierunkowych.

**C.** \(y=5x-10\)

Bok \(CD\) jest równoległy do \(AB\), więc jego prosta ma ten sam współczynnik kierunkowy \(5\). Przechodzi przez punkt \(C=(3,5)\), zatem \[y-5=5(x-3).\] Po uporządkowaniu otrzymujemy \(y=5x-10\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.3 wyznaczanie równania prostej równoległej i przechodzącej przez dany punkt.

**A.** \(y=x-5\)

Współczynnik kierunkowy prostej jest równy \[a=\tan45^\circ=1.\] Korzystamy z równania prostej przechodzącej przez \(A=(2,-3)\): \[y+3=1(x-2).\] Po uporządkowaniu otrzymujemy \(y=x-5\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 8.1 wyznaczanie równania prostej przechodzącej przez dany punkt.

**D.** \(\frac32\)

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty \(A=(1,-2)\) i \(B=(3,1)\) wynosi \[a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{1-(-2)}{3-1}=\frac32.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** 8.1 wyznaczanie współczynnika kierunkowego prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.

**A.** \(\frac74\)

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy \(-1\), więc szukany współczynnik to liczba przeciwna do odwrotności \(-\frac47\): \[a=-\frac1{-\frac47}=\frac74.\] **Odpowiedź.** \(a=\frac74\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 22. Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**A.** \(y=-2x+4\)

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\) jest równy \[a=\frac{6-(-2)}{-1-3}=\frac8{-4}=-2.\] Podstawiamy współrzędne punktu \(A=(3,-2)\) do równania \(y=-2x+b\): \[-2=-2\cdot3+b,\qquad b=4.\] Równanie prostej ma postać \(y=-2x+4\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.1 wyznaczanie równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.

Współczynnik kierunkowy prostej \(k\) jest równy \[\sqrt2.\]

Współczynnik kierunkowy prostej jest równy \(\operatorname{tg}\alpha\). Z jedynki trygonometrycznej \[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\] otrzymujemy \[\sin^2\alpha=1-\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^2=1-\frac13=\frac23.\] Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \[\sin\alpha=\frac{\sqrt6}{3}.\] Zatem \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt6/3}{\sqrt3/3}=\sqrt2.\]

**2 pkt** – wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(\sqrt2\) **1 pkt** – wyznaczenie \(\sin\alpha=\frac{\sqrt6}{3}\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 6.4 stosowanie jedynki trygonometrycznej i zależności \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

\[M=\left(\frac{30}{7},\frac{16}{7}\right).\]

Przekątne czworokąta \(ABCD\) to odcinki \(AC\) i \(BD\); szukany punkt jest przecięciem prostych, w których te odcinki są zawarte. Prosta \(AC\) przechodzi przez \(A=(1,-1)\) i \(C=(7,5)\), więc jej współczynnik kierunkowy jest równy \(\frac{5-(-1)}{7-1}=1\) i \[AC:\ y=x-2.\] Prosta \(BD\) przechodzi przez \(B=(6,1)\) i \(D=(2,4)\), więc jej współczynnik kierunkowy jest równy \(\frac{4-1}{2-6}=-\frac34\) i \[BD:\ y=-\frac34x+\frac{11}{2}.\] Porównujemy prawe strony: \[x-2=-\frac34x+\frac{11}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad \frac74x=\frac{15}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{30}{7}.\] Stąd \(y=\frac{30}{7}-2=\frac{16}{7}\). Sprawdzenie: \(-\frac34\cdot\frac{30}{7}+\frac{11}{2}=-\frac{45}{14}+\frac{77}{14}=\frac{32}{14}=\frac{16}{7}\), więc punkt leży na obu prostych. **Odpowiedź.** \(M=\left(\frac{30}{7},\frac{16}{7}\right)\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2020 nie publikuje modelu odpowiedzi dla tego zadania. Wyznaczenie równań obu przekątnych. Rozwiązanie układu. Podanie współrzędnych punktu przecięcia: \(M=\left(\frac{30}{7},\,\frac{16}{7}\right)\).

Zadanie 32. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**D.** \(y=-\frac12x+7\)

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc prosta \(l\) ma postać \[y=-\frac12x+b.\] Ponieważ należy do niej punkt \(P=(0,7)\), mamy \(7=b\). Stąd \[y=-\frac12x+7.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna - równanie prostej równoległej przechodzącej przez dany punkt.

**B.** \(-\frac43\)

Tangens kąta nachylenia prostej jest równy jej współczynnikowi kierunkowemu. Dla punktów \(P=(-3,4)\) i \(O=(0,0)\) otrzymujemy \[\tan\alpha=\frac{4-0}{-3-0}=-\frac43.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna i trygonometria - współczynnik kierunkowy prostej jako tangens kąta nachylenia.

**B.** \(y=-2x\) i \(y=\frac12x\)

Dwie proste o współczynnikach kierunkowych \(a_1\) i \(a_2\) są prostopadłe, gdy \(a_1a_2=-1\). W odpowiedzi B mamy \[(-2)\cdot\frac12=-1.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna - warunek prostopadłości prostych.

B. a = \(\frac{1}{4}\) i b = −\(\frac{1}{8}\)

Warunek prostopadłości prostych o równaniach kierunkowych to \(a_1a_2=-1\). Ponieważ dana prosta ma współczynnik \(-4\), szukana ma \[a=-\frac{1}{-4}=\frac14.\] Punkt \(P=\left(\tfrac12,0\right)\) należy do prostej \(y=\tfrac14x+b\), więc \[0=\tfrac14\cdot\tfrac12+b,\qquad b=-\tfrac18.\] **Odpowiedź.** \(a=\tfrac14\) i \(b=-\tfrac18\), czyli odpowiedź **B**.

Zadanie 18. (0−1) 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Wersja Wersja II. Wykorzystanie Zdający wyznacza równanie prostej, która jest I II i interpretowanie równoległa lub prostopadła do prostej danej reprezentacji. w postaci kierunkowej i przechodzi przez B C dany punkt (8.3).

**A.** \(a=-4\)

Punkt \(A=(a,3)\) leży na prostej \(y=\frac34x+6\), więc jego współrzędne spełniają jej równanie: \[3=\frac34a+6\quad\Longrightarrow\quad \frac34a=-3\quad\Longrightarrow\quad a=-4.\] **Odpowiedź.** \(a=-4\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 10. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

\[BD:\ y=-3x-\frac{65}{2}.\]

Przekątne rombu są prostopadłe i przecinają się w swoim wspólnym środku \(S\). Punkty \(A\) i \(C\) leżą na prostej o współczynniku kierunkowym \(\frac13\), więc prosta \(BD\) ma współczynnik \[a=-\frac1{\frac13}=-3.\] Prosta \(BD\) przechodzi przez \(S=\left(-\frac{21}2,-1\right)\): \[-1=-3\cdot\left(-\frac{21}2\right)+b\quad\Longrightarrow\quad b=-1-\frac{63}2=-\frac{65}2.\] **Odpowiedź.** \(y=-3x-\frac{65}2\)

1 pkt: współczynnik kierunkowy −3. 2 pkt: pełne równanie.

Zadanie 31. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

C = (\(\frac{32}{5}\), \(\frac{79}{5}\)). Wektor BA = (−\(6\), −\(2\)), a dla C = (x, \(2x\) + \(3\)) wektor BC = (x − \(10\), \(2x\) − \(2\)). Warunek kąta prostego przy B daje BA·BC = −\(6\)(x − \(10\)) − \(2\)(\(2x\) − \(2\)) = \(0\), więc x = \(\frac{32}{5}\) i y = \(2x\) + \(\frac{3 = 79}{5}\).

**Krok \(1\).** Kąt \(ABC\) jest prosty, czyli wierzchołek kąta prostego leży w punkcie \(B\). Prostopadłe są więc ramiona wychodzące z \(B\): odcinki \(BA\) i \(BC\). Najwygodniej użyć wektorów — dwa wektory są prostopadłe dokładnie wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru. **Krok \(2\).** Punkt \(C\) leży na prostej \(y=2x+3\), więc jego współrzędne zależą od jednej niewiadomej: \[C=(x,\ 2x+3).\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy oba wektory wychodzące z \(B=(10,5)\): \[\vec{BA}=[4-10,\ 3-5]=[-6,-2],\] \[\vec{BC}=[x-10,\ (2x+3)-5]=[x-10,\ 2x-2].\] **Krok \(4\).** Iloczyn skalarny wektorów \([u_1,u_2]\) i \([w_1,w_2]\) to \(u_1w_1+u_2w_2\). Przyrównujemy go do zera: \[-6(x-10)+(-2)(2x-2)=0.\] **Krok \(5\).** Rozwiązujemy to równanie: \[-6x+60-4x+4=0,\qquad -10x+64=0,\qquad x=\tfrac{64}{10}=\tfrac{32}{5}.\] **Krok \(6\).** Obliczamy drugą współrzędną: \[y=2\cdot\tfrac{32}{5}+3=\tfrac{64}{5}+\tfrac{15}{5}=\tfrac{79}{5}.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie. Dla \(C=\left(\frac{32}{5},\frac{79}{5}\right)\) mamy \(\vec{BC}=\left[\frac{32}{5}-10,\ \frac{79}{5}-5\right]=\left[-\frac{18}{5},\frac{54}{5}\right]\), a iloczyn skalarny \[(-6)\cdot\left(-\tfrac{18}{5}\right)+(-2)\cdot\tfrac{54}{5}=\tfrac{108}{5}-\tfrac{108}{5}=0.\] Kąt przy \(B\) jest więc prosty. **Krok \(8\).** Ten sam wynik daje metoda prostych prostopadłych: współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) to \(\frac{5-3}{10-4}=\frac13\), prosta prostopadła do niej ma współczynnik \(-3\) i przechodzi przez \(B\), czyli \(y=-3x+35\); z układu \(y=2x+3\) i \(y=-3x+35\) otrzymujemy \(5x=32\), a więc znowu \(x=\frac{32}{5}\). **Uwaga.** Kluczowe jest, przy którym wierzchołku jest kąt prosty. Zapis \(ABC\) oznacza kąt o wierzchołku \(B\), więc mnożymy wektory wychodzące z \(B\). Wykorzystanie wektorów \(\vec{CA}\) i \(\vec{CB}\) prowadziłoby do zupełnie innego (błędnego tutaj) punktu. **Odpowiedź.** \(C=\left(\frac{32}{5},\frac{79}{5}\right)\).

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający uzależni obie współrzędne punktu \(C\) od jednej zmiennej, albo zapisze równość \(\lvert AC\rvert^{2}=\lvert AB\rvert^{2}+\lvert BC\rvert^{2}\) i obliczy długość \(\lvert AB\rvert\), albo zapisze tę równość i zapisze jedną z długości \(\lvert AC\rvert\) lub \(\lvert BC\rvert\) w zależności od współrzędnych punktu \(C\), albo obliczy współrzędne wektora \(\vec{AB}=[6,\,2]\) i zapisze, że \(\vec{AB}\circ\vec{BC}=0\), albo wyznaczy współrzędne wektora \(\vec{BC}\) w zależności od współrzędnych punktu \(C\) i zapisze, że \(\vec{AB}\circ\vec{BC}=0\), albo obliczy współczynnik kierunkowy równania prostej \(AB\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej \(AB\) i przechodzącej przez punkt \(B\), albo zapisze równanie z dwiema niewiadomymi, albo obliczy współrzędne wektora \(\vec{AB}=[6,\,2]\), wyznaczy współrzędne wektora \(\vec{BC}\) w zależności od jednej współrzędnej punktu \(C\) i zapisze, że \(\vec{AB}\circ\vec{BC}=0\), albo zapisze równość wynikającą z warunku \(\vec{AB}\circ\vec{BC}=0\), w której niewiadomymi są dwie współrzędne punktu \(C\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, która jest współrzędną punktu \(C\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **4 pkt** – rozwiązanie prawie pełne: zdający obliczy \(x\) albo \(y\) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, albo obliczy obie współrzędne punktu \(C\) z błędami rachunkowymi. **5 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający obliczy i zapisze współrzędne punktu \(C=\left(\frac{32}{5},\,\frac{79}{5}\right)\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty (8.1), równanie prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez punkt (8.3) oraz punkt przecięcia dwóch prostych (8.4).

\[BD:\ y=\frac13x.\]

Punkt \(D\) jest środkiem boku \(AC\), więc \[D=\left(\frac{2+4}2,\frac{4+(-2)}2\right)=(3,1).\] Prosta \(BD\) przechodzi przez początek układu \(B=(0,0)\), więc ma postać \(y=ax\). Z warunku przechodzenia przez \(D=(3,1)\) \[1=3a\quad\Longrightarrow\quad a=\frac13.\] **Odpowiedź.** \(y=\frac13x\)

1 pkt: środek D=(3,1). 2 pkt: równanie y=x/3.

Zadanie 31. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

Są dwie takie proste: \(y=-\frac18x+3\) oraz \(y=-\frac12x+6\). Z warunków \(\frac{8}{p}+\frac{2}{q}=1\) i \(\frac{pq}{2}=36\) otrzymujemy \(q^2-9q+18=0\), czyli \(q=3\) i \(p=24\) albo \(q=6\) i \(p=12\).

**Krok \(1\).** Prosta odcina od dodatnich półosi trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne leżą na osiach. Wygodnie więc nazwać punkty przecięcia prostej z osiami: \(M=(p,0)\) i \(N=(0,q)\), gdzie \(p\gt 0\) i \(q\gt 0\). Wtedy pole trójkąta i przechodzenie przez punkt \(P\) dadzą dwa równania z niewiadomymi \(p\) i \(q\). **Krok \(2\).** Wierzchołkami trójkąta są \(M\), \(N\) i początek układu, a jego przyprostokątne mają długości \(p\) i \(q\), więc \[\frac{pq}{2}=36,\qquad\text{czyli}\qquad pq=72.\] **Krok \(3\).** Prosta o takich punktach przecięcia z osiami ma równanie odcinkowe \[\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1.\] Warunek \(P=(8,2)\in l\) daje \[\frac{8}{p}+\frac{2}{q}=1.\] **Krok \(4\).** Z pierwszego równania \(p=\frac{72}{q}\). Podstawiamy do drugiego: \[\frac{8q}{72}+\frac{2}{q}=1,\qquad \frac{q}{9}+\frac{2}{q}=1.\] **Krok \(5\).** Mnożymy obie strony przez \(9q\) (jest dodatnie, więc bez zmiany znaku równania): \[q^2+18=9q,\qquad q^2-9q+18=0.\] **Krok \(6\).** Liczymy \(\Delta=81-72=9\), \(\sqrt{\Delta}=3\), więc \[q_1=\frac{9-3}{2}=3,\qquad q_2=\frac{9+3}{2}=6.\] **Krok \(7\).** Wracamy do \(p=\frac{72}{q}\): dla \(q=3\) mamy \(p=24\), a dla \(q=6\) mamy \(p=12\). Obie pary są dodatnie, więc obie pasują do warunków zadania. **Krok \(8\).** Zamieniamy równania odcinkowe na kierunkowe. Z \(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1\) wynika \(y=-\frac{q}{p}x+q\), zatem \[y=-\frac{3}{24}x+3=-\frac18x+3\qquad\text{oraz}\qquad y=-\frac{6}{12}x+6=-\frac12x+6.\] Sprawdzenie dla \(x=8\): \(-1+3=2\) oraz \(-4+6=2\) — punkt \(P\) leży na obu prostych. **Uwaga.** Zadanie ma dwie odpowiedzi i trzeba podać obie. Warto też pamiętać, skąd wzięło się założenie \(p\gt 0\), \(q\gt 0\): trójkąt ma powstać z dodatnimi półosiami, więc prosta musi je przecinać, a to znaczy, że jest malejąca. **Odpowiedź.** \(y=-\frac18x+3\) albo \(y=-\frac12x+6\).

**Schemat punktowania I sposobu rozwiązania** **[…] pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: zdający zapisze zależność wynikającą z faktu, że punkt \(P=(8,2)\) leży na prostej o równaniu \(y=ax+b\), np. \(8a+b=2\), albo równanie opisujące dane pole trójkąta prostokątnego, np. \(\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{b}{a}\) […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **[…] pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający zapisze układ równań z niewiadomymi \(a\) i \(b\): \(8a+b=2\) i \(36=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{b}{a}\) […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający przekształci powyższy układ równań do równania z jedną niewiadomą, np. \(\tfrac{(2-8a)^2}{72}\) […] lub \(36-\tfrac{8b^2}{\;}\) […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **[…] pkt** – rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe): zdający popełni błąd rachunkowy w którejkolwiek fazie rozwiązania zadania i konsekwentnie do tego błędu obliczy pole szukanego przekroju tego ostrosłupa. **[…] pkt** – rozwiązanie pełne: zdający zapisze równania szukanych prostych: \(y=-\tfrac{1}{8}x+3\) oraz \(y=-\tfrac{1}{2}x+6\). **Schemat punktowania II sposobu rozwiązania** **[…] pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: zdający zapisze równanie opisujące dane pole trójkąta prostokątnego, np. \(\tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b=36\), albo równanie odcinkowe prostej przechodzącej przez punkt \(P\) […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **[…] pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający zapisze układ równań […] i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **[…] pkt** – zdający przekształci powyższy układ równań do równania kwadratowego, np. \((36-a)\) […] lub \(\tfrac{\;}{4}\cdot a=72\) […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **[…] pkt** – rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe): zdający popełni błąd rachunkowy w którejkolwiek fazie rozwiązania zadania i konsekwentnie do tego błędu obliczy pole szukanego przekroju tego ostrosłupa. **5 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający zapisze równania szukanych prostych: \(\tfrac{x}{12}+\tfrac{y}{6}=1\) oraz \(\tfrac{x}{24}+\tfrac{y}{3}=1\).

Klasyfikacja rzeczowa: posługiwanie się równaniem kierunkowym lub odcinkowym prostej oraz polem trójkąta w układzie współrzędnych.

**D.** \(y=2x-4\)

Prosta przechodząca przez \(A=(-10,5)\) i początek układu ma współczynnik kierunkowy \[a=\frac{5-0}{-10-0}=-\frac12.\] Prosta prostopadła do niej ma współczynnik \(a'\) spełniający \(a\cdot a'=-1\), czyli \(a'=2\). Spośród podanych równań warunek ten spełnia \(y=2x-4\). **Odpowiedź.** Wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 18. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

\[C=\left(\frac{38}5,\frac{24}5\right).\]

Trójkąt jest równoramienny o ramionach \(AB\) i \(AC\), więc wysokość \(AD\) opuszczona z \(A\) na podstawę \(BC\) dzieli tę podstawę na połowy. Wysokość leży na prostej \(y=\frac12x-7\), więc podstawa \(BC\) jest do niej prostopadła i przechodzi przez \(B=(14,-8)\): \[y=-2(x-14)-8=-2x+20.\] Spodek wysokości \(D\) jest przecięciem obu prostych: \[\frac12x-7=-2x+20\quad\Longrightarrow\quad \frac52x=27\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{54}5,\qquad y=-\frac85.\] Punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(BC\), więc \[C=\left(2\cdot\frac{54}5-14,\ 2\cdot\left(-\frac85\right)+8\right)=\left(\frac{38}5,\frac{24}5\right).\] **Odpowiedź.** \(C=\left(\frac{38}5,\frac{24}5\right)\)

**1–3 pkt** – równanie prostej \(BC\), układ równań i punkt \(D=\left(\tfrac{54}{5},-\tfrac{8}{5}\right)\). **4 pkt** – \(C=\left(\tfrac{38}{5},\tfrac{24}{5}\right)\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza równanie prostej równoległej lub prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt (8.3) oraz oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych (8.4).

**B.** \(\tan\alpha=-\frac32\)

Prosta przechodzi przez punkty \((0,0)\) i \((2,-3)\), więc jej współczynnik kierunkowy jest równy \[a=\frac{-3-0}{2-0}=-\frac32.\] Ponieważ \(a=\tan\alpha\), otrzymujemy wskazaną wartość.

**1 pkt** – odpowiedź B **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** geometria analityczna - współczynnik kierunkowy prostej i kąt nachylenia do osi \(Ox\).

**D.** \(y=4x+12\)

Prosta \(k\) ma współczynnik kierunkowy \(-\frac14\), więc prostopadła do niej prosta \(l\) ma współczynnik \(4\). Ponieważ przechodzi przez \(A=(-2,4)\), mamy \[4=4\cdot(-2)+b,\qquad b=12.\] Zatem \(l:y=4x+12\).

**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** geometria analityczna - równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez dany punkt.

**A.** \(x-4=0\)

Prosta prostopadła do osi \(Ox\) jest pionowa, więc ma równanie postaci \(x=c\). Przechodzi przez \(A=(4,-4)\), zatem \(c=4\), czyli \[x=4,\qquad\text{równoważnie}\qquad x-4=0.\] **Odpowiedź.** \(x-4=0\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 20. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**A.** \(y=\frac{\sqrt3}{3}x-\sqrt3\)

Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta jej nachylenia do osi \(Ox\). Z rysunku odczytujemy ten kąt: \(30^{\circ}\), więc \[a=\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt3}3.\] Prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \(\left(0,-\sqrt3\right)\), więc wyraz wolny wynosi \(b=-\sqrt3\). Zatem \[l:\ y=\frac{\sqrt3}3x-\sqrt3.\] **Odpowiedź.** \(y=\frac{\sqrt3}3x-\sqrt3\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 21. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

\[A=\left(\frac{25}3,0\right),\qquad B=\left(0,\frac{25}4\right),\qquad|AB|=\frac{125}{12}.\]

Z rysunku odczytujemy, że \(C\) leży w początku układu, \(A\) na osi \(Ox\), \(B\) na osi \(Oy\), a punkt \(D=(3,4)\) leży na przeciwprostokątnej \(AB\). Prosta \(CD\) zawiera wysokość opuszczoną z \(C\), więc jest prostopadła do \(AB\). Jej współczynnik kierunkowy to \(a_{CD}=\frac{4-0}{3-0}=\frac43\), zatem z warunku prostopadłości \[a_{AB}=-\frac1{a_{CD}}=-\frac34.\] Prosta \(AB\) przechodzi przez \(D=(3,4)\): \[y-4=-\frac34(x-3),\qquad\text{czyli}\qquad y=-\frac34x+\frac{25}4.\] Punkt \(A\) to jej przecięcie z osią \(Ox\): z \(0=-\frac34x+\frac{25}4\) otrzymujemy \(x=\frac{25}3\), więc \(A=\left(\frac{25}3,0\right)\). Punkt \(B\) to przecięcie z osią \(Oy\): \(B=\left(0,\frac{25}4\right)\). Długość przeciwprostokątnej: \[|AB|=\sqrt{\left(\frac{25}3\right)^{2}+\left(\frac{25}4\right)^{2}}=25\sqrt{\frac1{9}+\frac1{16}}=25\cdot\frac5{12}=\frac{125}{12}.\] **Odpowiedź.** \(A=\left(\frac{25}3,0\right)\), \(B=\left(0,\frac{25}4\right)\), \(|AB|=\frac{125}{12}\)

**1–3 pkt** – współczynnik prostej \(CD\), równanie \(AB\) i współrzędne \(A\) oraz \(B\). **4 pkt** – długość \(AB=\tfrac{125}{12}\).

Zadanie 33. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

C=(\(6\),\(12\)). Wierzchołek C leży na symetralnej podstawy AB, która ma równanie \(11x\)−\(5y\)−\(6=0\). Prosta BC jest prostopadła do wysokości \(2x\)+\(19y\)+\(52=0\) i przechodzi przez B=(\(4\),−\(7\)), więc ma równanie −\(19x\)+\(2y\)+\(90=0\). Rozwiązanie układu tych równań daje C.

Wysokość opuszczona z \(A\) jest prostopadła do boku \(BC\), więc wektor normalny prostej \(2x+19y+52=0\), czyli \([2,19]\), jest wektorem kierunkowym prostej \(BC\). Prosta \(BC\) przechodzi przez \(B=(4,-7)\): \[19(x-4)-2(y+7)=0,\qquad 19x-2y-90=0.\] Trójkąt jest równoramienny z \(\lvert AC\rvert=\lvert BC\rvert\), więc \(C\) leży na symetralnej odcinka \(AB\). Środek \(AB\) to \(\left(-\frac32,-\frac92\right)\), a \(\vec{AB}=[11,-5]\), zatem symetralna ma równanie \[11\left(x+\tfrac32\right)-5\left(y+\tfrac92\right)=0,\qquad 11x-5y-6=0.\] Rozwiązujemy układ: \[\begin{cases}19x-2y-90=0\\ 11x-5y-6=0\end{cases}\] Z pierwszego równania \(y=\frac{19x-90}{2}\); po podstawieniu \[11x-\frac{5(19x-90)}{2}-6=0,\qquad 22x-95x+450-12=0,\qquad -73x=-438,\qquad x=6,\] skąd \(y=\frac{114-90}{2}=12\). Sprawdzenie: \(\lvert AC\rvert=\sqrt{13^2+14^2}=\sqrt{365}\) oraz \(\lvert BC\rvert=\sqrt{2^2+19^2}=\sqrt{365}\). **Odpowiedź.** \(C=(6,12)\)

**1 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(BC\) prostopadłej do danej wysokości. **2–4 pkt** – wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\) i zapisanie układu równań. **5 pkt** – obliczenie \(C=(6,12)\).

Klasyfikacja rzeczowa: wyznaczanie symetralnej odcinka i prostej prostopadłej oraz punktu przecięcia prostych w układzie współrzędnych.

**C.** \(a=-2\)

Symetralna odcinka jest do niego prostopadła. Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) wynosi \[a_{AB}=\frac{4-2}{1-(-3)}=\frac12,\] więc z warunku prostopadłości \[a\cdot\frac12=-1\quad\Longrightarrow\quad a=-2.\] **Odpowiedź.** \(a=-2\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 17. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**C.** \(m=\frac13\)

Współczynniki kierunkowe prostych to \(\frac2{m-1}\) i \(m\). Dla prostych prostopadłych ich iloczyn jest równy \(-1\): \[\frac{2m}{m-1}=-1,\qquad 2m=1-m,\qquad m=\frac13.\]

**1 pkt** – odpowiedź C **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** geometria analityczna - warunek prostopadłości prostych.

**C.** \(y=2x+7\)

Z pierwszej współrzędnej \(x=m-1\), więc \(m=x+1\). Po podstawieniu do drugiej współrzędnej otrzymujemy \[y=2m+5=2(x+1)+5=2x+7.\]

**1 pkt** – odpowiedź C **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** geometria analityczna - wyznaczanie równania prostej z parametrycznego opisu punktów.

\[B=\left(7,\frac92\right),\qquad |AB|=\frac{25}2.\]

Z rysunku odczytujemy \(A=(-3,-3)\) oraz \(C=(2,7)\); punkt \(A\) leży na danej prostej \(y=\frac34x-\frac34\), zawierającej przeciwprostokątną \(AB\). Kąt prosty jest przy wierzchołku \(C\), więc prosta \(BC\) jest prostopadła do \(AC\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AC\) wynosi \[a_{AC}=\frac{7-(-3)}{2-(-3)}=2,\] więc \(a_{BC}=-\frac12\), a prosta \(BC\) przechodząca przez \(C=(2,7)\) ma równanie \[y=-\frac12x+8.\] Punkt \(B\) leży na obu prostych, więc \[\frac34x-\frac34=-\frac12x+8\quad\Longleftrightarrow\quad\frac54x=\frac{35}4\quad\Longleftrightarrow\quad x=7,\] skąd \(y=-\frac72+8=\frac92\) i \(B=\left(7,\frac92\right)\). Długość przeciwprostokątnej: \[|AB|=\sqrt{(7+3)^{2}+\left(\tfrac92+3\right)^{2}}=\sqrt{100+\frac{225}4}=\sqrt{\frac{625}4}=\frac{25}2.\] **Odpowiedź.** \(B=\left(7,\frac92\right)\), \(|AB|=\frac{25}2\)

**1–3 pkt** – współczynnik prostej \(AC\), prosta prostopadła i współrzędne \(B\). **4 pkt** – \(B=\left(7,\tfrac{9}{2}\right)\) oraz \(AB=\tfrac{25}{2}\).

Zadanie 32. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

\[58x+87y-612=0.\]

Prosta \(AB\) ma współczynnik kierunkowy \(\frac{5-2}{9-2}=\frac37\), więc jej równanie ma postać \[3x-7y+8=0.\] Wysokość poprowadzona z \(C\) jest prostopadła do \(AB\), ma więc współczynnik \(-\frac73\) i równanie \[7x+3y-48=0.\] Rozwiązanie układu tych równań daje \[D=\left(\frac{156}{29},\frac{100}{29}\right).\] Bok \(BC\) ma współczynnik kierunkowy \(\frac{9-5}{3-9}=-\frac23\). Szukana prosta przechodzi przez \(D\) i ma ten sam współczynnik, zatem \[y-\frac{100}{29}=-\frac23\left(x-\frac{156}{29}\right),\] czyli \(58x+87y-612=0\).

**5 pkt** – poprawne równanie \(58x+87y-612=0\) lub postać równoważna **4 pkt** – poprawny punkt \(D\) i współczynnik \(-\frac23\), lecz błąd w równaniu końcowym **3 pkt** – poprawne wyznaczenie punktu \(D=(\frac{156}{29},\frac{100}{29})\) **2 pkt** – poprawne równania prostej \(AB\) i wysokości z \(C\) **1 pkt** – wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(AB\) lub \(BC\), stanowiące istotny postęp **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

Klucz CKE publikuje rozwiązanie i punktację. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna, równania prostych, prostopadłość i równoległość.

**A.** \(a=\frac23\), \(b=-2\).

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez \((0,-2)\) i \((6,2)\) wynosi \[a=\frac{2-(-2)}{6-0}=\frac46=\frac23.\] Ponieważ punkt \((0,-2)\) leży na prostej, wyraz wolny jest równy \(b=-2\).

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna, współczynnik kierunkowy i równanie prostej.

**C.** \((2,0)\).

Prosta równoległa ma współczynnik kierunkowy \(-3\), a ponieważ przecina oś \(Oy\) w \((0,6)\), ma równanie \[y=-3x+6.\] Dla punktu przecięcia z osią \(Ox\) mamy \(y=0\), więc \(x=2\).

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna, proste równoległe i punkty przecięcia z osiami.

**B.** \(y=-\frac14x+3\).

Współczynnik kierunkowy danej prostej wynosi \(4\). Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy \(-1\), zatem współczynnik szukanej prostej wynosi \[-\frac14.\] Takie równanie podano w odpowiedzi **B**.

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **B** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 8.2. Zdający bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych.

\[y=2x.\]

Prosta równoległa ma taki sam współczynnik kierunkowy, więc jej równanie ma postać \(y=2x+b\). Podstawiamy współrzędne punktu \(P=(1,2)\): \[2=2\cdot1+b.\] Stąd \(b=0\), a szukana prosta ma równanie \(y=2x\).

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawne równanie \(y=2x\) z obliczeniem wyrazu wolnego **1 pkt** – zapisanie postaci \(y=2x+b\) **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 8.3. Zdający wyznacza równanie prostej równoległej lub prostopadłej do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzącej przez dany punkt.

\[y=2x-4.\]

Punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AB\), więc \[D=\left(\frac{-2+6}{2},\frac{-1+1}{2}\right)=(2,0).\] Prosta zawierająca środkową \(CD\) przechodzi przez \(C=(7,10)\) i \(D=(2,0)\). Jej współczynnik kierunkowy wynosi \[a=\frac{10-0}{7-2}=2.\] Zatem ma postać \(y=2x+b\). Po podstawieniu punktu \(D\) otrzymujemy \(0=4+b\), czyli \(b=-4\). Stąd \(y=2x-4\).

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawne równanie \(y=2x-4\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie środka \(D=(2,0)\) albo współczynnika kierunkowego prostej \(CD\) **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania. **Wymagania szczegółowe:** 8.5. Zdający wyznacza współrzędne środka odcinka. 8.1. Zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty w postaci kierunkowej lub ogólnej.

\[y=2x-4.\]

Punkt \(D\) jest środkiem boku \(AB\), więc \[D=\left(\frac{-2+6}{2},\frac{-1+1}{2}\right)=(2,0).\] Prosta zawierająca środkową przechodzi przez \(D=(2,0)\) i \(C=(7,10)\). Jej współczynnik kierunkowy wynosi \[a=\frac{10-0}{7-2}=2.\] Zatem \(y=2x+b\). Po podstawieniu punktu \(D\) otrzymujemy \(0=4+b\), czyli \(b=-4\). Stąd \(y=2x-4\).

**2 pkt** – poprawne równanie prostej \(y=2x-4\) lub równoważne **1 pkt** – poprawne wyznaczenie środka \(D=(2,0)\) albo współczynnika kierunkowego prostej \(CD\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania. **Wymagania szczegółowe:** 8.5. Zdający wyznacza współrzędne środka odcinka. 8.1. Zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty w postaci kierunkowej lub ogólnej.

**A.** \(m=2\).

Proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe: \[m^2=4m-4.\] Stąd \(m^2-4m+4=0\), czyli \((m-2)^2=0\) i \(m=2\).

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.2 zdający bada równoległość prostych na podstawie ich równań kierunkowych.

**A.** \(m=-\frac12\).

Współczynniki kierunkowe prostych są równe \(2m\) oraz \(4m^2\). Dla prostych prostopadłych ich iloczyn wynosi \(-1\): \[(2m)(4m^2)=-1.\] Zatem \(8m^3=-1\), więc \(m^3=-\frac18\) i \(m=-\frac12\).

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.2 zdający bada prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych.

Pierwsza współrzędna punktu \(P\) jest równa \(-7\).

Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) wynosi \[a=\frac{19-(-12)}{50-(-43)}=\frac{31}{93}=\frac13.\] Podstawiając punkt \(B\), otrzymujemy równanie \(y=\frac13x+\frac73\). Dla punktu na osi \(Ox\) mamy \(y=0\), więc \[0=\frac13x+\frac73,\] skąd \(x=-7\).

**1 pkt** – wyznaczenie współczynnika kierunkowego i równania prostej \(AB\) **2 pkt** – obliczenie pierwszej współrzędnej punktu \(P\): \(-7\) **0 pkt** – rozwiązanie bez poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.1 zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.

**D.** \(a=\frac13\).

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez \(A\) i \(B\) wynosi \[a=\frac{7-3}{8-(-4)}=\frac4{12}=\frac13.\]

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna, współczynnik kierunkowy prostej.

**A.** \(a=-1\) i \(b=1\)

Punkt \(L=(0,1)\) leży na osi \(Oy\), więc \(b=1\). Podstawiając \(K=(1,0)\): \[0=a\cdot1+1\quad\Longrightarrow\quad a=-1.\] **Odpowiedź.** \(a=-1\) i \(b=1\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 4. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**C.** \(m=\frac13\)

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe: \[m=1-2m\quad\Longrightarrow\quad 3m=1\quad\Longrightarrow\quad m=\frac13.\] Wyrazy wolne \(-5\) i \(7\) są różne, więc proste są równoległe i różne. **Odpowiedź.** \(m=\frac13\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 22. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**C.** przecinające się pod kątem różnym od \(90^\circ\).

Pierwsze równanie \(y=-\frac34x+\frac54\) opisuje prostą o współczynniku kierunkowym \(a_1=-\frac34\). Drugie równanie \(y=-\frac43\) opisuje prostą poziomą, czyli \(a_2=0\). Ponieważ \(a_1\ne a_2\), proste nie są równoległe — mają dokładnie jeden punkt wspólny. Warunkiem prostopadłości jest \(a_1\cdot a_2=-1\), a tutaj \[a_1\cdot a_2=-\tfrac34\cdot0=0\ne-1,\] więc kąt przecięcia jest różny od \(90^\circ\). **Odpowiedź.** C. przecinające się pod kątem różnym od \(90^\circ\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** 3.2) Zdający wykorzystuje interpretację geometryczną układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Szukanym punktem jest \(\left(-\tfrac{12}{5},\tfrac{24}{5}\right)\).

Punkt \(M\) jest środkiem boku \(AC\), więc jego współrzędne są średnimi arytmetycznymi współrzędnych \(A\) i \(C\). Stąd \[C=2M-A=(2\cdot1-3,\ 2\cdot6-3)=(-1,9).\] Prosta \(AB\) ma współczynnik kierunkowy \[a=\frac{1-3}{9-3}=-\frac13,\] a ponieważ przechodzi przez \(A=(3,3)\), jej równanie to \(y=-\tfrac13x+4\). Wysokość z wierzchołka \(C\) jest prostopadła do \(AB\), więc ma współczynnik \(3\) i przechodzi przez \(C=(-1,9)\): \[y=3x+12.\] Punkt przecięcia: \[-\tfrac13x+4=3x+12\quad\big/\cdot3,\qquad -x+12=9x+36,\qquad x=-\tfrac{12}{5},\] a wtedy \(y=3\cdot\left(-\tfrac{12}{5}\right)+12=\tfrac{24}{5}\). **Odpowiedź.** \(\left(-\tfrac{12}{5},\tfrac{24}{5}\right)\).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\): \(C=(-1,9)\), albo wyznaczenie równania prostej \(AB\): \(y=-\frac{1}{3}x+4\). **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\): \(C=(-1,9)\) oraz równania prostej \(AB\): \(y=-\frac{1}{3}x\) […]. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: wyznaczenie równania prostej prostopadłej do prostej \(AB\), przechodzącej przez punkt \(C\): \(y=3x+12\). **4 pkt** – rozwiązanie pełne: obliczenie współrzędnych punktu przecięcia prostej \(AB\) z wysokością trójkąta \(ABC\) poprowadzoną z wierzchołka \(C\).

Zadanie 32. (0–4) Punkty A  3, 3 i B  9, 1 są wierzchołkami trójkąta ABC, a punkt M  1, 6 jest środkiem boku AC. Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostej AB z wysokością tego trójkąta, poprowadzoną z wierzchołka C. 8.1., 8.5., 8.3., 8.4. Zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej), wyznacza współrzędne środka IV. Użycie i tworzenie odcinka, wyznacza równanie prostej, która jest równoległa strategii. lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt, oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych. Rozwiązanie: Wyznaczymy współrzędne punktu C  (k,l) . Współrzędne punktu M muszą być średnimi arytmetycznymi współrzędnych punktów A i C. 3  k 3  l Zatem odpowiednio: 1  i 6  2 2 Obliczamy k i l. k  1 l  9 Wyznaczymy równanie prostej AB. Współrzędne punktów A i B muszą spełniać równanie tej prostej: y  ax  b . 3  3a  b  1  9a  b Obliczamy a i b. 1 a   b  4 3 1 Prosta AB ma równanie y   x  4 . 3 Wyznaczymy równanie prostej prostopadłej do prostej AB, przechodzącej przez punkt C. Prosta ta musi mieć równanie postaci y  3x  d . Punkt C należy do tej prostej, zatem: 9  3  d . d  12 Szukane równanie prostej ma postać: y  3x 12 . Wyznaczymy współrzędne punkt wspólnego dla tej prostej i prostej AB, gdyż jest to punkt przecięcia prostej AB i wysokości trójkąta poprowadzonej z wierzchołka C.  y  3x 12  Wystarczy rozwiązać układ równań  1 y   x  4   3 Szukane współrzędne mają wartości x  2, 4 i y  4,8 . Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania – 1 pkt  Wyznaczenie współrzędnych punktu C: C  (1,9) albo 1  Wyznaczenie równania prostej AB: y   x  4 3 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp – 2 pkt Wyznaczenie: współrzędnych punktu C: C  (1,9) 1 oraz równania prostej AB: y   x  4 . 3 Pokonanie zasadniczych trudności zadania – 3 pkt Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do prostej AB, przechodzącej przez punkt C: y  3x 12 . Rozwiązanie pełne – 4 pkt Obliczenie współrzędnych punktu przecięcia prostej AB z wysokością trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka C.

**D.** \(y=2x+2\)

Podstawy trapezu są równoległe, więc prosta zawierająca \(CD\) ma ten sam współczynnik kierunkowy co prosta zawierająca \(AB\), czyli \(2\). Przechodzi ona przez \(C=(0,2)\), więc jej wyraz wolny wynosi \(2\): \[y=2x+2.\] **Odpowiedź.** Wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Badanie równoległości prostych na podstawie ich równań kierunkowych (II.8.c).

**D.** \(k\) i \(m\)

Proste są prostopadłe dokładnie wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Współczynniki wynoszą kolejno \[a_k=\frac12,\qquad a_l=2,\qquad a_m=-2,\qquad a_n=2.\] Sprawdzamy: \(a_k\cdot a_m=\frac12\cdot(-2)=-1\), więc prostopadłe są proste \(k\) i \(m\). Pozostałe pary dają iloczyny \(4\), \(-4\), \(1\). **Odpowiedź.** Wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 19. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**D.** \(x+2y-4=0\)

Z wykresu odczytujemy dwa zaznaczone punkty prostej: \((0,2)\) na osi \(Oy\) oraz \((4,0)\) na osi \(Ox\). Współczynnik kierunkowy wynosi \[a=\frac{0-2}{4-0}=-\frac12,\] a wyraz wolny odczytujemy wprost: \(b=2\). Prosta ma więc równanie \(y=-\frac12x+2\). Po pomnożeniu obu stron przez \(2\) i przeniesieniu wyrazów na jedną stronę \[2y=-x+4\qquad\Longleftrightarrow\qquad x+2y-4=0.\] Sprawdzenie: dla \((0,2)\) mamy \(0+4-4=0\), dla \((4,0)\) mamy \(4+0-4=0\). **Odpowiedź.** \(x+2y-4=0\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 18. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**A.** \(y=-0{,}4x+3\)

Prosta równoległa do \(l\) ma ten sam współczynnik kierunkowy \[a=-\frac25=-0{,}4,\] a skoro przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,3)\), to jej wyraz wolny wynosi \(3\). **Odpowiedź.** \(y=-0{,}4x+3\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 25. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**D.** \(m=3\)

Z warunku prostopadłości iloczyn współczynników kierunkowych jest równy \(-1\): \[\frac2m\cdot\left(-\frac32\right)=-1\quad\Longrightarrow\quad -\frac3m=-1\quad\Longrightarrow\quad m=3.\] Założenie \(m\ne0\) jest spełnione. **Odpowiedź.** \(m=3\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Badanie prostopadłości prostych na podstawie ich równań kierunkowych (II.8.c).

**B.** \(y=\frac23x+\frac43\)

Proste są równoległe dokładnie wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Dana prosta ma współczynnik \(\frac23\); spośród wariantów tylko \(y=\frac23x+\frac43\) ma ten sam współczynnik, a przy tym inny wyraz wolny. **Odpowiedź.** Wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 7. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

\[D=(4,15).\]

Wysokość poprowadzona z \(C\) jest prostopadła do prostej \(AB\). Prosta \(AB\) przez \(A=(2,11)\) i \(B=(8,23)\) ma współczynnik kierunkowy \[a_{AB}=\frac{23-11}{8-2}=2,\qquad AB:\ y=2x+7.\] Wysokość ma współczynnik \(-\frac12\) i przechodzi przez \(C=(6,14)\): \[y=-\frac12(x-6)+14=-\frac12x+17.\] Punkt \(D\) jest przecięciem obu prostych: \[2x+7=-\frac12x+17\quad\Longrightarrow\quad \frac52x=10\quad\Longrightarrow\quad x=4,\qquad y=15.\] **Odpowiedź.** \(D=(4,15)\)

**1–3 pkt** – prosta \(AB\), prosta prostopadła przez \(C\) i układ równań. **4 pkt** – \(D=(4,15)\).

Zadanie 32. (0–4) Użycie i tworzenie strategii Wyznaczenie punktu przecięcia się prostych prostopadłych (IV.8.b, 8.c, 8.d) I sposób rozwiązania Wyznaczamy równanie prostej AB: y  2x  7 . Wyznaczamy równanie prostej CD prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt C: 1 y   x 17 . 2  y  2x  7  Zapisujemy układ równań:  1 y   x 17   2 Rozwiązujemy układ równań i zapisujemy współrzędne punktu D: D  4, 15 . Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania ......................................................................................................... 1 pkt  Wyznaczenie równania prostej AB: y  2x  7 albo  obliczenie współczynnika kierunkowego prostej AB: a  2 . 14 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ...................................................................... 2 pkt Wyznaczenie równania prostej CD prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt C 1 y   x 17 . 2 Pokonanie zasadniczych trudności zadania ..................................................................... 3 pkt  y  2x  7  Zapisanie układu równań:  1 y   x 17   2 Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt Rozwiązanie układu równań i zapisanie współrzędnych punktu D: D  4, 15 . Uwagi 1. Jeśli zdający źle wyznaczy równanie prostej AB i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty (współczynnik kierunkowy prostej AB powinien być jednak liczbą dodatnią). 2. Jeśli zdający odczyta współrzędne punktu D na podstawie dokładnie sporządzonego rysunku to otrzymuje 4 punkty. 3. Jeśli zdający poda współrzędne punktu D bez dokładnego rysunku lub uzasadnienia to otrzymuje 0 punktów. II sposób rozwiązania Obliczamy pole trójkąta ABC: P  15 . Obliczamy długość podstawy AB trójkąta ABC: ABC 1 AB  6 5 . Ze związku P  CD  AB obliczamy wysokość CD trójkąta ABC: ABC 2 CD  5 . Wyznaczamy równanie prostej AB: y  2x  7 . Zapisujemy współrzędne punktu D w zależności od zmiennej x: D   x, 2x  7 . Wyrażamy związek CD  5 za pomocą równania  x  62  2x  7 142  5 , gdzie x oznacza pierwszą współrzędną punktu D. Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy x  4 . Zapisujemy zatem współrzędne punktu D: D  4, 15 . Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania .......................................................................................................... 1 pkt Obliczenie pola trójkąta ABC: P  15 . ABC Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ...................................................................... 2 pkt Obliczenie wysokości CD trójkąta ABC: CD  5 . Pokonanie zasadniczych trudności zadania ..................................................................... 3 pkt Zapisanie współrzędnych punktu D w zależności od jednej zmiennej: D   x, 2x  7 i zapisanie równania  x  62  2x  7 142  5 . Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt Rozwiązanie równania i zapisanie współrzędnych punktu D: D  4, 15 . Uwaga Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pola trójkąta ABC i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty. Egzamin maturalny z matematyki 15 Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy

**A.** \(y=\frac12x\)

Doprowadzamy równanie do postaci kierunkowej: \[3x-6y+7=0\quad\Longleftrightarrow\quad y=\frac12x+\frac76.\] Prosta równoległa ma ten sam współczynnik kierunkowy \(\frac12\); spośród wariantów spełnia to \(y=\frac12x\). **Odpowiedź.** Wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie informacji. Wskazanie równania prostej równoległej do danej (I.8.c).

**A.** \(-\frac23\)

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty o różnych pierwszych współrzędnych wyraża się wzorem \[a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.\] Dla \(A=(6,1)\) i \(B=(3,3)\): \[a=\frac{3-1}{3-6}=\frac{2}{-3}=-\frac23.\] **Odpowiedź.** A. \(-\frac23\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** obliczanie współczynnika kierunkowego prostej przechodzącej przez dwa dane punkty Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** \(y=3x\)

Prosta prostopadła do danej ma współczynnik kierunkowy \(a\) spełniający \(a\cdot\left(-\frac13\right)=-1\), czyli \(a=3\). Przechodzi przez początek układu, więc jej wyraz wolny jest równy zeru: \[y=3x.\] **Odpowiedź.** Wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** zdający wskazuje równanie prostej prostopadłej do danej.

**A.** \(a=-\frac23\)

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty: \[a=\frac{-2-2}{4-(-2)}=\frac{-4}6=-\frac23.\] **Odpowiedź.** \(a=-\frac23\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria analityczna – oblicza współczynnik kierunkowy prostej.

**C.** \(y=2x+5\)

Prosta równoległa do \(k\) ma współczynnik kierunkowy \(2\), więc ma postać \(y=2x+b\). Z warunku przechodzenia przez \(D=(-2,1)\) \[1=2\cdot(-2)+b\quad\Longrightarrow\quad b=5.\] **Odpowiedź.** \(y=2x+5\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zbadanie równoległości i prostopadłości prostych na podstawie ich równań kierunkowych.

**B.** \(y=-x+5\)

Prosta prostopadła do \(y=x+1\) ma współczynnik kierunkowy \(a\) spełniający \(a\cdot1=-1\), czyli \(a=-1\). Punkt \(A=(0,5)\) leży na osi \(Oy\), więc wyraz wolny wynosi \(5\): \[y=-x+5.\] **Odpowiedź.** Wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria analityczna – wyznacza równanie prostej prostopadłej.

**A.** \(y=2x\)

Dwie proste nierównoległe do osi \(Oy\) są równoległe dokładnie wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Prosta \(l\colon y=2x-11\) ma współczynnik kierunkowy \(2\), więc szukana prosta też musi mieć współczynnik \(2\). Spośród podanych równań warunek ten spełnia tylko \(y=2x\). **Odpowiedź.** A. \(y=2x\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** rozpoznawanie prostych równoległych po współczynniku kierunkowym Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**C.** \(y=\frac17x+1\)

Proste o współczynnikach kierunkowych \(a_1\) i \(a_2\) są prostopadłe dokładnie wtedy, gdy \(a_1\cdot a_2=-1\). Prosta \(l\) ma \(a_1=-7\), więc \[a_2=-\frac1{a_1}=\frac17.\] Szukana prosta ma postać \(y=\frac17x+b\). Z warunku przechodzenia przez \(P=(0,1)\): \[1=\frac17\cdot0+b,\qquad b=1.\] **Odpowiedź.** C. \(y=\frac17x+1\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie równania prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez dany punkt Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**C.** przecinają się pod kątem innym niż prosty

Porównujemy współczynniki kierunkowe \(a_1=2\) oraz \(a_2=-\frac13\). Nie są równe, więc proste nie są równoległe ani się nie pokrywają. Ich iloczyn wynosi \[2\cdot\left(-\frac13\right)=-\frac23\ne-1,\] więc proste nie są też prostopadłe. Przecinają się zatem pod kątem innym niż prosty. **Odpowiedź.** Wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria analityczna – określa wzajemne położenie prostych.

**D.** \(y=2x-1\)

Proste są równoległe dokładnie wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Dana prosta ma współczynnik \(2\); spośród wariantów tylko \(y=2x-1\) ma ten sam współczynnik, a przy tym inny wyraz wolny. **Odpowiedź.** Wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria analityczna.

\[2x-y=0.\]

Doprowadzamy równanie danej prostej do postaci kierunkowej: \(y=2x-11\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(2\). Szukana prosta jest równoległa, więc ma postać \(y=2x+b\). Z warunku przechodzenia przez \(P=(1,2)\) \[2=2\cdot1+b\quad\Longrightarrow\quad b=0.\] Zatem \(y=2x\), czyli \(2x-y=0\). **Odpowiedź.** \(2x-y=0\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(2x-y=0\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria analityczna.

\(|BD|=2\sqrt5\).

Prosta \(AB\) przechodzi przez \(A=(1,5)\) i \(B=(14,31)\), więc jej współczynnik kierunkowy jest równy \[a=\frac{31-5}{14-1}=\frac{26}{13}=2,\] a jej równanie to \(y=2x+3\). Wysokość poprowadzona z \(C=(4,31)\) jest prostopadła do \(AB\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(-\tfrac12\): \[y-31=-\tfrac12(x-4),\qquad y=-\tfrac12x+33.\] Punkt \(D\) jest punktem wspólnym obu prostych: \[2x+3=-\tfrac12x+33,\qquad \tfrac52x=30,\qquad x=12,\quad y=27,\] czyli \(D=(12,27)\). Stąd \[|BD|=\sqrt{(14-12)^2+(31-27)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt5.\] **Odpowiedź.** \(|BD|=2\sqrt5\).

*Schemat oceniania I sposobu rozwiązania* **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: wyznaczenie równania prostej \(AB\) (albo współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\) albo współrzędnych wektora \(AB\)): \(y=2x+3\) (\(a=2\), \(AB=[13,26]\)). **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: wyznaczenie równania prostej \(CD\): \(y=-\frac{1}{2}x+33\). **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: obliczenie współrzędnych punktu \(D\): \(D=(12,27)\). **4 pkt** – rozwiązanie pełne: obliczenie długości odcinka \(BD\): \(\lvert BD\rvert=2\sqrt{5}\) lub \(\lvert BD\rvert=\frac{10}{\sqrt{5}}\). *Schemat oceniania II sposobu rozwiązania* **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: wyznaczenie równania prostej \(AB\) (albo współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\) albo współrzędnych wektora \(AB\)): \(y=2x+3\) (\(a=2\), \(AB\) […]). **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: wyznaczenie równania prostej \(CD\): \(y=-\frac{1}{2}x+33\). **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zastosowanie wzoru na odległość punktu \(B\) od prostej \(CD\): \(\frac{\lvert 14+2\cdot 31-66\rvert}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\). **4 pkt** – rozwiązanie pełne: obliczenie długości odcinka \(BD\): \(\lvert BD\rvert=2\sqrt{5}\) lub \(\lvert BD\rvert=\frac{10}{\sqrt{5}}\). *Schemat oceniania III sposobu rozwiązania* **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: wyznaczenie równania prostej \(AB\): \(y=2x+3\). **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: obliczenie odległości punktu \(C=(4,31)\) od prostej \(AB\) o równaniu \(2x-y+3=0\): \(\frac{\lvert 2\cdot 4-31+3\rvert}{\sqrt{5}}=\frac{20}{\sqrt{5}}\) lub \(\lvert CD\rvert=\) […] **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta \(CDB\): \(\left(\frac{20}{\sqrt{5}}\right)^{2}+\lvert BD\rvert^{2}=10^{2}\). **Rozwiązanie pełne** – obliczenie długości odcinka \(BD\): \(\lvert BD\rvert=2\sqrt{5}\) lub \(\lvert BD\rvert=\frac{10}{\sqrt{5}}\). *Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania* **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: obliczenie pola trójkąta \(ABC\): \(P_{ABC}=130\). **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: obliczenie długości odcinka \(CD\): \(\lvert CD\rvert=4\sqrt{5}\). **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta \(CDB\): \(\left(4\sqrt{5}\right)^{2}+\lvert BD\rvert^{2}=10^{2}\). **4 pkt** – rozwiązanie pełne: obliczenie długości odcinka \(BD\): \(\lvert BD\rvert=2\sqrt{5}\) lub \(\lvert BD\rvert=\frac{10}{\sqrt{5}}\). *Schemat oceniania V sposobu rozwiązania* **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: obliczenie długości wszystkich boków trójkąta \(ABC\): \(\lvert AB\rvert=\sqrt{845}\), \(\lvert AC\rvert=\sqrt{685}\), \(\lvert CB\rvert=10\). **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zapisanie układu równań: \(\begin{cases}\lvert CB\rvert^{2}=\lvert BD\rvert^{2}+\lvert CD\rvert^{2}\\ \lvert CA\rvert^{2}=\left(\lvert AB\rvert-\lvert BD\rvert\right)^{2}+\lvert CD\rvert^{2}\end{cases}\) **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zapisanie równania z niewiadomą \(BD\): \(685=\left(\sqrt{845}-\lvert BD\rvert\right)^{2}+10^{2}-\lvert BD\rvert^{2}\). **4 pkt** – rozwiązanie pełne: obliczenie długości odcinka \(BD\): \(\lvert BD\rvert=2\sqrt{5}\) lub \(\lvert BD\rvert=\frac{10}{\sqrt{5}}\).

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** Zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty oraz równanie prostej prostopadłej do danej, wyznacza punkt przecięcia prostych i oblicza odległość punktów w układzie współrzędnych. Uwaga redakcyjna: w tym miejscu w zastanym materiale znajdował się zrzut pięciu sposobów rozwiązania CKE wraz z wynikiem — usunięto go, bo ujawniał odpowiedź przed próbą.

**B.** \(-3\)

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe, więc szukany współczynnik jest taki sam jak dla prostej \(y=-3x+5\), czyli równy \(-3\). **Odpowiedź.** \(-3\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wskazanie współczynnika kierunkowego prostej równoległej do danej prostej.

**C.** \(y=4x-1\)

Prosta prostopadła do \(l\) ma współczynnik kierunkowy \(a\) spełniający \(a\cdot\left(-\frac14\right)=-1\), czyli \(a=4\). Spośród wariantów warunek ten spełnia \(y=4x-1\). **Odpowiedź.** Wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria analityczna – wyznacza współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej.

**A.** \(m=7\)

Punkt \(A=(2,-1)\) należy do prostej, więc jego współrzędne spełniają jej równanie: \[-1=-4\cdot2+(2m-7).\] Stąd \(-1=-8+2m-7\), czyli \(2m=14\) i \(m=7\). **Odpowiedź.** \(m=7\), czyli odpowiedź **A**.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: \(\mathrm{A}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(A=(4,2)\) oraz \(|OA|=2\sqrt5\).

Punkt \(A\) leży na prostej \(y=\tfrac12x\), więc \(A=(2t,t)\) dla pewnego \(t\). Kąt przy wierzchołku \(A\) jest prosty, więc wektory \(\vec{AO}\) i \(\vec{AB}\) są prostopadłe: \[\vec{AO}=[-2t,-t],\qquad \vec{AB}=[-2t,\,10-t].\] Iloczyn skalarny musi być równy zeru: \[4t^{2}-t(10-t)=0,\qquad 5t^{2}-10t=0,\qquad 5t(t-2)=0.\] Wartość \(t=0\) odrzucamy, bo wtedy \(A=O\) i trójkąt nie istnieje. Zostaje \(t=2\), czyli \(A=(4,2)\). Długość przyprostokątnej: \[|OA|=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt5.\] **Odpowiedź.** \(A=(4,2)\), \(|OA|=2\sqrt5\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Tak, punkty \(K\) i \(L\) leżą po tej samej stronie prostej \(AB\), o równaniu \(y=\frac12x+2\) — oba leżą nad nią, bo \(21>\frac12\cdot36+2=20\) oraz \(-15>\frac12\cdot(-37)+2=-16{,}5\).

**Krok \(1\).** Pytanie „czy dwa punkty leżą po tej samej stronie prostej” rozstrzygamy tak: wyznaczamy równanie prostej w postaci kierunkowej \(y=ax+b\), a następnie dla każdego z punktów porównujemy jego rzędną z wartością \(ax+b\) obliczoną dla jego odciętej. Punkt leży nad prostą, gdy jego rzędna jest większa od tej wartości, a pod prostą, gdy jest mniejsza. Jeśli dla obu punktów wyjdzie ta sama nierówność, to leżą po tej samej stronie. **Krok \(2\).** Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej \(AB\), gdzie \(A=(2,3)\) i \(B=(-2,1)\): \[a=\frac{3-1}{2-(-2)}=\frac{2}{4}=\frac12.\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy wyraz wolny, podstawiając współrzędne punktu \(A\): \[3=\frac12\cdot2+b=1+b\qquad\Longrightarrow\qquad b=2.\] Zatem prosta \(AB\) ma równanie \(y=\frac12x+2\). Kontrola: dla \(x=-2\) otrzymujemy \(-1+2=1\), czyli punkt \(B\) — zgadza się; zgadza się też odczyt z rysunku, że prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,2)\). **Krok \(4\).** Badamy punkt \(K=(36,21)\). Dla \(x=36\) prosta ma rzędną \[\frac12\cdot36+2=18+2=20.\] Ponieważ \(21\gt20\), punkt \(K\) leży nad prostą \(AB\). **Krok \(5\).** Badamy punkt \(L=(-37,-15)\). Dla \(x=-37\) prosta ma rzędną \[\frac12\cdot(-37)+2=-18{,}5+2=-16{,}5.\] Ponieważ \(-15\gt-16{,}5\), punkt \(L\) również leży nad prostą \(AB\). **Krok \(6\).** W obu przypadkach wyszła ta sama nierówność (rzędna punktu jest większa od rzędnej prostej), więc oba punkty leżą nad prostą \(AB\), czyli po tej samej jej stronie. **Uwaga.** Uważaj na porównywanie liczb ujemnych w kroku \(5\): liczba \(-15\) jest większa od \(-16{,}5\), choć na pierwszy rzut oka bywa to mylące. Nie wystarczy też sprawdzić, że punkty nie leżą na prostej (czyli że \(21\ne20\) i \(-15\ne-16{,}5\)) — trzeba porównać, w którą stronę, bo o stronie prostej decyduje właśnie kierunek nierówności. **Odpowiedź.** Tak, punkty \(K\) i \(L\) leżą po tej samej stronie prostej \(AB\), o równaniu \(y=\frac12x+2\) — oba leżą nad nią, bo \(21\gt\frac12\cdot36+2=20\) oraz \(-15\gt\frac12\cdot(-37)+2=-16{,}5\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **10.1. (1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej \(AB\): \(y=\frac{1}{2}x+2\) lub \(x-2y+4=0\). **10.2. (1 pkt)** – zbadanie położenia punktu \(K\) względem prostej \(AB\): \(\frac{1}{2}\cdot 36+2=20<21\). **10.3. (1 pkt)** – zbadanie położenia punktu \(L\) względem prostej \(AB\): \(\frac{1}{2}\cdot(-37)+2=-16\tfrac{1}{2}<-15\). Jeśli zdający jedynie sprawdza, czy punkty \(K\) i \(L\) należą do prostej \(AB\), to: w czynności 10.2 otrzymuje \(1\) pkt, a w czynności 10.3 nie otrzymuje punktu. Np.: \(\frac{1}{2}\cdot 36+2=20\neq 21\), \(\frac{1}{2}\cdot(-37)+2=-16\tfrac{1}{2}\neq -15\). **10.4. (1 pkt)** – podanie wniosku: Punkty \(K\) i \(L\) leżą po tej samej stronie prostej \(AB\). Nie przyznajemy punktu za wniosek (nawet poprawny), jeśli nie jest uzasadniony, np. brak czynności 10.2, 10.3 lub podobnego rozumowania. Przyznajemy punkt za wniosek konsekwentny do otrzymanych rezultatów.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(y_n=\dfrac{n+1}{n}\) dla \(n\geq1\).

Punkty \((x_n,0)=(-1-n,0)\) oraz \((-1,1)\) wyznaczają prostą o współczynniku kierunkowym \[a=\frac{1-0}{-1-(-1-n)}=\frac1n.\] Prosta ta ma więc równanie \[y=\frac1n\bigl(x+1+n\bigr).\] Punkt \((0,y_n)\) leży na tej prostej, zatem \[y_n=\frac1n(0+1+n)=\frac{n+1}{n}=1+\frac1n.\] Sprawdzenie dla \(n=1\): punkty \((-2,0)\), \((-1,1)\), \((0,2)\) leżą na prostej \(y=x+2\), a \(y_1=2\). **Odpowiedź.** \(y_n=\dfrac{n+1}{n}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **10.1. (1 pkt)** – […] przechodzącej przez punkty \((x_{n},\,0)\), \((-1,\,1)\), \((0,\,y_{n})\): \(\begin{cases}1=-a+b\\ 0=a(-1-n)+b\end{cases}\) **10.2. (1 pkt)** – wyznaczenie z układu niewiadomej \(b\): np. \(b=1+\frac{1}{n}\). **10.3. (1 pkt)** – zapisanie wzoru szukanego ciągu: \(y_{n}=1+\frac{1}{n}\) albo \(y_{n}=\frac{n+1}{n}\). **II metoda rozwiązania:** **10.1. (1 pkt)** – zapisanie współczynnika kierunkowego prostej \(X_{n}P\) (przechodzącej przez punkty \((x_{n},\,0)\) i \(P\)): \(a=\frac{1}{-1-(-1-n)}=\frac{1}{n}\). **10.2. (1 pkt)** – zapisanie równania prostej \(X_{n}P\): \(y=\frac{1}{n}(x+1)+1\). **10.3. (1 pkt)** – zapisanie wzoru szukanego ciągu: \(y_{n}=1+\frac{1}{n}\) albo \(y_{n}=\frac{n+1}{n}\). **III metoda rozwiązania:** **10.1. (1 pkt)** – wprowadzenie oznaczeń: \(A=(x_{n},\,0)\), \(P=(-1,\,1)\), \(C=(0,\,y_{n})\). Wyznaczenie współrzędnych wektorów \(\overrightarrow{AP}=[n,\,1]\), \(\overrightarrow{PC}=[1,\,y_{n}-1]\). **10.2. (1 pkt)** – zapisanie warunku równoległości wektorów: \(\overrightarrow{AP}\parallel\overrightarrow{PC}\Leftrightarrow d\left(\overrightarrow{AP},\overrightarrow{PC}\right)=0\) stąd \(n(y_{n}-1)-1=0\). **10.3. (1 pkt)** – zapisanie wzoru szukanego ciągu: \(y_{n}=1+\frac{1}{n}\) albo \(y_{n}=\frac{n+1}{n}\). **IV metoda rozwiązania:** **10.1. (1 pkt)** – wprowadzenie oznaczeń: \(A=(x_{n},\,0)\), \(P=(-1,\,1)\), \(C=(0,\,y_{n})\). Wykorzystanie zależności: \(AP+PC=AC\), \(\sqrt{(-1-x_{n})^{2}+(1-0)^{2}}+\sqrt{(0+1)^{2}+(y_{n}-1)^{2}}=\sqrt{(0-x_{n})^{2}+(y_{n}-0)^{2}}\). **10.2. (1 pkt)** – podstawienie \(x_{n}=-1-n\) i doprowadzenie wyrażenia do postaci: \(\left(n\cdot y_{n}-n-1\right)^{2}=0\). **10.3. (1 pkt)** – zapisanie wzoru szukanego ciągu: \(y_{n}=1+\frac{1}{n}\) albo \(y_{n}=\frac{n+1}{n}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Szukany kąt to część wspólna półpłaszczyzn \(2x-y-3\leqslant0\) i \(2x-3y-7\leqslant0\), o wierzchołku \(P=\left(\frac12,-2\right)\). b) \(|PS|=6{,}5\).

**Krok \(1\).** Każda z podanych nierówności liniowych opisuje półpłaszczyznę ograniczoną odpowiednią prostą. Część wspólna dwóch takich półpłaszczyzn (przy prostych nierównoległych) to właśnie kąt, a jego wierzchołkiem jest punkt przecięcia prostych. Plan: narysować obie proste, ustalić punktem testowym, którą stronę wybieramy, a potem wyznaczyć wierzchołek z układu równań i policzyć odległość. **Krok \(2\).** Zapisujemy proste w postaci kierunkowej, żeby je narysować: \[2x-y-3=0\iff y=2x-3\qquad\text{(przechodzi przez }(0,-3)\text{ i }(2,1)),\] \[2x-3y-7=0\iff y=\frac{2x-7}{3}\qquad\text{(przechodzi przez }(2,-1)\text{ i }(5,1)).\] **Krok \(3\).** Ustalamy, które półpłaszczyzny opisują nierówności. Najprościej wstawić punkt testowy, na przykład \((0,0)\): \[2\cdot0-0-3=-3\leqslant0\quad\text{oraz}\quad2\cdot0-3\cdot0-7=-7\leqslant0.\] Obie nierówności są spełnione, więc obie półpłaszczyzny zawierają początek układu współrzędnych. Równoważnie: \(2x-y-3\leqslant0\iff y\geqslant2x-3\), a \(2x-3y-7\leqslant0\iff y\geqslant\frac{2x-7}{3}\) — czyli w obu przypadkach bierzemy obszar nad prostą, razem z brzegiem. **Krok \(4\).** Szukanym kątem (podpunkt a) jest część wspólna tych dwóch półpłaszczyzn: obszar leżący jednocześnie nad obiema prostymi, zawierający punkt \((0,0)\), z ramionami na obu prostych i wierzchołkiem w ich punkcie przecięcia. **Krok \(5\).** Podpunkt b). Wyznaczamy wierzchołek \(P\), rozwiązując układ \[\begin{cases}2x-y-3=0,\\2x-3y-7=0.\end{cases}\] Odejmujemy równania stronami — wyrazy \(2x\) się redukują: \[(-y-3)-(-3y-7)=0,\qquad 2y+4=0,\qquad y=-2.\] **Krok \(6\).** Wstawiamy \(y=-2\) do pierwszego równania: \[2x-(-2)-3=0,\qquad 2x-1=0,\qquad x=\frac12.\] Zatem \(P=\left(\frac12,-2\right)\). Sprawdzenie w drugim równaniu: \(2\cdot\frac12-3\cdot(-2)-7=1+6-7=0\) — zgadza się. **Krok \(7\).** Liczymy odległość \(P\) od \(S=(3,-8)\): \[|PS|=\sqrt{\left(3-\frac12\right)^2+\left(-8-(-2)\right)^2}=\sqrt{\left(\frac52\right)^2+(-6)^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+36}=\sqrt{\frac{25+144}{4}}=\sqrt{\frac{169}{4}}=\frac{13}{2}=6{,}5.\] **Uwaga.** Przy przekształcaniu drugiej nierówności do postaci \(y\geqslant\ldots\) dzielimy przez \(-3\), więc zwrot nierówności się odwraca — dlatego bezpieczniej jest sprawdzić półpłaszczyznę punktem testowym. Nierówności są nieostre, więc oba ramiona kąta (proste) należą do zaznaczonego obszaru i rysujemy je linią ciągłą. **Odpowiedź.** a) Szukany kąt to część wspólna półpłaszczyzn \(2x-y-3\leqslant0\) i \(2x-3y-7\leqslant0\), o wierzchołku \(P=\left(\frac12,-2\right)\). b) \(|PS|=6{,}5\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **5.1. (1 pkt)** – Zaznaczenie półpłaszczyzny \(2x-y-3\le 0\). **5.2. (1 pkt)** – Zaznaczenie półpłaszczyzny \(2x-3y-7\le 0\). **5.3. (1 pkt)** – Zaznaczenie szukanego kąta. Punkt przyznajemy tylko wtedy, gdy kąt jest wyraźnie zaznaczony. **5.4. (1 pkt)** – Obliczenie współrzędnych punktu \(P\): \(P=\left(\frac{1}{2},-2\right)\). Dopuszczamy możliwość, że zdający odczyta z wykresu współrzędne punktu \(P\). Musi jednak sprawdzić poprawność odczytu przez podstawienie współrzędnych do obu równań. **5.5. (1 pkt)** – Obliczenie długości odcinka \(PS\): \(PS=6{,}5\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(l\colon y=x+4\) oraz \(k\colon y=-x-3\). b) Najdłuższy bok trójkąta zawiera się w osi \(OY\) i ma długość \(7\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dane. Kąt, jaki prosta tworzy z osią \(Ox\), przekłada się bezpośrednio na współczynnik kierunkowy: \(a=\operatorname{tg}\alpha\). Prostopadłość dwóch prostych o współczynnikach \(a_1\) i \(a_2\) oznacza \(a_1\cdot a_2=-1\). Mając współczynnik kierunkowy i jeden punkt prostej, wyznaczamy wyraz wolny. **Krok \(2\).** Współczynnik kierunkowy prostej \(l\): \[a_l=\operatorname{tg}45^\circ=1,\qquad\text{czyli }l:\ y=x+b.\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy \(b\), wstawiając współrzędne punktu \(M=(-2,2)\): \[2=-2+b,\qquad b=4,\qquad l:\ y=x+4.\] **Krok \(4\).** Prosta \(k\) jest prostopadła do \(l\), więc \(a_k\cdot 1=-1\), czyli \(a_k=-1\). Zatem \(k:\ y=-x+c\). **Krok \(5\).** Prosta \(k\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \((-3,0)\), więc \[0=-(-3)+c,\qquad 0=3+c,\qquad c=-3,\qquad k:\ y=-x-3.\] **Krok \(6\).** Podpunkt b). Wyznaczamy wierzchołki trójkąta jako punkty przecięcia par prostych: - \(l\) z osią \(Oy\) (czyli \(x=0\)): \(A=(0,4)\); - \(k\) z osią \(Oy\): \(B=(0,-3)\); - \(l\) z \(k\): \(x+4=-x-3\), stąd \(2x=-7\), \(x=-\frac72\) i \(y=-\frac72+4=\frac12\), czyli \(C=\left(-\frac72,\frac12\right)\). **Krok \(7\).** Liczymy długość boku leżącego na osi \(Oy\). Punkty \(A\) i \(B\) mają tę samą odciętą, więc \[|AB|=|4-(-3)|=7.\] **Krok \(8\).** Uzasadniamy, że to najdłuższy bok. Proste \(l\) i \(k\) są prostopadłe, więc trójkąt \(ABC\) jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku \(C\). Bok \(AB\) leży naprzeciw kąta prostego — jest przeciwprostokątną, a przeciwprostokątna jest zawsze dłuższa od każdej z przyprostokątnych. **Krok \(9\).** Dla kontroli liczymy pozostałe boki: \[|AC|=\sqrt{\left(0+\tfrac72\right)^2+\left(4-\tfrac12\right)^2}=\sqrt{2\cdot\left(\tfrac72\right)^2}=\frac{7\sqrt2}{2}\approx 4{,}95,\] i tak samo \(|BC|=\frac{7\sqrt2}{2}\). Rzeczywiście \(7\gt 4{,}95\). **Uwaga.** Polecenie wymaga OBLICZENIA długości najdłuższego boku, więc trzeba jeszcze uzasadnić, że to właśnie bok na osi \(Oy\) jest najdłuższy — samo podanie liczby \(7\) to tylko część punktów. Najszybsze uzasadnienie to spostrzeżenie o kącie prostym przy \(C\); wystarczy też rzetelny szkic w układzie współrzędnych lub porównanie wszystkich trzech długości. **Odpowiedź.** a) \(l\colon y=x+4\) oraz \(k\colon y=-x-3\). b) Najdłuższy bok trójkąta zawiera się w osi \(OY\) i ma długość \(7\).

**1. (1 pkt)** – Wyznaczenie równania prostej \(k\): \(y=-x-3\) **2. (2 pkt)** – Obliczenie długości najdłuższego boku trójkąta, z uzasadnieniem, że bok zawarty w osi \(y\) jest najdłuższy: długość równa \(7\) (jeśli uczeń tylko poda długość to otrzymuje 1 punkt; uzasadnieniem może być również szkic w układzie współrzędnych)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(|AB|=\sqrt{10}\). b) \(m:\ y=-3x+5\). c) \(k:\ y=\dfrac13x-\dfrac53\). d) Prosta \(k\) jest prostopadła do \(BC\) i przechodzi przez \(A\); gdyby należał do niej środek okręgu opisanego, byłaby symetralną boku \(BC\), a wtedy musiałoby zachodzić \(|AB|=|AC|\); tymczasem \(|AC|=\sqrt{20}\neq\sqrt{10}=|AB|\), więc środek okręgu opisanego nie należy do prostej \(k\).

**Krok \(1\).** Wszystkie podpunkty to standardowe narzędzia geometrii analitycznej: wzór na długość odcinka, równanie prostej przez dwa punkty, warunek prostopadłości \(a_1\cdot a_2=-1\) oraz — w ostatnim podpunkcie — własność środka okręgu opisanego, czyli to, że jest on jednakowo oddalony od wszystkich trzech wierzchołków. **Krok \(2\).** Podpunkt a). Ze wzoru na długość odcinka dla \(A=(-1,-2)\) i \(B=(2,-1)\): \[|AB|=\sqrt{\big(2-(-1)\big)^2+\big(-1-(-2)\big)^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}.\] **Krok \(3\).** Podpunkt b). Współczynnik kierunkowy prostej przez \(B=(2,-1)\) i \(C=(1,2)\): \[a=\frac{2-(-1)}{1-2}=\frac{3}{-1}=-3.\] **Krok \(4\).** Wyraz wolny wyznaczamy, wstawiając współrzędne jednego z punktów, na przykład \(B\), do \(y=-3x+b\): \[-1=-3\cdot2+b,\qquad b=5.\] Zatem \(m:\ y=-3x+5\) (sprawdzenie dla \(C\): \(-3\cdot1+5=2\)). **Krok \(5\).** Podpunkt c). Prosta \(k\) jest prostopadła do \(m\), więc iloczyn współczynników kierunkowych wynosi \(-1\): \[a_k=-\frac{1}{-3}=\frac13.\] **Krok \(6\).** Prosta \(k\) przechodzi przez \(A=(-1,-2)\), więc \[-2=\frac13\cdot(-1)+b,\qquad b=-2+\frac13=-\frac53,\] czyli \(k:\ y=\frac13x-\frac53\). **Krok \(7\).** Podpunkt d). Środek okręgu opisanego \(S=(x,y)\) jest jednakowo oddalony od wierzchołków. Z warunku \(|SA|^2=|SB|^2\): \[(x+1)^2+(y+2)^2=(x-2)^2+(y+1)^2,\] \[2x+1+4y+4=-4x+4+2y+1,\qquad 6x+2y=0.\] **Krok \(8\).** Z warunku \(|SB|^2=|SC|^2\): \[(x-2)^2+(y+1)^2=(x-1)^2+(y-2)^2,\] \[-4x+4+2y+1=-2x+1-4y+4,\qquad -2x+6y=0.\] **Krok \(9\).** Rozwiązujemy układ \(6x+2y=0\) i \(-2x+6y=0\). Z pierwszego równania \(y=-3x\), po wstawieniu do drugiego \(-2x-18x=0\), czyli \(x=0\), a więc \(y=0\). Zatem \(S=(0,0)\) (sprawdzenie: \(|SA|=|SB|=|SC|=\sqrt5\)). **Krok \(10\).** Sprawdzamy, czy \(S\) leży na prostej \(k\): wstawiamy \(x=0\) i otrzymujemy \(y=\frac13\cdot0-\frac53=-\frac53\neq0\). Punkt \(S=(0,0)\) nie spełnia równania prostej \(k\), więc do niej nie należy. **Uwaga.** Podpunkt d) można uzasadnić też bez liczenia \(S\): prosta \(k\) jest prostopadła do \(BC\) i przechodzi przez \(A\); gdyby przechodziła także przez środek okręgu opisanego, byłaby symetralną boku \(BC\), a wtedy zachodziłoby \(|AB|=|AC|\). Tymczasem \(|AC|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}\neq\sqrt{10}=|AB|\), więc tak nie jest. Wystarczy jedno z tych uzasadnień. **Odpowiedź.** a) \(|AB|=\sqrt{10}\); b) \(m:\ y=-3x+5\); c) \(k:\ y=\frac13x-\frac53\); d) środek okręgu opisanego to \(S=(0,0)\), a ten punkt nie spełnia równania prostej \(k\), więc do niej nie należy.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **(1 pkt)** – obliczenie \(\lvert AB\rvert=\sqrt{10}\). **(2 pkt)** – wyznaczenie równania prostej \(m\): \(y=-3x+5\); w tym \(1\) pkt za poprawną metodę. **(1 pkt)** – wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(k\): \(\frac{1}{3}\). **(1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej \(k\): \(y=\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}\). **(1 pkt)** – zapisanie warunku, jaki musiałby spełniać środek okręgu opisanego, aby należał do prostej \(k\). **(1 pkt)** – sprawdzenie warunku i uzasadnienie odpowiedzi: \(\lvert AC\rvert=\sqrt{20}\ne\sqrt{10}\), więc środek okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\) nie należy do prostej \(k\).

Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) prosta \(AD\): \(y=0\); b) prosta \(BC\): \(y=2x-2\); c) środek jednokładności \(S=(1,0)\) (skala \(k=-2\)).

**Krok \(1\).** W treści pojawia się jednokładność o ujemnej skali. Kluczowa własność jest taka: punkt, jego obraz i środek jednokładności zawsze leżą na jednej prostej, a wektor obrazu jest równy wektorowi pierwotnemu pomnożonemu przez skalę \(k\). Zanim cokolwiek policzymy, musimy ustalić, który z punktów \(C\), \(D\) jest obrazem \(A\), a który obrazem \(B\). **Krok \(2\).** Liczymy wektor \(\vec{AB}\): \[\vec{AB}=[\,0-(-2),\ -2-0\,]=[2,-2].\] **Krok \(3\).** Obraz odcinka \(AB\) to odcinek o końcach będących obrazami \(A\) i \(B\), a wektor obrazu spełnia \(\vec{A^{\prime}B^{\prime}}=k\cdot\vec{AB}\). Sprawdzamy obie możliwości: \[\vec{CD}=[7-3,\ 0-4]=[4,-4]=2\cdot[2,-2],\qquad \vec{DC}=[3-7,\ 4-0]=[-4,4]=-2\cdot[2,-2].\] **Krok \(4\).** Skala ma być ujemna, więc odpada wariant ze skalą \(2\). Zostaje \(\vec{DC}=-2\cdot\vec{AB}\), czyli obrazem \(A\) jest punkt \(D\), obrazem \(B\) jest punkt \(C\), a skala wynosi \(k=-2\). **Krok \(5\).** a) Prosta przez \(A=(-2,0)\) i jego obraz \(D=(7,0)\). Oba punkty mają drugą współrzędną równą \(0\), więc jest to prosta pozioma: \[y=0.\] **Krok \(6\).** b) Prosta przez \(B=(0,-2)\) i jego obraz \(C=(3,4)\). Współczynnik kierunkowy: \[a=\frac{4-(-2)}{3-0}=\frac{6}{3}=2.\] Punkt \(B\) leży na osi \(OY\), więc wyraz wolny to \(-2\) i prosta ma równanie \[y=2x-2.\] **Krok \(7\).** c) Środek jednokładności leży na prostej \(AD\) i jednocześnie na prostej \(BC\) (bo przechodzi przez każdy punkt razem z jego obrazem). Rozwiązujemy układ: podstawiamy \(y=0\) do \(y=2x-2\), skąd \(0=2x-2\), czyli \(x=1\). Zatem \(S=(1,0)\). **Krok \(8\).** Sprawdzenie. \(\vec{SA}=[-3,0]\) oraz \(\vec{SD}=[6,0]=-2\cdot\vec{SA}\); podobnie \(\vec{SB}=[-1,-2]\) oraz \(\vec{SC}=[2,4]=-2\cdot\vec{SB}\). Skala jest ta sama i ujemna, więc wynik jest poprawny. **Uwaga.** Gdyby przyjąć, że obrazem \(A\) jest \(C\), a obrazem \(B\) jest \(D\), otrzymalibyśmy skalę \(k=2\), a więc dodatnią. Warunek \(k\lt0\) jest w tym zadaniu tym, co jednoznacznie rozstrzyga przyporządkowanie punktów. **Odpowiedź.** a) \(y=0\); b) \(y=2x-2\); c) środek jednokładności \(S=(1,0)\) (przy skali \(k=-2\)).

**1. (1 pkt)** – ustalenie, że punkt \(D\) jest obrazem punktu \(A\) oraz punkt \(C\) jest obrazem punktu \(B\). Fakt ten może być opisany słownie, przedstawiony rysunkiem lub wykorzystany podczas rozwiązania. **2. (1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej \(AD\). Odp. \(y=0\) **3. (1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej \(BC\). Odp. \(y=2x-2\) **4. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych środka jednokładności. Odp. \((1,\,0)\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.